Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
Probleme rezolvate -culegere Roman si resurse www1. 1.18 (probleme propuse – culegere) Sa se determine echilibrul Nash in cazul cazu l jocului descris sub forma normal in urmatoarea matrice a castigurilor: 2 S M J
1
St
M
D
2,0 3,4 1,3
1,1 1,2 0,2
4,2 2,3 3,0
* +* +
Jucatori: 1,2 Strategii: Castiguri:
;
Aplicam algoritmul eliminarii strategiilor dominate: comparand castigurile jucatorului 1, cand acesta joaca Sus cu cazul cand joaca Jos (2>1, 1>0, 4>3), observam ca strategia Jos este dominata, deci o putem elimina. Astfel, matricea castigurilor devine: 2 1
S M
St
M
D
2,0 3,4
1,1 1,2
4,2 2,3
Prin compararea castigurilor jucatorului 2, cand joaca Mijloc si Dreapta, cea de-a doua dou a strategie are castigurile strict mai mari (1<2,2<3), deci strategia Mijloc este dominata si o eliminam. Astfel: 2 1
S M
St
D
2,0 3,4
4,2 2,3
Nu mai gasim alte strategii dominate si trecem la algoritmul algoritmul maximizarii castigurilor relative. Cand jucatorul 1 alege Sus, poate castiga 2 sau 4, opteaza pentru maxim, deci 4. Cand alege Mijloc, poate avea castiguri de 3 sau 2, alegand evident 3. Cand jucatorul 2 joaca Stanga, castigurile sunt (0,4), iar cand joaca Dreapta poate avea 2 sau 3. Dupa cum se poate observa, ob serva, unicul echilibru Nash in strategii pure este (M, St), cu castigurile (3,4).
1
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
2. 1.23 (probleme propuse – culegere) Sa se determine toate echilibrele Nash (in strategii pure si in strategii mixte) associate jocului sub forma normal de mai jos: 2 S M J
1
St
M
D
0,0 5,4 4,5
4,5 0,0 5,4
5,4 4,5 0,0
+ * * +
Jucatori: 1,2 Strategii: Castiguri: :
;
Jocul este simetric. Prin compararea castigurilor strategiilor fiecarui jucator, se poate observa ca nu exista strategii dominate. Aplicand algoritmul maximizarii castigurilor relative, obtinem: 2 S M J
1
St
M
D
0,0 5,4 4,5
4,5 0,0 5,4
5,4 4,5 0,0
Astfel, nu putem stabili un echilibru in strategii pure. In stategii mixte, asociem fiecarei strategii a jucatorilor cate o probabilitate, cu proprietatea ca x+y+z=1 si a+b+c=1. 2
1
a b c
S M J
x
y
z
St 0,0 5,4 4,5
M 4,5 0,0 5,4
D 5,4 4,5 0,0
{ { Scriem functiile de utilitate pentru fiecare strategie: =>
Din a doua egalitate si conditia preliminara obtinem urmatorul sistem: =>
Dupa substitutie reiese relatia :
2
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
{ { { {
Din prima egalitate si conditia preliminara, rezulta sistemul: =>
Dupa substitutie reiese relatia: Astfel, am obtinut:
=>
Inlocuind in (2):
Inlocuind in conditia initiala:
.
Avand in vedere ca jocul este simetric:
Deci, echilibrul Nash in strategii mixte este
.
3. Sursa: http://www.class.coursera.org/gametheory-2012-002 Problema penalty-urilor in fotbal Un fotbalist trebuie sa execute o lovitura de l a 11 metri. Se stie ca atunci cand portarul alege directia in care a sutat fotbalistul, acesta sigur va apara, iar at unci cand directiile sunt diferite, fotbalistul va inscrie. a). Scrieti forma normal a jocului si descrieti-l; b). Gasiti echilibrele Nash in strategii pure, daca exista; c). Gasiti echilibrul Nash in strategii mixte; d). Daca se stie ca fotbalistul are 25% sanse sa rateze cand suteaza spre dreapta portii, cum se modifica echilibrul in strategii mixte? Ce observati? a). Portar
Fotbalist
S D
S
D
0,1 1,0
1,0 0,1
*+ * +
Jucatori: Fotbalist (j1), Portar (j2) Strategii: Castiguri: ;
3
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
b). Comparand castigurile jucatorilor in functie de strategia jucata, observam ca nu exista strategii dominate de eliminat. Pasul 2 este aplicarea al goritmului maximizarii castigurilor relative: Portar S D
Fotbalist
S
D
0,1 1,0
1,0 0,1
Nici prin intermediul acestui algoritm nu putem determina un echilibru in strategii pure. c). Pentru a determina echilibrul Nash in strategii mixte, asociem fiecarei strategii a jucatorilor o probabilitate; astfel: Portar
Fotbalist
q 1-q
S D
{
p
1-p
S 0,1 1,0
D 1,0 0,1
Scriem utilitatile pentru jucatorul 1: ; utilitatile sunt egale pentru ca portarului sa ii fie indiferent =>
( ) Prin simetrie:
Deci, echilibrul Nash in strategii mixte este d). Forma normal a jocului se modifica astfel: Portar
Fotbalist
q 1-q
S D
p
1-p
S 0,1 0,75;0,25
D 1,0 0,1
{ Utilitatile pentru fotbalist:
; utilitati egale =>
4
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
Simetric pentru portar:
( )
Deci, echilibrul Nash in strategii mixte este
Din relatia
ne dam seama ca portarul crede ca fotbalistul va suta spre dreapta cu o
probabilitate mai mare, chiar daca exista sanse mai mari sa rateze decat in cazul sutului spre stanga
4. Sursa: http://econ.duke.edu/uploads/assets/dje/2006_Symp/Wiles.pdf Problema servelor in tenis Presupunem un meci de tenis intre doi jucatori, bazat pe alegerea tintei la prima serva. Cel care este la serviciu (jucatorul 1) alege locul: Stanga sau Dreapta, iar cel care primeste (jucatorul 2) anticipeaza locul unde mingea va atinge zgura. Punctul este castigat de cel care serveste, daca adversarul nu returneaza, sau se va decide dupa al doilea serviciu, in cazul unui out. Se stie ca exista 64,7% sanse ca punctual sa fie castigat de cel care serveste, in cazul in care directiile alese de cei doi difera. a). Scrieti forma normal a jocului si descrieti-l; b). Gasiti toate echilibrele Nash (in strategii pure si in strategii mixte). a). 2 1
S D
S
D
0;1 0,647;0,353
0,647;0,353 0;1
*+ * +
Jucatori: 1,2 Strategii: Castiguri:
;
b). Prin compararea castigurilor strategiilor, am constatat ca nu exista strategii dominate, deci nu putem elimina nicio strategie. Dupa aplicarea algoritmului maximizarii castigurilor relative a rezultat: 2 1
S D
S
D
0;1 0,647;0,353
0,647;0,353 0;1
Astfel, nu putem determina echilibrul in strategii pure.
5
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
Pentru strategii mixte, atasam fiecarei strategii o probabilitate. Schematizam dupa cum urmeaza: 2 1 q 1-q
S D
p
1-p
S 0;1 0,647;0,353
D 0,647;0,353 0;1
{ { ( ) Scriem utilitatile rezultate pentru cel care serveste:
=> utilitatile trebuie sa fie egale la echilibru =>
Scriem utilitatile si pentru cel care este la primire:
=> utilitati egale la echilibru =>
Deci, echilibrul Nash in strategii mixte este
5. 2.13 (probleme propuse – culegere) Se considera un joc cu doi jucatori descris sub forma extinsa in urmatoarea figura: 1
L L
C
R L
R
C R
2 L
R
(2,2)(1,2) (1,3) (-1,-1)(3,2) (-1,0) (1,3)
Se cere: a). determininati echilibrul jocului prin inductie recursive; b). scrieti jocul sub forma normal si determinati echilibrul prin algoritmul eliminarii strategiilor dominate.
6
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
a). Jucatorul 2 stabileste de la inceput ce va juca. Daca jucatorul 1 ar juca L, atunci castigurile jucatorului 2 ar fi (2,2,3); astfel, va alege castigul maxim adus de strategia R. Daca jucatorul 1 alege C, castigurile jucatorului 2 sunt (-1,2); deci la alege R . Nu in ultimul rand, daca primul jucator ale ge R, convenabil pentru cel de-al doilea jucator este sa aleaga strategia care ii max imizeaza castigul (0,3), deci R. Rezolvarea grafica arata in felul urmator:
Am ajuns in punctul in care jucatorul 1 isi decide strategia; Daca joaca L, castigul sau va fi 1,daca alege C, poate castiga 3, iar daca joaca R, va castiga tot 1. Rational fiind, alege castigul cel mai mare, deci la juca C. Deci, echilibrul este (C,R), cu castigurile (3,2). b). Forma normala a jocului este urmatoarea matrice a castigurilor: 2
1
L C R
L
C
R
2,2 -1,-1 -1,0
1,2 0,0 0,0
1,3 3,2 1,3
Pentru a aplica algoritmul eliminarii strategiilor dominate, scriem utilitatile pentru fiecare jucator si fiecare strategie ce poate fi aleasa:
In cazul celui de-al doilea jucator, putem observa ca strategiile L si C sunt dominate, deci le putem elimina. 2 R
1
1,3 3,2 1,3
L C R
Jucatorul 2 poate sa joace doar R, iar jucatorul 1 alege strategia cu cel mai mare castig (3), deci C. Astfel, obtinem acelasi echilibru ca si in cazul formei extinse, anume (C,R), cu castigurile (3,2).
7
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
6. 2.26 (probleme propuse – culegere) Se considera jocul dinamic in informatie imperfect din figura. a). Descrieti jocul sub forma extinsa; b). Construiti forma normala; c). Determinati echilibrele.
a).Etapa 1: Jucatorul 2 alege strategia pe care va juca, stiind doar ce ar putea sa aleaga jucatorul 1. Astfel, daca primul ar juca S, cel de-al doilea alege A, pentru ca ofera un castig mai mare decat strategia B (4>0). In schimb, daca primul joaca M, al doilea jucator alege A (3>0). Etapa 2: Pe baza celor alese de jucatorul 2, jucatorul 1 decide ce strategie sa adopte; daca joaca S, castiga 4; daca joaca M, castiga 3, iar daca joaca D, castiga 2. Alegerea este simpla: S. v). Forma normala a jocului este urmatoarea matrice a castigurilor: 2 1
p 1-p
Echilibrul in strategii pure:
S M
A
B
4,1 3,0
0,0 0,1
Strategia M este dominata, deci o putem elimina, iar rezultatul arata astfel: 2 1 p
S
A
B
4,1
0,0
Primul jucator poate folosi numai strategia S, iar cel de -al doilea alege strategia care ii aduce castigul maxim: A (1). Deci, echilibrul in strategii pure este (S,A), cu castigurile (4,1). Echilibrul in strategii mixte: Am atasat probabilitatile p si 1-p. Scriem utilitatile pentru fiecare jucatorul 2:
{
=> la echilibru, utilitatile sunt egale =>
8
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
Pentru a duce mai departe problema, atasam si jucatorului 1 probabilitati: q si 1 -q. 2
1
p 1-p
S M
q
1-q
A 4,1 3,0
B 0,0 0,1
Scriem utilitatile pentru jucatorul 1:
{
=> la echilibru, sunt egale =>
.
Acest rezultat atesta faptul ca jucatorul 1 crede ca jucatorul 2 va alege, cu probabilitate de 100%, strategia B.
Deci, echilibrul in strategii mixte este
.
7. 2.27 (probleme propuse – culegere) Fie jocul dinamic in informatie imperfecta:
a). Construiti forma normala a jocului; b). Determinati echilibrele. a). Forma normala a jocului este reprezentata de urmatoarea matrice a castigurilor: p 1-p
S M
A
B
C
1,3 4,0
1,2 0,2
4,0 3,3
b). Pentru a determina echilibrul in strategii pure, scriem utilitatile pentru fiecare jucator:
Observam ca nu exista strategie dominata.
9
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
Aplicand algoritmul maximizarii veniturilor relative, rezulta: p 1-p
S M
A
B
C
1,3 4,0
1,2 0,2
4,0 3,3
Astfel, nu putem determina echilibrul in strategii pure.
Am atasat probabilitati pentru a putea gasi echilibrul in strategii mixte: => la echilibru sunt egale =>
8. 3.15 (probleme propuse – culegere) Duopolul Cournot cu cerere in informatie incomplete Se considera modelul duopolului Cournot pentru care functia de cerere inversa este , cu (productiile celor doua firme). Functiile de cost pentru cele doua firme sunt . Cererea este nedeterminata, respective parametrul a poate lua doua valori, cu . Probabilitatea ca parametrul a sa ia valoarea este , iar probabilitatea sa fie este . Firma 1 cunoaste nivelul lui a (respectiv daca este sau ), dar firma 2 nu stie acest lucru. Firmele aleg simultan cantitatile produse, cautand sa maximizeze profitul. Se cere: a). descrieti elementele jocului Bayesian; b). determinati echilibrul Bayesian al jocului.
* +
* +
a). G={A,T,P,U} A (actiunile ce pot fi alese de jucatori) sunt cantitatile ce pot fi produse de fiecare firma: T (tipurile) sunt date de parametrul a: . P (probabilitatile) sunt necesare pentru firma 2, firma 1 cunoscand d eja nivelul lui a: U (utilitatile) sunt date de profiturile firmelor:
*+ *+ *+
b). pentru firma 1:
, pentru tipul , pentru tipul
Pentru firma 2:
10
.
.
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
9. Sursa: http://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-games---games-with-incompleteinformation (completata cu cerinte suplimentare) 2. Jucatorul 1 este o companie care are de ales intre a intra pe piata sau nu; Daca nu intra, castigurile ambilor sunt (0,3). Jucatorul 2 este deja pe piata si alege (simultan) daca va concura sau nu cu jucatorul 1, in cazul in care acesta intra pe piata. Castigurile jucatorului 2 depind de tipul sau: normal, cu probabilitatea 1-p, sau agresiv, cu probabilitatea p. Jucatorul 2 stie daca joaca normal sau agresiv, dar jucatorul 1 nu. a) Elementele jocului Bayesian. b) Daca jucatorul 2 concureaza cand este agresiv si nu concureaza cand se comporta normal, care este
utilitatea asteptata a jucatorului 1? c) Gasiti p Agresiv I NI
C -1,2 0,3
NC 2,-1 0,3
C -1,0 0,3
NC 1,2 0,3
1-p Normal I NI
a). G={A,T,P,U}
*+ *+ *+ * + *+
A (actiunile): T (tipuri):
P (probabilitati): U (utilitati):
b). Cand jucatorul 1 intra pe piata: nu intra pe piata:
c).
poate fi determinat prin egalarea functiilor de utilitate de mai sus. Astfel:
11
Parsov – Statache Sabina FABBV, seria E
10. Sursa: http://www.thelearningpoint.net/home/mathematics/bayesian-games---games-with-incompleteinformation
10.Un inginer are un talent t in {1,2}, manifestat cu probabilitate egala (p=1/2) si valoarea acestuia este necunoscuta pentru inginer. Strategiile pure ale ac estuia sunt sa se angajeze sau sa isi inceapa o afacere proprie. Strategiile pure ale companiei sunt de a-l angaja pe inginer sau nu. Daca nginerul aplica pentru job, iar compania nu angajeaza, inginerul isi incepe propria afacere. Utilitatea inginerului este t (talentul/abilitatea de a fi inginer) si w(wage – salariul cand este angajat). Utilitatea companiei este (tw), reiesita din angajarea inginerului si 0 altfel. Presupunand cu w=2, gasiti toate echilibrele in strategii pure ale jocului Bayesian.
Cand t=2 si w=2: Cand t=1 si w=2: -
inginerului ii este indiferent daca este angajat sau nu, castigul sau este acelasi (2). compania este indiferenta la angajarea inginerului (0). inginerul prefera sa fie angajat (2>1). Compania pierde daca il angajeaza pe inginer (1-w=-1), deci nu angajeaza.
Echilibrele: t=2 Startup,t=1 (Work, Not); t=2 Work, t=1(Work, Not).
12
