PASOS PARA CONSTRUIR UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL 1-Definir la variable de decisión del problema. 2-Definir la función objetivo en términos de su variables de decisión. Esta función objetivo consiste en escoger valores para las variables tales que maximicen la utilidad o minimicen costos. 3-Definir las restricciones usando las variables de restricción. 4-Restringir todas las variables para que sean no negativas.
CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL a) Se persigue un solo objetivo. b) Existen limitaciones de recursos. c) La función objetivo y las restricciones deben ser directamente proporcionales en sus datos. d) Son posibles asignaciones fraccionarias de las variables y/o parámetros. e) Todas las variables son no negativas. f) Se utilizan ecuaciones de primer grado. IDENTIFICACION DE ELEMENTOS BASICOS EN LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL 1- Las variables de decisión y parámetros. *Variable de decisión: Son las incógnitas que deben determinarse con la solución del modelo. Ejemplo: -Cantidad de artículos a producir en una semana. -Números de vigilantes que deben asignarse en un turno. -Número de onzas que contiene una mezcla. -Cantidad de horas a utilizar en un proceso productivo. *Los Parámetros: Son los valores que describen la relación entre las variables de decisión, permanecen constantes para cada problema pero varían en problemas distintos. 2- Las Restricciones: Son limitaciones físicas que ocurren en el problema o modelo, las cuales limitan los variables de decisión o valores permisibles o factibles. Usualmente estas estricciones se expresan en forma de funciones matemáticas restrictivas, usando ecuaciones o inecuaciones. Ejemplo: Sea
X1 el número de unidades que van a producirse del producto 1. X2 el número de unidades que se desean producir del producto 2. Sea a1 la cantidad de materia prima necesaria para producir un P1. a2 la cantidad de materia prima para producir P2. Sea A la cantidad disponible de materia prima. Entonces la restricción es:
a1, x 1 a 2 x 2 A
Así tienen:
5x 1 10x 2 400 13x1
7 1 x 2 x 3 500 4 4
3-Función Objetivo ó “Z” La función objetivo, define la objetividad del modelo, como función de las variables de decisión. En general la solución óptima del modelo se obtiene cuando los valores correspondientes de las variables de decisión proporcionan el mejor valor de Z o F.O, satisfaciendo todas las restricciones. La función objetivo actúa como indicador para el logro de la solución óptima la cual puede ser de maximización o minimización. En general los modelos matemáticos en I.O. pueden verse así: a) Determinar los valores de los valores de decisión Xj. j= 1, 2, 3,…….n b) Estas variables Xj, optimizarán a la función objetivo. Z = Xo = f(x1, x2;………;xn) c) Sujetas a las restricciones
Gi (x 1 , x 2 ;......... x u ) bi i 1, 2 , .......n xi 0 Donde bi = constante
x i 0 (No negatividad)
En resumen un modelo de programación lineal se busca optimizar una función objetivo sujeta a un conjunto en restricciones. Ej. Max Z(x1, x2) = 5x1+ 4x2 S/A
3x 1 2x 2 100 4x 1 6x 2 40 5x 2 x 1100 100 x1, x 2 0
Veamos algunos ejemplos: 1- Una empresa manufacturera vende 2 productos obteniendo una utilidad de
$12
por unidad del producto 1, y $4 por unidad del producto 2 que se venden. Las horas de trabajo que se requieren para los productos en c/u de los departamentos de producción se muestran en el cuadro siguiente: Datos de Producción (Horas de trabajo / Unidad) Producto Departamento
1
2
Limitantes
1
1
2
800 h
2
1
3
600 h
3
2
3
2000 h
Los supervisores de estos deptos. Han estimado que durante el próximo mes estén disponibles las siguientes horas de trabajo: 800 h. en el depto. 1; 600 h en el 2; y 2000 h. en el 3, la compañía quiere maximizar sus utilidades. ¿Formule el modelo de P. L del problema? SOLUCION:
Paso 1: Identificar las variables de decisión: Sea
X1: Número de unidades del producto 1. a fabricar el próximo mes $12 X2: Número de unidades del producto 2, a fabricar el próximo mes $14
Paso 2: Identificar la función objetivo (max. ó min) Maximizar Z = Xo = 12X1 + 4X2. Paso 3: Identificar Restricciones: Sujeto a
1x 1 2x 2 800 1x 1 3x 2 600 2x 1 3x 2 2000 Paso 4:
x1, x 2 0 2- Se procesan tres productos a través de tres operaciones diferentes los tiempos (en minutos) requeridos por unidad de cada producto, la capacidad diaria de las operaciones
(en minutos por día) y el beneficio por unidad vendida de cada
producto son como sigue: Tiempo por Unidad ( Minutos) Productos
Capacidad de Operación
Operación
Producto 1
Producto 2
Producto 3
(Minutos de cada día)
1
1
2
1
430
2
3
0
2
460
3
1
4
0
420
Gan. por Unid. ($)
3
2
5
Suponiendo que todas las unidades producidas se vendan, formule un modelo de P. L que determine la producción diaria óptima para los tres productos que maximice los beneficios. SOLUCION
Identificar las variables de decisión: Sea X1: Número de unidades del producto 1 X2: Número de unidades del producto 2 X3: Número de unidades del producto 3. Paso 2:
Identificar la función objetivo (max. ó min) Maximizar Z = Xo = 3X1 + 2X2+5X3 Paso 3: Identificación de Restricciones: Sujeto a
x 1 2x 2 x 3 430 x 1 0x 2 2x 3 460 x 1 4x 2 0x 3 420 Paso 4:
x1, x 2 , x 3 0 3-Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: Proteínas 3 onz. ; Carbohidratos 5 onz. ;
Grasas 4 onz. .
Se va a mezclar 4 tipos de alimentos en diversas proporciones para producir una lata de alimentos para perro que satisfagan los requerimientos mínimos. Los contenidos y los costos de 16 onzas de cada alimento se dan en el cuadro siguiente:
Contenido y Costo por cada 16 onzas de Alimento. Contenido en Prot.
Contenido de
Contenido Grasas
Alimento
(onz)
Carboh. (onz)
(onz)
Costo
1
3
7
5
$4
2
5
4
6
$6
3
2
2
6
$3
4
3
8
2
$2
Formule un modelo de P. L tal que se minimicen los costos y que se satisfagan los requerimientos mínimos. Solución: Paso1: Identificar las variables de decisión. Sea X1 cantidad de alimento 1 que se utiliza para fabricar 1 lata de 16 onz. Sea X2 cantidad de alimento 2 que se utiliza para fabricar 1 lata de 16 onz.
Sea X3 cantidad de alimento 3 que se utiliza para fabricar 1 lata de 16 onz. Sea X4 cantidad de alimento 4 que se utiliza para fabricar 1 lata de 16 onz. Paso 2: Planteamiento de función objetivo Minimizar Z = 4x1 6x 2 3x 3 2x 4 Paso 3: Restricciones: Sujeto a
3x 1 5x 2 2x 3 3x 4 3 7x 1 4x 2 2x 3 8x 4 5 5x 1 6x 2 6x 3 2x 4 4 x 1 x 2 x 3 x 4 16 Paso 4:
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0. 4-Se desea determinar cuántos codos y ductos se deben producir si se tienen 800 libras de aluminio clase 1 y 500 libras de aluminio clase 2. Comprados en $5 y $10 la libra respectivamente, el problema es decidir el uso óptimo de las 1300 libras de aluminio para maximizar el beneficio obtenido de la producción de codos y ductos. Los ingresos por cada codo son $10 y $30 por cada ducto, los costos de producción por cada codo son $4 y de $12 por ducto. Cada codo usa una libra de aluminio clase 1 y 2 libras de aluminio clase 2. Cada ducto usa 3 libras de aluminio clase 1 y 5 libras de aluminio clase 2. Formule el problema de P. L. SOLUCIÓN:
Observación: En los problemas de optimación solamente los costos variables tienen importancia puesto que los costos fijos ya han sido pagados, lo cual significa que ninguna decisión futura puede afectarlos. Paso 1: Variables de decisión; x1 : Número de codos a ser producidos. x2: Número de ductos a ser producidos. Paso 2: Función objetivo: 800 libras de aluminio clase 1 ($ 5 c/u) 500 libras de aluminio clase 2 ($ 10 c/u)
Ingreso por codo $10; costo de producción por codo $4 Ingreso por ducto $30; costo de producción por ducto $12 Maximizar Z = (Ingreso – Costo) x1 + (Ingreso – Costo) x2 Maximizar Z = 6x 1 18x 2 Paso 3: Restricciones:
1x 1 3x 2 800 2x 1 5x 2 500 Paso 4:
x1, x 2 0 5-Determinar una mezcla óptima de alimento para satisfacer las necesidades nutritivas de un animal o de una persona con el costo mínimo. Este ejemplo consiste en la formulación de una dieta para pollos. Suponga que el lote diario requerido de la mezcla son 100 litros la dieta debe contener. a- Al menos 0.8 % pero no más de 1.2 % de calcio. b- Al menos 22 % de proteínas. c- A lo más 5 % de fibra cruda. Suponga además, que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soya y carbonato de calcio. El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación. Libras por Libra de Ingrediente Ingredientes
Calcio
Proteína
Fibra
Costo ($) x Libra
Carbonato de calcio
0.380
0.00
0.00
0.0164
Maíz
0.001
0.009
0.02
0.0463
Soya
0.002
0.5
0.08
0.1250
Solución: Sean x1, x2 y x3, las cantidades en libras de Carbonato de calcio, maíz y soya utilizada para producción la mezcla de 100 libras Minimizar x0 = 0.0164x1+0.0463 x2+ 0.1250 x3
Sujeto a:
x x x 100 1 2 3 0.380x 0.001x 0.002x 0.0012 100 1 2 3 0.380x 0.001x 0.002x 0.008 100 1 2 3 0.09x 0.5x 0.22 100 2 3 0.02x 0.08x 0.05 100 2 3
x1, x 2 , x 3 0 Nota; Restricción 1 representa el tamaño del lote. 6-Una compañía tiene 2 plantas y tres almacenes, la primera planta puede abastecer un máximo de 100 unidades y la segunda planta 200 unidades del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacén es de 150, el segundo de 200 y el 3º de 350 unidades. Las utilidades que se obtienen por las ventas en los 3 almacenes son $12 en el primero; $14 en el segundo y $15 en el tercero. En el siguiente cuadro se da el costo de manufactura en la planta y del transporte al almacén (J) en dólares.
ALMACEN PLANTA
1
2
3
OFERTA
1
8
10
12
100
2
7
9
11
200
UNIDADES
150
200
350
DEMANDA
UTILIDADES
$12
$14
$15
La compañía desea determinar ¿Cuántas unidades deben embarcar de c/planta hacia cada almacén para maximizar la utilidad? Solución: xij Planta i a almacén j (origen y destinos) Paso 1: Definición de las variables de decisión. Sea: X11 artículos a enviar de la planta 1 al almacén 1 X12 artículos a enviar de la planta 1 al almacén 2
X13 artículos a enviar de la planta 1 al almacén 3 X21 artículos a enviar de la planta 2 al almacén 1 X22 artículos a enviar de la planta 2 al almacén 2 X13 artículos a enviar de la planta 2 al almacén 3 Paso 2: Función objetivo. Maximizar Z = 4x11+ 4x12+ 3x13 + 5 x21+ 5x22+ 4x23 Nota: (4 = 12-8 ) y así todas. Paso 3: Restricciones. Sujeto a:
x 11 x 12 x 13 100 x 21 x 22 x 23 200 x 11 x 21 150 x 12 x 22 200 x 13 x 23 350 Paso 4: x11, x12, x13, x21, x22, x23 0