9.4
LA ONDA ONDA DE CHOQ CHOQUE UE NORMAL
Una pequeña perturbación se propaga en un fluido a la velocidad del sonido, cuando se encuentran ondas más fuertes, que ocasionan cambios rápidos y severos de las propiedades del flujo de una pequeña región del flujo, se dice que se ha formado una onda de choque. En la práctica se puede crear grandes perturbaciones de presión, utilizando un diafragma de acero dentro de un tubo. Cuando la presión es lo suficientemente alta, el diafragma estalla y el choque se propaga a través del tubo. La velocidad de propagación de esta onda de presión es superior a la velocidad del sonido.
Onda de choque generada en un tubo de choque mediante el movimiento de un pistón que se Figura desplaza con una velocidad Vp, en en el interior de un un gas inicialmente estacionario. En la región sombreada se representa el fluido que está entre la onda de choque y el pistón y que se desplaza con la misma velocidad del pistón
La onda de choque es de un espesor muy pequeño, lo cual hace difícil su estudio, requiriendo entre otras cosas la utilización de la termodinámica de los no equilibrios. En este capitulo se hará un estudio para relacionar las propiedades del flujo antes y después de la onda de choque. Onda de Choque
px Tx ρx
Vx
Vy
py Ty ρy
Fig. 9.21 Onda de choque normal estacionaria Considere un flujo permanente y uniforme, las variables del flujo antes de la onda de choque se designan por el subíndice “ x ” y con el subíndice “ y ” las variables del flujo después del choque. El proceso de flujo que se produce a través de la onda de choque es no isentrópico debido a los efectos de fricción y conducción de calor dentro del choque mismo.
Ecuaciones aplicables: Continuidad : Impulso :
m A p X
=
+
G
=
ρ X
ρ X
2
V X
=
V X
pY
=
ρ Y
+
ρ Y
2
V X
Energía :
ho
Gas i deal :
p X
Entropía :
Sy – Sx ≥ 0
=
=
h X
+
ρ R
2
V Y = constante 2
V Y
2
=
hY
+
V Y
2
= constante
T
Considerando que son conocidas las condiciones del flujo antes del choque, las condiciones del flujo después del choque: Ty, py, ρy, Vy, Sy pueden ser determinadas de estas cinco ecuaciones.
9.4.1. LINEA DE FANNO Y LINEA DE RAYL EIGH Si se considera un valor de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene ρy; de la ecuación de energía se obtiene hy; de la ecuación del gas ideal se obtiene Ty, py; finalmente de la ecuación de entropía se obtiene Sy. Repitiendo los cálculos para otros valores de Vy se obtiene, en un diagrama h-s, una curva denominada línea de Fanno. Tomando un valor particular de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene ρy; de la ecuación de impulso se obtiene py; de la ecuación del gas ideal se obtiene Sy. Repitiendo estos cálculos para otros valores de Vy, se obtiene, en un diagrama h – S, una curva denominada línea de Rayleigh.
Fig. Línea de Fanno y línea de Rayleigh. La parte inferior de las dos curvas corresponde a una condición en la que M > 1 y la porción superior señala las condiciones en que M < 1. Se
demuestra que los puntos de máxima entropía de estas líneas son A y B donde M = 1. Los puntos de intersección de la línea Fanno y la línea Rayleigh constituye una solución para el conjunto de las ecuaciones dadas. Se observa que el estado inicial X es un estado supersónico y el estado final y es un flujo subsónico.
9.4.2. RELACION DE PROPIEDADES Como el flujo es adiabático : To x
=
2 k − 1
1+
T y
2
=
T x
k − 1
Tx ( 1 +
k − 1
1+
2
Toy = Tox, de manera que 2
M X )
To y
=
=
T y ( 1 +
k − 1
2
2
M Y )
M X 2
[9.61] 2
M Y
De la ecuación de estado y de continuidad: p y
T y =
T x T y
ρ x
=
p y
V y
p x
V x
p x
ρ y
p y
M y C y
=
p y
M y
T y
p x
M x
T x
=
T x
p x
M x C x
De donde: p y
M x
=
p x
1+
M y
1+
k − 1
2 k − 1
2
M X 2
[9.62] 2
M Y
Examinando la ecuación de cantidad de mo vimiento:
Gas i deal:
p X
+
ρ
V
ρ X
2
=
2
V X p
R T
=
M
pY 2
+
ρ Y
K R T
=
2
V Y
k p M
2
p x ( 1 + k M x2 ) = p y ( 1 + k M y2 ) p y p x
=
1 + k M x2 1 + k M y2
[9.63]
Igualand o las ecu acion es (9.62) y (9.63) : M x
1+
k − 1
M Y
2 k − 1 M X 2 1+ 2 2
M y2
M X 2
M x =
2 k k − 1
+
=
1+
k − 1
M Y 2
2 k − 1 M Y 2 1+ 2
2 k − 1
M x2
−
[9.64]
1
Sustituyendo el valor de
La relación d e densidades, en térm inos del núm ero de Mach, se puede encontr ar a parti r de la ecuación de estado.
La relación d e presiones de estacionamiento es una medida de la irreversibilidad del pr oceso de choque.
Introd uci endo la ecuación (9.65) y (9.64), se obtiene;
El cambio de entr opía:
La gráfic a de esta ecuación se encuentra en la fig ura 9.23, donde : para
Conclusión : El estado ini cial de un choque nor mal será siempre supersónico. Por ot ro lado, de la ecuación (9.64):
Como Mx siempr e, result a que Conclusión : El estado final d e un choque normal será siempre subsónico.
RELACION RANKINE -HUGONIOT
Una interesante relación d e la presió n y la densidad se obti ene sust itu yendo el valor de My de la ecuación (9.64) en la ecuación ob tenida de (9.62) y (9.61), se obt iene:
Usando la ecuación
Resol viendo para
Conocida como ecuación de Rankine-Hugoniet, la cual sólo será posible cuando est é encierr a de la isentr ópic a y o sea para el choqu e.
EJEMPLO 9.19:
Un tubo de pitot en una corriente supersónica produce una onda de choque, como se muestra en el esquema. Considerando que la prueba es a 0° el ángulo de ataque, y que la onda de choque producida es normal al flujo, y que la prueba está diseñada para medir la presión estática después del choque py. a. encuentre una expresión para evaluar el número de Mach de la corriente supersónica M, en términos de poy, py. b. Conocida Toy, determine la velocidad del flujo antes y después del choque.
My < 1 py
Mx > 1
poy
EJEMPLO 9.20 : Una explosión en aire, k = 1.4 produce una onda de choque esférica que se propaga radialmente en aire en calma y en condiciones normales. En el instante mostrado en la figura, la presión detrás de la onda es 1380 KPa. a. Calcule la velocidad C de la onda de choque. b. Calcule la velocidad V del aire justo detrás de la onda de choque.
v C
1380 Kpa PUM
9.4.3. INTENSIDAD DE UNA ONDA DE CHOQUE Se define así a la relación del incremento de presión a la presión inicial.
Usando la ecuación (9.65), se obtiene:
Un choque débil implicaría :
De (9.72):
Considerando el cambio de entropía, en la forma:
Usando (9.74) y (9.75), :
Usando la serie de expansión:
Esto indica que la producc ión de entropía es una funci ón del cubo de la intensi dad del choqu e. Para el caso de cho ques débiles, el pro ceso isentrópico constit uye una buena aproximación. AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA
