PROBLEMAS OMÑ – NIVEL 1 1. Ana, Ceci y Gabi son amigas. El sábado fueron a comprar los pasajes del tren para ir de vacaciones. Ana no llevaba dinero, entonces, entre Ceci y Gabi, pagaron los tres pasajes. Ceci puso $34 y Gabi $38. Cuánto debe devolverle Ana a Ceci? Cuánto debe devolverle a Gabi? SOLUCI ÓN 3 pasajes C + G = $34 + $38 = $72 Cada pasaje cuesta $
723
= $24
Si C pagó
$34 −→ A debe $34 - $24 = $1 0
Si G pagó
$38 −→ A debe $34 - $24 = $1 4
A debe −→ $10 + $14 = $24 2. ABDE es un rectángulo. BCD es un triángulo equilátero. El perímetro del polígono ABCDE es de 456 m. Si BC=68 m. Cuál es la longitud de AB?
SOLUCIÓN BCD equilátero per (ABCDE) = 456m BC = 68m ¿AB? AB = ED
1
AE = BD = BC = CD AB + BC + CD + DE + EA = 456m 456 m
⇒
2AB + 3 . 68m = 456m = AB = (456m - 3 . 68m) = 126m AB = 126m
3. Elsa gastó $24 en lácteos; llevo quesos, helados y flanes. Cada queso cuesta $4, cada helado cuesta $2 y cada flan cuesta $1. ¿Cuántos artículos de cada clase pudo haber comprado? Da todas las respuestas posibles. SOLUCIÓN gastó −→ $24 1q −→ $4 1h −→ $2 1f −→ $1 q
h
f
-
q
h
f
-
q
h
f
-
q
h
f
1
1
18
-
2
1
14
-
3
1
10
-
4
1
6
1
2
16
-
2
2
12
-
3
2
8
-
4
2
4
1
3
14
-
2
3
10
-
3
3
6
-
4
3
2
1
4
12
-
2
4
8
-
3
4
4
-
5
1
2
1
5
10
-
2
5
6
-
3
5
2
-
-
-
-
1
6
8
-
2
6
4
-
-
-
-
-
-
-
-
1
7
6
-
2
7
2
-
-
-
-
-
-
-
-
1
8
4
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
9
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4. Diego colecciona estampillas que pone en álbumes. Cada álbum tiene 32 páginas. En cada página pega igual número de estampillas. Tiene 3 álbumes completos y otro con s lo 5 páginas llenas.
2
En el álbum incompleto tiene 60 estampillas. ¿Cuantas estampillas tiene en total? SOLUCIÓN 1a −→ 32 pág. 3a completos + 5 p (*) 5p −→ 60e
1p −→ . 60e −→ 1p −→ 12e Volviendo a (*) 3a completos + 5 p = 3 . 32p + 5p = 101p 1p −→ 12e 101p −→12 . 101e = 1212e Total −→ 1212e 5. El rectángulo ABCD tiene 48cm de perímetro y está formado por 3 cuadrados iguales. CE = EF = FD EM = 2CE ¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?
3
SOLUCIÓN per (ABCD) = 48cm BC = 3AB AD = 3AB AB = CD per (ABCD) = AB + BC + CD + AD = AB + 3AB + 3AB + AB = 8AB
4
⇒
8AB = 48cm = AB = 6cm per (QCDP) = 4 . 6cm = 24cm CE = EF = FD = 2cm EM = FN = 2CE = 2 . 2cm = 4cm per (MEFN) = 4cm + 2cm + 4cm = 10cm per (rayado) = 22cm + 10cm = 32cm 6. Con las cifras 5, 4, 3, 2 y 1, se quieren formar números de cinco cifras distintas. Si el 3 debe ocupar el lugar de las centenas o el de las decenas, ¿cuántos números distintos se pueden armar? SOLUCIÓN cifras −→ 5 - 4 - 3 - 2 - 1 posibilidades −→ ab3cd 5
4
3
2
1
-
4
5
3
1
2
-
2
1
3
4
5
-
1
4
3
2
5
5
4
3
1
2
-
4
5
3
2
1
-
2
1
3
5
4
-
1
4
3
5
2
5
2
3
4
1
-
4
2
3
5
1
-
2
5
3
1
4
-
1
5
3
4
2
5
2
3
1
4
-
4
2
3
1
5
-
2
5
3
4
1
-
1
5
3
2
4
5
1
3
2
-
4
1
3
5
4
-
2
4
3
5
1
-
1
2
3
4
5
5
1
3
4
-
4
1
3
4
5
-
2
4
3
1
5
-
1
2
3
5
4
2
posibilidades −→ abc3d 5
4
2
3
1
-
4
5
2
3
1
-
2
5
4
3
1
-
1
2
4
3
5
5
1
2
3
4
-
4
2
1
3
5
-
2
4
5
3
1
-
1
4
2
3
5
5
4
1
3
2
-
4
2
5
3
1
-
2
5
1
3
4
-
1
5
2
3
4
5
1
4
3
2
-
4
1
5
3
2
-
2
1
5
3
4
-
1
2
5
3
4
5
2
4
3
1
-
4
5
1
3
2
-
2
4
1
3
5
-
1
4
5
3
2
5
1
2
3
4
-
4
1
2
3
5
-
2
1
4
3
5
-
1
5
4
3
2
En total hay 24 posibilidades.
5
7. Cada cuadradito
tiene 8 cm de perímetro.
Con 6 cuadraditos iguales se forma esta figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
SOLUCIÓN Al cuadrado individual lo llamamos ABCD comenzando por el vértice izquierdo superior y continuando en sentido horario. A la figura la llamamos MPQQRSTUVWXYZ contando desde el vértice izquierdo inferior de cuadrado de la izquierda y en sentido horario. per (
) = 8cm
⇒
per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 4AB = 8cm = AB = 2cm PS = SV = 3AB VW = WX = XY = YZ = ZM = MP = AB per (figura) = 3AB + 3AB + AB + AB + AB + AB + AB +AB = 1 2AB 12AB = 12 . 2cm = 24cm per (figura) = 24cm 8. Blas tenía 18 figuritas el sábado pasado. El domingo y el lunes compró 10 figuritas cada día. El martes y el miércoles compró el doble de figuritas que el martes. Hoy, que es jueves y no compró figuritas, tiene en total 74 figuritas. ¿Cuantas figuritas compró Blas el martes? SOLUCIÓN sábado −→ tenía 18 fig
6
domingo −→ compró 10 fig lunes −→ compró 10 fig jueves −→ tiene 74 fig Entra martes y miércoles compró 74 fig – 38 fig = 36 fig
⇒
martes + miércoles = 2 . martes = martes = miércoles martes =
fig = 18 fig.
9. Con vértices en los puntos que se dan, ¿cuántos cuadriláteros se pueden dibujar? Enumérelos.
SOLUCIÓN ADEF
BCFG
AFGD
EBCF
ABEF
BDFG
AFGC
EBCG
ACEG
BFDG
EBDG
EBDF
Hay 12 cuadriláteros 10. El quiosquero compra 360 alfajores por semana. El quiosquero puede hacer sus compras en el supermercado o en un mayorista. En el supermercado, cada bolsa de 8 alfajores cuesta $3. En el mayorista, cada caja de 60 alfajores cuesta $20. Si le compra los alfajores al mayorista, ¿cuánto dinero ahorra el quiosquero por semana? SOLUCIÓN compra 360 a por semana 1b −→ 8a −→ $3 −→ supermercado 1c −→ 60a −→ $20 −→mayorista En el supermercado: 8a −→ $3
7
360a −→
. 360a . $3 = $135
En el supermercado los 360 a cuestan $135 En el mayorista 6oa −→ $20 360a −→
. 360a . $20 = $120
En el mayorista los 360 a cuestan $120 Diferencia = supermercado - mayorista = $135 - $120 = $15 11. Los triángulos ABC y EGF son equiláteros. El perímetro del ABC es 132 cm. AE = EC BD = DC EF = FC DG = GE ¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?
SOLUCIÓN ABC y EGF son equiláteros per (ABC) = 132cm AE = EC BD = DC EF = FC 8
DG = GE AB + BC + CA = 3AB 3AB = 132cm
AB = . 132cm = 44cm AB = BC = CA = 44cm BD + DC = 44cm BD = DC
⇒
2BD = 44cm = BD = DC = 22cm AF = AE + EF = 22cm + 11cm = 33cm AE + EC = 44cm AE = EC = 22cm EC = EF + FC = 22cn EF = FC = 11cm per (ABDGFE) = AB + BD + DG + GF + FE + EA per (ABDGFE) = 44cm + 22cm + 11cm + 11cm +11cm + 33cm per (ABDGFE) = 132cm 12. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura?
SOLUCIÓN Numerando desde el cuadrito de arriba y de izquierda a derecha, queda 1 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9
9
10, 11, 12 13 Quedan las siguientes combinaciones: (2, 3, 4), (5, 6, 7, 8, 9), (10, 11, 12), (2, 6, 10), (4, 8, 12), (1, 3, 7, 11, 13), (2, 3), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (10, 11), (11,12), (2, 6), (6, 10), (1, 3), (3, 7), (7, 11), (11, 13), (4, 8), (8, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 3, 7), (3, 7, 11), (7, 11, 13), (1, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 13), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12), (2, 3, 4, 6,7, 8), (6, 7, 8, 10, 11, 12), (2, 6, 10, 3, 7, 11), (3, 7, 11, 4, 8, 12), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7,8), (6, 7, 10, 11), (7, 8, 11, 12) En total hay 54 rectángulos. 13. Un artesano vende el par de aros a $2 y las pulseras a $3 cada una. Pero tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aros y una pulsera a $4. El sábado el artesano vendió: 72 pulseras, algunas en los juegos y otras sueltas y 80 pares de aros, algunos en los juegos y otros sueltos. El sábado vendió 52 juegos de oferta. ¿Cuánto dinero se llevó el artesano ese día por el total de las ventas? SOLUCIÓN par de aros −→ $2 pulseras −→ $3 c/u 52 juegos de oferta J
P
A
52 20 28
CANT
TOTAL
4
$108
3
$60
2
$56 $224
Recaudó $224 14. La figura A se obtiene al cortar en una de las esquinas de un cuadrado de 24cm de perímetro, un cuadradito de 8cm de perímetro. Con dos figuras iguales a A se arma la figura B. ¿Cuál es el perímetro de la figura B?
10
SOLUCIÓN Llamamos ABCD al cuadrado original E está ente C y D G está ente B y C F está en el interior de ABCD y FC es diagonal de CEFG
⇒ ⇒
per (ABCD) = 24cm = AB = 6cm per (CEFG) = 8cm = CG = 2cm BG = DE = 6cm - 2cm = 4cm per (B1) = 6cm + 4cm + 2cm + 6cm + 6cm + 4cm + 2cm + 6cm 6c m = 36cm per (B1) = 36cm 15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
SOLUCIÓN De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan numerados así: 1, 2, 3, 4
11
5, 8, 9,12 6, 7, 10,11 Las combinaciones son las siguientes: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (1, 2), (3, 4), (6, 7), (10, 11), (5, 6, 7), (1, 2, 8), (10, 11, 12), (3, 4, 9), (9, 10, 11), (8, 7, 6), (3, 4, 12), (5, 1, 2) Se pueden formar 24 triángulos. 16. En la librería se vende: 1 caja de marcadores por $ 2 y 2 libros de cuentos por $5. La Sra. Luna compró 18 libros de cuentos y varias cajas de marcadores. Pagó con un billete de $ 50 y dos billetes de $ 20 y le dieron $ 11 de vuelto. ¿Cuántas cajas de marcadores compró? SOLUCIÓN caja marcadores −→ $2 libros de cuentos −→$5 18 libros −→
$ 5. 18 = $45
Pagó −→ $50 + 2 . $20 - $11 = $79 Pagó −→$79 18 libros −→ $ 45 x marcadores = $79 - 45 = $34 x marcadores = 34 1 caja −→ $2 x cajas −→ $34 x=
= 17 cajas
17. La figura está formada por 9 cuadrados iguales. El perímetro de la figura es de 96 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo sombreado?
SOLUCIÓN
12
per (figura) = 96cm ¿per (sombreado)?
AB = . 96cm = 6cm per (sombreado) = 2 . (18cm + 12cm) = 2 . 30 cm = 60cm 18. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura?
SOLUCIÓN Denominando a los pequeños rectángulos mirados de izquierda a derecha y desde arriba hacia abajo, queda: 1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9, 10 Las combinaciones posibles son: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10) (1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 6), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (1, 4), (4, 7), (2, 5), (5, 8), (3, 6), (6, 9) (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9), (1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9), (8, 9, 10) (7, 8, 9, 10), (1,2, 4,5), (2, 3, 5, 6), (4, 5, 7,8), (5, 6, 8, 9) (1, 2, 4, 5, 7, 8), (2, 3, 5, 6, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5,6), (4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) En total hay 40 rectángulos. 19. Don Enrique compró 100 lapiceras. Vende la mitad a $25 cada una y 10 lapiceras a $ 21 cada una. ¿A cuánto debe vender cada una de las que le quedan para obtener, en total, $2380? SOLUCIÓN compró −→ 100l
∧
vendió −→ 50l a $25 c/u 10l a $21 c/u
13
quiere ganar −→ $2380 50 . $25 + 10 . $21 = $1460 restan 40 l 40 l −→ $2380 - $1460 = $920 40 l −→ $920 1l = $
= $23
1l −→ $23 20. Un triángulo equilátero ABC está partido en 16 triangulitos equiláteros iguales como muestra la figura.
Para bordear la parte sombreada se necesitan 112 cm de cinta. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC? SOLUCIÓN per (sombra) = 112cm ¿per (ABC)? Tomo las caras de los 4 pequeños que forman el borde −→ son 14
.
per (sombra) =
⇒
. 112cm = 8cm = AD
Si AB = 4AD = AB = 32cm AB = BC = CA = 32cm per (ABC) = 3 AB = 3 . 32cm = 96cm per (ABC) = 96cm 21. Ana tiene 3 carteras blancas, 1 roja y 1 azul y 3 pares de zapatos azules, 1 par de zapatos rojos y 1 par de zapatos blancos. Siempre que sale lleva zapatos y cartera, pero nunca usa cartera y zapatos del mismo color. ¿De cuántas maneras distintas puede combinar Ana sus carteras y sus zapatos? SOLUCIÓN
14
Carteras
3b −→b1, b2, b3 ; 1r ; 1a
Zapatos
3a −→ a1, a2, a3; 1r; 1b
c
b
b1
a
a1
c
b
b1
a
a2
c
b
b1
a
a3
c
b
b1
r
-
c
b
b2
a
a1
c
b
b2
a
a2
c
b
b2
a
a3
c
b
b2
r
-
c
b
b3
a
a1
c
b
b3
a
a2
c
b
b3
a
a3
c
b
b3
r
-
c
a
r
-
-
c
a
b
-
-
c
r
a
a1
-
c
r
a
a2
-
c
r
a
a3
-
c
r
b
-
-
22. Dos familias: papá, mamá y los chicos fueron al teatro. Los Pérez tienen 3 chicos, los Smith tienen 4 chicos. La entrada de una persona mayor cuesta $ 25. Los Smith pagaron $ 138 por todas sus entradas.
15
¿Cuánto pagaron los Pérez? SOLUCIÓN Pérez: {mamá, papá, 2 chicos} = {m, p, 2c} −→ P
Smith : {mamá, papá, 4 chicos} = {m, p, 4c} −→ S S −→ $138 a −→ $25 2a + 4c −→ $138
⇒
⇒
2. $25 + 4c = $138 = 4c = $88 = 1c = $22 P −→ 2a + 3c
2 . $25 + 3 . $22 = $50 + $66 = $116 Los Pérez pagaron $116 23. Con tres piezas de madera: una cuadrada (A), de 48 cm de perímetro y dos rectangulares (B y C), se armó un cuadrado como muestra la figura. El perímetro del cuadrado formado con las tres piezas es de 76 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo C?
SOLUCIÓN per (A1) = 48cm per (A + B + C) = 76cm
⇒
per (A1) = 4PQ = 48cm = PQ = 12cm per (PTUV) = PQ + QT + TU + UM + MV + VR + RP
16
per (PTUV) = 12cm + 2QT + TU + 12cm + VR + 12cm = 76cm per (PTUV) = 36cm + 2QT + TU + VR = 76cm
⇒
4PT = per (A 1+ B1+ C1) = 76cm = PT = TU = QM = 19cm PT = QT + PQ
⇒ ⇒
⇒ ⇒
19cm = QT + 12cm = QT = 19cm - 12cm = QT = 7cm PV = PR + RV
19cm = 12cm + RV = RV = 19cm - 12cm = RV= 7cm per (C1) = QM + MU + UT + TQ = 2 (QT + MU)
per (C1) = 2. (19cm + 7cm) = 2 . 26cm = 52cm per (C1) = 52cm 24. María practica tenis y natación. Juega al tenis todos los jueves y practica natación un día cada 3 (un día sí y los dos días siguientes no). Hoy es jueves y María practicó los dos deportes. ¿Después de cuántos días, a partir de hoy, María volverá a practicar los dos deportes en el mismo día? SOLUCIÓN J
V
S
D
L
MA
MI
J
V
S
D
T
-
-
-
-
-
-
T
-
-
-
N
-
-
N
-
-
N
-
-
N
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
L
MA
MI
J
V
S
D
L
MA
MI
J
-
-
-
T
-
-
-
-
-
-
T
-
N
-
-
N
-
-
N
-
-
N
Pasan 21 días para que se repitan los juegos. 25. Sergio gana $ 135 por semana. Cada semana ahorra una suma fija de pesos. Al cabo de algún tiempo, ganó $ 2295 y de lo que ahorró gastó $ 50. Si todavía le quedan $ 171 ahorrados, ¿cuánto ahorró Sergio por semana? SOLUCIÓN 17
gana $135 por semana ganó $2295 y gastó $50 de lo que ahorró. $135 −→ 1 semana $2295 −→ x semanas x=
$$.
= $17
Ahorra $k . 17 sem Gastó $50 de lo ahorrado $17k - $50 = $171 $17k = $171 - $50 k=$
⇒
k = $13
26. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro, CD = AC y el cuadrilátero ACDE tiene 20 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del ABCDE?
SOLUCIÓN per (ABC) = 18cm ABC equilátero per (ACDE) = 20cm ¿per (ABCDE)?
⇒
per (ABC) = 18cm = AB = BC = AC = 6cm AC = DC = 6cm
per (ACDE) = AC + CD + DE + DE + EA = 20cm per (ACDE) = 6cm + 6cm + DE + EA = 20cm
18
DE + EA = 20cm - 12cm = 8cm per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA = 24cm 27. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura?
SOLUCIÓN (1), (2), (3), (4), (5),(6), (7), (8), (9), (2, 3), (4, 5), (6,7), (1, 4,5, 6, 7), (4, 5, 6,7), (4,5,6,7,8),(3, 8), (2, 4, 5, 6, 7), (2, 4, 5, 6, 7, 9), (4, 5, 6, 7, 9), (5,7,8), (2,4,5), (1, 4, 5, 6, 7, 8), (1, 4, 6), (5, 7, 9) Hay 24 rectángulos. 28. El sábado, la Sra. Juárez gastó $ 360 en la compra de ropa y zapatos. Gastó una cuarta parte en zapatos. Con el resto compró un pantalón a $ 85, una campera a $ 120 y un saco de lana. ¿Cuánto pagó por el saco? SOLUCIÓN
gastó−→ $360 zapatos −→ . $36 queda −→ $360 - $90 = $270 compra 1p −→$85 1c −→$120 1p + 1c = $85 + $120 = $205 1s = $270 - $205 = $65 1s −→$65 29. Ezequiel ten a 84 figuritas en el álbum rojo y 20 figuritas en el álbum azul. Hoy pegó la misma cantidad de figuritas en cada álbum. Ahora tiene, en el álbum rojo, el triple de figuritas que en el azul. 19
¿Cuántas figuritas pegó en cada álbum? SOLUCIÓN 84r, 20a
∧
pegó x fig r x fig a 84 + x = (20 + x) . 3
⇒
84 + x = 60 + 3x = 84 - 60 = 3x - x
⇒
24 = 2x = x = 12 fig Pegó 12 fig. 30. La figura ACDE tiene 882 cm de perímetro. BC = BD; AB es la mitad de BD ¿Cuál es el perímetro del triángulo BCD?
SOLUCIÓN per (ACDE) = 882cm BC = BD CD = 282cm
AB = BD ¿per (BCD)? BC = BD = 200cm per (BCD) = BC + CD + BD = 200cm + 282cm + 200cm = 682cm 31. Dani tiene 6 lápices de distintos colores para regalar a dos amigos: Juan y Pedro. ¿De cuántas maneras puede regalarlos? Indica qué lápices regala a cada amigo.
20
SOLUCIÓN J
P
-
J
P
-
J
P
-
J
P
L1
L2
-
L2
L5
-
L4
L2
-
L5
L6
L1
L3
-
L2
L6
-
L4
L3
-
L6
L1
L1
L4
-
L3
L1
-
L4
L5
-
L6
L2
L1
L5
-
L3
L2
-
L4
L6
-
L6
L3
L1
L6
-
L3
L4
-
L5
L1
-
L6
L4
L2
L1
-
L3
L5
-
L5
L2
-
L6
L5
L2
L3
-
L3
L6
-
L5
L3
-
-
-
L2
L4
-
L4
L1
-
L5
L4
-
-
-
32. En la figura de vértices ABCDE, se marcaron M, punto medio de AB y N, punto medio de ED. Al trazar los segmentos MN y BD, la figura queda partida en dos cuadrados y un triángulo equilátero. El cuadrado AMNE tiene 56 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura ABCDE?
SOLUCIÓN BCD equilátero. Como AM = MB y EN = ND, queda: AM = MB = EN = ND BC = CD = DB = MB per (AMNE) = 56cm per (AMNE) = AM + MN + NE + EA = 4AM = 56cm =
⇒
AM = 14cm
per (ABCDE) = AM + MB + BC + CD + DN + NE + EA = 7 . 14cm per (ABCDE) = 98cm 33. En un campeonato de fútbol cada equipo juega 19 partidos en total. Cada vez que gana obtiene 3 puntos y cada vez que empata obtiene 1 punto. 21
Al final del campeonato, el equipo Olimpo obtuvo un total de 28 puntos. ¿Cuántos partidos ganó, Cuántos partidos empató y Cuántos pa rtidos perdió el equipo Olimpo? Da todas las posibilidades. G
E
P
5
13
1
6
10
3
7
7
5
8
4
7
9
1
9
Son los casos posibles. 34. Cada caja contiene 8 paquetes y cada paquete, 6 alfajores. Para darle un alfajor a cada uno de los 615 chicos que participan del certamen, ¿cuántas de estas cajas hay que comprar? SOLUCIÓN 1c −→ 8p 1p −→ 6a 1c −→6. 8a = 48a 615 chicos 1c −→ 48a x −→ 615a x=
= 12 cajas + resto
Hay que comprar 13 cajas 615 - 12. 48a = 39a 12c, 6p, 3a −→ 13 cajas
35. Con tres piezas cuadradas y tres rectangulares se armó esta figura. Cada pieza cuadrada tiene 32 cm de perímetro. Cada pieza rectangular tiene 22 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
22
SOLUCIÓN El cuadrado de la izquierda tiene vértices ABCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario. El rectángulo de la izquierda tiene vértices EFCD, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario. El rectángulo grande tiene vértices EMND, contando desde el inferior izquierdo y en sentido antihorario.
⇒ ⇒
⇒
ABCD cuadrado = per (ABCD) = 4AB = 32cm = AB = AB = 8cm
ABEF rectángulo = per (ABEF) = 22cm per (ABEF) = 2. (AB + AE) = 2. (8cm + AE) = 22cm
⇒
16cm + 2AE = 22cm = AE = 3cm per (AMNE) = 2. (3AB + AB + AE) = 2. (4AB + AE) per (AMNE) = 8AB + 2AE = 8 . 8cm + 2 . 3cm = 70cm per (AMNE) = 70cm 36. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura? Explica cómo los contaste.
SOLUCIÓN Llamando a los rectángulos de la siguiente manera:
23
cm = 8cm
arriba −→5 fila 1 arriba −→ 1 - 2 - 3 – 4 fila 2 abajo −→ 6 - 7 - 8 - 9 abajo −→ 10 (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (1, 2), (2, 3) , (3, 4) , (6, 7) , (7, 8), (8, 9), (2,6) , (6, 10), (3, 79, (5, 4), (4, 8), (5, 4,8), (2, 6, 10), (1, 2, 3), (2, 3, 4), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 3, 4) , (6, 7, 8, 9), (2, 3, 6, 7), (3, 4, 7, 8) En total hay 31 rectángulos. 37. Con una botella de gaseosa se llenan 6 vasos. Después de la fiesta quedaron 15 botellas vacías y 5 botellas por la mitad. ¿Cuántos vasos se habían llenado en la fiesta? SOLUCIÓN
1b −→ 6v quedaron −→ 15 b vacías + . 5 b
bebieron −→ (15 + ) b = 1b −→ 6v
b
b −→ x = . 6 . 35 v = 105 v
Se llenaron 105 vasos. 38. La figura ABCDE tiene 63 cm de perímetro y los lados BC, CD, DE, y EA son iguales.
En el rectángulo ABCE, BC es el doble de AB. ¿Cuál es el perímetro del triángulo CDE? SOLUCIÓN per (ABCDE) = 63cm BC = CD = DE = EA
24
BC = 2AB per (ABCDE) = AB + 2AB + 2AB + 2AB + 2AB = 9AB
⇒
9AB = 63cm = AB =
cm = 7cm
BC = CD = 2AB = 2 . 7 cm = 14cm per (ECD) = AB + CD + DE = AB + 2AB + 2AB = 5AB = 5.7cm = 35cm per (ECD) = 35cm 39. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? Explica cómo los contaste.
SOLUCIÓN Numerando desde 1 hasta 12 de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba, quedan los siguientes triángulos: (1), (2), (3), (4), (5), (6). (7), (8), (9), (10), (11), (12), (2,3), (7, 2), (7, 8), (9, 11), (6, 11), (3, 8), (1, 2, 7), (4, 3, 8), (7, 8, 9), (6, 7, 8), (9, 10), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) , (9, 10, 11, 12), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) , (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) , (9, 10, 11), (1, 2, 3, 4, 7, 8) En total son 32 triángulos. 40. Una arañita va y viene sobre una rama de 64 cm de largo. Primero va de una punta a la otra. Se da vuelta y va hasta la mitad de la rama; allí se da vuelta y va hasta la mitad del camino que recorrió la última vez. Hace esto dos veces más, recorriendo cada vez la mitad del camino anterior. ¿Cuántos cent metros recorrió en total? SOLUCIÓN Recorre los siguientes tramos: AB, BC, CD, DE, EF
25
AB = 64cm
BC = AB = 32cm CD= BC = 16cm DE = CD = 8cm EF = DE = 4cm En total: 64cm + 32cm + 16cm + 8cm + 4cm = 124cm 41. El cuadrado grande tiene 72 cm de perímetro. Los cuadrados pequeños tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
SOLUCIÓN Indicando los vértices de izquierda a derecha, queda: A, B, C, D M, L, F, E K, J, G I, H per (BCKG) = 72cm 2AM = KB KB = BC =
cm = 18cm
AB = CD = DE = EF = FG = GH = HI = IJ = JK = KL = LM = MA = KB = per (fig) = 12AB + BC = 12 . 9cm + 18cm = 126cm 42. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura? 26
cm = 9cm
Explica cómo los contaste.
SOLUCIÓN Llamando 1, 2, 3, 4 a los rectángulos verticales y 5, 6, 7, 8, 9 a los horizontales queda: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2), (3, 4), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (7, 8, 9), (1, 2, 5, 6, 7, 8, 9), (2, 5, 6, 7, 8, 9), (5, 6, 7, 8, 9, 3), (3, 4, 5, 6, 7, 8. 9), (5, 6, 7, 8), (6, 7, 8, 9), (2, 3, 5, 6, 7, 8, 9), (1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9) En total hay 27 rectángulos. 43. Un ascensor sale de la planta baja con 7 personas. Para en todos los pisos. En cada piso suben 2 personas. En los pisos pares bajan 3 personas y en los pisos impares no baja ninguna. ¿Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11? SOLUCIÓN por piso −→ suben 2p pisos pares −→ bajan 3p pisos impares −→ baja 0p ¿Cuántas personas hay en el ascensor antes de que se abra la puerta en el piso 11? (es lo mismo que decir cómo iba cargado en el piso 10)
27
PISO
SUBEN
BAJAN
PISO
SUBEN
BAJAN
0
7
0
6
2
0
1
2
3
7
2
3
2
2
0
8
2
0
3
2
3
9
2
3
4
2
0
10
2
0
5
2
3
-
-
-
Antes que se abra la puerta del piso 11 hay: 7p + 2p. 7 pisos - 3p . 5 pisos = 12p 44. Con dos piezas cuadradas se armó esta figura.
El lado del cuadrado pequeño mide 5 cm. El lado del cuadrado grande es el triple del lado del cuadrado pequeño. ¿Cuál es el perímetro de la figura? SOLUCIÓN ABFG cuadrado BCED cuadrado BC = CD = DE = BE = 5cm BF = 3BE = 3 . 5cm = 15cm per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA per (fig) = 15cm + 5cm + 5cm + 5cm + 10cm + 15cm + 15cm = 70cm 45. Durante las vacaciones siempre uso calzas, pollera, remera y anteojos de sol. Tengo que ponerme la remera antes que los anteojos, y las calzas antes que la pollera. ¿Durante Cuántos días me puedo vestir en un orden diferente? Explica en qué orden se viste cada día.
28
SOLUCIÓN c, p, r, a r antes que a c antes que p
c
p
r
a
-
r
a
c
p
c
r
a
p
-
r
c
a
p
c
r
p
a
-
r
c
p
a
Hay 6 maneras distintas. 46. Agustín puede comprar una bicicleta en 12 cuotas de $ 78 cada una o en un único pago de $ 750. ¿Cuánto ahorra si la compra en un único pago? SOLUCIÓN 12 cuotas −→ $78 c/u 1 pago −→ $750 Si paga en cuotas: 12 . $78 = $936 Diferencia = cuotas - contado = $936 - $750 = $186 47. El cuadrilátero ABCD está partido en 2 triángulos: ABD y BCD. ABD es equilátero y tiene 36 cm de perímetro. BCD es isósceles, con BC = CD y tiene 32 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del ABCD? SOLUCIÓN ABC equilátero per (ABC) = 36cm
AB = BD = AD = . 36cm = 12cm BCD isosceles BC = CD
29
per (BCD) = BC + CD + BD = 32cm
⇒
per (BCD) = 2BC + 12cm = 32cm = BC =
(32cm - 12cm) = 10cm
per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 12cm + 10cm + 10cm + 12cm per (ABCD) = 44cm 48. Una banda de rock está formada por un guitarrista, un baterista, un trompetista y un cantante. Para el saludo se ubican en una fila. Si el cantante nunca puede estar ni al principio ni al final de la fila, ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse? Da todas las posibilidades. SOLUCIÓN g, b, t, c g
b
c
t
-
t
c
g
b
-
b
c
t
g
g
c
b
t
-
t
c
b
g
-
b
c
g
t
g
c
t
b
-
t
b
c
g
-
b
t
c
g
g
t
c
b
-
t
g
c
b
-
b
g
c
t
49. Juan armó esta figura con tres fichas cuadradas y dos fichas rectangulares iguales.
Las tres fichas cuadradas forman una rectangular
La ficha rectangular tiene 56 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura que armó Juan?
30
SOLUCIÓN Si llamamos A al vértice superior izquierdo y numeramos en el sentido de las agujas del reloj, queda determinada la figura ABCDEFGHIJKL. per (ABKL) = 56 cm BK = BC 3 BC = AB 2 (AB + BK) = 56 cm 2 ( 3 BC +BC) = 56 cm 8 BC = 56 cm BC = 7 cm y por lo tanto AB = 21 cm Per (figura) = 4 AB + 8 BC = = 4. 21 cm + 8. 7 cm = 84 cm + 56 cm = 140 cm 50. Aldo, Carlos y Javier juegan con una máquina tragamonedas. Entre los tres gastan 40 monedas. Carlos gasta 12 más que Javier. Javier gasta la mitad de las que gasta Aldo. ¿Cuántas monedas gasta cada uno? SOLUCIÓN A + C + J = 40 (1) C - 12 = j j =
⇒
A=2J
Reemplazo A en (1) y queda:
⇒
2 J + C + J = 40 = 3 J + C = 40 C - 12 = J Es decir: 3 J + C = 40 J - C = -12 Sumando:
⇒ ⇒
4 J + 0 = 28 = J = 7 J - C = 12
⇒
⇒
7 - C = 12 = - C = -12 - 7 = - C = - 19 = C = 19 31
⇒
⇒
⇒
A + C + J = 40 = A + 19 + 7 = 40 = A = 40 - 7 - 19 = A = 14 (A, C, J) = (14. 19, 7)
51. Cada semana María tiene 2 clases de inglés, 1 de dibujo y 1 de música. Debe elegir sus horarios de lunes a viernes, las clases de inglés no deben ser en días seguidos y no puede tener más de una clase por día. ¿De cuántas formas distintas puede María armar sus horarios? Enuméralas. SOLUCIÓN: 2 I, 1 D, 1 M de Lunes a Viernes I no se permite en días consecutivos.
32
LU
MA
MI
JU
VI
LU
MA
MI
JU
VI
1
I
D
I
M
-
19
D
I
M
I
-
2
I
M
I
D
-
20
M
I
D
I
-
3
I
-
I
D
M
21
-
I
D
I
M
4
I
-
I
M
D
22
-
I
M
I
D
5
I
D
I
-
M
23
D
I
-
I
M
6
I
M
I
-
D
24
M
I
-
I
D
7
I
D
M
I
-
25
D
I
M
-
I
8
I
M
D
I
-
26
M
I
D
-
I
9
I
-
D
I
M
27
-
I
D
M
I
10
I
-
M
I
D
28
-
I
I
D
I
11
I
D
-
I
M
29
D
I
-
M
I
12
I
M
-
I
D
30
M
I
-
D
I
13
I
D
M
-
I
31
D
M
I
-
I
14
I
M
D
-
I
32
M
D
I
-
I
15
I
-
D
M
I
33
-
D
I
M
I
16
I
-
M
D
I
34
-
M
I
D
I
17
I
D
-
M
I
35
D
-
I
M
I
18
I
M
-
D
I
36
M
-
I
D
I
I −→ Lu, Mi - Mi, Vi I −→ Lu, Ju - Ma. Ju I −→ Lu, Vi - Mi - Vi 52. Alicia y Beatriz llevaban $50 cada una. Alicia compró 3 kg de helado y un postre. Para poder pagar tuvo que pedirle $4 prestados a Beatriz. Beatriz compró 1 kg de helado y un postre del mismo precio que el de Alicia; después de pagar y prestarle a Alicia los $4, le quedaron $16.
33
¿Cuánto costaba el postre? SOLUCIÓN: A + B = $ 50 + $ 50 A −→ 3 kg h + 1 p −→ pidió $ 14 a B B −→ 1 kg h + 1 p −→ le sobraron $ 16
⇒ ⇒
A = 3 kg h + 1 p = $ 54 B = 1 kg h + 1 p = $ 30 1 p = $ 54 - 3 kg h = $ 30 - 1 kg h $54 - $30 = 3 kg h - 1 kg h $ 24 = 2 kg h =
⇒
1 kg h = $
= $ 12
1 p = $30 - 1 kg h = $ 30 - $ 12 = $18 (h, p) = ($12, $18) 53. Con 6 fichas rectangulares, todas iguales, se armó esta figura.
En cada ficha rectangular la longitud del lado mayor es cuatro veces la longitud del lado menor. El perímetro de una ficha es 30cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura? SOLUCIÓN Llamando A al vértice inferior izquierdo y anotando en el sentido contrario al movimiento de la s agujas del reloj quedan determinados los vértices A, B , C , D , E , F, G , H , I , J , L , M , N , Ñ AB = 4BC
34
per (ficha) = 2. (BC + 4 BC) = 2. 5 BC per (ficha) = 30 cm Entonces:
⇒
⇒
∧
2.5 BC = 30 cm = 10 BC = 30 cm = BC = 3 cm AB = 12 cm AB = HI = Nñ = 12 cm
BC = CD = DE = EF = FG = IJ = JK = KL = LM = MN = ÑA = 3 cm HG = HI - KJ = 12cm - 3cm = 9cm per (figura) = 3 . AB + 11. BC + HG = 3 . 12 cm + 11. 3 cm + 9cm = 36 cm + 33 cm + 9cm = 78 cm per (figura) = 78 cm 54. En la figura se quiere pintar cada cuadradito de rojo o de azul.
Los dos cuadraditos de la izquierda no pueden ser rojos a la vez. Los dos cuadraditos de la derecha no pueden ser rojos a la vez. ¿De cuántas maneras puede hacerse? SOLUCIÓN Llamemos a los cuadraditos de arriba 1, 2, 3 Llamemos a los cuadraditos de abajo 4, 5, 6 Quedan como pares: (1, 4), (2. 5). (3, 6) 1 y 4 no pueden ser R a la vez 3 y 6 no pueden ser R a la vez Dividimos el tablero en tres columnas. Cada una permite algunas combinaciones. Con la columna (1, 4) se pueden hacer las siguientes combinaciones: (A, A), (A, R), (R, A) −→ (3) Con la columna (2, 5) se pueden hacer las siguientes combinaciones: (A, A), (A, R), (R, A), (R, R) −→ (4) 35
Con la columna (3, 6) se pueden hacer las siguientes combinaciones: (A, A), (A, R), (R, A) −→ (3) Si combinamos estos tres grupos entre s obtenemos: 3. 4. 3 = 36 combinaciones. 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
A
A
A
A
A
A
19
A
R
A
R
A
R
2
A
A
A
A
R
A
20
A
R
A
R
R
R
3
A
R
A
A
A
A
21
A
A
R
R
A
A
4
A
R
A
A
R
A
22
A
A
R
R
R
A
5
A
A
A
A
A
R
23
A
R
R
R
A
A
6
A
A
A
A
R
R
24
A
R
R
R
R
A
7
A
R
A
A
A
R
25
R
A
A
A
A
A
8
A
R
A
A
R
R
26
R
A
A
A
R
A
9
A
A
R
A
A
A
27
R
R
A
A
A
A
10
A
A
R
A
R
A
28
R
R
A
A
R
A
11
A
R
R
A
A
A
29
R
A
A
A
A
R
12
A
R
R
A
R
A
30
R
A
A
A
R
R
13
A
A
A
R
A
A
31
R
R
A
A
A
R
14
A
A
A
R
R
A
32
R
R
A
A
R
R
15
A
R
A
R
A
A
33
R
A
R
A
A
A
16
A
R
A
R
R
A
34
R
A
R
A
R
A
17
A
A
A
R
A
R
35
R
R
R
A
A
A
18
A
A
A
R
R
R
36
R
R
R
A
R
A
55. Bruno, Diego y Fede fueron al supermercado. Bruno pagó con $50 y recibió $12 de vuelto. Diego y Fede pagaron, cada uno, con un billete de $100. Bruno y Fede gastaron entre los dos, $80. 36
El vuelto de Diego fue la mitad del vuelto de Fede. ¿Cuánto gastó Diego? SOLUCIÓN B pagó con $ 50 y recibió $ 12 Diego = Fede = $ 100 ¿D? B + F = $ 80
⇒
$ 38 + F = $ 80 = F = $ 80 - $ 38 = $ 42 (gastó) Si F tenía $ 100 y gastó $ 42, le queda de vuelto $ 58
⇒
2vD = vF = vD =
$ =
= $29
Diego gastó $ 100 - $ 29 = $ 71 56. Andrés compró 240 fichas, algunas rojas, algunas azules y otras verdes. Las rojas cuestan $ 4 cada una, las azules, $ 2 cada una y las verdes, $ 1 cada una. Gastó $ 640 en fichas. Si las azules costaran como las rojas y las rojas costaran como las azules, Andrés gastó $ 560. ¿Cuántas fichas de cada clase compró Andrés? SOLUCION
24 42 240640560 1 1 1 ∆ 42 24 10 ∆ 240640560 124 110 ∆ 142 240640560 110 1 1 240 ∆ 42 24 640560 ∆ Planteando determinantes: = 10
= 1040
= 880
= 480
R=
∆ =
= 104
37
A= V=
∆∆ ∆∆
= =
= 88 = 48
(R, A, V) = (104, 88, 48) 57. En la figura: ABC es un triángulo equilátero; ABD, ABE y ABF son triángulos isósceles.
AD = DB = AB; AE = EB = AD; AF = FB = AE; Perímetro de ABF = 124 cm. ¿Cuáles son los perímetros de ABC; ABD y ABE? SOLUCION ABC equilátero ABD, ABE, ABF −→ isósceles
AD = DB = AD AE = EB = AD AF = FB = AD per (ABF) = 124cm
AD = AB
AE = ( AB) = AB AF = . AB =
AB
38
AB + 2AF = 124cm AB + AD =
AB =
AE = AB = AF =
⇒
AB = 124cm = AB =
AB =
. 124cm = 16cm
. 16cm = 24cm . 16cm = 36cm . 16cm = 54cm
per (ABC) = 3AB = 3 . 16cm = 48cm per (ABD) = AB + 2AD = 16cm + 2 . 24cm = 64cm per (ABE) = AB + 2AE = 16cm + 2 . 36cm = 88cm 58. Con tres triángulos equiláteros se armó esta figura. El triángulo grande tiene 48 cm de perímetro.
El lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande. El lado del triángulo pequeño es la mitad del lado del triángulo mediano. ¿Cuál es el perímetro de la figura? SOLUCIÓN Comenzando por el vértice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj enumeramos los vértices como A, B, G, F, D, E, C per (ABC) = 48 cm AB = BC = AC = 16 cm
⇒
2 BE = BC = BE =
cm = 8 cm
BG = BE = cm = 4 cm BG = GF = FD = GD = 4 cm per (figura) = AB + BG + GF + FD + DE + EC +CA = 16 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm + 8 cm + 8 cm + 16 cm = 60 cm 39
59. El abuelo retiró $145 del banco. S lo le dieron billetes de $2 y de $5. No le dieron ninguna moneda. ¿Cuántos billetes de cada clase puede haber retirado? Enumera todas las posibilidades. SOLUCIÓN Retiró $ 145 en billetes de $ 2 y de $ 5 B(2)
B(5)
B(2)
B(5)
B(2)
B(5)
0
29
25
19
50
9
5
27
30
17
55
7
10
25
35
15
60
5
15
23
40
13
65
3
20
21
45
11
70
1
60. Los 96 alumnos de quinto grado saldrán de excursión. El precio total de la excursión es de $544. La tercera parte de los chicos, como pagó por adelantado, pagó s lo $5. ¿Cuánto pagó cada uno de los otros chicos? SOLUCIÓN precio por 96 alumnos = $ 544
por .96 alumnos −→ pagó $ 5 c/u .96 alumnos = 32 alumnos .
$
5 = $ 160
Total adelantado = $ 544 - $ 160 = 384
⇒
64 alumnos −→ $ 384 = 1 alumno = $
= $6
61. Pedro tiene un juego con muchas pieza s cuadradas todas iguales entre s y muchas piezas rectangulares todas iguales entre sí.
40
Con 2 piezas cuadradas se arma 1 pieza rectangular. Con las piezas del juego arma esta figura formada por 4 piezas rectangulares y 2 piezas cuadradas. Una pieza rectangular tiene 24cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura? SOLUCIÓN Comenzando por el vértice inferior izquierdo y continuando en el sentido opuesto a las agujas del reloj enumeramos los vértices como A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R 2c=1r 4r+2c per (r) = 24 cm = 2. (c + c + c) = 6 . c (el lado)
⇒
24 cm = 6 c = c = 4 cm Los lados de la ficha miden (c, r) = (4cm, 8 cm) per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JK + KL + LM + MN + NO + OP + PQ + QR + RA = = 4 . 8 cm + 14 . 4 cm = 32 cm + 56 cm = 88 cm 62. En una clase de educación física el profesor divide a los chicos en equipos de distinto número según la actividad. Si forma grupos de 7 no sobra ningún chico. Cuando forma equipos de 3, de 4 o de 6 siempre sobra 1 chico. ¿Cuál es el menor número posible de chicos de esa clase? SOLUCIÓN Número múltiplo de 7 Si es múltiplo de 3 sobra 1 Si es múltiplo de 4 sobra 1 Si es múltiplo de 6 sobra 1 41
Queda formado el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 1 = nro 4y + 1 = nro 6z + 1 = nro 7t = nro Los múltiplos de 7 son: 7 - 14 - 21 - 28 - 35 - 42 - 49 - 56 - 63 Si tiene 49 chicos:
= 7 = 16 (sobra 1); = 12 (sobra 1); = 8 (sobra 1)
63. Laura tiene dos kioscos cerca de su casa. En el kiosco A, por cada $ 10 que gasta le hacen un descuento de $ 1. En el kiosco B, por cada $ 19 que gasta le hacen un descuento de $2. Laura hace un gasto en el kiosco A y paga, con el descuento, $ 87. Si Laura hiciera ese mismo gasto en el kiosco B, ¿cuánto deber a pagar, teniendo en cuento el descuento que hace el kiosco B? SOLUCIÓN Si A gasta $10 −→ descuento $1 Si B gasta $19 −→ descuento $2
A gastó $x, le hicieron descuento y pagó $87 gasta $10 −→ paga $9 gasta $x −→ paga $87
x=
.$
= $ 96,66
gasta $19 −→ paga $17 gasta $96,66 −→ paga $y y=
$,. = $ 86,48 .
Debería pagar $86,48
42
64. Los rectángulos ABGI y BDEF son iguales. BD = 2 AB
El perímetro del rectángulo BDEF es de 54 cm. Los triángulos BCD y GHI son equiláteros. ¿Cuál es el perímetro de la figura de vértices ABCDEFGHI? SOLUCIÓN BD = FG = BG = AI = 2.AB AB = IG = BF = DE BC = CD = BD ¿per (ABCDEFGHI) =? BD +DE + EF + FB = 54CM BD + DE + BD + DE = 2BD + 2 DE = 2 . 2AB + 2AB = 6AB
⇒
6AB = 54cm = AB = 9cm BD = 2AB = 2 . 9cm = 18cm per (ABCDEFGHI) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA = = 5AB + 4BD = 5AB + 4 . 2AB = 13AB = 13 . 9cm = 117 cm 43
65. ¿Cuántos números impares divisibles por 5, hay entre 504 y 2001? Explica por qué. SOLUCIÓN En [504, 2001] ¿x impares divisibles por 5? Entre 0 y 100: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 Entre 0 y 100 hay 10 números impares divisibles por 5. Entre: INICIO
FINAL
CANTIDAD
500
600
10 nros.
600
700
10 nros.
700
800
10 nros.
800
900
10 nros.
900
1000
10 nros.
1000
1100
10 nros.
1100
1200
10 nros.
1200
1300
10 nros.
1300
1400
10 nros.
1400
1500
10 nros.
1500
1600
10 nros.
1600
1700
10 nros.
1700
1800
10 nros.
1800
1900
10 nros.
1900
2000
10 nros.
En total hay 150 nros. impares múltiplos de 5 entre 500 y 2001 66. En la feria venden remeras y pantalones. 5 remeras cuestan $ 30.
44
Pedro compró 2 remeras y 3 pantalones. Juan compró 3 remeras y 2 pantalones. Pedro pagó $2 más que Juan. ¿Cuántos $ pagó Pedro? SOLUCIÓN ryp 5 r cuestan $ 30 Pedro −→ 2 r + 3 p Juan −→ 3 r + 2 p Pedro = Juan + $2 5 r −→ $ 30 r −→ $ 6 r −→ $ 12 r −→ $ 18 Pedro −→ $ 12 + 3p = ($18 + 2p) + $2 (i) Juan −→ $ 18 + 2p (i) $12 + 3p = $18 + 2p + $2 1p = 3p - 2p = $18 + $2 - $12 = $8 Pedro −→ 2 r + 3 p = $12 + 3 . $8 = $12 + $24 = $36 67. El cuadrado ABCD se partió en tres rectángulos como muestra la figura.
El rectángulo AEGD tiene 60 cm de perímetro. AD = AB AB = 4 AE BC = 3 CF
45
¿Cuál es el perímetro del rectángulo FCGH? SOLUCIÓN per (AEGD) = AE + EG + GD + DA AD = AE + EB
⇒
AD = 4AE = AE = AE = DG
AD = EG = EH + HG AD = AB = 4AE 2. (AE + 4AE) = per (AEGD) = 60cm
⇒
10 AE = 60cm = AE = 6cm AB = BC = AD = DC = 4AE = 4 . 6cm = 24cm AB = 24cm
⇒ ⇒
⇒
AB = AE + EB = 24cm = 6cm + EB = EB = HF = GC = 18cm
⇒
AB = BC = 3CF = 24cm = 3CF = CF = HG = 8cm per (FGCH) = FC + GC + GH + HF = 8cm + 18cm + 8cm + 18cm = 52cm per (FGCH) = 52cm 68. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
SOLUCIÓN Numerando los polígonos pequeños contando desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, obtenemos las siguientes combinaciones: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (13), (14), (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 11), (1, 3, 5, 6, 9, 10, 11), (1, 3, 5, 6), (2, 4, 7, 8, 12,13, 14), (2, 4, 7, 8), (7, 12), (5, 6, 7), (6, 7, 8), (5, 6, 7, 9, 10, 11, 12), (6, 7, 11, 12), 46
(6, 7, 8, 11, 12, 13, 14), (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) En total hay 26 casos posibles. 69. Agustina, Betina y Camila fueron juntas a comprar un regalo de cumpleaños. Agustina llevaba $ 100 y pagó el regalo. El regalo costó $ 84. Repartieron el gasto en partes iguales. Betina le dio su parte. Camila sólo le dio la mitad de su parte. ¿Cuánto dinero le quedó a Agustina? SOLUCIÓN A + B + C = $8a
⇒
pagó con $100 = vuelto = $100 - $84 = $16 pagó su parte pagó la mitad
⇒ ⇒ $
= $28
$
= $14
Lo que le quedó a A es: $16 + $28 + $14 = $58 70. En la figura:
ABCJ y EFGH son cuadrados iguales. DJ = DF y DE = 2 EF La figura tiene 154 cm de perímetro. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo DEIJ? SOLUCIÓN
47
2EF = 2AB = ED = IJ AB = BC = EF = FG = GH = JA JD = JC + CD = AB +CD per (fig) = 154cm per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA per (fig) = 6AB + CD + DE + HI + IJ = 154cm per (fig) = 6AB + 4CD = 154cm per (fig) = 6AB + 4 . 2AB = 154cm
⇒
per (fig) = 14AB = 154cm = AB = CD = 2AB = 2 . 11cm = 22cm
cm = 11cm
Los lados del rectángulo mayor son: (AB, AB + CD) = (11cm, 33cm) 71. Ana se olvidó el número de su credencial pero recuerda que: tiene seis cifras todas distintas, entre las cifras no hay ni 0 ni 1, las seis cifras van de menor a mayor. ¿Cuál puede ser el número de la credencial de Ana? Da todas las posibilidades. SOLUCIÓN 234567
234678
235689
245689
345679
234568
234679
235789
245789
345789
234569
234789
236789
246789
346789
234578
235678
345678
256789
356789
234579
235679
245679
345678
456789
En total, hay 25 casos posibles. 72. El Lunes Ana abrí una caja de caramelos. Todos los mediodías saca algunos caramelos de la caja. El miércoles a la tarde, quedaban los dos tercios del total de caramelos. El jueves a la tarde, quedaban 24 caramelos que eran la cuarta parte del total. ¿Cuántos caramelos sacó Ana de la caja el jueves al mediodía? SOLUCIÓN
48
Miércoles −→ T
Jueves −→ T = 24 Había 24c. 4 = 96c
El miércoles quedó . 96c = 64c
− -
=
=
El jueves al mediodía Ana sacó 73. En la figura, BC = 2CD.
. 96c = 40c.
El perímetro del rectángulo ABEF es 48 cm. El perímetro del rectángulo BCDE es el doble del perímetro del ABEF. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ACDF? SOLUCIÓN BC = 2CD per (ABEF) = 48cm per (BCDE) = 2 per (ABEF) ¿per (ACDF)? AB = FE AF = BE 2(AB + AF) = 48cm AB + AF = 24cm BC + CD = 48cm De aquí:
⇒
CD + 2CD = 3CD = 48cm = CD = 16cm
49
⇒ ⇒
BC + CD = 48cm = BC = 48cm - CD = 48cm - 16cm = 32cm BC + CD = 48cm = CD = AF = 16cm AB =
= 8cm
per (ACDF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2(AB + BC + CD) = 2 (8cm + 32cm + 16cm) = 112cm 74. Escribo todos los números impares desde 1000 hasta 2004. ¿Cuántas veces escribo el dígito cero? SOLUCIÓN COMO DECENA
COMO UNIDAD
COMO CENTENA
100
100
110
101
120
1
102
130
3
103
140
5
104
150
7
105
160
9
106
170
107
180
108
190
109
De todas las decenas y centenas surgen flechas que se dirigen a cada unidad, es decir todas las flechas confluyen en las unidades y quedan formados: Como decena: 10 veces x 5 impares = 50 veces Como centena: 10 veces x 5 impares = 50 veces 2 veces en 2001 −→1 nro −→ 2 veces 2 veces en 2003 −→1 nro −→ 2 veces Sumando las cantidades: 50 veces + 50 veces + 2 veces + 2 vece s = 104 veces 75. En un campeonato, cada equipo jugó 24 partidos. Al final del campeonato: El equipo A no empató ningún partido y ganó 10 más de los que perdió. El equipo B no perdió ningún partido y empató 6 más de los que ganó. 50
¿Cuántos partidos ganó cada uno de los dos equipos en ese campeonato? SOLUCION
∧ ∧ ⇒ ⇒
G + P = 24 G = P + 10 G + E = 24 E = G + 6 Reemplazando, queda:
⇒ ⇒ ∧ ⇒ ⇒ ∧
G + P = 24 = P + 10 + P = 24 = 2P = 14 = G = 17 P = 7 G + E = 24 = G + G + 6 = 24 = 2G = 18 = G = 9 E = 15 76. Los triángulos ABJ, CDE, EFG y HIJ son iguales.
La figura BCEGHJ tiene los 6 lados iguales y 90 cm de perímetro. DF = 18 cm y DE = EF. El triángulo CDE tiene 36 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ADFI? SOLUCIÓN ABJ = CDE = EFJ = HIJ per (BCEGHJ) = BC + CE + EG + GH + HJ + JB = 90cm BC = CE = EG = HJ = JB
⇒
per (BCEGHJ) = 90cm = 6EC = EC = 15cm DE = EF; DF = 18cm
⇒
DE = EF = 9cm = DF = 2DE
⇒
CD + 9cm + 15cm = 36cm = CD = 12cm BC = CE = EG = GH = HJ = JB BC = CE = 15cm CD = 12cm AB = CD = 12cm AD = AB + BC + CD = 39cm 51
per (ADFI) = 2 (AD + DF) = 2 (39cm + 18cm) = 2 . 57cm = 114cm 77. El viernes, antes del recital, se habían vendido 900 entradas. El sábado, se decidió vender las 300 entradas restantes a la mitad de su valor. Por la venta de todas las entradas se recaudaron $ 50.400. ¿Cuánto pagaron por su entrada los que compraron antes del sábado? SOLUCIÓN V −→ 900ev S −→ 300ev.
T −→ $50400 = 900ev + 300ev. = 900ev + 150ev = 1050ev
1050ev −→ $ 50400 1ev −→ $
= $48
78. Mirta, Alicia e Inés leyeron un mismo libro de menos de 300 páginas. Mirta leyó 7 páginas el primer día y el resto a 10 páginas por día. Alicia leyó 2 páginas el primer día y el resto a 11 páginas por día. Inés leyó 5 páginas el primer día y el resto a 9 páginas por día. ¿Cuántas páginas tiene el libro? SOLUCIÓN M, A, I < 300p M leyó menos de 300p - 7 en distintos días (< 293) A leyó menos de 300p - 2 en distintos días (< 298) I leyó menos de 300p - 5 en distintos días (< 295) M −→7 + 10.x A −→ 2 + 11.y I −→ 5 + 9.z 167 = 7 + 10 . 16 167 = 2 + 11 . 15 167 = 5 + 9 . 18
52
˝A
M
A
I
1
7
2
5
2
17
13
14
3
27
24
23
4
37
35
32
5
47
46
41
6
57
57
50
7
67
68
59
8
77
79
68
9
87
90
77
10
97
101
86
11
107
112
95
12
117
123
104
13
127
134
113
14
137
145
122
15
147
156
131
16
157
167
140
17
167
149
18
158
19
167
79. El rectángulo ABCD tiene 88 cm de perímetro.
Al trazar una paralela al lado AB, el ABCD queda partido en un cuadrado y un rectángulo más pequeño. 53
El perímetro del rectángulo más pequeño es 14 cm menos que el perímetro del cuadrado. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo ABCD? SOLUCIÓN Sean NM = AB = DC;
∈ ∈
N AD, M BC per (ABCD) = 88cm per (ABCD) - per (MNCD) = 14cm per (ABCD) = 4AB + 2NC AB + BM + MN + NA - NM - MC - CD - DN = 14cm AB - MC = 7cm AB = 7cm + MC 2AB + 2 (7cm + MC) = 88cm 2AB + 14cm + 2MC = 88cm
⇒
AB + MC = 37cm = AB = 37cm - MC 7cm + MC = 37cm - MC MC + MC = 37cm - 7cm
⇒
2MC = 30cm = MC =
cm = 15cm
AB = 7cm + MC = 7cm + 15cm = 22cm per (ABCD) = 2 (22cm + 37cm) = 118cm (AB, CD) = (22cm, 37cm) 80. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
54
Explica cómo los contaste. SOLUCIÓN De izquierda a derecha y de arriba hacia abajo quedan las siguientes columnas con triángulos numerados: 13, 14 7, 8, 11, 12, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6 Se forman las siguientes combinaciones: (1) , (2) , (3) , (4) , (5) , (6) , (7) , (8) , (9) , (10) , (11) , (12) , (13) , (14) , (13 , 14) , (11 , 12) , (9 , 10) , (7 , 8) , (5 , 6) , (3 , 4) , (1 , 2) , (1 , 7) , (2 , 8) , (6 , 10) , (11 , 13) , (12 , 14 ) , (5 , 9) , (5, 9, 11, 12), (2 , 8 , 11, 12), ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14) , (3 , 4 , 5, 9) , (2 , 3 , 4 , 8) , (7 , 8, 11 , 13) , (9 , 10 , 12 , 14) En total hay 34 formas de contar. 81. Ana compró: un libro de cuentos, una novela y un diccionario por $ 113. Si compraba sólo el libro de cuentos y el diccionario pagaba $ 81. Si compraba s lo la novela y el diccionario pagaba $ 87. ¿Cuánto pagó por cada uno? SOLUCIÓN
⇒
c + n + d = $113 = d = $113 - c - n
⇒ ⇒
c + d = $81 = d = $81 - c n + d = $87 = d = $87 - n
⇒
$81 - c = $87 - n = c = n - $6 n - c = $87 - $81 = $6 n - $6 + n + $87 - n = $113 n = $113 - $87 + $6 = $32 55
c = n - $6 = $32 - $6 = $26 d = $113 - c - n = $113 - $26 - $32 = $55 (n, c, d) = ($32, $26, $55) 82. En la figura, ACFG y BCDI son cuadrados.
AB = BC; EC = 3 FE; DEHI es un rectángulo de 144 cm de perímetro. Cuál es el perímetro del ACFG? SOLUCIÓN ACFG, BCDI −→ cuadrados AB = BC = CD = DI = BI
∧
∧
EC = 3FE EC = CD + DE CD = DI per (DEHI) = 2 (DE + DI) = 2. 72cm = 144cm 3FE - CD = DE De plantear: 2CD - ED = CD + ED 2CD - CD = ED + ED Queda:
⇒
CD = 2DE per (DEHI) = 2 (ED + CD) = 2 (ED + 2ED) = 6ED = 144cm = ED = 24cm 2 (CD + ED) = 144cm
⇒
CD + 24cm = 72cm = CD = 48cm CF = 2CD = 96cm
per (ACFG) = 4CF = 4 . 96cm = 384cm 83. Con las cifras 1 - 2 - 4 - 6 - 8, sin repetir, se arman todos los números pares de cuatro cifras, mayores que 4500. ¿Cuántos y cuáles son? SOLUCIÓN
56
4612
6124
6412
8124
8412
4618
6128
6418
8126
8416
4628
6142
6428
8142
8426
4682
6182
6482
8162
8462
4812
6214
6812
8214
8612
4816
6218
6814
8216
8614
1826
6248
6824
8246
8624
4862
6284
6842
8264
8642
Hay 40 casos posibles. 84. La figura ADEF está formada por dos triángulos iguales y un rectángulo.
El perímetro de BDEF es 70 cm. El perímetro del triángulo CDE es 60 cm. CE = 4BC y AB = 3BC. Cuál es el perímetro de ADEF? SOLUCIÓN BC + CD + DE + EF + FB = 70cm 2BC + AB + EC + DE = 70cm (*) CD + DE + EC = 60cm AB + DE + EC = 60cm (**)
⇒ ⇒
De (*) y (**) = 2BC = 70cm - 60cm = 10cm Si 2BC = 10cm = BC = 5cm
⇒
AB = 3BC = AB = 15cm CE = 4BC = 2 0cm per (ABC) = CD + DE + EC = 60cm
57
per (ABC) = AB + DE + CE = 60cm DE = 60cm -AB - CE = 60cm -15cm - 20cm DE = 25CM per (ADEF) = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 2AB + 2BC + 2DE = 2 . 15cm + 2 . 5cm + 2 . 25cm + 2 . 25cm = = 30cm + 10cm + 50cm = 90cm per (ADEF) = 90cm 85. El jardinero tiene que plantar 372 plantitas durante esta semana. Trabaja de lunes a viernes. El lunes pone cierta cantidad, el martes pone el doble de las que puso el lunes, el miércoles, el doble de l as que puso el martes y así sigue hasta el viernes, poniendo, cada día, el doble de las que puso el día anterior. ¿Cuántas plantitas puso el lunes? SOLUCIÓN Lu −→ x Ma −→ 2x Mi −→ 2.2x Ju −→ 2.2.2x Vi −→ 2.2.2.2x Formemos la ecuación: 16x + 8x + 4x + 2x + x = 372p 31x = 372p x=
p
⇒
x = 12 p
86. En un diagrama, en cada fila horizontal hay una casilla más que en la anterior.
58
En las casillas se escriben los números desde el 1, consecutivamente, como se ve. Si se continúa este procedimiento, en qué fila se escribe el número 256? SOLUCIÓN Siguiendo el procedimiento de la tabla podemos armar una tabla de valores: NRO. FILA
PUNTO EXTREMO
NRO. FILA
PUNTO EXTREMO
1
1
13
91
2
3
14
105
3
6
15
120
4
10
16
136
5
15
17
153
6
21
18
171
7
28
19
190
8
36
20
210
9
45
21
231
10
55
22
253
11
66
23
276
12
78
24
300
Veremos que el número 256 estará en la fila 23 en el tercer lugar. 87. La escuela organiza un sorteo. Hay 1000 rifas numeradas de 1 a 1000, repartidas en talonarios de 10 rifas cada uno. Antes del sorteo, se venden todas las rifas. Terminado el sorteo resultó que todos los que tenían una rifa terminada en 5, ganaron un libro de $ 8. Todos los que tenían una rifa terminada en 43, ganaron un disco de $ 12. El poseedor de la rifa número 167 ganó una radio de $ 340. Los demás números no ganaron nada. ¿Cuánto se gastó en premios? Después de comprar los premios quedó una ganancia de $740.
59
¿A Cuánto se vendió cada talonario? SOLUCIÓN 1000 rifas −→ 100 talonarios de 10 rifas terminación en 5 −→ libro de $8 terminación en 43 −→ disco de $12 número 167 −→ radio de $340 ganancia −→ $740 ¿A cuánto se vendió cada talonario? L) terminación en 5 −→ 1000 nros. −→ 100 ganadores D) terminación en 43 −→ 1000 nros. −→ 10 ganadores R) número 167 −→ 1 ganador gastó = 100 g . $8 + 10g . $12 + 1g . $340 = $800 + $120 + $340 = $1260 ganancia = $740 recaudación = gasto + ganancia = $1260 + $740 = $20 00
⇒
100t = $2000 = 1t = $
= $ 20
88. La figura, de 96 cm de perímetro, está formada por un rectángulo donde AB = 4 BC y un triángulo isósceles con CD = DE.
El rectángulo ABCE y el triángulo CDE tienen igual perímetro. Cuál es el perímetro del triángulo CDE? SOLUCIÓN per (ABCD) = 96cm AB = EC = 4BC per (ABCE) = per (CDE) AB + 2BC + 2CD = 96cm 4BC + 2BC + 2CD = 96cm
60
3BC + CD = 48cm
⇒
3 . 8cm + CD = 48cm = CD = 48cm - 24cm = 24cm 2CD + EC = 2CB + 2EC
96cm - 6BC + EC = 2BC + 2EC 2E C 96cm - 6BC + EC - 2BC - 2EC 2E C = 0 96cm - 8BC - EC = 0 EC + 8BC = 96cm
⇒
⇒
4BC + 8BC = 96cm = 12BC = 96cm = BC = 8cm
⇒
AB = 4BC = 4 . 8cm = 32cm = AB = 32cm per (ABCE) = 2. (32cm + 8cm) = 80cm 80c m per (ECD) = EC + CD + DE = 32cm 32 cm + 2 . 24cm = 80c m 89. Juan tiene 2700 bolitas y Matías tiene 150. Juan le entrega a Matías 75 bolitas por día. ¿Dentro de cuántos días, Matías y Juan tendrán la misma cantidad de bolitas? SOLUCIÓN
í í í
J −→ 2700 bolitas – 75
. x días
M −→ 150 bolitas – 75
. x días
Para que tengan igual cantidad de bolitas: 2700 bolitas - 75
. x días = 150 bolitas - 75
2700 bolitas - 150 bolitas = 150
⇒
í
í
. x días
. x días
días = x días = x = 17 días
En 17 días tendrán la misma cantidad de bolitas. 90. Se dispone de pintura de 3 colores distintos: verde, rojo y azul.
Usando todos o algunos de los colores se s e quiere pintar cada casilla de un color de modo que las casillas que tienen un lado común sean de distinto color. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Explica cómo.
61
SOLUCIÓN Realizamos un diagrama de Árbol tomando como primera bolita la verde y combinándola con la roja y la azul. De cada una de las segundas bolitas se trazan fichas que llevan a bolitas del tercer color y así sucesivamente con las primera bolitas rojas y azules. V
R
A
R
V
R
A
R
A
R
A
R
A
R
A
V
R
A
R
R
R
A
R
A
V
A
R
A
R
V
V
R
A
V
R
R
A
R
V
A
A
R
A
V
A
V
R
A
V
A
R
A
R
V
R
A
R
A
V
R
V
R
V
A
R
R
A
V
A
R
A
R
V
A
R
V
R
V
A
V
R
A
V
A
V
A
R
V
A
V
V
R
V
R
V
R
A
V
R
A
A
R
V
R
A
V
R
V
R
A
R
A
V
R
V
A
R
V
R
V
V
A
R
A
R
R
V
A
R
A
A
V
A
R
A
V
A
R
A
V
R
V
A
R
V
A
V
A
R
V
V
A
R
V
A
R
V
A
V
A
A
V
A
V
A
V
A
R
V
R
R
V
A
V
R
A
V
A
V
R
V
A
V
A
R
R
V
R
A
R
A
V
R
A
R
V
A
V
A
V
R
V
R
A
V
A
V
R
A
V
V
A
V
R
A
R
V
R
V
A
A
V
R
V
A
V
A
V
R
V
R
V
R
V
R
A
V
R
V
R
En total se pueden realizar 48 combinaciones. 91. Sofi escribe todos los números pares, menores que 2011 y que tienen la suma de las cifras igual a 18. ¿Qué números escribe Sofi? ¿Cuántos son? SOLUCIÓN
62
198
684
882
1296
1656
1836
288
648
828
1368
1674
1818
378
666
954
1386
1638
1872
396
756
936
1494
1692
1890
468
774
918
1476
1764
1980
486
738
972
1458
1746
1962
594
792
1098
1584
1782
1944
576
864
1188
1548
1728
1926
558
846
1278
1566
1854
1908
En total hay 54 casos posibles.
92. Un cuadrado se corta en cuatro tiras rectangulares iguales.
Se colocan las tiras en la formando un rectángulo como el de la figura, que tiene 170 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado que se recortó? SOLUCIÓN per (fig) = 170cm 8l + 2a = 170cm 17 0cm a=
8l + = 170cm
⇒
16l + l = 340cm
per (cuad) = 4 . 20cm = 80cm
⇒
l = 20cm
93. Daniel y Fabián juntan dinero para gastar en las vacaciones. Daniel tiene la mitad de lo que tiene Fabián. Si cada uno tuviera $ 13 más, entre los dos tendrían $ 218. ¿Cuánto dinero tiene Fabián? SOLUCIÓN
63
D=
D + $13 + F + $13 = $218
+ F = $218 - $13 - $13 = $ 192
⇒
3F = 2 . $192
⇒
F = $
F = $128
.
D = $64 94. En un campo rectangular de 130 m de perímetro se separa un corral en forma de triángulo equilátero como muestra la figura. Para cercar el corral con 2 vueltas, se usan 102 m de ala mbre. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del campo rectangular? SOLUCIÓN Tomando desde el vértice inferior izquierdo y contando en el sentido opuesto al de las agujas del reloj, lamamos a cada punto: A, B, C, D, E per (ACDE) = 130m per (ABE) = 51m CD = AB
⇒
AB = BE = AE = AB = 17m 2 (AB + BC + CD) = 130 Como AE = CD = 17m, queda: 2 (17m + BC + 17m) = 130m
⇒
2BC = 130m - 68m = BC = 31m AC = AB + BC = 17m + 31m = 48m 95. Lucas tiene veinte billetes de $2, veinticinco billetes de $5 y ocho billetes de$10. Para comprar un libro que cuesta $102, ¿de cuántas maneras puede reunir el dinero de modo que no le tengan que dar vuelto? Da todas las respuestas posibles. SOLUCIÓN El libro cuesta $102 y quiere pagarlo con la siguiente cantidad de billetes que posee. 20b −→ $2 25b −→ $5
64
8b −→ $10 Estas son todas las maneras distintas de hacerlo: 2
5
10
-
2
5
10
-
2
5
10
1
1
20
0
-
13
6
12
3
-
25
11
4
6
2
1
18
1
-
14
6
10
4
-
26
11
2
7
3
1
16
2
-
15
6
8
5
-
27
11
0
8
4
1
14
3
-
16
6
6
6
-
28
16
14
0
5
1
12
4
-
17
6
4
7
-
29
16
12
1
6
1
10
5
-
18
6
2
8
-
30
16
10
2
7
1
8
6
-
19
11
16
0
-
31
16
8
3
8
1
6
7
-
20
11
14
1
-
32
16
6
4
9
1
4
8
-
21
11
12
2
-
33
16
4
5
10
6
18
0
-
22
11
10
3
-
34
16
2
6
11
6
16
1
-
23
11
8
4
-
35
16
0
7
12
6
14
2
-
24
11
6
5
-
-
-
-
-
96. Laura escribió un libro de 1276 páginas sobre el ñandú. Ella misma numeró todas las páginas a mano. ¿Cuántas veces escribió el número 6? SOLUCIÓN Como unidad 1 al 100 −→ 10 veces 1 al 1200 −→10 . 12 = 120 veces 1201 al 1276 −→ 8 veces Total como unidad −→120veces + 8 veces = 128 veces
65
Como decena 1 al 100 −→ 10 veces 1 al 1200 −→10 . 12 = 120 veces 1201 al 1276 −→ 10 veces Total como decena −→120veces + 10 veces = 130 veces Como centena 1 al 1276 −→ 100 veces Total general −→ 128 veces + 120 veces + 100 veces = 358 veces 97. Juan tenía $240 para gastar durante el mes de agosto. Pudo ahorrar los tres octavos. En útiles gastó el doble de lo que gastó en diversión. En ropa gastó tanto corno gastó en útiles y en diversión. ¿Cuánto dinero gastó en útiles? SOLUCIÓN J −→$240 ahorró
−→
R+U+D=
. $240
. $240
R=U+D U = 2D
2D + D + 2D + D = $150 6D = $150 D=$
= $25
U = 2D = 2 . $25 = $50 R = U + D = $50 + $25 = $75 98. En la figura hay varios triángulos: CDE es equilátero; ABF es isósceles con AF = BF; ABF, BCF y AFE son iguales; ABF y CDE tienen igual perímetro. Si el pentágono ABCDE tiene 75 cm de perímetro, cuál es la longitud de AB?
66
SOLUCIÓN CDE equilátero
⇒
ABF−→ isósceles = AF = BF ABF, BCF, AFE iguales per (ABF) = per (CDE) per (ABCDE) = 75cm ¿AB? CD = DE = CE AB + BC + CD + DE + EA = 75cm AF + FA + FB = 3.CD FA = FB = BC = EA Sean: x = CD y = BC AB + 2y + 2x = 75cm AB + 2y = 3x Queda:
⇒
3x + 2x = 75cm = x =
cm = 15cm
CD = DE = CE = x = 15cm per (ABF) = 45cm
⇒
AB = CE = AB = BC = EA =
(45 cm -
cm cm) =
(90cm - 15cm) =
cm
99. Tres ladrones, A, B y C, se repartieron en partes iguales un botín. 67
La primera noche, mientras C dormía, A y B le quitaron la mitad de lo que tenía, y se lo repartieron en partes iguales. La segunda noche, mientras A dormía, B y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. La tercera noche, mientras B dormía, A y C le quitaron la mitad de lo que tenía y se lo repartieron en partes iguales. A la mañana siguiente se separaron para siempre. Determinar de cuánto dinero era el botín que se repartieron los tres ladrones. SOLUCIÓN
Botín −→ (A, B, C) = (65, 50, 77) 100. Un marciano tiene 321 pesos en monedas de 1 peso, de 5 pesos y de 25 pesos. Si tiene igual cantidad de monedas de 1 peso que de 5 pesos, determinar cuántas monedas de cada clase puede tener. Dar todas las posibilidades. SOLUCIÓN x + 5y + 25z = $321 x=y 6x + 25z = $321 Sea x = 16 =
⇒ ⇒
z =
Sea x = 41 = z =
$ $
($321- 16. $6) = 9 ($25321- 41. $6) = 3
101. Esta mañana Alicia salió de compras. Gastó la cuarta parte del dinero que tenía al comprar un libro de cuentos. Después, con la mitad de lo que le quedó, compró un disco compacto. Cuando volvió a su casa, su abuela le regaló $ 7. Entonces contó cuánto dinero tenía y resultó ser la mitad de lo que tenía al salir de compras. ¿Con cuánto dinero salió Alicia de compras esta mañana? SOLUCIÓN
D −→ libro 68
. D −→ disco
$7 −→ abuela D-
D-
D + $7 =
D
$ 7 = D + D + D – D
⇒
$7 = (4D + 2D + 3D - 8D) = D = $56 102. Para ver durante los tres días del fin de semana largo: sábado, domingo y lunes, se alquilan 6 películas de distintas clases: 3 de aventuras, 2 de dibujos animados y 1 musical. En el fin de semana se quiere ver una vez cada película y 2 películas de distinta clase cada día. ¿De cuántas maneras puede hacerse? SOLUCIÓN S
D
L
S
D
L
MA1 D1 A2
D2 A3
MA1 D1 A3
D2 A2
MA1 A2D1
A3D2
MA1 A3D1
A2D2
MA1 D1 A2
A3D2
MA1 D1 A3
A2D2
MA1 A2D1
D2 A3
MA1 A3D1
D2 A2
A1M D1 A2
D2 A3
A1M D1 A3
D2 A2
A1M A2D1
A3D2
A1M A3D1
A2D2
A1M D1 A2
A3D2
A1M D1 A3
A2D2
A1M A2D1
D2 A3
A1M A3D1
D2 A2
MA1 D2 A2
D1 A3
MA1 D2 A3
D1 A2
MA1 A2D2
A3D1
MA1 A3D2
A2D1
MA1 D2 A2
A3D1
MA1 D2 A3
A2D1
MA1 A2D2
D1 A3
MA1 A3D2
D1 A2
A1M D2 A2
D1 A3
A1M D2 A3
D1 A2
A1M A2D2
A3D1
A1M A3D2
A2D1
A1M D2 A2
A3D1
A1M D2 A3
A2D1
A1M A2D2
D1 A3
A1M A3D2
D1 A2
Hasta acá mantuve MA 1para el sábado.
69
Un esquema similar ocurrir a para cada día. Ahí tendría 3 . 32 = 96 maneras distintas para ver todas las películas. Combinando a M cada día con las variables A 2 y A3, quedan 96 . 3 = 288 maneras distintas de ver todas las películas el fin de semana largo. 103. Con dos cuadrados iguales y dos triángulos iguales se arman las figuras: A, B y C. La figura A tiene 74 cm de perímetro, la B tiene 84 cm de perímetro y la C tiene 82 cm de perímetro. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados de uno de los triángulos iguales?
SOLUCIÓN
∧
Sean ABOF BCDO cuadrados iguales Sea DEO = OEF = AFX = CDE = DEX escaleno AB + BC + CD + DE + DE + EF + FA = 74 AB + BC + CE + DE + DO + FO + FX + XA = 84 AB + BC + CE + EX + XD + DO + OF + FA = 82 Sean: AB = BC = CD = DO = FO = FA −→ α DE = EF −→ β CE = AX = XD = γ
Queda: 4 α + 2 β = 74 4 α + 2 β + 2γ = 84 6 α + 2 γ = 82 Se simplifica dividiendo por 2: 2 α + β = 37 2 α + β + γ = 42 3 α + γ = 41 Si analizamos las dos primeras ecuaciones queda que:
70
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
γ = 42 - 37 =
γ=5
Reemplazando en la tercera ecuación: 3 + 5 = 41
= 841 – 5)
= 12
En la segunda ecuación queda: 2 .12 + β + 5 = 42 =
β = 42 - 5 - 24 =
β = 13
(α, β, γ) = (12, 13, 5)
104. Los Peli son socios de un videoclub que cobra $4 por el alquiler de una película para mayores y $3 por el alquiler de una película para niños. Cada mes alquilan películas para niños y películas para mayores y gastan $ 48 por mes. En enero alquilaron 3 películas para mayores. En febrero alquilaron un tercio de las películas para niños que alquilaron en enero. En marzo alquilaron más películas para mayores que en enero pero menos que en febrero. ¿Cuántas películas para niños alquilaron en marzo? SOLUCIÓN M = $4 y N = $3 E) 3 . $54 + y . $3 = $48 F) x. $4 +
. $3 = $48
M) x´. $4 + y´. $3 = $48
$ $
$ $
E) ($48 – 3 . $4) =
($48 – $12) = 12
F) ($48 –
($48 – $12) = 9
. $3) =
3 < x’ < 9 x’
4 5 6 7 8
y’
48 -16 48 - 20 48 – 24 48 - 28 48 - 32
→ → → → →
mcd no no 8 no no
(x’ , y’) = (6, 8)
En marzo alquiló 6 películas para mayores y 8 para niños. 105. Las barras de la figura A tienen igual ancho. La más pequeña es un cuadrado y entre dos consecutivas la diferencia de alturas es de 10 cm. Reordenándolas se arma la figura B que tiene 270 cm de perímetro. 71
¿Cuál es el perímetro de cada una de las barras?
SOLUCIÓN per (B) = 270cm AB = BC = CD = DE ¿per de cada barra?
∧
MA + 10cm = KL KL + 10cm = IJ IJ + 10cm + GH MA = AB = BL IC + HK + JG + MF + LB + 8AB = 270cm IC = MA + 20cm HK = 10cm JG = 20cm FM = 30cm
⇒
MA + 20cm+ 10cm + 30cm + MA + 8MA = 270cm = MA = per (ABLM) = 4AB = 4 . 19cm = 76cm
cm = 19cm
per (BCKJ) = BC + CJ + JK + BK = 2 (BC + CJ) = 2 ( 19cm + 29cm) = 96cm per (CDHI) = CD + DH + HI + CI = 2 (CD + DH) = 2 . (19cm + 39cm) = 116cm per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2. (19cm + 49cm) = 136cm 106. Sobre la mesa había un dado blanco, uno rojo, uno verde y 24 fichas iguales. Ana tomó un dado y 1 ficha, Ema tomó un dado y 2 fichas, Olga tomó un dado y 3 fichas. 72
Después, la que tenía el dado verde llevó tantas fichas como ya tenía, la que tenía el dado blanco llevó el doble de las fichas que tenía y la que tenía el dado rojo llevó 4 veces lo que tenía. ¿Es posible que quedaran 4 fichas sobre la mesa? Explica por qué. SOLUCIÓN A −→1 D + 1F E −→ 1D + 2 F O −→ 1D + 3F B R V A E O −→ 1 A O E −→ 2 E A O −→ 3 E O A −→ 4 O A E −→ 5 O E A −→ 6
CASO 1 Sea A −→ (B + 1 + 2) E −→(R + 2 + 8) O−→ (V + 3 + 3) quedan 5
CASO 2 Sea A −→ (B + 1 + 2) E −→ (V + 2 + 2) O −→ (R + 3 + 12) quedan 2
CASO 3 Sea A −→ (R + 1 + 4) E −→ (B + 2 + 4) O−→ (V + 3 + 3) quedan 7
73
CASO 4 Sea A −→ (B + 1 + 1) E −→ (B + 2 + 4) O −→ (R + 3 + 12) quedan 1
CASO 5 Sea A−→ (R + 1 + 4) E −→ (V + 2 + 2) O −→ (B + 3 + 6) quedan 6
CASO 6 Sea A −→ (V + 1 + 1) E −→ (R + 2 + 8) O −→ (B + 3 + 6) queda n 3
107. Aldo y Bea escribieron cada uno una fracción. Aldo escribió una fracción que tiene el denominador 4 unidades mayores que el numerador. Bea escribió una fracción con numerador igual al de la fracción de Aldo y denominador 5 unidades mayores que el denominador de la fracción de Aldo.
La fracción de Bea es equivalente a . ¿Cuál es la fracción que escribió Aldo? Cuál es la fracción que escribió Bea? SOLUCIÓN
=+ + + ⇒ A −→ B −→
=
=
⇒ ∧ ∧
x + 9 = 2x = x = 9 y = 13 18
A) −→ B) −→
108. Carlos tiene dos piezas triangulares pequeñas y dos piezas triangulares grandes. 74
Cada pieza triangular pequeña tiene 36 cm de perímetro. Cada pieza triangular grande tiene 48 cm de perímetro. Carlos arma: Con las dos piezas triangulares pequeñas, un rectángulo de 42 cm de perímetro. Con las dos piezas triangulares grandes, un rectángulo de 56 cm de perímetro. Con las 4 piezas, el rectángulo de la figura, de 74 cm de perímetro. ¿Qué longitud tiene cada uno de los lados de las piezas triangulares?
SOLUCIÓN AB + BE + EA = 36cm AB + FA + BC = 37cm BE + BC + CE = 48cm BE + BC = 28cm FA + AB = 21cm
⇒
(AB + FA) + BC = 37cm = BC = 37cm - 21cm = 16cm
⇒
BE + BC = 28cm = BE = 28cm - 16cm = 12cm
⇒
⇒
FA = BE = FA + AB = 21cm = AB = 21cm - 12cm = 9cm
⇒
AB + BE + EA = 36cm = EA = 36cm - 9cm - 12cm = 15cm CE = 48cm - 12cm - 16cm = 20cm 109. Con papeles de colores: rojo, verde y azul, se quieren cubrir las franjas de este barrilete de manera que haya por lo menos una franja de cada color y que las franjas que tienen un lado en común sean de colores distintos. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
75
SOLUCIÓN Existen dos casos, los colores se pueden dividir en (3, 2, 1) casillas y (2, 2 ,2) casillas Caso (3, 2, 1) Un color puede estar en las casillas 1, 3, 5 o en las 2, 4, 6. En c/u de estas opciones los otros colores pueden combinarse de 6 maneras distintas. Caso (2, 2, 2) Hay 2 maneras de dividir las casillas y agruparlas de a 2 i) ii)
Al primer color le asigno el grupo (2, 4), al segundo (3,5) y al tercero el (1,6) Relacionando estos minigrupos obtengo 6 combinaciones ii) Otra manera similar es formar los minigrupos (2, 6), (1,5) y (3,4). Así obtengo 6 combinaciones distintas.
En el caso (3, 2, 1) hay 12 combinaciones para cada color y en el caso (2, 2, 2) otras 12. En total hay 48 maneras de combinar todos los colores Caso (3, 2, 1) con tres R 123456 R A R A R V RVRVRA R A R V R V R V R A R V RVRARA RARVRA
76
VRVRAR A R A R V R A R V R V R VRARAR VRARVR A A R V A R
Caso (3, 2, 1) con tres A 123456 A R A R A V A V A V A R A R A V A R A V A R A V A V A R A R A R A V A V RAVAVA VARARA VARAVA RAVARA VAVARA RARAVA
Caso (3, 2, 1) con tres V 123456 VRVRVA VAVAVR VRVAVR VAVRVA VAVRVR VRVAVA V R V R A V A V A V R V
77
R V A V R V A V R V A V A V R V R V R V A V A V
Caso (2, 2, 2) 123456 V R A R A V A R V R V A RAVAVR V A R A R V A V R V R A RVAVAR A R V V A R VRAAVR VARRVA RAVVRA R V A A R V A V R R A V
110. La cooperadora de la escuela compró libros de cuentos. Por una promoción le regalaron 1 libro por cada docena de libros que compró. Le enviaron 273 libros en total. Compró libros de $ 8 y libros de $ 4. Pagó $ 1536 en total. ¿Cuántos libros le regalaron? ¿Cuántos libros de $ 8 y cuántos libros de $ 4 compró? SOLUCIÓN regalan 1l por cada 12l de compra Total = 273l xl = $8 yl = $4 78
Pagó $1536 8x + 4y = $1536 x+y +
(x+y) = 273
Dividiendo por 2: 2x + y = 384
( 12 x + 12y + x + y) = 273
y = 384 - 2x = 252 - x
⇒
13x + 13 y = 3276
⇒
x + y = 252
x = 384 - 252= 132 −→ $8 y = 384 - 2 . 132 = 120 −→$4 le regalaron 273l - 132l = 120l = 21l 111. La figura está partida en un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.
CD = DE El perímetro de BCDEF es 6 cm más que el perímetro del triángulo CDE. El perímetro del rectángulo ACEG es 38 cm. El perímetro de la figura es 50 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados de BCDEF? SOLUCIÓN CD = DE per (BCDEF) = per (CDE) + 6cm per(ACEG) = 38cm per (ABCDEFG) = 50cm ¿Cuánto mide cada lado de (BCDEF)? BC + CD + DE + EF + FB = CD + DE + CE + 6cm AB + BC + CE + EF + FG + GA = 38cm 79
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 50cm Si AB = BF = CE = FG = GA −→ x CD = DE −→ y BC = EF −→ z
Queda:
4 x + 3 x + 2y
2z
= 6cm
2z
= 38cm
2z
De aquí: z = 3cm
⇒
= 50cm
4x = 38cm - 6cm = x = . 32cm = 8cm y=
(50cm - 6cm - 24cm) = 10cm
112. Camila dibujó un triángulo equilátero. Marc los vértices y, sobre cada lado, marcó dos puntos. ¿Cuántos triángulos que tengan sus tres vértices en los puntos marcados puede dibujar?
SOLUCIÓN (ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ACE), (ACF), (ACG), (ACH), (ACI), (ADE), (ADF), (ADG), (ADH), (ADI), (BCE), (BCF), (BCG), (BCH), (BCI), (BDE), (BDF), (BDG), (BDH), (BDI), (CDE), (CDF), (CDG), (CDH), (CDI), (BEF), (BEG), (BEH), (BEI), (BFG), (BFH), (BFI), (BGH), (BGI), (CEF), (CEG), (CEH), (CEI), (CFG), (CFH), (CFI), (CGH), (CGI), ((AEF), (AEG), (AEH), (AEI), (AEG), (AFH), (AFI), (DIE), (DIF), (DIG), (DIH), (DEH), (DFH), (DGH), (EGH), (EGI), (EFH), (EFI), (FGH), (FGI) 113. En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan los dos cuadrados. Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la suma de los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.
80
SOLUCIÓN Si sumamos cada lado del rombo y del cuadrado encontramos el siguiente sistema donde cada suma da 33: B + C + 27 H + I + 26 + F + 26 + D + G + 13 A + 33 F + H + 25 A + D + E + 16 E + I + G + 15 Supongo: A = 1, queda: A+ 33 = 1 + 33 = 34 B+C=7 H+ I = 7 B+F=8 C + D + G = 21 F+H=9 D + E = 17 E + I + G = 19 Resolviendo: A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
2
5
9
8
6
7
3
4
81
114. Beto colecciona estampillas que guarda en cajas. Tiene 26 cajas y en cada caja hay 36 estampillas. Hoy vio que algunas cajas estaban rotas, decidió vaciar todas las cajas y tirar las rotas. Para poder guardar todas sus estampillas en las cajas que le quedaron, tendrá que sumar al número de estampillas que había en cada caja, 2 estampillas por cada una de las cajas que tiró. ¿Cuántas cajas tiró? SOLUCIÓN
⇒
S + R = 26 = S = 26 - R (36 + 2R) . S = 936 (36 + 2.R) (26 - R) = 936 936 - 36R + 52R - 2R 2= 936 2R2 - 16R = 0
⇒
⇒ ∨
R2 - 8R = 0= R (R - 8) = 0 = R = 0 R = 8 (36 + 2 . 8) . (26 - 8) = 936
(36 + 2 . 8) = 52 estampillas por caja (26 - 8) = 18 cajas sanas 115. Todas las semanas, Matías recibe una cuota para sus gastos. Una semana ahorró la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorró la cuarta parte de la cuota de esa semana. Así va alternando: una semana ahorra la mitad y la siguiente semana ahorra la cuarta parte. De este modo, en 48 semanas ahorró $ 288. ¿Cuál es su cuota semanal? SOLUCIÓN
semana impar −→ x
semana par −→ x Se repite 24 veces y en 48 semanas junta $288
24 . ( x ) + 24. ( x) = $288 ( + ) x = $
( 2 + 1) x = $ 12
⇒
x =$
.
= $ 16
82
116. Un sobre rectangular, abierto tiene 82 cm de perímetro; cerrado su perímetro es de 80 cm. La solapa es triangular y tiene 50 cm de perímetro. Indica cuánto miden los lados del sobre y los de la solapa.
SOLUCIÓN per (ABCDE) = 82cm per (ABCD) = 80cm per (ADE) = 50cm AB + BC + CD + DE + EA = 82cm AB + BC + CD + AD = 80cm AD + DE + AE = 50cm Sean: AB = CD −→ x BC = AD −→ y DE = AE −→ z
Queda el sistema:
22 2 2 8082 2 50 ∆ 220 121 202 8 2 1 2 ∆ 85 00 21 02 = det
= det
=8
= 128
83
2 8 2 2 ∆ 20 85 00 02 ∆ 220 121 885 200 = det
= 192
= det
= 104
∆∆ ∆∆ ∆∆
X=
=
= 16
y=
=
= 24
=
= 13
z=
117. Todas las semanas, Matías recibe una cuota para sus gastos. Una semana ahorra la mitad de la cuota de esa semana, la semana siguiente ahorra la tercera parte de la cuota de esa semana y la siguiente, ahorra la cuarta parte de la cuota de esa semana. Así va alternando: una semana ahorra la mitad, la siguiente semana ahorra la tercera parte y la siguiente, ahorra la cuarta parte. De este modo, en 48 semanas ahorró $ 312. ¿Cuál es su cuota semanal? SOLUCIÓN semana 1 −→ semana 2 −→ semana 3 −→
se repite 16 veces en 48 semanas ahorra $312
++
16 . ( x) + 16 . ( x) + 16 . ( x) = $312 16 . ( + + ( + + (
) x = $312
⇒ ⇒ . . ⇒
)x=$
) x = $
x = $
x = $
x = $ 18
118. En un examen, el promedio de las notas de todos los a lumnos que aprobaron es 6,5 y el promedio de las notas de todos los alumnos que no aprobaron es 3,5. El promedio de las notas de todos los alumnos que rindieron el examen es 5,3. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que aprobaron el examen? 84
SOLUCIÓN promedio de aprobado −→ 6,5 promedio de no aprobado −→ 3,5 promedio general −→ 5,3 x −→ aprobados y −→ no aprobados
x . 6,5 + y . 3,5 = (x + y) . 5,3 6,5x - 5,3x + 3,5y - 5,3y = 0 1,2x = 1,8y 12x = 18y
2x = 3y −→ x = y
x + y = 100% y + y = 100%
⇒
⇒
⇒
y = 100% = y = 40% = x = 60%
aplazos −→ 40% aprobados −→ 60%
119. Con tres dígitos distintos A, B, C se forman los tres números enteros positivos ABC, BCA, CAB. La multiplicación de los tres números ABC. BCA. CAB es un número de 9 cifras que se forma con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8. Se sabe además que el dígito de las unidades es el 6. ¿Cuáles son los tres dígitos A, B, C? SOLUCIÓN A. B. C = X X=________6 Hago distintos cálculos con ABC. BCA. CAB y logro que: (A, B, C) = (9, 8, 3) ABC. BCA. CAB = 983. 839. 398 = 328245326 120. Gastón escribe, uno en cada renglón, todos los números de 3 cifras que tienen la s cifras ordenadas de mayor a menor y distintas de cero. Después, al lado de cada uno, escribe el número que se obtiene intercambiando la cifra de las centenas con la de las unidades.
85
Pedro suma los dos números de cada renglón. ¿Cuántos números distintos, de 3 cifras, puede obtener Pedro? SOLUCIÓN 652 + 256 = 908
531 + 135 = 666
651 + 156 = 807
521 + 125 = 646
643 + 346 = 989
721 + 127 = 848
642 + 246 = 888
731 + 137 = 868
641 + 146 = 787
741 + 147 = 888
632 + 236 = 868
821 + 128 = 949
631 + 136 = 767
831 + 138 = 969
621 + 126 = 747
841 + 148 = 989
543 + 345 = 888
432 + 234 = 666
542 + 245 = 787
431 + 134 = 565
541 + 145 = 686
421 + 124 = 545
532 + 235 = 767
321 + 123 = 444
Se forman los siguientes números distintos: 444 646 747 807 888 969 545 666 767 848 908 989 565 686 787 868 949 121. Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursión. La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad y Ceci ahorró $8 menos que Ana y Bea juntas. Esta semana, Ana ahorró el doble de lo que había ahorrado la semana pasada, Bea ahorró la mitad de lo que había ahorrado la semana pasada y Ceci ahorró lo mismo que la semana pasada. Esta semana, entre las tres juntaron $ 226. ¿Cuánto ahorró cada una esta semana? SOLUCIÓN C=A+B-8 semana 1 −→ A = B semana 1 −→ 2A +
2A +
+ C = $226
+ A + B - 8 = $226 86
2A +
+ A + A - 8 = $226 −→
B = C = 2 . 52 – 8 = 96
A = $234 −→ A = $
−→ A = 52
(A, B, C) = (52, 52, 96) 122. Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes:
perímetro fig. I = 86 cm perímetro fig. II = 140 cm perímetro fig. III = 126 cm ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos? SOLUCIÓN per (I) = 86cm per (II) = 140cm per (III) = 126cm t y T isósceles BD = DC AB = BD = DE = EA = CD = x BF = DF = y BC = z BC + CD + BF + DF = 86 AB + BC + CD + DE + EA = 140 AB + DE + EA + BF + DF = 128 Queda el sistema: 87
4 2 14086 3 122 1 126 ∆ 43 02 10 ∆ 14012686 022 101 1 86 1 ∆ 43 140126 10 ∆ 143 202 14012686 ∆ = det
= 12
= det
= 360
= det
= 216
= det
= 492
x= y= z=
∆ ∆∆ ∆∆
=
= =
= 30
= 18 = 41
123. En los vértices del hexágono de la figura, se escriben, de menor a mayor siguiendo el sentido que señala la flecha, todos los múltiplos de 4 menores que 2011. Se escribe el 4 en A, el 8 en B, el 12 en C, etc. ¿Cuál es el último número que se escribe? ¿En qué vértice se escribe este número?
SOLUCIÓN
88
Existen 502 múltiplos de 4 El último múltiple de 4 es el 2008 Se escribe en el vértice D 124. Ana, Bea y Ceci ahorraron para irse de excursión. Ana ahorró el doble que Bea y Ceci ahorró $5 menos que Ana. Entre las tres juntaron $ 130. ¿Cuánto ahorró cada una? SOLUCIÓN Sean A, B y C
⇒
⇒
A = 28 y C = A – 5 = B = y C = A - 5 A + B + C = 130 A+
+ A – 5 = 130 =
A
A = (135. 2) B= =
= 27
C = A - 5 = 54 - 5 = 49 (A, B, C) = (54, 27, 49) 125. Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes:
perímetro fig. I = 86 cm perímetro fig. II = 146 cm. En T, el lado desigual mide las dos terceras partes de lo que mide cada uno de los otros lados. Cuánto mide cada uno de los lados de la figura II? SOLUCIÓN 89
per (I) = 86cm per (II) = 146cm AB = AD BC = CD −→ x AD = BD = DE = EF = FA −→ y
AB = y AB + BC + CD + DA = 86 AB + CD + DE + EF + FA = 146
86 ∆ 146 ∆ 22 14686 ∆ x= y=
= det
= 72
= det
= 120
∆ ∆∆ =
= 18
=
= 30
AB = y = = . 30 = 20 126. Un comerciante compró 100 bolsas de papas por $600. Vendió los de las bolsas por $480. Quiere obtener $240 de ganancia por el total de las bolsas. ¿A cuánto debe vender cada una de las bolsas que quedan? SOLUCIÓN T = 100b −→ $600 vendió −→
T −→ $480
quiere tener $240 de ganancia ¿Cuánto cuesta 1b de papas restantes?
T = . 100b = 60b
60b −→ $480
90
restan: 100b - 60b = 40b ganancia = precio de venta - precio de compra G = ($480 + x) - $600 $240 + $600 = $480 + x x = $240 + $600 - $480 x = $360 40b −→ $360 1b −→ x = $ 1b −→ $9
= $9
127. Roxana tiene 5 primas: Ani, Bibi, Ceci, Gabi y Mili y 4 primos: Dani, Edu, Seba y Tomi. Quiere invitar a 2 primas y a 3 primos para el próximo sábado. ¿De cuántas maneras distintas puede armar Roxana su grupo de invitados? Enuméralas. SOLUCIÓN A, B, C, G, M −→ grupo de 2 D, E, S, T −→ grupo de 3 G2 −→ (A, B), (A, C), (A, G), (A, M), (B, C), (B, G), (B, M), (C, G), (C, M), (G, M) G3−→ (D, E, S), (D, E, T), (D, S, T), (E, S, T) Debo tomar cada grupo de 2 con un grupo de 3. No importa el orden Se obtienen las 40 combinaciones siguientes:
91
AB - DES
AC- DES
AG- DES
AM- DES
BC- DES
AB - DET
AC - DET
AG - DET
AM - DET
BC - DET
AB - DST
AC - DST
AG - DST
AM - DST
BC - DST
AB - EST
AC - EST
AG - EST
AM - EST
BC - EST
-
-
-
-
-
BG- DES
BM- DES
CG - DES
CM- DES
GM- DES
BG - DET
BM - DET
CG - DET
CM - DET
GM - DET
BG - DST
BM - DST
CG - DST
CM - DST
GM - DST
BG - EST
BM - EST
CG - EST
CM - EST
GM - EST
128. El cuadrado ABDE y el triángulo isósceles BCD (BC=CD) tienen igual perímetro. El polígono ABCDE tiene 72 cm de perímetro. Cuál es la longitud de BC?
SOLUCIÓN BC = CD AB = BD = DE = EA per (ABDE) = 72cm ¿BC? per (ABDE) = 4AB per (BCD) = BD + BC + CD = BD + 2BC = AB + 2AB 4AB = AB + 2BC
⇒
⇒
4AB - AB = 2BC = 3AB = 2BC = AB = BC 92
AB + BC + CD + DA = 72cm 3AB + 2BC = 72 cm
⇒ ⇒
3 . BC +2 BC = 72 cm
⇒
2BC + 2BC = 72cm = ABC = 72cm = BC = 18cm 129. Por $7 se compran: 5 alfajores, 1 chocolate y 4 turrones. Cada alfajor cuesta un tercio de lo que cuesta un chocolate. Cada chocolate cuesta el doble de lo que cuesta un turrón. ¿Cuál es el precio de cada golosina? SOLUCIÓN 5a + 1c + 4t = $7 a=
c
c = 2t
5a + 1c + 4t = 5( c) + 1c + 4t = 5( . 2t) + 2t + 4t = 5a + 1c + 4t = (10t + 6t + 12t) = =
⇒
⇒
= 28t =$21 = t = $ 1t −→ $0,75 1c = 2i = 2 . $ a=
.$
t = $7 =
⇒
= $ = $0,75
= $ = $1,50
= $ 0,50
130. Pablo tiene cuatro cajas con lápices. En la caja celeste tiene 4 lápices; en la caja naranja 5 lápices; en la roja 6 y en la verde 7 lápices. Puede hacer alguno de los siguientes movimientos en cualquier orden: Elegir 3 cajas, sacar un lápiz de cada una de estas cajas y poner los 3 en la caja restante. Sacar 3 lápices de una caja y poner 1 en cada una de las 3 cajas restantes. Después de varios de estos movimientos, en la caja celeste quedan 5 lápices y en la caja verde quedan 12 lápices. ¿Cuántos lápices quedan en la caja naranja y cuántos en la caja roja? Muestra cómo llegaste a la respuesta. SOLUCIÓN 4 cajas −→ (c, n, r, v) −→ (4L, 5L, 6L, 7L)
⇒
paso 1: (c, n, r) −→ (3L, 4L, 5L) = v = 10L paso 2: saco 3L de n −→ (c, n, r, v) −→ (4L, 1L, 6L, 11L) 93
paso 3: saco 3L de r −→ (c, n, r, v) −→ (5L, 2L, 3L, 12L) 131. Sobre una recta se marcan los puntos A, B, C, y D en ese orden. M es el punto medio del segmento AB N es el punto medio del segmento CD MN = 7cm. ¿Cuál es la longitud de la suma de los segmentos AC + AD + BD + BC? SOLUCIÓN MN = MB + BC + CN ¿AC + AD + BD + BC? AC = AM + MB + BC AD = AM + MB + BC + CN + ND BC = MN - MB - CN BD = BC + CN + ND AC + AD + BD + BC = = AM + MB + MN - MB - CN + MN - MB - CN + AM + MB +MN - MB - CN + CN + ND + MN - MB - CN + CN + ND si: AM = MB CN = ND AC + AD + BD + BC = 4 MN = 4 . 7cm = 28cm
∧
132. Mario tiene que tomar un remedio durante 180 días. Y comienza el lunes La receta dice que debe tomarlo 2 días seguidos y descansar 1 día. Empieza a tomarlo un lunes. ¿Cuántas veces, en los 180 días, lo tomará un lunes y el martes siguiente? Explica por qué. SOLUCIÓN T = 180d lu
ma
X
X
X
mi
X X
X
ju
vi
X
X
X
sa
X X
X
do
X
X
Este esquema se repite cada 3 semanas.
= 25 sem + 5d
94
Procedemos de igual manera hasta la semana 24 y toma el remedio en martes y miércoles seguidos un total de 8 veces. En los últimos 12 días (1 sem + 5 días) el esquema será como en las dos primeras semanas por lo que se cumple que otra vez toma el remedio en lunes y martes seguidos, o sea que esta condición se cumple 9 veces. 133. Un rectángulo ABCD se divide en 9 rectángulos iguales trazando 2 rectas paralelas a un par de lados y 2 rectas paralelas al otro par de lados. Uno de estos 9 rectángulos se divide en 4 rectángulos iguales trazando 1 recta paralela a un par de lados y una recta paralela al otro par de lados. El perímetro de cada uno de los rectángulos más pequeños es de 5 cm. Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD? SOLUCIÓN
per (AEST) = 5cm −→ ¿per (ABCD)?
∧ ∧
⇒ ⇒
2AT = AM 3AM = AD = AD = 3AM = 3 . 2AT = 6AT AD = 6AT
2AE = AF 3AF = AB = AB = 3AF = 3 . 2AE = 6AE AB = 6AE
⇒ ⇒
Si AD = 6AT = AT = AD Si AB = 6AE = AE =
AB
per (AEST) = 2 (AE + AT) = 2 ( AB + AD) = AB + AD = 15cm
(AB + AD) = 5cm
95
per (ABCD) = 2 (AB + AD) = 2 . 15cm = 30cm 134. Dos comerciantes compran varias latas de jugo de frutas. El segundo compra el cuádruple de lo que compra el primero. El primero vende todas las latas que compró, ganando 10 centavos por lata. El segundo vende la tercera parte de las latas que compró ganando 12 centavos por lata. Si el segundo de los comerciantes quiere cuadriplicar la gan ancia del primero, ¿cuánto debe ganar por cada una de las latas que le quedan? SOLUCIÓN A −→ $0,10 L A B −→ B −→
x=
LA . $0,12 = $0,16 L A LA. $x = 4 . $0,10 L A- $0,16 L A
($0,40 L A- $0,16 LA ) = . $0,24 = $0,09
x = $0,09
135. Un grupo de personas quieren ir todas juntas de excursión. Hay dos agencias que hacen esa excursión: A y B. Las dos agencias tienen el mismo número de automóviles. La agencia A tiene 5 autos de 6 asientos y el resto de 4 asientos. La agencia B tiene 5 autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos. No pueden ir por la agencia A porque, aunque llenen todos los lugares disponibles, falta lugar para 14 personas. Yendo por la agencia B llenan todos los lugares disponibles y pueden viajar todos. ¿Cuántas personas forman el grupo? SOLUCIÓN tiene 5 autos de 6 asientos y el resto de 4 asientos tiene 5 autos de 4 asientos y el resto de 6 asientos A −→ 5 . 6a + x . 4a −→ (faltan 14 a) B −→ 5 . 4a + y . 6a −→ (total)
B - A = 14 asientos 20 a + 6y - 30 a - 4y = 14 a
⇒
⇒
-10a + 6y - 4x = 14 a= 6y - 4x = 14 a + 10 a = 6y - 4x = 24 a 96
⇒
6y - 4x = 24 a = y = (24a – 4x) B −→ 5 . 6a + (24 + 4x) 4 x) . 6a = 20 a + 144 1 44 a + 24x = 164 a + 24x B - A −→ (164 a + 24x ) - (30 a + 4x) = 14 a
⇒
⇒
164 a + 24x - 30 a - 4x = 14 a = 134 a - 20x = 14 a = 134 a - 14 a = 20x x = A−→ 5 . 6 a + 6 v. 4a + 14 a = 30 a + 24 a + 14 a = 68 a B −→ 5 . 4 a + 6y = 68 a =
⇒
a = 6 a
y = (68 a - 20 a) = 8v
136. Martin dibujó un rectángulo ABCD con el lado AB mayor que el lado BC. Sobre el lado AB marcó el punto R y sobre el lado CD el punto S de modo que el ABCD quedó dividido en el cuadrado ARSD y el rectángulo RBCS. El segmento RB mide 6 cm. El perímetro del rectángulo RBCS es igual a los cinco octavos del perímetro del cuadrado ARSD. Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD? SOLUCIÓN
AB > BC ARSD cuadrado RB = 6cm per (RBCS) =
per (ARSD)
¿per (ABCD)?
per (RBCS) = 2 (RB + BC) = 2 (6cm + BC) 8 . 2 (6cm + BC) = 5 per ( ARSD) = 5 . 2 (AR + RS) RS = BC = AR
97
⇒
96cm = 4 BC = BC = 24cm RB = 6cm
BC = SD = DA = AR = RS = 24cm 24c m AB = AR + RB = 24cm + 6cm = 30cm per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 2 (30cm ( 30cm + 24cm) = 2 . 5 4cm = 108cm 137. Con los dígitos: 1 - 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 - 4 se escriben números de 8 cifras. Aldo escribe números que empiezan en 1 y tienen los dos 3 separados por tres cifras. cifra s. ¿Cuántos de estos números puede escribir Aldo? Por ejemplo: Aldo puede escribir el número 13224341. Bruno escribe números que tienen: los dos 4 separados por cuatro cifras, los dos 3 separados por tres cifras, los dos 2 separados por dos cifras y los dos 1 separados por una cifra . ¿Cuál es el mayor de los números que escribe Bruno? SOLUCIÓN ALDO −→ 1 _ _ _ _ _ _ _ De las 7 casillas restantes existen tres posibilidades de colocar los números 3: los coloco en las casillas (2, 6), (3, 7) o (4, 8) En cada uno de estos casos habrá un grupo de tres dígito distintos de 3 y un grupo de dos dígitos distintos de 3. Puedo usar: 1_2_2_4_4. GRUPO 2 12
21
41
14
22
4224 44
A cada columna la llamo (x, y, z), respectivamente. A cada fila la llamo (1, 2, 3), respectivamente. GRUPO 3 A −→
B −→
12 21 22 221 11 24 42 22 14 41 44 12 21 98
C −→
D −→
E −→
14 41 44 441 24 42 44 442 24 22 42 242
CASO A: relaciono con (z, 3) CASO B: relaciono con (z, 2) y (y, 3) CASO C: relaciono con (y, 2) CASO D: relaciono con (x, 1) y (y, 1) CASO E: relaciono con (x, 2) y (z, 1) CASOS POSIBLES PARA ALDO 3. (CASO A + CASO B + CASO C + CASO D + CASO E) 3. (3 . 1 + 6 . 2 + 3 . 1 + 3 . 2 + 3 . 2) = 3 . ( 3 + 12 + 3 + 6 + 6 ) = 3 . 30 = 90 nros distintos. BRUNO −→ _ _ _ _ _ _ _ _ −→ 8 dígitos los dos 4 separados por cuatro cifras cif ras los dos 3 separados por tres cifras los dos 2 separados por dos cifras ci fras los dos 1 separados por una cifra El nro. buscado buscado es: 4
1
3
1
2
138. Juan quiere comprar un televisor. Por comprarlo al contado le descuentan 1/10 del precio de lista. Por comprarlo en cuotas le recargan 1/5 del precio de lista. Si lo paga en 6 cuotas, cada una es de $ 72.
99
4
3
2
¿Cuánto paga si decide comprarlo al contado? SOLUCIÓN Contado −→
descuento
Cuotas −→ recargo 6 cuotas −→ $72 c/u contado −→ ? paga −→ 6 . $72 = $432 $432 = lista +
lista = lista
⇒
$432 = lista = lista = . $432 = $360 De contado le hacen 10% de descuento
−→ $ 360 −→ $ 36
Le descuentan $36 Paga de contado −→ $360 - $36 = $324 139. Le abuela Mari compró regalos para sus 7 nietos: Dani, Edu, Fran, Gabi, Matu, Seba y Toni. Para cada uno armó un paquete. A cada paquete le puso una tarjeta con el nombre correspondiente. Tiene 3 moños rojos, 3 azules y 1 blanco. Si quiere ponerle un moño a cada paquete, ¿de cuántas maneras distintas puede hacerlo? SOLUCIÓN 7 nietos: D, E, F, G, M, S, T
100
D
E
F
G
M
S
T
B
R
R
R
A
A
A
R
B
R
R
A
A
A
R
R
B
R
A
A
A
R
R
R
B
A
A
A
R
R
R
A
B
A
A
R
R
R
A
A
B
A
R
R
R
A
A
A
B
Si mantengo el moño rojo sin variar cada una de estas filas tiene: (CR6 ,2 significa combinaciones con repetición de 6 elementos tomados de a 2) CR6,2 =
+−! !.! !!.! . = =
= =
= 21 cambios posibles entre los rojos y los azules, por lo que existen 7 . 21 =
147 maneras distintas de poner los moños. 140. El rectángulo ABCG y el cuadrado CDEF tienen el mismo perímetro. AB = 2 AG
La figura de vértices ABDEFG tiene 72 cm de perímetro. ¿Cuánto miden los lados del cuadrado CDEF?, ¿Cuánto miden los lados del rectángulo ABCG?
101
SOLUCIÓN per (ABCG) = per (CDEF) AB = 2AG per (ABCDEFG) = 72cm ¿lados de CDEF? ¿lados de ABCG? AB = CG = GF = FC BC = AG BD = BC + CD
per (ABCG) = 2 (AB + BC) = 2 (AB + AG) = 2 (AB + AB) = 3AB per (ABCG) = per (CDEF) = 3AB per (CDEF) = 2 (CD + DE)
AB = CD + DE
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 72cm
AB + AB + (CD + DE) + (EF + FG) + AB = 72cm
AB + AB + AB+ AB + AB = 72cm
( 2+ 1 + 3 + 2 + 1) =
⇒
AB = 72cm = AB = . 72cm = 16cm
141. Dani y Gabi guardaron sus fotos y, entre los dos, llenaron 8 álbumes de 36 fotos cada uno. Si Dani tuviera la mitad de las fotos que tiene y Gabi tuviera el doble de las fotos que tiene, completarían, entre los dos, 9 de esos álbumes. ¿Cuántas fotos tiene Dani? ¿Cuántas fotos tiene Gabi? SOLUCIÓN 8a −→ 36 f c/u D −→
G −→ 2G 1a −→ 1f
2 28 9 102
Es semejante a: D = 8a - G
(8a - G) + 2G = 9a
2G - G = 9a - 4a = 5a
⇒
G = 5a = G = . 5 a =
D = 8a - G = 8a -
a =
a =
. 36 f = 120 f
(24 a – 10 a) =
a=
. 36f = 168f
142. Los rectángulos ABCD y DEFG son iguales.
El perímetro de la figura de vértices ABCEFG es de 66 cm. El segmento CE mide 9 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del rectángulo ABCD? ¿Cuál es el perímetro del rectángulo DEFG? SOLUCIÓN ABCD = DEFG per (ABCDEFG) = 66cm CE = 9cn ¿lados (ABCD)? ¿per (DEFG)? AB = EF = DG = CD AD = BC = DE = GF DE = DC + CE per (ABCDEFG) = AB + BC + CE + EF + FG + GD + DA per (ABCDEFG) = 3AB + 3BC + CE = 3AB + 3BC + 9cm = 66cm
⇒
3AB + 3BC = 57cm = AB + BC = 19cm per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 2 . 19cm = 38cm
103
per (ABCD) = per (DEFG) = 38cm CD + CE = DE CD = DG per (DEFG) = 2 (DE + EF) = 2 (CD + CE + EF) = 2 (CE + 2CD) 2CE + 4CD = 2 . 9cm + 4CD = 8cm
⇒
4CD = 20cm = CD = 5cm AB = CD = 5cm
BC = DC + CE = 14cm 143. Susana tiene 51 billetes en su billetera. Sólo tiene billetes de 50 pesos, de 20 pesos y de 10 pesos. La cantidad de billetes de 10 pesos es el doble de la cantidad de billetes de 20 pesos. En total tiene 1230 pesos. ¿Cuántos billetes de 50 pesos tiene Susana en su billetera? SOLUCIÓN 51b −→ $1230
20 50 10 1230 2 510 10 {50.220 2 51 1230 ⇒ {123 12351
120y + 10z = $1230 = 12y + z = 123 queda:
z = 123 - 12y = 51 - 3y 123 - 51 = 12y - 3y
⇒
72 = 9y = y = 8 z = (-3y) + 51 = 51 - 24 = 27 x = 2y = 2 . 8 = 16 (x, y, z) = (16, 8, 27) Hay 16 billetes de $50, 8 billetes de $20, 27 billetes de $10 144. Pablo tiene 10 tarjetas; cada una tiene impreso uno de los 10 números impares entre 1 y 19. Elige tres tarjetas y escribe todos los números que puede formar ordenando las tarjetas de distintas maneras.
104
De todos los números que Pablo puede escribir, ¿cuántos son múltiplos de 3 y mayores que 50000? Explica cómo los contaste. SOLUCIÓN 10t −→ 1., 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19 múltiplos de 3 mayores que 50000 5-11-13
5-13-11
7-11-13
7-13-11
9-11-13
9-13-11
5-11-15
5-15-11
7-11-15
7-15-11
9-11-15
9-11-15
5-11-17
5-17-11
7-11-17
7-17-11
9-11-17
9-11-17
5-11-19
5-19-11
7-11-19
7-19-11
9-11-19
9-11-19
5-13-15
5-15-13
7-13-15
7-15-13
9-13-15
9-15-13
5-13-17
5-17-13
7-13-17
7-17-13
9-13-17
9-17-13
5-13-19
5-19-13
7-13-19
7-19-13
9-13-19
9-19-13
5-15-17
5-17-15
7-15-17
7-17-15
9-15-17
9-17-15
5-15-19
5-19-15
7-15-19
7-19-15
9-15-19
9-19-15
5-17-19
5-19-15
7-17-19
7-19-17
9-17-19
9-19-171
11-13-15
11-15-13
13-11-15
15-11-13
15-13-11
13-15-11
11-13-17
11-17-13
13-11-17
17-11-13
17-13-11
13-17-11
11-13-19
11-19-13
13-11-19
19-11-13
19-13-11
13-19-11
13-15-17
13-17-15
15-13-17
17-13-15
17-15-13
15-17-13
13-15-19
13-19-15
15-13-19
19-13-15
19-15-13
15-19-13
13-17-19
13-19-17
17-13-19
19-13-17
19-17-13
17-19-13
15-17-19
15-19-17
17-15-19
19-15-17
19-17-15
17-19-15
11-15-17
11-17-17
15-11-17
17-11 15
17-15-11
15-17-11
11-15-19
11-19-15
15-11-19
19-11-15
19-15-11
15-19-11
11-17-19
11-19-17
17-11-19
19-11-17
19-17-11
17-19-11
Marco aquellos que son múltiplos de 3 y los reúno:
105
5-11-17
5-17-11
7-11-15
7-15-11
9-11-13
9-13-11
5-13-15
5-15-13
7-13-19
7-19-13
9-11-19
9-11-19
5-15-19
5-19-15
7-15-17
7-17-15
9-13-17
9-17-13
11-13-15
11-15-13
13-11-15
15-11-13
9-17-19
9-19-17
15-13-11
13-15-11
13-15-17
13-17-15
15-13-17
17-13-15
17-15-13
15-17-13
15-17-19
15-19-17
17-15-19
19-15-17
19-17-15
17-19-15
11-15-19
11-19-15
15-11-19
19-11-15
19-15-11
15-19-11
Pablo puede escribir 44 nros. 145. La figura de vértices ACDEFG tiene 320 cm de perímetro.
Los rectángulos ABFG y BCDE tienen igual perímetro. AC = 88 cm y E es el punto medio de BF. ¿Cuánto miden AB, AG, BC y CD? SOLUCIÓN per (ABCDEFG) = 320cm per (ABFG) = per (BCDE) AC = 88cm
BE = CD = EF = AG ¿AB, AG, BC, CD? AB + AG = BC + CD
⇒
AB + 2CD = BC + CD = AB - CD = -CD AB + 3CD = 88cm AB + CD = BC
∧
⇒
AB = BC - CD AB = 88cm - BC = BC - CD = 88cm - BC 106
⇒
2BC - CD = 88cm = 2BC = 88cm + CD AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 320cm (AB + BC) + (DE + FG) + (CD + EF) + GA = 320cm 2 . 88cm + 2AG = 320cm
CD = (320cm - 176cm) = 36cm CD = EF = 36cm
⇒
2BC = 88cm + CD = 88cm + 36cm 3 6cm = 124cm = BC = 62cm BC = AC - AB BC + CD = AB + 2CD AC - AB + CD = AB + 2CD AC = 2AB + CD AB + BC = 88cm AB = 88cm - BC = 88cm - 62cm 62c m = 26cm AB = 26cm AG = 2CD = 72cm AG = 72cm (AB, AG, BC, CD) = (26cm, 72cm, 62cm, 36cm) 146. Cada segmento indica el camino que une dos ciudades. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de A hasta Z si no se puede pasar dos veces por la misma ciudad? Explica cómo las contaste.
SOLUCIÓN ABDGZ ABDGHZ ABEGZ ABEGHZ ABHGZ ABEGZ ABEHZ ABEGHZ ABEHGZ ABDEGZ ADEHGZ ABDEFHGZ ABDEFHZ
ABCEFHZ
ACEGHZ ACEHGZ ACFHZ ACFHZ
ABCEFHGZ
ACFHGZ ABDECFHZ
ACEGZ ABCFHZ ABCFHGZ ABDECFHGZ Hay 24 maneras.
107
147. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 se arman todos los números de tres cifras que son múltiplos de 3 y tienen sus cifras distintas, ordenadas de mayor a menor. ¿Cuántos son? Escríbelos todos. SOLUCIÓN 987 986 985 984 983 982 981 976 975 974 973 972 971 965 964 963 962 961 954 953 952 951 943 942 941 932 931 921 876 875 874 873 872 871 865 864 863 862 861 854 853 852 851 843 842 841 832 831 821 765 764 763 762 761 754 753 752 751 743 742 741 732 731 721 654 653 652 651 643 642 641 632 631 621 543 542 541 532 531 521 432 431 421 Marco los múltiplos de 3 y los reúno: 987 084 981 975 972 963 954 951 942 921 876 873 864 861 852 843 831 765 762 753 741 732 654 651 642 621 543 531 421 Son 29 nros. 148. En la librería se pueden comprar 4 cuadernos por $10 o 1 cuaderno por $3. Esta semana se vendieron 120 cuadernos en total y se cobraron $320 por la venta de los cuadernos. Cuántos cuadernos se vendieron de a 1 y Cuántos cuadernos se vendieron de a 4? SOLUCIÓN 4c −→ $10 1c −→ $3 120c −→ $320
{140 3 123020 ⇒
= y = 120 - 4x 108
⇒ ⇒
10x + 3 (120 - 4x) = 320 = 2x = 40 = x = 20 y = 120 - 4x = 120 - 4 . 20 = 40 Se vendieron 20 ofertas de $10 (80 cuadernos) y 40 ofertas de $3 (40 cuadernos). 149. En la figura AG = 2AD
AG = GD HG = GF Los triángulos ABI y CDE se obtienen duplicando los lados del triángulo HFG. AB = 2BC y EF = 2FG. El perímetro de BCEFHI es 108cm. Cuál es el perímetro de ADG? SOLUCIÓN AG = DG = 2AD 4(ABI) = 4(CDE) AB = 2BC EF = 2FG per (BCEFH) = 108cm ¿per (ADG)? per (ADG) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA BC + CE + EF + FH + GH + HI + IB = 108cm Como: BC = FH CE = EF = HI = IB 2BC + 4EF = 108cm
109
⇒
BC = EF = 2BC = EF 5EF = 108cm
⇒
AD = AB + BC + CD = 2BC + BC + 2BC = 5BC = EF = 5AD – 5 . 5EF = 108cm
EF =
EF
EF = x
x=
(
. 108 cm) = 270 cm
150. En un puesto de la feria artesanal se vendieron: el sábado, 72 monederos y 60 llaveros por un total de $1548; el domingo, 72 monederos y 36 llaveros por un total de $1332. ¿A cuánto se vendió cada monedero? ¿A cuánto se vendió cada llavero? SOLUCIÓN
1548 ⇒ 7272 6036 1332 =
⇒
24 ll = $216 = 1 ll = $
=$ 9
151. En una hoja de papel rectangular, que tiene ancho igual a las tres cuartas partes del alto, Javier hace un recuadro dejando márgenes: arriba y abajo, de 2cm cada uno y, a derecha e izquierda, de 3 cm cada uno. El recuadro que queda es un rectángulo de 78 cm de perímetro. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de la hoja de papel? SOLUCIÓN AB =
BC
2 (AB - 6cm) + 2(BC - 4cm) = 78cm
2 . BC - 12cm + 2BC - 8cm = 78cm
+
BC + 2BC = 78cm + 12cm + 8cm BC = 98cm =
⇒
⇒
BC = 98cm = BC = . 98cm = 28cm
AB = BC = . 28cm = 21cm
110
152. En un juego de tiro al blanco, con un tablero como el de la figura, cada participante arroja una ficha verde, una ficha roja y una ficha azul. La ficha verde triplica el puntaje del sector en que cae. La ficha roja duplica el puntaje del sector en que cae. La ficha azul10 asigna el puntaje anotado en el sector en que cae. El puntaje de cada participante se calcula sumando el puntaje de cada ficha. ¿Cuáles son los distintos puntajes que se pueden obtener? ¿De cuántas maneras se puede obtener cada puntaje?
SOLUCIÓN
V
R
A
PP
PT
V
R
A
PP
PT
V
R
A
PP
PT
10
10
10
30+20+10
60
6
10
10
18+20+10
48
0
10
10
20+20
40
10
10
6
30+20+6
56
6
10
6
18+20+6
44
0
10
6
20+6
26
10
10
0
30+20
50
6
10
0
18+20
38
0
10
0
20
20
10
6
10
30+12+10
52
6
6
10
18+12+10
40
0
6
10
12+10
22
10
6
6
30+12+6
48
6
6
6
18+12+6
36
0
6
6
12+6
18
10
6
0
30+12
42
6
6
0
18+12
30
0
6
0
12
12
10
0
10
30+10
40
6
0
10
18+10
28
0
0
10
10
10
10
0
6
30+6
36
6
0
6
18+6
24
0
0
6
6
6
10
0
0
30
30
6
0
0
18
18
0
0
0
0
0
153. Un productor de melones decide exportar la tercera parte de su producción. Entre los melones que se van a exportar, se hace un control de calidad y se descarta la sexta parte. Los melones que quedan se ponen en cajas de 1 docena. Cada caja se vende a $ 24. Por la venta de los melones de exportación, el productor obtiene $ 720. ¿Cuál es el número total de melones que produce? SOLUCIÓN exporta =
⇒
prod.
de de la producción se descarta queda:
111
prod - ( prod) = prod -
prod =
prod = 12 cajas
prod = 12 cajas
. 12 cajas
1 caja −→ $24 ganó −→ $720 vendió −→
cajas = 30 cajas
prod = (12. 30. 18m) = 1296 melones 154. En la figura: ABCH y DEFG son rectángulos
BC = DE CD = GH
y
GD = 3 HC.
El perímetro de ABCDGH es 140 cm. El perímetro de CDGH es 92 cm. El perímetro de DEFG es 108 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura? Explica cómo lo obtienes. SOLUCIÓN BD = DE AB = HC CD = GH GD = 3HC EF = GD per (ABCDGH) = 140cm ¿per (fig)? AB + BC + 2CD + DG + HA = 140cm 2CD + DG + HC = 92cm
112
2DE + 2EF = 108cm Queda de la siguiente manera: (1)−→ AB + BC + 2CD + DG + HA = 140cm (2) −→ 2CD + DG + HC = 92cm (3) −→ ED + EF = 54cm Reemplazando y teniendo en cuenta que la unidad de medida es cm: 2BC + 2CD + 4HC = 140 2CD + 4HC = 92 BC + 3HC = 54 Resolviendo el sistema de ecuaciones: 2BC
+ 2CD
+ 4HC
= 140
2CD
+ 4HC
= 92
+ 3HC
= 54
BC
Teniendo en cuenta que 2CD + 4HC = 92cm
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2BC + 92 = 140 = BC = (140 – 92) = 24 BC + 3HC = 54 = HC = (54- 24) = 10 2CD + 4HC = 92 = CD = (92 – 4 . 10) = 26 ED + EF = 54 = EF = 54 - 24 = 30 AB = BC = CH = HA = 24cm CD = GH = 26cm DE = FG = 24cm EF = DG = 30cm per (fig) = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA = = per (fig) = AB + AB + CD + AB+ EF + AB + CD + AB = = per (fig) = 5AB + 2CD + 2EF = 5 . 24cm + 2 . 26cm + 30cm = = per (fig) = 120cm + 52cm + 30cm per (fig) = 202cm 155. El tanque estaba lleno de agua. El lunes se gastaron
del agua del tanque. 113
El martes se agregaron 75 litros y entonces quedaron llenas las tres cuartas partes del tanque. ¿Cuántos litros caben en el tanque? SOLUCIÓN Tanque lleno −→ T
lunes −→ gastó T −→ quedó −→
martes −→ 75 l + 75 l = 75 l =
T -
T=
T
T
T = (6T – T) =
T −→ T =
T
. 75 l = 120 l
T = 120l
156. La figura está partida en 3 partes. I es un cuadrado de 48 cm de perímetro. I y II forman un rectángulo de 82 cm de perímetro. II y III forman un cuadrado.
AB = 2 DE Cuál es el perímetro del rectángulo II? ¿Cuál es el perímetro del cuadrado formado por II y III? SOLUCIÓN per (I) = 48cm per (II y III) = 82cm II y III cuadrados AB = 2DE ¿per (II)? ¿per (II y III)?
⇒
4BC = 48cm = BC = 12cm
114
per (I + II) = 82cm 4BC + 2CD = 82cm
⇒ ⇒ ∧
48cm + 2CD = 82cm = CD =
(82cm - 48cm) = 17cm
AB + BC = CD + DE = AC = CE AB = 2DE AB + BC = CD + DE
2DE + 12cm = 17cm + DE
⇒
DE = 5cm = AB = 10cm per (II) = 2CD + 2BC = 2 (CD + BC) = 2 . (17cm + 12cm) = 2. 29cm per (II) = 58cm per (II y III) = 2 . (AC + CE) = 4AC = 4 . (AB + BC) per (II y III) = 4 . (10cm + 12cm) = 4 . 22cm = 88cm 157. Una hormiga se mueve por las l neas del tablero deteniéndose en cada cruce.
Hace dos clases de movimientos entre cruce y cruce: H horizontal de izquierda a derecha o V vertical de abajo hacia arriba. Nunca hace más de dos movimientos seguidos de la misma clase. ¿Cuántos caminos distintos puede hacer la hormiga entre S y E? SOLUCIÓN (1-5-9-13-14-15-16), (1-5-9-10-11-12-16), (1-5-9-10-11-15-16), (1-5-9-10-14-15-16),
115
(1-5-6-10-14-15-16), (1-5-6-10-11-15-16), (1-5-6-10-11-12-16), (1-5-6-7-11-15-16), (1-5-6-7-11-12-16), (1-5-6-7-8-12-16) & (1-2-6-7-11-15-16), (1-2-6-7-8-12-16), (1-2-3-4-8-12-16), (1-2-3-7-8-12-16) & (1-2-3-7-11-12-16), (1-2-3-7-11-15-16), (1-2-6-10-14-15-16), (1-2-6-10-11-15-16), (1-2-6-10-11-12-16) Son 19 casos. 158. En la figura, ABE es un triángulo equilátero
BC = CD = DE BE = CE El perímetro del triángulo BCE es 28 cm. El perímetro del triángulo CDE es 26 cm. ¿Cuál es el perímetro del polígono ABCDE? SOLUCIÓN
⇒
4ABE equilátero = AB = BE = EA = CE BC = CD = DE per (BCE) = 28cm per (CDE) = 26cm ¿per (ABCDE)?
⇒ ⇒
per (BCE) = BC + CE + BE = 28cm = BC + 2CE = 28cm per (CDE) = CD + DE + CE = 26cm = 2BC + CE = 26cm BC = 28cm - 2CE 2 . (28cm - 2CE) + CE = 26cm
116
⇒
⇒
56cm - 4CE + CE = 26cm = 56cm - 26cm = 3CE = 30cm = 3CE BE = CE = AB = AE = 10cm
BC = 28cm - 2CE = 28cm - 2 . 10cm = 8cm BC = CD = DE = 8cm per (ABCDE) = AB + BC + CD + DE + EA per (ABCDE) = 10cm + 8cm + 8cm + 8cm + 10cm per (ABCDE) = 44cm 159. El maestro quiere repartir 576 figuritas entre 10 de sus alumnos, 4 varones y 6 mujeres. Para varones tiene la mitad de figuritas de las que tiene para mujeres. A medida que van llegando: a cada mujer le da 2 figuritas menos de las que le dio a la anterior, a cada varón le da 6 figuritas más de las que le dio al anterior. ¿Cuántas figuritas le dio a cada alumno? SOLUCIÓN
∧
T −→ 576f −→ 4v 6m
v = m v + m = 576f
⇒
v + 2v = 576f = v =
f = 192f
m = 576f - 192f = 384f
v + (v + 6) + (v + 12) + (v + 18) = 192f m + (m - 2) + (m - 4) + (m - 6) + (m - 8) + (m - 10) = 384f
⇒ ⇒
4v + 36f = 192f = v =
6m - 30f = 384f = m = (v, m) = (39f, 69f)
(192f - 36f) = 39f
(384f + 30f) =
f = 69f
160. En el tablero de la figura se colocan fichas rojas y fichas azules del siguiente modo: - en cada una de las casillas de las esquinas se pone igual cantidad de fichas rojas, - la casilla central se deja vacía, - en cada una de las otras casillas se pone igual cantidad de fichas azules.
117
En total, en la primera fila hay 41 fichas. ¿De cuántas maneras distintas se pudo haber completado el tablero? En cada caso, indica: a)
¿cuántas fichas rojas y cuántas azules se colocaron en cada casilla?
b) ¿cuántas fichas se colocaron en total? 2
SOLUCIÓN 2r + a = 41 (en la 1er fila) a = 41 - 2r fichas por casilla: a
r
a
r
39
1
19
11
35
3
15
13
31
5
11
15
27
7
7
17
23
9
3
19
Si consideramos el tablero completo: a
r
ta
tr
tf
39
1
156
4
160
36
3
140
12
152
31
5
124
20
144
27
7
108
28
136
23
9
92
36
128
19
11
76
44
120
15
13
60
52
112
11
15
44
60
104
7
17
28
68
96
3
19
12
76
88
118
161. Pérez y Capria son socios en una empresa. Capria quiere repartir entre los empleados su parte en las g anancias de este fin de semana. Si les diera $ 125 a cada uno, le sobrarían $ 75. En cambio, si les diera $ 150 a cada uno, le faltarían $ 450. ¿Cuántos empleados tiene la empresa? Si a Capria le corresponde la tercera parte de las ganancias, ¿a cuánto ascienden las ganancias de este fin de semana? SOLUCIÓN $125.k + $75 = g $150.k − $450 = g $125 . k + $75 = $150 . k - $450 $75 + $450 = $150 . k - $450 $75 + $450 = $150 . k - $125 . k $525 = $25 . k k=$
= $21
La empresa tiene 21 empleados
c = fig −→ p = fig c) ($125 . 21 e + $75) = $2700
−→ 2700
1 −→ x −→ x = $
= $ 8100
ganancia −→ $8100 162. Se tienen 3 piezas de cartón; un rectángulo, un triángulo isósceles y un cuadrado. El triángulo tiene un lado igual al lado del cuadrado. El rectángulo tiene dos lados iguales al lado del cuadrado. El perímetro del triángulo es 7 cm menor que el perímetro del cuadrado. La suma de los perímetros de las 3 piezas es 189 cm. La figura, que se armó con estas piezas, tiene 129 cm de perímetro. ¿Cuánto miden los lados de cada una de las piezas?
119
SOLUCIÓN per (CDE) = per (BCEF) - 7cm per (ABFG) + per (BCEF) + per (CDE) = 189cm AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 129cm CD + DE + CE = BC + CE + EF + BF - 7cm AB + BF + FG + GA + BC + CE + EF + BF + CD + DE + CE = 189cm AB = FG BC = EF = BF = CE = AG CD = DE
2 7 2 189 2 33 22 129 7
Si resto las dos primeras ecuaciones, queda que: 163. Marcelo tiene $ 450 en billetes de $2; de $5 y de $10. Tiene 62 billetes entre los de $2 y los de $5. Tiene 48 billetes entre los de $5 y los de $10. ¿Cuántos billetes de cada clase tiene? SOLUCIÓN
2 5 10 62450 48 ⇒ ⇒ ⇒
4BF = 60cm = BF =
cm = 15cm
Reemplazando en la tercera ecuación:
3BF - 2CD = 7cm = 2CD = 3BF - 7cm = CD = CD =
(3BF - 7cm)
(3 . 15cm - 7cm) = 19cm
120
Reemplazando en la primera ecuación: AB = 189cm x = 62 - y
(2 . 19cm - 7 . 15cm) = 37cm
y = 62 - x = 48 - z z = 48 - y 2x + 5y + 10z = 450 2 (62 - y) + 5y+ 10 (48 - y) = 450 124 - 2y + 5y + 480 - 10y = 450 604 - 405 = 7y
⇒
154 = 7y = y =
= 22
x = 62 - y = 62 - 22 = 40 z = 48 - y = 48 - 22 = 26 (x, y, z) = (40, 22, 26) 164. La abuela de Sofi preparó mermeladas de 6 gustos distintos que guardó en un frasco de 1 kilo, dos frascos de medio kilo y tres frascos de un cuarto kilo. En los frascos de un cuarto kilo guardó las mermeladas de frutilla, manzana y pomelo. En los frascos de medio kilo guardó la de ciruela y la de naranja. En el frasco de 1 kilo guardó la mermelada de durazno. Quiere acomodar los 6 frascos en un estante, de modo que los de igual capacidad estén juntos. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo? SOLUCIÓN
6 gustos distintos 1 −→ 1kg −→ DUR 2 −→
kg −→ CIR / NAR
121
3 −→ kg −→ FRU / MAN / POM FMPCND
CNDFMP
DFMPCN
FMPDNC
DNCFMP
DFPMCN
FMPDCN
DCNFMP
DMPFCN
FMPNCD
NCDFMP
DMFPCN
FPMCND
CNDFPM
DPFMCN
FPMDNC
DNCFPM
DPMFCN
FPMDCN
DCNFPM
DFMPNC
FPMNCD
NCDFPM
DFPMNC
MPFCND
CNDMPF
DMPFNC
MPFDNC
DNCMPF
DMFPNC
MPFDCN
DCNMPF
DPFMNC
MPFNCD
NCDMPF
DPMFNC
MFPCND
CNDMFP
CNFMPD
MFPDNC
DNCMFP
CNFPMD
MFPDCN
DCNMFP
CNMPFD
MFPNCD
NCDMFP
CNMFPD
PFMCND
CNDPFM
CNPFMD
PFMDNC
DNCPFM
CNPMFD
PFMDCN
DCNPFM
NCFMPD
PFMNCD
NCDPFM
NCFPMD
PMFCND
CNDPMF
NCMPFD
PMFDNC
DNCPMF
NCMFPD
PMFDCN
DCNPMF
NCPFMD
PMFNCD
NCDPMF
NCPMFD
Son 72 maneras distintas. 165. Para un recital, hay plateas A y B; una platea A cuesta $ 50 más que una platea B. Si se compran por Internet hay que pagar una suma adicional por cada platea; la suma adicional para una platea A es $5 más que la suma adicional para una platea B.
122
Dani compró 4 plateas A por Internet, en total gastó $880. Edu compró 2 plateas A y 4 plateas B por Internet. ¿Cuánto gastó Edu? SOLUCIÓN A, B A = B + $50 ad A= $5 + ad B D −→ 4Aint −→ $880 E −→ 2Aint + 4Bint
4Aint −→ $880
1 Aint −→ $880 = $220 2Aint −→ 2. $220 = $440 Aint = A + ad A = B + $50 + $5 + ad B Bint = B + ad B = $220 - $55 = $165 4Bint = 4 . $165 = $660 2Aint + 4Bint = $440 + $660 = $1100 166. En la figura, EFD, DFC y CFB son triángulos equiláteros, ABE es isósceles, EA = AB.
El perímetro de la figura es 98 cm. El perímetro de ABE es 2 cm más que el perímetro de EBCD. ¿Cuánto mide cada uno de los lados de la figura? ¿Cuál es el perímetro de CDEF? ¿Cuál es el perímetro de ABE? SOLUCIÓN
∆ ∆ ∆
(EFD), (DFC), (CFB) equiláteros 123
∆
(ABE) isósceles
EA = AB per (fig) = 98cm per (ABE) = per (EBCD) + 2cm ¿cada lado? ¿per (CDEF)? ¿per (ABE)? EF = FD = DE = CD = CF = FB = CB per (fig) = AB + BC + CD + DE + EA = 98cm 2AB + 3 BC = 98cm per (ABE) = per (EBCD) + 2cm per (ABE) = AB + BE + EA Como EA = AB, queda AB + BE + EA = 2AB + BE BE = BF + FE = 2BC BC + CD + DE + EF + FB = 5BC 2AB - 5BC = 2cm 2 AB = 98cm − 3BC 2 AB =
2cm + 5BC
98cm - 3BC = 2cm + 5BC 96cm = 8BC BC = 12cm
AB = (2cm + 5BC) = (2cm + 60cm) = 31cm per (CDEF) = CD + DE + EF + FC = 4BC = 48cm per (ABE) = AB + BE + EA = 31cm + EF + FB + 31cm per (ABE) = 62cm + 2 . 12cm = 86cm Por lo tanto: AB = EA = 31cm BC = CD = DE = EF = FB = FC = DF = 12cm
124
167. Desde A hasta Z, siguiendo el orden de las fichas, ¿de cuántas maneras se puede ir? Indica cuáles son.
SOLUCIÓN
125
ABFIZ
ABEFIZ
ABCEFIZ
ABCFHIZ
ABCEFHJZ
ABCEFHJZ
ACEFIZ
ABCFHIZ
ABCFHJZ
ABCFHJIZ
ADCEFIZ
ADCEFHIZ
ADCEFHJZ
ADCEFHJIZ
ADEFIZ
ADEFHIZ
ADEFHJZ
ADEFHJIZ
ABCEFHJKZ
ABCEFHKZ
ABCFHKZ
ADCEFHKZ
ADEFHKZ
ADGHIZ
ADGKZ
ADGHJZ
ADGHJIZ
ADGHJKZ
Son 28 caminos diferentes. 168. En el juego de "PAN Y QUESO" dos chicos dicen PAN, QUESO, en forma alternada y van uno al encuentro del otro por la l nea pintada, poniendo cada vez un pie pegadito al otro.
Al decir PAN, el primer jugador adelanta un pie; al decir QUESO, lo hace el segundo. Gana el que pisa primero al otro. En el recreo armaron dos equipos de tres chicos para jugar. En el equipo de Aníbal, los tres calzan 40(40cm). En el equipo de Blas, uno calza 33(33cm), otro calza 34(34cm) y el tercero calza 35(35cm). La línea pintada mide 775 cm. Cada equipo elige un chico para jugar. Si inicia el juego el equipo de Aníbal, ¿a quién elige Blas para ganar? Si inicia el juego el equipo de Blas, ¿a quién elige Blas para ganar? SOLUCION 40cm + 35cm = 75cm 40cm + 34cm = 74cm 40cm + 33cm = 73cm 75cm + 74cm + 73cm = 222cm si alternan cada uno 775cm = 25 . 31cm
= 19 (sobran 15) =
−→ en 10 pasos quedan 25cm
(A) −→ (35)
126
= 10,472 −→ en 10 pasos quedan 35cm
(B) −→ (34)
= 10,616 −→ en 10 pasos quedan 45cm
(C) −→ (33) Si empieza Aníbal, Blas puede elegir el caso C, o sea que calza 33cm Si empieza Blas puede elegir al que calza 35cm (caso A) 169. En un aro circular hay chapitas numeradas como muestra la figura.
Cuando se elige un grupo de chapitas consecutivas, s e escribe el número que queda formado leyendo las cifras de las chapitas en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo: si se elige el grupo formado por el 2, el 8 y el 9, se escribe el número 289. Separar todas los chapitas en tres grupos de modo que al escribir los números que quedan, el producto de los dos primeros sea el tercero. SOLUCION 3 grupos (distintos elementos) −→ A, B, C / A. B = C 715 . 46 = 32890 170. Un rompecabezas tiene 81 piezas cuadradas de 1cm de lado cada una. Usando todas las piezas se arman dos rectángulos distintos de modo que el perímetro del más grande sea el doble del perímetro del más chico. ¿Cuáles son el largo y el ancho de cada uno de los dos rectángulos?
127
SOLUCION
per (ABCD) = 2 per (EFGH) (AB + BC) = 2 (2 (EF + FG)) AB . BC + EF . FG = 81 Busco distintos valores para satisfacer la segunda ecuación: Ejemplo: . 17 + 5 . 6 = 6 . 7 + 13 . 3 = 3 .7 + 10. 6 = 9 . 5 + 6 . 6 = 7 . 7 + 8 . 4 = 6 . 8 + 11 . 3 = 8 . 9 + 3 . 3 Veo que estas igualdades no satisfacen la primer ecuación hasta que probando obtengo 24 + 57 = 81 3 . 8 + 19 . 3 = 81 2 (3 + 8) = 19 + 3 Entonces reemplazando: BC = FG = 3cm AB = 19cm EF = 8cm 171. Gabi tiene 32 fichas: 4 fichas tienen escrito el número "1", 4 fichas tienen escrito el "2", 4 fichas tienen escrito el "3", 4 fichas tienen escrito el "4", 4 fichas tienen escrito el "5", 4 fichas tienen escrito el "6", 4 fichas tienen escrito el "7" y 4 fichas tienen escrito el "8". 128
Gabi quiere armar 16 grupos de 2 fichas cada uno, de modo que no haya grupos repetidos y que cuando sume los números de las fichas de cada grupo, el resultado sea siempre un número par. ¿Puede hacerlo? Explica por qué. SOLUCION No siempre puede conseguir la consigna, porque para esto debe juntar: 2 fichas pares 2 fichas impares Si suma una ficha par con otra impar el resultado es impar. P+I=I 172. Tomás saca todas las hojas múltiplos de 7 de su cuaderno. Luego saca, de lo que quedó, todas las hojas múltiplos de 5. Finalmente, de lo que quedó, saca todas las hojas múltiplos de 3. Después de todo esto, a Tomás le quedan 25 hojas en su cuaderno. ¿Cuántas hojas tenía inicialmente el cuaderno de Tomás? SOLUCION M7) 7 , 14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 , 77 , 84 , 91 , 98 M5) 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 , 80 , 85 , 90, 95 M3) 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , 39 , 42 , 45 , 48 , 51 , 54 , 57 , 60 , 63 , 66 , 69 , 72 , 75 , 78 , 81 , 84 , 87 , 90 , 93 , 96 , 99 Estas son las supuestas hojas que sacó Tomás. Quedaron 25 hojas: orden de las hojas que quedaron
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
números impares
1
2
4
8
11
13
16
17
19
22
23
26
29
orden de las hojas que quedaron
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
números impares
31
32
34
37
38
41
43
44
46
47
52
53
El libro tenía 57 hojas. 173. ABCD rectángulo, 5 AB = 6 BC
129
M es un punto de CD tal que MC = BC N es el punto medio de MB ¿Qué fracción del rectángulo ABCD representa el cuadrilátero AMCN?
SOLUCION MC = BC N punto medio de MB 5AB = 6BC AD = BC
área (ABCD) = AB . BC = (BC)2
⇒
⇒
CM + DM = AB = BC + DM = AB = DM = AB - BC = BC - BC = (BC) área (ADM) =
DM . AD = ( . BC ) =
Área X = Área (BCN) =
.
. (BC)2
= (BC)2
Área Y = Área (ABN) = AB . BC = =
.
BC . BC =
(BC)2 .
Área pintada = Área (ABCD) - Área (ADM) - Área X - Área Y =
= (BC)2 -
(BC)2 - (BC)2 -
(BC)2 = ( -
- -
) (BC)2 =
Área (ABCD) = (BC)2 −→ 100% Área pintada =
(BC)2 −→ x%
−→ 1 −→ x
⇒
x=
.
=
El Área pintada representa
del rectángulo ABCD 130
(BC)2
174. Un rectángulo R de lado vertical de 3 cm se parte en cuatro rectángulos iguales de lado vertical de 3 cm. Con estos cuatro rectángulos se arma un nuevo r ectángulo T. El perímetro de R es 18 cm más que el perímetro de T. ¿Cuánto mide el lado horizontal del rectángulo R? SOLUCION
per (R) = 2 (x + 3) per (R) = per (T) – 18
2 (x + 3) - 18 = 2 ( . 2 + 6) 2 (x + 3) - 18 = x + 12 2x - x = 12 + 18 - 6 −→ x = 24 per (R) = 2 (x + 3) = 2 . 27cm = 54cm per (T) = 2 . (
. 2 + 6) cm = 36cm
175. De los 9 puntos de la cuadricula que muestra la figura se eligen 4 con la siguiente propiedad:
"No hay 3 puntos de los 4 que estén sobre una misma recta". ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos 4 puntos?
131
Explica por qué. SOLUCION
A abde
abdf acdf abef
abeg
abdi abdh acef aceh
acde acfg acdh acdi acfh adfh adeh achi aefg adfi aceh aefh afgi adhi aegh
−→26 casos
aegh afhi
bcdf bcde bcdi
B
bcde bcei
bcdh bcfg bchi
bcgi bdfh bcef bcgh bcfh bdhi bdei bdfg bdeg bdfi begi bdgi bdgh befi befg bfgh bfgi begh
−→ 27 casos
bfhi
C cdeg cehi cdeh cfgh degh
D
cdei
cdfh
dfgh
dfgi
−→ 6 casos
−→ 6 casos
degi dfhi dehi
E
efgh
efgi
efhi
−→ 3 casos
En total hay 68 casos 176. Para que cada número mayor que 600.000 y menor que 1.000.000 se multiplican los dígitos. Por ejemplo:
132
Número Producto de los dígitos 721231 −→ 84 603458 −→0 654322 −→1440 Escribe todos los números mayores que 600.000 y menores que 1.000.000 que tienen el producto de sus dígitos igual a 343. SOLUCION 343 = 73 los números pedidos deben contener 7abcde dos 7 y tres 1 7abcde 777111 771711 771171 771117 717711 717171 717117 711771 711717 711177 177. Aldo, Bruno y Carlos tienen, cada uno, un número distinto de figuritas. Ninguno tiene más de 100 figuritas. Si Aldo tuviera 11 veces lo que tiene más 3 figuritas, Bruno tuviera 9 veces lo que tiene más 7 figuritas y Carlos tuviera 5 veces lo que tiene más 2 figuritas, los tres tendrán la misma cantidad de figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene cada uno? SOLUCION
≠≠
A B C
133
X, y, z < 100 A) 11x + 3 B) 9y + 7 C) 5z + 2 Igualo de a dos y analizo que números pueden ser alguna solución posible. Teniendo en cuenta estas “soluciones” verifico cual de todas ellas cumplen la tercera condición.
⇒
11x + 3 = 9y + 7 = 11x = 9y + 4 x=
(5z - 1) x
y
x
z
2
2
2
Q
20
24
20
Q
38
36
38
Q
56
68
56
Q
74
90
74
43
Así obtengo (x, y, z) = (74, 90, 43) 178. Dibujo un rectángulo ABCD de 96 cm de perímetro con AB = 2 BC. Trazo una paralela a AB y una paralela a BC que dividen al rectángulo ABCD en 4 rectángulos. Llamo I al rectángulo que tiene un vértice en A y II al rectángulo que tiene un vértice en C. Se quiere que I y II tengan lados de medidas enteras e igual perímetro. Cambio la posición de las paralelas a AB y a BC de manera de obtener rectángulos I y II distintos pero que tengan lados de medidas enteras e igual perímetro. ¿Cuántos rectángulos I y II pueden obtenerse? ¿Qué medidas tienen sus lados? Da todas las posibilidades. SOLUCION 2 (AB + BC) = 96cm AB = 2BC
134
⇒
2 (2BC + BC) = 96cm = 6BC = 96cm =
⇒
BC =
AB = 32cm
2(AY + AX) = 2 (YB + XC)
⇒ ⇒
AY + YB = 32 = YB = 32 - AY AX + XC = 16 = XC = 16 - AX 2 (AY + AX) = 2 (32 - AY +16 - AX) AY + AX = 32 - AY +16 - AX
⇒
2 (AY + AX) = 48 = AY + AX = 24 AX
AY
BX
BY
AX
AY
BX
BY
AX
AY
BX
BY
1
23
15
9
6
18
10
14
11
13
5
19
2
22
14
10
7
17
9
15
12
12
4
20
3
21
13
11
8
16
8
16
13
11
3
21
4
20
12
12
9
15
7
17
14
10
2
22
5
19
11
13
10
14
6
18
15
9
1
23
179. En un tablero de 4 x 4 se llaman casillas vecinas las que tienen un lado común. En este tablero de 4 x 4 Juan coloca una ficha en una casilla y escribe en esa casilla el número 1. Una jugada consiste en mover la ficha hasta otra casilla que esté en su misma la o en su misma columna pero que no sea vecina de la casilla en que está. Cuando Juan mueve la ficha de una casilla a otra escribe, en la casilla de llegada, el número siguiente al que escribió en la casilla que acaba de dejar libre.
135
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
Decidir si, jugando de esta manera es posible que Juan escriba todos los números del 1 al 16, uno en cada casilla del tablero. Si es posible, escribirlos. Si no es posible, indicar por qué. SOLUCION No es posible el juego de Juan porque si empieza en una casilla puede llegar a la intermedia (abajo, arriba, derecha o izquierda) o sea que completa 4 casillas y vuelve a la de origen. Así se presentan estas 4 posibilidades:
180. Andrés escribió un número entero en cada círculo y después puso en cada cuadrado el resultado de multiplicar los números que estaban en los dos círculos vecinos. Algunos de los números se borraron. Completa los cuadrados y círculos vacíos con los números que había escrito Andrés. Explica cómo los encontraste.
136
SOLUCION Verifico que A esté entre 85 y 136.
⇒
Entonces MCD (85, 136) = 17 = A = 17 Entonces B = 5
⇒
C = MCD (136, 120) = 8 = F = 15 E = 9F = 135 D = 9B = 45 181. Tomás tiene tres cajas: una roja, una verde y una azul, con bolitas. Pasa un tercio de las bolitas de la caja roja a la caja verde. Después, pasa un cuarto de las bolitas que hay ahora en la caja verde a la caja azul. Por último pasa un décimo de las bolitas que hay ahora en la caja azul a la caja roja. Cuando termina de hacer estos cambios tiene 18 bolitas en cada caja. ¿Cuántas bolitas tenía inicialmente en cada caja? SOLUCION R -
(V + R)
( (V + R) + A)
R +
( (V + R) + A) = 18 −→ primer ecuación
Si la desarrollamos, queda:
4 (10 (18 - R) - A) - R = V 4 . (180 720 -
R – 10 A) - R = V
R – 40 A - R = V
V + 27R + 40A = 720 (1) (V + R) = 18 −→ segunda ecuación
⇒
3 (V + R) = 72 = 3 V +R = 72 (2) ( (V + R) + A) . 9 = 18 −→ tercer ecuación
137
⇒
(V + R) = 20 - A = (V + R)
⇒
R = 80 - 4A -V = R = 240 - 12A - 3V
3V + R + 12A = 240 (3) Queda el sistema:
3 27 40 72072 21 3 12 240 3 ⇒ ⇒
Reemplazando (2) en (3):
3V + R = 72 = (3V + R)+ 12A = 240 = 72 + 12A = 240 A=
(240 – 72) =
Reemplazando en (1)
= 14
⇒
⇒
V + 27R + 40A = 720 = V + 27R + 56 = 720 = V + 27R = 664 Combinando con la segunda:
⇒
3V + R = 72 = R = 72 - 3V V + 27R = 664
V - 81V = 664 – 1944
⇒
80V = 1280 = V = R = 72 - 3 . 16 = 24
= 16
(A, R, V) = (14, 24, 16) 182. Una hormiga camina por el borde de un plato de 8 lados iguales como el de la figura.
Cada lado del plato mide 14 cm.
138
La hormiga sale del vértice A y camina en el sentido que indica la flecha, siempre por el borde del plato. Hace la primera parada a 6 cm del vértice A y después, cada 6 cm hace una parado. En total hace 2000 paradas. ¿Cuántas veces para en el vértice A? ¿En qué otros vértices hace la misma cantidad de paradas que en A? SOLUCION 14cm cada lado per total = 8 . 14cm = 112cm 1 parada cada 6cm 2000 paradas −→ 12000cm para en A −→ A vuelta1 vuelta2 vuelta3
B
A = 107 veces C
x
D
E
F
x x
G
A
x x
x
H
x x
x
Pasa por A las vueltas múltiplo de 3 Lo mismo sucede en las paradas D y G 183. Esteban tiene más de 350 caramelos. Hace paquetes de caramelos, poniendo en cada paquete la misma cantidad de caramelos. Si pone 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6 caramelos en cada paquete siempre le sobra un caramelo En cambio, si pone 7 caramelos en cada paquete no le sobra ningún caramelo. ¿Cuál es la menor cantidad de caramelos que puede tener Esteban? SOLUCION mult(2)+1 mult(3)+1 mult(4)+1 mult(5)+1 mult(6)+1 mult(7)
139
x es impar y termina en 1 x > 350 Busco los mult (7) que cumplen las demás condiciones y analizo que pasa con lo pedido: 371 −→ mult (7), no mult (6) +1 441 −→ mult (7), no mult (6) +1 511 −→ mult (7), mult (6) +1, mult (5) +1, no mult (4) +1 581 −→ mult (7), no mult (6)+1 651 −→ mult (7), no mult (6)+1 721 −→ mult (7), es el número buscado 184. En la figura, ABC es un triángulo isósceles, DEF es un triángulo equilátero y ACDF es un rectángulo.
El perímetro del hexágono ABCDEF es 126 cm, el perímetro del pentágono ACDEF es 120cm y el perímetro del triángulo ABC es 70 cm. Cuál es la longitud de cada uno de los lados del hexágono ABCDEF? SOLUCION ABC isósceles DEF equilátero
140
ACDF rectángulo per (ABCDEF) = 126cm per (ACDEF) = 120cm per (ABC) = 70cm AB + BC + CD + DE + EF + FA = 126 AC + CD + DE + EF + FA = 120 AB + BC + AC = 70 Reemplacemos valores iguales: AB = BC −→ x CD = FA −→ y DE = EF = AC = DF −→ z
2 22 32 120126 2 70 2 2 2 ∆ 02 20 31 126 2 2 ∆ 12070 20 31 ∆ 202 12612070 231 2 2 126 ∆ 02 20 12070
Planteamos los determinantes: = 8
= 152
= 96
= 256
x=
y=
∆∆ ∆∆
=
=
= 19
= 12
141
z=
∆∆ =
= 32
185. Aldo y Bruno juntan figuritas. Aldo tiene 3 figuritas distintas y Bruno tiene 8 figuritas distintas, todas distintas de las de Aldo. Quieren cambiar figuritas de modo que Aldo tenga siempre 3 figuritas y Bruno tenga siempre 8 figuritas. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo? SOLUCION A −→ (A1 , A2, A3) B −→ (B1 , B2 , B3, B4, B5, B6 , B7 , B8)
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Si A le da 1 figurita = 3 maneras Si A le da 2 figuritas = 3 maneras Si A le da 3 figuritas = 1 manera Si B le da 1 figurita
C(8,1) = 8 maneras
Si B le da 2 figuritas
C(8,2) =
Si B le da 3 figuritas
C(8,3) =
!!.! !!.!
. ..
= =
= 28 maneras = 56 maneras
Si combinamos los dos casos tenemos:
maneras posibles = 3. 8 maneras + 3 . 28 maneras + 56 maneras = 164 maneras 186. Agustina tiene que pintar cada uno de los cuadraditos de esta tira de modo que haya 3 de un color, 2 de otro y 1 de otro color distinto de los anteriores.
Puede usar los colores rojo, amarillo y verde. No puede pintar dos cuadraditos vecinos de igual color. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo? SOLUCION 3x, 2y, 1z
C (3,6) + C (2,6) + C (1,6) =
!!.! !!.! !!.! .. . +
+
=
+
+ 6 = 20 + 15+ 6 = 41 maneras
La combinación (3, 2, 1) puede ser variando los colores rojo, amarillo, verde, o sea:
142
1R
2 A
3V
1R
2V
3 A
1 A
2R
3V
1 A
2V
3R
1V
2R
3 A
1V
2 A
3R
por cada combinación tengo 41 maneras, es decir existen 41 maneras . 6 combinaciones = 246 posibilidades. 187. En una competencia deportiva participan chicos de Argentina, Brasil, Paraguay y Uruguay. En total hay 432 chicos. El número de chicos de Paraguay es un tercio del número de chicos de Uruguay. Si se duplicara el número de chicos de Argentina, en total habría 588 chicos. Si de Uruguay s lo viniera la mitad de los chicos, la cantidad de chicos de Brasil y Uruguay ser a 241. ¿Cuántos chicos de cada país participan en esa competencia? SOLUCION A + B + P + U = 432
B + = 241 2A + B + P + U = 588 Cómo: P=
A +241 - +
+ U = 432
⇒ ⇒
2A +241 - + + U = 588 Igualando:
⇒
191 - A = 347 - 2A
A + U = 191
2A + U = 347
A = 347 - 191 = 156
U = (191 – A) = (347 -2A) P=
=
= 7
143
U = (191 – A) = (191 – 156)= 21 Reemplazando, queda:
A + B + U = 432
B + = 241
2A + B + U = 588 Planteo el determinante ∆
1 1 ∆ 02 11 ( ) 432 1 ∆ 241588 11 ( ) 1 432 ∆ 02 241588 ( ) 1 1 432 ∆ 02 11 241588 = -
= - 130
= -
= - 35
A=
∆∆ −
B=
∆∆
U=
∆∆ −
=
= 156
= = 220 =
= 42
(A, B, U) = (156, 220, 42)
144
P=
=
= 14
188. Lucia tiene piezas de cartón todas iguales entre sí. Cada pieza es un triángulo de lados iguales. Cada lado mide un número entero de centímetros. Si bordea todos los lados de todas las piezas de cartón con cinta, de un rollo de 2002 cm le sobran 4 cm. ¿Cuántas piezas de cartón puede tener Lucía? Da todas las posibilidades e indica, en cada caso, ¿cuánto mide el lado? SOLUCION 2002cm - 4cm = 1998cm 1998
2
999
3
333
3
111
3
37
37
1 per total = 1998cm 1 ∆ −→ 666cm cada lado 2 ∆ −→ 333cm cada lado 3 ∆ −→ 222cm cada lado 6 ∆ −→ 111cm cada lado 9∆ −→ 74cm cada lado 18 ∆ −→ 37cm cada lado 74 ∆ −→ 9cm cada lado 111 ∆ −→ 6cm cada lado 222∆ −→ 3cm cada lado 333 ∆ −→ 2cm cada lado 666 ∆ −→ 1cm cada lado 189. Juan tiene una birome y 7 lápices todos de distintos colores.
145
Como perdió su cartuchera decide distribuirlos en los dos bolsillos de su campera. Si pone al menos un lápiz en cada bolsillo, ¿de cuántas maneras puede guardar la birome y los 7 lápices? SOLUCION
∧ ∧
B L1, L2, L3, L4 , L5 , L6, L7 B 3L= C(7,3) =
!!.! ... =
= 35
⇒
Puede haber 35 combinaciones distintas para cada bolsillo = 70 posibilidades 190. En el cuadrado grande se marca sobre un lado el punto medio M y se trazan los segmentos que unen M con los vértices opuestos.
Los puntos medios de estos segmentos son R y S. PQRS es un cuadrado. Se repite este procedimiento dos veces. ¿Qué fracción del cuadrado grande representa la zona sombreada? SOLUCION Sea:
SR = AB = FM
EG= IF = AB HJ = KJ =
AB
área (SRM) = (SR . FM) = ( AB)2 = (AB)2 área (EFG) == (EG . IF) = ( AB)2 =
área (SRM) == (HJ . KI) = ( AB)2 =
(AB)2 (AB)2
146
área (SRM) + área (EFG) + área (SRM) = (AB)2 +
(AB)2 +
(AB)2 =
191. Un coleccionista de estampillas inició su colección en el año 1999.
++
(AB)2 =
(AB)2
Tenía estampillas americanas y europeas. En 2000, duplicó la cantidad de estampillas americanas que tenía el año anterior; duplicó la cantidad de estampillas europeas que tenía el año anterior y después vendió 8 europeas. En 2001, duplicó la cantidad de estampillas americanas que tenía el año anterior; triplicó la cantidad de estampillas europeas que tenía el año anterior y después vendió 60 europeas. Al finalizar 2001 tenía la misma cantidad de estampillas americanas que europeas. En 2002, duplicó la cantidad de estampillas americanas que tenía el año anterior; cuadruplicó la cantidad de estampillas europeas que tenía el año anterior y después vendió 30 europeas. Al finalizar el 2002 tenía en total 618 estampillas. ¿Con cuántas estampillas de cada clase inició su colección en el año 1999? SOLUCION
∧
1999 −→ A E 2000 −→ 2A + 2E - B
2001
⇒
i)
4A + 3 (E - 8) - 60 = A = E
ii)
6E - 24 - 60 = 6E - 84
De i) e ii) 4A = 6E - 84 2002 8A + 24 86E - 84) - 30 = 618
⇒
8A + 24E = 618 + 336 + 30 = 984 8 (A + 3E) = 984 = A + 3E = 123 Quedan las ecuaciones:
4 3612384 ∆ det4 1 63 ∆ det 18423 36 ∆ det4 1 12384
= -18 = -486
A= B=
∆∆ ∆∆
= =
− − − −
= -576
= 27 = 32
147
192. Se quieren colocar los números 1- 2- 3- 4- 5- 6 - 7- 8 en los vértices del cubo, de modo que la suma de los números que hay en los vértices de cada una de las caras sea siempre la misma.
Muestra cómo hacerlo.
SOLUCION
Cada vértice (1, ... , 8) Cada cara debe sumar 18
⇒
Si en una cara coloco (3, 4, 5, 6) = en la cara opuesta (1, 2, 7, 8) Vértices que suman 18:
(1, 4, 6, 7), (2, 3, 5, 8), (4, 5, 8, 1), (2, 4, 5, 7), (1, 3, 6, 8), (2, 3, 6, 7) 193. María tiene un rompecabezas de piezas rectangulares, una pieza de cada tamaño. Ordenadas de menor a mayor, la primera tiene 2 cm de base y 3 cm de altura; la segunda tiene 2 cm de base y 4 cm de altura; la tercera tiene 2 cm de base y 5 cm de altura y así sucesivamente. Las bases son todas de 2 cm y las alturas aumentan 1 cm cada vez. Las pone en escalera una a continuación de otra, así:
148
a)
Con las 100 primeras piezas arma una figura, ¿qué perímetro tiene esta figura?
b) Poniéndolas en el mismo orden, ¿es posible que María arme una figura de 2004 cm de perímetro? Si es posible, ¿cuántas piezas necesita?
Si no es posible, explica por qué. SOLUCION Per fig = 2 (100 . 2cm) + 2. (3cm + 99cm) = 40cm + 204cm = 604cm Sea x la cantidad de piezas necesarias. Per fig = 2004cm 4x + 2 (3cm + x + 1cm) = 2004cm
⇒
6x = 2000cm = 3x = 1000cm No es posible pues 1000 no es múltiplo de 3. 194. En febrero, un librero compró 120 cajas de diccionarios; por cada dos cajas recibio un diccionario de regalo. Cada caja contiene una docena de diccionarios. Durante el mes de marzo vendió las tres quintas partes de todos los diccionarios que tenía, cada uno a un tercio más de lo que había pagado por cada uno de los que compró. En abril vendió los restantes diccionarios, cada uno a un tercio menos de lo que había pagado por cada uno de los que compró. En total ganó $ 5760. ¿Cuánto le había costado cada caja de diccionarios? SOLUCION compró −→ 120 cajas −→ precio de compra x regalo −→ 60 cajas −→ ganancia : $5760 venta −→ 180 cajas (venta 1) −→ (venta 1) −→
. 180 cajas . 180 cajas
⇒ ⇒
108 cajas . x = 144x
72 cajas . x = 48 x
149
144x + 48x = $5760 + 120x 192x - 120x = $5760
⇒
x = $
= $80
precio de compra −→ $80 por caja (venta 1) (venta 2)
⇒ ⇒
144x = 144 . $80 = $11520 48x = 48 . $80 = $3840
total venta −→ $15360 195. En la figura algunos círculos están conectados. Inés tiene 3 lápices de colores: uno azul, uno verde y uno rojo. Quiere colorear cada círculo de la figura con un color, con la condición de que dos círculos que estén conectados no tengan el mismo color. ¿Cuántos diseños distintos puede obtener Inés?
SOLUCION A, V, R 12345
12345
V RRAR
V AARA
V RRAV
12345
12345
12345
12345
AV V RV
ARRV R
RAAV A
RV V AV
V AARV
AV V RA
ARRV A
RAAV R
RV V AR
V RRV A
V AAV R
AV V AR
ARRAV
RAARV
RV V RA
V RRV R
V AAV A
AV V AV
ARRAR
RAARA
RV V RV
V RAV A
V ARV R
AV RAR
ARV AV
RAV RV
RV ARA
V RAV R
V ARV A
AV RAV
ARV AR
RAV RA
RV ARV
V RARA
V ARAR
AV RV R
ARV RV
RAV AV
RV AV A
V RARV
V ARAV
AV RV A
ARV RA
RAV AR
RV AV R
Hay 48 combinaciones posibles. 196. Un turista quiere viajar 20 días al Noroeste Argentino, visitando s lo las ciudades de Salta y Jujuy. El viaje lo hará en avión. Las tarifas de los hoteles son diarias. Si permanece en Salta 5 ó más días, en el hotel le rebajan un quinto de la tarifa.
150
Entre pasajes y hotel gastaría: $ 2100 si se queda en Salta 4 días; $ 2035 si se queda en Jujuy 15 días; $ 2070 si se queda igual cantidad de días en cada ciudad. ¿Cuál es la tarifa diaria del hotel de Jujuy? ¿Cuál es la tarifa diaria del hotel de Salta? ¿Cuánto pagó por el pasaje de avión? SOLUCION
{22 44 1615 2100 2035 {22 48 1610 2100 2070 22 48 1060 1420
De aquí: J = $65
Reemplazando J
Igualando:
$1060 - 4S = $1420 - 8S
⇒
⇒
4S = $1420 - $1060 = 4S = $360 = S = $90
⇒
2P = $1060 - $360 = $700 = P = $350 (P, S, J) = ($350, $90, $65)
197. En un triángulo equilátero se divide cada lado en partes iguales, se trazan las paralelas a los lados y los triangulitos que resultan se pintan como se ve en las figuras:
Una hormiga recorre el borde del triángulo grande y los bordes de cada uno de los triangulitos pintados, sin pasar dos veces por ningún segmento. Si la longitud del camino que recorre la hormiga es igual a 6 veces el perímetro del triángulo grande, ¿en cuántas partes se dividió el lado del triángulo grande? ¿Cuántos triangulitos quedaron pintados? SOLUCION
151
per total = 6. per (ABC) AB = BC = CA = 18AB per interior = 5 . per (ABC)
∑ ∑ ⇒ ∑ ∑ ∑ ⇒ 3.
= 15AB
= 5AB
x=
x −→ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 −→ 1 , 3 , 6 , 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55
3.
+ 3 = 18x
3 . 45 + 3 . 9 = 18 . 9 = x = 9 198. Al concierto asistieron 120 personas entre hombres, mujeres y niños. Recaudaron $ 1200 por la venta de entradas. Los hombres pagaron $ 50, las mujeres pagaron $ 20 y los niños, $1. El total de adultos que concurrieron era un tercio del número de niños. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños estuvieron en el concierto? SOLUCION
120 50 20 1200 ⇒ 3 333 1201200 50 20 301200 53 23 ∆ det 513 231 ∆ det 130200 231 ∆ det 513 120030 ∆ − H+M=
N
N = 3H + 3M
Queda el siguiente sistema:
Es semejante a:
= -30
= -510
= -390
H=
M=
∆ − ∆∆ − − =
=
= 17
= 13
152
N = 3 . (H + M) = 3 . (17 + 13) = 90 (H, M, N) = (17, 13, 90) 199. Superponiendo rectángulos iguales de cartulina, Camila arma la figura que se muestra. En cada rectángulo la base es el doble de la altura.
Los lados de los rectángulos superpuestos se cortan en sus puntos medios. El perímetro de la figura que se muestra es de 30 cm. Siguiendo este procedimiento, Camila arma una figura con 10 de estos rectángulos. ¿Qué perímetro tiene la figura que armó Camila? ¿Podrá armar, con este procedimiento, una figura de 2006 cm de perímetro? Si es posible, indica Cuántos rectángulos debe utilizar. Si no es posible, explica por Qué. SOLUCION b = 2a per fig = 30cm 2.(
b+
a) = 30cm
⇒
b + a = 6cm , si b = 2a = 2a + a = 6cm
⇒
3a = 6cm = a = 2cm , b = 4cm a)
figura con 10 rectángulos per fig = (r + 1) . (b + a) = (10 + 1) . (4cm + 2cm) = 66cm
b) per fig = 2006 cm es imposible porque 2006 no es múltiplo de 6. 200. En la figura todos los triángulos son equiláteros. El perímetro de cada rectángulo es el cuádruple del perímetro de un triángulo pequeño. El triángulo grande tiene 90 cm de perímetro. 153
¿Cuál es el perímetro de la figura? ¿Es posible dibujar una figura como esta que tenga 2007 cm de perímetro, de modo que todos los triángulos sean equiláteros, el perímetro de cada rectángulo sea el cuádruple del perímetro de un triángulo pequeño y todos los lados tengan longitudes enteras? Si es posible, indicar la longitud del lado del triángulo grande. Si no es posible, explicar por qué.
SOLUCION
∆ ⇒ ⇒
per (rectángulo) = 4 . per ( )
∆
per ( ) = 90cm
per (fig) = 2 . (a + b) = 12a =
⇒
b = 5a = a = b
⇒
⇒
2a + 2b = 12a = 2b = 10a
3b = 90cm = b = 30cm = a = 6cm 2 . (a + b)= 2 . (6cm + 30cm) = 72cm
∆
per 4 = 4 . 3a = 4 . 3 . 6cm = 72cm a)
per fig = 6a + 3b = 3 . (2a + b) = 3 . (2 . 6cm + 30cm) = 126cm
b) 6a + 3b = 2007cm 2a + b = 669cm
Si a = b ,
b + b = 669 cm
⇒
b = 669cm
El caso b = .669 cm es imposible pues 2007 no es múltiplo de 7
154
201. En la escuela los alumnos de quinto, sexto y en séptimo son, en total, 349. En séptimo grado hay 15 alumnos más que en quinto grado. La tercera parte de los de quinto, la cuarta parte de los de sexto y las dos terceras partes de los de séptimo, estudian inglés. La mitad de estos están en nivel avanzado. En las clases de inglés de nivel avanzado, hay en total 64 chicos de los tres grados. ¿Cuántos chicos hay en quinto grado, cuántos en sexto y cuántos en séptimo? SOLUCION Sean: x = alumnos de 5to grado y = alumnos de 6to grado z = alumnos de 7mo grado x + y + z = 349 z = x + 15
x + y + z = 128
Escrita de otra manera: x + y + z = 349 -x + z = 15
x + y + z = 128
Calculamos el determinante
∆
1 1 1 ∆ 1 0 1 349 1 1 ∆ 12815 0 1 ⇒ ∆∆ 1 349 1 1 15 ∆ 128 1 ⇒ ∆∆ 1 1 349 1 0 ∆ 12815 ⇒ ∆∆ =
=
x =
= 98
y =
= 42
z =
= 69
= 196
= 84
155
202. En cada punto hay que escribir un número del 1 al 12, sin repeticiones, de manera que la suma de los cuatro números de cada una de las seis l neas sea la misma.
Ya hay cinco números ubicados (1, 4, 6, 8 y 9). Ubicar los siete números que faltan. SOLUCION Tengo que completar la gráfica usando del 1 al 12 sin respetar los números dados. Marco los ya usados y analizo cada lado de los dos triángulos que se cruzan. a+b+c+1 b + c + 12 c+d+g+4 a + 23 d + f + 10 e+f+g+6 Cada ecuación debe ser igual a las otras. Supongo
⇒
a = 3 = a + 23 = 26
⇒
⇒ ∧ ⇒ ∧
b + c + 3 + 1 = 26 = b + c = 22 = b = 12 c = 10
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
b + e = 14 = e = 2
c + d + g = 22 = d + g = 12 = d = 5 g = 7 d + f = 16 = f = 11
e + f + g = 20 = 2 + 7 + 11 = 20 (satisface la ecuación)
156
Entonces queda:
3 2 1 2 11 10 7 5
203. A un congreso asistieron 120 participantes en total. Por la mañana ocuparon los salones A, B y C. Por la tarde: la mitad de los participantes que había a la mañana en el salón A pasaron al salón B, la quinta parte de los participantes que había a la mañana en el salón B pasaron al salón C y la tercera parte de los participantes que había a la mañana en el saló n C pasaron al salón A. A pesar de estos movimientos, el número de participantes que había en cada salón a la tarde fue el mismo que a la mañana. ¿Cuántos participantes hubo en cada salón? SOLUCION A + B + C = 120
( A + C) + ( A + B) + ( B + C) = 120 = =
15A = 6B = 10C
A + A + A = 120
⇒
5A = 120 = A = 24
B = A = .24 = 60 C = A = .24 = 36 204. ABCD es un rectángulo. M es punto medio de CD y N es punto medio de AB. El rectángulo PQMD ocupa la sexta parte del rectángulo ABCD. El rectángulo NBSR ocupa la octava parte del rectángulo ABCD. El perímetro de PQMD es 92 cm. El perímetro de NBSR es 84 cm. Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD? ¿Cuál es el perímetro de cada uno de los rectángulos de la figura?
157
SOLUCION per (PQMD) = 92cm PQ + QM = 46cm per (NBSR) = 84cm NB + BS = 42cm DM . DP = NB . BS =
⇒
⇒=
DM = NB = DM = BS = DP = DP
46 - DP = 42 - BS
=
DP = BS
⇒
∧
46 + BS = 42 + DP = BS = DP - 4 DP = BS + 4 DP - 4 =
⇒ ⇒ ∧
DP =
AN = NB = 30
DP = 4 = DP = 16 BS = 12
per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = 2 . (AB + BC)
∧
AB = 2 . NB BC = 4 . BS 2 . (AB + BC) = 2 . (2NB + 4BS) = 4 . (NB + 2BS) = 4 . (30cm + 2 . 12cm) = 4 . 54cm = 216cm
per (CMRS) = 2 . (RS + CS) = 2 . (NB + BS) = 2 . (30cm + 3 . 12cm) = 132cm per (ANQP) = 2 (AN + NQ) = 2 . (AN + 2DP) = 2 . 830cm + 2 . 16cm) = 124cm
158
205. Javier hace encuestas departamento por departamento. En un edificio de 4 pisos, con 3 departamentos por piso, debe elegir 10 departamentos para hacer su encuesta. ¿De cuántas maneras distintas puede elegirlos? Explica cómo las contaste. SOLUCION
C(12,10) =
!!.! . =
= 66
En cada encuesta considero a todos pero elimino 2.
159
(1 A,1B)
(1 A,4C )
(1B,4C )
(1C,4C )
(2B,3 A)
(2C,4C )
(3C,4 A)
(1 A,1C )
(1B,5C )
(1C,2 A)
(2 A,2B)
(2B,3B)
(3 A,3B)
(3C,4B)
(1 A,2 A)
(1B,2 A)
(1C,2 A)
(2 A,2C )
(2B,3C )
3 A,3C )
(3C,4C )
(1 A,2B)
(1B,2B)
(1C,2B)
(2 A,3 A)
(2B,4 A)
3 A,4 A)
(4 A,4B)
(1 A,2C )
(1B,2C )
(1C,2C )
(2 A,3B)
(2B,4B)
(3 A,4B)
(4 A,4C )
(1 A,3 A)
(1B,3 A)
(1C,3 A)
(2 A,3C )
(2B,4C )
(3 A,4C )
(4B,4C )
(1 A,3B)
(1B,3B)
(1C,3B)
(2 A,4 A)
(2C,3 A)
(3B,3C )
(1 A,3C )
(1B,3C )
(1C,3C )
((2 A,4B)
(2C,3B)
(3B,4 A)
(1 A,4 A)
(1B,4 A)
(1C,4 A)
(2 A,4C )
(2C,3C )
(3B,4B)
(1 A,4B)
(1B,4B)
(1C,4B)
(2B,2C )
(2C,4 A)
(3B,4C )
206. Juan y 4 amigos van a una excursión de todo el día. Por el pasaje, el almuerzo y la merienda cada uno pagó en total $ 175. Cada chico tiene un vale por medio almuerzo y otro vale por media merienda. Si Juan usa el vale del almuerzo y los amigos usan el vale de la merienda, entre todos gastan $ 45 más que si Juan usa el vale de la merienda y los amigos usan el vale del almuerzo. El pasaje cuesta una vez y media lo que cuestan el almuerzo y la merienda juntos. ¿Cuánto cuesta cada pasaje, cuánto cada almuerzo y cuánto cada merienda? SOLUCION P + A + M = $175
⇒
$45 + A + 2M = M + 2A
⇒
$45 = A - M = 3A - 3M = $90 = A - M = $30
⇒ 17530 2 3 3 0 ∆ 102 311 311
P = (A + M) = 2P - 3A - 3M = 0 Queda el siguiente sistema de ecuaciones:
Planteando determinantes:
= -10
160
175 1 1 ∆ 300 31 13 ∆ 102 175300 131 ∆ 102 311 175300 ∆ −
= -1050
= - 500
= -200
P=
A=
∆ − ∆∆ − − ∆∆ − − =
= 105
=
M=
=
= 50
= 20
(P, A, M) = ($105, $50, $20) 207. En la figura: ABCD es un cuadrado. DEHG; DEIJ y FCJI son rectángulos.
Perímetro de DEHG = 110 cm Perímetro de DEIJ = 262 cm AD = 4 DE DG = JC ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ABCD? SOLUCION ABCD cuadrado per (DEHG) = 110cm per (DEIJ) = 262cm AD = 4DE 161
DG = JC
⇒ ⇒ ⇒
2 . (DE + EH) = 110cm = DE + EH = 55cm 2 . (DE + EI) = 262cm = DE + EI = 131cm EI = EH + HI
⇒
55cm - EH = 131cm - EI = EI = (131cm - 55cm) + EH = 76cm + EH = HI = 76cm Sean: DG = JC = EH −→ z HI = GJ −→ y DE = GH = JI −→ x Queda el sistema de ecuaciones: 2z + y = 4x x + z = 55cm x + y + z = 131cm Como: 4x - 2x = 76cm 2x -z = 38cm x + z = 55cm Planteando determinantes:
∆ det 2 1 11 ∆ det 38 55 11 ∆ det 2 1 3855 ∆
=3 = 93
= 72
x= z=
∆ ∆∆ =
= 31cm
=
= 24cm
(x, y, z) = (31cm, 76cm, 24cm) 208. En el perchero de una tienda hay 8 per fichas para colgar 8 remeras del mismo modelo y color pero de distintos tamaños: hay 3 remeras pequeñas, 3 remeras medianas y 2 remeras grandes. Si no se quieren poner remeras de igual tamaño en per fichas consecutivas, ¿de cuántas maneras distintas se pueden colgar las 8 remeras? SOLUCION 162
3P, 3M, 2G En este caso se trata de permutaciones con repetición ya que son los diferentes grupos que pueden formarse con una cantidad de elementos (8) de modo que dos grupos son diferentes entre s porque sus elementos están en distinto orden. Para no equivocarnos porque puede haber muchos grupos distintos y podemos olvidarnos de alguno, existe una fórmula que lo verifica: PR Donde: N: es el total de los elementos n: es la cantidad de elementos de cada grupo. En nuestro caso: PR Podemos colgar las remeras de 560 maneras distintas. 209. Una empresa transportó 6240 toneladas de alimentos utilizando, siempre a su máxima capacidad, 5 camiones grandes y 10 camiones pequeños. Los camiones grandes tienen 4 toneladas de capacidad y los pequeños, 1 tonelada y media. Cada camión hizo siempre el mismo número de viajes por día. Los camiones pequeños hicieron un viaje más por día que los camiones grandes. En cierta cantidad de días la empresa transportó
del total. El resto lo transportó en 6 días menos.
¿Cuántos días en total tardó la empresa para transportar todos los alimentos? ¿Cuántos viajes por día hizo cada camión grande y Cuántos cada camión pequeño? SOLUCION TOTAL −→ 6240 ton 5 camiones grandes −→ 4ton 10 camiones pequeños −→
TOTAL =
ton
. 6240ton = 3900 ton
x días −→ 3900 ton (x - 6) días −→ 2340ton x . 2340ton = (x - 6) . 3900ton
⇒
2340x = 3900x - 23400ton = 23400ton = 1560x x=
on
= 15
163
20x + 15y = 260ton 4x + 3y = 52ton Como x = y - 1 4 (y - 1) + 3y = 52ton
⇒
7y = 56ton = (x , y) = (7, 8) 210. ABEF es un rectángulo, AB = 2 BE. CDE es un triángulo isósceles; CD=DE. Los triángulos BCD y FED son iguales, BC = FE. Los triángulos BCE y CDE tienen igual perímetro. El perímetro de ABDF es 288 cm. ¿Cuál es el perímetro de ABCDF? ¿Cuál es el perímetro de BCD?
SOLUCION AB = 2BE
⇒
CD = DE BCD = FED = BC = FE per(BCE) = per(CDE) per(ABDF) = 288cm ¿per (ABCDF)? ¿per (BCD)? BC + CE + BE = CD + DE + CE AB + BD + DF + FA = 288cm BC = FE = AB = 2BE
164
⇒
2BE + CE + BE = 2DE + CE = 3BE = 2DE 2BE + BE + DE + DF + BE = 288cm 4BE + DE + DF = 288cm DF =
√ 4 4 ⇒ =
BE
4 BE + BE +
= 288 cm
BE + BE = 8 BE = 288cm
BE =
cm = 36 cm
per (BCD) = BC + CD + BD BC = FE = AB = 2BE
CD = DE = BE
BD = BE + DE = BE Entonces:
per (BCD) = 2BE + BE+ BE = 6BE = 6 . 36cm = 216cm
per (ABCDF) = AB + BC + CD + DF + FA = 2BE + 2BE + BE+ BE + BE = 9BE = 9 . 36cm = 288cm 211.a) Juan escribe los números del 1 al 12, uno en cada casilla del tablero de manera que la suma de los 4 números de cada fila es la misma para las 3 filas. Muestra una manera de hacerlo. ¿De cuántas maneras se puede completar la primera fila empezando con el 12 y con los otros tres números ordenados de mayor a menor? Para cada una, muestra un tablero posible.
b) ¿Podrá Juan poner los 12 números en el tablero de manera que la suma de los 3 números de cada columna sea la misma para las 4 columnas? Si es posible, muestra cómo. Si no es posible, explica por qué.
165
