TEORIA JOCURILOR

4

TEORIA JOCURILOR

1. Noţiuni generale Teoria jocurilor este teoria matematică care se ocupă cu determinarea metodelor de alegere a deciziilor în cazuri de competiţie sau situaţii conflictuale. O situaţie conflictuală este cea în care acţionează doi sau mai mulţi factori (persoane fizice, firme, partide politice) având scopuri contrarii. Astfel de situaţii sunt: concurenţa economică, vânzările la licitaţie, alegerile parlamentare etc.. Teoria jocurilor se ocupă şi de cazurile în care o activitate intră în conflict cu caracterul întâmplător al unor evenimente naturale (epidemii, secetă). Pentru construirea unui model formal, simplificat al situaţiei cercetate se vor selecta caracteristicile principale, cele secundare neglijându-se. Terminologia folosită este cea de la jocurile de societate sau de noroc. Prin joc sau joc strategic se înţelege situaţia în care acţionează o mulţime de elemente raţionale (numite jucători sau parteneri) care în mod succesiv şi independent, într-o ordine şi condiţii fixate într-un ansamblu de reguli, iau câte o decizie (efectuează o mutare) dintr-o mulţime dată de alternative. Regulile jocului fixează şi situaţiile în care se termină jocul, precum şi câştigul sau recompensa pentru fiecare jucător. Un joc realizat se mai numeşte partidă. Acţiunile întreprinse de jucători în cadrul unei partide se numesc mutări. Acestea pot fi: libere – când alegerea alternativei este univocă sau

Modele matematice în economie

aleatoare, când alegerea alternativei este supusă întâmplării şi e determinată de un mecanism aleator (zar). După cantitatea de informaţie de care dispune fiecare jucător există jocuri cu informaţie completă (şahul) şi jocuri cu informaţie parţială (bridgeul), necunoaşterea intenţiilor adversarului constituind elementul esenţial al situaţiilor conflictuale. Ansamblul de reguli ce definesc în mod unic mişcările libere în funcţie de situaţia ivită în timpul jocului se numeşte strategie. Dacă unul dintre adversari are la dispoziţie m alternative, iar partida se încheie printr-o alegere, se spune că jucătorul are la dispoziţie m strategii pure. Când partidele se repetă, jucătorii pot alege strategii pure cu anumite frecvenţe sau probabilităţi şi atunci se spune că utilizează o strategie mixtă. Dacă numărul strategiilor pure este finit, spunem că avem un joc finit, în caz contrar avem un joc infinit. Fiecare jucător urmăreşte aplicarea unei strategii care să îi aducă un câştig maxim, deci îşi caută o strategie optimă. Câştigul pi realizat de jucătorul Pi are semnificaţia unei sume băneşti sau a unui număr de puncte, bunuri etc.. Dacă pi > 0, jucătorul Pi realizează un câştig în sensul uzual al cuvântului, iar dacă pi < 0 înregistrează o pierdere. Din punct de vedere al câştigului distingem: - jocuri cu sumă nulă – când la sfârşitul unei partide suma pierdută de o parte din jucători este câştigată de ceilalţi şi - jocuri cu sumă nenulă – când jucătorii pot să-şi mărească concomitent câştigurile, prin alegerea unor strategii adecvate. După numărul n al jucătorilor, jocurile pot fi cu doi parteneri sau cu n > 2 parteneri.

Teoria jocurilor

Exemplu [2] Fie jocul cu doi parteneri P1 şi P2 ce constă în 3 mutări libere. O mutare înseamnă alegerea unuia dintre numerele a sau b, a ≠ b. La prima mutare P1 alege liber pe a sau pe b; la a doua mutare P2, informat asupra alegerii făcute de P1, alege la rândul său unul din numerele a sau b. În sfârşit, la a treia mutare P1, informat asupra alegerii făcute de P2, alege unul dintre numerele a sau b. Observăm că este un joc în doi, cu mutări libere şi informaţie completă ce poate fi reprezentat printr-un arbore de forma: (1, -1) (2, 1) (-1, 2) (3, 1) (-2, 1) (1, -3) (2, 3) (1, 2) a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

1

1

1

1

a

b

2

2 0 1

Vârful 0 arată momentul iniţial, iar cifra 1 scrisă sub 0 arată că prima mutare este a lui P1. Din 0 pornesc două muchii spre vârfurile a şi b, ce reprezintă alegerile lui P1. Sub a şi b scriem 2, pentru că următoarea mutare este a lui P2. Din fiecare vârf pornesc două muchii spre alte vârfuri a şi b, reprezentând alegerile lui P2 şi sub aceste vârfuri scriem 1 deoarece P1 face următoarea mutare spre alte vârfuri notate a şi b (care vor fi vârfuri terminale). Sub ele nu mai scriem nimic, dar fiecăruia îi asociem un vector


bidimensional (p1, p2) ale cărui componente reprezintă respectiv câştigurile celor doi jucători, decurgând din regulile jocului. S-au obţinut 8 vârfuri terminale ce vor determina tot atâtea partide, deoarece o partidă este reprezentată de un lanţ ce leagă vârful 0 de unul din vârfurile terminale. Cele 8 partide sunt: (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a) şi (b, b, b). Jocul nu este cu sumă nulă deoarece dacă, de exemplu, s-ar realiza partida (a, a, b) avem p1 = 2, p2 = 1 şi p1 + p2 = 3 ≠ 0. Mulţimea strategiilor jucătorului P1 este: A = ⎨(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)⎬, unde primul element din fiecare pereche reprezintă numărul ales la prima mutare, iar al doilea element indică numărul ales la a treia mutare. Mulţimea strategiilor lui P2 este: B = ⎨(a), (b)⎬, reprezentând alegerile la a doua mutare. Asociem jocului considerat un tabel cu două intrări A = ⎨A1, ...,A4⎬ - strategiile lui P1 şi B = ⎨B1, B2⎬, strategiile lui P2. La intersecţia liniei lui Ai cu coloana lui Bj avem un dreptunghi în care deasupra diagonalei am scris partida, iar dedesubt vectorul (pi, pj) al câştigurilor celor doi jucători, când aceştia aleg strategiile Ai, respectiv Bj. B A A1 = (a, a) A2 = (a, b) A3 = (b, a) A4 = (b, b)

B1 = (a)

B2 = (b)

(a, a, a) (1, -1)

(a, b, a) (-1, 2)

(a, a, b) (2, 1)

(a, b, b) (3, 1)

(b, a, a) (-2, 1)

(b, b, a) (2, 3)

(b, a, b) (1, -3)

(b, b, b) (1, 2)

Teoria jocurilor

Din acest exemplu observăm că există diferite moduri de reprezentare a unui joc, cu ajutorul unui arbore sau matricial. Observaţie: Dacă în acelaşi joc considerăm câştigurile date de următoarea corespondenţă: (a, a, a) → (2, -2)

(b, a, a) → (1, -1)

(a, a, b) → (-1, 1)

(b, a, b) → (3, -3)

(a, b, a) → (4, -4)

(b, b, a) → (-2, 2)

(a, b, b) → (5, -5)

(b, b, b) → (-3, 3)

jocul va fi: finit, cu informaţie completă, cu mutări libere şi cu sumă nulă, deoarece p1 + p2 = 0 pentru orice vector (p1, p2). În acest caz reprezentarea matricială poate fi simplificată, scriind în locul vectorului (p1, p2) doar câştigul p1 al lui P1, deoarece cel al lui P2 e cunoscut, egal cu – p1. Forma simplificată a matricei este:

A A1 = (a, a) A2 = (a, b) A3 = (b, a) A4 = (b, b)

B B1 = (a) B2 = (b) 2 -1 1 3

4 5 -2 -3

2. Jocuri matriceale Fie un joc finit între doi jucători, în care un jucător are m strategii pure, iar celălalt n strategii pure. Un astfel de joc se numeşte joc m × n sau joc matriceal. Dacă jocul este cu sumă nulă, el se va numi antagonist. În


acest din urmă caz, funcţia de câştig se poate prezenta sub forma unui tabel de plăţi, adică o matrice m × n, notată cu A, astfel: ⎛ a11 L a1n ⎞ ⎟ ⎜ M M ⎟ sau A = (aij), i = 1, m , j = 1, n . A= ⎜ M ⎟ ⎜a ⎝ m1 L a mn ⎠

Matricea A se numeşte matricea jocului (matricea câştigurilor). Elementul aij este câştigul jucătorului P1 când alege strategia Ai şi jucătorul P2 alege strategia Bj. Această formă matriceală de prezentare a jocului se va numi forma normală. Caracteristicile esenţiale ale unui joc sunt: a) mulţimea

strategiilor

pure

ale

jucătorului

P 1,

notată

pure

ale

jucătorului

P 2,

notată

A = ⎨A1,..., Am⎬;

b) mulţimea

strategiilor

B = ⎨B1,...,Bn⎬;

c) funcţia de câştig f: A × B → ℝ, definită prin f(Ai, Bj) = aij, i = 1, m , j = 1, n . Imaginea prin f a produsului cartezian A × B este matricea A. Matricea A se scrie deci în raport cu un singur jucător şi anume P1, primul jucător (numit şi jucătorul maximizant, din punct de vedere formal – ambii jucători urmărind acelaşi scop). Când P1 câştigă valoarea aij, P2 plăteşte lui P1 valoarea aij, i = 1, m , j = 1, n . Pentru P2 toate elementele matricei au semn contrar (fiind un joc cu sumă nulă). P2 se mai numeşte jucător minimizant. Vom nota jocul definit în condiţiile de mai sus prin tripletul: G = (A, B, f).

Teoria jocurilor

Exemplu

În jocul numit „aruncarea monedei”, fiecare jucător alege liber stema (S) sau valoarea (V). Dacă alegerile coincid, jucătorul P1 primeşte de la P2 un euro. Dacă alegerile diferă, P2 primeşte de la P1 un euro. Atunci forma normală a jocului pentru P1 este: P2 (S) P1 (S) 1 (V) -1

(V) -1 1

2.1 Jocuri cu punct şa

Fie un joc G = (A, B, f), cu matricea A = (aij), i = 1, m , j = 1, n . Jucătorii sunt consideraţi la fel de competenţi. Ei aderă la un principiu de comportare, născut din raţionalitate. Astfel, P1 va acţiona aşa încât cel mai mic câştig asigurat pe care îl poate obţine de la P2 să fie cât mai mare, iar P2 urmăreşte să facă pe cât posibil mai mică, cea mai mare valoare pe care ar trebui să o dea lui P1. Acest principiu poartă numele de principiul minimax. Dacă P1 va alege strategia Ai ∈ A, se aşteaptă ca P2 să aleagă acea strategie Bj ∈ B care să ofere un câştig cât mai mic pentru P1. Fie acesta αi = min aij, i = 1, m . 1≤ j≤ n

Dintre cele m strategii pure, P1 va alege acea strategie Ai care dă cea mai mare valoare a lui αi. Notând: α = max αi = max min aij i

i

j

α se va numi valoarea inferioară a jocului şi se mai notează v G .


Strategia care asigură lui P1 un câştig egal cu v G se numeşte strategie maximin. Dacă P2 alege strategia Bj ∈ B, se aşteaptă ca P1 să aleagă strategia Ai ∈ A care îi asigură acestuia un câştig cât mai mare. Fie

βj = max aij, j = 1, n . 1≤ i ≤ m

Dintre cele n strategii pure, P2 va alege acea strategie Bj care dă cel mai mic câştig lui P1, adică cea care dă cea mai mică valoare lui βj. Notând β = min βj = min max aij j

j

i

β se va numi valoarea superioară a jocului şi se mai notează cu v G .

Strategia care asigură lui P2 o pierdere egală cu v G se numeşte strategie minimax. Exemplu

Fie jocul caracterizat de matricea: B A

A1 A2 A3

B1

B2 B3

B4

0 1 2

1 0 4

2 2 3

-2 3 -3

Dacă P1 alege strategia A1 vizând câştigul a14 = 2, P2 poate alege strategia B3, obligându-l pe P1 la un câştig a13 = -2 (adică o pierdere); când P1 alege A2, P2 poate răspunde cu B2 şi P1 câştigă a12 = 0, iar când P1 alege A3, P2 poate alege strategia B3 şi P1 câştigă atunci a31 = -3. Să determinăm valorile inferioară şi superioară ale jocului. Calculând αi = min aij, i = 1,3 , obţinem: 1≤ j≤ 4

α1 = min⎨0,1,-2,2⎬ = -2

Teoria jocurilor

α2 = min⎨1,0,3,2⎬ = 0 α3 = min⎨2,4,-3,3⎬ = -3

Valoarea inferioară a jocului este: v G = max αi = max⎨-2,0,-3⎬ = 0 = α2. 1≤ i ≤ 3

Determinăm βj = max aij, j = 1,4 . Obţinem: 1≤ i ≤ 3

β1 = max⎨0,1,2⎬ = 2 β2 = max⎨1,0,4⎬ = 4 β3 = max⎨-2,3,-3⎬ = 3 β4 = max⎨2,3⎬

= 3.

Valoarea superioară a jocului este: v G = min βj = min⎨2,4,3⎬ = 2 = β1. 1≤ j≤ 4

De aici rezultă că strategia maximin este A2, iar strategia minimax este B1. Observaţie: Calculele de mai sus pot fi simplificate prin organizarea

lor într-un tabel obţinut din cel iniţial, la care se adaugă coloana elementelor αi şi linia elementelor βj, astfel:

B A

A1 A2 A3 βj

B1

B2 B3

B4

αi

0 1 2 2

1 0 4 4

-2 3 -3 3

2 2 3 3

-2 0 -3 0 2

Dacă într-un joc avem: vG = vG = v valoarea comună v se numeşte valoarea jocului. Elementul aij în care se realizează această egalitate se numeşte punct şa, iar jocul respectiv se va


numi joc cu punct şa. Strategiile Ai şi Bj corespunzătoare punctului şa aij formează o pereche de strategii minimax şi se vor numi strategii optime. Ele determină valoarea jocului care este egală cu elementul corespunzător punctului şa. Exemplu

Fie jocul cu matricea: B A

A1 A2 A3 A4 βj

B1

B2

B3

B4

αi

1 3 2 3 3

6 3 1 4 6

0 5 0 5 5

3 6 9 7 9

0 3 0 3 α=3 β=3

Observăm că α = v G = 3 = v G = β Elementul a21 = 3 va fi punctul şa. Strategiile A2 şi B1 sunt strategii optime, iar valoarea jocului este v = 3. Observaţii: 1) Şi elementul a41 = 3 este punct şa, deci şi strategiile A4 şi B1 sunt

optime, iar valoarea jocului este tot v = 3. Deci punctul şa nu este unic. 2) Abaterea de la strategia optimă poate duce la micşorarea

câştigului lui P1. De exemplu, dacă P1 alege A3 şi P2 îi răspunde cu B3, câştigul său este a33 = 0, deci scade (tentaţia fiind aceea de a obţine câştigul maxim, egal cu 9). 3) Elementul a21 = 3 este cel mai mic de pe linia şi cel mai mare de

pe coloana pe care se află. La fel a41 = 3. Aceasta justifică şi denumirea de punct şa.

Teoria jocurilor

Exemplu

Fie jocul cu matricea: B A

A1 A2 A3 A4

B1

B2

B3

B4

B5

4 3 1 2

-1 -2 2 -6

2 0 0 3

1 -1 -1 1

3 2 -2 0

Observăm că strategia A1 are toate câştigurile respectiv mai mari ca ale strategiei A2. Jucătorul P1 care doreşte un câştig cât mai mare nu va alege A2, pentru că poate câştiga mai mult prin A1 oricare ar fi strategia aleasă de P2. Spunem că strategia A1 domină strategia A2, care este dominată. A2 poate fi eliminată din joc. Pentru jucătorul P2, strategia B4 domină strategiile B1 şi B3, acestea din urmă conducând la pierderi mai mari pentru P2 decât B4. Deci se poate renunţa la B1 şi B3 şi matricea A se reduce la: 3 ⎞ ⎛ −1 1 ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 −1 − 2⎟ . ⎜− 6 1 0 ⎟⎠ ⎝

În concluzie, o strategie pură domină o altă strategie pură dacă duce la câştiguri mai bune decât aceasta din urmă. Un jucător nu trebuie să folosească niciodată strategii dominate, acestea fiindu-i nefavorabile. Din matricea A se elimină liniile care au toate elementele respectiv mai mici sau egale cu ale altei linii şi coloanele ce au toate elementele respectiv mai mari sau egale decât ale altei coloane. Acest principiu poartă numele de principiul dominării strategiilor. Aplicarea lui conduce la reducerea

ordinului matricei A şi a volumului de calcule. Se poate demonstra că


eliminarea strategiilor dominate conduce la un joc care are aceeaşi valoare ca şi jocul iniţial. Să observăm că jocul „redus”, rezultat prin eliminarea strategiilor dominate nu are punct şa, deci nici cel iniţial.

2.2 Jocuri fără punct şa

În jocurile fără punct şa, un jucător îşi poate majora câştigul folosind altă strategie decât cea minimax dacă este informat asupra comportării adversarului. Informaţii asupra comportamentului adversarului se pot obţine prin repetarea partidelor, dacă acesta îşi menţine în toate partidele strategia minimax. Un jucător nu trebuie să folosească mereu aceeaşi strategie şi nici să folosească strategiile după o regulă ce poate fi descoperită de adversar. Va fi necesară alternarea strategiilor pure, cu anumite probabilităţi. În cele ce urmează vom vedea că, în cazul unui joc matriceal fără punct şa, valoarea jocului o vom determina folosind un alt joc matriceal asociat primului, numit joc mediat, notat Γ = (X, Y, ϕ), unde: a) X = ⎨x ⎪ x = (x1, ..., xm), xi ≥ 0, i = 1, m ,

m

∑x i =1

i

= 1⎬, cu

xi = P(Ai), i = 1, m reprezentând probabilitatea de alegere a strategiei Ai, iar X este mulţimea strategiilor mixte pentru P1; b) Y = ⎨y ⎪ y = (y1, ..., yn), yj ≥ 0, j = 1, n ,

n

∑y j =1

j

= 1⎬ unde

yj = P(Bj), j = 1, n , este probabilitatea de alegere a strategiei Bj, iar Y mulţimea strategiilor mixte pentru P2;

Teoria jocurilor

c) ϕ: X × Y → ℝ, cu: m

n

∑∑ a x y

ϕ(x, y) =

i =1 j =1

ij i

j

dacă P1 foloseşte strategia mixtă

x = (x1, ..., xm), iar P2 foloseşte strategia mixtă y = (y1, ..., yn). Dacă introducem variabila aleatoare: ⎛a (x, j): ⎜⎜ 1 j ⎝ x1

ϕ(x, j) =

a 2 j L a mj ⎞ ⎟ , valoarea medie a acesteia o notăm: x 2 L x m ⎟⎠

m

∑a i =1

ij

xi

şi reprezintă câştigul mediu realizat de P1 când

foloseşte strategia mixtă x = (x1, ..., xm), iar P2 foloseşte strategia pură Bj. Analog, variabila aleatoare: a i 2 L a in ⎞ ⎟ va avea valoarea medie: y 2 L y n ⎟⎠

⎛a (i, y): ⎜⎜ i1 ⎝ y1

ϕ(i, y) =

n

∑a y j =1

ij

j

şi reprezintă câştigul mediu realizat de P1 când

foloseşte strategia Ai iar P2 foloseşte strategia mixtă y = (y1, ..., yn). Atunci, putem scrie că: ϕ(x, y) =

m

n

m

n

i =1

j=1

∑∑ a ijx i y j = ∑ x iϕ(i, y) = ∑ y jϕ( x, j) , de unde se vede i =1 j=1

că ϕ(x, y) semnifică valoarea medie a jocului, care se mai scrie matriceal astfel: ϕ(x, y) = xAyT. Pentru jocul mediat Γ = (X, Y, ϕ), vom defini valoarea inferioară v Γ şi valoarea superioară v Γ prin expresiile: v Γ = max min ϕ(x, y) x∈X

y∈Y

v Γ = min max ϕ(x, y) y∈Y

x∈X


Prezentăm acum, cu sau fără demonstraţie, câteva rezultate din teoria funcţiilor de mai multe variabile reale ce vor fundamenta principiile matematice ale jocurilor matriceale. Teorema 1

Fie X, Y două subspaţii ale unor spaţii liniare şi f: X × Y →ℝ. Dacă există mărimile: max min f(x, y) şi min max f(x, y), atunci x∈X

y∈Y

y∈Y

x∈X

max min f(x, y) ≤ min max f(x, y). x∈X

y∈Y

y∈Y

(1)

x∈X

Demonstraţie:

Notăm g(x) = min f(x, y), (∀) x ∈ X şi h(y) = max f(x, y), (∀) y ∈Y. y∈Y

x∈X

Din definiţia extremelor, avem: g(x) ≤ f(x, y), (∀) y ∈Y şi (∀)x ∈ X Atunci: max g(x) ≤ max f(x, y) = h(y), (∀) y ∈Y, şi deci: x∈X

x∈X

max g(x) ≤ min h(y). x∈X

y∈Y

Revenind la semnificaţiile lui g şi h, rezultă relaţia (1). Consecinţă 1. Pentru orice joc matriceal G = (A, B, f) există v G şi v G şi v G ≤ v G .

Demonstraţie:

Existenţa celor două valori, v G şi v G rezultă din faptul că f are o mulţime finită de valori. Şi dacă în teorema 1 X = A, Y = B şi f (Ai, Bj) = aij pentru orice Ai ∈ A şi Bj ∈ B, atunci relaţia (1) devine v G ≤ v G .

Teoria jocurilor

Teorema 2

În ipotezele teoremei 1, o condiţie necesară şi suficientă ca max min f(x, y) = min max f(x, y). x∈X

y∈Y

y∈Y

(2)

x∈X

este să existe x0 ∈ X şi y0 ∈ Y şi un număr w ∈ ℝ astfel încât: f(x, y0) ≤ w ≤ f(x0, y), pentru orice x ∈ X şi y ∈ Y. (3) Demonstraţie: Necesitatea: Presupunem relaţia (2) adevărată. Fie x0 ∈ X punctul

care maximizează expresia min f(x, y) şi fie y0 ∈ Y punctul care y∈Y

minimizează expresia max f(x, y), adică: x∈X

min f(x0, y) = max min f(x, y) y∈Y

x∈X

y∈Y

max f(x, y0) = min max f(x, y). y∈Y

x∈X

x∈X

De aici şi din relaţia (2) rezultă că: min f(x0, y) = max f(x, y0) = w. y∈Y

x∈X

De unde, evident f(x0, y) ≥ w şi f(x, y0) ≤ w, (∀) x ∈ X şi (∀) y ∈ Y, adică relaţia (3). Suficienţa: Presupunem că există x0 ∈ X, y0 ∈ Y şi w ∈ℝ astfel

încât relaţia (3) să fie adevărată. Din f(x0, y) ≥ w, (∀) y ∈ Y, rezultă că şi min f(x0, y) ≥ w. y∈Y

Analog, din f(x, y0) ≤ w, (∀) x ∈ X, rezultă că şi max f(x, y0) ≤ w, x∈X

deci max f(x, y0) ≤ w ≤ min f(x0, y), (∀) x ∈ X, (∀) y ∈ Y. y∈Y

x∈X

Dar min max f(x, y) ≤ max f(x, y0) ≤ w y∈Y

x∈X

x∈X


max min f(x, y) ≥ min f(x0, y) ≥ w x∈X

y∈Y

y∈Y

şi de aici, în baza tranzitivităţii relaţiei „≤”, rezultă că: min max f(x, y) ≤ max min f(x, y). y∈Y

x∈X

y∈Y

x∈X

Această relaţie, împreună cu relaţia (1), implică w = max min f(x,y) = min max f(x,y), fapt ce încheie demonstraţia. y∈Y

x∈X

y∈Y

x∈X

Definiţie: Fie f: X × Y →ℝ. Punctul (x0, y0) ∈ X × Y este punct şa

pentru f dacă: f(x, y0) ≤ f(x0, y0) ≤ f(x0, y), (∀) x ∈ X şi (∀) y ∈ Y. Consecinţă 2: Dacă G = (A, B, fG) este un joc matriceal m × n, atunci

o condiţie necesară şi suficientă ca v G = v G = w este ca fG să admită un punct şa. Demonstraţie:

Se aplică teorema 2, în care X = A, Y = B, fG(Ai, Bj) = aij, i = 1, m , j = 1, n , luând w = fG(Aio, Bj0). Condiţia necesară şi suficientă de existenţă a punctului şa este să existe perechea de strategii pure Aio, Bjo astfel încât: aiojo = max min aij = min max aij i

j

j

i

adică elementul aiojo este cel mai mic din linia i0 şi în acelaşi timp cel mai mare din coloana j0. Strategiile A i 0 şi B j0 corespunzătoare punctului şa sunt strategii optime.

Teoria jocurilor

Teorema 3. (teorema fundamentală de minimax)

Fie un joc G = (A, B, f) de două persoane, caracterizat de matricea jocului A = (aij), i = 1, m , j = 1, n şi fie Γ = (X, Y, ϕ) jocul mediat corespunzător. Atunci există expresiile: v Γ = max min ϕ(x, y) şi v Γ = min max ϕ(x, y) şi v Γ = v Γ . y∈Y

x∈X

y∈Y

x∈X

Demonstraţie:

Să demonstrăm existenţa valorilor v Γ şi v Γ . Pentru orice y = (y1, ..., yn) ∈ Y funcţia ϕ(x, y) =

m

n

∑∑ a x y ij i

i =1 j =1

este funcţie de x = (x1, ..., xm) ∈X,

j

continuă şi liniară. Într-adevăr: n

n

j =1

j =1

ϕ(x, y) = x1 ∑ a1 j y j + ... + x m ∑ a mj y j , deci este mărginită şi îşi atinge

marginile pe X. Deci există max ϕ(x, y) pentru orice y ∈Y, iar această funcţie este x∈X

liniară în y ∈ Y, deci este şi continuă. Cum Y este o parte închisă a lui ℝn, rezultă că există max min ϕ(x, y). x∈X

y∈Y

Analog se arată că există min max ϕ(x, y) şi existenţa e demonstrată. y∈Y

x∈X

Din teorema 1, relaţia (1) putem scrie că

max min ϕ(x, y) ≤ min max ϕ(x, y) x∈X

y∈Y

adică v Γ ≤ v Γ .

y∈Y

x∈X

(4)


Pentru demonstrarea inegalităţii inverse dăm, fără demonstraţie: Lema 1 (lema fundamentală a dualităţii):

Dacă A = (aij), i = 1, m , j = 1, n şi x = (x1, ..., xm), y = (y1, ..., yn) îndeplinesc condiţiile: m

∑x

xi ≥ 0,

i =1

i

= 1, yj ≥ 0,

n

∑y j=1

j

= 1, atunci există o pereche de

asemenea vectori x, y pentru care numai una din următoarele situaţii este adevărată: i)

m

∑a x i =1

ii)

ij i

n

∑a j=1

ij

≥ 0, j = 1, n ;

y j ≤ 0, i = 1, m .

Aplicând această lemă pentru matricea jocului A, dacă are loc prima situaţie (i), înseamnă că există x = (x1, ..., xm) astfel încât a1jx1 +...+amjxm ≥0, (∀) j = 1, n , de unde: ϕ(x, y) =

n

∑ (a j=1

1j

x 1 + ... + a mj x m ) y j ≥ 0, (∀) y ∈ Y, deci

min ϕ(x, y)≥0, de unde rezultă că şi max min ϕ(x, y)≥0. y∈Y

x∈X

y∈Y

Dacă situaţia (ii) din lemă este adevărată, există y = (y1, ..., yn) ∈ Y astfel încât ai1y1 + ... + ainyn ≤ 0, i = 1, m , de unde: ϕ(x, y) =

m

∑ (a i =1

y + ... + a in y n ) x i ≤ 0, (∀) x ∈ X, deci şi

i1 1

max ϕ(x, y) ≤ 0, de unde rezultă că şi min max ϕ(x, y) ≤ 0. x∈X

y∈Y

x∈X

Teoria jocurilor

Cum numai una dintre cele două situaţii din lemă are loc, niciodată nu se va verifica relaţia max min ϕ(x, y) < 0 < min max ϕ(x, y) x∈X

y∈Y

y∈Y

(5)

x∈X

Fie Gk = (A, B, fk) având matricea Ak = (aij – k); i = 1, m , j = 1, n , k ∈ℝ şi jocul mediat corespunzător Γk = (X, Y, ϕk), ϕk fiind câştigul mediu în jocul mediat cu matricea Ak, adică: m

n

m

i =1 j=1

Cum

∑∑ x y i

i

n

m

n

∑∑ (a ij − k )x i y j =∑ ∑ a ijx i y j − k ∑∑ x i y j .

ϕk(x, y) =

j

i =1 j=1

i =1 j=1

= 1, obţinem:

j

ϕk(x, y) = ϕ(x, y) – k

(6)

Pentru jocul Γk, rezultă din (5) că nu poate avea loc inegalitatea: max min ϕk(x, y) < 0 < min max ϕk(x, y) x∈X

y∈Y

y∈Y

x∈X

sau ţinând seama de (6) nu poate avea loc relaţia max min ϕ(x, y) – k < 0 < min max ϕ(x, y) – k x∈X

y∈Y

y∈Y

x∈X

care se mai scrie: max min ϕ (x, y) < k < min max ϕ(x, y), (∀) k ∈ℝ. x∈X

y∈Y

y∈Y

x∈X

Negarea acestei ultime relaţii implică:

max min ϕ(x, y) ≥ min max ϕ(x, y) sau x∈X

y∈Y

y∈Y

x∈X

vΓ ≥ vΓ , care, împreună cu (4), dau vΓ = vΓ . Definiţie. Valoarea unui joc matriceal G = (A, B, f) cu f(A × B) = A,

A = (aij), i = 1, m , j = 1, n fără punct şa este dată de valoarea vΓ = v Γ = v a jocului mediat Γ = (X, Y, ϕ) asociat lui.


Consecinţă 3: Orice joc matriceal mediat are o valoare şi deci şi o

soluţie. În mulţimea strategiilor X şi Y există cel puţin o pereche de strategii mixte x0, y0 pentru care: ϕ(x0, y0) = max min ϕ(x, y) = min max ϕ(x, y). x∈X

y∈Y

y∈Y

x∈X

Teorema 4 [6]

Dacă G = (A, B, f) şi Γ(X, Y, ϕ) jocul mediat asociat, atunci: v G ≤ vΓ ≤ vΓ ≤ v G Teorema 5 [6]

Asupra matricei A = (aij) a unui joc se pot efectua următoarele operaţii: a) dacă se permută liniile (coloanele) între ele, valoarea jocului nu se schimbă şi nici probabilităţile de folosire a strategiilor de către jucătorul P1 (respectiv P2); b) dacă la fiecare element aij din matricea A a unui joc matriceal de valoare v se adaugă acelaşi număr real k, atunci strategiile mixte optime rămân neschimbate, iar valoarea jocului devine v’ = v + k; c) dacă toate elementele matricei A dintr-un joc matriceal de valoare v se înmulţesc cu acelaşi număr k > 0, atunci strategiile mixte optime rămân neschimbate, iar valoarea jocului devine v’ = kv.

2.3 Rezolvarea jocurilor matriceale Teorema 3 (teorema minimax) asigură existenţa strategiilor optime

în jocuri de două persoane cu sumă nulă. Ne preocupă să găsim modul cum

Teoria jocurilor

pot fi calculate aceste strategii. În cele ce urmează, vom prezenta câteva metode pentru soluţia unor jocuri matriceale.

2.3.a Jocuri 2 × 2

Considerăm jocul matriceal cu: a 12 ⎞ ⎛a ⎟⎟ . A = ⎜⎜ 11 ⎝ a 21 a 22 ⎠ Dacă jocul are punct şa, rezolvarea sa e banală. Presupunem că jocul nu are punct şa. Atunci strategiile optime x = (x1, x2) şi y = (y1, y2) vor avea toate componentele pozitive. Valoarea jocului v este: v = ϕ(x, y) = a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 şi se mai scrie: x1(a11y1 + a12y2) + x2(a21y1 + a22y2) = v

(7)

Cum y este strategie optimă, fiecare expresie din paranteze este cel mult egală cu v. Dacă presupunem că una e strict mai mică decât v, de exemplu: a11y1 + a12y2 < v a21y1 + a22y2 ≤ v cum x1 > 0 şi x1 + x2 = 1 ar rezulta că membrul stâng din (7) este mai mic ca v. Deci va trebui ca: a11y1 + a12y2 = v a21y1 + a22y2 = v. Raţionând analog se obţine: a11x1 + a21x2 = v a12x1 + a22x2 = v.


Sau matriceal: ⎛ v⎞ AyT = ⎜⎜ ⎟⎟ şi xA = (v, v). ⎝ v⎠

(8)

Notând J = (1, 1) şi ţinând seama că x1 + x2 = 1 şi y1 + y2 = 1, găsim formulele de calcul pentru x, y şi v. Dacă A este nesingulară, din (8) avem: xA = vJ şi x = vJA-1.

(8’)

Dar x1 + x = 1 este echivalentă cu xJT = 1. În (8’), înmulţind cu JT, avem: vJA-1JT = xJT = 1 de unde: v=

1 JA −1J T

.

Atunci, din (8’) vom avea: x=

JA −1 . JA −1J T

Prima relaţie din (8) se mai scrie: AyT = vJT, de unde: yT = A-1(vJT) =

A −1J T . JA −1J T

Dacă A este singulară (A-1 nu există), echivalentele formulelor de mai sus vor fi ([16]): x=

A * JT |A| JA * T = ; y ; v= , T T JA * J JA * J JA * J T

(9)

unde A* este matricea adjunctă a lui A, ⎪A⎪ determinantul lui A şi J = (1,1). Aceste formule se verifică şi când A este inversabilă.

Teoria jocurilor

Exemplu

Să se determine soluţia jocului matriceal: ⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝ 0 3⎠

Rezolvare ⎛ 3 − 1⎞ ⎟⎟ , ⎪A⎪ = 6, Jocul nu are punct şa. Matricea A* = ⎜⎜ ⎝0 2 ⎠ ⎛ 3 − 1⎞ ⎟⎟ = (3, 1); A*JT = JA* = (1,1) ⎜⎜ 0 2 ⎝ ⎠

⎛ 3 − 1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ 0 2 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ 2⎞ JA*JT = (1, 1) ⎜⎜ ⎟⎟ = 4. ⎝ 2⎠

Introducând rezultatele obţinute în (9) avem: 3 ⎛1 1⎞ ⎛3 1⎞ x = ⎜ , ⎟, y = ⎜ , ⎟ , v = . 2 ⎝ 2 2⎠ ⎝ 4 4⎠ Observaţie: Metoda de mai sus poate fi aplicată în rezolvarea

matriceală a jocurilor, în care dacă notăm matricea câştigurilor cu C = (cij), i = 1, m , j = 1, n , pentru jocul Γ = (X, Y, f), soluţia şi valoarea jocului se determină ([9], [21]) cu ajutorul formulelor: x=

JrA * J r (A*)T |A| = , y , v= T * T JrA * Jr JrA Jr J r A * J Tr

(9’)

În relaţiile (9’) avem: - A o matrice nesingulară a lui C, de ordinul r, 2 ≤ r ≤ min(m, n); - ⎪A⎪ este determinantul matricei A; - Jr = (1, ..., 1), matrice de ordinul 1 × r;


Determinarea soluţiei se face astfel: a) se caută toate submatricele nesingulare A, pornind de la r = min(m,n); b) se rezolvă jocurile corespunzătoare matricelor de la a), care admit numai strategii pozitive; c) în

x

şi

y

se completează cu zerouri componentele

corespunzătoare liniilor şi coloanelor din C care nu intră în A, obţinând strategiile x0 şi y0; d) se verifică condiţiile corespunzătoare relaţiilor (8), date de criteriul Neumann şi anume x0A = vJ şi AyT = vJT. Dacă aceste relaţii sunt îndeplinite x0 şi y0 sunt strategii optime ale jocului Γ, iar v este valoarea jocului.

2.3.b Jocuri 2 × n şi m × 2

În acest caz presupunem că cel puţin un jucător posedă numai două strategii pure. Fie P1 jucătorul ce are numai două strategii pure, adică analizăm cazul 2 × n. Jocurile m × 2 se tratează într-un mod similar. Dacă matricea jocului este: ⎛ a ...a ⎞ A = ⎜⎜ 11 1n ⎟⎟ ⎝ a 21 ...a 2 n ⎠

şi x = (x1, x2) e strategia jucătorului P1, atunci acesta urmăreşte să maximizeze funcţia v(x) – valoarea jocului.

Teoria jocurilor

Modelul matematic al jocului pentru P1 este: a11x1 + a21x2 ≥ v ∶

a1nx1 + a2nx2 ≥ v x1 + x2 = 1 x1, x2 ≥ 0 şi poate fi adus la forma matematică a unui model de programare liniară având necunoscutele x1, x2 şi v, astfel: [max]f = v a11x1 + a21x2 – v ≥ 0 ∶

a1nx1 + a2nx2 – v ≥ 0 x1 + x2 = 1 x1, x2 ≥ 0, v – oarecare. Exemplu

Să se determine strategia optimă a jucătorului P1 în jocul definit de matricea:

⎛ − 2 4 − 4⎞ ⎟⎟ . A = ⎜⎜ ⎝ 8 − 6 16 ⎠ Rezolvare

Strategiile lui P1 verifică sistemul: -2x1 + 8x2 ≥ v 4x1 – 6x2 ≥ v -4x1 + 16x2 ≥ v x1 +x2 = 1 x1, x2 ≥ 0, v – oarecare.


Forma

matematică

a

modelului

de

programare

liniară

necunoscutele x1, x2 şi v va fi: [max]f = v -2x1 + 8x2 – v ≥ 0 4x1 – 6x2 – v ≥ 0 -4x1 + 16x2 – v ≥ 0 x1 +x2 = 1 x1, x2 ≥ 0, v – oarecare. Cum x1 = 1 – x2, x1, x2 ∈ [0,1], modelul de mai sus devine: [max]f = v 10x2 – v ≥ 2 10x2 + v ≤ 4 20x2 – v ≥ 4 x2 ∈ [0,1], v – oarecare.

4 2 1

v = -4+20x2

v

v = -2+10x2

Rezolvăm grafic această problemă şi obţinem:

M(0,3; 1)

0

1

-1 -2 -4

v = 4-10x2

x2

în

Teoria jocurilor

Regiunea haşurată conţine mulţimea punctelor ce satisfac restricţiile modelului de programare liniară. Punctul M aflat la intersecţia dreptelor generate de restricţiile 1 şi 2 (deci corespunzătoare coloanelor 1 şi 2 din A) are abcisa x2 = 0, 3 şi ordonata v = 1. Atunci strategia lui P1 este x = (x1, x2), unde x2 = 0, 3 şi x1 = 1 – x2 = 0,7 şi valoarea jocului este v = 1. Observaţie: Aceste valori pot fi obţinute cu formulele (9) pentru

jocul matriceal 2 × 2 format din coloanele 1 şi 2 ale matricei A. Fie

⎛− 2 4 ⎞ ⎟⎟ . Într-adevăr, A0 = ⎜⎜ ⎝ 8 − 6⎠ ⎛ − 6 − 4⎞ ⎛ − 6 − 4⎞ ⎟⎟ , ⎪A0⎪ = - 20, JA*0 = (1,1)⎜⎜ ⎟⎟ = (-14, -6). A *0 = ⎜⎜ ⎝ − 8 − 2⎠ ⎝ − 8 − 2⎠ ⎛ − 6 − 4 ⎞⎛1⎞ ⎛ − 10 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ; JA *0 JT = (1,1) A*0 J T = ⎜⎜ ⎝ − 8 − 2 ⎠⎝1⎠ ⎝ − 10 ⎠ x=

JA*0 1 = − (-14, -6) = (0,7; 0,3). * T JA 0 J 20

v=

| A 0 | − 20 = = 1. JA *0 J T − 20

yT =

⎛ − 10 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = - 20. ⎝ − 10 ⎠

A*0 J T 1 ⎛ − 10 ⎞ ⎛ 0,5 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ de unde y = (0,5; 0,5; 0). = − ⎜⎜ * T JA 0 J 20 ⎝ − 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 0,5 ⎟⎠

Am obţinut astfel şi strategia optimă a lui P2.

2.3.c Rezolvarea jocurilor matriciale prin programare liniară

Fie jocul G = (A, B, f) cu matricea A = (aij), i = 1, m , j = 1, n de valoare v, având jocul mediat corespunzător Γ = (X, Y, ϕ).


Dacă jucătorul P1 foloseşte strategiile Ai, cu probabilităţile xi, i = 1, m , poate spera la un câştig egal cel puţin cu valoarea v a jocului, pentru orice strategie Bj, j = 1, n , a lui P2. Putem scrie sistemul de inecuaţii: a11x1 + ... + am1xm ≥ v a12x1 + ... + am2xm ≥ v (I)

∶

a1nx1 + ... + amnxm ≥ v x1 + ... + xm = 1 xi ≥ 0; i = 1, m .

Dacă jucătorul P2 foloseşte strategiile Bj cu probabilităţile yj, j = 1, n , el se aşteaptă la o pierdere cel mult egală cu valoarea v a jocului şi putem scrie sistemul de inecuaţii: a11y1 + ... + a1nyn ≤ v a21y1 + ... + a2nyn ≤ v (II)

∶

am1y1 + ... + amnyn ≤ v y1 + ... + yn = 1 yj ≥ 0; j = 1, n . Sistemul (I) corespunde condiţiei ϕ(x, j) ≥ v, j = 1, n , iar sistemul (II) corespunde condiţiei ϕ(i, y) ≤ v pe care trebuie să le verifice strategiile x = (x1, ..., xm) şi y = (y1, ..., yn) pentru a fi optime.

Teoria jocurilor

Pentru a transforma cele două sisteme în modele de programare liniară este necesar ca valoarea v a jocului să fie pozitivă. Deci vom presupune v > 0 (în caz contrar se face modificarea matricei A în A = ( a ij ) cu a ij = aij + k > 0, (∀)i = 1, m , j = 1, n şi k > 0. Notăm Xi =

yj xi , i = 1, m , Yj = , j = 1, n . v v

Condiţiile ca xi şi respectiv yj să fie probabilităţi, devin: X1 + ...+ Xm =

1 v

Y1 + ...+ Yn =

1 v

Deoarece jucătorul P1 urmăreşte obţinerea celei mai mari valori a câştigului v, deci a celei mai mici valori a lui

1 , el îşi propune să obţină v

minf = X1 + ... + Xm. Jucătorul P2 urmăreşte obţinerea celei mai mici pierderi v, adică cea mai mare valoare a lui

1 , deci îşi propune să obţină maxg = Y1 + ...+ Yn. v

Astfel sistemele (I) şi (II) corespunzătoare celor doi jucători se pot scrie ca un cuplu de probleme duale de programare liniară şi anume: [min]f =

1 = X1 + ...+ Xm v

a11X1 + ... + am1Xm ≥ 1 (I)

∶

a1nX1 + ... + amnXm ≥ 1 Xi ≥ 0, i = 1, m


[max]g =

1 = Y1 + ...+ Yn v

a11Y1 + ... + a1nYn ≤ 1 (II)

∶

am1Y1 + ... + amnYn ≤ 1 Yj ≥ 0, j = 1, n Prin rezolvarea uneia dintre cele două duale se obţin strategiile mixte optime ale ambilor jucători precum şi valoarea jocului v: v=

1 1 = . [min]f [max]g

Este de preferat rezolvarea lui II deoarece implică un volum mai mic de calcule. Exemplu

O firmă A doreşte să lanseze pe piaţă un anumit tip de produs în trei sortimente A1, A2, A3. Concurenta ei, firma B, prezintă produsul în sortimentele B1, B2, B3. Se cunoaşte, din sondajele făcute că dacă cumpărătorii trebuie să aleagă între sortimentul Ai, i = 1,3 şi Bj, j = 1,3 , ei preferă fie produsele firmei A (situaţie notată cu 1), fie pe cele ale firmei B (situaţie notată cu -1), fie sunt indiferenţi (situaţie notată cu 0), conform tabelului următor: Bj Ai A1 A2 A3

B1 B2

B3

1 -1 0

0 -1 1

-1 1 1

Să se determine strategia firmei A în faţa concurentei B.

Teoria jocurilor

Rezolvare

Fie x1, x2, x3 probabilităţile corespunzătoare celor 3 strategii pure ale firmei A şi y1, y2, y3 probabilităţile corespunzătoare strategiilor firmei B. Determinăm valoarea inferioară α şi valoarea superioară β a jocului. y

y1

y2

y3

αi

x1 x2 x3

1 -1 0

-1 1 1

0 -1 1

-1 -1 0

βj

1

1

1

x

0 1

α = max αi = 0 este valoarea inferioară a jocului şi β = min βj = 1 este valoarea superioară a jocului.

Deci jocul nu are punct şa, iar valoarea v a jocului are proprietatea că 0 ≤ v ≤ 1. Modelele duale de programare liniară vor fi: x1 + x2 + x3 =1 x1 – x2 (I)

≥v

-x1 + x2 + x3 ≥ v -x2 + x3 ≥ v xi ≥ 0, i = 1,3

sau cu notaţiile Xi =

xi 1 , i = 1,3 şi [min]f = v v


[min]f =

1 = X1 + X2 + X3 v

X1 – X2 ≥ 1 (I)

-X1 + X2 + X3 ≥ 1 -X2 + X3 ≥ 1 Xi ≥ 0, i = 1,3

pentru firma A, iar pentru firma B: y1 + y2 + y3 =1 ≤v

y1 – y2 (II)

-y1 + y2 - y3 ≤ v y2 + y3 ≤ v yj ≥ 0, j = 1,3

Cu notaţiile Yj = [max]g =

yj v

, j = 1,3 şi [max]g =

1 , avem: v

1 = Y1 + Y2 + Y3 v

Y1 – Y2 ≤ 1 (II)

-Y1 + Y2 - Y3 ≤ 1 Y2 + Y3 ≤ 1 Yj ≥ 0, j = 1,3

Se rezolvă prin algoritmul simplex al doilea model, aducând problema la forma standard.

Teoria jocurilor

Y1 – Y2 + Y4 = 1 -Y1 + Y2 – Y3 + Y5 = 1 Y2 + Y3 + Y6 = 1 Yj ≥ 0, j = 1,6 [max]g = B ←a4 a5 a6 a1 a5 ←a6 a1 a5 a2

1 = Y1 + Y2 + Y3 + 0(Y4 + Y5 + Y6) v

CB

YB

0 0 0 gj ∆j = cj - gj 1 0 0 gj ∆j = cj - gj 1 0 1 gj ∆j = cj - gj

1 1 1 0 1 2 1 1 2 2 1 3

1 a1 1↓ -1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 a2 -1 1 1 0 1 -1 ↓ 0 1 -1 2 0 0 1 1 0

1 a3 0 -1 1 0 1 0 -1 1 0 1 1 -1 1 2 -1

0 a4 1 0 0 0 0 1 1 0 1 -1 1 1 0 1 -1

0 a5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 a6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 -2

θ 1 -

1

[max]g = 3 = [min]f Y1 = 2, Y2 = 1, Y3 = 0 X1 = 1, X2 = 0, X3 = 2 Atunci v =

1 1 = . [max]g 3

y1 = vY1 =

2 1 1 1 1 ⋅ 2 = , y2 = vY2 = ⋅ 1 = , y3 = vY3 = ⋅ 0 = 0 3 3 3 3 3

x1 = vX1 =

2 1 1 1 1 ⋅ 1 = , x2 = vX2 = ⋅ 0 = 0, x3 = vX3 = ⋅ 2 = . 3 3 3 3 3

Firma A va avea strategia mixtă


2 1 x = ( , 0, ), adică va trebui să producă 33, 33% produse din 3 3 primul sortiment iar restul 66,66% din al treilea sortiment. Acest plan de producţie îi asigură firmei A un câştig, fără nici un risc, de concurenta ei, firma B, va avea o pierdere de

1 în vreme ce 3

1 . 3

În concluzie, în rezolvarea unui joc matricial se parcurg următorii paşi: Pasul 1. Se determină valoarea inferioară α şi valoarea superioară β

a jocului: - dacă α = β, jocul are punct şa, se determină strategiile pure şi valoarea jocului; - dacă α < β, jocul nu are punct şa; vor trebui determinate strategiile mixte optime şi valoarea jocului. Pasul 2. Se elimină strategiile dominate. Pasul 3. Ne asigurăm ca valoarea v a jocului să fie un număr pozitiv,

ştiind că v ∈ [α, β]. Pasul 4. Scriem modelul de programare liniară pentru jucătorul P2 şi

rezolvăm prin algoritmul simplex problema din care citim [max]g, Y1,...,Yn şi X1, ..., Xm. Pasul 5. Determinăm: v =

1 , xi = vXi, i = 1, m şi yj = vYj, [max]g

j = 1, n , adică soluţia optimă a problemei. Observaţie: Dacă matricea jocului este de forma 2 × 2 sau 2 × n, în

pasul 3 putem alege şi alte metode în afara algoritmului simplex, cum ar fi cele prezentate la 2.3.a şi 2.3.b.

Teoria jocurilor

3. Jocuri contra naturii

Până acum ne-am ocupat de jocuri în care alegerea strategiilor era determinată de matricea A a câştigurilor primului jucător P1. Sunt situaţii în care riscurile cu care se iau hotărâri nu pot fi cunoscute, deoarece jucătorul P2 nu acţionează raţional. Un astfel de jucător poate fi considerată natura, de unde şi denumirea de jocuri contra naturii. De analiza unor astfel de situaţii se ocupă teoria deciziilor. În cele ce urmează vom prezenta unele criterii de alegere a deciziei jucătorului P1 (numit şi statistician) în jocurile contra naturii (numite şi jocuri în caz de incertitudine). Menţionăm că atitudinea faţă de joc, diferită de la o persoană la alta, face ca în teoria deciziilor să nu existe criterii universal valabile. Aplicarea criteriilor poate conduce la rezultate diferite. Alegerea strategiei ar putea fi dată de rezultatul aplicării mai multor criterii. Vom presupune că statisticianul – jucătorul P1, dispune de m strategii pure A1, ..., Am, iar natura are n stări B1, ..., Bn. Fie matricea A = (aij), i = 1, m , j = 1, n , unde aij este câştigul lui P1 când alege strategia Ai, iar natura se află în starea Bj. Criteriul lui Hurwicz (criteriul optimismului)

Optimismul jucătorului P1 se defineşte ca un număr α ∈ [0,1]. Se determină numerele reale: mi = min ⎨aij⎬ şi Mi = max ⎨aij⎬, i = 1, m . j

j

Fiecărei strategii Ai îi asociem expresia: αMi + (1 - α)mi, i = 1, m .


Strategia optimă va fi cea care corespunde la: max [αMi + (1 - α)mi] i

În folosirea acestui criteriu trebuie să se definească în prealabil optimismul jucătorului, adică numărul α ∈ [0, 1]. Exemplu

Se consideră jocul contra naturii a cărui matrice a câştigurilor lui P1 în orice strategie a sa Ai, i = 1,4 şi în orice stare Bj, j = 1,4 a naturii este:

A1 A2 A3 A4

B1 2 3 1 3

B2 4 2 5 3

B3 3 3 2 2

B4 3 2 1 3

Să se determine în funcţie de α strategia optimă a lui P1. Pentru α =

2 care este strategia optimă? 3

Rezolvare

Ataşăm

matricei

date

coloanele

elementelor:

mi,

Mi

şi

αMi + (1 - α)mi, unde mi este respectiv cel mai mic, iar Mi este cel mai mare

număr de pe linia respectivă. Obţinem astfel:

A1 A2 A3 A4

B1 2 3 1 3

B2 4 2 5 3

B3 3 3 2 2

B4 3 2 1 3

mi 2 2 1 2

Mi 4 3 5 3

αMi+(1-α)mi 2α+2 α+2 4α+1 α+2

Teoria jocurilor

Ca să determinăm max [αMi + (1 - α)mi], ştiind că α ∈ [0,1], i

observăm că α + 2 ≤ 2α + 2, (∀)α ∈ [0,1]. Merită studiate cazurile: a) 4α + 1 < α + 2, de unde α <

1 ; 3

b) α + 2 ≤ 4α + 1 < 2α + 2, de unde c) 2α + 2 ≤ 4α + 1, de unde α ≥ Deci pentru α ∈ [0,

1 1 ≤α< ; 3 2

1 . 2

1 ), 2α + 2 este cea mai mare valoare şi cum ea 3

corespunde strategiei A1, aceasta este strategia optimă. 1 1 Pentru α ∈ [ , ), tot 2α + 2 este valoarea maximă deci A1 e 3 2 strategie optimă. 1 Pentru α ∈ [ , 1], 4α + 1 e valoarea maximă şi A3 este strategia 2 optimă. În particular α =

2 1 ∈ [ , 1], deci A3 este strategia optimă. 3 2

Criteriul Bayes - Laplace

În cazul acestui criteriu se va presupune că stările naturii sunt egal probabile. Şi cum numărul lor este n, probabilitatea ca natura să se afle în starea Bj este

1 , (∀) j = 1, n . n


Dacă jucătorul P1 va alege strategia Ai, câştigul său va fi 1 n

n

∑a j=1

, care este valoarea medie a variabilei aleatoare

ij

discrete cu repartiţia: ⎛ a i1 a i 2 L a in ⎞ ⎜1 1 1 ⎟⎟ . ⎜ L n⎠ ⎝n n

P1 va alege strategia pentru care câştigul său mediu este maxim: ⎧1 n ⎫ max ⎨ ∑ a ij ⎬ . 1≤ i ≤ m n ⎩ j=1 ⎭

Observaţia 1:

Dacă se cunosc totuşi probabilităţile diferitelor stări ale naturii respectiv y1, ..., yn, deci strategia y = (y1, ..., yn) cu yj ≥ 0, j = 1, n şi n

∑y j=1

j

=1, câştigul mediu al statisticianului P1 când foloseşte strategia Ai va

fi, conform formulei din paragraful 2.2: ϕ(i, y) =

n

∑a y j =1

ij

j

,

iar câştigul mediu va fi maxim pentru strategia

corespunzătoare valorii: max ϕ(i, y).

1≤ i ≤ m

Observaţia 2:

Criteriul lui Laplace introduce toate neajunsurile valorii medii. Dacă estimările au fost făcute grosolan apar erori în apreciere, ce vor duce la decizii greşite. Criteriul devine uneori inacceptabil când elementele jocului sunt foarte dispersate.

Teoria jocurilor

Exemplu

Pentru jocul din exemplul precedent să se determine strategia optimă a lui P1 în cazurile: a) când stările naturii sunt egal probabile; b) când probabilităţile ca natura să se afle în stările ei sunt respectiv: 1 2 4 2 , , , . 9 9 9 9 Rezolvare a) Ataşăm matricei jocului coloana

B2

B3

B4

A1 2

4

3

3

A2 3

2

3

2

A3 1

5

2

1

A4 3

3

2

3

B1

Deci max ⎨ 1≤i ≤ 4

1 4 ∑ a ij : n j=1 1 4 ∑ a ij n j=1 1 ⋅12 4 1 ⋅10 4 1 ⋅9 4 1 ⋅11 4

1 1 4 a ij ⎬ este ⋅12 ce corespunde strategiei A1 deci ∑ 4 4 j=1

aceasta este strategia optimă, după criteriul Laplace. b) Calculăm pentru fiecare strategie Ai valoarea expresiei date de

ϕ(i, y), i = 1,4 . Obţinem: ϕ(1, y) =

1 2 4 2 1 ⋅2 + ⋅4 + ⋅ 3 + ⋅3 = ⋅28; 9 9 9 9 9


ϕ(2, y) =

1 2 4 2 1 ⋅3 + ⋅2 + ⋅ 3 + ⋅2 = ⋅23; 9 9 9 9 9

ϕ(3, y) =

1 2 4 2 1 ⋅1 + ⋅5 + ⋅ 2 + ⋅1 = ⋅21; 9 9 9 9 9

ϕ(4, y) =

1 2 4 2 1 ⋅3 + ⋅3 + ⋅ 2 + ⋅3 = ⋅23. 9 9 9 9 9

Cea mai mare valoare este

1 ⋅ 28 şi corespunde lui ϕ(1, y), deci A1 9

este strategia optimă. Criteriul lui Savage (criteriul regretelor)

Savage compară rezultatul deciziei în cazul necunoaşterii stării naturii cu cel care s-ar obţine dacă s-ar cunoaşte această stare. Diferenţa dintre câştigul realizat când se ia decizia fără a cunoaşte stările naturii şi cel realizat dacă se cunosc acestea reprezintă regretul sau ce s-ar fi câştigat dacă P1 ar fi cunoscut stările naturii. Pornind de la matricea A = (aij), i = 1, m , j = 1, n , se formează o nouă matrice R = (rij), numită matricea regretelor, unde elementul: rij = max akj – aij, i = 1, m , j = 1, n , adică rij este dat de diferenţa 1≤ k ≤ m

dintre cel mai mare element de pe coloana j şi elementul aij. Se obţine astfel un nou joc caracterizat de matricea R care va fi tratat după criteriul minimax. P1 va alege strategia pe linia căreia se obţine: min ⎨ max rij⎬, adică linia pe care cel mai mare regret este minim.

1≤ i ≤ m

1≤ j≤ n

Exemplu

Pentru acelaşi joc din ultimele două exemple, aplicând criteriul regretelor, să se determine strategia ce va fi aleasă de P1.

Teoria jocurilor

Rezolvare

Se determină mai întâi matricea regretelor ale cărei elemente de pe o coloană se obţin scăzând din cel mai mare element al coloanei fiecare element al acesteia. Se obţine:

A1 A2 A3 A4

B1

B2

B3

B4

max rij

1 0 2 0

1 3 0 2

0 0 1 1

0 1 2 0

1 3 2 2

j

Atunci min ⎨ max rij⎬ = min⎨1, 3, 2, 2⎬ = 1, ce corespunde strategiei i

j

A1, deci P1 alege această strategie. Criteriul lui Wald

Dacă jocul are punct şa, statisticianul P1 alege strategia Ai determinată de condiţia: max ( min aij). i

j

Dacă jocul nu are punct şa, se determină strategia mixtă x = (x1, ..., xm) pentru care: ⎧m ⎫ min ⎨∑ a ij x i ⎬ , este maximă. j ⎩ i =1 ⎭ Exemplu

Aplicarea criteriului lui Wald jocului cercetat şi cu celelalte criterii ne duce la concluzia că jocul nu are punct şa. Procedând ca în paragraful 2.3.c, se determină strategia mixtă a statisticianului şi se găseşte vectorul: x = (1/3, 1/3, 0, 1/3),


de unde rezultă că P1 poate alege oricare dintre strategiile sale A1, A2 sau A 4. Observaţie: Criteriile aplicate nu au dus mereu la aceeaşi decizie dar

în majoritatea cazurilor s-a obţinut că cea mai bună strategie este A1; statisticianul pe aceasta o va alege. Aplicaţie

Patronul unui magazin achiziţionează un număr de frigidere de un anumit tip pe o perioadă de 6 luni (primăvară – vară), pentru a le vinde. Din observaţiile statistice, bazate pe cererea din ultimii doi ani, el estimează că va vinde un număr de frigidere cuprins între: 15 şi 25 cu probabilitatea de 0,1; între 25 şi 35 cu probabilitatea de 0,4; între 35 şi 45 cu 0,3 şi între 45 şi 55 cu 0,2. Costul unitar de achiziţie este de 300 euro iar preţul unitar de vânzare este 400 euro (incluzând cheltuielile de transport şi garanţia de funcţionare pe un an). Toate frigiderele nevândute până în toamnă se restituie furnizorului pentru 250 euro/bucata. Să se stabilească numărul optim de frigidere pe care să le achiziţioneze patronul pentru a obţine un câştig cât mai mare. Rezolvare

Determinăm matricea A = (aij), i, j = 1,4 , unde aij este câştigul obţinut de patron când aplică strategia Ai, i = 1,4 şi cererea este în starea Sj, j = 1,4 . Obţinem astfel: Cererea pieţei Cantitatea achiziţionată

S1:20

S2:30 S3:40 S4:50

A1:20 A2:30 A3:40 A4:50

2000 1500 1000 500

2000 3000 2500 2000

2000 3000 4000 3500

2000 3000 4000 5000

Teoria jocurilor

unde de exemplu elementul de pe linia A3 şi coloana S2 se calculează astfel: din cele 40 frigidere achiziţionate se vând 30. Diferenţa dintre preţul unitar de vânzare şi cel de achiziţionare este de 100 euro pentru un frigider, ce reprezintă câştigul patronului. Pentru cele 30 frigidere vândute va câştiga 3000 euro. Dar alte 10 frigidere nevândute vor fi restituite furnizorului cu o pierdere unitară de 50 euro dată de diferenţa dintre costul de achiziţie 300 şi cel de restituire 250. Deci pierderea va fi de 500 euro şi atunci beneficiul total va fi de: 3000 – 500 = = 2500 euro. Deoarece în stabilirea deciziei contează consecinţele economice se pot aplica în rezolvarea problemei criteriile: maximin, minimax, Savage, Bayes-Laplace: a) Prin criteriul maximin se alege minimul fiecărei linii şi dintre

acestea se găseşte maximul: A1 A2 A3 2000 1500 1000

A4 500

care este 2000 şi recomandă strategia A1. b) Criteriul minimax, bazat pe prudenţă, indică alegerea elementelor

maxime pe fiecare linie şi apoi determinarea celui mai mic dintre acestea. A1 A2 A3 2000 3000 4000

A4 5000

Acest element este 2000 şi arată că cea mai prudentă decizie este A1. c) Criteriul lui Savage este de fapt criteriul minimax aplicat pe

matricea regretelor, ce va avea forma: 500 2000 3000 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ 0 1000 2000 ⎟ ⎜ 500 R= ⎜ 1000 500 0 1000 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1500 1000 500 0 ⎟⎠ ⎝


pentru care vom căuta maximul pe fiecare linie şi apoi cel mai mic dintre acestea. Găsim: A1 A2 A3 3000 2000 1000

A4 1500

cel mai mic element este 1000 şi recomandă strategia A3. d) Criteriul Bayes-Laplace presupune calculul câştigului mediu

pentru fiecare strategie folosind probabilităţile date în enunţul problemei şi formulele din paragraful 2.2. Astfel: ϕ(1,y) = 0,1⋅2000 + 0,4⋅2000 + 0,3⋅2000 + 0,2⋅2000 = 2000 ϕ(2,y) = 0,1⋅1500 + 0,4⋅3000 + 0,3⋅3000 + 0,2⋅3000 = 2850 ϕ(3,y) = 0,1⋅1000 + 0,4⋅2500 + 0,3⋅4000 + 0,2⋅4000 = 3100 ϕ(4,y) = 0,1⋅500 + 0,4⋅2000 + 0,3⋅3500 + 0,2⋅5000 = 2900

Cel mai mare câştig se obţine când se aplică strategia A3.

4. Jocuri de două persoane cu sumă arbitrară (bimatriceale)

Jocurile de două persoane cu sumă oarecare extind în mod natural jocurile cu sumă nulă de care ne-am ocupat până acum. Ele produc şi o schimbare calitativă importantă, în sensul că, dacă regulile jocului o permit, jucătorii pot căuta împreună căi (strategii) de îmbunătăţire a câştigurilor lor, ceea ce, în cazul jocurilor antagoniste, era exclus din punct de vedere logic. Obiectul teoriei jocurilor fiind dat de analiza situaţiilor de tip competiţional, regulile care reglementează concurenţa vor sta la baza dezvoltărilor ulterioare.

Teoria jocurilor

Astfel, vom studia separat jocurile cu sumă arbitrară de tip necooperativ, în care nu este permisă (sau nu există interes pentru)

colaborarea între jucători şi apoi jocurile de tip cooperativ, în care jucătorii îşi pot corela strategiile şi/sau pot apela la transferul mutual al unor părţi din câştiguri. Şi într-un caz şi în celălalt, preocuparea principală va fi de a defini un concept de soluţie a jocului, de a cerceta condiţii de existenţă şi a identifica metode de determinare a acesteia. Ca o trăsătură care distinge jocurile cu sumă arbitrară de cele cu sumă nulă se evidenţiază interdependenţa strategiilor componente ale unei soluţii a jocului.

4.1 Jocuri cu sumă arbitrară necooperative

Vom nota, ca şi mai înainte, cei doi jucători cu P1 şi P2 şi vom presupune că strategiile lor (pure) sunt în număr finit: A = ⎨A1, ..., Am⎬ reprezintă mulţimea strategiilor lui P1, iar B = ⎨B1, ..., Bn⎬, mulţimea strategiilor lui P2. Definiţie: Se numeşte joc de două persoane cu sumă arbitrară dat în

formă normală, un sistem G = ⎨A, B; f1, f2⎬, unde A şi B conţin strategiile celor doi jucători iar fi(⋅,⋅), i = 1,2 sunt funcţii definite pe A × B cu valori reale, numite funcţii de câştig, corespunzătoare fiecăruia dintre aceştia. Pentru o pereche de strategii (Ai, Bj) vom nota f1(Ai, Bj) = aij şi f2(Ai, Bj) = bij, i = 1, m , j = 1, n . În vederea unei scrieri compacte a


elementelor care definesc un joc de acest tip, apelăm la o reprezentare matriceală ca cea de mai jos: P2

P1

B1

...

Bj

...

Bn

. . (aij, bij) . .

A1 ∶ Ai ∶ Am

Deoarece elementele tabloului de mai sus sunt perechi de numere reale care ar putea proveni din suprapunerea a două matrici de dimensiuni m × n conţinând câştigurile celor doi jucători, luaţi separat, asemenea jocuri se mai numesc pe scurt jocuri bimatriceale. Să remarcăm faptul că asupra valorilor sumelor f1(Ai, Bj) + f2(Ai,Bj), i = 1, m , j = 1, n nu se impune nici o condiţie. Considerăm, spre exemplificare, următorul joc: G = ⎨A, B; f1, f2⎬; A = ⎨A1, A2⎬, B = ⎨B1, B2⎬; f1(A1, B1) = 3, f1(A2, B1) = 1, f1(A1, B2) = 1, f1(A2, B2) = 0; f2(A1, B1) = 0, f2(A2, B1) = 4, f2(A1, B2) = 2, f2(A2, B2) = 1. Vom analiza jocul folosind forma sa matriceală. A1 A2

B1 (3,0) (1,4)

B2 (1,2) (0,1)

Se observă că pentru jucătorul P1 este preferabil să joace strategia A1 în raport cu A2, indiferent ce strategie adoptă P2 (B1 sau B2), deoarece avem f1(A1, ⋅) ≥ f1(A2, ⋅) (într-adevăr, 3 > 1 şi 1 > 0). Recunoaştem aici existenţa unei strategii dominate a jucătorului 1, în speţă A2.

Teoria jocurilor

Referitor la strategiile lui P2, să observăm că nici una dintre ele nu o domină pe cealaltă (0 < 2, dar 4 > 1). Obiectivul nostru fiind acela de a prevedea desfăşurarea jocului, prin precizarea strategiilor pe care jucătorii, cel mai probabil, le vor folosi (în scopul raţional al maximizării câştigului), vom reduce matricea jocului renunţând la linia corespunzătoare strategiei dominate (pe care ar fi iraţional să o adopte P1). A1

B1 (3,0)

B2 (1,2)

Este evident acum că jucătorul P2 va alege strategia B2, care îi asigură un câştig mai mare. În concluzie, perechea de strategii (A1, B2) se constituie într-o soluţie a jocului, rezultată din confruntarea intereselor lui P1 şi P2. Un efect, în acest caz, este acela că nici un jucător nu îşi realizează câştigul maxim admisibil (3, respectiv 4), fapt posibil din punct de vedere teoretic, în general. În exemplul precedent, raţionamentul utilizat a urmărit identificarea unei convenţii la care jucătorii, în mod independent, sunt dispuşi să adere, concretizate printr-o soluţie unică a jocului necooperativ. Aceasta conduce la ideea folosirii perechii de strategii (A1, B2) în mod liber, în mai multe partide (repetări ale jocului), de către jucători raţionali care aşteaptă unul de la celălalt un astfel de comportament. Ideea cristalizării unei convenţii are, desigur, o latură ideală. Nu putem presupune că pentru un joc oarecare vom elimina pe rând, strategiile (strict) dominate, rămânând, în final, cu o singură pereche de strategii. Pe de altă parte, acest proces de eliminare poate să conducă la o mulţime terminală de perechi de strategii, dintre care unele nu au calităţile unei soluţii.


În precizarea calităţilor pe care trebuie să le aibă o soluţie a jocului, vom ţine cont de faptul că tendinţa unilaterală de câştig a unui jucător poate fi amendată de opţiunile celuilalt, dar nu şi anihilată. De aceea, apare naturală cerinţa ca strategia unui jucător, care este o componentă a soluţiei, să reprezinte cel mai bun răspuns la strategia aleasă de celălat jucător, care completează soluţia. O astfel de soluţie poate fi numită strategic – stabilă, deoarece nici un jucător nu are interesul să se abată de la strategia sa, atâta vreme cât nici ceilalţi nu încearcă acest lucru. Ideea de echilibru pe care trebuie să îl realizeze strategiile care alcătuiesc soluţia jocului este acum transparentă. Cele de mai înainte sunt redate în următoarea: Definiţie. Într-un joc bimatriceal dat în formă normală

G = ⎨A, B; f1, f2⎬, perechea de strategii (A*, B*) reprezintă un punct de echilibru Nash dacă au loc relaţiile:

f1(A*, B*) ≥ f1(Ai, B*), oricare ar fi Ai ∈ A şi f2(A*, B*) ≥ f2(A*, Bj), oricare ar fi Bj ∈ B Altfel spus, maxf1(Ai, B*) este atins în A*, iar maxf2(A*, Bj) e atins Ai∈A

Bj∈B

în B*. Cum A* ∈ A şi B* ∈ B, se obişnuieşte, pentru mai multă claritate, să se spună că (A*, B*) este punct de echilibru Nash în strategii pure. Observaţie: Noţiunea de punct de echilibru Nash o generalizează pe

cea de punct şa de la jocurile matriceale (cu sumă nulă). Într-adevăr, condiţiile: f(Ai, Bjo) ≤ f(Aio, Bjo) ≤ f(Aio, Bj) (∀) Ai ∈ A, (∀) Bj ∈ B, care definesc punctul şa aiojo = f(Aio, Bjo) se mai pot scrie: f(Aio, Bjo) ≥ f(Ai, Bjo), (∀)Ai ∈ A, -f(Aio, Bjo) ≥ -f(Aio, Bj), (∀)Bj ∈ B.

Teoria jocurilor

De aceea, unii folosesc termenul de punct de echilibru în loc de punct şa atunci când se referă la soluţia unui joc matriceal G = (A, B, f). Definiţia precedentă se poate extinde, fără dificultate, la cazul a n jucători, ale căror funcţii de câştig sunt funcţii reale de n argumente. Exemplu

Se consideră jocul în formă normală G, căruia îi corespunde matricea: B1 A1 (4,0) A2 (0,1) A3 (2,4)

B2 (2,1) (2,0) (1,3)

B3 (0,4) (3,3) (1,2)

B4 (1,1) (5,2) (0,2)

Determinarea punctelor de echilibru Nash ale jocului se va face în modul următor: pentru fiecare jucător şi pentru fiecare strategie a acestuia, se determină răspunsul optim al celuilalt jucător la respectiva strategie. Pentru a-l marca, vom sublinia în acea linie / coloană câştigul maxim corespunzător. Astfel, observăm că dacă P1 ar folosi strategia A1, atunci P2 ar trebui să folosească strategia B3 şi vom scrie atunci (0,4) în poziţia din matrice corespunzătoare perechii (A1, B3). Asemănător, pentru strategiile A2 şi A3 ale lui P1, vom selecta răspunsurile B3, respectiv B1 şi vom completa (3, 3), respectiv (2, 4) în locurile potrivite din tabel. În privinţa replicilor lui P1 la alegerile posibile ale lui P2, strategiei B1 îi va corespunde A1 şi vom scrie în prima coloană (4, 0) (deoarece 4 > 0 şi 4 > 2). Pentru coloanele a doua, a treia şi a patra, vom selecta strategiile de răspuns A1, A2 şi A2, respectiv.


Se obţine aşadar, după procedura de marcare, următorul tabel: B1 A1 (4,0) A2 (0,1) A3 (2,4)

B2 (2,1) (2,0) (1,3)

B3 (0,4) (3,3) (1,2)

B4 (1,1) (5,2) (0,2)

Ţinând seama de definiţia dată anterior, deducem că punctele de echilibru corespund acelor perechi de câştiguri în care ambele componente apar subliniate (dacă există). În exemplul analizat, această situaţie apare doar în cazul perechii de strategii (A2, B3), care va reprezenta deci soluţia Nash a jocului. Vom clarifica în continuare legătura care există între eliminarea strategiilor strict dominate şi existenţa punctelor de echilibru Nash. Au loc următoarele rezultate: Propoziţia 4.1

În jocul dat sub formă normală G = ⎨A, B; f1, f2⎬, dacă strategiile (S 1* , S *2 ) reprezintă un punct de echilibru, atunci ele nu sunt afectate de procedeul de eliminare a strategiilor strict dominate. Propoziţia 4.2

Dat fiind jocul G = ⎨A, B; f1, f2⎬, dacă eliminarea succesivă a strategiilor dominate strict conduce la desfiinţarea tuturor combinaţiilor de strategii, cu excepţia lui (S 1* , S *2 ), atunci această pereche constituie unicul punct de echilibru Nash al jocului. Vom justifica cele afirmate în propoziţia 4.1, folosind reducerea la absurd. Să presupunem că (S 1* , S *2 ) este un punct de echilibru al jocului, dar că una dintre strategiile componente, de exemplu S 1* , a fost eliminată la un moment dat (eventual precedată de alte strategii din A\⎨S 1* ⎬, sau B\⎨S *2 ⎬,

Teoria jocurilor

eliminate şi ele), fiind strict dominată. Să notăm cu S’1 o strategie din A care a „supravieţuit” eliminării succesive până la momentul dispariţiei lui S 1* şi care o domină strict pe aceasta. Are loc deci relaţia: f1(S 1* , B) < f1(S’1, B) pentru orice strategie B dintre cele rămase la acest moment. Cum S 1* ar fi prima eliminată dintre strategiile de echilibru, din inegalitatea de mai sus rezultă: f1(S 1* , S *2 ) < f1(S’1, S *2 ). Dar astfel este contrazis faptul că S 1* este cel mai bun răspuns al lui P1 la strategia S *2 a lui P2, aşa cum impune faptul că (S 1* , S *2 ) e punct de echilibru. Cu aceasta, demonstraţia se încheie. Mai departe ne preocupă problema existenţei punctelor de echilibru multiple ale unui joc bimatriceal. Conform propoziţiei 4.1, nu este posibil ca

strategiile componente ale unuia dintre ele să fie evitate în procesul de eliminare succesivă a strategiilor strict dominate, iar altele, cu aceeaşi proprietate, nu. De aici rezultă că în propoziţia 4.2 este suficient să arătăm că (S 1* , S *2 ) este punct de echilibru Nash. (Demonstraţia, asemănătoare cu cea precedentă, se sprijină pe ipoteza că mulţimile de strategii ale ambilor jucători sunt finite). Ne vom servi în discuţia noastră de exemplul jocului G = (A, B; f1, f2) cu matricea câştigurilor: B1 A1 (2,0) A2 (3,4) A3 (1,3)

B2 (2,1) (1,2) (0,2)

B3 (4,2) (2,3) (3,0)


Se poate observa uşor că strategia A1 domină strict pe A3 şi că B3 domină strict pe B2 după eliminarea lui A3. După ce suprimăm strategiile dominate, jocul are forma simplificată: A1 A2

B1 (2,0) (3,4)

B3 (4,2) (2,3)

Urmând procedura descrisă anterior, sau prin verificare directă, folosind definiţia, se deduce că (A1, B3) şi (A2, B1) sunt puncte de echilibru Nash ale jocului. Aceasta ne permite să remarcăm faptul că, spre deosebire de jocurile cu sumă nulă, în jocurile bimatriceale, prin interschimbarea strategiilor corespondente între două puncte de echilibru, perechile rezultate nu mai sunt puncte de echilibru, aşa cum o demonstrează (A1, B1) şi (A2, B3). Problema principală însă este ce anume trebuie înţeles prin soluţia unui astfel de joc. Examinând câştigurile fiecărui jucător în parte, constatăm că nu putem privilegia vreunul din punctele de echilibru, deoarece jucătorul P1 preferă, firesc, pe (A1, B3), iar P2 preferă pe (A2, B1). Teoretic, putem conveni că soluţia jocului este formată din ambele puncte de echilibru. Practic însă este nevoie de o negociere (uneori dură) între cei doi jucători sau de un arbitraj pentru a stabili pentru ce strategii vor opta fiecare. Şanse mai mari de concretizare ar putea avea în acest caz varianta care dă câştigurile (3, 4), dar elemente de ordin subiectiv nu trebuie ignorate. O situaţie de incertitudine în alegerea strategiilor optime ca cea de faţă, este un teren propice pentru a testa utilitatea strategiilor de tip maximin.

Teoria jocurilor

Astfel, în ce priveşte strategia maximin a lui P1 vom găsi: min⎨2,2,4⎬ = 2 → A1; min⎨3,1,2⎬ = 1 → A2; min⎨1,0,3⎬ = 0 → A3, deci strategia căutată este A1. Analog, pentru P2 avem: min⎨0,4,3⎬ = 0 → B1; min⎨1,2,2⎬ = 1 → B2; min⎨2,3,0⎬ = 0 → B3, de unde rezultă că strategia maximin a lui P2 este B2. După cum se observă, însă, perechea de strategii maximin (A1, B2) nu este un punct de echilibru. Oricare dintre jucători preferă câştigul care îi revine ca urmare a alegerii în comun a unuia din punctele de echilibru faţă de câştigul minim asigurat (într-adevăr (4, 2) > (2,1) şi (3, 4) > (2, 1)). În fapt, are loc următorul rezultat general: Propoziţia 4.3

Orice punct de echilibru furnizează fiecărui jucător în parte, un câştig cel puţin egal cu câştigul său maximin. Demonstraţie:

Presupunem că (A*, B*) este punct de echilibru al jocului, în notaţiile de mai înainte. Atunci avem, pentru P1: f1(A*, B*) ≥ f1(Ai, B*) ≥ minf 1(Ai, Bj) pentru orice strategie Ai ∈ A. B ∈B j

De aici rezultă imediat: maxminf 1(Ai, Bj) ≤ f1(A*, B*). A ∈A B ∈B i

j

Pentru jucătorul P2, obţinem folosind din nou definiţia punctului de (Ai, Bj), (∀) Bj ∈ B, deci echilibru: f2(A*,B*) ≥ f2(A*, Bj) ≥ minf A ∈A 2 i

f2(A*,B*) ≥ maxminf 2(Ai, Bj). B ∈B A ∈A j

i

În concluzie, într-un joc cu sumă arbitrară, strategiile maximin îşi pierd din importanţă.


Puncte de echilibru în strategii mixte

Posibilitatea existenţei mai multor puncte de echilibru Nash într-un joc bimatriceal, cu implicaţiile sale în stabilirea soluţiei jocului nu este, totuşi, lucrul care stânjeneşte cel mai mult. O problemă fundamentală care apare în acest context este faptul că există jocuri cu sumă arbitrară chiar dintre cele mai simple, care nu admit strategii pure de echilibru. Să considerăm următorul joc: B1 A1 (2,1) A2 (1,2)

B2 (0,2) (3,0)

Se poate observa pe acest exemplu că nici o pereche de strategii (Ai, Bj) nu poate realiza echilibrul. Astfel, pentru (A1, B1) observăm că jucătorul P2 are interesul să devieze de la strategia B1 către B2, care îi asigură un câştig superior. Analog, (A2, B1) nu poate fi punct de echilibru, pentru că jucătorul P1 va prefera strategia A1 lui A2, ş.a.m.d.. Este greu de admis ideea că astfel de jocuri nu admit soluţie, în sensul echilibrului de tip Nash. Cheia de rezolvare stă şi aici, ca şi în cazul jocurilor cu sumă nulă, în lărgirea conceptului de strategie şi definirea noţiunii de echilibru în această accepţiune mai largă. Trebuie făcută precizarea că noul tip de strategie îl înglobează pe cel utilizat până acum în discuţie şi că identificarea unor puncte de echilibru corespunzătoare lui nu suprimă posibilitatea existenţei, pentru un acelaşi joc, a punctelor de echilibru în strategii pure. Obişnuim să numim strategie mixtă pe mulţimea A = ⎨A1, ..., Am⎬ a strategiilor (pure) ale jucătorului P1 o repartiţie de probabilităţi: x = (x1, ..., xm), unde xi ≥ 0, i = 1, m şi

m

∑x i =1

i

= 1.

Teoria jocurilor

Mulţimea tuturor acestor strategii o notăm prin X. Analog vom considera: Y = ⎨y = (y1,..., yn) ⏐ yj ≥ 0,

n

∑ y = 1⎬ j =1

j

ca

fiind

ansamblul

strategiilor mixte pe mulţimea B, a strategiilor jucătorului P2. Ideea de strategie mixtă se leagă, în mod natural, de alternarea strategiilor de către un jucător, în decursul mai multor partide. Cum probabilităţile pot fi interpretate ca limite ale unor frecvenţe relative, se pune întrebarea dacă în situaţii reale putem considera ca acceptabilă repetarea (independentă) a jocului de un număr de ori suficient de mare. Se poate încerca evitarea acestei dificultăţi prin interpretarea unei strategii mixte a lui P2, y = (y1, ..., yn) ca reprezentând probabilităţile (subiective) pe care le atribuie P1 utilizării uneia dintre strategiile pure B1, ..., Bn de către P2 şi, asemănător, a unei strategii mixte a lui P1 (x1, ..., xm), schimbând rolurile între jucători. Impasul ce se profilează aici ţine de tratarea jocurilor cu mai mult de doi jucători, caz în care doi jucători pot avea percepţii diferite relative la comportarea unui terţ. Oricare ar fi interpretarea dată strategiilor mixte, ele ne ajută să punem în termeni corecţi problema maximizării unui câştig incert, prin apelul la conceptul fundamental de medie a unei variabile aleatoare. În condiţiile alegerii independente şi simultane a strategiilor de către fiecare jucător în parte, folosindu-ne de notaţiile de mai înainte, vom defini câştigurile celor doi, în ipoteza folosirii strategiilor mixte x şi y, respectiv, prin:

ϕ1(x, y) =

m

n

∑∑ a x y i =1 j =1

ϕ2(x, y) =

m

ij i

j

;

j

;

n

∑∑ b x y i =1 j=1

ij

i

ϕi: X × Y → ℝ, i = 1,2 ,


unde xi ⋅ yj reprezintă probabilitatea utilizării perechii de strategii (Ai, Bj), iar aij şi bij sunt câştigurile asociate ei ale jucătorilor P1 şi P2, respectiv. Să observăm că de exemplu, câştigul mediu ϕ1(x, y) este o medie a unor câştiguri medii, considerând, pe rând, strategiile din A fixate faţă de cele din B, după cum o arată relaţia: ϕ1(x, y) =

m

⎛

n

∑ ⎜⎜ ∑ a i =1

⎝

j=1

ij

⎞ y j ⎟⎟ xi. ⎠

Cu aceste precizări, putem să dăm definiţia extinsă a punctelor de echilibru ale unui joc bimatriceal în formă normală: Definiţie: Într-un joc bimatriceal G = ⎨A, B; f1, f2⎬, o pereche de

strategii mixte (x*, y*) este un punct de echilibru Nash dacă au loc următoarele inegalităţi: ϕ1(x*,y*) ≥ ϕ1(x, y*) ϕ2(x*,y*) ≥ ϕ2(x*, y)

pentru orice strategii mixte x ∈ X şi y ∈ Y. Cu alte cuvinte, x* este cea mai bună strategie (mixtă) de răspuns a lui P1 la strategia y* a lui P2 şi viceversa. Se deduce din cele de mai sus că putem porni la determinarea strategiilor mixte de echilibru ale unui joc (a căror existenţă o vom afirma ceva mai târziu) prin găsirea celui mai bun răspuns (în strategii mixte sau pure) al unui jucător la o strategie mixtă a celuilalt. În demersul nostru ne servim de următorul rezultat: Propoziţia 4.4

Pentru ca o strategie mixtă a lui P1 să fie un cel mai bun răspuns al acestuia la o strategie mixtă dată y a lui P2, este necesar şi suficient ca ea să asigneze probabilităţi strict pozitive numai acelor strategii pure care sunt ele

Teoria jocurilor

însele un cel mai bun răspuns la strategia y (sau numai unei părţi a acestora, restul primind probabilităţi nule). Demonstraţie:

Să notăm, pentru o strategie y dată, cu Imax mulţimea indicilor acelor strategii pure ale lui P1 care sunt un cel mai bun răspuns la y: Imax = ⎨K ⏐

n

n

j=1

j=1

∑ a kj y j ≥ ∑ a ij y j , (∀) i = 1, m ⎬.

Să alegem un K0 ∈ Imax. Fie x = (x1, ..., xm) o strategie mixtă a lui P1 şi să presupunem că există l ∈ 1, n \ Imax astfel încât xl > 0. Notăm cu x’ strategia mixtă obţinută din x prin asocierea probabilităţii x K 0 + xl la strategia A K 0 şi a unei probabilităţi nule la Al. Atunci vom avea: ϕ1(x, y) =

n n ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ x a y + x a y + x ∑ i⎜∑ ij j ⎟ K0 ∑ K0 j j l ∑ a lj y j < i ≠ K 0 ,l j =1 j=1 ⎝ j=1 ⎠

n n ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ a y + ( x + x ) a y + 0 ⋅ a lj y j = ϕ1 ( x ' , y) , ∑ ⎜ ∑ ij j ⎟ K 0 l ∑ ∑ K0 j j i ≠ K 0 , l ⎝ j =1 j =1 j=1 ⎠

<

de

unde deducem că x nu este cea mai bună strategie de răspuns la y. Pentru probarea suficienţei, se consideră I0 ⊆ Imax şi o strategie mixtă

( )

x0 = x i0

m

i =1

care asignează probabilităţi nenule numai acelor strategii Ah, cu

h ∈ I0. De aici rezultă: ϕ1 ( x 0 , y) =

⎛

n

∑ x ⎜⎜ ∑ a 0 h

h∈I 0

⎝

j =1

hj

n n ⎞ ⎛ ⎞ y j ⎟⎟ = ⎜⎜ ∑ x 0h ⎟⎟ max ∑ a ij y j = max ∑ a ij y j , şi i =1, m j =1 ⎠ ⎝ h∈I 0 ⎠ i =1, m j=1

mai departe: ϕ1(x, y) =

n ⎛ n ⎞ m ⎜ ⎟ x a y ≤ x max a ij y j = ϕ1(x0, y), oricare ar ∑ ∑ ∑ i ⎜ ∑ ij j ⎟ i i =1, m i =1 j =1 ⎠ i =1 ⎝ j=1 m

fi strategia mixtă x ∈X. Deci x0 este răspuns optim al lui P1 la strategia y.


Un enunţ similar celui din propoziţia 4.4 caracterizează strategiile mixte ale lui P2 care sunt răspunsuri optime la o strategie mixtă x a lui P1, fixată. Reamintim că orice strategie pură a unui jucător poate fi interpretată ca o strategie mixtă, exprimabilă printr-un vector binar cu 1 pe poziţia corespunzătoare strategiei şi având restul componentelor egale cu 0. Revenind la exemplul de mai înainte al jocului bimatriceal 2 × 2, să încercăm determinarea unui punct de echilibru în strategii mixte. Pentru simplitate, vom nota strategiile mixte ale lui P1 prin x = (p, 1 – p) şi strategiile mixte ale lui P2 cu y = (q, 1 – q), p, q ∈ [0, 1]. Într-o primă etapă, vom găsi strategiile pure optime de răspuns ale fiecărui jucător, la o strategie mixtă a adversarului. Pentru o strategie mixtă dată (q, 1 – q) pe B = ⎨B1, B2⎬, câştigul mediu al lui P1 va fi 2q + 0(1 – q) = 2q, dacă foloseşte strategia A1 sau 1 ⋅ q + 3(1 – q) = 3 – 2q, dacă foloseşte strategia A2. Rezolvând inecuaţia 2q > 3 – 2q pe intervalul [0, 1], deducem: - dacă q ∈ [0, - dacă q =

3 ), cel mai bun răspuns al lui P1 este A2; 4

3 , atunci A1 şi A2 sunt răspunsuri la fel de bune; 4

- dacă q ∈ (

3 , 1], cel mai bun răspuns al lui P1 este A1. 4

Inversând rolurile, fie (p, 1 – p) o strategie mixtă pe A = ⎨A1, A2⎬. Câştigul mediu al lui P2 va fi 1 ⋅ p + 2(1 – p) = 2 – p, dacă foloseşte strategia B1 sau 2p, dacă utilizează strategia B2. Folosindu-ne de soluţia inecuaţiei 2 – p > 2p pe [0, 1], constatăm următoarele: - pentru p ∈ [0,

2 ), răspunsul optim al lui P2 este B1; 3

Teoria jocurilor

- pentru p =

2 , P2 poate răspunde atât cu B1, cât şi cu B2; 3

- pentru p ∈ (

2 , 1], răspunsul optim al lui P2 este B2. 3

Căutăm acum o pereche de strategii mixte (x*, y*), x* = (p*, 1-p*), y* = (q*, 1 – q*) cu proprietăţile din definiţia extinsă a echilibrului Nash. Vom analiza pe rând diversele situaţii posibile. I.

Dacă q* ar aparţine intervalului [0,

3 ), atunci răspunsul optim 4

al lui P1 ar fi strategia pură A2, căreia îi corespunde p = 0 ca strategie mixtă. Însă răspunsul optim al jucătorului P2 la această strategie este B1, corespunzând lui q = 1. Cum 1 ∉ (0,

3 ], acest 4

caz nu e compatibil cu existenţa unui punct de echilibru. II. Dacă q* ∈ (

3 , 1], cel mai bun răspuns al lui P1 este A1, pe care 4

îl identificăm cu strategia mixtă (1, 0). Cel mai bun răspuns al lui P2 la această strategie este strategia pură B2, pentru care 3 avem q = 0. Dar 0 ∉ ( , 1] şi concluzia e identică celei de la 4 punctul precedent. III. În cazul q* =

3 , ca răspuns optim al jucătorului P1 putem lua 4

orice strategie mixtă (r, 1 – r) pe ⎨A1, A2⎬, r ∈ [0, 1], conform cu propoziţia 4.4. Dar situaţiile r ∈ [0,

2 2 ) şi r ∈ ( , 1] conduc 3 3

la valori ale răspunsurilor corespunzătoare lui q = 1 şi q = 0, respectiv, ambele diferite de

3 2 . Pentru r = , răspunsul optim 4 3


fiind orice strategie mixtă (q, 1 – q) pe ⎨B1, B2⎬, în particular 3 1 2 ( , ), rezultă că putem alege p* = . În concluzie, punctul de 4 4 3 echilibru al jocului, în strategii mixte, este: 2 1 3 1 (x*,y*) = (( , ), ( , )). 3 3 4 4 Importanţa considerării strategiilor mixte în identificarea soluţiilor posibile ale unui joc bimatriceal reiese din următorul rezultat (pe care îl dăm într-un caz particular): Teorema lui Nash

Orice joc finit de două persoane în formă normală, G = ⎨A, B; f1, f2⎬ posedă cel puţin un punct de echilibru, în strategii pure sau mixte. Demonstraţia teoremei, al cărei enunţ în formă generală se referă la jocuri de n persoane, are la bază o teoremă de punct fix. (În cazul de faţă, (x*,y*) cu proprietatea T(x*, y*) = (x*,y*) este punct fix al unei transformări T). Deşi în demonstraţie nu se construieşte efectiv un punct de echilibru, concluzia sa este suficient de elocventă. Vom prezenta în cele ce urmează o procedură de determinare a punctelor de echilibru ale unui joc bimatriceal în formă normală, atunci când jucătorii P1, P2 au la dispoziţie m şi n strategii pure, respectiv, cu ajutorul unui exemplu concret. Vom avea în vedere cazul când câştigurile jucătorilor sunt nenegative, dar aceasta, după cum se constată, nu reprezintă o restricţie importantă. Sunt necesare câteva precizări şi notaţii. Astfel, vom nota cu C1 matricea câştigurilor jucătorului P1 definită prin: C1 = (aij) i =1, m , aij = f1(Ai, Bj), Ai ∈A, Bj ∈ B. j=1, n

Teoria jocurilor

Asemănător, C2 va desemna matricea câştigurilor jucătorului P2: C2 = (bij)

i =1, m j=1, n

, bij = f2(Ai, Bj), Ai ∈ A, Bj ∈ B.

Pentru două strategii mixte, x = (x1, ..., xm) a lui P1 şi y = (y1,..., yn) a lui P2, se pot transcrie câştigurile medii ale fiecărui jucător în parte, astfel: ϕ1(x, y) = xC1yT, ϕ2(x, y) = yC T2 xT, unde indicii T înseamnă operaţia

de transpunere. Notând Jm şi Jn vectorii-linie cu m, respectiv n componente, toate egale cu 1, vom putea scrie relaţiile: xJ Tm = 1, y J Tn = 1

(1)

sinonime cu faptul că suma probabilităţilor (xi)i∈1, m (respectiv (yj)j∈1, n ) face 1. Să presupunem acum că (x, y) reprezintă o pereche de strategii de echilibru şi să notăm, pentru simplitate, cu ϕ1 şi ϕ2 câştigurile aferente ei ale celor doi jucători. Introducem vectorii Φ1 = (ϕ1, ..., ϕ1) ∈ℝn şi Φ2 = (ϕ2, ..., ϕ2) ∈ℝn, care ne permit o scriere matriceală a proprietăţii de echilibru. Astfel, folosind propoziţia 4.4, deducem relaţiile: C1yT ≤ Φ 1T , C T2 xT ≤ Φ T2

(2)

în care inegalităţile trebuie interpretate ca funcţionând între oricare două componente corespondente ale vectorilor – coloană. Ele exprimă faptul că răspunsurile printr-o strategie pură la strategiile y, respectiv x pot să ducă, în cel mai bun caz, la egalarea câştigurilor ϕ1, respectiv ϕ2. Acestea sunt atinse efectiv în (x, y), ceea ce reiese din relaţiile: xC1yT = xΦ 1T ⇔ x(Φ 1T - C1yT) = 0 yC T2 xT = yΦ T2 ⇔ y(Φ T2 - C T2 xT) = 0

(3)


în care am ţinut seama de (1). Rezultă din cele de mai înainte că un punct de echilibru Nash, (x, y), al unui joc bimatriceal trebuie să satisfacă cele şase relaţii date, la care se adaugă condiţiile x ≥ 0 şi y ≥ 0. Concret, vom găsi soluţiile următorului joc bimatriceal, folosind instrumentarul prezentat pentru cazul general. B1 A1 (4,0) A2 (6,12)

B2 B3 (2,1) (8,6) (2,10) (4,9)

Cele două matrici de câştiguri ale jucătorilor sunt: ⎛ 4 2 8⎞ ⎟⎟ şi C2 = C1 = ⎜⎜ ⎝ 6 2 4⎠

⎛ 0 1 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝12 10 9 ⎠

Suntem în cazul a m = 2 strategii pure ale jucătorului P1 şi a n = 3 strategii pure ale jucătorului P2. Vom separa relaţiile de tip liniar de cele neliniare şi apoi le vom grupa astfel încât să ne ocupăm separat de strategia (x1, x2), respectiv (y1, y2, y3). Din relaţiile (1) şi (2) va rezulta: x1 + x2 = 1

y1 + y 2 + y 3 = 1

12x2 - ϕ2 ≤ 0

4y1 + 2y2 + 8y3 - ϕ1 ≤ 0

x1 + 10x2 - ϕ2 ≤ 0

6y1 + 2y2 + 4y3 - ϕ1 ≤ 0

6x1 + 9x2 - ϕ2 ≤ 0 x1, x2 ≥ 0

y1, y2, y3 ≥ 0

Pentru jocul analizat, atât ϕ1 cât şi ϕ2 sunt nenegative şi ca atare, vom nota x3 = ϕ2 şi y4 = ϕ1. De asemenea, vom transforma, în sistemele scrise anterior, inegalităţile în egalităţi, prin introducerea unor variabileecart, notate θi, i = 1,2 , respectiv µj, j = 1,3 .

Teoria jocurilor

Obţinem: x1 + x2 = 1 (I)

12x2 – x3 + µ1 = 0

y1 + y 2 + y 3 = 1 (II)

x1 + 10x2 - x3 + µ2 = 0

4y1 + 2y2 + 8y3 – y4 + θ1 = 0 6y1 + 2y2 + 4y3 - y4 + θ2 = 0

6x1 + 9x2 - x3 + µ3 = 0 x1, ..., x3 ≥ 0; µ1,...,µ3 ≥ 0

y1, ..., y4 ≥ 0; θ1, θ2 ≥ 0

Relaţiile (3) vor avea drept corespondent următoarele egalităţi: (III)

x1θ1 + x2θ2 = 0 y1µ1 + y2µ2 + y3µ3 = 0

Căutarea soluţiilor jocului bimatriceal se structurează aşadar în: - rezolvarea în domeniul numerelor nenegative a sistemului liniar (I), în necunoscutele x1, x2, x3, µ1, µ2, µ3; - rezolvarea în domeniul numerelor nenegative a sistemului liniar (II), în necunoscutele y1, y2, y3, y4, θ1, θ2; - „filtrarea” soluţiilor, prin verificarea, de tip încrucişat, a îndeplinirii condiţiilor (III). În fapt, obiectivul nostru principal este să deducem soluţiile posibile de bază pentru fiecare din sistemele (I) sau (II), deoarece soluţia generală se

poate obţine ca o combinaţie liniară convexă a soluţiilor de bază. Probarea condiţiilor (III) o vom face aşadar pentru diferite perechi de soluţii de bază.


Să considerăm matricea sistemului liniar (I), în care fiecare coloană este notată cu ak, k = 1,6 : a1 a2

a3 a4 a5 a6

⎛1 1 0 ⎜ ⎜ 0 12 − 1 ⎜ 1 10 − 1 ⎜ ⎜ 6 9 −1 ⎝

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

Procedura este cea cunoscută de la programarea liniară: se aleg patru coloane din cele 6 astfel încât ele să formeze o bază în ℝ4, B = ⎨a k 1 , a k 2 , a k 3 , a k 4 ⎬. Atunci soluţia de bază va fi dată de (x, µ) = (B-1b, 0), unde b = (1, 0,0,0)T este coloana termenilor liberi şi toate variabilele ale căror coloane asociate nu au intrat în bază iau valoarea 0. Fie de exemplu mulţimea ⎨a1, a2, a3, a5⎬. Deoarece: 1 1 0 0 12 − 1 det[a1, a2, a3, a5] = 1 10 − 1 6 9 −1

0 0 = 9 ≠ 0, rezultă că 1 0

B = ⎨a1, a2, a3, a5⎬ este o bază. Alegem µ1 = µ3 = 0. Avem de rezolvat sistemul: x1 + x2 = 1 12x2 – x3 = 0 x1 + 10x2 - x3 + µ2 = 0 6x1 + 9x2 - x3 = 0

Teoria jocurilor

Se deduce uşor că x3 = 12x2, x2 = 2x1. Cum x1 + x2 = 1, rezultă x1 =

1 2 , x2 = , x3 = 8 şi µ2 = 1. 3 3 1 2 Soluţia de bază va fi deci (x, µ)1 = ( , ,8,0,1,0), având toate 3 3

componentele pozitive sau nule. Repetând procedeul pentru alte baze şi testând nenegativitatea componentelor soluţiilor, vom găsi încă două soluţii posibile de bază. (x, µ)2 = (1,0,6,6,5,0), corespunzând bazei ⎨a1, a3, a4, a5⎬ şi (x, µ)3 = (0,1,12, 0,2,3), corespunzând bazei ⎨a2, a3, a5, a6⎬. Matricea sistemului (II) este: b1 b2 b3 b4 b5 b6 ⎛ 1 1 1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 8 −1 1 0⎟ ⎜ 6 2 4 −1 0 1⎟ ⎝ ⎠

Putem alege o bază formată din coloanele b1, b2 şi b4, deoarece determinantul corespunzător lor are valoarea -2. Alegem y3 = θ1 = θ2 = 0. Din sistemul: y1 + y2 = 1 4y1 + 2y2 – y4 = 0 6y1 + 2y2 – y4 = 0 deducem y1 = 0, y2 = 1 şi y4 = 2, care ne dau soluţia posibilă de bază: (y, θ)1 = (0,1,0,2,0,0). Pentru bazele ⎨b1, b3, b4⎬, ⎨b3, b4, b6⎬ şi ⎨b1, b4, b5⎬, vom obţine alte soluţii posibile de bază ale sistemului: 2 1 16 (y, θ)2 = ( , 0, , , 0, 0), (y, θ)3 = (0,0,1,8,0,4), 3 3 3


(y, θ)4 = (1, 0,0,6,2,0).

Înainte de a trece la verificarea condiţiilor (III), observăm că, în ipotezele de nenegativitate a componentelor, x1θ1 + x2θ2 = 0 este echivalentă cu x1θ1 = 0 şi x2θ2 = 0 şi similar y1µ1 + y2µ2 + y3µ3 = 0 e îndeplinită dacă şi numai dacă y1µ1 = 0, y2µ2 = 0 şi y3µ3 = 0. În consecinţă, dacă un θ (µ) este nenul, atunci componenta x (y) cu acelaşi indice trebuie să fie egală cu zero. Pentru facilitarea examinărilor necesare, vom construi două tabele în care marcăm în prima coloană cuplul de strategii (x, y) examinat, prin indicii corespunzători ordinilor date, iar în ultima coloană, prin *, dacă perechea (x, y) respectă condiţia impusă. Primul tabel este: (x,y) (1,1) (2,1) (3,1) (1,2) (2,2) (3,2) (1,3) (2,3) (3,3) (1,4) (2,4) (3,4)

θ1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2

θ2 0 0 0 0 0 0 4 4 4 0 0 0

x1 1/3 1 0 1/3 1 0 1/3 1 0 1/3 1 0

x2 2/3 0 1 2/3 0 1 2/3 0 1 2/3 0 1

*/* * * * * * * *

Teoria jocurilor

Referitor la modul de completare a tabelului, am marcat cu * perechea (2,3), deoarece θ1x1 = 0 ⋅ 1 = 0 şi θ2x2 = 4 ⋅ 0 = 0, în timp ce pentru perechea (1, 4) avem θ1 = 2 ≠ 0 şi x1 =

1 ≠ 0, ş.a.m.d.. 3

Cel de-al doilea tabel se prezintă astfel:

(x,y) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)

µ1 0 0 0 0 6 6 6 6 0 0 0 0

µ2 1 1 1 1 5 5 5 5 2 2 2 2

µ3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3

y1 0 2/3 0 1 0 2/3 0 1 0 2/3 0 1

y2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

y3 0 1/3 1 0 0 1/3 1 0 0 1/3 1 0

*/* * * * *

Am marcat cu * cuplul de strategii (1, 2), pentru că avem: µ1y1 = 0 ⋅

2 1 = 0, µ2y2 = 1 ⋅ 0 = 0 şi µ3y3 = 0 ⋅ = 0. În schimb 3 3

cuplul (3, 2) va fi marcat cu – (respins), deoarece µ1y1 = µ2y2 = 0, însă µ3y3 = 3 ⋅

1 = 1 ≠ 0. 3

Vom extrage din fiecare tabel perechile de strategii marcate cu asterisc şi apoi vom intersecta cele două mulţimi. Astfel obţinem: ⎨(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,2), (3,2), (2,3), (3, 4)⎬ ∩ ∩ ⎨(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3, 4)⎬ = ⎨(1,2), (2,3), (3, 4)⎬.

Intersecţia găsită conţine strategiile de echilibru Nash (pure sau mixte) ale jocului considerat. Acestea sunt (respectând ordinea):


⎛⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞⎞ ⎜⎜ ⎜ , ⎟, ⎜ ,0, ⎟ ⎟⎟ ; ((1, 0), (0,0,1)); ((0,1), (1, 0,0)). ⎝⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠⎠

Se observă că avem o pereche de strategii mixte (prima) şi două perechi de strategii pure, mai exact (A1, B3) şi (A2, B1). În încheierea discuţiei despre punctele de echilibru ale unui joc bimatriceal, facem următoarele observaţii: 1. În situaţia în care elementele matricelor de câştiguri nu sunt toate

pozitive sau nule, trebuie să considerăm că ϕ1 şi ϕ2 sunt numere reale. Pentru a putea să ne folosim în continuare de procedeul descris mai înainte, putem proceda în două moduri: a) să exprimăm fiecare variabilă ϕi, i = 1,2 ca diferenţa a două variabile cărora li se impune să ia valori nenegative: ϕi = ϕ’i - ϕ”i, ϕ’i ≥ 0, ϕ”i ≥ 0, i = 1,2 ;

b) să adunăm la matricile C1 sau C2 o matrice (m × n) formată din constante identice între ele, suficient de mari, transformarea neafectând decât valorile câştigurilor medii, nu şi determinarea strategiilor de echilibru; 2. În exemplul rezolvat mai înainte, trebuiau considerate cel mult

C 64 = 15 situaţii care conduc la o bază pentru matricea sistemului (I) şi cel mult C 36 = 20 situaţii de acelaşi tip în cazul sistemului (II). Pentru un număr mai mare de strategii ale fiecărui jucător, pentru a fi aplicabilă, metoda face apel la un program care generează soluţii posibile de bază şi le testează în mod automat; 3. Asupra elementelor matricilor de câştiguri pot fi operate şi alte

tipuri de transformări, ca de pildă scalarea (înmulţirea cu un factor pozitiv). De asemenea se poate discuta despre o strategie pură

Teoria jocurilor

dominată de o strategie mixtă, care ar putea să o disloce, fără a afecta esenţial găsirea punctelor de echilibru, (Cititorul este îndemnat să compare ultimul joc analizat cu unul prezentat anterior şi să tragă concluziile de rigoare).

4.2 Jocuri bimatriceale cooperative

Aşa cum arătam la începutul discuţiei privind jocurile cu sumă arbitrară, un joc cooperativ este acela în care regulile sale permit alegerea în comun a strategiilor şi transferul de câştiguri între jucători, în scopul cointeresării lor într-o anumită acţiune comună. Ne vom servi de exemplul câtorva jocuri, pentru a ilustra situaţii în care jucătorii au interesul să coopereze între ei. Punctul de plecare îl va constitui, în ideea continuităţii, noţiunea de cuplu de strategii de echilibru Nash. Să considerăm jocul bimatriceal următor: B1 A1 (1,2) A2 (2,2)

B2 B3 (2,-2) (3,1) (4,-1) (6,3)

Se observă cu uşurinţă că perechea de strategii (A2, B3) reprezintă un punct de echilibru al jocului (în strategii pure). În particular, câştigurile corespunzătoare ale jucătorilor (6, respectiv 3) sunt valorile maxime ale funcţiilor de câştig ale fiecăruia, deci şi suma câştigurilor (care nu mai poate fi îmbunătăţită prin considerarea strategiilor mixte) este maximă, între toate combinaţiile posibile de strategii. Într-un asemenea caz, ipoteza cooperării între cei doi jucători nu are nici un efect.


Dacă însă analizăm jocul: B1 A1 (3,2) A2 (2,8)

B2 (9,1) (7,5)

vom constata că, deşi (A1, B1) este punct de echilibru al jocului, câştigurile care le revin jucătorilor nu îi pot mulţumi. Chiar suma lor, 5, ia valoarea cea mai mică posibilă. Eliminând perechile (A2, B1) şi (A1, B2), care favorizează un jucător şi îl defavorizează pe celălalt, rămâne perechea (A2, B2), ale cărui câştiguri aduc un plus amândurora faţă de ce le oferă strategiile de echilibru. Ea este însă instabilă. Ieşirea din această dilemă se face prin modificarea regulilor jocului, prin acceptarea cooperării. Odată acceptată, ea aduce cu sine însă o altă problemă, aceea a împărţirii între cei doi jucători a câştigului comun, egal cu 12. Teoretic, se poate impune interzicerea plăţilor laterale între jucători, situaţie în care distribuţia câştigurilor poate să rămână cea de la început. Nu vom adopta o asemenea ipoteză în cele ce urmează. Jocurile de tip cooperativ au o problematică specifică şi rezolvarea lor presupune atât introducerea unor noţiuni noi cât şi revalorizarea altora mai vechi. Se pune astfel o primă întrebare: sub ce limită a câştigului nu poate să accepte să coboare fiecare jucător? Răspunsul îl furnizează acel câştig pe care îl poate obţine un jucător, acţionând în mod independent, indiferent de strategia (pură sau mixtă) aleasă de celălalt jucător. Referindu-ne la primul jucător, obţinem valoarea maximin a jocului corespunzătoare lui, dată de expresia:

Teoria jocurilor

u* = max min ϕ1(x,y), x∈X

y∈Y

unde x şi y sunt strategii mixte pe mulţimea strategiilor lui P1, respectiv ale lui P2. Analog, pentru P2 valoarea maximin va fi: v* = max min ϕ2(x,y). y∈Y

x∈X

Deci, notând cu (u, v) o pereche de câştiguri ale celor doi jucători, ea ar putea constitui o soluţie a jocului cooperativ numai dacă avem (u, v) ≥ (u*, v*). La întrebarea unde trebuie căutată soluţia jocului, răspunsul îl dă noţiunea fundamentală de mulţime admisibilă. Aceasta, notată cu S, este mulţimea tuturor perechilor de câştiguri (u, v) pe care le pot obţine, prin cooperare în alegerea strategiilor, cei doi jucători. Datorită faptului că sunt acceptate strategiile mixte şi, mai mult, ele pot fi corelate, această submulţime a lui ℝ2 are proprietatea de convexitate. Este de presupus că forma lui S va avea o influenţă asupra găsirii soluţiei jocului. O altă noţiune importantă este aceea de frontieră Pareto-optimală a mulţimii admisibile S. Astfel, un punct (u, v) ∈ S aparţine acesteia dacă oricare ar fi ε > 0, δ > 0 rezultă (u + ε, v) ∉ S şi (u, v + δ) ∉ S. Vom ilustra noţiunile introduse mai înainte şi vom schiţa metoda de găsire a soluţiei, folosindu-ne de exemplul următorului joc bimatriceal. A1 A2 A3

B2 B1 (3,8) (1,2) (4,5) (2,0) (3/2,6) (5,3)


Presupunem că regulile jocului permit cooperarea între jucători (dar nu ca o consecinţă a faptului că jocul nu admite puncte de echilibru în strategii pure). Inversând ordinea de mai înainte, vom determina mai întâi mulţimea admisibilă S, precizând frontiera sa Pareto-optimală, folosindu-ne de o reprezentare grafică. Dacă notăm cu W11 punctul din plan de coordonate 3 (1, 2) şi, mai departe, W12 = (3, 8), W21 = (2, 0), W22 = (4, 5), W31 = ( , 6), 2 W32 = (5, 3), unde legătura dintre perechile de indici şi perechile de câştiguri este evidentă, atunci S va fi reprezentată prin aşa-numita „acoperire convexă” a punctelor W11, ..., W32 (adică cea mai mică mulţime convexă plană care le conţine), dată în figura următoare prin mulţimea haşurată: V

W12 W31 W22 S W32 W11

0

W21

u

Să precizăm că există cazuri în care unele puncte - câştiguri W pot să fie situate în interiorul poligonului convex determinat de restul punctelor, caz în care mulţimea S va fi generată folosind numai aceste din urmă puncte. Frontiera Pareto-optimală a lui S va fi formată, în mod firesc, din laturi ale poligonului W11W21 ... W31. Singurele care satisfac condiţia dată sunt W12W22 şi W22W32. (Pentru puncte (u, v) aparţinând altor segmente,

Teoria jocurilor

cum ar fi W21W32 sau W31W12 este suficient să luăm (u, v + δ) sau (u + ε, v), cu ε, δ > 0 alese corespunzător, pentru a constata că punctele obţinute fac parte din S). Această frontieră Pareto [W12, W22, W32] va constitui, de fapt, zona de interes în identificarea soluţiei jocului, deoarece ea corespunde cursului de creştere, atât în u cât şi în v, a punctelor (u, v) din S, favorabil ambilor jucători. În continuare vom găsi valorile maximin ale jocului (în strategii mixte). Pentru a uşura calculele, să facem observaţia că atunci când dorim să minimizăm ϕ1(x, y) în raport cu y ∈ Y, pentru un x ∈ X fixat, este suficient să considerăm strategiile pure y = (1, 0) şi y = (0, 1) deoarece putem scrie: ϕ1(x, y) = xC1yT = (x1, x2, x3)C 11 y1 + (x1, x2, x3) C 12 y2

unde y = (y1, y2), y1, y2 ≥ 0, y1 + y2 = 1, iar C 11 şi C 12 sunt respectiv prima şi a doua coloană a matricei de câştiguri a jucătorului P1, notată C1. Concret, vom avea: min ϕ1(x, y) = min⎨x1 + 2x2 + y∈Y

= x1 + 2x2 +

3 x3 2

3 x3, 3x1 + 4x2 + 5x3⎬ = 2 (x1, x2, x3 ≥ 0)

Cum X = ⎨(x1, x2, x3)⎪x1, x2, x3 ≥ 0, x1 + x2 + x3 = 1⎬ este un simplex în ℝ3, vom găsi: u* = max min ϕ1(x, y) = max (x1 + 2x2 + x∈X

y∈Y

x∈X

3 x3) = 2, care se atinge în 2

vârful (0,1,0) al lui X. Cu un argument asemănător, folosind egalitatea ϕ2(x, y) = yC T2 xT, unde C2 este matricea câştigurilor lui P2, vom obţine: min ϕ2(x, y) = min⎨2y1 + 8y2, 5y2, 6y1 + 3y2⎬. x∈X


Dar y2 = 1 – y1, deci vom calcula: min⎨-6y1 + 8, -5y1 + 5, 3y1 + 3⎬ pentru y1 ∈ [0, 1]. Expresia acestuia este egală cu 3y1 + 3, dacă y1 ∈ [0,

1 ] şi egală cu 4

1 -5y1 + 5, dacă y1 ∈ [ , 1]. În final, avem: 4 v* = max min ϕ2(x, y) = 3 ⋅ y∈Y

x∈X

1 15 +3= . 4 4

Soluţia jocului cooperativ dat, în sensul lui Nash, va fi o pereche ( u , v ) din S, cu proprietatea ( u , v ) ≥ (2,

15 ) şi care maximizează expresia 4

(u – u*)(v – v*) pentru acele perechi (u, v) cu u ≥ 2 (în cazul în care există (u, v) ∈ S cu u > u* şi v > v*). Ea va aparţine frontierei Pareto-optimale a lui S. Se demonstrează că punctul căutat (unic prin construcţie) are proprietatea că dreapta tangentă la frontiera lui S, dusă prin el, are panta (coeficientul unghiular) egală cu opusul pantei dreptei care uneşte (u*,v*) cu ( u , v ). Evident, această tangentă trebuie să existe, drept pentru care punctele W12, W22 şi W32 sunt tratate (eventual) separat. Cum coeficientul unghiular al dreptei care uneşte (2,

15 ) cu un 4

(u, v) de pe frontieră este o mărime care variază continuu, analiza decurge după cum urmează. Panta dreptei care conţine segmentul [W32W22] (şi care joacă rolul tangentei la frontiera lui S pentru punctele din interiorul său) este: α1 =

5−3 = -2. 4−5

Teoria jocurilor

Unind punctul (2,

15 ) cu (5, 3) se obţine o dreaptă cu panta egală 4

15 4 = - 1 . Asemănător, dreapta care trece prin punctele (2, 15 ) şi cu: 5−2 4 4 3−

(4, 5) are panta egală cu

5 . Aşadar, făcându-l pe (u, v) să varieze în 8

interiorul lui [W32W22] obţinem o dreaptă cu panta β care parcurge 1 5 , ). Cum opusul lui α1 nu se găseşte în această plajă de 4 8

intervalul (-

1 5 valori (2 ∉ (- , )), rezultă că ( u , v ) nu aparţine interiorului segmentului 4 8 menţionat. Continuând analiza cu punctele din interiorul segmentului [W22W12], constatăm că panta dreptei – suport a acestuia este α2 = unim pe (2,

8−5 = -3. Dacă 3−4

15 17 ) cu (3, 8) obţinem o dreaptă având panta egală cu . Deci, 4 4

atunci când (u, v) variază între capetele W22 şi W12, dreapta care îl uneşte cu 5 17 (u*,v*) are panta β ∈ ( , ). 8 4 5 17 În acest caz, - α2 = 3 ∈ ( , ) şi rămâne să îl determinăm pe 8 4 ( u , v ) ca un punct situat între W22 şi W12. Dreapta care trece prin punctele (4, 5) şi (3, 8) are ecuaţia: v−5 u −4 ⇔ v = -3u + 17. Ea se va intersecta cu o dreaptă care = 3 −1 trece prin (2,

15 ), de pantă egală cu β2 = 3, în ( u , v ). 4


Rezultă sistemul de ecuaţii: v-

15 = 3(u – 2) 4

v = - 3u + 17 de unde, prin eliminarea lui v, găsim 6u = 17 + iar v = 3 ⋅

9 77 ≈ 3.208, şi deci u = 4 24

59 77 9 - = = 7.375. 24 4 8

Soluţia de tip Nash a jocului cooperativ considerat mai sus este perechea de câştiguri ( u , v ) = (

77 59 , ). 24 8

La acest moment se cuvine a fi făcută o observaţie referitoare la transferul câştigurilor. Astfel, din ecuaţia: v = -3u + 17, rezultă că o unitate valorică cedată de P1 se transferă în 3 unităţi valorice ale lui P2, deoarece avem: -3(u – 1) + 17 = -3u + 17 + 3 = v + 3. Putem vorbi deci de o rată de transfer a câştigurilor de la P1 către P2, egală cu 3(3 la 1). Să facem diferenţele între câştigul dat de soluţia Nash şi valoarea maximin pentru fiecare jucător în parte: 77 29 59 15 29 − = -2= ; 24 24 8 4 8 Raportul lor (în ordinea P2 / P1) este

29 29 ÷ = 3, deci coincide cu 8 24

rata de transfer. Aceasta ne arată că părţile de câştig obţinute prin cooperare, în plus faţă de câştigul maximin, de către fiecare jucător, se situează într-o proporţie egală cu rata de transfer în punctul ( u , v ).

Teoria jocurilor

Să nu pierdem din vedere faptul că scopul fiecărui jucător este ca săşi îmbunătăţească câştigul, inclusiv prin cooperare, dar neexcluzând influenţele subiective. În acest context, putem observa că suma câştigurilor Nash: u + v ≈ 3.208 + 7.375 = 10.583,

este strict inferioară sumei 3 + 8 = 11 ce rezultă dacă cei doi jucători convin să aplice strategiile A1 şi B2, respectiv. Diferenţa rezultată ar putea să fie obiectul unui transfer de câştig în scopul amintit. Trebuie să acceptăm din această cauză concluzia că soluţia Nash nu e cea mai bună? Să observăm că în calculele de mai sus nu am ţinut seama de rata de transfer, egală cu 3 pentru toţi (u, v) ∈ [W12, W22]. Acestea ar fi trebuit să arate astfel (în unităţi ale lui P2): 3 × 3 + 1 × 8 = 9 + 8 = 17 3 × 3.208 + 1 × 7.375 = 9.624 + 7.375 = 16.999 ≈ 17. În încheiere să menţionăm că există şi un alt mod de producere a soluţiei jocului cooperativ, bazat pe aşa-numitele strategii de ameninţare. Pentru lămuriri, îndrumăm cititorul către referinţele bibliografice date.

5. Jocuri de n persoane. Valoare Shapley

În cele ce urmează vom considera jocul de n persoane, în care notăm cu N = ⎨1, 2, ..., n⎬ mulţimea tuturor jucătorilor şi presupunem permisă cooperarea între aceştia. Definiţia 1. Orice submulţime nevidă a lui N (inclusiv N şi toate

submulţimile formate dintr-un singur jucător) se numeşte coaliţie.


Definiţia 2: Se numeşte funcţie caracteristică a unui joc de n jucători

funcţia v, definită pe mulţimea părţilor lui N, care asociază fiecărei coaliţii S ⊂ N valoarea maximin (corespunzătoare lui S) a jocului de două persoane jucat între coaliţiile S şi N – S. Deci notăm prin v(S) câştigul pe care jucătorii din S îl pot obţine în joc (acţionând în cooperare), indiferent de ceea ce fac restul jucătorilor. Prin definiţie vom considera: v(Φ) = 0

(1)

Dacă S şi T sunt coaliţii disjuncte, unindu-şi forţele, ele pot realiza un câştig cel puţin tot atât ca în cazul când acţionează separat. Acest lucru se scrie astfel: v(S ∪ T) ≥ v(S) + v(T), dacă S ∩ T = Φ

(2)

şi înseamnă că funcţia caracteristică v are proprietatea de superaditivitate. Dacă în jocul de două persoane elementul esenţial era studiul strategiilor mixte, în jocul de n persoane acest element esenţial este formarea de coaliţii. Funcţia caracteristică dă posibilităţile diferitelor coaliţii şi este cea mai potrivită pentru studiul acestora. Definiţia 3: Prin joc de n persoane în formă caracteristică se

înţelege o funcţie v cu valori reale definită pe submulţimile lui N şi care satisface condiţiile (1) şi (2). Prin definiţie, v(S) este valoarea maximin a jocului între S şi N - S. Dacă presupunem că jocul este cu sumă constantă, adică suma câştigurilor tuturor jucătorilor este constantă, indiferent de desfăşurarea jocului, atunci: v(S) + v(N-S) = v(N). v(N) este valoarea ce se poate obţine prin cooperare generală şi se mai numeşte valoare totală.

Teoria jocurilor

Notăm cu v(⎨i⎬) valoarea pe care jucătorul i o poate obţine acţionând independent. Evident jucătorul i va intra în coaliţia S dacă valoarea câştigului este cel puţin v(⎨i⎬). Definiţia 4: Într-un joc v de n persoane vectorul x = (x1, ..., xn), cu

condiţiile: a)

∑x i∈N

i

= v(N) şi

b) xi ≥ v(⎨i⎬), (∀) i ∈ N,

se numeşte imputaţie.

Evident, din a) şi b), rezultă că: v(N) ≥

∑ v({}i ) . i∈N

Definiţia 5: Un joc v se numeşte esenţial, dacă

v(N) >

∑ v({}i )

şi neesenţial în caz contrar.

i∈N

Jocurile esenţiale sunt acelea ce prezintă interes. Deoarece jocurile în forma caracteristică (definiţia 3) sunt funcţii cu valori reale, are sens să vorbim despre suma a două sau mai multe jocuri. Definiţia 6: Se numeşte suport al unui joc v o coaliţie T cu

proprietatea: v(S) = v(S ∩ T)

pentru orice coaliţie S.

Aceasta înseamnă că orice jucător care nu aparţine unui suport al jocului este lipsit de importanţă, adică nu aduce nimic unei coaliţii. Definiţia 7: Fie v un joc de n persoane şi π o permutare arbitrară a

mulţimii N. Prin πv înţelegem jocul obţinut din v în care s-au interschimbat rolurile jucătorilor prin permutarea π.


Axiomele Shapley

Numim

valoare

a

unui

joc

v

de

n

persoane,

vectorul

ϕ[v] = (ϕ1[v],..., ϕn[v]), unde ϕi[v] reprezintă partea care trebuie atribuită

jucătorului i, i = 1, n , din câştigul total v(N), cu proprietăţile: a1) pentru orice suport S al lui v avem:

∑ ϕ [v] = v(S) ; i∈S

i

a2) pentru orice permutare π şi orice jucător i ∈ N, ϕπ(i)[πv] = ϕi[v]; a3) pentru oricare două jocuri u şi v avem: ϕ[u + v] = ϕ[u] + ϕ[v]. Aceste trei proprietăţi sunt axiomele lui Shapley şi ele sunt suficiente pentru a determina o funcţie valoare ϕ, definită pentru toate jocurile. Dăm fără demonstraţie următoarea: Teoremă [16]

Există o funcţie unică ϕ, definită pentru toate jocurile, care satisface axiomele a1, a2, a3 şi anume: ϕi[v] =

( t − 1)!(n − t )! [v(T) − v(T − {} i )] n! T⊂ N

∑

(3)

i∈T

unde t este numărul jucătorilor din coaliţia T. Semnificaţia termenului v(T) – v(T - ⎨i⎬) este câştigul primit de jucătorul i, sau valoarea cu care acest jucător contribuie la câştigul total al coaliţiei T din care face parte. Dacă vom presupune că termenul v(T) – v(T - ⎨i⎬) poate lua numai valorile 0 sau 1, şi anume ia valoarea 1 dacă şi numai dacă T este o coaliţie câştigătoare, dar T - ⎨i⎬ nu este câştigătoare, atunci jocul v este un joc simplu, iar formula (3) se simplifică, astfel: ϕi[v] =

( t − 1)!(n − t )! n! T⊂ N

∑

i∈T

(4)

Teoria jocurilor

unde sumarea se face pentru toate coaliţiile câştigătoare T pentru care T - ⎨i⎬ nu este câştigătoare. Aplicaţie [16]

O societate pe acţiuni are 4 acţionari ce posedă respectiv 10, 20, 30 şi 40% din acţiuni. Toate deciziile privind activitatea societăţii se iau cu majoritatea simplă (cel puţin 51% voturi, care sunt proporţionale cu numărul de acţiuni posedate). Considerând această situaţie ca un joc simplu de 4 persoane se cere: a) să se găsească toate coaliţiile câştigătoare; b) să se scrie coaliţiile câştigătoare T pentru care T - ⎨1⎬ nu este câştigătoare; c) să se determine valoarea Shapley ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4), unde ϕi este partea ce se atribuie jucătorului i, i = 1,4 , din câştigul total; d) să se facă observaţii asupra rezultatului obţinut la punctul c). Rezolvare a) Coaliţiile câştigătoare sunt:

⎨2, 4⎬, ⎨3, 4⎬, ⎨1, 2, 3⎬, ⎨1, 2, 4⎬, ⎨1, 3, 4⎬, ⎨2, 3, 4⎬, ⎨1, 2, 3, 4⎬. b) Dintre coaliţiile câştigătoare ce îl conţin pe primul acţionar

singura care devine necâştigătoare când este scos din coaliţie acesta este coaliţia: ⎨1, 2, 3⎬, în care t (numărul acţionarilor) este egal cu 3. c) Aplicând formula (4), unde t = 3, n = 4, i = 1, avem:

ϕ1 =

2!1! 1 = . 4! 12

Analog, coaliţiile câştigătoare, care îşi pierd această proprietate dacă acţionarul 2 este înlăturat sunt: ⎨2, 4⎬, ⎨1, 2, 3⎬,⎨1, 2, 4⎬.


Formula (4) va da pentru ϕ2 suma a trei termeni, fiecare corespunzând uneia din coaliţiile de mai sus. Astfel pentru coaliţia ⎨2, 4⎬, t = 2, n = 4, i = 2, primul termen din (4) va fi: (2 − 1)! (4 − 2)! 1 = . 4! 12 Pentru ⎨1, 2, 3⎬, t = 3, n = 4, i = 2, obţinem: (3 − 1)! (4 − 3)! 1 = . 4! 12 Iar pentru ⎨1, 2, 4⎬, t = 3, n = 4, i = 2, aceeaşi valoare ca mai sus, adică

1 . Atunci: 12

ϕ2 =

1 1 1 1 + + = . 12 12 12 4

Procedând similar vom obţine:

ϕ3 =

5 1 şi ϕ4 = . 4 12

Astfel valoarea Shapley este vectorul:

ϕ=(

1 1 1 5 , , , ). 12 4 4 12

Observaţie: ϕ este o imputaţie deoarece satisface condiţiile

definiţiei 4. d) Valoarea Shapley nu concordă cu vectorul voturilor dat de

(

1 1 3 2 , , , ) ale cărui componente sunt proporţionale cu numărul 10 5 10 5

acţiunilor deţinute. Astfel ϕ2 = ϕ3 deşi acţionarul 3 posedă mai multe acţiuni ca acţionarul 2. Acţionarul 3 nu are posibilităţi mai mari decât acţionarul 2 de a

Teoria jocurilor

participa la o coaliţie câştigătoare. Importanţa acţionarului 4 este mai mare decât cea corespunzătoare procentului acţiunilor sale, iar a jucătorului 1 este mai mică decât cea corespunzătoare acţiunilor sale. Dacă acţionarii ar deţine respectiv 10, 30, 30, 30% din acţiuni, oricare doi dintre acţionarii 2, 3, 4 pot forma coaliţii câştigătoare în timp ce acţionarul 1 este lipsit de orice importanţă neputând aduce nimic nici unei coaliţii. Atunci valoarea jocului este vectorul:

ϕ = (0,

1 1 1 , , ). 3 3 3

6. Probleme 1. Să se stabilească valoarea jocului şi strategiile pure optime pentru

jocul: B A A1 A2 A3 βj

B1

B2

B3 B4

-4 8 -1 8

4 6 0 6

2 5 1 5

11 7 -4 11

αi -4 5 -4

Rezolvare

Luând αi = min aij, i = 1,3 , βj = max aij, j = 1,4 , completăm 1≤ j≤ 4

1≤ i ≤ 3

coloanele αi, respectiv βj. Şi deoarece α = max αi = 5 = α2, iar β = min βj = 1≤ i ≤ 3

1≤ j≤ 4

= 5 = β3 rezultă că jocul are punct şa, iar strategiile pure optime ale celor doi jucători sunt respectiv A2 şi B3, iar valoarea jocului v = a23 = 5.


2. Să se rezolve jocul de ordinul 2 × 2 cu matricea:

⎛ −1 1⎞ ⎟⎟ , pe cale matriceală. A = ⎜⎜ ⎝ 6 0⎠ Rezolvare

Jocul nu are punct şa deoarece 6 şi 1 nu sunt minime pe liniile lor. Vom folosi relaţiile (9) de la 2.3.a. Cum ⎪A⎪ = -6 ≠ 0 şi:

⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ , JA* = (1, 1) A* = ⎜⎜ ⎝ − 6 − 1⎠

⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ = (-6, -2); ⎜⎜ ⎝ − 6 − 1⎠

⎛ 0 − 1⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , JA*JT = (-6, -2) A*JT = ⎜⎜ 6 1 − − ⎠ ⎝1⎠ ⎝ − 7 ⎠ ⎝

⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = -8 ⎝1⎠

rezultă că: x= yT = v=

JA * 1 ⎛3 1⎞ = − (−6,−2) = ⎜ , ⎟ T JA * J 8 ⎝ 4 4⎠ A * JT 1 ⎛ −1⎞ ⎛ 1/ 8 ⎞ 1 7 ⎟⎟ , de unde y = ( , ) = − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ T 8 8 JA * J 8 ⎝ − 7 ⎠ ⎝ 7 / 8⎠ |A| −6 3 = . = T JA * J −8 4

3. Să se rezolve pe cale grafică jocul a cărui matrice este:

⎛ 6 − 2⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜5 ⎜3 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 5 ⎟ ⎜ 2 − 2⎟ ⎠ ⎝

Teoria jocurilor

Rezolvare

Observăm că linia a cincea este dominată de linia a treia, deci vom renunţa la linia a cincea şi jocul va fi de forma 4 × 2,

⎛ 6 − 2⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜5 A= ⎜ . 3 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 5 ⎟ ⎠ ⎝ Strategiile jucătorului P2 verifică relaţiile: 6y1 – 2y2 ≤ v 5y1 + y2 ≤ v 3y1 + 4y2 ≤ v -y1 + 5y2 ≤ v y1 + y2 = 1 Punând y1 = 1 – y2 în primele 4 inegalităţi, acestea devin: 6 – 8y2 ≤ v 5 – 4y2 ≤ v y2 + 3 ≤ v 6y2 – 1 ≤ v şi sunt reprezentate grafic mai jos: v 6 (d4)

5 M 3

(d3)

5 4

(d2) 1 -1 -2 (d1)

y2


unde am asociat fiecărei inegalităţi (i), dreapta di, i = 1,4 , ce împarte semiplanele determinate de inegalitatea (i). Porţiunea din plan cuprinsă între y2 = 0 şi y2 = 1 (y2 este o probabilitate), şi dedesubtul liniei frânte îngroşate conţine mulţimea punctelor (y2, v) ce verifică cele 4 inegalităţi. Linia îngroşată conţine punctele cu cea mai mare valoare a lui v, iar dintre acestea punctul cu cea mai mică valoare dintre cele de pe linia frântă este M = d2 ∩ d3 şi deci va avea coordonatele date de soluţia sistemului: 5 – 4y2 = v y2 + 3 = v de unde y2 =

2 3 , y1 = iar v = 3, 4, deci y2 şi v satisfac restricţiile 2 şi 3 cu 5 5

egalităţi. Teorema ecarturilor ne spune că atunci componentele x2 şi x3 din problema duală vor fi pozitive. 3 2 Deci strategia lui P2 este y = ( , ). 5 5 Soluţia optimă a jucătorului P1 verifică relaţiile: 6x1 + 5x2 + 3x3 – x4 ≥ v -2x1 + x2 + 4x3 + 5x4 ≥ v x1 + x2 + x3 + x4 = 1 în care x2, x3 > 0 iar x1 = x4 = 0. Atunci eliminând prima şi a patra linie din A va rezulta un joc redus cu matricea:

⎛5 1⎞ ⎟⎟ . A1 = ⎜⎜ ⎝ 3 4⎠ Determinarea strategiei lui P1 o vom face cu ajutorul formulelor (9) din 2.3.a, unde:

⎛ 4 − 1⎞ ⎟⎟ ; JA 1* = (1,1) ⎪A1⎪ = 17; A 1* = ⎜⎜ 3 5 − ⎠ ⎝

⎛ 4 − 1⎞ ⎟⎟ = (1, 4); ⎜⎜ ⎝− 3 5 ⎠

Teoria jocurilor

⎛1⎞ JA 1* JT = (1, 4) ⎜⎜ ⎟⎟ = 5 deci: ⎝1⎠ x=

JA1* 1 4 1 4 1 şi strategia lui = (1, 4) = ( , ), deci x2 = , x3 = * T JA1 J 5 5 5 5 5

P1 este x = (0,

1 4 , , 0). 5 5

4. Să se determine prin metodele cunoscute valoarea jocului şi

strategiile jucătorilor pentru cazul în care matricea plăţilor este:

⎛4 ⎜ ⎜1 ⎜2 ⎜ ⎜ −1 ⎝

0 − 2 − 1⎞ ⎟ 3 4 5⎟ . 3 1 1⎟ ⎟ 1 2 3 ⎟⎠

Rezolvare

Aplicând principiul strategiilor dominate observăm că linia a doua are elementele respectiv mai mari ca linia a patra, deci o vom şterge pe aceasta din urmă. Coloana a treia domină coloana a patra, care va fi ştearsă şi matricea jocului se va restrânge la:

⎛ 4 0 − 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 3 4 ⎟ . ⎜2 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ Cercetăm dacă jocul este cu punct şa, adăugând matricei A coloana

αi (a celor mai mici elemente pe linie) şi linia βj (a celor mai mari elemente pe coloană).


Obţinem: A1 A2 A3 βj

B1 4 1 2 4

B2 0 3 3 3

B3 -2 4 1 4

αi -2 1 1

de unde α = maxαi = 1, β = minβj = 3, deci α ≠ β, jocul nu are punct şa, iar valoarea jocului v ∈ (1, 3). a) Rezolvăm întâi problema pe cale matriceală, folosind formulele

(9’) din observaţia dată în paragraful 2.3.a.

⎪A⎪ = -30; ⎛− 9 − 6 6 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 7 8 − 18 ⎟ ⎜ − 3 − 12 12 ⎟ ⎠ ⎝ ∗

JA ∗ = (− 5,−10, 0 ); A ∗ J T = (− 9, − 3, − 3); JA ∗ J T = −15 x=

JA ∗ 1 ⎛1 2 ⎞ = − (− 5; − 10, 0 ) = ⎜ , , 0 ⎟ ∗ T 15 JA J ⎝3 3 ⎠

A∗J∗ 1 ⎛3 1 1⎞ = − (− 9, − 3, − 3) = ⎜ , , ⎟ J= ∗ T 15 JA J ⎝5 5 5⎠

v=

A ∗ T

JA J

=

− 30 =2 − 15

Aplicăm procedeul din observaţia mai sus citată şi verificăm criteriul lui Neumann, astfel:

⎛ 4 0 − 2⎞ ⎟ ⎛1 2 ⎞ ⎜ x A = ⎜ , , 0 ⎟ ⋅ ⎜1 3 4 ⎟ = (2, 2, 2 ) = 2J ⎝3 3 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝2 3 1 ⎠

Teoria jocurilor

⎛ 4 0 − 2 ⎞ ⎛ 3 / 5⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A y = ⎜1 3 4 ⎟ ⋅ ⎜1 / 5 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ = 2 J T ⎜ 2 3 1 ⎟ ⎜1 / 5 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ T

Deci x şi y sunt o soluţie a jocului cu v = 2 . b) Rezolvăm problema prin programare liniară. Modelul matematic

al jocului scris din punctul de vedere al celui de al doilea jucător cu strategia y = (y1 , y 2 , y 3 ) , va fi: − 2y 3 ≤ v

4 y1

y 1 + 3y 2 + 4 y 3 ≤ v 2 y 1 + 3y 2 + y 3 ≤ v

y1 + y 2 + y 3 = 1; y j ∈ [0,1], j = 1,3 .

Cum v ∈ (1,3) deci este pozitiv, împărţim relaţiile de mai sus prin v şi notăm: Yj =

yj v

, j = 1,3

Deoarece P2 urmăreşte să facă minim v, atunci va dori să facă maxim 1 şi obţinem: v [max]g =

1 = Y1 + Y2 + Y3 v

4Y1

− 2Y3 ≤ 1

Y1 + 3Y2 + 4Y3 ≤ 1 2Y1 + 3Y2 + Y3 ≤ 1 Yj ≥ 0 , j = 1,3 Aducem problema la forma standard şi aplicăm algoritmul simplex.


− 2Y3 + Y4 = 1

4Y1

Y1 + 3Y2 + 4Y3 + Y5 = 1 2Y1 + 3Y2 + Y3 + Y6 = 1 Yj ≥ 0 , j = 1,6 [max]g =

1 = Y1 + Y2 + Y3 + 0 (Y4 + Y5 + Y6 ) . v

B

CB

YB

a4 a5 a6

0 0 0

1 1 1 0

a1 a5 a6

a1 a3 a6

gj ∆j=cj-gj 1 0 0 gj ∆j=cj-gj 1 1 0 gj ∆j=cj-gj

1/4 3/4 2/4 1/4 1/3 1/6 1/6 1/2

1 a1 4 ↓ 1 2 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

1 a2 0 3 3 0 1 0 3 3 0 1 1/3 2/3 5/3 1 0

1 a3 -2 4 1 0 1 -1/2↓ 9/2 2 -1/2 3/2 0 1 0 1 0

0 a4 1 0 0 0 0 1/4 -1/4 -1/2 1/4 -1/4 2/9 -1/18 -7/18 1/6 -1/6

0 a5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1/9 2/9 0 1/3 -1/3

Am ajuns la soluţia optimă care va fi: max g =

1 1 = , de unde v = 2 . v 2

Y1 = 1 / 3 , Y3 = 1 / 6 de unde y1 = v Y1 = 2 ⋅ 1 / 3 =

2 ; 3

y 3 = v Y3 = 2 ⋅ 1 / 6 = 1 / 3 , deci strategia lui P2 va fi : ⎛ 2 1⎞ y = ⎜ ,0, ⎟ ⎝ 3 3⎠

0 a6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

θ

0 1/6 1/4

Teoria jocurilor

1 1 , X 2 = , X 3 = 0 de unde : 6 3 2 1 1 ⎛1 2 ⎞ x 1 = vX1 = 2 = ; x 2 = ; x 3 = 0 şi x = ⎜ , , 0 ⎟ . 3 6 3 ⎝3 3 ⎠

X1 =

Observaţie: Prin metoda b) strategia lui P1 este aceeaşi cu cea din a), dar strategia lui P2 diferă. Acest lucru a apărut deoarece în rezolvarea prin simplex a problemei, în etapa de optim ∆2 = 0 deşi a2 ∉ B. În acest caz problema are o infinitate de soluţii. Să mai găsim una continuând simplexul cu încă o iteraţie prin introducerea în bază a lui a2 şi eliminarea lui a6.

a1 a3 a2

1 1 1 gj ∆j=cj-gj

3/10 1/10 1/10 1/2

1 0 0 1 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

3/10 1/10 -7/10 1/6 -1/6

1/9 2/9 0 1/3 -1/3

-1/5 -2/5 3/5 0 0

⎛1 2 ⎞ Obţinem aceeaşi valoare v = 2 şi x = ⎜ , , 0 ⎟ . ⎝3 3 ⎠

Dar Y1 =

3 1 1 , Y2 = , Y3 = , ce conduce la: 10 10 10

3 1 1 ⎛3 1 1⎞ y1 = , y 2 = , y 3 = , adică y = ⎜ , , ⎟ soluţie găsită şi prin 5 5 5 ⎝ 5 5 5⎠ metoda a). Dar dacă o problemă de programare liniară are două soluţii optime: ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 1 1⎞ y′ = ⎜ , 0, ⎟ şi y′′ = ⎜ , , ⎟ ea va avea o infinitate de soluţii optime, date 3 3 ⎝ ⎠ ⎝5 5 5⎠

de combinaţia liniară convexă de y' şi y''. Deci P2 are o infinitate de strategii date de:

1⎞ ⎛2 ⎛3 1 1⎞ y = λy ′ + (1 − λ ) y ′′ = λ⎜ , 0, ⎟ + (1 − λ ) ⎜ , , ⎟ = 3⎠ ⎝3 ⎝ 5 5 5⎠ ⎛ 9 + λ 1 − λ 3 + 2λ ⎞ , , =⎜ ⎟, 0 ≤ λ ≤ 1. 5 15 ⎠ ⎝ 15


Observaţie: Dacă la metoda matriceală de la punctul a) am fi aplicat

procedeul dat în paragraful 2.3.a, am fi găsit şi altă soluţie pentru jocul considerat şi orice combinaţie liniară convexă de soluţiile găsite ar fi fost tot o soluţie a jocului, de unde infinitatea de soluţii dată de algoritmul simplex. 5. Să se rezolve jocul G = (A, B, f) în care matricea plăţilor A este: B A A1 A2 A3

B1

B2

B3 B4

3 6 2

-1 8 5

0 3 1

7 5 3

Rezolvare

Determinăm valoarea inferioară şi valoarea superioară ale jocului: αi = min aij şi v G = max αi = α 1≤ j≤ 4

1≤ i ≤ 3

βj = max aij şi v G = min βj = β 1≤ j≤ 4

1≤ i ≤ 3

Avem: B A A1 A2 A3 βj

B1

B2

B3 B4

3 6 2 6

-1 8 5 8

0 3 1 3

7 5 3 7

αi -1 3 1

α1 = min⎨3, -1, 0,7⎬ = -1 α2 = min⎨6, 8, 3,5⎬ = 3 α3 = min⎨2, 5, 1,3⎬ = 1 de unde α = max⎨-1, 3, 1⎬ = 3 = v G . β1 = max⎨3, 6, 2⎬ = 6;

β2 = max⎨-1, 8, 5⎬ = 8;

Teoria jocurilor

β3 = max⎨0, 3, 1⎬ = 3;

β4 = max⎨7, 5, 3⎬ = 7;

β = min⎨6, 8, 3, 7⎬ = 3 = v G . Cum vG = v G = 3, rezultă că jocul are punct şa şi P1 va alege numai strategia A2 iar P2 numai B3, indiferent de numărul partidelor ce se joacă. 6. Să se rezolve jocul matriceal G = (A, B, f) asociat unei situaţii de

concurenţă a două firme, dacă s-a stabilit că matricea jocului este: B A A1 A2 A3

B1

B2

B3

0 -2 1

-5 2 -1

2 -1 1

Rezolvare

Determinăm vG şi v G pentru a vedea dacă jocul are punct şa. Avem: B A A1 A2 A3 βj

B1

B2

B3 αi

0 -2 1 1

-5 2 -1 2

2 -1 1 2

-5 -2 -1

vG = maxαi = max⎨-5, -2, -1⎬ = -1 v G = minβj = min⎨1, 2, 2⎬ = 1

Din vG ≠ v G rezultă că jocul nu are punct şa şi valoarea lui v ∈ (-1, 1). Căutăm strategiile mixte x = (x1, x2, x3) pentru P1 şi y = (y1, y2, y3) pentru P2, prin intermediul programării liniare. Mai întâi transformăm elementele matricei A, pentru a avea v > 0.


E suficient să adunăm 2 la elementele matricei iniţiale şi avem: ⎛ 2 − 3 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 4 1 ⎟ = (aij + 2). ⎜ 3 1 3⎟ ⎝ ⎠

Jocul corespunzător matricei A va avea aceleaşi strategii mixte optime ca jocul iniţial, doar valoarea jocului este v = v + 2, adică cu 2 mai mare decât valoarea jocului iniţial. Pentru P2 problema de programare liniară ce trebuie rezolvată va fi: 2y1 – 3y2 + 4y3 ≤ v 4y2 + y3 ≤ v 3y1 + y2 + 3y3 ≤ v y1 + y2 + y3 = 1 yj ≥ 0, j = 1,3 Cu v > 0, Yj = [max]g =

yj v

şi

1 = [max]g, avem: v

1 = Y1 + Y2 + Y3 v

2Y1 – 3Y2 + 4Y3 + Y4 = 1 4Y2 + Y3 + Y5 = 1 3Y1 + Y2 + 3Y3 + Y6 = 1 Yj ≥ 0, j = 1,6 .

Rezolvăm problema aplicând algoritmul simplex.

Teoria jocurilor

B

CB

YB

a4 a5 a6

0 0 0

1 1 1 0

a4 a2 a6

a4 a2 a1

gj ∆j=cj-gj 0 1 0 gj ∆j=cj-gj 0 1 1 gj ∆j=cj-gj

7/4 1/4 3/4 1/4 3/4 1/4 1/4 1/2

1 a1 2 0 3 0 1 4↓ 0 3 0 1 0 0 1 1 0

1 a2 -3 ↓ 4 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

1 a3 4 1 3 0 1 19/4 1/4 11/4 1/4 3/4 13/12 1/4 11/12 7/6 -1/6

0 a4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 a5 0 1 0 0 0 3/4 1/4 -1/4 1/4 -1/4 13/12 1/4 -1/2 1/6 -1/6

0 a6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -4/3 0 1/3 1/3 -1/3

θ 1/4 1/3

7/16 3/12

Am ajuns la soluţia optimă care este: [max]g = Y1 =

y1 v

1 1 = , de unde v = 2 v 2

=

1 1 1 1 1 , de unde y1 = 2 = ; Y2 = , de unde y2 = , 4 4 2 4 2 y3 = 0;

X2 = deci: x = (0,

1 x1 1 1 1 2 , de unde x2 = 2 = ; X3 = , de unde x3 = ;x1 = 0 = 6 6 3 3 3 v 1 2 1 1 , ), y = ( , ,0) iar v = v - 2 = 2 – 2 = 0. 3 3 2 2

Echilibrul realizat se manifestă aici prin anularea câştigului fiecărui participant. 7. O familie se aprovizionează pentru iarnă cu cărbune de un anumit

tip. Cantitatea necesară şi condiţiile de aprovizionare sunt date în următorul tabel [10]:


Iarna Uşoară Obişnuită Grea

Cantitatea necesară în tone 4 5 6

Preţ unitar u.m./t 70 75 80

Dacă aprovizionarea se face vara, preţul unitar este de 60 u.m./t. Se cere: a) să se scrie matricea plăţilor ştiind că aprovizionarea se face în timpul verii; b) să se decidă strategia prin criteriul maximin; c) să se decidă strategia prin criteriul minimax; d) să se decidă strategia prin criteriul Savage; e) să se decidă strategia când stările iernii sunt egal probabile; alternativ, când probabilităţile sunt respectiv 0,2; 0,5 şi 0,3; f) pentru α = 0,75 să se determine strategia optimă prin criteriul Hurwicz. Rezolvare a) Matricea asociată jocului generat de problema dată va fi:

Strategia iernii uşoară Cantitatea S1:4t contractată A1:4t -240 A2:5t -300 A3:6t -360

obişnuită S2:5t

grea S3:6t

-315 -300 -360

-400 -380 -360

unde, de exemplu, elementul de pe linia lui A2 şi coloana lui S3 s-a calculat astfel: s-au cumpărat 5t a câte 60 u.m. pentru care s-au plătit 300 u.m.; iarna

Teoria jocurilor

fiind grea, mai este nevoie de o tonă ce se cumpără iarna cu preţul de 80 u.m., deci în total cheltuielile vor fi de 380 sau în matricea câştigurilor lui P1 vom scrie -380. b) În aplicarea criteriului maximin se alege minimul elementelor de

pe fiecare linie şi dintre acestea se determină maximul, astfel: A1

A2

A3

-400

-380

-360

Cel mai mare este -360 şi indică alegerea strategiei A3. c) Criteriul minimax recomandă alegerea elementului maxim de pe

fiecare linie şi apoi determinarea celui mai mic dintre acestea. A1

A2

A3

-240

-300

-360

Cel mai mic este -360 şi corespunde strategiei A3. d) Formăm matricea R a regretelor din A scăzând din cel mai mare

element al unei coloane toate elementele coloanei respective. Obţinem: ⎛ 0 15 40 ⎞ ⎜ ⎟ R = ⎜ 60 0 20 ⎟ . ⎜120 60 0 ⎟ ⎝ ⎠

Determinăm apoi în R cel mai mare element pe fiecare linie şi apoi cel mai mic dintre acestea. Obţinem: A1

A2

A3

40

60

120

Cel mai mic este 60 şi recomandă strategia A2.


e) În ipoteza că stările Si, i = 1,3 , sunt egal probabile, vom calcula

cheltuielile medii pentru fiecare strategie Ai, i = 1,3 . Astfel: ϕ(1, y) =

1 1 1 955 (-240) + (-315) + (-400) = 3 3 3 3

ϕ(2, y) = -

980 1080 şi ϕ(3, y) = . 3 3

Cea mai mare dintre aceste sume este ϕ(1, y) şi recomandă A1. Dacă stările nu sunt egal probabile ci au respectiv probabilităţile: 0,2; 0,5; 0,3, cheltuielile medii vor fi: ϕ(1, y) = 0,2(-240) + 0,5(-315) + 0,3(-400) = -325, 5 ϕ(2, y) = 0,2(-300) + 0,5(-300) + 0,3(-380) = -324 ϕ(3, y) = 0,2(-360) + 0,5(-360) + 0,3(-360) = -360 şi cea mai mică cheltuială este ϕ(2, y) şi recomandă A2. f) Ataşăm matricei iniţiale A coloanele elementelor mi = min aij şi 1≤ j≤ 3

Mi = max aij, apoi coloana elementelor αMi + (1 - α)mi, astfel: 1≤ j≤ 3

Ai A1 A2 A3

Si

S1

S2

S3

mi

Mi

αMi+(1-α)mi

-240 -300 -360

-315 -300 -360

-400 -380 -360

-400 -380 -360

-240 -300 -360

160α-400 80α-380 -360

Pentru α = 0,75, corespunzător lui A1, obţinem pe ultima coloană 160 ⋅ 0,75 – 400 = - 280; pentru A2, 80 ⋅ 0,75 – 380 = -320 şi pentru A3, - 360. Cea mai mică cheltuială este pentru A1.

Teoria jocurilor

8. Să se elimine strategiile dominate şi să se cerceteze existenţa

punctelor de echilibru Nash (în strategii pure) pentru următorul joc bimatriceal. P2

P1 A1 A2 A3 A4

B1

B2

B3

B4

(5,4) (2,7) (6,8) (3,2)

(3,1) (3,4) (1,3) (4,7)

(9,0) (1,3) (0,2) (2,4)

(4,2) (0,1) (3,5) (2,6)

Rezolvare

Se observă mai întâi că strategia A4 a jucătorului P1 domină strict strategia A2 (oricare ar fi strategia de răspuns Bj a lui P2, avem a4j > a2j). După eliminarea lui A2, care nu afectează punctele de echilibru, observăm că strategia B4 a lui P2 domină strict pe B3 (deoarece 2 > 0, 5 > 2 şi 6 > 4). După ce B3 este suprimată şi ea, obţinem un tabel restrâns. A1 A3 A4

B1 (5,4) (6,8) (3,2)

B2 (3,1) (1,3) (4,7)

B4 (4,2) (3,5) (2,6)

În această fază nu vom mai găsi strategii dominate. Urmând procedura de determinare a răspunsurilor optime, pe linii şi pe coloane, vom obţine marcările de mai jos: A1 A3 A4

B1 (5,4) (6,8) (3,2)

B2 (3,1) (1,3) (4,7)

B4 (4,2) (3,5) (2,6)

Cum singurele perechi de câştiguri cu două sublinieri sunt (6,8) şi (4,7), rezultă că (A3, B1) şi (A4, B2) sunt puncte de echilibru ale jocului (în strategii pure). Observând câştigurile corespunzătoare, se poate spune că


(A3, B1) este preferabil lui (A4, B2) pentru ambii jucători şi deci poate constitui soluţia jocului. 9. Să se construiască un joc bimatriceal care să admită un punct de

echilibru format din strategii pure de tip maximin. Rezolvare

Fie jocul cu sumă arbitrară dat prin matricea: A1 A2

B1 (4,5) (2,6)

B2 (3,4) (5,7)

Se observă, fără dificultate, că (A1, B1) şi (A2, B2) sunt puncte de echilibru Nash al jocului. În acelaşi timp, avem valorile maximin: max min aij = max⎨min⎪⎨4,3⎬, min⎨2,5⎬⎬ = max⎨3,2⎬ = 3 i =1, 2

j=1, 2

max min bij = max⎨min⎪⎨5,6⎬, min⎨4,7⎬⎬ = max⎨5,4⎬ = 5 i =1, 2

j=1, 2

Deci A1 e strategia maximin a lui P1 şi B1 e strategia maximin a lui P2. Se confirmă, pe de altă parte, faptul că orice punct de echilibru îi promite fiecărui jucător un câştig mai mare sau egal cu valoarea maximin corespunzătoare lui a jocului. 10. Să se arate că jocul în formă normală de mai jos nu admite

puncte de echilibru Nash în strategii mixte: A1 A2

B1 (1,0) (0,3)

B2 (1,2) (0,1)

B3 (0,1) (2,0)

Teoria jocurilor

Rezolvare

Fie (p, q, 1 – p – q) o strategie mixtă pe B = ⎨B1, B2, B3⎬. Avem deci p, q ≥ 0 şi p + q ≤ 1. Căutăm răspunsul optim al lui P1 la această strategie a lui P2. Dacă P1 foloseşte strategia A1 atunci îi revine un câştig mediu egal cu p + q, iar dacă foloseşte strategia A2, câştigul mediu este 2(1 – p – q). Comparându-le, se deduce imediat că dacă p + q ∈ [0, 2/3) cel mai bun răspuns este A2 în timp ce pentru p + q ∈ (2/3, 1], cel mai bun răspuns este A1. Cazul p + q =

2 nu face deosebire între A1 şi A2 ca replici optime 3

ale lui P1. Dacă vom considera o strategie mixtă (r, 1 – r) pe A = ⎨A1, A2⎬, 0 ≤ r ≤ 1, câştigurile medii ale lui P2 vor fi egale cu 3 – 3r, r + 1 sau r, după cum foloseşte strategiile pure B1, B2 sau B3, respectiv. Din inegalităţile 3 – 3r > r + 1 > r reiese că răspunsul optim al lui P2 este B1, pentru r<

1 1 1 şi B2, pentru r > . În cazul r = , se reţin ca cel mai bun răspuns 2 2 2

oricare dintre strategiile B1 sau B2. Să presupunem că punctele de echilibru ale jocului sunt de forma ((r*, 1 – r*), (p*, q*, 1 – p* - q*)). Vom analiza situaţiile posibile pentru r*: I.

Dacă r* ∈ [0,

1 ), răspunsul optim al lui P2 este B1, căruia i-ar 2

corespunde ca strategie mixtă valorile p* = 1, q* = 0, ceea ce înseamnă că p* + q* = 1 >

2 şi, în replică, am avea strategia 3

optimă A1 a lui P1. Cum A1 poate fi identificată cu strategia mixtă (1, 0), rezultă r* = 1, contrazicând ipoteza iniţială;


II. În cazul r* =

1 , orice strategie mixtă a lui P2 de forma 2

(λ, 1-λ, 0), 0 ≤ λ ≤ 1 este un răspuns optim. Discuţia continuă ca mai înainte şi se ajunge la concluzia r* = 1 ≠ III. Dacă r* ∈ (

1 ; 2

1 , 1), replica cea mai bună a lui P2 este B2; ei îi 2

corespund valorile p* = 0, q* = 1 şi cum p* + q* >

2 , răspunsul 3

1 optim al lui P1 e din nou A1. Obţinem, ca mai sus, r*= 1∉( ,1); 2 IV. Ultima posibilitate, r* = 1 ne conduce la o strategie de răspuns

cu p* = 0, q* = 1 şi, de această dată, cu răspunsul în oglindă al lui P1, lanţul deducţiilor se închide. Am obţinut astfel un punct de echilibru în strategii pure, ((1,0), (0,1,0)), fapt ce clarifică cerinţa problemei vis-à-vis de teorema lui Nash. Să mai observăm că, deoarece strategia B3 este strict dominată, componenta corespunzătoare ei într-o strategie optimă a lui P2 nu putea fi decât nulă. 11. ([12]) Două firme cu profile asemănătoare de activitate oferă

fiecare câte un loc de muncă. Să presupunem că se plătesc salarii diferite: firma i plăteşte salariul si, unde (1/2) s1 < s2 < 2s1. Să presupunem că există doi lucrători ce doresc să se angajeze, dar fiecare nu poate opta decât pentru o singură firmă, acest lucru făcându-se simultan. Dacă numai câte un singur lucrător îşi oferă serviciile unei firme, el este angajat. Dacă ambii lucrători optează pentru aceeaşi firmă, aceasta angajează pe unul dintre ei, la întâmplare, iar celălalt rămâne, pe mai departe, fără serviciu (şi cu o plată presupusă nulă). Să se găsească soluţia în strategii de echilibru Nash a acestui joc.

Teoria jocurilor

Rezolvare

Vom construi pentru început forma normală a jocului descris. Jucătorii sunt cei doi lucrători, strategiile lor constând din opţiunile pe care le fac pentru firma 1 sau firma 2 şi pe care le notăm cu A1, A2, respectiv B1, B2. Vom nota, ca de obicei, cu f1(⋅,⋅) şi f2(⋅,⋅) respectiv, funcţiile de câştig ale jucătorilor. Considerând utilităţile imediate ale celor doi lucrători, rezultate în urma alegerilor făcute, putem construi următoarea matrice de plăţi (în ipoteza şanselor egale): A1 A2

B1 1 1 ( s1, s1) 2 2 (s2,s1)

Ţinând seama de ipotezele

B2 (s1,s2) 1 1 ( s2, s2) 2 2

1 1 s1 < s2 şi s2 < s1, vom putea scrie: 2 2

f1(A1, B2) = s1 >

1 s2 = f1(A2, B2) 2

f2(A1, B2) = s2 >

1 s1 = f2(A1, B1) 2

de unde rezultă că (A1, B2) este punct de echilibru Nash. Asemănător, obţinem relaţiile: f1(A2, B1) = s2 >

1 s1 = f1(A1, B1) 2

f2(A2, B1) = s1 >

1 s2 = f2(A2, B2) 2

ceea ce arată că şi (A2, B1) este un punct de echilibru Nash. Faptul că fiecare lucrător este angajat dacă se optează pentru una sau cealaltă dintre perechile de strategii discutate vine în acord cu ideea de echilibru, chiar dacă unul dintre jucători poate să nu fie mulţumit pe deplin cu salariul pe care îl obţine.


Dacă fiecare jucător ţine la şansa sa de a fi angajat şi de a primi un salariu mai bun, atunci are sens considerarea strategiilor mixte. Fie (y, 1-y) o strategie mixtă a lui P2. Atunci câştigul mediu al lui P1 va fi dat de: 1 1 ys1 + (1 – y)s1 = s1 - ys1, sau 2 2 ys2 +

1 1 1 (1 – y) s2 = s2 + ys2, după cum foloseşte strategia pură 2 2 2

A1 sau A2. Din inegalitatea s1 -

1 1 1 ys1 > s2 + ys2, rezultă că pentru 2 2 2

⎡ 2s − s ⎞ y ∈ ⎢0, 1 2 ⎟⎟ cel mai bun răspuns al lui P1 la strategia mixtă a lui P2 este ⎣ s1 + s 2 ⎠ ⎛ 2s − s A1, iar pentru y ∈ ⎜⎜ 1 2 ,1] , acesta este A2 (să observăm că s1 < 2s2 e ⎝ s1 + s 2 echivalent cu 2s1 – s2 < s1 + s2). O analiză similară se face pornind de la o strategie mixtă (x, 1 – x) pe ⎨A1, A2⎬. Urmând procedeul de rezolvare descris în soluţia la problema 10, vom obţine următorul punct de echilibru Nash în strategii mixte: ⎛ ⎛ 2s1 − s 2 2s 2 − s1 ⎞ ⎛ 2s1 − s 2 2s 2 − s1 ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ s + s , s + s ⎟, ⎜ s + s , s + s ⎟ ⎟ . 1 2 1 2 1 2 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ Desigur că în acest exemplu de joc nu se pune problema repetării sale de un număr de ori care să permită alternarea strategiilor. Metoda de decizie pentru oricare jucător este să folosească un generator de numere aleatoare (de tipul funcţiei RND a unui calculator de buzunar); dacă valoarea generată se găseşte în intervalul (0, atunci el va alege strategia A1(B1), altfel va juca A2(B2).

2s1 − s 2 ), s1 + s 2

TEORIA JOCURILOR

Recommend Documents