UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ENERGIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA
MECANICA DE FLUIDO II
TEMA
ONDA DE CHOQUE (FLUJO COMPRESIBLE)
JUAN ALBERTO FRECH RAMIREZ JOSE CABRERA QUISPE Callao, Febrero, 2018 PERU
1
DEDICACIÓN
A todos los compañeros compañeros de clases clases que fortalecemos fortalecemos día a día nuestros conocimientos conocimientos de ingeniería
2
INDICE CAPITULO I PLANTAMIENTO DEL PROBELMA 1.1 Determinación del Problema 1.2 Objetivos de la Investigación 1.3 Justificación CAPITULO II MARCO TEORICO 2.1 Marco Conceptual
CONCLUSIONES RECOMENDACIONES REFERENCIAS BIBLIOFRAFICAS
3
INTRODUCCION Hasta ahora hemos limitado nuestra atención principalmente principalmente a flujos para
los cuales las
variaciones de densidad y los efectos de compresibilidad son insignificantes. insignificantes. Sin embargo, embargo, en este capítulo se ignora esta limitante y se consideran fluidos que implican cambios importantes en la densidad. Estos flujos llamados flujos compresibles se encuentran con frecuencia en dispositivos que incluyen el flujo de gases a altas velocidades. Los flujos compresibles combinan la dinámica de fluidos y la termodinámica, ambas son absolutamente necesarias necesarias para el desarrollo de los fundamentos teóricos necesarios. En este capítulo se comentan las relaciones generales asociadas con fluidos compresibles para un gas ideal con calores específicos constantes. Al inicio del capítulo se introducen introducen los conceptos conceptos de estado de estancamiento, estancamiento, velocidad velocidad del sonido y número de Mach para flujos compresibles. Las relaciones entre las propiedades estáticas y de estancamiento se desarrollan para flujos isentrópicos de gases ideales, y se expresan en función de la razón de calores específicos y el número de Mach. Se tratan los efectos de los cambios del área en flujos isentrópicos unidimensionales subsónicos y supersónicos. Estos efectos se ilustran considerando considerando el flujo isentrópico a través de toberas convergentes convergentes y toberas convergentes-divergente convergentes-divergentes. s. Se estudia el concepto co ncepto de ondas de choque y la variación de las propiedades de flujo a través de ondas de choque normales y oblicuas. Para finalizar, se consideran los efectos de la fricción y la transferencia de calor en flujos compresibles, compresibles, además se incluyen relaciones relaciones para los cambios en las propiedades.
4
CAPITULO I 1.1 Determinación del Problema 1.2 Objetivos de la Investigación 1.3 Justificación
5
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Determinación del Problema Los alumnos carecen de información didáctica y teórica en el curso de Mecánica de Fluidos II, siendo esta de suma importancia para el desarrollo y desenvolvimiento de los futuros profesionales en la sociedad al enfrentarse con esta situación buscan por sus propios medios, la utilización, la aplicación y el funcionamiento de cada uno de los temas. Existe una guía completa de estudios o un manual físico que describa el contenido y la implementación del tema, pero de manera poco didáctica sin ejemplos reales y sin aplicaciones apegadas a la realidad nacional que contribuya al aprovechamiento integral del contenido del curso. Existe fuentes bibliográficas donde los estudiantes obtienen información, sin embargo, carecen de información concisa y detallada, así como de la forma de aplicación en planos constructivos, de los cálculos de diversos elementos, de la utilización de sus simbologías y de las características de los sistemas constructivos a utilizar.
1.2 Objetivos de la Investigación 1.2.1 Objetivo General Elaborar una
guía teórica-didáctica del tema de Flujo compresible y Ondas de
Choque.
1.2.2 Objetivos Específicos •
Dar a conocer los fundamentos científicos y de ingeniería. 6
•
Ejemplificar las correspondientes aplicaciones de los temas para facilitar la enseñanza-aprendizaje entre docentes y alumnos.
•
Diseñar y elaborar una guía sobre Flujo compresible y Ondas de Choque y ser una fuente de consulta para profesionales.
•
Elaborar un libro electrónico que facilite el cálculo para conocer el tonelaje de aire acondicionado necesario para diferentes espacios arquitectónicos.
1.3 Justificación El diseño, la estructuración y la implementación de una guía sobre Flujo compresible y Ondas de Choque es un apoyo y una orientación académica a la investigación y a la formación para los estudiantes de la Carrera de Ingeniería Mecánica. La importancia del Manual radica en que los estudiantes tengan una fuente confiable de información clara y concisa con ejemplos reales y tener la capacidad de ponerlos en práctica para elaborar sus propios proyectos desarrollando los métodos de diseño y cálculo constructivo, representándolos por medio de la expresión gráfica. La presente investigación proyecta ser un instrumento de utilidad para estudiantes de Ingeniería Mecánica y una fuente de consulta para Profesionales.
7
CAPITULO II 2.1 Marco Conceptual
8
MARCO TEORICO
2.3 MARCO CONCEPTUAL
Flujo Compresible En este capítulo se consideraría los efectos de la compresibilidad del fluido sobre las características del flujo. Los efectos de la compresibilidad se ven reflejados por ejemplo en una v ariación brusca de las propiedades del fluido, como por ejemplo la densidad y la presión, aceleración del flujo en ductos divergentes, etc. Dado que los efectos de la compresibilidad de los líquidos son despreciables en comparaci ó n a los efectos de la compresibil idad de los gases se considerará s ó l o el flu jo de gases. Además se supondrá que los gases se comportan como gases ideales.
Relaciones termodinamicas para un gas ideal ´
Dado que una v ariaci´on de la densidad esta asociada a una diferencia o v ariaci´on de la temp er- atura amicas y/o la presi´ ´ necesario utilizar en el an´ on sera alisis las distintas relaciones termo din´ existentes para un gas ideal. on de Ecuaci´
es
1
pv = p ρ
=
tado.
La ecuaci´on de estado para un gas ideal es
RT
p = ρRT
donde p es la presi´ on, ρ la densidad, T la temperatura absoluta y R la constante del gas que se obtiene de R
Rtt =
M
donde Rtt es la constante universal de los gases y M el peso molecular del gas.
En erg´ıa inte rna. Para un gas perfecto la energ´ıa interna espec´ıfica u es una funci´on solo de la temperatura, es decir, u = u(T ). Diferenciando u y suponiendo que la temperatura T y el v olumen espec´ıfico v como v ariables de estado para representar u se obtiene du =
. ∂u Σ ∂T
dT + v
. ∂u Σ ∂v
dv
T
9
de donde para un gas ideal du = dT
. ∂u Σ ∂T
. v
El calor espec´ıf ico a v olumen constante C v se define como
. C v
=
∂u ∂T
gas ideal
Σ
↓
=
v
du . dT
Integrando la ecuaci´ on anterior entre dos puntos es p osible determinar la v ariaci´ on de la energ´ıa interna u debida a una cambio de temperatura u2 − u1 = C v(T 2 − T 1) .
Para gases reales se cumple que C v es una funci´on de la temperatura, es decir, C v Entalp´ıa.
=
C v (T ).
La entalp´ıa espec´ıf ica h se define como
h = u + pv .
Para un gas ideal o perfecto se cumple que u
=
on de estado en la u(T ). Introduciendo la ecuaci´
ecuaci´on anterior se obtiene h = u(T ) + RT = h(T ) ,
de donde es posible apreciar que la entalp´ıa de un gas ideal es solo funci´on de la temp eratura, es decir, h = h(T ). El calor espec´ıfico a presi´ on constante C p se define como
. C p
=
Σ
∂h ∂T
gas ideal ↓
=
p
d h . dT
Al igual que para la energ´ıa interna, la relaci´on anterior se puede utilizar para determinar el cambio de entalp´ıa debido a un cambio de temperatura h2 − h1 = C p(T 2 − T 1) .
Para gases reales se cumple que C p = C p(T ). Dif erenciando la relaci´on para la entalp´ıa h = u + pv se obtiene dh = du + R dT
dh du = + R dT dT ⇒
C p = C v + R
10
o C p − C v = R .
Dado que R > 0 se desprende que C p > C v . Se define el coeficiente isoentr´opico k como la raz´on entre C p y C v k
=
C p , C v
de donde C p = C v
=
Entrop´ ıa.
k
R , k −1 1
R . k −1
Para analizar la v ariaci´on de entrop´ıa existen b´asicamente las siguientes dos rela-
ciones
1. T ds = du + p d
.1Σ
,
2. T ds = dh − 1 dp. De las relaciones anteriores se puede obtener que ds = C dT v
+
R
d
1 /ρ
T
.1 Σ ρ
y dT
ds = C p
T
− R
dp . p
Integrando las relaciones anteriores entre dos puntos es posible determinar el cambio de entrop´ıa espec´ıfica ⇒ s − s = C ln T 2 + R ln ρ1 , 2 1 v ρ2 T 1 s − s = C ln T 2 − R ln p2 . 2 1 p T 1 p1
Si el flujo es adiab´atico y sin f ricci´on se tiene que ds = 0 o s2 − s1 denomin a flujo isoentr´opico. De las relaciones anteriores se obtiene C ln
T 2
v
+ R ln
ρ1
T 1
= C
ln p
ρ2
T 2
T 1
− R ln
p2
=
0.
Este tipo de flu jo se
=0.
p1
⇒
. T Σ 2
T 1
−1 k k
=
. ρ
2
ρ1
Σk
. p
2
=
Σ
.
p1
Se puede concluir que para el flu jo isoentr´opi co de un gas ideal se cumple la relaci´on p
= cte. . 11
Nu ´mero de Mach / V elocidad del sonido El nu ´ mero de Mach ( M ) es un nu ´ mero adimensional definido como la raz´on entre la v elo cidad del flujo V y la velocidad local del sonido en el gas c ⇒ M =
V
.
c
La velocidad del sonido (ver cap´ıtulo1.2.6) es la velocidad con que se propaga una onda de presi´on a tra v ´es de un fluido. Considerando el pulso de presi´on de la figura (onda el´ astica) que se desplaza a la v elo cidad del sonido en un fluido originalmente en reposo. Aguas arriba del pulso de presi´on las condiciones del fluido
VC
V=0
p+ p
c
p
quedan alteradas.
pulso de presión
V
Pulso de presi´on un v olumen de control que en vuelva el pulso podemos aplicar la ecuaci´on de continuidad y cantidad de mo vimiento para dete rminar la v elo cidad de propagaci´on c. Aplicando la ecuaci´ on de continuidad se obtiene Tomando
ρAc = ( ρ + δρ) A (c − δV ) .
Desarrollando y despreciando los t´erminos de orden
δ
2
se obtiene
ρ δV = c δρ .
La ecuaci´on de cantidad de mo v imiento aplicada al v olumen de control queda
−cρcA + (c − δV ) ( ρ + δρ) (c − δV ) A = pA − ( p + δp) A . Desarrollando y despreciando los t´erminos de orden
δ
2
y superiores se obtiene
−cρc + (c − δV ) ρc = δp ⇒
δV
ρδV =
.
c
Combinando los dos resultados anteriores se obtiene c=
. δp δρ
.
Tomando el l´ımite cuando δ → ∂ se obtiene finalmente c=
. ∂p
.
∂ρ
Para un flu jo isoentr´opico se tiene que p = cte · ρk de donde √ c=
kRT. 12
Utilizando el m´odulo de compresi bilidad v olum´etrica E v se obtiene c=
. E
v
.
ρ
, lo que implica que una v ariaci´on de la presi´on Para fluidos incompresibles se cumple que c ∞ ´n punto de ´este se propaga instan del flu jo en algu t´aneamente a to do el fluido. →
Clasificaci´ on de los
tip os
de flujo
A parte de las clasificaciones vistas hasta aqui (flujo ideal, uni-, bidimensional, permanente, no permanente, etc.) la compresibilidad agrega una nueva posibilidad que queda caracterizada por ´ mero de Mach. El gr´afico 11.1 muestra la v ariaci´on de la presi´on con el nu ´ mero el v alor del nu de Mach para el caso de un flu jo incompresible y un flujo compresible. De este gr´afico se puede v er que para v alores de M inferiores a 0.3 la soluci´on incompresible es id´entica a la compresi ble. Para un valor de M = 0 .4 la diferencia entre ambas soluciones es del orden de un 4 %. Por lo tanto, un flujo de gases se puede considerar como incompresible si M < 0.3. Lo anterior nos entrega la siguiente clasificaci´ on de acuerdo al nu ´mero de Mach: Flujo incompresible Flu jo compresible subs´onico Flu jo trans´onico Flu jo supers´onico Flu jo hipers´onico
0. 3 ≤ <
.0 1.0 < 3 .0 < 1
∼
0.3
M
<
M
< 1.0 <
M
∼
M
.0
1
≤ 3
M
2.0 1.20
Solución Compresible
1.8 1.15
1.6
1.10
p / 0
p
1.05
1.4
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
Solución Incompresible
1.2
1.0 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
M
Figura 11.1: Ef ecto del nu ´ mero de Mach en la presi´on para un flu jo compresible e incompresible
13
Cono de Mach Supongamos que una fuente estacionaria inmersa en un fluido produce pulsos de presi´on a interv alos de tiempo ∆t . Si el fluido se encuentra en reposo ( V = 0) las ondas se propagar´ an en forma de c´ırculos conc´entricos como muestra la figura 11.2(a) (en tres dimensiones se tiene por supuesto esferas conc´entricas). Si el fluido tiene un movimiento uniforme relativo a la fuente, con una velocidad menor que la v elocidad del sonido, es decir, V < c, los circul os no ser´ an conc´entricos, si no que sus origenes se encontrar´ an desplazados, pero si estar´an completamente inmersos dentro de un pulso producido con anterioridad, como muestra la figura 11.2(b). on generado ser´ a incapas de v ia jar aguas Para el caso l´ımite cuando V = c el pulso de presi´ arriba de la fuente, gener´andose un plano sobre el cual no es posible detectar la presencia de la fuente ni del pulso de presi´ on (figura 11.2(c)). Esta zona se denomina zona de silencio. La zona donde si es posible detectar la existencia de v ariaciones de la presi´on se denomina zona acti v a. V< c
t=0
t=0
dt
dt
2dt
2dt
(a) V = 0
(b) V < c
V=c
t=0
V>c
t=0
dt
dt
2dt
zona activa
fuente
2dt
zona de silencio
zona de zona silencio activa
Alta concentració n de ondas de presión Cono de Mach
(c) V = c
(d) V > c
Figura 11.2: Expansi´on de ondas de presi´on en un fluido para distintas v elocidades del fluido Si la v elocidad del flu jo es ma y or que la v elocidad del sonido, es decir, V > c, las esferas via jara´n a una v elocidad ma y or que lo que su v elocidad de expansi´on por lo que y a no se encontrar´ an unas inmers as en otras. En ´este caso se genera una superficie tangencial c´onica denominada Cono de Mach (figura 11.2(d)). La zona acti v a estar´a en este caso restringida al v olumen dentro on con una alta concentraci´ on de ondas de presi´on del cono. La superficie del cono es una regi´ on a tra v ´es de la cual existen v ariaciones bruscas en las propiedades de y por lo tanto una regi´ los fluidos. Como se v era ´ m´as adelante este fen´omeno es equiv alente a lo que ocurre a tra v ´es de una onda de choque.
14
Para el ´angulo medio
sin α =
c =
V
α
del cono se cumple que
M>1
1
, M
Onda izquierda
de donde claramente se puede observar que si el angulo α disminu y e y nu ´ mero de Mach aumenta el ´ viceversa.
Onda derecha
Cono de Mach
Flujo compresible unidimensional Analizaremos en ´esta secci´on el flu jo compresible unidimensional, es decir un flu jo en el cual se pueden considerar constantes las propiedades del flujo sobre una secci´ on perpendicular a ´este. Los par´ametros y v ariables del flujo v ariar´ an por lo tanto solo en la direcci´on del flujo.
Flujo
isoentropico ´
Analizaremos el flujo isoentr´ opico de un gas compresi ble. En particular nos interesara ´ el ef ecto que tiene un cambio en la secci´on de paso del flujo A sobre las condiciones del flujo. La ecuaci´on de continuidad es m ˙
ρ A V
=
=
cte.
Para un flu jo incompresible, ρ = cte, una v ariaci´on de A implica una v ariaci´on in v ersa de la v elocidad V . V eremos a continuaci´on que ´este resultado no es siempre aplicable a un flujo compresible. De la segunda ley de Newton para un flujo sin roce se obtuvo en cap´ıtulos anteriores que
1
dp + ρ d (V 2) + ρg dz = 0 . 2
Despreciando d erminos se obtiene z frente a los otros dos t´
1
dp + ρ d (V 2) = 0 . 2
Desarrollando se obtiene dp = − ρV dV ⇒
dV dp =− . 2 V ρV
(11.1)
A partir de la ecuaci´on de continuidad se puede obtener que ln ρ + ln A + ln V = cte , de donde diferenciando se obtiene dρ
ρ
+
dA dV + =0 A V
15
o dV
−
=
V
dρ + ρ
dA
(11.2)
.
A
Igualando los dos resultados anteriores y reordenando adecuadamente se obtiene
.
d p
V
Σ
2
dp
1
=
− ρV 2
ρV 2
dp/dρ
.
V2
1
Σ
=
dA
(11.3)
− c2
A
.
⇒
dp
Σ
.
2
ρV
1
− M 2 =
dA
(11.4)
.
A
De las ecuaciones
dV
=
A
ρ
1
−
la ecuaci´on anterior se puede escribir como
Σ
.
dA
dρ
11.1 y 11.2
− M 2 .
(11.5)
V
=
dA
M2
(11.6)
.
A (1 − M 2)
De la ecuaci´on 11.5 se puede v er que si un flujo es subs´onico ( M < 1) la v elocidad y el ´area de paso cambian en direcciones opuestas. Es decir si A aumenta la velocidad V se reduce. Se tiene adem´as que la presi´on aumenta. Este resultado es equiv alente al obtenido para un flujo incompresible. Si el flujo es sup ers´onico ( M > 1) se tiene que un cam bio en el ´area de paso del flujo en una direcci´on tiene como efecto un cam bio de la v elocidad en la misma direcci´on y un cam bio de la presi´on en la direcci´on opuesta. Por lo tanto si A aumenta la v elocidad V tam bi´en aumenta y la presi´on disminuy e y si A disminu y e la v elocidad disminuy e y la presi´on aumenta. Este resultad o es opuesto al caso de un flu jo incompresible. El origen de ´este comp ortamiento se puede encontrar analizando la ecuaci´on 11.6. Para un flu jo su bs´onico la densidad y el ´area de paso v ar´ıan en la misma direcci´on y para un flujo sup ers´onico ´estos v ar´ıan en direcciones opuestas. Como el flu jo m´asico es constante ⇒ ρAV cte, y suponiendo un ducto div ergente donde dA > 0, para un flu jo subs´onico dρ > 0 por lo que la v elo cidad V debe disminuir para mantener el flujo m´asico constante. Para un flu jo sup ers´onico tendremos que d ρ < 0 por lo que la v elocidad de be aumentar para mantener el flujo m´asico constante. =
Flu jo subs´ onico
Flujo sup ers´onico
M < 1
M > 1
dA > 0 dV < 0 dp > 0
dA > 0 dV > 0 dp < 0
Flu jo subs´ onico
Flujo sup ers´onico
M < 1
M > 1
dA < 0 dV > 0 dp < 0
dA < 0 dV < 0 dp > 0
16
on es transformar la entalp´ıa de un fluido en energ´ıa Se denomina tobera al elemento cuya funci´ ´ con v ergente cin´etica de un modo eficiente. Por lo tanto, para un flu jo subs´onico la tob era sera y para un flu jo sup ers´ onico tob era ser´a div ergente.
Se denomina dif usor al elemento cuya funci´on es transformar la energ´ıa cin´etica de un fluido en entalp´ıa o presi´on. Para un flujo su bs´onico el difusor ser´ a div ergente y para un flujo supers´onico convergente. La ecuaci´on 11.5 se puede reordenar de la siguiente manera dA
dV
A =
−
V
. 1
− M 2
Σ
,
d A de donde para M = 1 se cumple que dV area asociada a M = 1 es = 0. Lo ante rior implica que el ´ un m´ınimo o un m´aximo lo cual se puede presentar en la pr´actica mediante dos com binaciones que son un ducto con v ergente–di v ergente o un ducto div ergente–con v ergente. De un an´ alisis de los ob jetiv os (tob era o difusor) de ´este tipo de elementos muestra que solo la com binaci´on con v ergente–di v ergente es v ´ alida.
Tobera convergente–divergente / Tobera de Laval Se denomina tob era con v ergente –divergente a un ducto que p osee una secci´on con v ergente seguida de una divergente como se muestra en la figura 11.3
Garganta M>1
M<1 M=1
Figura 11.3: Tobera convergente–divergente o tobera de Laval
Si el flujo que entra p or la secci´on con v ergente de la tob era es su bs´onico, ´este aumentara´ su este punto se alcanza la condici´on s´onica, es decir, M = 1, el v elocidad hasta la garganta. Si en ´ flu jo seguira ´ acelerando en la secci´on di v ergente. Si el flujo que entra en la tob era es supers´onico la v elo cidad de ´este disminuir´a en la secci´on con v ergente y si se alcanza la condici´on s´onica en la garganta el flu jo seguir´a desacelerando en la secci´on div ergente. En ´este caso el elemento actuar´a como difusor. Las condiciones del flujo en la garganta se denominan condiciones cr´ıticas y se distinguen generalmente mediante un super´ındice , es decit, T , p , ρ , A , etc.. Las tob eras y difusores son ˜ ados para satisfacer, dadas las condiciones del flu jo inicial, las condiciones requeridas a la disen salida. ∗
∗
∗
∗
∗
En el c´alculo de flu jos compresibles es comu ´n utilizar como referencia el estado termodin´amico de estancamiento que es el estado que se alcanza al frenar un fluido mediante un proceso sin roce y adiab´ atico (isoentr´ opico) hasta el reposo (V = 0). Las propiedades del fluido en ´este estado se denominan propiedades de estancamiento. Si el proceso de f renar el flu jo no es adiab´ atico las ´ ltimas propiedades de estan camiento no ser´an las mismas para to dos los puntos del flujo. Estas u se denominan propiedades de estan camiento local. Los par´ametros del flu jo y las propiedades del fluido en el punto de estancamiento se designan con un subindice o, es decir, T o, po, ρo etc..
17
En el desarrollo posterior se considerar´a que las condiciones de estancamiento son constantes. Despreciando las dif erencias de altura (dz ≈ 0) la forma diferencia de la ecuaci´on de mo vimiento, utilizada anteriormente, queda
Σ
.
V2 dp + d ρ 2
=
0 .
Para un flu jo isoentr´opico se cumple adem´ as p
= cte =
ρk
p o ,k o
Reemplazando en la ecuaci´on anterior resulta 1 k
dp
po
. +
d
V2
Σ
k
·
ρo
p
1
=0.
2
Integrando entre el punto de estancamiento y un punto cualquiera del flujo se obtiene k
. p
o
−
p
Σ
−
o
k−
V2 =0. 2
o
Utilizando la ecuaci´on de estado para un gas ideal en la ecuaci´on anterior tenemos V2 kR (T o − T ) − 2 = 0 k −1 s
˛
¸
(11.7)
x
C p ⇒
V2 C p(T o − T ) −
=0
2
o V2 ho − h −
2
=0.
La ecuaci´on 11.7 se puede ordenar de la siguiente forma T o T
=1+
k− 1V2
2
kRT
.
Como c2 = kRT se obtiene T o k− 1 M 2 . =1+ T 2 ⇒
18
De las condiciones de flu jo isoentr´ opico se ten´ıa que
=
po
k
Σ
T k 1
.
p
−
T o
⇒
p = po
Σ
Σ 1
k k −1
(11.9)
1 + k −21 M 2
y
Σ
Σ
ρ
1
=
ρo
1 −1 k
(11.10)
.
1 + k 21 M 2 −
Estas tres ecuaciones permiten relacionar T , p y ρ en cualquier punto de una tobera convergente di v ergente con las condiciones de estancami ento. Se puede v er adem´as que al aumentar M tanto T como p decrecen, lo que significa que tanto temperaturas como presiones ba jas est´ an asociadas a nu ´meroas de Mach altos. Si las condiciones a la salida de la tob era son tales que se alcanza la condici´on M = 1 en la garganta cualquier disminuci´on posterior de p no afectar´ a el flu jo en la secci´on con v ergente, en particular el flujo m´asico no se v era ´ afectado. Ba jo ´ estas condiciones se dice que el flujo se encuentra estrangulado.
Las siguientes ecuaciones relacionan las condiciones en la garganta, suponiendo M = 1 en ella, con las condiciones de estancamiento: ∗
T
=
∗
T o
=
Σ
2
.
p po
k
+1
.
2
k
+1
k −1 k
,
Σ
.
A , donde A y A son el ´ area de paso de la tobera en un punto cualquiera y en la La raz´on A/ garganta respectivamente resulta (de ρ A V = ρ A V ) ∗
∗
∗
A
A
∗
1 =
Σ
1 + k 1 M
M
−
2
1 + k 21 −
Σ 2
∗
∗
k +1
2(k −1)
(11.11)
.
Las relaciones 11.8, 11.9, 11.10 y 11.11 se pueden v er gr´aficamente en la figura 11.15. Flujo real en toberas
En la secci´on anterior se supone que el flujo es adiab´atico y sin roce o isoentr´opico. En condi- ciones reales la restricci´on m´ as fuerte es la no existencia de fricci´on. La existencia de fricci´ on produce, en un atico, un aumento de la temperatura del fluido debido a lo cual la entalp´ıa de salida ser´a flujo adiab´ ma y or que la que se alcanzar´ıa en un flujo isoentr´opico. Dado que la funci´ on de la tob era es con v ertir la entalp´ıa del flujo en energ´ıa cin´etica, la existencia de f ricci´ on claramente introduce ineficiencias al sistema. el Lo anterior se representa en el diagrama h s de la figura donde a partir de las condiciones de entrada − p1 flu jo se expande hasta la presi´ on p2 19
Para un flu jo isoentr´opico las condiciones de salida quedan representadas por el punto 2. Para un flujo real sin embargo las condiciones de salida son las condiciones correspondientes al punto 2 j. El rendimiento de una tobera esta dado por
.
Σ V 2 / 2 real 2
=
Σ.
=
Σ V 2 / 2 real j2
1
1
η
.
2
1
Σ Σ V 2 / 2 + (h − h2) isoentr.
Σ.
Σ Σ . V 2 / 2 + (h1 − h ) isoentr.
Por lo general la energ´ıa cin´etica del fluido a la entrada es despreciable con respecto a ( h1 − h2 ) por lo que el rendimiento se puede escribir como
. η
=
Σ V 22 / 2 real
(h1 − h2)
.
Es frecuente tam bi´en encontrar en la literatura el rendimiento expresado mediante el factor de recalentamiento y definido por h
y =
p 1 1
h1
Se puede demostrar que
p
h2
η = 1 − y ,
2
h2
h2 j − h2 . h1 − h2
2
de donde
s1
s2
η=
s
Diagrama h − s.
h1 − h2 j . h1 − h2
Ejemplo A tra v ´es de un ducto con v ergente pasa aire en forma permanente desde la atm´ osf era a una tub er´ıa como se v e en la figura. La secci´ on de paso m´ınima o garganta tiene un ´ area de paso de 10−4 m2 . Determin e el flujo m´asico si la presi´ on en el ducto es de a) 80 k P a y b) 40 kP a.
garganta
tobera convergente
ducto
Tobera converjente
Dibuje un diagrama T − s para ambos casos. Datos: ρ = 1.23 kg/m3, k = 1.4, R = 286.9 J/k gK , T atm = 15◦C , patm = 101 kP a (abs).
Para determinar el flu jo m´asico se de be utilizar la siguiente relaci´on m = ρ A V ˙
=
cte
que en la secci´on m´ınima o garganta es m = ρg Ag V g . ˙
Para determinar ρg se utiliza la ecuaci´on 11.10 Σ
Σ g
=
1
1 −1 k
,
1 + k −21 M 2g donde la incognita es M g . Para determinar M g se cuenta con la relaci´on para las presiones. 0
20
a estrangulado y pg entonces pg = pd . Por otro lado si pd < p entonces el flujo estar´ debe por lo tanto determinar p . Para el aire con k = 1.4 se obtiene que ∗
=
p . Se ∗
∗
p
∗
= 0.528 p0 .
Las condiciones de estancamiento son para este caso iguales a las condiciones ambientales ya osf era se encuentra en reposo, es que se puede suponer que le jos de la entrada a la tob era la atm´ decir, T 0 = T atm, p0 = patm y ρ0 = ρatm ⇒
p
∗
= 0.528 patm = 0.528 · 101 = 53 kP a .
La velocidad en la garganta se determina de V g
= M g
c(T g )
= M g
.
RT g . k
T g se obtiene de la ecuaci´ on 11.8.
a) Para una presi´ on en el ducto de 80 k P a que es ma y or que la presi´ on cr´ıtica calculada anteriormente se cumple que pg = pd . Reemplazando en la ecuaci´on 11.9 se obtiene 80 =
101
Σ
Σ
1 + 1.4−1 M 2 2
1
1.4 1.4−1
g
de donde se obtiene M = 0.587 .
Con este resultado se obtiene Σ
ρg ρg = = 1.23 ρ0
Σ 1
1+
1.4−1 2
1
1.4−1
0.5872
⇒
ρg = 1.04 kg/m3
y T g
Σ
= 15 + 273
1
Σ
1 + 1.42−1 0.5872
⇒
T g = 269 K .
⇒
V g
=
0.587
√ 286.9 · 1.4 · 269 = 193 J /k g
V g = 193 m/s .
.
21
Por lo tanto m = 1. 04 · 10− 4 · 193 k g /s ˙
⇒
m = 0.0201 k g /s . ˙
a) Para pd = 40 kP a se cumple que pg = p = 53 kP a y M g = 1. Reemplazando en las mismas relaciones que para el punto a) se obtiene ∗
ρg = 0. 780 kg/m3
y T g = 240 K. ⇒
V g = 1 ·
√
1.4 · 286.9 · 240 = 310 m/s .
⇒
m = 0.780 · 310 · 10−4 ˙
m = 0.0242 k g /s. ˙
Flujo de Fanno Se denomina Flujo de Fanno al flujo de un gas ideal compresible, no isoentr´opico ( s cte) y adiab´ atico en un ducto de secci´ on constante como el de la figura. La ecuaci´on de continuidad es
Q=0
(1) A
m = ρ A V = cte .
(2) VC. A
˙
Flujo de Fanno Como A = cte se obtiene ρ V = cte .
La ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa aplicada al v olumen de control queda expresada por Σ
m h2 − h1 + ˙
V 22 − V12
2
Σ
+ g ( z2 − z1 ) = Q+ W . ˙
˙
Despreciando la dif erencia de cotas entre los puntos 1 y 2 y como el flujo es adiab´atico y no ha y traba jo externo, es decir Q = W = 0, se obtiene ˙
˙
2 2 2 h2 + V 2 = h1 + V 1 = h + V = h0 ,
2
2
2
22
donde h0 es la ent alp´ıa de estancamiento. Para un gas ideal se cumple adem´as que h − h0 = C p(T − T 0) .
Combinando ambas ecuaciones se obtiene T+
V2
= T 0 = cte 2 C p
o ( ρV )2 T 2 T+
2 C p p
= T 0 = cte .
2
R2
Como T 0 es constante y ρ V tam bi´en es constante, la ecuaci´on anterior relaciona las v ariables on para T ds vista p y T para un flu jo de Fanno. Por otro lado y a partir de la segunda ecuaci´ anterior mente en ´este cap´ıtulo, se obtiene la siguiente relaci´on s − s 1 = C p ln
T
T 1
− R ln
p
p1
donde se consider´o al pto. (1) como ref erencia. Combinando las u ´ltimas dos ecuaciones el flujo de Fanno queda representado en un diagrama T s , para − unas condiciones de estancamiento ( T 0), un tipo de gas (C p, R) y unas condiciones iniciales ( T 1, p1, s1) dadas, por l´ıneascomo la que se muestra en la figura 11.4. Estas l´ıneas se denominan l´ıneasde Fanno.
línea de T
Fanno
Ta
a
ds dT 0
s
Figura 11.4: Diagrama T − s para el flujo de Fanno
De la relaci´on dp
T ds
=
dh −
ρ
y considerando un gas ideal y que ρ V = cte de donde dρ ρ
=−
dV V
se obtiene ds C p = − R T dT
.
Σ
C p 1 + . V2 T
23
Para el punto (a) de la l´ınea de Fanno se cumple que ds/dT = 0 de donde obtiene 0=
C p
− R
.
C p 1
Σ
+
V a 2
T a
T a
⇒
√
V a
=
R
T a k ,
es decir, la v elocidad en el punto (a) de la cur v a es igual a la v elocidad del sonido o el nu ´ mero de Mach es igual a 1, M a |= 1. Como la temperatura de estancamiento es igual para todos los puntos de la l´ıneade Fanno lo anterior significa que la temperatura en ( a) corresponde a la temperatura cr´ıtica T . La parte de la curva que se encuentra sobre el punto (a) corresponde a un flujo subs´onico y la parte ba jo el punto (a) a un flu jo supers´onico. ∗
´tico con roce la entrop´ıa debe La segunda ley de la termodina´mica dice que para un flu jo adiaba aumentar. Sobre la l´ınea de Fanno lo anterior indica que un flujo solo puede desarrollarse hacia el punto (a) de la cur v a. Un flu jo subs´onico es, p or lo tanto, acelerado por la fricci´on hasta un v alor m´aximo p osible de M = 1. Un flujo supers´onico es desacelerado a causa de la fricci´on obteni´endose v alores inferiores del nu ´ mero de Mach. M´as adelante se v er´a que mediante una onda de choque es p osible que un flu jo supers´onico se transf orme en un flu jo subs´onico. Un flujo subs´ onico, sin em bargo, jam´as podra ´ con v ertirse en un flujo supers´onico. T T T
0
Flujo subsónico
M<1 a
M=1
Flujo supersónico
M>1
s
a
s
Figura 11.5: Desarrollo del flujo para el flujo de Fanno
´ cualitativ amente a continuaci´on como v ar´ıa el flujo con el largo del ducto para el Se analizara caso subs´onico y supers´onico. Para un flujo su bs´onico y un ducto de largo l1 se tiene que si el flu jo en l1 no ha alcanzado el estado s´onico ( M = 1) , es decir M (l1 ) < 1, entonces el flujo saldr´ a del ducto subs´onicamente a la presi´on externa como un chorro libre. Sup oniendo que el ducto se alarga se puede alcanzar M = 1 a la salida. Si el ducto se alarga por sobre ´esta condici´on y dado a un reaju ste (disminuci´on) que el flujo no puede seguir aumentan do su v elocidad se producir´ asico del flujo de tal forma de reestablecer la condici´on s´onica a la salida. Lo en el caudal m´ ind anterior ica que para un ducto dado existe un caudal m´aximo que puede pasar por el ducto y ´este se obtiene cuand o M = 1 a la salida. En ´este csao se dice que el flu jo esta estrangulado. Un reajuste del flujo significa en el diagrama T−s que el flujo cambia de una l´ıneade Fanno a otra.
Para un flujo supers´onico a la entrada de un ducto de largo l1 se tiene que si M > 1 a la salida se produciran ondas de choque f uera del ducto para aju star la presi´on del chorro con la presi´on am biente. Alargan do el ducto se alcanzar´a la condici´on M = 1 a la salida y el flu jo estar´a ´ a que se produzcan ondas de choque dentro del estrangulado. Un aumento p osterior de l llevara
24
Flujo subsóni M<1
l1
M=1
l* l3
Figura 11.6: Flu jo de Fanno su bs´onico
tu bo genera´ndose de ´esta forma un flujo su bs´onico que acelera hasta reeestablecer la condici´on s´ onica a la salida. Flujo supersó ico M>1
l1
M=1
l* l3
onico Figura 11.7: Flu jo de Fanno supers´
Relaciones para un gas perfecto
on Se supondra ´ en el desarrollo que el ducto es de secci´ circular y por lo tanto el ´area de paso estar´ a dada por 2 A = π D / 4. Para el v olumen de control de la figura la ecuaci´on de cantidad de movimineto queda de la siguiente forma
pA − ( p + dp) A − πDτ w dx = − ρV 2 A + ( ρ + dρ)(V + dV )2 A ⇒
dp + d ( ρV 2 ) = −
dp + d ( ρV 2 ) = −
πDτ w
dx
A
4 τ w
dx .
D
Como d ( ρV 2) = ρV dV + V d ( ρV ) = ρV dV ⇒
4 25
dx
+dp VC. A
A w
Expresando τ w como una funci´on de un factor de f ricci´on f tal que f 1 τ= ρV 2 w 4 2 y reemplazando se obtiene 1 f
ρV 2 2 D
dp + ρV dV = ⇒
dp f 1 dx + ρV 2
p2
p
+
1
ρ d (V
2
D
2
) =0.
p
Introduciendo la ecuaci´ on de estado para gases ideales, la ecuaci´ on para la v elocidad del sonido, la definici´on del nu ´mero de Mach, la ecuaci´on de conser v aci´on de la energ´ıa para un gas ideal la ecuaci´ on anterior se puede escribir como .
Σ
1 M 2 d ( M 2) Σ
dx
f
=
− 1 + k 1 M 2 kM 4 −
D
.
2
Esta ecuaci´on se puede integrar entre dos secciones de un ducto. Por lo general se utiliza el onico (M=1), independientemente si ´ estado s´ este exista en la realidad, como ref erencia para la integraci´ on, es decir, M =1
l=l
∗
1 M 2Σ d ( M 2) Σ Σ − 1 + k −1 M 2 kM 4 .
2
M
f
=
dx
D
.
l
¯ constante se obtiene Suponiendo un factor de fricci´on medio f ¯(l − l) f ∗
=
D
1
(1 − M 2 )
k
M2
+
k + 1
Σ
Σ
k +1 2
ln
M 2
(11.12)
.
1 + k 21 M 2
2k
−
Los v alores de la funci´on se encuentran en forma de tablas y gr´aficos para el aire. La ecuaci´ on anterior es aplicable entre dos puntos cualesquiera (1) y (2) de un ducto de la siguiente forma l2
f dx
=
D
l1
l
f l − l ) =
f
(
2
D
1
l
∗
dx
f
−
D l2
∗
dx f (l
=
D
∗
− l 2) D
f (l
−
∗
− l 1)
.
D
l1
Para las dem´as propiedades del flu jo se obtienen las siguientes relaciones para un flujo de Fanno T = T 1+ ∗
Σ
V
=
k +1
2
,
1
−
2
k +1
M 2
2
Σ0.5
,
26
Σ
p
1
p
M
k +1= ∗
p0 ∗
p 0
=
Σ0.5
,
2
1 + k 21 M 2 −
Σ.
1
2
Σ
. 1 +
k−1 2
k+1
M
ΣΣ
M
k +1
2(k −1)
.
2
Las relaciones anteriores se pueden v er gr´aficamente en la figura 11.16.
Flujo de Rayleigh Q=0
Se denomina Flujo de Rayleigh al flujo de un gas perfecto compresible, isoentr´opico (s = cte) y no adiab´ atico (Q ƒ= 0) en un ducto de secci´on constante como el de la figura.La ecuaci´ on de cantidad de movimiento aplica al volumen de control es
(1)
˙
p1 A1 + mV 1 ˙
=
p2 A2
+
mV 2 ˙
+
A
(2) VC. A
0
⇒
p +
( ρV )2 ρ
= cte .
(11.13)
Utilizando la ecuaci´on de estado para gases ideales la ecuaci´on anterior se puede escribir como p +
( ρV )2 RT p
= cte .
Como el producto ρV es constante para el flujo de Ra yleigh la ecuaci´on anterior relaciona, para un flujo dado ( R), la presi´ on con la temperatu ra. Com binando ´ esta relaci´ on con la segunda ecuaci´ aficar el desarrollo del flujo en un on vista anteriormente para la entrop´ıa se puede gr´ diagrama T − s obteni´endose curv as como la que se muestran en la figura.
línea de T T
a
dT
Rayleigh b ds =0 M= 1
a
0
M=1
k
sa 27
s dT
s
151 Dif erenciando 11.13 y utilizando la forma diferencial de la ecuaci´on de estado, la ecuaci´on de continuidad y la segunda de las ecuaciones para T ds la ecuaci´ on anterior se puede escribir como 11.3 Flujo compresible unidimensional
ds
C p
=
dT
+
T
1
V T
. VT
.
−
R V
Σ
Para el punto (a) de la curva se cumple que ds/dT = 0 de donde
√
V a
RT a k
=
´ mero de Mach en el punto a es uno, es decir, M a = 1. Para el punto b se lo que indica que el nu cumple que dT /ds = 0 de donde M
b
.
=
1
.
k
Dado que k > 1 para todos los gases, el flujo en el punto b debe ser su bs´onico. La ecuaci´on de conservaci´ on de la energ´ıa para el VC. es Σ
m h2 − h1 +
Σ
V2
2
V2
−
˙
2
+(
1
) = Q+ W . ˙
˙
g z2 − z1
2
Como W = 0 para el flu jo de Ra y leigh y despreciando z2 − z1 la ecuaci´on anterior, en forma diferencial, se escribe de la siguiente manera ˙
dh + V d V
=
( Q / m ) .
δq
=
˙
˙
Utilizando d h = C p dT , la ecuaci´ ´ mero de Mach, la ecuaci´on on para la v elocidad del sonido, el nu de continuidad y la ecuaci´ on de estado, la ecuaci´ on anterior se escribe como dV
V
=
δq
1
C pT (1 − M 2)
.
onico ( M < 1) un calentamiento del De la ecuaci´on anterior se puede v er que para un flu jo su bs´ flu jo ( δq > 0) produce una aceleraci´ on del flujo ( d V > 0) y que un enf riamiento ( δq < 0) produce una desaceleraci´ on del flujo (dV < 0). Para el caso supers´ onico se v erifica un comportamiento inverso, es decir, δq > 0 ⇒ dV < 0 y δq < 0 dV > 0. Este comportamiento se puede determinar afica para las l´ıneas de Ra yleigh y a que para un flu jo sin roce la entrop´ıa tam bi´en a partir de la gr´ aumenta si δq > 0 y disminuy e si δq < 0. Cab e hacer notar adem´ as que entre el punto b y a de la curva de Rayleigh que al calentar el flujo (δq > 0) se produce un descenso en la temperatura de ´ este.
Efectuando un desarrollo equivalente al realizado para el flujo de Fanno es posible determinar las siguientes ecuaciones p1 p2
T 1
=
1 + kM 22 , 1 + kM 21 M 1 1 + kM
. =
2 Σ2 2
,
1
T 2
M 2 1 + kM 2
28
T
q<0 q>0
a
q>0
q<0 s
Figura 11.9: Diagrama t − s para el flujo de Rayleigh
Σ
( ) p0 1 = ( p0) 2
2
1 + k −1
p1
1
2
Σ
k
Σ
1 + k −1
kM 2
k −1
=
p2 1 + k −21 M 2 2
2
1+
2
2
1 + kM 12
1
Σ
k
−1 k
.
1 + k −21 M 22
Utilizando el punto a, donde M a = 1, como referencia se obtiene p 1 +k = , pa 1 + kM 2 T M (1 + k ) = T a 1 + kM 2
.
( p0 ) ( p0)a
=
Σ 2
, Σ.
1 + k
1 + kM 2
2
Σ
.
1 + k
1+
k−
1
ΣΣ
M
2
k −1 k
,
2
1 + kM 2
( p0)a
·
2
T 0 = (T 0)a
ρa ρ
=
V V a
2
1 + k 1 2(k +k 1) M 2 2
−
2 (11++kM M 2)
,
M 2(1 + k )
=
1 + kM
2
.
La figura 11.17 muestra en forma gr´afica las relaciones anteriores.
Ondas de choque Una onda de choque es una onda de presi´on o acu ´ stica de intensidad finita, es decir, las v ariaciones en la propiedades del flujo se manifiestan en un entorno muy cercano al frente de onda. 29
Ondas de choque normales En las ondas de choque normales o planas el vector velocidad del flujo es normal a la superficie que contiene la onda tanto antes como despu´es de la onda. En ´este tipo de ondas de choque el flu jo despu ´es de la onda ser´ a siempre subs´ onico. Dado que el espesor de la onda es infinitesimal y que a tra v ´ es de la onda ocurren cam bios finitos en las propiedades y par´ ametros del flujo, los t´ erminos diferenciales se pueden considerar como despreciables.
VC. x
y
onda de choque Onda de choque plana
Lo anterior permite suponer que la secci´ on de la onda, a tra v ´ es de la cual pasa el flu jo, es constante ( A = cte, que a tra v ´es de la onda el flu jo es adiab´ atico (Q ≈ 0) y que el roce con la pared es despreciable ( τ w = 0). ˙
De lo anterior se desprende que el flujo a tra v ´ es de un onda choque plana debe cumplir tanto con las condiciones para el flujo de Fanno y el flujo de Rayleigh. Si se dibujan las curvas de Fanno y Rayleigh que pasan por el estado del fluido antes ( x) de la onda de choque ´ que el punto de salida ( y) de la onda de be se tendra estar con la otra intersecci´ on de las cur v as como se muestra en la figura.
Fanno
T
y
Rayleigh
x
s
Se cumple adem´ as que el punto y se encuentra siempre a la derecha del punto x y como la entrop´ıa aumenta en todo proceso irreversible se concluye que un onda de choque solo puede producirse en un flu jo supers´onico y que tiene como consecuencia un flu jo subs´ onico. A partir de las relaciones obtenidas anteriormente para el flujo de Fanno y Rayleigh se obtiene las siguientes ecuaciones que relacionan el flu jo antes ( x) y despu´es ( y) de una onda de choque. p y p x
T y T x
=
1 + k M x2 , 1 + k M y2
=
1 + k 21 M x2 , 1 + k 21 M y2 −
M y2 =
p y p x
−
2
2k k− 1 = M 2 − x , k+
T x
1 + =
k
1
.
T y
2
x + k −1 , 2k 2 −1 M x k −1
k −1 2
+1
Σ
M x2
Σ
.
2k M 2 k −1 x
−
1
,
(k +1)2 M2 2(k −1) x
30
, x
k −1 k
.k +1 M 2 ( p0) y
2
=
( p0) x
x
.
.
1
+
M 2 Σ 1
k −1
Σ
Σ
M 2 −
k −1
x
k +1
k +1
x
2
2k
k k
−
1 −1 k
(T 0) y =1. (T 0) x
on Ondas de choq ue o blicuas / Ondas de expansi´ Las ondas de choque oblicuas son o ndas de amplitud o intensidad finita cuya normal se encuentra inclinada con respecto a la direcci´on del flu jo. Este tip o de ondas se encuentran principalm ente onicas y en un cambio de direcci´on en el flu jo alrededor de cuerp os que via jan a v elocidades supers´ c´onca v o de un flu jo supers´onico. Las l´ıneas de corriente giran, al pasar el flujo por una onda de choque oblicua, hacia el flujo principal. Para encontrar las relaci´on entre las condiciones del ´ la figura 11.10 donde existe un flu jo flu jo antes y despu´ es de la onda de choque se analizara supers´onico el cual es obligado a cam biar de direcci´on. Para ´esta figura se tiene que V 1 y V 2 son la v elocidad antes y despu´es de la onda de choque, V i,n y V i,t las componentes normal y angulo de giro tangencial, de la v elocidad V i , a la superficie que contiene la onda de choque, θ el ´ de la superficie y β el ´ angulo en el cual se produce la onda de choque.
V2 V2n V2t
V1 V
1n
V
1t
Figura 11.10: Onda de choque oblicua producida por un cambio de direcci´on del flujo.
Aplicando la ecuaci´on de cantidad de mo vimiento al v olumen de control, que est´a formado por un tubo de corriente donde A1 = A2 se obtiene para las direcciones normal y tangencial a la de choque las siguientes ecuaciones 2
V 1 ,n + p1 = ρ2V 2 ,n + p2
1
mV 1 ,t = mV 2 ,t ˙
˙
⇒
V 1 ,t = V 2 ,t .
La ecuaci´on de continuidad aplicada al v olumen de control resulta ρ1V 1 ,n = ρ2V 2 ,n .
31
•
•
La componente tangencial de la velocidad no sufre alteraciones al pasar por la onda de choque. Para la componente normal de la v elocidad, y las dem´as propiedades, se cumplen las relaciones vistas para la onda de cho que plana.
Una consecuencia de lo anterior es que la v elocidad despu´es de la onda de choque V 2 puede ser supers´ onica. Utilizando las relaciones para una onda de choque plana se puede llegar a las siguientes relaciones equiv alentes entre los ´ angulos θ y β y el nu ´mero de Mach antes del choque M 1
Σ
tan ( β − θ ) =
tan β k
tan θ = 2 cot ·
k −1 +
,
1
+ 1
Σ
Σ
2
M 2 · sin2 β Σ
M 2 sin2 β − 1
M 2
)+2
1
1
( k+ cos 2 β
.
90 choque fuerte
80
90
M 2<1
80
choque fuerte
70
M 2<1
70
60
60 M choque débil
50
choque débil
M1 =2
40
M 2>1
40
>1
2
50
3
30
5
30 20
20
10
10
0
1
2
3
4
5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
M1
angulo de deflecci´on θ , el ´angulo de la onda de choque β y el Figura 11.11: Relaci´on entre el ´ ´ mero de Mach antes del choque M 1 . nu
Estas relaciones se encuentran graficadas el la figura 11.11. De ´ estos gr´ aficos se pueden extraer las siguientes conclusiones angulo de deflexi´ angulos de choque β , uno 1. Para un M 1 y un ´ on θ dado existen 2 posibles ´ grande y otro pequen ˜ o. Para el primero la disminuci´ on de la v elocidad y el aumento de la presi´on es ele v ado y se denomina choque fuerte. Para un ´ angulo β pequen ˜ o las v ariaciones ebil. de la v elocidad y la presi´ on son menores y el choque se denomina d´ angulo θ dado existe un nu 2. Para un ´ ´ mero de Macha M 1 m´ınimo para el cual existe solo un angulo β . ´ angulo beta 3. Para un θ dado, si M 1 es menor que el m´ınimo para esa curv a so existe un ´ correspondiente. Esto significa que la onda de choque se separa del cuerpo. Lo anterior se puede expresar tam bi´en como que para un M 1 dado existe un ´ angulo θ lo suficientemente 32
Para el flujo alrededor de un cuerp o obtuso se generar´a por lo tanto una onda de choque separada. Como entre la onda de choque y el punto de estancamiento la velocidad del fluido se reduce considerablemente existira ´ por lo general, una zona en la cual el choque ser´a fuerte ( M 2 < 1) y otra donde sera´ d´ebil ( M 2 > 1).
Choque fuerte
M2>1
Choque debil
M2<1
M1 M2>1
Figura 11.12: Onda de choque separada de la superficie del cuerpo.
Dado que la presi´on aumenta a tra v ´es de la onda de choque, ´estas se denominan tam bi´en ondas de compresi´ on. Para el caso de vuelos supers´onicos un aumento de la presi´ on esta asociado directamente a un aumento en el arrastre. Lo anterior se traduce en que los perfiles alares supers´onicos tienen un forma puntiguda con un ´ ˜ o. angulo θ pequen
Abanico de expansión V
1
Figura 11.13: Ondas y abanico de expansi´on.
En contraste con las ondas de compresi´on o choque, en los lugares del flujo en los que existe un cambio de direcci´on con v exo, es decir, el flu jo gira en sentido contrario a la direcci´on del flujo como se muestra en la figura, se producira una expansi´on del flu jo ( p ↓ , V ). Si el cam bio de direcci´on de la superficie se concentra en un punt o o esquina las l´ıneas de corriente se deflectar´ an hacia aba jo a tra v ´es de una serie de ondas de expansi´on oblicuas o abanico de expansi´on. Estas ondas se denominan tam bi´en ondas de expansi´on de Prandtl-Mey er debid o a que fueron los primeros en estudiar este fen´omeno (1907-1908). A diferencia de lo que pasa en las ondas de choque los cambios a tra v ´es de las distintas ondas de expansi´on son continuos, salv o para el ´ mero de punto adjacente a la esquina ( A) del cuerpo. A tra v ´es de una onda de expansi´on el nu Mach aumenta, y la presi´on, la temperatura y la densidad disminuy en.
33
Funcionamiento de toberas a en esta secci´ Se analizar´ on las diferentes condiciones de flu jo que se alcanzan en una tob era con v ergente di v ergente cuando se v ar´ıa la presi´ on de descarga o contrapresi´ on pd . El an´ alisis se realiza graficando la distribuci´on de presiones p en la tob era adimensionalizada por la presi´on de estancamiento p0 para dif erentes v alores de la contrapresi´ on. Para pd = p0 no existira ´ flujo en la tob era. Reduciendo pd por debajo de p0 comenzara ´ el flujo. Si pd es tal que no se alcanza el estado s´onico o cr´ıtico en la garganta el flujo acelerar´ a en la secci´ on con v ergente y desacelerara ´ en la secci´on div ergente. Esta situaci´on queda representada mediante la curva a del gr´ afico. Reduciendo pd aumentar´ asico m que pasa a tra v ´ es a el flujo m´ de la tobera e ira onico en la ´ aumentando su v elocidad. En el l´ımite se alcanzara ´ el estado s´ garganta desacelerando posterior mente en la secci´on di v ergente (curv a b). El flu jo m´asico ser´ a aximo posible para las condiciones de estancamiento ( p0 , T 0 , ρ0 ), la presi´on sera ´ la presi´on el m´ cr´ıtica p . La curva b es el l´ımite para la regi´on I del gr´afico donde el flujo es subs´onico en to da la tobera. ˙
∗
Onda de choque plana interior
p p0
Ondas de choque oblícuas
a b c
I II
pd
d III e
IV
Ondas de expansión
g
Figura 11.14: Funcionamiento de una tobera convergente divergente fuera de las condiciones de disen ˜ o.
Reduciendo pd el flujo en la tob era se encontrar´a estrangulado y en la parte div ergente se desarrollar´ on que se alcansar´ıa al expandir a un flu jo supers´onico. Si pd es superior a la presi´ completamente el flujo en la tob era sera ´ necesario un reaju ste (aumento) de la presi´on del gas dentro de la tobera. Este ajuste se logra mediante una onda de choque plana. Como el flujo detr´as de una onda de choque plana es su bs´onico, ´este desacelerar´ a y aumentar´ a la presi´on en la secci´ on di v ergente que resta hasta que la presi´ on de salida del flujo sea igual a la contrapresi´ on omeno queda representado por la curva c. Reduciendo la presi´ on pd el lugar donde pd . Este f en´ se produce la onda de choque se desplaza hacia la salida de la tob era. En el l´ımite ´ esta se producira ´ justo en la secci´on de salida de la tob era (curva d ). Las curv as b y d son los l´ımites de la regi´ on II donde las ondas de choque se producen en el interior de la tob era. Descensos posterior es de pd tendr´ an como ef ecto un rea juste de la presi´on del flujo con la presi´on de descarga fuera de la tobera mediante una serie de ondas de choque bi- y tridimensionales. A ´ y a que la diferencia medida que se reduce pd la intensidad de las ondas de choque disminuira entre la presi´ on de salida del flujo y la presi´ on de descarga disminuy e. En el l´ımite la presi´ on de 34
descarga pd ser´a igual a la presi´on de salida del flu jo y la tob era se encontrar´a operando ba jo las condiciones de diseno. En este caso no existir´an ondas de cho que. Entre las curv as d y e la presi´on de salida del flu jo es menor que la presi´on de descarga por lo que se dice que la tob era se encuentra operando sobreexpansionada ( III ). ˜
Si pd se ba ja por de ba jo de la cur v a e la presi´on de salida del flujo sera´ ma y or que la presi´on de descarga y por lo tanto nuev amente sera´ necesario un a juste de la presi´on. Este aju ste se produce fuera de la tob era mediante ondas de expansi´on bi- y tridimensionales. Esta regi´on ( I V ) se denomina regi´on subexpansionada.
35
1.0
10
0.9
9 T/T
0
0.8
8
0.7
7 r/r
0.6
6
0
* 5 A/A
0.5 0.4
4
p/p
0
0.3
3
0.2
2
0.1
1
0.0
0 0.1
1
10
M Figura 11.15: Correlaciones para el flu jo compresible isoentr´opico.
36
0.1 5
1
r/r *
10 5
p/p*
p0/p*0
4
3
4
3
2
V/V*
2
f(l*-l)/D
1
T/T*
1
0 0.1
1
M Figura 11.16: Correlaciones para el flujo de Fanno.
37
0 10
0.1 2.5
1
10 2.5 p /p
0 0,a
2.0
2.0
V/V*
1.5
1.5
1.0
1.0
T /T
0 0,a
0.5
0.5 T/T
a
p/p
a
0.0 0.1
1
M Figura 11.17: Correlaciones para el flujo de Rayleigh.
38
0.0 10
39
