LA FUNCIÓN DE CORRIENTE , LA FUNCIÓN DE CORR CORRIE IENT NTE E DE FLUJ FLUJO O COMP COMPRE RESI SIBL BLE E THE THE CURR CURREN ENT T FUNC FUNCTI TION ON,, THE THE COMP COMPRE RESS SSIB IBLE LE FLO FLOW CURREN CURRENT T FUNCTI FUNCTION ON Imbaquingo Elvis1
Resumen
Abstract
El presente trabajo describe un método de obtención de las diversas ecuaciones para la corriente de flujo, para ello los conceptos generales de fluidos bidimensinales al igual que su análisis diferencial diferencial aportan al desarrollo de los diferentes casos de corriente de flujo que puede presentarse.Es un flujo en el que el vector velocidad sólo depende de dos variables espaciales. En este tipo de flujo se supone que todas las partículas fluyen sobre planos paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idénticas si se comparan los planos entre sí, no existiendo, por tanto, cambio alguno en direcc dirección ión perpen perpendic dicula ularr a los planos planos.. En cas de ser revisado con coordenadas cilindricas el vector velocidad depende de tres coordenadas coordenadas espaciales, es el caso más general en que las componentes nentes de la velocidad velocidad en tres tres direccion direcciones es mutuamutuamente perpendiculares son función de las coordena denada dass espa espaci cial ales es x, y, z, y del del tiem tiempo po t. Y teni tenien en-do en cuenta que este tipo de flujo se caracteriza con con mayo mayorr impo import rtan anci ciaa ya que que se dist distin ingu guen en muy muy fácilm fácilmen ente te sin tener tener que obvia obviarr lasvar las variac iacion iones es del vector velocidad que se presenta en esto, porque este vector depende únicamente de las tres coordenadas espaciales dichas con anterioridad.
The The prese present nt work work descri describes besaa method methodof of obtaiobtaining the different equations for the flow current, for this the general concepts of two-dimensional fluids as well as their differential analysis contribute to the development of the different cases of flow current that can be presented. It is a flow In which the velocity vector depends only on two spatial variables. In this type of flow it is assumedtha med thatt allpar all partic ticles lesflo flow w on para paralle llell planes planesalo along ng paths paths that that are are identi identica call if thepla the plane ness are are compar compared ed to each other, so that there is no change in direction perpendicular to the planes. In spite of being reviewed with cylindrical coordinates, the velocity vector depends on three spatial coordinates, it is the most general case in which the components of velocity in three mutually perpendicular perpendicular directions are a function of the spatial coordinates x, y, z, y of time t . And bearing in mind that this type of flow is characterized characterized with greater importance since they are very easily distinguished without having to obviate the variations of the velocity locity vector vector that that is prese presente nted d in this, this, becau because se this this vector depends only on the three spatial coordinates previously said.
Palabras Palabras Clave: Clave: Coordenadas, Keywords: Coordinates, Differential, Coordenadas, Diferencial, Diferencial, Differential, Current Current Función de Corriente,Flujo compresible. Function, Compressible Flow. * Estudiante de
Ingeniería Mecánica, Universidad Politécnica Salesiana, Campus Kennedy, Sede Quito.
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1. Introducción
2. Materiales y Métodos
A la hora de analizar el flujo de un fluido es posible formular las leyes fundamentales que rigen el movimiento del fluido (conservación de la masa, 2ª ley de Newton y la 1ª ley de la termodinámica). Esta formulación puede hacerse bien para el sistema finito de fluido que está ocupando en un instante el volumen de control. O bien para una partícula de fluido que está ocupando en un instante una posición determinada dentro del volumen de control [1]. La primera conduce al Análisis Integral del flujo y la segunda al Análisis Diferencial. El Análisis Diferencial proporciona una descripción muy detallada del flujo, ya que busca resolver el movimiento de las partículas de fluido que están ocupando en un instante el volumen de control, para lo cual obtiene como solución de las ecuaciones, en el caso del flujo compresible de un fluido monofásico, la descripción euleriana de sus velocidades, presiones, temperaturas y densidades. Su aplicación se ve dificultada al tratar con un modelo matemático en ecuaciones en derivadas parciales no lineales y con el fenómeno de la turbulencia. Son muy escasos los flujos, todos ellos en régimen laminar (sin turbulencia) y en geometrías sencillas, en los que las ecuaciones se pueden simplificar hasta reducirlas a unas que puedan resolverse de manera analítica [2]. Teniendo en cuenta esta premisa el estudio de la función de corriente va involucrada con todos los fenómenos físicos que experimentan los fluidos y la forma adecuada de análisis y aplicación.
2.1. La función corriente 2.1.1. La función de corriente en coordenadas cartesianas Considere el caso simple de flujo bidimensional incompresible en el plano xy [5]. La ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas se reduce a: ∂u ∂u + =0 (1) ∂x
∂ y
Una inteligente transformación de variables permite reescribir la ecuación 1 en términos de una variable dependiente ( ψ) en vez de dos variables dependientes (u y v). u =
∂ψ ∂ y
y v = −
∂ψ ∂x
(2)
Primero, como se mencionó, una sola variable (ψ) sustituye dos variables (u y v): una vez que se conoce c se pueden generar u y v por medio de la ecuación 2 y se tiene la garantía de que la solución satisface la condición de continuidad, ecuación 1. Segundo, se evidencia que la función de corriente tiene significado físico útil (Fig. 2). Es decir: Las curvas de c constante son líneas de corriente del flujo.
Figura 2: Las curvas de función de corriente constante representan líneas de corriente del flujo [4].
Figura 1: Lineas de corriente en tuberia [3] 2
Esto se prueba con facilidad cuando se considera una línea de corriente en el plano xy, como se bosqueja en la figura 3. Recuerde del capítulo 4 que, a lo largo de tal línea de corriente: ∂ y v d x ) = ∂x y
Figura 4: Volumen de control acotado por las líneas de corriente ψ1 y ψ2 y las secciones A y B en el plano xy [4]. Puesto que se sabe que ningún flujo cruza las líneas de corriente, la conservación de masa demanda que la razón de flujo volumétrico hacia dentro del volumen de control a través de la sección A sea idéntico a la razón de flujo volumétrico hacia fuera del volumen de control a través de la sección B. Para finalizar, dado que se puede elegir una sección transversal de cualquier forma o ubiFigura 3: Longitud de arco d r = (d x , d y ) y vector cación entre las dos líneas de corriente, se prueba de velocidad local V (u , v )a lo largo de una línea el enunciado. de corriente bidimensional en el plano xy [4]. Cuando se lidia con funciones de corriente, la dirección del flujo se obtiene mediante lo que se llama “convención de lado izquierdo” [1]. A saber, si A lo largo de una línea de corriente: observa el plano xy desde el eje z (Fig. 9-23) y se mueve en la dirección del flujo, la función de co∂ψ ∂ψ d x + d y = 0 (3) rriente aumenta hacia su izquierda. ∂x ∂ y
Pero, para cualquier función suave ψ de dos variables x y y, se sabe, de matemáticas, que el cambio total de c desde el punto (x, y) hasta otro punto (x + d x , y + d y ) a determinada distancia infinitesimal es: ∂ψ =
∂ψ ∂ψ d x + d y ∂x ∂ y
(4)
Por lo tanto, la razón de flujo volumétrico por unidad de ancho a través de la sección B es igual a la diferencia entre los dos valores de la función de corriente que acotan la sección B. Ahora considere todo el volumen de control de la figura 4 [6].
Figura 5: Ilustración de la “convención del lado izquierdo”. En el plano xy, el valor de la función de corriente siempre aumenta hacia la izquierda de la dirección del flujo [4]. 3
2.1.2. La función de corriente en coordenadas cilíndricas
u r = −
Para flujo bidimensional, también se puede definir la función de corriente en coordenadas cilíndricas, lo que es más conveniente para muchos problemas. En este caso no existedependencia de la coordenada z [7]. Se simplifica la ecuación de continuidad para fluido incompresible, para flujo plano bidimensional en el plano r θ: ∂(r u r ) ∂(u θ ) + =0 ∂r ∂θ
u z =
1 ∂ψ r ∂z
1 ∂ψ r ∂r
(8)
La ventaja es que, después de que se establece una malla en el plano xy, la misma malla se puede usar tanto para flujo plano (flujo en el plano xy sin dependencia de z) como para flujo axisimétrico (flujo en el plano xy con simetría rotacional en torno al eje x). En este texto no se comentan (5) las ecuaciones para esta descripción alternativa de flujos axisimétricos.
La función de corriente se define como Función de corriente para el flujo plano incompresible en coordenadas cilíndricas: u r =
2.2.
1 ∂ψ r ∂θ
u θ = −
∂ψ ∂r
la función corriente de flujo compresible
Ampliando el concepto de función de corriente a flujo bidimensional estacionario compresible (6) en el plano xy [10]. La ecuación de continuidad de flujo compresible en coordenadas cartesianas se reduce a la siguiente en caso de flujo bidimensional estacionario: ∂(ρ u ) ∂(ρ v ) + =0 ∂x ∂ y
(9)
Función de corriente de flujo dimensional estacionario, compresible, en coordenadas cartesianas: ρ u =
∂ψρ
ρ v = −
∂ y ∂ψρ ∂x
(10)
Figura 6: Flujo sobre un cuerpo axisimétrico en Por definición, ψρ de la ecuación 10 satisface coordenadas cilíndricas con simetría rotacional exactamente la ecuación 9, siempre que ψρ sea en torno al eje z. [4] una función suave de x y y. Muchas de las caracPara flujo axisimétrico incompresible, la ecuación terísticas de la función de corriente de flujo compresible son las mismas que las de ψ de flujo inde continuidad es: compresible, como ya se indicó [8]. Por ejemplo, 1 ∂(r u u ) ∂(u z ) (7) las curvas de ψ r constante todavía son líneas de + =0 ∂z r ∂z corriente. Sin embargo, la diferencia en ψρ de una Función de corriente de flujo axisimétrico in- línea de corriente a otra es razón de flujo de macompresible en coordenadas cilíndricas se puede sa por unidad de ancho en lugar de razón de flujo expresar como: volumétrico por unidad de ancho [9]. 4
3. Resultados y Discusión
b) Dado que u no es función de x, y que v no es función de y, se ve inmediatamente que se satisface la ecuación de continuidad bidimensional para el flujo incompresible (Ec. 1). De hecho, dado que ψ es suave en x y y, la ecuación de continuidad bidimensional para el flujo incompresible en el plano xy se satisface automáticamente por la definición misma de ψ. Se llega a la conclusión de que el flujo es de hecho incompresible. c) Para graficar líneas de corriente, se resuelve la ecuación dada o para y como funcióndexyc,oparaxcomofuncióndeyyc. En este caso, la primera opción es más sencilla, y se tiene la ecuación para una línea de corriente:
En función a lo revisado es fundamental el poder entender como se aplican estos conceptos en una forma practica, mediante la resolución de ejercicios, los cuales se presentan a continuación. Cálculo del campo de velocidad a partir de la función de corriente. Un campo de flujo bidimensional incompresible estacionario en el plano xy tiene una función de corriente dada por ψ = ax 3 + b y + c x , donde a, b y c son constantes: a = 0,50(m .s ) 1 , b = −2,0m /s , y c = −1,5m / s . a) Obtenga expresiones para las componentes de velocidad u y v. b) Verifique que el campo de flujo satisface la ecuación de continuidad para el flujo incompresible. c) Grafique varias líneas de corriente del flujo en el cuadrante superior derecho. −
ψ − ax 3 − c x y = b
Esta ecuación se grafica en la figura 7 para diversos valores de ψ y para los valores proporcionados de a, b y c. El flujo es casi recto hacia abajo a grandes valores de x, pero se curva hacia arriba para x < 1m .
SOLUCIÓN: Para una función de corriente dada: calcule las componentes de velocidad, verifique la incompresibilidad y grafique líneas de corriente del flujo. 1. El flujo es estacionario. 2. El flujo es incompresible (se tiene que verificar esta suposición). 3. El flujo es bidimensional en el plano xy, lo que implica que w = 0 y ni u ni v dependen de z . Análisis: a) Use la ecuación 2 para obtener expresiones para u y v al diferenciar la función de corriente: u =
∂ψ = b ∂ y
Figura 7: Líneas de corriente para el campo de velocidad del Ejemplo 1. [4]
∂ψ 2 = −3ax − c v = − ∂x
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Puede verificarse que v = 0 en x = 1m. De hecho, v es negativo para x > 1 m y positivo para x < 1m. La dirección del flujo también puede determinarse cuando se selecciona un punto arbitrario en el flujo, por decir ( x = 3 m , y = 4 m ), y se calcula ahí la velocidad. Se obtiene u = −2,0m /s y v = −12,0m / s en este punto que muestra que el fluido fluye hacia abajo a la izquierda en esta región del campo de flujo. Para mejor claridad, en este punto de la figura 7 también se grafica el vector de velocidad; que es paralelo a la línea de corriente cerca de este punto. También se grafican los vectores de velocidad en otros tres puntos.
u r =
1 ∂ψ r ∂θ
=
1
f (θ) r
f (θ ) = 0 → f (θ ) = C
ψ = −K − l nr + C
Para finalizar de la ecuación final que se obtuvo se observa que las curvas de ψ constante se producen cuando se establece r en un valor constante. Dado que las curvas de r constante son círculos por definición, las líneas de corriente (curvas de ψ constante) deben por tanto ser círculos en torno al origen, como en la figura 4). Para los valores dadosdeCy ψ seresuelve la ecuación3 para r al graficar las líneas de corriente: Ecuación
Función de corriente en coordenadas cilíndricas. Considere un torbellino lineal, definido como flujo plano estacionario incompresible en el que las componentes de velocidad son ur = 0 y u θ = K /r , donde K es una constante. Este flujo se representa en la figura 4). Derive una expresión para la función de corriente ψ(r , θ) y pruebe que las líneas de corriente son círculos. SOLUCIÓN: Para un campo de velocidad dado, en coordenadas cilíndricas, se debe derivar una expresión para la función de corriente.
para líneas de corriente: r = e −(ψ−C )/K
Para K = 10m 2 /s y C = 0, las líneas de corriente desde ψ = 0 hasta 22 se grafican en la figura 8.
1. El flujo es estacionario. 2. El flujo es incompresible. 3. El flujo es plano en el plano r θ. Análisis: Se usa la definición de función de corriente dada por la ecuación de corriente en cordenadas cilindricas.Puede elegirse cualquier componente para comenzar; se elige la componente tangencial: ∂ψ K = −u θ = − ∂r r
Figura 8: Líneas de corriente para el campo de velocidad del ejemplo 2 [4]
ψ = K − l nr + f (θ)
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Referencias
Note que para un incremento uniforme en el valor de ψ, las líneas de corriente se acercan más y más al origen conforme aumenta la velocidad tangencial.Éste es un resultado directo del enunciado de que la diferencia en el valor de ψ de una línea de corriente a la otra es igual a la razón de flujo volumétrico por unidad de ancho entre las dos líneas de corriente.
[1] V. L. Streeter, E. B. Wylie, K. W. Bedford, and J. G. Saldarriaga, Mecánica de los fluidos . Ediciones del Castillo, 1963. [2] I. H. Shames, J. M. Moneva, and S. P. Crusells, La mecánica de los fluidos , vol. 1. McGrawHill, 1967. [3] R. W. Fox, A. T. McDonald, G. N. Cázares, and R. L. Callejas, Introducción a la Mecánica de Fluidos . McGraw-Hill, 1995.
4. CONCLUSIONES Para entender mejor la función de corriente de flujo, el análisis integral es recomendable como primera alternativa al estudio de un flujo, quedando el problema formulado en términos de magnitudes que suelen ser de interés para el ingeniero. No obstante, la aplicación del análisis integral requiere en ocasiones de información adicional sobre el flujo que proviene de la experimentación o del análisis diferencial.
[4] Y. A. Çengel, J. M. Cimbala, V. C. Olguín, and S. F. Skarina, Mecánica de fluidos: fundamentos y aplicaciones , vol. 1. McGraw-Hill, 2006.
Se demuestra que la diferencia en el valor de ψ deunalíneadecorrienteaotraesigual a la razón de flujo volumétrico por unidad de ancho entre las dos líneas de corriente y que las curvas de ψ constante son líneas de corriente del flujo.
[7] A. J. Smits, “Mecánica de fluidos,” Una introducción física., Editorial Alfaomega, México , 2003.
[5] R. L. Mott, Mecánica de fluidos . Pearson educación, 2006. [6] M. C. Potter, D. C. Wiggert, M. Hondzo, and T. I. Shih, Mecánica de fluidos . Thomson, 2002.
[8] R. Castilla and P. Gamez-Montero, “Flu jo ideal y flujo potencial,” Función , vol. 2, no. z2, p. 0.
Se ofrecen varios ejemplos que muestran [9] A. Lizardi Ramos, C. López, G. Morales, P. Tecómo se usan las ecuaciones diferenciales rrés, V. Lara, et al. , “Análisis numérico de de movimiento de fluido para generar una las funciones corriente circulación y vorticiexpresión para el campo de presión para un dad, para flujo rotatorio con frontera rígida,” campo de velocidaddado y para generar exRevista internacional de métodos numéricos presiones para campos de velocidad y prepara cálculo y diseño en ingeniería , vol. 26, sión para un flujo con geometría y condino. 3, pp. 179–185, 2010. ciones de frontera específicos. El procedimiento de solución que se aprendió aquí se [10] F. M. Martinez, E. G. Ferradas, A. M. Aznar, puedeextender a flujos mucho máscompliand A. B. Caracena, “Modelizacion de la vencados cuyas soluciones pueden necesitar el tilacion por impulsion-aspiracion,” INGEuso de una computadora o diferentes softNIERIA QUIMICA-MADRID-,vol.32,no.373, ware matemáticos. pp. 129–138, 2000.
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