Cap 1. Flujo Compresible Definiciones

U N E X P O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA SECCIÓN DE TERMOFLUIDOS DINAMICA DE GASES

DINAMICA DE GASES (322678)

Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE

Puerto Ordaz. 2010.

Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana

CAPITULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO COMPRESIBLE. 1.1 Definición de Flujo Compresible. 1.2 Regímenes de Flujo Compresible. 1.3 Velocidad del sonido. Número y Angulo de mach. 1.4 Condición Característica y de Estancamiento. 1.5 Resumen de ecuaciones. 1.6 Aplicaciones. 1.7 Problemas. 1.8 Bibliografía.

UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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CAPITULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO COMPRESIBLE. 1.1.- DEFINICIÓN DE FLUIDO COMPRESIBLE.

Por lo general el fluido compresible se ha definido como aquel cuya densidad varía; esto en contraste con la tradicional definición del fluido incompresible, en donde la densidad se asume como constante. Científicamente se puede demostrar que todo fluido es compresible en mayor o menor grado. De cualquier modo, el hecho de asumir que la densidad se mantiene constante para algunos gases y líquidos puede considerarse razonable y en muchos casos el uso de la ecuación de Bernoulli de la forma 2 p + 1 ρ V = const 2

(1.1)

permite cierta confianza. Sin embargo, para los conocimientos a suministrar en este trabajo, no se puede utilizar la ecuación (1.1) para tratar el fluido compresible, ya que se requiere una definición más elaborada del mismo. Considérese un pequeño elemento de fluido fluido de volumen v . La presión que los alrededores ejercen sobre ese elemento de volumen es p . Ahora considérese que esa presión es incrementada una cantidad infinitesimal dp . Sobre este elemento de volumen se estará experimentando una compresión que genera una variación de volumen dv y como el volumen se ha reducido, éste será negativo. La compresibilidad, la cual es una medida de cuanto se puede comprimir un fluido, de un fluido se ha definido como τ = −

1 dv

v dp

(1.2)

Físicamente, la compresibilidad es una fracción de cambio de un elemento de volumen por unidad de cambio de presión. Sin embargo, lo expresado anteriormente, no es totalmente preciso. Por experiencia cuando un gas es comprimido su temperatura se incrementa, dependiendo de la cantidad de calor que ese gas intercambia con los alrededores. Si la temperatura de ese elemento de fluido es mantenida constante, entonces se estará realizando una compresión isotérmica y la compresibilidad se puede definir como UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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1 ⎛ ∂v ⎞ τ = − ⎜⎜ ⎟⎟ v ⎝ ∂ p ⎠T

(1.3)

En otro orden de ideas si en el proceso de compresión no existe transferencia de calor, es decir, si el proceso es adiabático, se estará realizando una compresión isentrópica y la compresibilidad se define como 1 ⎛ ∂v ⎞ τ = − ⎜⎜ ⎟⎟ v ⎝ ∂ p ⎠ S

(1.4)

en donde el subíndice s , indica que la derivada parcial es realizada a entropía constante. La compresibilidad es una propiedad de los fluidos. Los líquidos la poseen muy 2 baja, (por el orden de 10 -10 m N a 1 atm) y los gases la poseen muy alta (por el orden 2 de 10-5 m N a 1 atm). Si se asume que el elemento de fluido posee una masa unitaria, v es el volumen específico, y la densidad es ρ = 1 ; en términos de la densidad la v

compresibilidad queda como τ =

1 d ρ

ρ dp

(1.5)

o también d ρ = ρτ dp

(1.6)

es decir, cuando se experimenta un cambio de presión existirá el correspondiente cambio en la densidad del fluido. Con el anterior razonamiento se debe de llegar a comprender, definitivamente, que la compresibilidad es una propiedad exclusiva de los fluidos. Asúmase ahora que ese elemento de fluido tiene velocidad, la cual es creada por una diferencia de presión. En particular, altos cambios de velocidad involucran altos cambios de presión. En consecuencia, si existen cambios de presión y en base a la ecuación (1.6), existirán cambios en la densidad. Estos cambios en la densidad serán pequeños en los líquidos (poseen bajos valores de τ ), y altos en los gases (poseen altos valores de τ ). Para un campo de flujo de líquidos se hace necesario muy altos gradientes de presión para crear altas velocidades y así generar altos cambios en la densidad. Por lo anterior es que se asume que los líquidos son incompresibles, en donde la densidad de los mismos es constante. En otro orden de ideas, para un campo de flujo de gas, los cuales poseen altos valores de compresibilidad, para moderados cambios del gradiente de presión UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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existen sustanciales cambios en la densidad. Al mismo tiempo, al existir gradientes de presión, existirán altos cambios en la velocidad. El flujo definido de esta forma será considerado como compresible. Sin embargo es útil señalar que para campos de flujos de gases a baja velocidad, los cambios de presión asociados a los mismos, son pequeños, a pesar de poseer alta compresibilidad. Por esta razón, los campos de flujo de gas a bajas velocidades pueden considerarse como incompresibles. Por ejemplo, al diseñar ventiladores, estos se diseñan como si fueran a manejar un flujo incompresible. Para fines de cálculo se considerará como flujo compresible aquel cuyo cambio en su densidad este por encima del 5 porciento. 1.2.- REGÍMENES DE FLUJO COMPRESIBLE.

En el flujo compresible, así como en el flujo incompresible, existen diferentes regímenes de flujo. Antes de señalar los diferentes tipos de regímenes del flujo compresible, es necesario considerar algunas definiciones iniciales, las cuales algunas serán tratadas con más detalle más adelante y otras ya fueron estudiadas en el curso de Mecánica de Fluidos. Aguas arriba de un cuerpo aerodinámico, si el campo de flujo es uniforme, la velocidad será considerada como velocidad de corriente libre uniforme ( V ∞ ). Una Una línea línea de de corrien corriente te es aque aquella lla curva curva,, en el campo campo de fluj flujo, o, en donde donde la velocidad local de cada partícula del campo de flujo, V , es tangente a esa curva. Considérese un punto arbitrario en un campo de flujo, en donde p , T , ρ y V son la presión, temperatura, densidad y el vector velocidad reales o estáticas o locales en ese punto. Estas propiedades pueden variar en ese punto a otro en el campo de flujo. Si a∞ es la velocidad del sonido para la corriente libre uniforme, entonces la relación V ∞ a , ∞ define el número de Mach de esa corriente libre y se expresa como M ∞ . Similarmente, se define como número de Mach real, estático o local como M = V a , el cual puede variar de un punto a otro en el campo de flujo. Con las anteriores definiciones en mente, se puede señalar que existen cuatro regímenes de flujo compresible, los cuales se señalan a continuación. (Ver figura 1.1) 1.- Flujo Subsónico. Considérese unas condiciones infinitas en donde M ∞ < 0,8 y un cuerpo aerodinámico agua abajo de esas condiciones infinitas. En el cuerpo el número de Mach local, en cualquier punto, es menor a la unidad y por lo tanto la velocidad del campo de flujo, en cada punto, es menor a la velocidad del sonido. El campo de flujo, con las características del número de Mach señalado anteriormente, se define como flujo subsónico . Este flujo se caracteriza por tener sus líneas de corriente paralelas y una variación en las propiedades en forma continua. Se debe de notar que en la corriente libre uniforme las líneas de corriente son rectas y paralelas y es al llegar al UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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cuerpo aerodinámico dejan de ser rectas y se amoldan al mismo. Es decir, las líneas de corriente se “percatan” de la presencia del cuerpo, propiedad ésta importante en el flujo


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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecánico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB. Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana M‹1

V

∞

M

∞

‹ 0.8 b V Onda de Choque M‹1

‹

0.8 M

∞

‹

∞

M‹1

‹ 1.0

M‹1 1.0 M

M›1

Onda de Choque

M›1

‹ 1.2 Onda de Choque Curva M›1

M

∞

› 1.2 Onda de Choque Oblicua

M›1

M

∞

›5

FIGURA 1.1 Ilustración de diferentes tipos de regímenes de flujo.

subsónico, y cambian de dirección Como se demostrará posteriormente, al pasar el campo de flujo sobre el cuerpo aerodinámico, la velocidad y el número de Mach local se incrementan, pero no lo suficiente como para que el número de Mach supere la unidad. En definitiva se considera un campo de flujo subsónico aquel en donde la corriente libre tenga un número de Mach igual o menor a 0,8. UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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2.- Flujo Transónico. Si M ∞ permanece subsónico, pero suficientemente cerca de la unidad, y si el número de Mach estático o local del campo de flujo que circula sobre la superficie del cuerpo aerodinámico llega a ser supersónico en varios puntos, el flujo se considera como flujo transónico . En este tipo de régimen se puede producir alguna onda de choque en una dimensión, (este concepto se tratará posteriormente con detalle), con las respectivas discontinuidades en las propiedades del campo de flujo. Si el número de Mach, de la corriente libre, se incrementa sobre la unidad se pueden generar ondas de choque en tres dimensiones y hasta ondas de expansión. Para este régimen las líneas de corriente de la corriente libre, son rectas y paralelas con un número de Mach uniforme. Al pasar el campo de flujo sobre el cuerpo aerodinámico y generarse alguna onda de choque, este se convierte en subsónico y posteriormente puede llegar a ser supersónico. Cuando en el campo de flujo exista una mezcla de flujo subsónico y supersónico se estará considerando como flujo transónico ; y específicamente cuando se presenta la situación en que el número de Mach varía de la forma 0,8 ≤ M ∞ ≤ 1,2 se estará considerando un régimen transónico . 3.- Flujo Supersónico. Un campo de flujo en donde el número de Mach sea, en cada punto, constantemente superior a la unidad será considerado como supersónico . Puede que se presente una onda de choque en dos dimensiones, (choque oblicuo), y como se estudiará posteriormente, la corriente de flujo, posterior a la onda de choque puede continuar supersónica, a pesar de existir las correspondientes discontinuidades en las propiedades del mismo. Aguas arriba de la onda de choque las líneas de corriente son paralelas y rectas. Aguas abajo de la onda de choque continúan siendo rectas y paralelas. A diferencia del flujo sónico, la corriente libre uniforme supersónica no se percata tan rápidamente de la presencia de la obstrucción y se genera una onda de choque. El campo de flujo es generalmente supersónico aguas arriba y abajo de la onda de choque oblicua, existiendo dramáticos cambios en físicos en las propiedades del campo de flujo. 4.- Flujo Hipersónico. Como se indicará posteriormente, la temperatura, la presión y la densidad de un campo de flujo se incrementan a través de alguna onda de choque. En la medida en que M ∞ se incrementa a valores muy altos, en esa misma medida los cambios en las propiedades serán más severos. Para valores de M ∞ > 5 y con alguna onda de choque existirán, en el campo de flujo, un aumento de temperatura tal que el gas se disocia y reacciona químicamente. Por esta razón el campo de flujo con M ∞ > 5 es un caso muy especial el cual se le denomina flujo hipersónico . Se ha establecido entonces que el valor de M ∞ = 5 sea la frontera entre el flujo supersónico y flujo hipersónico. El estudio de este tipo de flujo se tratará en futuros trabajos. 1.3.- VELOCIDAD DEL SONIDO. NÚMERO Y ANGULO DE MACH.

El aire esta compuesto por moléculas que están en continuo movimiento, con diferentes velocidades instantáneas y energías diferentes en diferentes tiempos. Sin UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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embargo, se puede determinar, para un período de tiempo determinado, la velocidad promedio y el nivel de energía molecular. Para un gas perfecto dichas propiedades son únicamente función de la temperatura. Considérese ese aire alrededor de usted. Asuma que en este instante se produce alguna perturbación, (como por ejemplo, la explosión de un globo de goma), alrededor de usted. La energía liberada por esa perturbación es absorbida por las moléculas adyacentes con el resultado del incremento de la velocidad media de las mismas. Estas moléculas colisionan con las adyacentes a ellas, transfiriéndoles energía y así sucesivamente, creándose una transferencia neta de energía o la propagación, en el espacio, de la perturbación o específicamente, la creación de una onda de energía. Esta onda de energía se desplaza en el aire a una velocidad que depende de la velocidad media de las moléculas, ya que son las colisiones moleculares las que están originando dicha onda de energía. Mientras la onda de energía se desplaza, se está variando la energía lo cual produce cambios sensibles en la presión, densidad y temperatura del aire. Lo anterior ocurre hasta que la onda llega al oído y es detectada en el celebro como un sonido. De este modo, esa onda energéticamente débil se denominará onda sónica u onda de sonido y esa velocidad se representa por a . Una onda sónica, por definición, es una onda débil que produce cambios en las propiedades en forma infinitesimal. Básicamente el propósito del estudio del flujo compresible consiste en estudiar los efectos que esa onda sónica produce en el seno del aire o de algún gas. Considérese que se esta desplazando junto con una onda sónica que tiene una velocidad a . El aire, aguas arriba de la onda, se mueve a la velocidad de la onda a , como se indica en la figura 1.2. A causa de la existencia de los cambios en las propiedades del flujo, a través de la onda, el flujo aguas abajo de la onda se desplaza a una velocidad diferente. onda de presión

Volumen de Control

onda de presión p + dp

p

p + dp

ρ + d ρ

ρ

ρ + d ρ

T

T + dT

T

T + dT

V = 0

dV

a

a + da

p

ρ

a

A

( a)

A

A

(b)

A

FIGURA 1.2 ( a ) Onda de presión moviendose a través del campo de flujo. (b) El campo

de flujo relativo al volumen de control conteniend o la onda de presión.

Sin embargo, estos cambios son sensibles. Como una onda sónica, por definición, es una onda débil, se deben considerar los cambios en las propiedades, como cambios infinitesimales, y en el caso de la velocidad de la onda se tiene un cambio de da . De la misma forma, la presión, la densidad y la temperatura tendrán sus respectivos cambios generando, aguas abajo de la onda, los valores de p + dp , ρ + d ρ y T + dT respectivamente.


9


Para aplicar las ecuaciones básicas es necesario establecer el volumen de control en la onda sónica, para ello se mantendrá fija y moveremos el aire. El campo de flujo a través de la onda es unidimensional. En base a la figura 1.2, y si la región 1 y 2 están aguas arriba y abajo respectivamente y aplicando continuidad, se tiene ρ a = ( ρ + d ρ )(a + da )

(1.7)

ρ a = ρ a + ad ρ + ρ da + d ρ da

(1.8)

realizando las operaciones necesarias y despreciando los términos de segundo orden, se obtiene a = − ρ

da

(1.9)

d ρ

Aplicando la segunda Ley de Newton, se logra p + ρ a 2 = ( p + dp ) + ( ρ + d ρ )(a + da )

2

(1.10)

realizando, de nuevo, las operaciones necesarias y despreciando los términos de segundo orden, dp = −2a ρ da − a 2 d ρ

(1.11)

resolviendo para da : dp + a d ρ 2

da =

− 2a ρ

(1.12)

sustituyendo la ecuación (1.12) en la (1.9)

y resolviendo para

⎛ dp + a 2 ⎞ ⎜ d ρ ⎟ a = − ρ ⎜ ⎟ − 2 a ρ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(1.13)

⎛ dp ⎞ ⎟⎟ a 2 = ⎜⎜ d ρ ⎝ ⎠

(1.14)

a2


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Considérese, en este momento, necesario estudiar el proceso que ocurre dentro de la onda sónica. Ya se ha dicho que los cambios producidos por la onda sónica son sensibles, infinitesimales, esto implica que la irreversibilidad, los efectos de disipación por fricción y transferencia de calor son despreciables. Por otro lado, no existe adición de calor al flujo dentro de la onda sónica. Por lo tanto se puede afirmar que el proceso, dentro de la onda sónica, es isentrópico y la ecuación (1.14) puede escribirse de la forma ⎛ ∂ p ⎞ ⎟⎟ a 2 = ⎜⎜ ∂ ρ ⎝ ⎠ S

(1.15)

La ecuación (1.15) es la expresión fundamental de la velocidad sónica o de la velocidad del sonido para cualquier gas. Si se recuerda que ρ = 1 v , entonces d ρ = − dv

v2

y si se sustituye este término en la ecuación (1.15), se tiene que ⎛ ∂ p ⎞ v ⎛ ∂ p ⎞ 2 ⎟⎟ = −⎜ ⎟ v 2 = − a = ⎜⎜ ⎝ ∂v ⎠ S 1 ⎛ ⎝ ∂ ρ ⎠ S ⎜ ∂v ∂ p ⎞⎟ v ⎝ ⎠ S

( )

y por lo tanto a=

⎛ ∂ p ⎞ v ⎜⎜ ⎟⎟ = τ S ⎝ ∂ ρ ⎠ S

(1.16)

Se ha deducido la ecuación (1.16) para confirmar que, si se considera τ = 0 para los fluidos incompresibles, implica que la velocidad del sonido debe tener un valor infinito. Para los gases calóricamente perfectos, tomando en cuenta la relación isentrópica pv = const k

diferenciando y recordando que v = 1 ρ , se tiene ⎛ ∂ p ⎞ kp ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ ∂ ρ ⎠ S ρ

entonces, UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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kp

a=

(1.17)

ρ

o a=

(1.18)

kRT

En definitiva, la ecuación (1.16) es la expresión general de la velocidad sónica para todos los gases y las ecuaciones (1.17) y (1.18) son las expresiones de la velocidad sónica para los gases perfectos. Obviamente que para los gases reales o químicamente reaccionantes dichas ecuaciones no son válidas. Es de notar que la ecuación (1.18) indica que la velocidad sónica esta en función proporcional solamente de raíz cuadrada de la temperatura y esto esta en concordancia con el criterio inicial de que la velocidad sónica es un promedio de la velocidad molecular. Como se recordará el número de Mach esta definido como M = V a , si ambos lados de la ecuación se elevan al cuadrado y se supone un gas calóricamente perfecto, se obtiene M = 2

V

2

2

V 2 kRT

=

ρ V 2

(1.19)

kp

La energía cinética e interna por unidad de masa de algún elemento de fluido son y e respectivamente y recordando que cv = R k − 1 , se llega a V

2

e

2 =

V

2

V

(k 2 )V

2

2

k (k − 1) 2 2 = 2 M = 2 = a cvT RT 2 (k − 1) (k − 1)

Como se deduce, para un gas calóricamente perfecto, (donde e = cvT ), el cuadrado del número de Mach es proporcional a la relación entre las energías cinética e interna respectivamente. Esto es una forma de entender la relación que existe entre el movimiento de un gas y el movimiento térmico molecular del mismo. En base a lo anterior se puede concluir que, dependiendo de que el número de Mach sea menor o mayor a la unidad, la respuesta de un campo de fluido difiere. Como Onda generada a t − Δt Fuente

Onda generada a t − 2Δt Onda generada a t − Δt

Onda generada a t − 2Δt

V = 0 UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. de Flujo Compresible. • ÷ ÷ o • Conceptos Fundamentales 1 2aΔt V = a aΔt aΔt 2 V < a Fuente 2aΔt

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ilustración de lo anterior se supondrá la existencia de un emisor de sonido de forma intermitente cuya onda sónica o perturbación ya se conoce que se propagará a una velocidad relativa al fluido, (ver figura 1.3). Caso a. Supóngase que el campo de flujo no tiene movimiento en relación con la perturbación. Las ondas sónicas se propagan en forma uniforme desde el emisor. UNEXPO. Dpto. de Ingeniería Ingeniería Mecánica Sección de Termofluidos. Intensivo 2010. Dinámica de Gases. Conceptos Fundamentales de Flujo Compresible.

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Cada onda se genera en el tiempo en forma intermitente desde un tiempo t inicial. Si a un intervalo de tiempo Δt , la onda que se genera Δt segundos antes se ha difundido en un círculo de radio cΔt , (ver figura 1.3), la onda generada en t − 2Δt se ha difundido a un círculo de radio 2cΔt , y así sucesivamente generándose un patrón de ondas simétrico alrededor del punto emisor. Caso b. Supóngase ahora que el campo de flujo tiene velocidad tal que M << 1 , y que pasa a través del punto emisor. El comportamiento de las ondas sónicas es similar al caso anterior, solo que no existe simetría en la generación de las mismas. En este momento el flujo no se ve afectado por la onda sónica hasta que esta muy cerca del punto emisor. Caso c. Supóngase que el campo de flujo tiene una mayor velocidad hasta el punto de que M = 1 , es decir, el campo de flujo se desplaza a la misma velocidad que la onda sónica. El patrón de generación de las ondas se indica en la figura 1.3. Se observa que las ondas forman una envolvente recta, perpendicular a la velocidad del campo de flujo. Todas las ondas forman parte de esta envolvente. En esta oportunidad el campo de flujo se ve afectado por las ondas sónicas al cruzar la envolvente. Caso d.- Finalmente supóngase que el campo de flujo tiene una velocidad tal que M > 1 . A una velocidad supersónica las ondas se arrastran corriente abajo más rápido que lo que se difunden, (ver figura 1.3). Todas las ondas están confinadas en una región triangular o cónica, que se extiende corriente abajo desde el punto emisor. Las ondas forman una envolvente de semiángulo μ . Solamente el flujo dentro de la envolvente es afectado por el punto emisor. Esta envolvente de ondas sónicas infinitesimales se conoce como onda de Mach , en el flujo bidimensional y como cono de Mach en el flujo tridimensional y el ángulo μ se conoce como ángulo de Mach. Aplicando la trigonometría necesaria se tiene senμ =

aΔt V Δt

=

2aΔt 2V Δt

=

a V

=

1 M

y ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ M ⎠

μ = sen −1 ⎜

(1.20)

1.4.- CONDICIÓN CARACTERÍSTICA Y DE ESTANCAMIENTO.

Antes de continuar, y para que exista una mayor facilidad en la comprensión de los capítulos siguientes, se hace necesario emitir algunas otras definiciones.


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Considérese un punto A en un campo de flujo arbitrario. A este punto de elemento de flujo le corresponden un número de Mach M , una velocidad V , una presión y temperatura real, local o estática p y T , respectivamente. Ahora imagínese que, en forma adiabática, la velocidad de ese elemento de flujo es modificada hasta tener, el punto A, un número de Mach igual a la unidad. Es de suponer que igualmente la temperatura del punto A se ha modificado. Cuando algún elemento de fluido llega, imaginativamente y en forma adiabática, a un M = 1 , para unos valores reales iniciales de M y T , la nueva temperatura, (se insiste, solo en la imaginación del lector), se define como temperatura característica T ∗ . De esta manera, se deriva la velocidad sónica para ese Mach =1 como a ∗ , donde a∗ =

kRT ∗

(1.21) y ∗

M = V

a

∗

(1.22)

De tal forma que para un elemento de flujo con valores reales o estáticos de T , se le pueden asociar valores imaginarios de T ∗ y a ∗ .

M

y

Se concluye que existen las definiciones que especifican las propiedades características como aquellas que se logran cuando se llega a M = 1 en forma imaginativamente adiabática; las propiedades de estancamiento o totales son aquellas que se logran cuando se llega a M = 0 en forma imaginativamente isentrópica; y las propiedades estáticas o reales como aquellas que ese elemento de flujo posee realmente. Para el caso de las propiedades de estancamiento se tendrá aO =

kRT O

(1.23)

y ρ O =

pO

RT O


(1.24)

15


1.5.- RESUMEN DE ECUACIONES. p + 1 ρ V 2 = const 2

2

da =

(1.1) τ = −

dp + a d ρ

− 2a ρ

(1.12)

1 dv

v dp

⎛ dp + a 2 ⎞ ⎜ d ρ ⎟ a = − ρ ⎜ ⎟ ⎜ − 2a ρ ⎟ ⎝ ⎠

(1.2) 1 ⎛ ∂v ⎞ τ = − ⎜⎜ ⎟⎟ v ⎝ ∂ p ⎠T

(1.13)

(1.3) ⎛ dp ⎞ 2 ⎟⎟ a = ⎜⎜ d ρ ⎝ ⎠

1 ⎛ ∂v ⎞ τ = − ⎜⎜ ⎟⎟ v ⎝ ∂ p ⎠ S

(1.14)

(1.4) τ =

⎛ ∂ p ⎞ 2 ⎟⎟ a = ⎜⎜ ⎝ ∂ ρ ⎠ S

1 d ρ

ρ dp

(1.15)

(1.5) d ρ = ρτ dp

a=

(1.6)

⎛ ∂ p ⎞ v ⎜⎜ ⎟⎟ = τ S ⎝ ∂ ρ ⎠ S

(1.16)

ρ a = ρ a + ad ρ + ρ da + d ρ da

(1.8)

kp

a=

ρ a = ( ρ + d ρ )(a + da )

ρ

(1.17)

(1.7)

a= a = − ρ

(1.18)

da d ρ

M =

(1.9)

2

p + ρ a 2 = ( p + dp ) + ( ρ + d ρ )(a + da )

2

(1.10) dp = −2a ρ da − a d ρ 2

(1.11)

kRT

V

2

=

kRT

ρ V 2 kp

(1.19) ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ M ⎠

μ = sen −1 ⎜

(1.20)


16


a∗ =

kRT ∗

(1.21) a

(1.22)

∗

kRT O

(1.23) ρ O =

∗

M = V

aO =

pO

RT O

(1.24)


4


1.6.- APLICACIONES.

Nº 1.- Un aeroplano esta pasando exactamente sobre una persona a una altura de 1000 m. Cuanto tiempo tarda en oír el aeroplano esa persona?. El aeroplano viaja con un número de Mach de 1,5 y la temperatura ambiente es de 20 º. Solución

6.- Leyes y Ecuaciones: Leyes Básicas. B) ecuaciones:

1.- Leer.

1 ⎞ a) μ = sen −1⎛ ⎜ ⎟ ; b) a = kRT ; c)

2.- Datos: a) z = 1000 m; b) M = 1.5; Temperatura ambiente = 20 ºC; k = 1,4; R = 287 m 2/(s2 K)

⎝ M ⎠ M = V ; V = x t a

7.- Desarrollo.

3.- Pregunta: Cuanto tiempo se tarda en oír el sonido de un aeroplano que pasa exactamente sobre una persona

α = tg −1

4..- Dibujo:

M=

← M = 1,5

M=

z x

= tg −1

1000

V ∗ t

1

senα 1 1 sen tg − 1000

[ (

)]

V ∗ t

V = M ∗ a = M kRT = 1,5 ∗ 1,4 ∗ 287 ∗ 293 z = 1000 m 1,5 =

α

x = V ∗ t

1

⎧⎪ ⎪⎩

⎤ ⎫⎪ ⎥⎬ ⎣ 1,5 1,4 ∗ 287 ∗ 293 ∗ t ⎦ ⎪⎭ ⎡

sen⎨tg −1 ⎢

(

1000 m

)

t = 2,17 seg

Resultado

5.- Hipótesis: a) Gas calóricamente perfecto. Número de Mach constante.

t = 2,17 seg


4

Primer Parcial. Dinámica de Gases. 2008-I

Nº 2- En un instante determinado, dos ondas de presión se mueven a la velocidad del sonido y son emitidas por un punto que se mueve a una determinada velocidad, tal y como se muestra en la figura. Determine el número de Mach del punto involucrado. 0.254 mt 0.0508 mt

0.127 mt

Solución al problema

a) Mach del unto involucrado.

1.- Leer. 2.- Datos: e1 = 0,245 m; e2 = 0,127 m; e3 = 0,0508 m-

a=

0,24

t 1

⇒ t 1 =

0,24

a t 1 =

0,24

t 2 =

0,24

a

3.- Pregunta: a) Mach del punto involucrado. 4.- Esquema

0.254 mt 0.0508 mt

V =

0,127

t 3

⇒ t 3 =

6.- Leyes y Ecuaciones. Ecuación de Estado Segunda Ley. Ecuaciones de Flujo Rayleigh. Tablas Isentrópicas. Tablas Flujo Rayleigh.

0,24

a

=

V

=

=

a 1

M =

V 0,127

V

t 1 = t 2 + t 3

5.- Hipótesis. Gas calóricamente perfecto.

V

0,127

t 3 =

0.127 mt

a

a

0,0504

a

+

0,127

V

(0,24 − 0,0504 ) =

0,127

V

kp

ρ

V a

=

0,127

(0,24 − 0,0504)

=

0,127 0,19

= 0,67

7.- Desarrollo. M = 0,67 Prof. Luis M. Bustamante. Sección de Termofluidos. 23/08/2010

4

Primer Parcial. Dinámica de Gases. 2008-I

M = 0,67 RESULTADOS:

⎛ ∂ p ⎞

Nº 2- La ecuación a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ es la expresión fundamental de la velocidad sónica o ⎝ ∂ ρ ⎠ S de la velocidad del sonido para cualquier gas. Confirmar que, si se considera la compresibilidad nula ( τ = 0 ), para los fluidos incompresibles, implica que la velocidad del sonido debe tener un valor infinito. Solución al problema 7.- Desarrollo. 1.- Leer.

⎛ ∂ p ⎞ 2.- Datos: a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ; τ = 0 ρ ∂ ⎝ ⎠ S 3.- Pregunta: a) demostrar que para τ = 0 la velocidad del sonido es infinita. 4.- Esquema 5.- Hipótesis. Gas calóricamente perfecto. 6.- Leyes y Ecuaciones.

⎛ ∂ p ⎞ ρ = 1 ; a 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ v ⎝ ∂ ρ ⎠ S

ρ = 1

v

d ρ = − dv

v2

⎛ ∂ p ⎞ v ⎛ ∂ p ⎞ 2 ⎟⎟ = −⎜ ⎟ v 2 = − a = ⎜⎜ ⎝ ∂v ⎠ S 1 ⎛ ⎝ ∂ ρ ⎠ S ⎜ ∂v ∂ p ⎞⎟ v ⎝ ⎠ S

( )

y por lo tanto a=

⎛ ∂ p ⎞ v ⎜⎜ ⎟⎟ = τ S ⎝ ∂ ρ ⎠ S

Si τ = 0 ⇒ a = ∞ (Q.D )

Nº 3- ¿A que velocidad V se propaga por un tubo una onda de choque normal, creada durante el movimiento del pistón a la velocidad V P = 250 m seg por un gas a la temperatura T 1 = 300 K (fig. 1). Considere R igual a 290 J/kg.K; y k igual a 1,3.

Prof. Luis M. Bustamante. Sección de Termofluidos. 23/08/2010

4

Primer Parcial. Dinámica de Gases. 2009-II

1

2 V P

1

3

3

V 2

V

a

V 1

b

Fig. 1. a) Onda de Choque delante del pistón. b) Velocidades respecto del tubo y la onda. 1 = tubo. 2 = pistón. 3 = onda de choque. Solución

a) Velocidad de la onda de choque

1.- Leer. 2.- Datos: VP = 250 m/s; T 1 = 300 K; k = 1,3; R = 290 J/kg K. 3.- Pregunta: Velocidad V de la onda de choque. 4.- Esquema

ρ 1 RT 1 + ρ 1V 12 = ρ 2 RT + ρ 2V 22 (4) T V V V ⇒ T 2 = 1 2 + 2 1 − V 22 R (5) V 1 R kRT 1

(k − 1) ⇒

V1

V2

2

+

V 1

=

2

2

kRT 2

(k − 1)

+

V 2

2

(6)

V 12

k

RT 1 + = 2 k − 1

k

V 2

k

2

k

V 2

RT 1 + V 1V 2 − V + (7) k − 1 V 1 k − 1 k − 1 2 2 2

ya que: 5.- Hipótesis. Flujo Isentrópico. Gas Calóricamente perfecto. 6.- Leyes y Ecuaciones. Conservación de la masa. Segunda Ley. Energía p ρ = RT ρ 1V 1 = ρ 2V 2 (1) p1 + ρ V = p2 + ρ 2V 2 1 1

h1 +

V 12 2

2 2

= h2 +

h = cPT =

V 22

kRT k − 1

V 1 = V V 2 = V − V P 7.- Desarrollo.

2

(3)

(2)

V 1 = V V 2 = V − V P

y sustituyendo desarrollando

en

la

ecuación

(7)

V − 287,32V − 113386,32 = 0 (8) 2

⇒ V = 509,32 m

s

También se puede desarrollar el cálculo sustituyendo V 1 y V2 en la ecuación (7). Desarrollando y resolviendo: 2 V − (k + 1)

VV P 2

− kRT 1 = 0 (9)

4

y


V =

(k + 1)V P 4

+ 0,5

⇒ V = 509,49 m

(k + 1)2V P2 4

RESULTADO:

+ 4 x1,3 x 290 x300 = V = 509,49 m

s

s

1.7.- PROBLEMAS.

1.1.- Determine la velocidad del sonido del aire cuando la temperatura es de 100 ºF y para -20 F. 1.2.- Compare los valores de la velocidad del sonido en m seg para los siguientes líquidos a 68 F: a) alcohol etílico, b) glicerina; c) mercurio. 1.3.- Un aeroplano está volando a una velocidad de 500 mph y a una altitud de 40000 pies. Determine el número de Mach si el aeroplano vuela a una presión atmosférica estándar. 1.4.- El campo de flujo de un gas calóricamente perfecto es considerado incompresible si el número de Mach es menor a 0.3. Determine la velocidad para M = 0.3 para el: a) aire; b) hidrógeno a 68 F. 1.5.- Una foto del movimiento de un objeto en el aire a 14.7 psia y 68 F indica que el ángulo de Mach es de 28º. A que velocidad se está moviendo el objeto? 1.6- En un instante determinado, dos ondas de presión se mueven a la velocidad del sonido y son emitidas por un punto que se mueve a una determinada velocidad, tal y como se muestra en la figura P1.6. Determine el número de Mach involucrado. 1.7- La compresibilidad de un líquido usualmente se expresa como β = ρ

dp d ρ

. Demuestre que a = β ρ .

0.254 mt 0.0508

0.127 mt Fig. P1.6

1.8-. Demuestre que para un gas calóricamente perfecto que 4


dp p

= k

dV a

y

dT T

= (k − 1)

dV a

1.9- El número de Mach de un flujo en un conducto es 3. Si la velocidad disminuye en un 25% ¿qué porcentaje de cambio de área es necesario para lograr dicha disminución? ¿Y si en número de Mach es de 0.7? 1.10.- Una bala se dispara con una velocidad de 500 m seg en sentido opuesto a una corriente de aire cuya temperatura es de 25 º C y una velocidad de 100 m seg . 1.11.- Calcúlese el número de Mach para el flujo de aire, el número de Mach del proyectil si la bala se hubiera disparado en aire en reposo y respecto a la corriente de aire. 1.12.- Desde un recipiente con una temperatura de 30 º C y una presión absoluta de 6.3 kg cm 2

, fluye hidrógeno isentrópicamente hacia una sección de 5 cm de diámetro,

donde la velocidad es de 350 m seg . Calcúlese la temperatura, la presión, el número de Mach y el caudal másico en la sección dada. 1.13.- Úsese la ecuación de la energía VdV +

dp

ρ

+ d ( pérdidas ) = 0

la ecuación de continuidad ρ V = const y a = dp d ρ para demostrar que, en el caso de flujo subsónico en la tubería, la velocidad debe aumentar en la dirección corriente abajo. 1.14.- Un proyectil se desplaza en el agua a 2000 pie/seg. La temperatura del agua es de 89 ºF. ¿Cuál es el número de Mach? 1.15.- Utilice los datos del volumen específico de una tabla de vapor para calcular y graficar la velocidad del sonido en agua líquida saturada, arriba del intervalo de temperatura de 32 a 400 F. 1.16.- En el vuelo de aviones a velocidades supersónicas, los coeficientes de sustentación y arrastre son funciones exclusivas del número de Mach. Un avión de pasajeros supersónico con envergadura de 75 m , va a volar a 780 m seg y a 20 km de altura en un día con condiciones estándar. Se va ha medir el funcionamiento del avión a partir de pruebas en un modelo con envergadura de 0.9 m en un túnel de viento 4


supersónico. El túnel de viento se va ha alimentar de un gran depósito de aire comprimido el cual puede calentarse si se desea. La temperatura estática del aire, en la sección de prueba, será de 10 º C para evitar el congelamiento de la humedad. ¿A qué velocidad del aire deben efectuarse las pruebas del túnel de viento para duplicar el número de Mach del prototipo? ¿Cuál debe ser la temperatura de estancamiento en el depósito? ¿Qué presión se requiere en el depósito si la presión, en la sección de prueba, va a ser de 10 kPa ? 1.17. Un extintor de incendios, lleno con gas dióxido de carbono, está presurizado a 35 MPa (manométrica) y almacenado a 30 º C . Calcule las condiciones características, (temperatura, presión y velocidad del flujo) que corresponden a estas condiciones de estancamiento. 1.18.- Un flujo desconocido de un gas ideal, con k = 1.4 , con cP constante, isentrópico y sin trabajo, circula a través de un tramo horizontal de un ducto aislado (1 denota la entrada y 2 denota la salida). Las propiedades son: p1 = 4 kPa , V 1 = 200 m seg , T 1 = 194 º R , p2 = 40 kPa , V 2 = 545 m

seg

, T 2 = 496 º R . ¿El flujo fluye de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda? 1.19.- Suponga que en un ensayo un misil de crucero se mueve horizontalmente a M = 2 en la atmósfera, a una elevación de 305 m por encima de la superficie de la tierra. ¿Cuánto tiempo tarda un observador; sobre el terreno, en oír la perturbación, a partir del instante en que el misil se encuentra directamente encima de él? 1.20.- Demuestre que para una perturbación adiabática pequeña en un flujo estable, la ecuación de energía adopta la forma Δh = −aΔV . 1.8.- BIBLIOGRAFÍA.

• • • • • • • • • •

Anderson, J. D. (1990). Modern Compressible Flow With Historical Perspective. 2da. Edición McGraw Hill. Inc. Bustamante, L. M. (1999). La Dinámica del Flujo Compresible. Volumen I. UNEXPO. Bustamante, L. M. (2009). La Dinámica del Flujo Compresible. Volumen II. UNEXPO. Bustamante, L. M. (1999). Problemas de Dinámica de Gases. UNEXPO. Bustamante, L. M. (1999). Dinámica de Gases. Apéndice. UNEXPO. Bolinaga J. (1992). Mecánica elemental de los fluidos. Fundación Polar UCAB. Encyclopedia and Compressible Flows. (1989). Volumen 8. Aerodynamics and Compressible Flows. Fox, Robert y McDonald, Alan (1991). Introducción a la Mecánica de los Fluidos. Iberoamericana S.A. Jones, J. B.; Dugan, R. E. (1997). Ingeniería Termodinámica. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Primera Edición. México. Lames, Irwinig. (1995). La Mecánica de Fluidos. McGraw-HILL. 5


• • • • • • •

Middleman Stanley.- (1998). An Introduction to Fluid Dynamics. John Wiley & Sons, Inc. Munson, B. R. ((1998). Fundamentals of Fluid Mechanics. New York. John Wiley & Sons, Inc. Third Edition. P. Gerhart, R. Gross y J.Hochstein (1995). Fundamentos de Mecánicas de Fluidos. Addison Wesley. Rotty R. (1968). Introducción a la Dinámica de Gases. Centro Regional de Ayuda Técnica. Agenda para el Desarrollo Internacional. México. Shapiro A. H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow. Vol. I/II. Ronald Press. New York. Streeter V. L. y Wylie E. B. (1990). Mecánica de Fluidos. Wylen, Van y Sonntag. (1997). Fundamentos de Termodinámica. Limusa. Vigésima segunda Reimpresión.

6

Cap 1. Flujo Compresible Definiciones

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