2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA - MATEMÁTICA 4ta Etapa (Examen Simultáneo) Primer Nivel Advertencia:Esta prohibido escribir su nombre en este examen, t ampoco debe escribir ó dibujar alguna marca. El código QR en la esquina superior tiene todos sus datos.
Recomendaciones:Lea varias veces cada pregunta, justifique sus respuestas, adjunte al examen todas sus hojas de procedimiento. No se permite el uso de m áquinas calculadoras de ningún tipo. Este examen dura 2 horas.
1. La matrícula de un coche estaba formada por cinco cifras, todas diferentes. Al instalarla, el mecánico se equivocó, poniéndola cabeza abajo. Posteriormente, al recoger el vehículo, el dueño se dio cuenta de que el número obtenido era mayor que el original en 78633. ¿Cuál era el número de matrícula?Nota: el número uno se escribía así: l y no así 1. 2. Se pide a Luis que multiplique 79 por un número de dos cifras en el que las cifras de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Por error, intercambia los dígitos del segundo factor y obtiene un número que es inferior en 2844 al producto buscado. Calcular la suma de las cifras del producto buscado. 3. Cuantos números múltiplos de 2 y 3 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21?
4. En el rectángulo ABCD los puntos E y F pertenecen a los lados AB y AD respectivamente. Los
números y la letra de
x
?
x
indican el área de las regiones en que se encuentran escritos. ¿Cuál ¿Cuál es el valor
SOLUCIONES 1. La matrícula de un coche estaba formada por cinco cifras, todas diferentes. Al instalarla, el mecánico se equivocó, poniéndola cabeza abajo. Posteriormente, al recoger el vehículo, el dueño se dio cuenta de que el número obtenido era mayor que el original en 78633. ¿Cuál era el número de matrícula?. Nota: el número uno se escribía así: l y no así 1. Solución:
En la matrícula figuran todos los dígitos que pueden leerse cabeza abajo: 0, I, 6, 8, 9. Para averiguar la matrícula podemos seguir el siguiente procedimiento: Al poner la matrícula boca abajo, el dígito de las unidades pasa invertidoa la posición de decenas de mil y viceversa; el de las decenas pasa a unidadesde mil y el de las centenas es el único que permanece en su posición,aunque invertido. En esta situación debe haber un dígito que restado al invertidopueda dar 6, y el único posible es el 9. Por otra parte, en las unidades debe haber dos dígitos distintos del 9 (que ya se usó), tales que su diferencia sea 3; esto sólo lo verifican el 1 conel 8. Entonces se tiene:
Finalmente para que las decenas cumplan que la diferencia es 3 y 8 en la unidades de mil, las cifras han de colocarse así
Por tanto la matricula era 10968. PAUTAS DE CALIFICACION
SE DA CUENTA DE QUE
0, I, 6, 8, 9 SON LOS UNICOS QUE ESTAN EN LA MATRICULA….… 5 PUNTOS
SE DA CUENTA DE QUE LOS DIGITOS DEBEN CAMBIAR DE POSICION …………………….…… 5 PUNTOS
DETERMINA QUE HAY DOS DIGITOS DIFERENTES DE 9 ……………………………………………….. 10 PUNTOS ALLA EL NUMERO DE LA MATRICULA…………………………………………………….…………………. 5 PUNTOS 2.
Se pide a Luis que multiplique 79 por un número de dos cifras en el que las cifras de las decenas es e l doble de la cifra de las unidades. Por error, intercambia los dígitos del segundo factor y obtiene un número que es inferior en 2844 al producto buscado. Calcular la suma de las cifras del producto buscado.
Solución:
Por condiciones del problema: 79 ab – 79 ba = 2844 Factorizando y descomponiendo 79(ab – ba) = 79x36,
79(10a + b – 10b – a) = 79x36, osea 9a – 9b = 36, 9(a-b) = 36, de donde a – b = 4, pero como a = 2b, reemplazando se tiene que b = 4, entonces a = 8 y la suma de las cifras es: a + b = 8 + 4 = 12 PAUTAS DE CALIFICACION
DESCOMPONE EL NUMERO ORIGINAL …………………………………………………….………………. 5 PUNTOS UTILIZA LA NOTACION DECIMAL ……………………………………………………………………………….10 PUNTOS FACTORIZA 2844……………………………………………………………………………………….……………… 5 PUNTOS HALLA LA SOLUCION……………………………………………………………………………………………….. . 5 PUNTOS
3.
Cuantos números múltiplos de 2 y 3 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21?
Solución:
Deben ser números de 3 cifras para que la suma de sus cifras sea 21. Como son múltiplos de 2 tienen que terminar en 0, 2, 4, 6, u 8. En los dos primeros no pueden terminar porque no se podría obtener suma 21. Si termina en 4, entonces los otros 2 deben ser 8 y 9. Si termina en 6, los otros dos pueden ser 6 y 9 o 7 y 8. Si termina en 8, los otros dos números pueden ser 6 y 7 o 5 y 8 o 4 y 9. Como en cada caso hay dos números diferentes. Entonces son en total 12 PAUTAS DE CALIFICACION
SE DA CUENTA QUE DEBEN SER NUMEROS DE 3 CIFRAS …………………………….…………………
5 PUNTOS
ANALIZA QUE DEBEN TERMINAR EN 0, 2, 4, 6, u 8 ……………………………………..………………..
5 PUNTOS
ANALIZA QUE NUMEROS CORRESPONDEN A CADA ULTIMO DIGITO ……………..…………….
10 PUNTOS
SE DA CUENTA QUE EN CADA CASO HAY DOS NUMEROS Y HALLA EL TOTAL …………….….
5 PUNTOS
4. En el rectángulo ABCD los puntos E y F pertenecen a los lados AB y AD respectivamente. Los
números y la letra valor de
x
x
indican el área de las regiones en que se encuentran escritos. ¿Cuál es el
?
Solución:
El triángulo DCE tiene como base el lado CD del rectángulo ABCD. La altura de DCE correspondiente a este lado es igual a AD, el otro lado del rectángulo. Luego área ( DCE)
1 2
CD AD
1 2
área( ABCD)
Del mismo modo, en el triángulo BCF, la altura correspondiente al lado BC es igual a AB, luego área
( BCF )
1
BC AB
2
1 2
área( ABCD)
Entonces, la suma de las áreas de los triángulos DCE y BCF es igual al área de ABCD De aquí se deduce que el área
, que está cubierta por mabos triángulos, es igual al área de la parte
de ABCD que no está cubierta por ninguno de los dos triángulos. Por lo tanto, x
4
9
35
48
Otra Forma: Como en el enunciado cada región tiene área número y como área( ABCD) b
x
c
Simplificando tenemos x
a
x
área( DCE) d
35 9 4
35
c
dada por una letra ó un
área(CFB) entonces se tiene:
9
d
x
a
4
b
48
PAUTAS DE CALIFICACION
SE DA CUENTA QUE DEBE HALLAR LAS AREAS DE LOS TRIANGULOS DE LA FIGURA ………… 5 PUNTOS DEFINE QUE LA SUMA DE LAS AREAS DE LOS DOS TRIANGULOS ES IGUAL AL AREA DEL RECTANGULO…………………………………………………………………………………………………………… 10 PUNTOS
DEBE SUMAR LAS AREAS NO CONSIDERADAS EN LOS DOS TRIANGULOS………………………. 10 PUNTOS
