Kurt Gödel e o Teorema Da Incompletude

Kurt Gödel e o Teorema da Incompletude: A descoberta Matemática Nº 1 do Século XX e suas rela!es com "é e ra#$o  Kurt Gödel %ste arti&o de 'err( Mars)all *tradu#ido ao portu&u+s por Mateus Sc)erer ,ardoso- me causou um deslumbramento t$o &rande .ue decidi publicá/lo a.ui por inteiro0 %u o encontrei durante um interalo da leitura do arti&o Science and t)e 2estoration o" ,ulture3 de 4ol"&an& Smit)3 .ue cita Gödel e .ue me dei5ou com ontade de me apro"undar mais no tema0 N$o perdi meu tempo0 *,laro3 primeiro tie de .uebrar a cabea a.ui e a.ui0 %3 por 6m3 também su&eri Gödel para a &aleria ,earenses Internacionais07 Teorema da Incompletude de Gödel: A 8escoberta Matemática Nº 1 do Século XX %m 1913 o ;oem matemático Kurt Kurt Gödel "e# uma descoberta/marco descoberta/marco t$o poderosa .uanto .ual.uer coisa .ue Albert %instein desenoleu3 des"erindo um &olpe deastador nos matemáticos de sua época0 A descoberta de Gödel n$o se aplica somente < matemática3 mas literalmente a todos os ramos da ci+ncia3 l=&ica e con)ecimento )umano0 )umano0 %la tem erdadeiramente implica!es .ue abalam a Terra0 %stran)amente3 poucas pessoas sabem .ual.uer coisa sobre ela0 'ermita/me contar/l)e a )ist=ria0 7s matemáticos adoram proas0 %les estaam "uriosos e c)ateados por séculos3 por.ue eles eram incapa#es de '27>A2 al&umas das coisas .ue eles sabiam .ue eram erdade0 'or e5emplo: se oc+ estudou &eometria no colé&io3 oc+ "e# os e5erc?cios nos .uais oc+3 baseado em uma lista de teoremas3 proa todos os tipos de coisas sobre os tri@n&ulos0 A.uele liro de &eometria do colé&io é "eito sobre os cinco postulados de %uclides0 Todos sabem .ue os postulados s$o erdadeiros3 mas em BCC anos nin&uém ima&inou um meio de proá/los0 Sim3 parece sim per"eitamente ra#oáel ra#oáel .ue uma lin)a possa ser estendida in6nitamente em ambas as dire!es3 mas nin&uém tem sido capa# de '27>A2 isso0 N=s s= podemos demonstrar .ue eles s$o um con;unto de B suposi!es ra#oáeis e de "ato necessárias0 Grandes &+nios matemáticos estaam "rustrados "rustrados por mais de CCC anos por.ue eles n$o podiam proar todos os seus teoremas0 Daia muitas coisas .ue eram EobiamenteF erdade3 mas nin&uém conse&uia ima&inar um meio de proá/las0

No in?cio dos anos 19CC3 entretanto3 um tremendo senso de otimismo comeou a crescer nos c?rculos matemáticos0 7s matemáticos mais bril)antes do mundo *como ertrand 2ussell3 8aid Dilbert e Hudi& 4itt&enstein- estaam conencidos .ue estaam rapidamente se apro5imando de uma s?ntese 6nal0 Jma ETeoria de TudoF uni6cada3 .ue 6nalmente amarraria todos os pontos soltos0 A matemática seria completa3 < proa de balas3 )ermética3 triun"ante0 %m 1913 este ;oem matemático austr?aco3 Kurt Gödel3 publicou um arti&o .ue de uma e# por todas '27>7J .ue uma nica Teoria de Tudo é realmente imposs?el0 A descoberta de Gödel "oi c)amada de E7 Teorema da IncompletudeF0 Se oc+ me der al&uns minutos3 eu l)e e5plicarei o .ue ele di#3 como Gödel o descobriu e o .ue ele si&ni6ca L em portu&u+s simples e direto .ue .ual.uer um pode entender0 7 Teorema da Incompletude de Gödel di#: Eual.uer coisa em .ue oc+ pode desen)ar um c?rculo ao redor n$o pode ser e5plicada por si mesma sem se re"erir a al&o "ora do c?rculo L al&o .ue oc+ tem .ue assumir mas n$o pode proar0F %5presso em Hin&ua&em ormal: 7 teorema de Gödel di#: Eual.uer teoria e"etiamente &erada capa# de e5pressar aritmética elementar n$o pode ser simultaneamente consistente e completa0 %m particular3 para .ual.uer teoria "ormal consistente e e"etiamente &erada3 .ue proa certas erdades aritméticas básicas3 e5iste uma a6rma$o aritmética .ue é erdadeira3 mas .ue n$o pode ser proada em teoria0F A Tese de ,)urc)/Turin& di# .ue um sistema "?sico pode e5pressar aritmética elementar assim como um )umano pode3 e .ue a aritmética de uma Má.uina de Turin& *um computador- n$o pode ser proada dentro do sistema e é i&ualmente su;eita < incompletude0 ual.uer sistema "?sico su;eito a medi$o é capa# de e5pressar aritmética elementar0 *%m outras palaras3 crianas podem "a#er matemática contando em seus dedos3 a á&ua Ouindo para um balde "a# inte&ra$o3 e sistemas "?sicos sempre d$o a resposta certa0'ortanto3 o Jnierso é capa# de e5pressar aritmética elementar e3 tanto como a pr=pria matemática e uma má.uina de Turin&3 é incompleto0 Silo&ismo: 10 Todos os sistemas computacionais n$o/triiais s$o incompletos0

0 7 Jnierso é um sistema computacional n$o/triial0 0 'ortanto3 o Jnierso é incompleto0 >oc+ pode desen)ar um c?rculo ao redor de todos os conceitos no seu liro de &eometria do colé&io0 Mas eles s$o todos "eitos sobre os cinco postulados de %uclides3 .ue claramente s$o erdadeiros mas .ue n$o podem ser proados0 %sses cinco postulados est$o "ora do liro3 "ora do c?rculo0 >oc+ pode desen)ar um c?rculo ao redor de uma bicicleta3 mas a e5ist+ncia dessa bicicleta depende de uma "ábrica .ue está "ora do c?rculo0 A bicicleta n$o pode e5plicar a si mesma0 Gödel proou .ue )á S%M'2% mais coisas .ue s$o erdadeiras do .ue oc+ pode proar0 ual.uer sistema de l=&ica ou nmeros .ue os matemáticos possam desenoler sempre se baseará em pelo menos umas poucas suposi!es .ue n$o podem ser proadas0 7 Teorema da Incompletude de Gödel n$o se aplica somente < matemática3 mas a tudo .ue está su;eito
Jma Eteoria de tudoF L se;a na matemática3 na "?sica ou na 6loso6a L nunca será encontrada0 'or.ue é imposs?el0 7K3 o .ue isso ent$o realmente si&ni6caQ 'or .ue isso é superimportante3 e n$o apenas um "act=ide &eeRQ Isso é o .ue si&ni6ca: é e 2a#$o n$o s$o inimi&as0 Na erdade3 o e5ato oposto é erdade Jma é absolutamente necessária para .ue a outra e5ista0 Todo o racioc?nio ao 6nal lea de olta < "é em al&o .ue oc+ n$o pode proar0  Todos os sistemas "ec)ados dependem de al&o "ora do sistema0 >oc+ pode sempre desen)ar um c?rculo maior3 mas e5istirá sempre al&o "ora do c?rculo0 7 racioc?nio de um c?rculo maior para um menor é Eracioc?nio dedutio0F %5emplo de um racioc?nio dedutio: 10 Todos os )omens s$o mortais 0 S=crates é um )omem 0 'ortanto3 S=crates é mortal 7 racioc?nio de um c?rculo menor para um maior é Eracioc?nio indutio0F %5emplos de racioc?nio indutio: 10 Todos os )omens .ue con)eo s$o mortais 0 'ortanto3 todos os )omens s$o mortais 10 uando eu lar&o ob;etos3 eles caem 0 'ortanto3 )á uma lei da &raidade .ue &oerna ob;etos de caem Note .ue .uando oc+ se moe do c?rculo menor para o maior3 oc+ tem .ue "a#er suposi!es .ue n$o pode proar 1CC0 'or e5emplo: oc+ n$o pode '27>A2 .ue a &raidade sempre será consistente todas as e#es0 >oc+ s= pode obserar .ue ela é consistentemente erdadeira toda e#0 >oc+ n$o pode proar .ue o Jnierso é racional0 >oc+ s= pode obserar .ue "=rmulas matemáticas como % U mcV parecem3 sim3 descreer per"eitamente o .ue o Jnierso "a#0 'raticamente todas as leis cient?6cas est$o baseadas no racioc?nio indutio0 %stas leis ap=iam/se em uma a6rma$o de .ue o Jnierso é l=&ico e baseado em leis 65as .ue podem ser descobertas0 >oc+ n$o pode '27>A2 isto0 *>oc+ n$o pode proar .ue o Sol irá aman)$ de man)$ também0- >oc+ literalmente tem .ue usar a "é0 Na erdade3 a

maioria das pessoas n$o sabem .ue além do c?rculo da ci+ncia e5iste um c?rculo da 6loso6a0 A ci+ncia está baseada em suposi!es 6los=6cas .ue oc+ n$o pode proar cienti6camente0 2ealmente3 o método cient?6co n$o pode proar3 s= pode in"erir0 *A ci+ncia ori&inalmente sur&iu da idéia de .ue 8eus "e# um Jnierso ordenado .ue obsera leis 65as e .ue podem ser descobertas0-

A&ora3 por "aor3 considere o .ue acontece .uando desen)amos o maior c?rculo poss?el L ao redor de todo o Jnierso0 *Se e5istem mltiplos uniersos3 n=s estamos desen)ando um c?rculo ao redor deles todos também0-:  Tem .ue e5istir al&o "ora desse c?rculo0 Al&o .ue n=s temos .ue assumir mas n$o podemos proar0 7 Jnierso como n=s con)ecemos é 6nito L matéria 6nita3 ener&ia 6nita3 espao 6nito e 13W bil)!es de anos de idade0 7 Jnierso é matemático0 ual.uer sistema "?sico su;eito a medi$o e5ecuta a aritmética0 *>oc+ n$o precisa con)ecer matemática para "a#er uma adi$o L oc+ pode usar um ábaco em e# disso e ele l)e dará a resposta certa todas as e#es07 Jnierso *toda a matéria3 ener&ia3 espao e tempo- n$o pode e5plicar a si mesmo0 7 .ue .uer .ue este;a "ora do maior c?rculo n$o tem limites0'or de6ni$o3 n$o é poss?el desen)ar um c?rculo ao redor dele0 Se desen)armos um c?rculo ao redor de toda a matéria3 ener&ia3 espao e tempo e aplicar o teorema de Gödel3 ent$o saberemos .ue o .ue está "ora desse c?rculo n$o é matéria3 n$o é ener&ia3 n$o é espao e n$o é tempo0  imaterial0 7 .ue .uer .ue este;a "ora do maior c?rculo n$o é um sistema L i0e0 n$o é um con;unto de partes0 8e outra "orma poder?amos desen)ar um c?rculo ao redor delas0 A coisa "ora do maior c?rculo é indiis?el0 7 .ue .uer .ue este;a "ora do maior c?rculo é uma causa n$o/causada3 por.ue oc+ sempre pode desen)ar um c?rculo ao redor de um e"eito0 N=s podemos aplicar o mesmo racioc?nio indutio < ori&em da in"orma$o: Na )ist=ria do Jnierso3 n=s também podemos er a introdu$o da in"orma$o3 cerca de 3B bil)!es de anos atrás0 %la eio na "orma do c=di&o &enético3 .ue é simb=lico e imaterial0 A in"orma$o tee .ue ir de "ora3 ;á .ue a in"orma$o n$o é con)ecida por ser uma propriedade inerente da matéria3 ener&ia3 espao ou tempo0

 Todos os c=di&os cu;a ori&em con)ecemos s$o pro;etados por seres conscientes0 'ortanto3 o .ue .uer .ue este;a "ora do c?rculo maior é um ser consciente0 %m outras palaras3 .uando adicionamos a in"orma$o < e.ua$o3 conclu?mos .ue a coisa "ora do maior c?rculo n$o s= é in6nita e imaterial3 como também é consciente0 N$o é interessante como todas estas coisas soam suspeitamente similar a como os te=lo&os t+m descrito 8eus por mil)ares de anosQ %nt$o é di6cilmente surpreendente .ue entre YC e 9C das pessoas do mundo acreditam em al&um conceito de 8eus0 Sim3 é intuitio para a maioria do pessoal0 Mas o teorema de Gödel indica .ue é também supremamente l=&ico0 8e "ato3 é a nica posi$o .ue al&uém pode tomar e ainda assim permanecer nos dom?nios da ra#$o e da l=&ica0 A pessoa .ue or&ul)osamente proclama E>oc+ é um )omem da "é3 mas eu sou um )omem da ci+nciaF n$o entende as ra?#es da ci+ncia e a nature#a do con)ecimento Jm aparte interessanteZ Se oc+ isitar o maior ebsite ateu do mundo3 In6dels3 na pá&ina inicial oc+ encontrará a se&uinte declara$o: E7 Naturalismo é a )ip=tese se&undo a .ual o mundo natural é um sistema "ec)ado3 o .ue si&ni6ca .ue nada .ue n$o se;a parte do mundo natural o a"eta0F Se oc+ con)ece o teorema de Gödel3 oc+ sabe .ue todos os sistemas l=&icos deem contar com al&o "ora do sistema0 %nt$o3 de acordo com o  Teorema da Incompletude de Gödel3 o In6dels n$o pode estar correto0 Se o Jnierso é l=&ico3 ele tem uma causa e5terna0 Assim3 o ate?smo iola as leis da ra#$o e da l=&ica0 7 Teorema da Incompletude de Gödel proa de6nitiamente .ue a ci+ncia n$o pode ;amais preenc)er suas pr=prias lacunas0 N=s n$o temos escol)a a n$o ser procurar "ora da ci+ncia por respostas0 A Incompletude do Jnierso n$o é a proa .ue 8eus e5iste0 MasZ  a proa de .ue3 para se construir um modelo racional e cient?6co do Jnierso3 a crena em 8eus n$o é somente 1CC l=&icaZ ela é também necessária0 7s cinco postulados de %uclides n$o podem ser "ormalmente proados e 8eus também n$o pode ser "ormalmente proado0 MasZ assim como oc+ n$o pode construir um sistema coerente de &eometria sem os cinco postulados de %uclides3 oc+ também n$o pode construir uma descri$o coerente do Jnierso sem uma 'rimeira ,ausa e uma onte de ordem0

Assim3 "é e ci+ncia n$o s$o inimi&as3 mas aliadas0 Tem sido erdade por centenas de anos3 mas em 191 este ;oem ma&ricelo matemático austr?aco c)amado Kurt Gödel o proou0 %m nen)uma época na )ist=ria da )umanidade a "é em 8eus tem sido mais ra#oáel3 mais l=&ica ou mais amplamente apoiada pela ci+ncia e pela matemática0  [[[[[[[[  'err( Mars)all *tradu#ido para o portu&u+s por Mateus Sc)erer ,ardosoonte: ,osmic in&er 'rints0  [[[[[[[[  ESem matemática n=s n$o podemos penetrar pro"undamente na 6loso6a0 Sem 6loso6a n=s n$o podemos penetrar pro"undamente na matemática0 Sem ambas n=s n$o podemos penetrar pro"undamente em nada0F Heibni# EA matemática é a lin&ua&em pela .ual 8eus escreeu o Jnierso0F Galileu / See more at: )ttp:\\blo&do0(uriieira0com\C1\C]\teorema/&odel/"e/ ra#ao\^st)as)0HYsHoi(0dpu"