PASOS PARA CONSTRUIR CONSTRUIR UN MODELO MODELO DE PROGRAMACION LINEAL 1-Definir la variable de decisión del problema. 2-De 2-Definir finir la función objetivo en términos de su variables de decisió decisió n. Esta función objetivo consiste en escoger valores para las variables tales que maximicen la utilidad o minimicen costos. 3-De 3-Definir finir las restricci ones usando las variables variables de restricc ión. 4-Restringir todas las variables para que sean no negativas.
CARACTERISTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL a) Se Se persigue un s olo o bjetivo. b) Existen limitaciones de recursos. c) La función objetivo y las restricciones deben ser directamente propor cionales en sus datos. d) Son Son pos ibles asignaciones fraccionarias fraccionarias de las variables variables y/o parámetros. parámetros. e) Todas las variables son n o negativas. f) Se Se utilizan ecuaciones de pri mer grado . IDENTIFICACION DE ELEMENTOS BASICOS EN LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL 1- Las variables de decisión y parámetros. *Variable *Variable de decisió decisió n: Son l as incógnit as que deben deben determinarse con la s olución del modelo. Ejemplo: -Cantidad de artículos a producir en una semana. -Números -Números d e vigilantes que deben asignarse en un tu rno. -Número de onzas que con tiene una mezcla. -Cantidad -Cantidad de horas a utilizar en un p roceso produ ctivo. *Los Parámetros: Son los valores que describen la relación entre las variables de decisión, permanecen constantes para cada problema pero varían en problemas distintos. 2- Las Restricciones: Son limitaciones físicas que ocurren en el problema o modelo, las cuales limitan los variables de decisión decisión o valores permisibles o factibl es. Usualmente estas estricciones se expresan en forma de funciones matemáticas restricti vas, usando ecuaciones ecuaciones o inecuaciones. Ejemplo: Sea
X1 el número de unidades que van a producirse del pro ducto 1. X2 el número de unidades que se desean pro ducir del product o 2. Sea a1 la cantidad de materia pri ma necesaria para produci r un P 1. a2 la cantidad de materia pri ma para producir P 2. Sea A la cantid ad dispon ibl e de materia prima. Entonces la restric ción es: a1 , x 1 a 2 x 2
A
Así ti enen: 5x 1 10x 2 400 13x 1
7 4
x2
1 4
x 3 500
3-Función Objetivo ó “Z” La función objetivo, define la objetivid ad del modelo, como función de las variables de decisión. En general la solución óptima del modelo se obtiene cuando los valores correspondi entes de las variables de decisión pr oporci onan el mejor valor d e Z o F.O, satisfaciendo todas las restricci ones. La función obj etivo actúa como indic ador para el logro de la soluci ón óptim a la cual puede ser de maximización o minim ización. En general los mo delos matemátic os en I.O. pueden verse así: a) Determinar l os valores de lo s valores de decisió n X j. j= 1, 2, 3,…….n
b) Estas variables X j, optimizarán a la función objetivo. Z = Xo = f(x 1, x 2;………;xn) c) Sujetas a las restri cciones Gi (x 1 , x 2 ;......... x u ) bi i
1, 2 , .......n
xi
0
Donde bi = constante x i 0 (No
negatividad)
En resumen un modelo de programación lineal se busca optimizar una función objetivo suj eta a un conjunto en restric ciones. Ej. Max Z(x 1, x 2) = 5x 1+ 4x2 S/A 3x 1 2x 2
100
4x 1 6x 2
5x 2
x 1, x 2
40
x 1100 100
0
Veamos algunos ejemplos: 1- Una empresa manufact urera vende 2 productos obteniendo una utilidad de $12 por unidad del producto 1, y $4 por unidad del producto 2 que se venden. Las horas de trabajo que se requieren para los productos en c/u de los departamentos de producc ión se muestran en el cuadro si guiente: Datos de Producción (Horas de trabajo / Unidad) Producto Departamento
1
2
Limitantes
1
1
2
800 h
2
1
3
600 h
3
2
3
2000 h
Los s upervisores de estos deptos. Han estimado que dur ante el pr óximo mes estén disponi bles las siguientes horas de trabajo: 800 h. en el depto. 1; 600 h en el 2; y 2000 h. en el 3, la compañía quiere maxim izar sus utilidades. ¿Formule el mod elo de P. L del problema? SOLUCION:
Paso 1: Identifi car las variables de decisión: Sea X1: Número de unidades del producto 1. a fabricar el próximo mes $12 X2: Número de unidades del producto 2, a fabricar el próximo mes $14
Paso 2: Identifi car la funció n objetivo (max. ó min) Maximizar Z = Xo = 12X1 + 4X2. Paso 3: Identificar Restricciones: Sujeto a 1x 1 2x 2 800 1x 1 3x 2 600 2x 1 3x 2 2000
Paso 4: x 1, x 2
0
2- Se procesan tres product os a tr avés de tres op eraciones dif erentes los tiempos (en mi nutos) requeridos p or u nidad de cada producto, la capacidad diaria de las operaciones (en minutos por día) y el beneficio por unidad vendida de cada producto son como sigue: Tiempo por Unid ad ( Minuto s) Productos
Capacidad de Operación
Operación
Producto 1
Producto 2
Producto 3
(Minutos d e cada día)
1
1
2
1
430
2
3
0
2
460
3
1
4
0
420
Gan. por Unid. ($)
3
2
5
Suponiendo que todas las unidades produc idas se vendan, formule un mo delo de P. L que determine la producci ón diaria óptima para los tres productos que maximice los beneficios. SOLUCION
Identifi car las variables de decisión: Sea X1: Número de unidades del pro ducto 1 X2: Número de unidades del pr oducto 2 X3: Número de unidades del produ cto 3. Paso 2:
Identifi car la función objetivo (max. ó min) Maximizar Z = Xo = 3X1 + 2X2+5X3 Paso 3: Identifi cación de Restric ciones: Sujeto a x 1 2x 2 x 3 430 x 1 0x 2 2x 3 460 x 1 4x 2 0x 3 420
Paso 4: x 1, x 2 x 3 ,
0
3-Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: Proteínas 3 onz. ; Carbohidratos 5 onz. ;
Grasas 4 onz. .
Se va a mezclar 4 tipos de alimentos en diversas propo rcion es para producir u na lata de alimentos para perro que satisfagan los requerimientos mínimos. Los contenidos y los costos de 16 onzas de cada alimento se dan en el cuadro siguiente:
Contenido y Costo p or cada 16 onzas de Alimento. Contenido en Prot.
Contenido de
Contenido Grasas
Ali mento
(onz)
Carboh. (onz)
(onz)
Costo
1
3
7
5
$4
2
5
4
6
$6
3
2
2
6
$3
4
3
8
2
$2
Formule un modelo de P. L tal que se minim icen los c ostos y que se satisfagan los requerimientos m í n imos. Solución: Paso1: Identifi car las variables de decisió n. Sea X1 cantidad de alimento 1 que se util iza para fabricar 1 lata de 16 onz. Sea X2 cantidad de alimento 2 que se util iza para fabricar 1 lata de 16 onz.
Sea X3 cantidad de alimento 3 que se util iza para fabricar 1 lata de 16 onz. Sea X4 cantidad de alimento 4 que se util iza para fabricar 1 lata de 16 onz. Paso 2: Planteamiento de funció n objetivo Minimizar Z =
4x 1 6x 2
3x 3 2x 4
Paso 3: Restricciones: Sujeto a 3x 1 5x 2 2x 3 3x 4 3 7x 1 4x 2 2x 3 8x 4 5 5x 1 6x 2 6x 3 2x 4 4 x 1 x 2 x 3 x 4 16
Paso 4: x 1, x 2 , x 3 , x 4
0
.
4-Se desea determinar cuántos codos y ductos se deben producir si se tienen 800 libras de aluminio clase 1 y 500 libras de alumi nio c lase 2. Comprados en $5 y $10 la libra respectivamente, el problema es decidir el uso óptimo de las 1300 libras de aluminio para maximizar el beneficio obtenido de la producción d e codos y ductos . Los i ngresos por c ada codo so n $10 y $30 por cada ducto, los costos d e producción por c ada codo son $4 y de $12 por ducto. Cada codo usa una libra de aluminio clase 1 y 2 libras de aluminio clase 2. Cada ducto usa 3 libras de aluminio clase 1 y 5 libras de aluminio clase 2. Formule el probl ema de P. L. SOLUCIÓN:
Observación: En los problemas de optimación solamente los costos variables tienen importancia puesto que los costos fijos ya han sido pagados, lo cual signif ica que ninguna decisión f utura puede afectarlos. Paso 1: Variables de decisión; x 1 : Número de codos a ser prod ucidos. x 2: Número de ductos a ser producido s. Paso 2: Función o bjetivo: 800 libr as de alumini o clase 1 ($ 5 c/u) 500 libr as de alumini o clase 2 ($ 10 c/u)
Ingreso por codo $10; costo de producción por codo $4 Ingreso por ducto $30; costo de producci ón por duc to $12 Maximizar Z = (Ingreso – Costo) x 1 + (Ingreso – Costo) x 2 Maximizar Z =
6x 1
18x 2
Paso 3: Restricciones: 1x 1 3x 2 800 2x 1 5x 2 500
Paso 4: x 1, x 2
0
5-Determinar una mezcla óptima de alimento para satisfacer las necesidades nutrit ivas de un animal o de una persona con el c osto mínimo. Este ejemplo con siste en la formu lación de una dieta para pollos. Suponga que el lote diario requerido de la mezcla son 100 litros la dieta debe contener. a- Al menos 0.8 % pero no más de 1.2 % de calcio. b- Al menos 22 % de proteínas. c- A lo m ás 5 % de fibra cruda. Suponga además, que los princi pales i ngredientes ut ilizados incl uyen maíz, soya y carbonato de calcio. El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación. Libras por L ibra de Ingrediente Ingredientes
Calcio
Proteína
Fibra
Costo ($) x Libra
Carbon ato de calci o
0.380
0.00
0.00
0.0164
Maíz
0.001
0.009
0.02
0.0463
Soya
0.002
0.5
0.08
0.1250
Solución: Sean x 1, x 2 y x 3, las cantid ades en libras de Carbonato de calci o, maíz y soya utilizada para producción la mezcla de 100 libras Minimizar x 0 = 0.0164x 1+0.0463 x 2+ 0.1250 x 3
Sujeto a: x
1
x
0.380x 0.380x 0.09x 0.02x
x
2
3
100
1
0.001x
2
0.002x
3
0.0012 100
1
0.001x
2
0.002x
3
0.008 100
2
0.5x
2
0.08x
x 1, x 2 , x 3
3
0.22 100
3
0.05 100
0
Nota; Restricción 1 representa el tamaño del lote. 6-Una comp añía tiene 2 plantas y t res almacenes, la pri mera planta puede abastecer un máxim o de 100 unidades y la segunda planta 200 unidades del mism o pro ducto. El potencial de ventas del p rimer almacén es de 150, el segun do de 200 y el 3º de 350 unidades. Las utilidades que se obtienen por l as ventas en los 3 almacenes son $12 en el pri mero; $14 en el segundo y $15 en el tercero. En el siguiente cuadro se da el costo de manufactura en la planta y del transporte al almacén (J) en dól ares.
ALMACEN PLANTA
1
2
3
OFERTA
1
8
10
12
100
2
7
9
11
200
UNIDADES
150
200
350
DEMANDA
UTILIDADES
$12
$14
$15
La comp añía desea determi nar ¿Cuántas unidades deben embarcar d e c/planta hacia cada almacén para maximizar la utilidad? Solución: x ij
Planta i a almacén j (origen y destinos)
Paso 1: Definic ión d e las variables de decisión. Sea: X11 artícul os a enviar de la planta 1 al almacén 1 X12 artícul os a enviar de la planta 1 al almacén 2
X13 artícul os a enviar de la planta 1 al almacén 3 X21 artícul os a enviar de la planta 2 al almacén 1 X22 artícul os a enviar de la planta 2 al almacén 2 X13 artícul os a enviar de la planta 2 al almacén 3 Paso 2: Función objetivo. Maximizar Z = 4x 11+ 4x 12+ 3x 13 + 5 x 21+ 5x 22+ 4x 23 Nota: (4 = 12-8 ) y así todas. Paso 3: Restricciones. Sujeto a: x 11 x 12 x 13 100 x 21 x 22 x 23 200 x 11 x 21 150 x 12 x 22 200 x 13 x 23 350
Paso 4: x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23 0
