Olimpíada Matemática del Cono Sur I Olimpíada Matemática del Cono Sur (Uruguay. ( Uruguay. 1989)
1) Dos triángulos isósceles cuyos lados miden x, x, a y x, x, b, respectivamente, tienen igual área;
a ≠b
. Hallar x.
Rta: x = √ a + b 2
2
2
(Se encara planteando el área de cada uno, en función de a y x en un caso, y de b y x en el otro. Se igualan las expresiones y se despeja x).
2)Hallar la suma 1 + 11 + 111 + 111...111, ue tiene n sumandos.
3) Un n!ero p se dice perfecto si la su!a de sus di"isores, exceptuando al propio p, da co!o resultado p. Sea f una función tal #ue: f(n) $ % si n perfecto •f(n) $ % si las cifras de las unidades de n es & •f(a.b) $ f(a) ' f(b) •
alcular f(*++). &) !e considera un n"mero n de cuatro ci#ras, cuadrado per#ecto, tal ue todas sus ci#ras son menores ue $. !i a cada ci#ra se le suma 1, el n"mero resultante es otro cuadrado per#ecto. Hallar n.
Rta:
n= 2025
( 452 =2025 y 562=3136 ) Lo saque por tanteo :(
) -n el cuadrado /0 se consideran las diagonales y /0. Sea 1 un punto cual#uiera perteneciente a uno de los lados. 0e!ostrar #ue la su!a de las distancias de 1 a las dos diagonales es constante. 2 0e!ostrar #ue reduciendo las di!ensiones de un ladrillo no se puede obtener otro #ue tenga, al !is!o tie!po, la !itad del "olu!en y la !itad de la superficie del pri!ero.
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II Olimpíada Matemática del Cono Sur Argentina. 1991
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Sean , / y tres tres puntos puntos no colineales colineales (no alineados) alineados) y - ( /) un punto punto cual#uier cual#uieraa #ue no no perteneca a la recta . onstruya los paralelogra!os /0 (en este orden) y -4 (ta!bi5n en este orden). 0e!uestre #ue /- 66 04. 7 0os personas y / juegan el siguiente juego: j uego: co!iena eligiendo un n!ero n !ero natural y luego, cada jugador en su turno, dice un n!ero de acuerdo con la siguiente regla: si el lti!o n!ero dic8o fue i!par, el jugador su!a 9 a este n!ero •si el lti!o n!ero dic8o fue par, el jugador lo di"ide por 7. •
;ana el jugador #ue repite el n!ero #ue fue elegido inicial!ente. -ncontrar todos los n!eros #ue puede elegir para ganar.
& Un juego consiste de * botones (de color negro o blanco) dispuestos de la siguiente !anera:
Si se aprieta un botón del borde del cuadrado ca!bian de color 5l y todos sus "ecinos, si se aprieta el botón del centro ca!bian de color sus + "ecinos pero 5l no. >os eje!plos siguientes !uestran con c?rculos =blancos= los botones #ue ca!bian de color al presionar el botón #ue se indica.
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II Olimpíada Matemática del Cono Sur Argentina. 1991
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Sean , / y tres tres puntos puntos no colineales colineales (no alineados) alineados) y - ( /) un punto punto cual#uier cual#uieraa #ue no no perteneca a la recta . onstruya los paralelogra!os /0 (en este orden) y -4 (ta!bi5n en este orden). 0e!uestre #ue /- 66 04. 7 0os personas y / juegan el siguiente juego: j uego: co!iena eligiendo un n!ero n !ero natural y luego, cada jugador en su turno, dice un n!ero de acuerdo con la siguiente regla: si el lti!o n!ero dic8o fue i!par, el jugador su!a 9 a este n!ero •si el lti!o n!ero dic8o fue par, el jugador lo di"ide por 7. •
;ana el jugador #ue repite el n!ero #ue fue elegido inicial!ente. -ncontrar todos los n!eros #ue puede elegir para ganar.
& Un juego consiste de * botones (de color negro o blanco) dispuestos de la siguiente !anera:
Si se aprieta un botón del borde del cuadrado ca!bian de color 5l y todos sus "ecinos, si se aprieta el botón del centro ca!bian de color sus + "ecinos pero 5l no. >os eje!plos siguientes !uestran con c?rculos =blancos= los botones #ue ca!bian de color al presionar el botón #ue se indica.
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@-s posible (apretando sucesi"a!ente algunos botones) dejar todos los botones con color negro, si inicial!ente estaban todos de blancoA
2 0ado un n!ero natural n (diferente de %), sea f(n) el pro!edio de todos sus di"isores positi"os. 1or eje!plo: f(3) $ ('3)67 $ 7 y f(7) $ ('7'3'&'2'7)62 $ &63 a.0e!uestre #ue:
b.-ncuentre todos los n!eros naturales n para los cuales:
f(n) $ *6*
%%% &limp'ada (atemática del ono !ur.
Print document *ile. 12
rimer d'a
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1. Ballar un n!ero entero positi"o n de !anera tal #ue si a su expresión se le coloca un 7
por la i#uierda y un por la derec8a, el n!ero resultante sea igual a 33n. 2. Sea 1 un punto fuera de la circunferencia . -ncontrar dos puntos C y R en la
circunferencia tales #ue 1, C, R est5n en l?nea recta y C sea el punto !edio del seg!ento 1R. (discutir el n!ero de soluciones). -. Se define el conjunto de %% n!eros , 67, 63, ..., 6%%.
Se eli!inan dos ele!entos cuales#uiera a y b de este conjunto y se incluye, en el conjunto, el n!ero a ' b ' ab #uedando as? un conjunto con un ele!ento !enos. 0espu5s de ** de estas operaciones, #ueda sólo un n!ero. @Cu5 "alores puede to!ar ese n!eroA
!egundo d'a . 1ruebe #ue no existen n!eros enteros positi"os x, y, #ue satisfagan
x7 ' y7 $ 37 /. -n un triángulo /, sea - el pie de la altura desde sobre /.
0e!ostrar #ue - $ (b.c)6(7r) donde r es el radio de la circunferencia circunscrita, b$ y c$/. $. Se tiene un tablero de ! x n casillas. Se asigna inicial!ente un n!ero entero no
negati"o a cada una de las casillas. -n el tablero se per!ite efectuar la siguiente operación: en cual#uier par de casillas con un lado co!n se puede !odificar los dos n!eros su!ándoles un !is!o n!ero entero (#ue puede ser negati"o), sie!pre #ue a!bos resultados sean no negati"os. @Cu5 condiciones se deben satisfacer inicial!ente en la asignación de los n!eros, para dejar, !ediante aplicaciones reiteradas de la operación, cero en todas las casillasA
%0 &limp'ada (atemática del ono !ur. rasil. 1-
rimer d'a
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1. -stando algunas pilas de discos en una !esa, un !o"i!iento ad!isible es elegir una pila, In order to print this document from Scribd, you'll
descartar uno de sus discosfirst y di"idir lo #ue resta need to download it. de la pila en dos pilas no "ac?as, no necesaria!ente iguales. Dnicial!ente 8ay sobre la !esa sólo una pilaDownload y 5sta tiene Cancel And%%% Printdiscos. 0eter!ine si es posible, despu5s de alguna sucesión de !o"i!ientos ad!isibles, llegar a una situación donde cada pila tenga exacta!ente 3 discos. 2. Sean tres puntos , / y perteneciente a una circunferencia de centro E tales
#ue ∠E/ F ∠/E. Sea 0 el punto !edio del arco #ue contiene a /. Sea G el pie de la perpendicular a / por 0. 1ruebe #ue / ' /G $ G. -. 0eter!ine el n!ero de ele!entos #ue puede tener un conjunto / contenido en H,
7 , ... , nI con la siguiente propiedad: 1ara cuales#uiera a y b ele!entos de /, con a diferente de b, (a = b) no di"ide a (a ' b).
!egundo d'a . -n un tablero de ajedre (+ x +) están escritos ordenada!ente los n!eros del al 2& en
la pri!era fila, de i#uierda a derec8a están los n!eros del al +, en la segunda fila, de i#uierda a derec8a se ponen del * al 2, etc. Se colocan signos ' ó = a cada n!ero de !anera #ue en cada fila 8aya & signos ' y & signos =, y lo !is!o ocurra en cada colu!na. Se su!an los 2& n!eros as? obtenidos. Ballar todos los posibles resultados de esta su!a. /. 1ruebe #ue existe una sucesión a ,..., aJ ,..., donde cada a i es un d?gito (o sea ai pertenece
a H %, , 7, 3, &, , 2, 9, +, * I ) y a % $ 2, tal #ue para cada entero positi"o n el n!ero xn $ a% ' %a'%%a7' ... '% n = an = "erifica #ue xn7 = xn es di"isible por %n. $. 1ruebe #ue dado un n!ero entero positi"o n, existe un entero positi"o J n con la
siguiente propiedad: 0ados J n puntos cuales#uiera en el espacio, & a & no coplanares, y asociados n!eros enteros entre y n a cada arista #ue une 7 de estos puntos, 8ay necesaria!ente un triángulo deter!inado por 3 de ellos cuyas aristas tienen asociados el !is!o n!ero. 0 &limp'ada (atemática del ono !ur. ruguay. 1
Print document rimer d'a 1. -l entero positi"o K
In order to print this document from Scribd, you'll need cifras. to download tienefirst**& 0e it. estas, & son iguales
a cero y los n!eros de "eces #ue aparecen las de!ás cifras: ,7,3,&,,2,9,+,*, están en la raón :7:3:&::2:9:+:*, Cancel Download And Print respecti"a!ente. 0e!ostrar #ue K no es un cuadrado perfecto. 2. Se considera una circunferecia () de diá!etro /$ . Se elige un punto 1 % en la
circunferencia, distinto de , y a partir de 1 % se construye una sucesión de puntos 1, 17, ... ,1n, ... de la circunferencia, del !odo siguiente: Cn es el si!5trico de respecto de 1 n y la recta #ue une / y C n corta a la circunferencia () en los puntos / y 1n' (no necesaria!ente diferentes). 0e!ostrar #ue es posible elegir 1% tal #ue se cu!plan si!ultánea!ente: i.-l
ángulo 1%/ es !enor #ue
ii.-n la sucesión generada a partir de 1 % 8ay dos puntos 1J y 1 j tales #ue el
triángulo 1J 1 j es e#uilátero. -. Sea p un n!ero real positi"o dado. Ballar el !?ni!o "alor de x 3 ' y3 sabiendo #ue x e y son n!eros reales positi"os tales
#ue x.y.(x'y)$p.
!egundo d'a . 1edro y ecilia participan en un juego con las siguientes reglas:
1edro elige un n!ero entero positi"o a y ecilia le gana si encuentra un n!ero entero positi"o b, pri!o con a, tal #ue en la desco!posición en factores pri!os de a3 ' b3 aparecen por lo !enos tres factores pri!os distintos. 0e!ostrar #ue ecilia sie!pre puede ganar. /. 0eter!inar infinitas ternas x, y, de enteros positi"os #ue sean soluciones de la ecuación x7 ' y7 $ 77, tales #ue el !áxi!o co!n di"isor de x, y, sea . $. Sea / un triángulo rectángulo en . Sobre el lado / se to!a un punto 0, de !odo
#ue 0$J, y los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos 0 y 0/ son iguales. 0e!ostrar #ue el área del triángulo / es igual a J 7.
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0% &limp'ada (atemática del ono !ur. olivia. 1/
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rimer d'a 1. Ballar un n!ero de tres cifras, sabiendo #ue la su!a de sus cifras es *, el producto de
las !is!as es 7& y ade!ás el n!ero le?do de derec8a a i#uierda es 7963+ del n!ero pri!iti"o. 2. Bay die puntos !arcados sobre una circunferencia. >os nu!ero del al % y trao todos
los seg!entos #ue estos puntos deter!inan. oloreo los seg!entos, unos con rojo y otros con aul. Sin ca!biar los colores de los seg!entos, renu!ero todos los puntos del al %. @Será posible colorear los seg!entos y renu!erar los puntos de !odo #ue a#uellos n!eros #ue estaban unidos con rojo #ueden a8ora unidos con aul y los n!eros #ue estaban unidos con aul #ueden a8ora unidos con rojoA. Sea ABCD un rectángulo cuyos laos !ien AB"a y BC "b. #entro el rectángulo se tra$an os circun%erencias tangentes e&terior!ente e !anera que una es tangente a los laos AB y AD y la otra es tangente a los laos CB y CD. 3.
1. 'alcular la istancia entre los centros e las circun%erencias en %uncin e a y b. 2. acieno *ariar los raios e !oo que la situacin e tangencia se !antenga+ el punto co!,n e las circun%erencias escribe un lugar geo!-trico. #eter!inar este lugar geo!-trico.
!egundo d'a . Se escribe las cifras de ** co!o sigue:
************...... a.alcular cuántos d?gitos se deben escribir para #ue la su!a de los d?gitos escritos sea 7++%. b.0eter!inar el d?gito #ue aparece en el lugar **. /. >a se!icircunferencia de centro E y diá!etro se di"ide en dos arcos / y / en la
relación :3. L es el punto !edio del radio E. Sea M el punto del arco / tal #ue el área del cuadrilátero E/ML es !áxi!a. alcular dic8a área en función del radio. $. Sea n natural, sea
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f(n) $ 7n = ** Nn6%%%O
0onde N O denota la
In order to print this document from Scribd, you'll needentera. to download it. funciónfirst parte
a.0e!ostrar #ue si para algn r, f(
f( f...f(n)...)) $ ** (donde se aplica r "eces la Download And Print función f), entonces n es !ltiplo de **. Cancel
b.0e!ostrar #ue si n es un !ltiplo de **, existe un r tal #ue f( f( f...f(n)...)) $
** (donde se aplica r "eces la función f). 0eter!inar r si n $ ** x %% $ **9%%. claración: 1arte entera de un n!ero x, es el !ayor n!ero entero #ue es !enor o igual a x. 1or eje!plo: N3,7O $ 3 N&O $ & N=7,O $ =3.
0%% &limp'ada (atemática del ono !ur. er". 1$
rimer d'a 1. n
cuarao /'# se i*ie en os cuaraos y tres rectángulos+ co!o se !uestra en la %igura: l área e caa uno e los cuaraos es a y el área e caa uno e los os rectángulos !ás pequeos es b. Si a b " 24 y la rai$ cuaraa e a es un n,!ero natural+ allar toos los *alores posibles el área el cuarao /'#. 2. onsiderar una sucesión de n!eros reales definida por:
an ' $ an ' 6an para n $ %, , 7, ... 0e!ostrar #ue, cual#uiera #ue fuera el n!ero real positi"o a %, se cu!ple #ue a **2 es !ayor #ue 23. -. Una tienda "ende en"ases con las siguientes capacidades: litro, 7 litros, ... **2 litros.
>os precios de los en"ases satisfacen las dos condiciones siguientes: .0os en"ases cuestan lo !is!o y sólo s? sus capacidades m, n (m>n) satisfacen m n $ %%%. 7.ada en"ase de m litros de capacidad ( ! %%%) cuesta **2 = m dólares. Ballar todos los pares de en"ases de m y n litros tales #ue: a.m + n $ **2 b.el costo total del par sea el !enor posible, c.con el par se pueda !edir k litros, para todo k entero desde 8asta **2. KEM: >as operaciones per!itidas para !edir son:
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i.>lenar o "aciar cual#uiera de los dos en"ases. In order to print this document from Scribd, you'll ii.pasar l?#uido de unfirsten"ase otro. it. need toadownload Se 8a logrado !edir J litros cuando la cantidad de litros de un en"ase !as la cantidad de Cancel Download And Print litros del otro, es igual a J.
!egundo d'a . >a sucesión %, , , , ... , contiene **2 n!eros, siendo el pri!ero cero y todos los
de!ás unos. Se eligen dos o !ás n!eros cuales#uiera de la sucesión (pero no toda la sucesión) y se sustituye uno de ellos por la !edia arit!5tica de los n!eros elegidos, obteni5ndose as? una nue"a sucesión de **2 n!eros. 1robar #ue, con la repetición de esta operación, es posible obtener una sucesión en la cual los **2 n!eros son iguales. KEM: -n cada operación no necesaria!ente se debe elegir la !is!a cantidad de n!eros. /. Se pretende cubrir total!ente un cuadrado de lado J (J entero !ayor #ue uno) con los
siguientes rectángulos: rectángulo de x , 7 rectángulos de 7 x , & rectángulos de 3 x , ... , 7n rectángulos de (n')x, de tal !anera #ue los rectángulos no se superpongan ni excedan los l?!ites del cuadrado. Ballar todos los "alores de k para los cuales esto es posible y, para cada "alor de k encontrado, dibujar una solución. $. Ballar todos los n!eros enteros n
3 tales #ue exista un conjunto Sn for!ado por n
puntos del plano #ue satisfagan las dos condiciones siguientes: .Mres puntos cuales#uiera no son colineales. 7.Kingn punto se encuentra en el interior del c?rculo cuyo diá!etro tiene por extre!os a dos puntos cuales#uiera de S n. KEM: >os puntos de la circunferencia no se consideran interiores al c?rculo.
3a &limp'ada (atemática del ono !ur rueba de !elección
Primer día 1. onsidera!os los n!eros enteros n,
%%. @1ara #u5 "alores de n existe por lo !enos un n!ero natural de n cifras #ue es !ltiplo i!par de 3 y tiene la su!a de cifras igual a &A n
2. Ballar siete pri!os distintos, p, p7, p3, p&, p, p2, p9, !enores #ue %%%, tales #ue
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p9 = p2 $ p2 = p $ p = p& $ p& = p3 $ p3 = p7 $ p7 = p In order to print this document from Scribd, you'll first need to download it.
-. 0ado el triángulo / tal #ue el !enor de sus ángulos es
, sean E el punto de interseción de las !ediatrices e D el punto de intersección de las bisectrices. Si 0 y - son Cancel Download And Print puntos de los lados / y , respecti"a!ente, tales #ue /0$-$/, de!ostrar #ue ED y 0- son perpendiculares y de igual longitud.
Segundo Día . Sea / un triángulo acutángulo y 0 la altura correspondiente al "5rtice . Si L es el
punto !edio de / y K es el punto !edio de 0, calcular LK sabiendo #ue /$+ y 0$2. /. Bay % bolillas, nu!eradas de a %, distribuidas en dos bolilleros, y /. >a bolilla
&% está en el bolillero . Si se pasa esta bolilla al bolillero /, el pro!edio de los n!eros de las bolillas de au!enta en 6& y el pro!edio de los n!eros de las bolillas de / au!enta ta!bi5n en 6&. @uántas bolillas ten?a inicial!ente el bolillero A $. -n un grupo de n personas, cada dos de ellas son a!igos o ene!igos y cada una tiene
exacta!ente % ene!igos. de!ás se cu!ple la ley P>os ene!igos de !is a!igos son !is ene!igosP @Cu5 "alores puede tener nA
8va Olimpíada Matemática del Cono Sur 21 al 25 de Abril de 1997. Asunción, Paraguay. Primer Día Tiempo: res !oras 1. A cada número entero positivo n, n 99, le restamos la suma de los cuadrados de sus cifras. ¿Para qué valores de n esta diferencia es la mayor posible? 2. Sea " una circunferencia de centro #, A$ un diámetro de ella y % un punto cualquiera en " distinto de A y de . Sea P la instersecci!n de la perpendicular tra"ada por # a A%. Sobre la recta #P se ubica &, de manera que &P es la mitad de P#, & no pertenece al se#mento #P. Por & tra"amos la paralela a A$ que corta a la recta A% en T .
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$lamamos ' a la intersecci!n de las rectas A& y #T . In order to print this document from Scribd, you'll Probar que ', % y first $ son colineales. need to download it. 3. %emostrar que e&isten infinitas ternas 'a, b, c(, Cancel Download And Print con a, b, c números naturales, que satisfacen la relaci!n) *a* + b* - c* / 0991 (egundo Día Tiempo: res !oras 4. 2onsidere un tablero de n filas y 3 columnas. 4n la 0a fila se escriben 3 ceros 'uno en cada casilla( y lue#o, cada fila se obtienen de la fila anterior reali"ando la si#uiente operaci!n) una de las casillas, a elecci!n se de5a como está, y las otras tres se cambian) si 6ab7a un 8 se pone 0, si 6ab7a 0 se pone *, si 6ab7a * se pone 8. 2onstruya un tablero lo más #rande posible con todas sus filas distintas y demuestre que es imposible construir uno mayor. 5. Sea n un número natural, n . %emostrar que entre los múltiplos de 9 menores que 08n 6ay más números con la suma de sus d7#itos i#ual a 9'n-*( que números con la suma de sus d7#itos i#ual a 9'n-0(. 6. 2onsidere un trián#ulo acután#ulo A$", y sea ) un punto en el plano del trián#ulo. Sean * , + y P las proyecciones orto#onales de ) sobre las rectas que contienen a las alturas del trián#ulo A$". %eterminar para qué posiciones de ) el trián#ulo *+P es con#ruente con A$". Nota: la proyecci!n orto#onal de un punto ) sobre una recta l es la intersecci!n de l con la perpendicular a ella que pasa por ) .
IX Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 23 y 24 de Abril de 1998
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Utiliando exacta!ente unaIn "e cada d?gito %, , 7, 3, &, , 2, 9, +, *, se for!an n!eros de order to print this document from Scribd, you'll una cifra o de dos cifras y luego setosu!an. 1or first need download it. eje!plo, % ' 7 ' 93 ' &+ ' * ' 2 $ *+, 3 ' % ' 7 ' &9 ' ' 2+ ' * $ 72, etc. Cancel
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Ballar todos los !ltiplos de 3 #ue pueden obtenerse co!o resultado en alguna de estas su!as. 7 Se tienen dos c?rculos de papel, iguales entre s?, uno celeste y el otro a!arillo. l c?rculo a!arillo se le recorta un sector circular de 7% o de a!plitud. Lat?as !arca en el c?rculo celeste 23 puntos distintos de !odo #ue ninguno de ellos est5 en el centro y #ue no #ueden dos o !ás puntos !arcados sobre un !is!o radio. >aura coloca el c?rculo a!arillo sobre el celeste, 8aciendo coincidir los centros, y de este !odo sólo #ueda "isible un sector del c?rculo celeste. >aura gana si en el sector celeste "isible 8ay exacta!ente % de los puntos #ue !arcó Lat?as. 0ecidir si Lat?as puede !arcar los 23 puntos de !odo #ue a >aura le sea i!posible ganar. 3 Se tienen **+ piedras. Se sabe #ue una de ellas pesa Jg y otra pesa 7Jg, pero se ignora cuánto pesan las de!ás. Si se di"ide el conjunto de piedras en tres grupos de 222 piedras cada uno, no i!porta có!o se 8aga esta di"isión, al !enos dos de los grupos pesan lo !is!o. 0eter!inar todos los posibles "alores del peso total de las **+ piedras. & Ballar un n!ero K de 7%% cifras tal #ue la su!a de las cifras de K sea %%, la su!a de las cifras del producto 2.K sea 2%% y la su!a de las cifras del producto *.K sea +. -n el piarrón están escritos K n!eros: el pri!ero igual a % y los restantes K= iguales a . >a operación per!itida es borrar dos n!eros del piarrón, a elección, y en cada uno de los dos lugares #ue #uedaron "ac?os escribir el pro!edio de los dos n!eros reci5n borrados. l finaliar cada operación per!itida se tienen nue"a!ente K n!eros escritos en el piarrón. Ballar todos los "alores de K para los cuales es posible, !ediante una sucesión de operaciones per!itidas, tener final!ente escritos en el piarrón K n!eros iguales.
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2
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Sea / un triángulo. >a bisectri del ángulo / intersecta a / en 0 y la bisectri del Cancel Download And Print ángulo / intersecta a en -. Si -'/0$/, de!ostrar #ue/$2% o.
IX Olimpíada Matemática del Cono Sur Junio de 1998. San Salvador de Bahía, Brail
Se dispone de *+ tarjetas. -n cada una de ellas está escrito uno de los n!eros , 7, 3, ..., *+ (no 8ay n!eros repetidos). Se desea ordenar las *+ tarjetas de !odo tal #ue, al considerar dos tarjetas consecuti"as, la diferencia entre el n!ero !ayor y el n!ero !enor escritos en ellas sea sie!pre !ayor #ue &+. Dndicar có!o y de cuantas for!as es posible efectuar la ordenación. 7 Sean B el ortocentro (intersección de las alturas) del triángulo acutángulo / y L el punto !edio del lado /. Sea Q el punto en #ue la recta BL intersecta el arco / (#ue no contiene ) de la circunferencia circunscrita a /. Sea y el punto de intersección de la recta /B con la circunferencia, distinto de /. 0e!uestre #ue Q $ /. 3 1ruebe #ue, por lo !enos para el 3% de los naturales n entre y .%%%.%%%, el pri!er d?gito de 7n es .
& 0eter!ine todas las funciones f tales #ue f(x7) = f(y7) ' 7x ' $ f(x ' y) T f(x = y) cuales#uiera #ue sean los n!eros reales x, y.
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-n Merra /rasilis existen n Incasas donde "i"en n duendes, cada uno en una casa. Bay rutas de order to print this document from Scribd, you'll sentido nico tales #ue: first need to download it. cada ruta une dos casas
•
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en cada casa co!iena exacta!ente una ruta
•
en cada casa ter!ina exacta!ente una ruta.
•
Modos los d?as, a partir del d?a , cada duende sale de la casa donde está y llega a la casa "ecina. Una leyenda de Merra /rasilis dice #ue, cuando todos los duendes "uel"an a la posición original, se acabará el !undo. a.0e!uestre #ue el !undo se acabará. b.Si n $ *+, de!uestre #ue es posible #ue los duendes construyan y orienten las rutas
de !odo #ue el !undo no se acabe antes de 3%%.%%% aos. 2 -l alcalde de una ciudad desea establecer un siste!a de transportes con por lo !enos una l?nea de ó!nibus, en el cual: i.cada l?nea pase exacta!ente por tres paradas (paraderos) ii.cada dos l?neas distintas tengan exacta!ente una parada en co!n iii.para cada dos paradas de ó!nibus distintas 8aya exacta!ente una l?nea #ue pase por a!bas. 0eter!ine el n!ero de paradas de ó!nibus de la ciudad.
X Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 1! y 1" de Abril de 1999
-n un reino 8ay 7 ciudades. -ntre ciertos pares de ciudades se crean enlaces de ida y "uelta de ó!nibus, tren o a"ión. Ballar la !enor cantidad de enlaces necesaria para #ue, si 8ay un paro de uno cual#uiera de los tres !edios de transporte, igual sea posible "iajar desde cada ciudad a todas las de!ás ciudades. 7 -l triángulo ABC tiene F $ 7%V y el lado !ayor #ue el lado /. Sabiendo #ue el área
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del triángulo e#uilátero de In lado AB es 3 y el área del triángulo e#uilátero de order to print this document from Scribd, you'll lado AC = BC es *, 8allar el triángulo firstárea needdel to download it. ABC. 3 Cancel
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Se eligen cinco n!eros naturales distintos, a, b, c, d, e, ordenados de !enor a !ayor: a < b < c < d < e. >uego se calcula el !?ni!o co!n !ltiplo de cada n!ero con el siguiente: !c!(a, b) !c!(b, c) !c!(c, d) !c!(d, e) y final!ente, se efecta la su!a de sus in"ersos
@uál es el !áxi!o "alor #ue puede tener el resultado final S? & -n el cuadrado /0, sean 1 en el lado / tal #ue AP 7 = BP . BC y el punto !edio de BP. Si ! es el punto interior del cuadrado tal #ue AP = P! y ! es paralelo a /, calcular la !edida del ángulo
RDEK: >os corc8etes indican la parte entera del n!ero #ue encierran, por eje!plo, N+ 6 O $ + N+ 6 7O $ * N+ 6 &O $ & N+ 6 3O $ etc. 2
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Sean ! 7, n 7 n!erosIn enteros. Se desea colorear las casillas de un tablero order to print this document from Scribd, you'll de m x n con blanco y negrofirstdeneed !odo tal #ueit.cada casilla tenga exacta!ente dos "ecinas del to download otro color. 0eter!inar todos los "alores de ! y n para los cuales es posible 8acer tal coloración. Cancel Download And Print >RDEK: asillas "ecinas son las #ue tienen un lado co!n. X Olimpíada Matemática del Cono Sur 2# y 21 de $ayo de 1999
Ballar el !enor entero positi"o n tal #ue las 93 fracciones
sean todas irreducibles. 7 Sea ABC un triángulo rectángulo en A. onstruir el punto P en la 8ipotenusa BC , tal #ue si " es el pie de la perpendicular traada desde P al cateto AC , entonces el área del cuadrado de lado P" es igual al área del rectángulo de lados iguales a PB y PC . Lostrar los pasos de la construcción. 3 Bay *** bolitas en una fila algunas son rojas y las de!ás son aules (podr?an ser todas rojas o todas aules). 0ebajo de cada bolita escribi!os un n!ero igual a la su!a de la cantidad de bolitas rojas #ue están a su derec8a !ás la cantidad de bolitas aules #ue están a su i#uierda. Si en la sucesión de n!eros as? obtenida 8ay exacta!ente tres n!eros #ue aparecen una cantidad i!par de "eces, @cuáles pueden ser estos tres n!erosA & Sea A un n!ero de seis cifras, tres de las cuales están coloreadas y son iguales a , 7 y &. 0e!ostrar #ue sie!pre es posible obtener un n!ero #ue es !ltiplo de 9, efectuando sólo una de las siguientes operaciones: o bien supri!ir las tres cifras coloreadas, o bien escribir todas las cifras de A en algn orden. Se da un cuadrado de lado . 0e!ostrar #ue para cada conjunto finito de puntos en el contorno del cuadrado se puede 8allar un "5rtice del cuadrado con la siguiente propiedad: la !edia arit!5tica de los cuadrados de las distancias desde dic8o "5rtice a los puntos del
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conjunto es !ayor o igual #ue 36&. In order to print this document from Scribd, you'll 2
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Una 8or!iga ca!ina por el piso de un patioDownload circular de radio r y a"ana en l?nea recta, pero Cancel And Print a "eces se detiene. ada "e #ue se detiene, antes de reanudar la !arc8a, gira 2%V alternando el sentido (si la lti!a "e giró 2%V a su derec8a, la siguiente lo 8ace 2%V a su i#uierda, y "ice"ersa). Ballar la !áxi!a longitud posible del ca!ino #ue recorre la 8or!iga. 0e!ostrar #ue la longitud 8allada es, efecti"a!ente, la !ayor posible.
;iro de 2%V a la derec8a XI Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 23 y 24 de %ar&o de 2###
>ucas dibuja un seg!ento y Kicolás !arca un punto / del interior del seg!ento. Sean P y " puntos en un !is!o se!iplano respecto de AC tales #ue los triángulos APB y B"C son isósceles en P y ", respecti"a!ente, con 1/ $ /C $ 7%X. Sea # el punto del otro se!iplano tal #ue el triángulo A#C es isósceles en #, con A#C $ 7%X. Se traa el triángulo P"#. 0e!ostrar #ue este triángulo es e#uilátero. 7 1ablo elige un entero positi"o n y escribe en el piarrón los 7n'l n!eros n 6 , n 6 7 , n 6 3 , ... , n 6 (7n')
(los deno!inadores au!entan de a por "e). >aura elige dos n!eros escritos por 1ablo, a y b, los borra y escribe el n!ero 7ab Y a Y b ' l. 0espu5s de repetir este procedi!iento 7 n "eces, en el piarrón 8ay un solo n!ero escrito. 0eter!inar los posibles "alores de este nico n!ero. 3
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onsidera!os un pol?gonoInregular de n lados (n W 7). -n cada "5rtice se escribe un n!ero order to print this document from Scribd, you'll entero entre y n inclusi"e,first sinneed repetir n!eros. 0ire!os #ue una distribución de los to download it. n!eros es buena si para cada tres "5rtices A, B, C tales #ue AB $ AC , se "erifica #ue el n!ero escrito en A es !ayor #ueCancel cada uno Download de los n!eros escritos en B y C, o el n!ero And Print escrito en A es !enor #ue cada uno de los n!eros escritos en B y C. 0eter!inar todos los "alores de n para los cuales existe una distribución buena. & -no le dice a su 8er!ana #ue si ella piensa un n!ero con todos sus d?gitos distintos y ordenados en for!a creciente de i#uierda a derec8a, y luego !ultiplica por * el n!ero #ue pensó, 5l sie!pre sabe cuánto "ale la su!a de los d?gitos del resultado de la !ultiplicación, aun#ue no sabe #u5 n!ero pensó la 8er!ana. 0ecidir si -no !iente o dice la "erdad y explicar por #u5. Sea P un punto en el interior de un ángulo, #ue no pertenece a la bisectri del !is!o. Se consideran dos seg!entos por P : AB y 0, con A y en uno de los lados del ángulo, / y 0 en el otro lado del ángulo, tales #ue P es el punto !edio de AD y CD es perpendicular a la bisectri del ángulo. 0e!ostrar #ue AB W CD. 2 Se tiene la sucesión 1(l), 1(7), 1(3), ... definida por las siguientes reglas 1() $ 1(7) $ 1(l) ' 1(l) $ 7 1(3) $ 1(7) ' 1(l) $ 3 1(&) $ 1(3) ' 1(7) $ 1(S) $ 1(&) ' 1(7) $ 9 y en general, si n W l es par, entonces 1(n) $ 1(n = ) ' 1(n 6 7) si n W l es i!par, entonces 1(n) $ 1(n = ) ' 1(( n Y ) 6 7) 0e!ostrar #ue existe un "alor de n, con n W 7%%%, tal #ue 1( n) es !ltiplo de 9. XI Olimpíada Matemática del Cono Sur 14 al 19 de abril de 2###
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In order to print this document from Scribd, you'll need to download it. uno de sus d?gitos esfirst descendente si cada
0eci!os #ue un n!ero es !enor o igual #ue el d?gito anterior, de i#uierda a derec8a. 1or eje!plo, &77 y 9 son descendentes, !ientras Cancel Download And Print #ue &92 y & no son descendentes. 0eter!ine si existen enteros positi"os n para los cuales 2n es descendente. 7 -n un tablero de +x+ distribui!os los enteros desde 8asta 2&, uno en cada casilla. >uego, se colocan sobre el tablero fic8as cuadradas de 7x7, #ue cubren perfecta!ente & casillas (sin superponerse), de !odo #ue los & n!eros tapados por cada fic8a su!en !enos de %%. Lostrar una distribución de esos enteros #ue per!ita colocar el !ayor n!ero de fic8as, y de!ostrar #ue no es posible lograr una distribución #ue per!ita colocar !ás fic8as. 3 Un cuadrado de lado 7 está di"idido en rectángulos !ediante "arias rectas paralelas a sus lados (algunas 8oriontales y otras "erticales). Se colorean los rectángulos alternada!ente de blanco y negro, co!o si fuera un tablero de ajedre. Si de este !odo el área blanca resultó ser igual al área negra, de!ostrar #ue al recortar los rectángulos negros a lo largo de sus bordes, es posible for!ar con ellos sin superposición un rectángulo negro de ta!ao x 7. & Sean el cuadrado /0 (sentido 8orario) y 1 un punto cual#uiera perteneciente al interior del seg!ento /. Se construye el cuadrado 1RS (sentido 8orario). 0e!ostrar #ue la recta R es tangente a la circunferencia circunscripta al triángulo /. -n el plano cartesiano considere los puntos de coordenadas enteras. Una operación consiste en: elegir uno de estos puntos y realiar la rotación con centro en 5l, de *%X en sentido anti8orario. @-s posible, a tra"5s de una secuencia de dic8as operaciones, lle"ar el triángulo de "5rtices (%,%), (,%) y (%,) al triángulo de "5rtices (%,%), (,%) y (,)A 2 @-xiste un entero positi"o di"isible por el producto de sus d?gitos tal #ue ese producto es !ayor #ue %7%%%A XII Olimpíada Matemática del Cono Sur
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Prueba de Selección 19 y 2# de abril de
In order to print this document from Scribd, you'll 2##1 first need to download it. Cancel
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Sean a, b, c, d d?gitos, con a distinto de %, tales #ue %,abc $ a 6 (b ' c ' d) Ballar todos los "alores posibles de a, b, c, d. 7 Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Se consideran D en la 8ipotenusa AB tal #ue CD es altura del triángulo, y $ en el cateto BC tal #ue A$ es bisectri del ángulo A. Si % es el punto de intersección de A$ y CD, y & es el punto de intersección de $D y B%, de!ostrar #ue área (-;4) $ área (/0;). 3 Un 8errero fabrica rejas cuadradas cuadriculadas en cuadraditos de d! de lado (en la figura se !uestra el eje!plo de la reja de x). 1ara ello dispone de barras !etálicas de 7 d!, de barras !etálicas de d! y de una soldadora. Miene pro8ibido superponer barras, ni si#uiera cruarlas de !odo #ue sólo se superpongan en un punto. l 8errero le con"iene utiliar la !enor cantidad posible de barras de d!. 0eter!inar para cada n!ero natural n el !?ni!o n!ero de barras de d! #ue debe utiliar para fabricar la reja cuadriculada en n x n cuadraditos.
-stán per!itidas:
-stán pro8ibidas:
&
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0el entero positi"o n se sabe #ue: In order to print this document from Scribd, you'll • • •
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first need to it. dedownload , n no es !ltiplo
n = *2 es !ltiplo de 7+, Cancel Download And Print n tiene 7%% d?gitos, todos los d?gitos de n son pares, la su!a de los d?gitos de n es 7 . 7%% = & $ 3**+, la su!a de los cuadrados de los d?gitos de n es & . 7%% $ +%%&.
Ballar n. Sobre la recta r 1ablo !arca, de i#uierda a derec8a, los puntos A, B, C y D. >ucas debe construir, con regla y co!pás, un cuadrado P"#S, de lados P", "#, #S y SP, contenido en uno de los se!iplanos deter!inados por la recta r, de !odo #ue A perteneca a la recta P", B perteneca a la recta #S, C perteneca a la recta"# y D perteneca a la recta SP. Lostrar un procedi!iento #ue sie!pre le per!ita a >ucas 8acer la construcción y justificar por#u5 con dic8o procedi!iento se logra el cuadrado pedido. 2 0os jugadores, A y B, juegan por turnos: A tiene los turnos i!pares (, 3, , 9, ...) y B tiene los turnos pares (7, &, 2, +, ...). ada jugador, en su turno, escribe en el piarrón el n!ero del turno ó !enos el n!ero del turno: pri!ero A escribe ó =, luego B escribe 7 ó =7, a continuación A escribe 3 ó =3, en seguida B escribe & ó =&, etc. -l juego ter!ina cuando el lti!o n!ero escrito es !ltiplo de 7%%, o la su!a de los dos lti!os n!eros escritos es !ltiplo de 7%%, o la su!a de los tres lti!os n!eros escritos es !ltiplo de 7%%, ..., o la su!a de todos los n!eros escritos es !ltiplo de 7%%. 0eter!inar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora dar dic8a estrategia y de!ostrar #ue con esa estrategia sie!pre gana. >RDZK: >os !ltiplos de 7%% son los n!eros de la for!a a . 7%%, donde a es un entero #ue puede ser positi"o, negati"o o cero. XIII Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 2 y 3 de %ayo de 2##2
rimer d'a
. -n un torneo, cada e#uipo jugó 7 partidos contra cada uno de los restantes. Un solo e#uipo ganó el torneo, con 7+ puntos, y exacta!ente 7 e#uipos #uedaron lti!os, con 77 puntos cada uno. 0eter!inar cuántos e#uipos participaron en el torneo e indicar un posible
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desarrollo de los partidos, siIn se sabe #ue cada partido ganado otorga 7 puntos, cada partido order to print this document from Scribd, you'll perdido otorga % puntos y no e!pates. first8ubo need to download it. 7. Sea ABCD un trapecio de bases AB $ y CD $ 7 , y lados no paralelos BC $ & y DA $ . Cancel Download And Print >a bisectri exterior del ángulo B corta a la bisectri exterior del ángulo C en el punto P , y la bisectri exterior del ángulo A corta a la bisectri exterior del ángulo D en el punto ". alcular la !edida del seg!ento P". 4ota5 >a bisectri exterior de un ángulo es la recta perpendicular a la bisectri del ángulo
#ue pasa por el "5rtice del ángulo. 3. 0ado un conjunto de %% piedras, sea 'P la su!a de los pesos de todas las piedras. 0ire!os #ue un n!ero entero positi"o k es bueno si es posible seleccionar k piedras del conjunto tales #ue la su!a de los pesos de las k piedras sea igual a P. 0eter!inar la !áxi!a cantidad de n!eros buenos #ue puede tener un conjunto de %% piedras.
!egundo d'a
&. -n el piarrón está escrito un n!ero natural de * cifras. >ucas !ultiplicó por 7 el n!ero del piarrón, y al resultado le borró la pri!era cifra de la i#uierda. ;abriel !ultiplicó por 3 el n!ero del piarrón y al resultado le borró la lti!a cifra de la derec8a. 0e este !odo >ucas y ;abriel obtu"ieron n!eros iguales. Ballar el n!ero del piarrón. . Sea ABC un triángulo, con AB < BC , y denota!os ( al centro de la circunferencia circunscripta al triángulo. >a bisectri del ángulo B corta al lado AC en D.Se traa por ( la recta perpendicular a AC, #ue corta al lado AC en y al arco AC #ue contiene a B en P. Se traa por P la recta perpendicular a BC #ue corta al lado BC en !. 0e!ostrar #ue cada una de las diagonales del cuadrilátero BD! di"ide al triángulo ABC en dos figuras de áreas iguales. 4ota5 >a circunferencia circunscripta al triángulo es la #ue pasa por los tres "5rtices del
triángulo. 2. Se tiene un cuadrado de lado 7%%7 subdi"idido en cuadraditos de lado , !ediante rectas paralelas a sus lados. intia debe colorear todos los puntos #ue son "5rtices de cuadraditos de x con rojo o aul. [erónica tiene #ue seleccionar un rectángulo (o un cuadrado) con lados paralelos a los lados del cuadrado, #ue tenga sus cuatro "5rtices en puntos coloreados y tenga área igual a una potencia de 7 (es decir, igual a l ó 7 ó & u + ó 2 etc.). Si el rectángulo #ue selecciona [erónica tiene sus & "5rtices del !is!o color, gana [erónica. -n caso contrario, gana intia. 0e!ostrar #ue intia puede colorear los puntos de !anera tal #ue se asegura la "ictoria.
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15° Olimpíada Matemática del Cono Sur In order to print this document from Scribd, you'll Prueba de Selección first need to download it. 2! y 2" de %ar&o de 2##4 Cancel
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rimer d'a 1. 0ado
un n!ero natural n considera!os el conjunto ) n de todos los n!eros naturales
desde 8asta n: )n=H,7,\,nI. Una di"isión de )n en dos conjuntos se deno!ina *ugar si en alguno de los dos conjuntos 8ay dos n!eros distintos cuya su!a es un cuadrado perfecto. -n otro caso, la di"isión se dice origina . 0eter!inar los "alores de n para los cuales existen di"isiones originales de )n. (1ara cada uno de los n 8allados indicar una di"isión original de )n y de!ostrar #ue para los otros "alores de n todas las di"isiones de )n en dos conjuntos son "ulgares.) 2. Una
ci"iliación antigua sólo dispon?a de un instru!ento de geo!etr?a. -ste instru!ento cu!ple dos funciones, y ninguna !ás: traar rectas por dos puntos y traar perpendiculares a una recta por un punto dado. 0ar un procedi!iento para di"idir un ángulo dado de 2%V en dos ángulos iguales utiliando exclusi"a!ente el instru!ento de los antiguos. -. 0os jugadores escriben, por turnos, un d?gito en el piarrón, uno a continuación del otro,
de i#uierda a derec8a. -l jugador #ue escribe un d?gito tal #ue el n!ero for!ado por uno o "arios d?gitos consecuti"os de los escritos en el piarrón es !ltiplo de , pierde el juego. 0eter!inar cuál de los dos jugadores, el #ue e!piea o el segundo, puede asegurarse la "ictoria, no i!porta lo bien #ue juegue su oponente. Dndicar có!o debe jugar y explicar por#u5 de ese !odo ganará.
!egundo d'a . Kicolás debe dibujar un triángulo ABC y un punto P en su interior de !odo #ue entre los
2 triángulos en #ue #ueda di"idido el ABC !ediante las rectas AP , BP y CP 8aya & #ue tengan áreas iguales. 0ecidir si es posible lograrlo sin #ue los 2 triángulos tengan áreas iguales. /. 0eter!inar las ternas de enteros positi"os a, b, c tales #ue
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$. Dnicial!ente 8ay una 8or!iga en un "5rtice de un cubo, y un oso 8or!iguero con los ojos
"endados trata de atraparla. Lue"en por turnos. -n cada turno la 8or!iga puede #uedarse en el !is!o "5rtice o desplaarse a cual#uiera de los tres "ecinos (unidos por una arista al "5rtice en el #ue está). -l oso, en su turno elige n "5rtices. Si en alguno de los n "5rtices elegidos está la 8or!iga, la 8a atrapado. Si no, contina el juego. 0eter!inar si el oso 8or!iguero tiene una estrategia #ue le per!ita atrapar con certea a la 8or!iga a) para n=3, b) para n=&, c) para n=. -n cada caso, si la respuesta es afir!ati"a, dar la estrategia y explicar por#u5 le asegura atrapar a la 8or!iga. Si la respuesta es negati"a, justificar por #u5 cual#uier estrategia puede fallar.
16° Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 31 de %ar&o y 1 de abril de 2##!
rimer d'a 1.
circunferencia de !odo #ue cada uno sea !ayor #ue sus dos "ecinos o sea !enor #ue sus dos "ecinos. Un par de n!eros adyacentes es mao si al supri!ir ese par los *+ n!eros restantes !antienen la propiedad de #ue cada n!ero es !ayor #ue sus dos "ecinos o es !enor #ue sus dos "ecinos. Ballar el !?ni!o n!ero de pares !alos #ue puede tener la distribución de RDZK: Si ...a,b,c,d ,e , ,... son enteros escritos, en ese orden, alrededor de la circunferencia, entonces, cuando se supri!e el par ( c,d ) los nue"os "ecinos de b son a y e, y los nue"os "ecinos de e son b y . 2. 0ado un ángulo de 3o, construir un ángulo de o utiliando exclusi"a!ente regla y
co!pás. -. Se tienen en el plano rectas 8oriontales y &% rectas "erticales. -stas rectas
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deter!inan, al cortarse, 7%% puntos. Se colorean los 7%% puntos con uno de tres colores, In order to print this document from Scribd, you'll rojo, aul y "erde, con el siguiente procedi!iento: first need to download it. 1ri!ero se asigna uno de los tres colores a cada una de las &%2 rectas, y luego si el punto es Cancel Download Print la intersección de dos rectas de igual color, se lo pintaAnd de ese color, y si el punto es intersección de dos rectas de distinto color, se lo pinta del tercer color (el #ue es distinto de los #ue tienen las rectas #ue lo deter!inan). 4inal!ente se borran las rectas, dejando sola!ente los 7%% puntos coloreados. alcular el n!ero de coloraciones distintas del conjunto de 7%% puntos #ue se puede obtener con este procedi!iento.
!egundo d'a . Ballar los enteros positi"os #ue satisfacen la siguiente ecuación
. (>os corc8etes indican la parte entera del n!ero #ue encierran.) /. Sea ABCD un cuadrado. Una recta corta al lado BC en / ( /0B y /0C ), a la
diagonal AC en 1 y a la prolongación del lado BA en , de !odo #ue /1= D1. alcular la !edida del ángulo
.
$. onsidera!os los pares ( a,b) donde a y b son enteros positi"os. >as operaciones
per!itidas son (a,b)](a,7b) (a,b)] (7a,b) (a,b)] (a−b,b) si a>b (a,b)] (a,b−a) si a
17° Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección
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rimer d'a
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1. Ballar todos los enteros positi"os J tales #ue el resultado de !ultiplicar los d?gitos de J es
igual a . 2. -n cada casilla de un tablero de 7^7 8ay un % ó un . >a operación per!itida es elegir
casillas consecuti"as en dirección 8oriontal, "ertical o diagonal ( casillas ca!biar cada % por y cada por %.
o
) y en esas
Dnicial!ente todas las casillas tienen un %. 0eter!inar si es posible, !ediante una secuencia de operaciones per!itidas, lograr #ue todas las casillas del tablero tengan un .
-. Sea / un triángulo con
. >as bisectrices de los ángulos
cortan a
los respecti"os lados opuestos en los puntos 0, -, 4. 0e!ostrar #ue el ángulo recto.
es
.
!egundo d'a . Ballar el !enor n!ero for!ado exclusi"a!ente por d?gitos 3 y 9, con al !enos un
d?gito de cada clase, tal #ue tanto el n!ero co!o la su!a de sus d?gitos sea di"isible por 3 y por 9. /. -n el piarrón están escritos los cuadrados de los pri!eros % n!eros enteros
positi"os: . Bay #ue escribir delante de cada n!ero un signo _'` o un signo _=_ de !anera #ue al realiar la su!a algebraica de los % n!eros se obtenga el !enor "alor !ayor o igual #ue cero #ue sea posible. 0eter!inar cuál es ese !?ni!o e indicar co!o se distribuyen los signos para lograrlo.
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$. Sea n un entero positi"o. Se considera el tablero de (n=) x (n'), di"idido en casillas de In order to print this document from Scribd, you'll
x . Bay #ue colorear el tablero 3 colores, cada casilla con un color, de !anera #ue first needusando to download it. para cada elección de 7 filas y 7 colu!nas del tablero, las & casillas #ue se encuentran en la intersección de esas 7 filas y esas Cancel 7 colu!nasDownload no sean And todas de un !is!o color. Print 0eter!inar el !áxi!o "alor de n para el #ue es posible lograr una coloración con esta propiedad.
XII Olimpíada Matemática del Cono Sur ! al 11 de $ayo de 2##"
-n el cuadrilátero con"exo ABCD, sean $ y % los puntos !edios de los lados AD y BC , respecti"a!ente. >os seg!entos C$ y D% se cortan en (. 0e!ostrar #ue si las rectas A( y B( di"iden al lado CD en tres partes iguales entonces ABCD es un paralelogra!o. 7 0os personas, A y B, juegan #uitando !onedas de una pila #ue contiene inicial!ente 7%%2 !onedas. >os jugadores juegan por turnos #uitando en cada turno de a 9 !onedas cada jugador conser"a consigo las !onedas #ue 8a #uitado. Si un jugador lo desea, puede pasar (no #uitar !onedas en su turno) pero para ello debe pagar 9 !onedas de las #ue retiró de la pila en turnos anteriores. -stas 9 !onedas se colocan en una caja aparte y ya no inter"ienen !ás en el juego. ;ana #uien retira la lti!a !oneda, y A co!iena el juego. 0eter!inar cuál de los dos jugadores puede asegurarse la "ictoria, no i!porta có!o juegue el otro. Lostrar una estrategia ganadora y explicar por #u5 es ganadora. 3 Sea n un n!ero natural. >a sucesión finita α de enteros positi"os tiene, entre sus t5r!inos, exacta!ente n n!eros distintos (α puede tener n!eros repetidos). de!ás, si a uno cual#uiera de sus t5r!inos se le resta , se obtiene una sucesión #ue tiene, entre sus t5r!inos, al !enos n n!eros positi"os distintos. @uál es el "alor !?ni!o #ue puede tener la su!a de todos los t5r!inos de la sucesión αA & -n un piarrón 0aniel escribió, de arriba 8acia abajo, una lista de n!eros enteros positi"os !enores o iguales #ue %. l lado de cada n!ero de la lista de 0aniel, Lart?n anotó la cantidad de "eces #ue ese n!ero figuraba en la lista de 0aniel y as? obtu"o una lista de la !is!a longitud. Si se lee la lista de Lart?n de abajo 8acia arriba se obtiene la !is!a lista de n!eros #ue escribió 0aniel de arriba 8acia abajo. Ballar la longitud !áxi!a #ue puede tener la lista de 0aniel.
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Ballar todos los enteros positi"os n tales #ue di"ide a a . Cancel Download And Print (
y
di"ide
denota la parte entera de r , es decir, el !ayor entero #ue es !enor o igual #ue r . 1or
eje!plo:
.)
2 -l plano se di"ide en casillas cuadradas de lado !ediante rectas paralelas a los ejes coordenados. ada casilla está coloreada de blanco o de negro. ada segundo se recolorean si!ultánea!ente todas las casillas, de acuerdo con la siguiente regla: ada casilla " adopta el color #ue !ás aparece en la configuración de cinco casillas #ue indica la figura.
-l proceso de recoloración se repite indefinida!ente. a) 0eter!inar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal #ue sie!pre 8aya al !enos una casilla negra, no i!porta cuántos segundos 8ayan transcurrido desde #ue se inició el proceso. b) 0eter!inar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal #ue el n!ero de casillas negras al cabo de alguna cantidad de segundos sea por lo !enos %% "eces !ayor #ue el n!ero inicial de casillas negras.
1!° Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 29 y 3# de %ar&o de 2##'
rimer d'a 1. -n cada casilla de un tablero de
se escribe un % o un de !odo #ue la su!a de los n!eros de *% casillas consecuti"as sea sie!pre igual a 2. 0eter!inar los "alores posibles de la su!a de los 7%%9 n!eros escritos en el tablero. 2. lex y /eto juegan al siguiente juego. 1ri!ero se sortea un n!ero entero n !ayor #ue ,
y a partir de entonces, eligen alternada!ente enteros
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positi"os. o!iena lex, first #ueneed debe elegir unit.n!ero !enor #ue n pero !ayor o igual to download #ue . >uego, en cada turno, si el lti!o n!ero elegido (por el oponente) fue k entonces Cancel
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el siguiente debe ser !enor #ue k pero !ayor o igual #ue
. -l ganador es el #ue elige el .
1ara cada "alor inicial n, deter!inar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora y describir dic8a estrategia. -. Ballar todas las ternas de pri!os positi"os distintos p, 2, r tales #ue
sean n!eros enteros. !egundo d'a . Sea n un n!ero entero !ayor o igual #ue &. lrededor de una circunferencia
8ay n tarjetas cada una de las cuales tiene escrito un o un Y pero del lado #ue no se "e. Lart?n debe deter!inar el producto de los n n!eros escritos en las tarjetas. 1ara ello puede preguntar cuánto "ale el producto de los n!eros de tres tarjetas cuales#uiera, a su elección. 0eter!inar para cada n el n!ero !?ni!o de preguntas #ue necesita Lart?n para conocer con certea el producto de los nn!eros. /. 0ado un triángulo e#uilátero ABC sea un punto del lado BC , con
y . Se considera el punto ! tal #ue el triángulo B! sea e#uilátero y A y ! est5n en distintos se!iplanos respecto de BC . Sean P , " y # los puntos !edios de AB, B! y C respecti"a!ente. 0e!ostrar #ue el triángulo P"# es e#uilátero. $. Un progra!a de co!putadora genera una sucesión de n!eros naturales con la siguiente
regla: el pri!er n!ero es un entero !ayor #ue y lo elige Lat?as a partir de entonces, el progra!a factoria en pri!os el lti!o n!ero generado y el nue"o n!ero generado es !ás la su!a de cada pri!o de la factoriación !ultiplicado por el exponente #ue le corresponde. 1or eje!plo, si el n!ero de Lat?as es +%, la co!putadora 8alla genera y
y
. -l siguiente n!ero generado es %, pues .
0e!ostrar #ue cual#uiera sea el n!ero inicial de Lat?as (!ayor #ue ), en algn !o!ento la sucesión de los n!eros generados se 8ace periódica (tiene un ciclo de "alores #ue se repiten indefinida!ente), y 8allar los posibles ciclos de acuerdo a la elección inicial de Lat?as.
Print document In order to print this document from Scribd, you'll first need download it. Matemática deltoCono Sur
1"° Olimpíada Prueba de Selección
2' y 28 de %ar&o de 2##8
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rimer d'a 1. 4ede tiene !onedas aparente!ente todas iguales. Sin e!bargo, 4ede sabe #ue
exacta!ente una de sus !onedas es falsa, y #ue su peso es inferior al de las aut5nticas (todas las aut5nticas tienen pesos iguales). 1ara detectar la !oneda falsa, 4ede tiene una balana de dos platos fallada: esta balana se e#uilibra cuando el peso de los objetos colocados en el plato i#uierdo es igual al doble del peso de los objetos colocados en el plato derec8o. 0e!ostrar #ue 4ede sie!pre puede detectar la !oneda falsa utiliando tres "eces esta balana.
2. Sean a y b enteros a − , b − , tales #ue
0e!ostrar #ue
es un n!ero entero.
es un n!ero entero.
-. lex y 4redy colorean por turnos las casillas de un tablero de n x n (n 7). lex, en su
turno, debe colorear de aul un cuadrado de 7 x 7 for!ado por & casillas del tablero tales #ue ninguna de ellas se 8aya coloreado anterior!ente. 4redy, en su turno, colorea de rojo una casilla del tablero #ue no se 8aya coloreado pre"ia!ente. o!iena lex. ada uno #uiere colorear, en total, la !ayor cantidad posible de casillas. Si a!bos juegan de la !ejor !anera posible, @cuántas casillas tendrán el color rojoA (uando lex no puede jugar !ás, 4redy sigue 8asta ter!inar el tablero.)
!egundo d'a . Sea ( el punto de intersección de las !ediatrices de un triángulo ABC . 0enota!os D al
punto de intersección de la recta A( con el seg!ento BC . Si !edida de los ángulos del triángulo.
, calcular la
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ladoto%% di"ididofrom en Scribd, %%7 =you'll %%%% triángulos e#uiláteros /. Un triángulo e#uilátero de In order printestá this document
firsta need download it. de lado !ediante paralelas sus to lados. 0ecidir si es posible nu!erar los triángulos unitarios con los n!eros de a %%%%, sin repetir n!eros, de !odo #ue el triángulo #ue Cancel Download tiene el n!ero i tenga por lo !enos un punto co!n And con Print el triángulo #ue tiene el n!ero i + y por lo !enos un punto en co!n con el triángulo #ue tiene el n!ero i + 7 para todo i = , 7, ..., ***+.
$. lrededor de una circunferencia 8ay escritos 3 d?gitos distintos de cero. Bay #ue cortar
la circunferencia en arcos de !odo #ue cada arco contenga al !enos dos d?gitos, y su!ar los n!eros #ue se 8ayan for!ado de esta !anera. (Modos los n!eros se leen en el sentido de las agujas del reloj.) 0e!ostrar #ue 8ay dos !aneras diferentes de cortar la circunferencia para las #ue las su!as obtenidas son iguales.
#$° Olimpíada Matemática del Cono Sur Prueba de Selección 12 y 13 de %ar&o de 2##9
rimer d'a 1. -n una isla "i"en 7%% personas: %% 3incero3, #ue sie!pre dicen la "erdad, y
%% meniro3o3, #ue sie!pre !ienten. ada una tiene por lo !enos una persona a!iga en la isla. ierto d?a, %% personas afir!aron, cada una, _todos !is a!igos son sinceros` y las otras %% personas afir!aron, cada una, _todos !is a!igos son !entirosos`. Si se for!an todos los pares de a!igos integrados por una persona sincera y la otra !entirosa, deter!inar la !enor cantidad de estos pares #ue puede 8aber. >RDZK: Si es a!igo de /, entonces / es a!igo de . ada persona puede integrar !ás de un par. 2. Sean p, 2 y r tres pri!os (distintos) tales #ue p < 2 < r . Si
y
, 8allar los posible "alores de p, 2 y r .
-. 0eter!inar si es posible cubrir un cuadrado de lado 7, con 9 cuadrados de lado . (>os
cuadrados de lado se pueden girar y pueden superponerse.)
!egundo d'a
Print document . 4reddy escribió en cada
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entero del al % inclusi"e, de !odo #ue los n!eros de casillas adyacentes (con un lado o un "5rtice co!n) And Print son copri!os. 0e!ostrar #ue 8ayCancel un n!eroDownload #ue se repite al !enos 9 "eces. >RDZK: 0os n!eros son copri!os si su !áxi!o co!n di"isor es . /. Sea ABCD un cuadrado y $ un punto del lado BC . -l seg!ento A$ corta a la
diagonal BD en &. Sea % en el lado CD tal #ue %& es perpendicular a A$ , y sea / en %& tal #ue A/ = %$ . alcular la !edida del ángulo
.
$. Sea m un entero positi"o y 4 el n!ero for!ado por m d?gitos :
. Si A W % es un !ltiplo de 4 , deter!inar el !enor "alor #ue puede tener la su!a de los d?gitos de A. XX Olimpíada Matemática del Cono Sur Mar del Plata% &ueno' ire' ) r*entina (ri%er día 1" de abril de 2##9)
>os cuatro c?rculos de la figura deter!inan % regiones acotadas. -n estas regiones se escriben % n!eros enteros positi"os distintos #ue su!en %%, un n!ero en cada región. >a su!a de los n!eros contenidos en cada c?rculo es igual a S (la !is!a para los cuatro c?rculos). 0eter!inar el !ayor y el !enor "alor posible de S .
7 Un corc5ee consta de tres seg!entos de longitud , #ue for!an dos ángulos rectos co!o !uestra la figura.
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