o Metodo Diferencas Finitas

UNIVERSIDADE DA AMAZÔNIA

ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS

BELÉM/PA DEZEMBRO –  2010  2010

ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva.

BELÉM/PA DEZEMBRO –  2010  2010

ii

ALEXANDRE ANDRADE BRANDÃO SOARES O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Engenharia Civil da Universidade da Amazônia como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Prof. D.Sc.Selênio Feio da Silva.

Banca examinadora:

Professor Selênio Feio da Silva, D. Sc. (Orientador)

Professor Leonardo Augusto Lobato Bello, D. Sc. (Examinador Interno)

Professor Evaristo Clementino Rezende dos Santos Junior, M. Sc. (Examinador Interno)

Apresentado em: / Conceito: ____________

/

/

BELÉM/PA DEZEMBRO –  2010  2010 iii

De d ic ad o à Univ ersid ade da A m azônia.

iv

AGRADECIMENTOS  Agradeço a Deus pela minha existência.  A Universidade da Amazônia (UNAMA) por me proporcionar uma formação profissional e humana, em especial a professora Marlene Vianna.  Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos pas sados durante estes cinco anos de curso.  Agradecimento especial ao professor Selênio Feio da Silva pela dedicação e paciência de ensinar e me orientar na pesquisa, iniciação científica e principalmente neste TCC.  A minha família e em especial ao meu avô Arthur , minha avó Celeste, minha tia-avó Izaura , minha mãe Regina e irmãs Verena e Erida   por terem me

ensinado através do convívio os caminhos corretos a seguir na vida.  Aos amigos que fiz durante o curso que muito me ajudaram e ensinaram:  André Bueno, Anselmo Moraes, Felipe Ribeiro, Jeferson Bezerra, Mariana von Paumgartten e Murilo Rocha .

Por fim, agradeço a banca examinadora que aceitou humildemente meu convite para participar desta defesa de conclusão de curso.

v

RESUMO

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO À TEORIA DAS VIGAS Autor: Alexandre Andrade Brandão Soares. Orientador: Selênio Feio da Silva. Trabalho de Conclusão de Curso  – Engenharia Civil. Belém-Pa, dezembro de 2010. Neste trabalho, serão apresentados alguns conceitos sobre estruturas civis, de forma a lembrar da classificação dos vínculos e os tipos de estruturas que existem. Além de expor a morfologia das peças estruturais, serão mostrados os tipos de esforços que atuam em uma estrutura. Visto isso, uma abordagem sobre o estudo de vigas será feita, através de suas classificações quanto ao tipo de seus apoios e a origem de seus carregamentos. Ira ser mostrado um estudo sobre flexão nas vigas e as possíveis deformações que nela podem ocorrer. Além disso, apresentam-se as Teorias de Euler e Timoshenko, suas semelhanças e diferenças. Mostra-se o Método das Diferenças Finitas e os seus operadoresadvindos da expansão em série de Taylor, para posteriormente aplicá-los em alguns exemplosde viga, supondo que a mesma se enquadra na Teoria de Euler para o comportamento estático. Tem-se como objetivo calcular as flechas adimensionais em uma viga engastada-livre, bi-apoiada e uma viga biengastada. Palavra-chave: Engenharia Estrutural. Viga de Euler. Método da Integração Dupla. Método das Diferenças Finitas.

vi

ABSTRACT THE METHOD OF FINITE DIFFERENCES APPLIED TO THE THEORY OF BEAMS Author: Alexandre Andrade Brandão Soares. Supervisor: Selênio Feio da Silva. End of Course Work- Civil Engineering. Belém-Pa, december 2010. In this paper, some concepts of civil structures will be presented, in order to remember the classification of links and the types of structures that exist. Besides discussing the morphology of structural components, will be shown the types of stresses that act on a structure. In addition, one approach to the study of beams will be made through their ratings on the type of support and the origin of their loads. Will be shown a study about flexion on beams and possible deformations that can occur in it. Furthermore, the similarities and differences between the Euler and Timoshenko theories will be presented. It shows the Method of Finite Differences and their operators coming from the Taylor expansion series, and later apply them to some examples of the beams, assuming that it fits with the theory of Euler for the static behavior. It has the objective to calculate the dimensionless arrows in a beam clampedfree, bi-supported and a bi-clamped beam. Keyword:   Structural Engineering. Euler beam. Double Integration Method. Finite Difference Method.

vii

LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 –Estrutura em forma de arco ........................................................ 5 Figura 2.2 –Tipos de estruturas na construção civil ....................................... 6 Figura 2.3 – Simbologia para apoio do 1º grau .............................................. 6 Figura 2.4 –Simbologia para apoio do 2º grau ................................................ 7 Figura 2.5 –Simbologia para apoio do 3º grau ................................................ 7 Figura 2.6 –Estrutura hipostática .................................................................... 8 Figura 2.7 –Estrutura hiperestática ................................................................. 9 Figura 2.8 – Estrutura isostática ..................................................................... 9 Figura 2.9 – Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares) .......... 10 Figura 2.10 – Elementos bi-dimensionais .................................................... 11 Figura 2.11 – Elemento tri-dimensional ........................................................ 11 Figura 2.12 – Esforços ativos e reativos ...................................................... 12 Figura 2.13 – Esforços internos solicitantes ................................................. 13 Figura 2.14 – Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio ............................... 13 Figura 2.15 – Esforço normal em um corpo sólido ....................................... 14 Figura 2.16 –Esforço cortante em um corpo sólido ....................................... 14 Figura 2.17 – Momento fletor em um corpo sólido ....................................... 15 Figura 2.18 – Momento torço em um corpo sólido ....................................... 15 Figura 3.1 –Principais tipos de vigas existentes............................................ 17 Figura 3.2 –Exemplo de carregamento concentrado .................................... 18 Figura 3.3 –Cargas distribuídas ao longo da viga ......................................... 18 Figura 3.4 –Flexão em viga ........................................................................... 19 Figura 3.5 –Deslocamento excessivo devido à flecha .................................. 20 Figura 3.6 – Ângulo de rotação ...................................................................... 20 Figura 3.7 –Comportamento estático de uma viga ........................................ 21 Figura 3.8 –Viga convencional de Euler-Bernoulli......................................... 24 Figura 3.9 – Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli .......................... 25 Figura 3.10 –Teoria da flexão de vigas de Timoshenko ................................ 26 Figura 3.11 –Empenamento das seções devido o esforço P ........................ 28 Figura 4.1 –Interpretação geométrica para a derivada ................................ 31 Figura 4.2 –Viga engastada .......................................................................... 34 Figura 4.3 –Viga com apoio do 2º gênero ..................................................... 35 Figura 4.4 –Viga com extremidade livre ........................................................ 36 viii

Figura 4.5 –Viga com apoio do deslizante .................................................... 37 Figura 5.1 –Viga bi-apoiada .......................................................................... 41 Figura 5.2 – Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ............................................................................ 44 Figura 5.3 – Viga bi-apoiada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ............................................................................ 46 Figura 5.4 – Viga bi-apoiada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ............................................................................ 49 Figura 5.5 – Viga bi-apoiada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ............................................................................ 52 Figura 5.6 – Viga bi-apoiada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ............................................................................ 56 Figura 5.7 – Viga bi-apoiada e discretizada com 19 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ............................................................................ 61 Figura 5.8 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-apoiada ........................................................................ 70 Figura 5.9 – Viga engastada-livre ................................................................ 71 Figura 5.10 – Viga engastada-livre e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 74 Figura 5.11 – Viga engastada-livre e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 77 Figura 5.12 – Viga engastada-livre e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 80 Figura 5.13 – Viga engastada-livre e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 84 Figura 5.14 – Viga engastada-livre e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 88 Figura 5.15 – Viga engastada-livre e discretizada com 13 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 92 Figura 5.16 – Viga engastada-livre e discretizada com 15 nós em diferenças finitas (comportamento estático) .................................................................. 98 Figura 5.17 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre............................................................... 104 Figura 5.18 – Viga bi-engastada ................................................................ 105 ix

Figura 5.19 – Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ................................................................ 107 Figura 5.20 – Viga bi-engastada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ................................................................ 108 Figura 5.21 – Viga bi-engastada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ................................................................ 110 Figura 5.22 – Viga bi-engastada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ................................................................ 112 Figura 5.23 – Viga bi-engastada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático) ................................................................ 114 Figura 5.24 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga bi-engastada .................................................................. 118

x

LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 – Representação esquemática para a diferencial central ........... 38 Tabela 4.2 – Representação das condições de contorno para a diferencial central .......................................................................................................... 39 Tabela 5.1 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das Flechas para viga bi-apoiada ....................................................................... 69 Tabela 5.2 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das Flechas para viga engastada-livre ............................................................. 104 Tabela 5.3 – Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das Flechas para viga bi-engastada ................................................................. 117

xi

LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES

                A a; b E

h L M MDF MID P q; -q R, R1, R2 e Ra β;Ф θ

       

- 2ª derivada parcial em x - 3ª derivada parcial em x - 4ª derivada parcial em x - Somatório contínuo (integral) - Somatório discreto - Forças horizontais - Forças verticais - Cargas distribuídas - Equação da curva elástica - Equação da rotação - Erro percentual relativo - Derivada parcial em x - Seção de viga - Distâncias da carga P para os apoios - Módulo de elasticidade - Altura da seção transversal de uma viga - Comprimento de uma viga - Momento fletor - Método das Diferenças Finitas - Método da Integração Dupla - Carga concentrada - Esforços distribuídos de maneira aleatória - Reações de apoio - Giro suplementar - Ângulo de rotação - Compressão - Momento de inércia - Equação do momento - Esforço normal - Momento torço - Tração - Esforço cortante ou de Cisalhamento - Constante de integração xii

      

- Carregamento distribuído - Flecha - Flecha adimensional - Deformação linear unitária

xiii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................... 1 1.1 GENERALIDADES ................................................................................... 1 1.2 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS............................................... 2 1.3 OBJETIVOS ..................................................................................................................2

1.3.1 Objetivo Geral ...................................................................................... 2 1.3.2 Objetivo Específico ............................................................................. 3 2. BREVE REVISÃO ESTRUTURAL ........................................................... 4 2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 4 2.2 CONCEITO DE ESTRUTURA ................................................................ 5 2.3 EQUILÍBRIO DOS CORPOS .................................................................. 6

2.3.1 Vínculos ou apoios  ............................................................................. 6 2.4 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS .................................................. 8

2.4.1 Estruturas Hipostática ........................................................................ 8 2.4.2 Estruturas Hiperestática ..................................................................... 8 2.4.3 Estruturas Isostática ........................................................................... 9 2.5 ELEMENTOS ESTRUTURAS ............................................................... 10

2.5.1 Elementos unidimensionais ou lineares ......................................... 10 2.5.2 Elementos bi-dimensionais ou planos ............................................ 10 2.5.3 Elementos tri-dimensionais ou espaciais ....................................... 11 2.6 TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS ....................................... 11

2.6.1 Esforços externos ............................................................................. 12 2.6.2 Esforços internos .............................................................................. 13 3. ESTUDO DE VIGA ................................................................................. 16 3.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 16 3.2 CLASSIFICAÇÃO ................................................................................. 16

3.2.1 Quanto ao tipo e posição dos apoios.............................................. 16 3.2.2 Quanto à origem do carregamento .................................................. 17 3.3 FLEXÃO SIMPLES ............................................................................... 18 3.4 DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO ............................................................... 19

3.4.1 Flecha e ângulo de rotação .............................................................. 19 3.4.1.1 Relação momento curvatura ........................................................... 20 3.5 VIGA DE EULER-BERNOULLI .............................................................. 23

3.5.1 A equação de Euler para a viga ....................................................... 24 xiv

3.6 VIGA DE TIMOSHENKO ....................................................................... 26

4. O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS ............................................. 29 4.1 FORMULAÇÃO BÁSICA ....................................................................... 29

4.1.1 Série de Taylor para funções de variáveis n ................................... 29 4.1.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor ............................ 30 4.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS (MDF) ............................................................................................ 33

4.2.1 No engaste ......................................................................................... 33 4.2.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero ................................................ 34 4.2.3 Na extremidade livre ......................................................................... 35 4.2.4 No apoio deslizante  .......................................................................... 37 4.2.5 Esquema de solução......................................................................... 38 4.3 O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE VIGA DE EULER ......................................................................................... 39

5. APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE EULER ......................................................................................................... 41 5.1 VIGA BI-APOIADA ................................................................................ 41

5.1.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler biapoiada  ....................................................................................................... 41 5.1.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler biapoiada  ....................................................................................................... 43 5.1.2.1 Discretização da viga com 3 nós ...................................................... 43 5.1.2.2 Discretização da viga com 5 nós ...................................................... 46 5.1.2.3 Discretização da viga com 7 nós ...................................................... 49 5.1.2.4 Discretização da viga com 9 nós ...................................................... 52 5.1.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................... 56 5.1.2.6 Discretização da viga com 19 nós .................................................... 61

5.1.3 Análise dos resultados ..................................................................... 68 5.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE ................................................................... 70

5.2.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler engastada-livre ........................................................................................... 70 5.2.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler engastada-livre ........................................................................................... 73 5.2.2.1 Discretização da viga com 3 nós ...................................................... 73 xv

5.2.2.2 Discretização da viga com 5 nós ...................................................... 76 5.2.2.3 Discretização da viga com 7 nós ...................................................... 80 5.2.2.4 Discretização da viga com 9 nós ...................................................... 83 5.2.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................... 88 5.2.2.6 Discretização da viga com 13 nós .................................................... 92 5.2.2.7 Discretização da viga com 15 nós .................................................... 97

5.2.3 Análise dos resultados ................................................................... 103 5.3 VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA) ........................................ 105

5.3.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler biengastada  ................................................................................................. 105 5.3.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler biengastada  ................................................................................................. 106 5.3.2.1 Discretização da viga com 3 nós .................................................... 106 5.3.2.2 Discretização da viga com 5 nós .................................................... 108 5.3.2.3 Discretização da viga com 7 nós .................................................... 110 5.3.2.4 Discretização da viga com 9 nós .................................................... 111 5.3.2.5 Discretização da viga com 11 nós .................................................. 113 5.3.2.6 Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19 nós ........................... .............. ................ ... 116

5.3.3 Análise dos resultados ................................................................... 116 6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PARA TRABALHOS FUTUROS ..... 119 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRÁFICAS ........................... .............. ......................... .......................... ................... ..... 122 ANEXO ...................................................................................................... 125 ANEXO A  – FORÇAS DE FIXAÇÃO DEVIDAS A CARGAS DE VÃO NA BARRA BI-ENGASTADA .......................................................................... 126

xvi

1

1.

INTRODUÇÃO

1.1

GENERALIDADES

 A falta de um estudo no campo numérico na graduação em Engenharia Civil torna-se a cada dia uma necessidade, uma vez que o graduando não tem familiaridade com esta ferramenta matemática. Além de que, o Engenheiro Civil precisa entender como os softwares realizam seus processos de cálculo, em especial na área da Engenharia Estrutural, onde simplificações matemáticas e a solução de problemas que muitas das vezes não tem soluções analíticas (exatas) são comuns de ocorrerem. Entretanto, estudos numéricos vêm acontecendo em centros avançados de pesquisas no Brasil e no Mundo.  Apesar do cálculo numérico não ser considerado exato, dependendo do nível de aproximação dado pelo operador, ele pode ser tão preciso quanto se queira. Existe uma grande quantidade de estruturas que são muito complexas para serem analisadas pelas técnicas clássicas (exatas), por isso a solução analítica se torna em alguns casos impossível de calcular sem que haja grandes e excessivas simplificações, resultando em valores pouco apurados. Os métodos analíticos clássicos permitem o cálculo da resposta exata, como por exemplo, das flechas, frequências, deformações e tensões em todos os pontos de uma estrutura que apresente uma problematizaç ão “simples”. Neste contexto se insere a questão central que motiva o estudo do Método das Diferenças Finitas (MDF). Pois ele não se restringe a problemas específicos. No Método das Diferenças Finitas (MDF) e de modo geral nos métodos numéricos, permitem-se observações importantes em termos computacionais para matrizes de coeficientes que serão produzidas quando o MDF for empregado. Para a programação de um software os métodos numéricos são importantes, pois como já dito, não se restringem a nenhum caso particular, podendo assim ser empregados de forma segura e precisa, dependendo do grau de refinamento do cálculo. Na engenharia dificilmente se conhece a solução matemática analítica dos fenômenos físicos (SOUSA, 2006). As equações diferenciais que regem esses fenômenos são muitas vezes complicadas e em geral não lineares. Segundo

2

SOUSA (2006), torna-se necessário utilizar procedimentos numéricos para montar soluções na forma de equações algébricas.  As soluções numéricas estão relacionadas diretamente com os métodos computacionais, estas soluções ganharam grande “espaço” na prática e no próprio meio acadêmico após o advento dos computadores. Sem dúvida estas soluções apresentam inúmeras vantagens sobre as demais. Em relação à solução analítica, já não exige problemas relativamente simples com tantas particularidades; e em relação à solução experimental o tempo e o custo são consideravelmente reduzidos.

1.2

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Segundo SOUSA (2006), a solução de uma equação diferencial em um domínio implica no conhecimento dos valores da(s) variável(eis) estudada(as) em todo o meio continuo. Para isso, SOUSA (2006) diz que o Método das Diferenças Finitas (MDF) consiste em resolver a equação diferencial em pontos discretos. Estes pontos são igualmente espaçados, ou seja, a malha é regular. Para transformação das equações diferenciais em formas discretizadas e posteriormente em um sistema de equações algébricas em função dos valores da variável em cada nó, é preciso aproximar as derivadas (SOUSA, 2006). Em resumo, SOUSA (2006) diz que, o uso da técnica de Diferenças Finitas procura escrever os operadores diferenciais em sua forma discreta, ou seja, em função de valores pontuais da solução. O conhecimento da solução, mesmo que de forma aproximada, em alguns pontos dá uma boa idéia da solução contínua, à medida que essa nuvem de pontos é adensada o valor da resposta numérica se aproxima do valor real.

1.3

OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

 Apresentar um estudo na área de engenharia estrutural que vislumbre o entendimento das estruturas civis de modo a facilitar e desenvolver um ramo pouco estudado na graduação, através do Método das Diferenças Finitas. Onde se aplica

3

em um tipo de elemento estrutural muito usado na construção civil, que são as vigas. Para tal, se torna necessário o estudo das vigas de maneira que haja um entendimento de seu comportamento. 1.3.2 Objetivo Específico

Rever alguns conceitos estruturais afim dar subsídios para o estudo do Método das Diferenças Finitas aplicado a teoria das vigas  Apresentar a equação que rege a teoria das vigas de Euler; Obter as condições de contorno nos vínculos dos apoios da viga de modo a levar os problemas relacionados a um sistema possível determinado; Demonstrar a diferença entre a Teoria de vigas de Euler e Timoshenko;  Aplicar o método das diferenças finitas na equação da viga de Euler, para o comportamento estático; Calcular os valores das flechas em vigas através da aplicação do Método das Diferenças Finitas na teoria da viga de Euler, em diferentes malhas.

4

2.

BREVE REVISÃO ESTRUTURAL

Neste capítulo serão fornecidos alguns conceitos importantes para o melhor entendimento das estruturas como suas classificações e apoios, além de demonstrar os tipos de elementos estruturais. O capítulo também descreve os esforços que atuam nas estruturas quando solicitadas.

2.1

INTRODUÇÃO

Segundo NOVAES (2008) a busca por um abrigo e proteção é uma necessidade básica do ser humano, que pode ser notada desde os primórdios da humanidade. O homem só conseguiu sair das cavernas (uma estrutura da natureza) quando conseguiu ter conhecimento e habilidade suficiente para construir seu próprio abrigo. As primeiras estruturas foram criadas a partir de materiais rústicos pouco elaborados. As primeiras estruturas eram de alvenaria de rocha ou de madeira (NOVAES, 2008). Segundo PIMENTA (2006), as construções em alvenaria, isto é, com pedras naturais ou artificiais (tijolos cerâmicos, blocos de argamassa ou gesso, etc.) são,  juntamente com as construções de madeira, as mais antigas da Cultura Humana. Já havia construções em alvenaria nas mais antigas eras. No início, as pedras eram apenas empilhadas, mas logo se desenvolveu a técnica de talhar as pedras, dandolhes um melhor encaixe.  As primeiras formas estruturais eram compostas de viga e pilares, formando pórticos, tipo até hoje muito usado. A limitação quanto aos materiais disponíveis levava a limitação dos vãos e necessidade de vários pilares. Talvez observando as estruturas da natureza, cedo se percebeu que a forma de arco, por levar a uma melhor distribuição de esforços, permite a elaboração de construções estáveis de maiores vãos, conforme figura 2.1.

5

Figura 2.1: Estrutura em forma de arco Fonte: PIMENTA, 2006

Essa forma, assim como sua variação espacial, como cúpulas e abóbodas, é muito presente em construções antigas (NOVAES, 2008). De uma maneira geral, pode-se dizer que os gregos criaram as estruturas em pórticos, depois aperfeiçoadas pelos romanos para a forma de arco, possibilitando maiores vãos com os materiais disponíveis à época. Somente com a Revolução Industrial, a partir do século XIX (NOVAES, 2008), é que a forma em pórtico volta a ser popular, pois os novos materiais, como o ferro fundido e posteriormente o aço e o concreto armado, possibilitavam vãos maiores.

2.2

CONCEITO DE ESTRUTURA

Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças (estruturais), ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante (VANDERLEI, 2007). Ou seja, toda estrutura deve proporcionar um equilíbrio para dar suporte às diversas ações que vierem a solicitála durante a sua vida útil sem que ela perca a sua função (NOVAES, 2010).  A figura 2.2 mostra alguns dos diversos tipos de estruturas que existem na construção civil.

6

Figura 2.2: Tipos de estruturas na construção civil Fonte: VANDERLEI, 2007.

2.3

EQUILÍBRIO DOS CORPOS

2.3.1 Vínculos ou apoios

São elementos que podem impedir o deslocamento de pontos das peças, introduzindo como conseqüência esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos que impedem (CAMPANARI, 1985). Logo, eles têm a função de travar possíveis deslocamentos que a estrutura venha a ter. No plano    estes apoios impedirão três movimentos que um provável corpo rígido causará. Para isso deve-se ter um sistema de carregamento aplicado, este sistema é equilibrado por um conjunto de carregamentos reativos que foi introduzido através dos vínculos ligados a estrutura (CAMPANARI, 1985).  A seguir serão mostrados tipos de vínculos (apoios) que atuam no plano: a) Apoio simples (1º gênero ou 1º grau): Impedem o deslocamento perpendicular ao plano de apoio, introduzindo uma única força nesta direção, permitindo a rotação (CAMPANARI, 1985). Em resuma são apoios que restringe um movimento, desta maneira teremos somente uma reação de apoio.

Figura 2.3: Simbologia para apoio do 1º grau. Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.

7

b) Articulação (2º gênero ou 2º grau): Impedem o deslocamento em qualquer direção no plano, introduzindo, em consequência, uma força numa direção qualquer [11], contudo este tipo de vínculo permite a rotação da estrutura. Chegam a ser mais “eficientes” que os apoios simples, pois restringem

dois movimentos, desta maneira produzem duas reações (SANTOS, 2007).

Figura 2.4: Simbologia para apoio do 2º grau. Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.

c) Engastamento (3º gênero ou 3º grau): Impedem qualquer deslocamento ou rotação no plano, assim ele introduz duas componentes de força e um momento (CAMPANARI, 1985). Desta maneira o engaste impede três movimentos, conseqüentemente produz três reações de apoio.

Figura 2.5: Simbologia para apoio do 3º grau. Fonte: UL- Universidade de Lisboa, 2010.

8

2.4

CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS

2.4.1 Estruturas Hipostáticas

São estruturas que não possuem equilíbrio estático, logo não são estáveis, tendo por isso algum movimento (grau de liberdade) não restringido (ROMÃO, 2003). De um modo geral estas estruturas possuem um número de reações de apoio inferior ao número de equações de equilíbrio estático. No entanto, é possível ter uma estrutura hipostática com um número de reações igual ou até superior ao número de equações de equilíbrio estático (Figura 2.6) desde que essas reações estejam dispostas de forma ineficaz (ROMÃO, 2003). Um dos principais fatores que deixa esta estrutura instável ocorre devido à presença dos vínculos que não impedem todos os possíveis movimentos da mesma.

Figura 2.6: Estrutura hipostática. Fonte: ROMÃO, 2003.

2.4.2 Estruturas Hiperestáticas

 As estruturas hiperestáticas têm um número de reações superior ao estritamente necessário para impedir qualquer movimento (Figura 2.7). Verifica-se, então, a possibilidade de, ao serem criteriosamente retiradas determinadas reações,

9

estas estruturas continuarem a não apresentar movimento e serem, portanto, estáveis (ROMÃO, 2003).

Figura 2.7: Estrutura hiperestática. Fonte: ROMÃO, 2003.

2.4.3 Estruturas Isostáticas

Diferentemente das estruturas hipostáticas e hiperestáticas as estruturas isostáticas têm o número de reações estritamente necessário para impedir qualquer movimento (ROMÃO, 2003). Suas reações estão dispostas de forma eficaz a restringir os possíveis movimentos da estrutura

Figura 2.8: Estrutura Isostática. Fonte: ROMÃO, 2003.

10

2.5

ELEMENTOS ESTRUTURAIS

2.5.1 Elementos unidimensionais ou lineares

São elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. Alguns exemplos de estruturas lineares são vistas na figura 2.9.

Figura 2.9: Exemplo de peças estruturais lineares (vigas e pilares). Fonte: LEMA- Arquitetos Associados, 2010

2.5.2 Elementos bi-dimensionais ou planos

São elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. Existem três tipos desse elemento: as placas (Figura 2.10a), as chapas (Figura 2.10b) e as cascas (Figura 2.10c). A primeira recebe forças perpendiculares ao plano de carga, como exemplo pode-se citar as lajes. A segunda recebe esforços normais, são comuns de ocorrerem em alvenarias estruturais. Por fim, o terceiro elemento plano é a casca, são estruturas de superfície média curva cujos esforços atuantes são perpendiculares a sua superfície.

11

(a)

(b)

(c)

Figura 2.10: Elementos bi-dimensionais: Placa (a), Chapa (b) e Casca (c). Fonte: CAMPOS, 2010.

2.5.3 Elementos tri-dimensionais ou espaciais

São elementos em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza (Figura 2.11), não necessariamente do mesmo tamanho, logo diferente dos elementos anteriormente mencionados ela não tem nenhuma dimensão predominante.

Figura 2.11: Elemento tri-dimensional: Bloco de Fundação. Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

2.6

TIPOS DE ESFORÇOS NAS ESTRUTURAS

Existem dois tipos de esforços atuantes nas estruturas, são os externos e os internos. Um como o próprio nome diz atua fora da estrutura (externo) enquanto o

12

outro age a nível molecular (interno). Tanto para os externos quanto para os internos existem divisões que serão descritas a seguir.

2.6.1 Esforços externos

Os esforços externos atuam no sistema material em análise (por contato ou ação à distância) oriundos da ação de outro sistema (o peso próprio, a ação do vento, esforços vinculares, são exemplos de esforços externos) (CAMPOS, 2010). Este esforço esta subdividido em ativos (ação) e reativos (reação). Os esforços ativos serão classificados de permanentes quando atuam constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.) (CAMPOS, 2010). Eles são conhecidos a priori   devido ao fato que no projeto o peso próprio, por exemplo, é inicialmente conhecido já que as dimensões das peças estão estabelecidas. Os esforços reativos, produzidos pelos vínculos, são denominados de reações de apoio, sendo determinados pelas equações da estática que regem o equilíbrio das forças sobre um corpo em repouso (CAMPOS, 2010). A figura 2.12 ilustra o caso de esforços ativos e reativos.

Figura 2.12: Esforços ativos e reativos. Fonte: Elaborada pelo autor.

13

2.6.2 Esforços Internos

Os esforços internos são os oriundos da ação de uma parte da estrutura ou elemento estrutural, sobre outra parte da estrutura, por contato. Este esforço esta subdividido em solicitante e resistente. Esforço interno solicitante é o conjunto de esforços que devido às ações se exerçam sobre uma ou mais seções de um elemento da estrutura (LIMA, 2010). Estes esforços internos geralmente são distribuídos de forma complexa sobre as seções (figura 2.13), mas, no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte separadamente (LIMA, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.13: Esforços internos solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da superfície recortada (b) Fonte: LIMA, 2010.

 A resultante das forças internas na seção genérica virtual pode ser obtida tanto no lado esquerdo quanto no direito do corte imaginário, como pode ser visto na figura 2.14.

Figura 2.14: Equilíbrio elástico no corpo em equilíbrio Fonte: LIMA, 2010.

14

 As resultantes dos esforços esforços internos solicitantes estão descritas abaixo. a) Esforço Normal (N): Corresponde à componente componente da resultante de de forças perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Esta solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência de distendê-la ou comprimi-la (encurtá-la), ou seja, sendo a peça retilínea, aumentar ou diminuir seu comprimento. A convenção de sinais utilizada é que o esforço normal é positivo sempre que a componente de força em questão estiver saindo de ambas às faces de uma fatia isolada da peça, ou seja, em tração (UFPR, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.15: Esforço normal em um corpo sólido. Efeito de compressão (a). Efeito de tração (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

b) Esforço Cortante ou de Cisalhamento Cisalhamento (V): Corresponde às componentes da resultante de forças contidas no plano da seção transversal. Esta solicitação tem como efeito sobre a peça a tendência a fazer as diversas seções

transversais

deslizarem,

umas

sobre

as

outras,

perpendicularmente ao eixo longitudinal (UFPR, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.16: Esforço cortante em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a), Estrutura com carregamento e sob efeito de cisalhamento (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

15

c) Momento Fletor (M): Corresponde às componentes da resultante de momentos contidas na seção transversal (perpendiculares ao eixo). Seu efeito sobre a peça é a tendência a encurvar ou fletir seu eixo longitudinal, fazendo com que as seções transversais girem umas em relação às outras, em torno de um eixo contido na seção transversal. Essa deformação causa tração em parte das fibras da peça, e compressão em outras (UFPR, 2010).

(a)

(b)

Figura 2.17: Momento fletor em um corpo sólido. Estrutura antes do carregamento (a). Estrutura com carregamento e sob efeito do momento fletor (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

d) Momento Torço (T): Corresponde à componente da resultante de momentos perpendicular à seção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Seu efeito sobre a peça é a tendência das diversas seções transversais girarem umas em relação às outras, em torno do eixo longitudinal, torcendo a peça (UFPR, 2010)

(a)

(b)

Figura 2.18: Momento torço em um corpo sólido. Estrutura em repouso (a). Estrutura sob efeito do momento torço (b). Fonte: UFPR- Universidade Federal do Paraná, 2010.

 A distribuição dos esforços ao longo de todos os pontos de uma seção genérica transversal é chamado de esforço interno resistente e é considerado, muitas das vezes como uniforme, embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforço que atua em cada ponto é função da natureza cristalina do material e da orientação dos cristais no ponto (GHISI, 2005). Quando este esforço atuar perpendicularmente em cada ponto desta seção transversal, ou seja, ao longo da área da seção, ela recebe o nome de tensão normal (GHISI, 2005). Quando o esforço for cortante (Q) ele atuará também ao longo da área do plano de uma seção genérica transversal, logo este esforço criará uma tensão tangencial denominado de tensão de cisalhamento (GHISI, 2005).

16

3.

ESTUDO DE VIGA

Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos referentes à classificação das vigas, que serão importantes para o melhor entendimento do comportamento das mesmas, além de relatar os tipos de esforços que atuam nas vigas. O capítulo também descreve as duas teorias de viga: Euler e Timoshenko.

3.1

INTRODUÇÃO

Os elementos estruturais que oferecem resistência à flexão, provocada por carregamentos aplicados, são conhecidos como vigas (MERIAM, 1999). São normalmente barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior resistência ao cisalhamento e flexão (UNICAMP, 2010). Não há dúvida de que a viga é o mais importante de todos os elementos estruturais e sua teoria básica deve ser completamente entendida para o seu dimensionamento (MERIAM, 1999). Segundo MERIAM (1999), a análise da capacidade das vigas em suportar carregamento consiste, primeiramente, em estabelecer os requisitos de equilíbrio da viga como um todo, para isso requer a aplicação dos princípios da estática. O mesmo autor também relata que, em seguida devem ser estabelecidas as relações entre as forças resultantes e a resistência interna da viga para suportar essas forças, para isso se utiliza características da resistência dos materiais.

3.2

CLASSIFICAÇÃO

3.2.1 Quanto ao tipo e posição dos apoios apoios

Segundo MERIAM (1999), vigas estaticamente determinadas, são aquelas que estão suportadas de tal forma que suas reações externas nos suportes podem ser calculadas aplicando-se apenas as equações da estática (Equação 3.1). Ou seja, são vigas isostáticas como por exemplo: bi apoiadas, em balanço e combinadas (Figura 3.1).

17

   ;    ;    

(3.1)

Existem também as vigas que são as chamadas de estaticamente indeterminada, são aquelas onde além de considerar as equações de equilíbrio estático (Equação 3.1) é necessário considerar as propriedades da relação cargadeformação da viga, são as hiperestáticas, como por exemplo: contínuas, em balanço apoiada na extremidade e bi engastada (Figura 3.1).

Figura 3.1: Principais tipos de vigas existentes. Em balanço (a). Simplesmente apoiada (b). Biengastada (c). Articulada ou Gerber (d). Contínua (e). Fonte: NOVAES & PARSEKIAN, 2008.

3.2.2 Quanto à origem do carregamento

Existem dois tipos principais de carregamento externo que uma viga suporta, cargas concentradas e cargas distribuídas. Carregamento concentrado são forças aplicadas em um único ponto (Figura 3.2), logo são pontuais, ocorrem em um ponto exclusivo da viga (SANTOS, 2007).

18

Figura 3.2: Exemplo de carregamento concentrado. Fonte: NAKAO, 2010

Enquanto que o carregamento concentrado atua em um único ponto a carga distribuída é expressa como a força ao longo do uma unidade de comprimento da viga (Figura 3.3), a intensidade da força pode ser constante ou variável (MERIAN, 1999).

  

Figura 3.3: Cargas (  distribuídas ao longo da viga. Fonte: UNICAMP- Universidade de Campinas, 2010.

3.3

FLEXÃO SIMPLES

Na seção transversal de uma viga que esteja com um carregamento qualquer, existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma atua apenas um momento fletor (M). Quando junto com o momento fletor atuar uma força cortante (Q), a solicitação passa a ser chamada de flexão simples (SCHÄFFER, 2010). Os efeitos dos carregamentos na viga produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da mesma conhecida pelo nome de flecha, além disso, dão origem a

19

tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções transversais da viga (NASH, 1982). É de conveniência imaginar que a viga seja formada de um número infinito de fibras longitudinais (NASH, 1982). Assim, a viga da figura 3.4 fletirá, encurtando-se para baixo; as fibras da parte inferior serão distendidas e as da parte superior, encurtadas, isto é, diminuem de comprimento (Nash, 1982). Logo as fibras superiores serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas.

Figura 3.4: Flexão em viga. Fonte: PUCPR- Pontífice Universidade Católica do Paraná, 2010.

Existe um ponto na viga que não sofre tração e nem compressão chamado de eixo neutro (ou linha neutra). Por este motivo que todas as fibras que se situam na seção transversal, do mesmo lado, em relação à linha neutra, estão submetidas à tração; as que se situam no lado oposto, são submetidas à compressão (NASH, 1982).

3.4

DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO

3.4.1 Flecha e ângulo de rotação

Segundo FERRARI (2010), os esforços solicitantes (forças normais de compressão, forças normais de tração, forças tangenciais, momentos fletores e momentos de torção) causam deformações nas estruturas. O fato de a maioria das deformações serem menores que a acuidade visual permite detectar, sua importância teórica, entretanto, é enorme.

20

Uma dessas deformações é conhecida por flecha, que é o deslocamento na



direção  de qualquer ponto no eixo da viga (FERRARI, 2010). A falta de controle no cálculo das flechas pode ocasionar no aumento excessivo delas, com isso o aparecimento de fissuras nas paredes localizadas em baixo de vigas, ou até impedir a abertura de janelas localizada na alvenaria que esta recebendo esta força devido à flecha (Figura 3.5).

Figura 3.5: Deslocamento excessivo devido à flecha. Fonte: TQS- Informática Ltda, 2010.

Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao longo do eixo, mas também uma rotação. O ângulo de rotação (θ) do eixo da viga é



o ângulo entre o eixo  e a tangente à curva deformada como mostrado na figura 3.6.

Figura 3.6: Ângulo de rotação θ. Fonte: AZEVEDO, 2003

3.4.1.1

Relação momento curvatura

Para se obter o valor analiticamente do ângulo de rotação e da flecha, se torna necessário desenvolver uma importante relação entre o momento fletor





interno na viga e o raio de curvatura  (rô) da curva da linha elástica em um ponto, mostrado na figura 3.7b (HIBBELER, 2010). Através desta relação será possível

21



definir a equação da curva elástica, em função de , com essa equação se encontra o valor da flecha em qualquer ponto da viga.

Devido às cargas presentes na figura 3.7a, a deformação da viga é provocada pela força cortante interna, bem como pelo momento fletor. Segundo HIBBELER (2010), se o comprimento da viga for muito maior do que sua altura, a maior deformação será causada por flexão.

(a)

(b)

Figura 3.7:Comportamento estático de uma viga. Viga submetida a diversos carregamentos (a), elemento infinitesimal da viga (b). Fonte: HIBBELER, 2010.

Segundo HIBBELER (2010), quando o momento fletor interno elemento da viga, o ângulo entre as seções transversais torna-se

  deforma o

  (figura 3.7b).

  representa uma porção da linha elástica que intercepta o eixo neutro para cada seção transversal. O raio de curvatura para esse arco é definido como a distância , que é medida do centro de curvatura  até  . Qualquer arco sobre o elemento, exceto  , está sujeito a uma deformação normal (tração ou compressão). A deformação no arco , localizado em uma posição  em relação ao eixo neutro é:     (3.2)    Para o mesmo autor, o arco

Todavia;



(3.3)

E;

   

(3.4)

22

Portanto, substituindo (3.3) e (3.4) em (3.2), temos;

          

(3.5)

Supondo que a viga tem material homogêneo e comporta-se de uma maneira linear elástica, a lei de Hooke,

  , é aplicável. A fórmula da flexão também se

      (HIBBELER, 2010). Substituindo essas equações na equação (3.5), temos:                 (3.6)    Para HIBBELER (2010), a relação que representa a curvatura ( ) em termos de  e , pode ser definida como:      (3.7)     aplica,

Substituindo a equação (3.7) na equação (3.6), temos:

        

(3.8)

Esta solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica. Para facilitar a solução de um número maior de problemas a equação (3.8) pode ser modificada, pois a inclinação da linha elástica determinada por

  será muito

pequena e o quadrado dessa inclinação será desprezível, logo a equação (3.8) pode ser expressa como:

     

Onde:

(3.9)



equação do momento; E:: módulo de elasticidade;



I: momento de inércia.



23

Com a equação (3.9), é capaz de obter o valor da flecha em qualquer ponto de uma determinada viga, através da curva elástica que a expressão fornece, para resolver-la se deve integrar a equação. A primeira integral da equação (3.9) fornece

), ou seja, o ângulo de rotação em qualquer ponto da integral fornece a equação da curva elástica (  )

a equação das rotações ( viga. Já a segunda

disponibilizando a flecha em qualquer ponto da viga. Este processo é conhecido como o Método da Integração Dupla (MID).

Como a equação (3.9) é de segunda ordem, aparecem, após a integração, duas constantes. Essas constantes determinam-se com as condições referentes a flechas e inclinações, da linha elástica, em certos pontos da viga (NASH, 1982).

3.5

VIGA DE EULER-BERNOULLI

 A viga, como dito anteriormente, é tratada como modelo unidimensional, fazendo-se a hipótese que o comprimento é bem maior que as dimensões da seção transversal. Observa-se que a análise de vigas é bastante comum em problemas de engenharia, tornando-se fundamental o estudo de sua formulação. Para esta finalidade, geralmente, consideram-se o modelo de viga de Euler-Bernoulli ou simplesmente viga de Euler (Viga clássica). Para uma relação muito pequena, entre a altura (h) da seção transversal de uma viga e seu comprimento (L), define-se a viga de Euler. Segundo SILVA (2008), esta se caracteriza por considerar apenas os efeitos de flexão (Caso elementar de flexão) devido à tensão normal. Supondo uma viga (figura 3.8) de comprimento



, seção transversal   e

módulo de inércia , agindo em uma série de cargas verticais e momentos contidos no plano

. Segundo NAVARRA (1995), a viga anteriormente descrita é

classificada como viga de Euler quando ela atender as 3 (três) hipóteses seguintes:

1ª) O deslocamento vertical (flecha) para todos os pontos de uma seção transversal são pequenas e igual ao eixo da viga; 2ª) O deslocamento lateral é nulo; 3ª) As seções transversais normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas e, ortogonal ao eixo após a deformação.

24

Figura 3.8: Viga convencional de Euler-Bernoulli Fonte: NAVARRA, 1995.

3.5.1 A equação de Euler para a viga

Segundo THOMSON (1997), para determinar a equação diferencial da viga de Euler, deve-se considerar as forças e momentos agindo sobre um elemento da viga mostrado na figura 3.9. Sabe-se que, momento fletor, respectivamente, e viga.

 e   são o esforço cortante e o

  a carga por unidade de comprimento da

25

Figura 3.9: Esforços atuantes na viga de Euler-Bernoulli Fonte: THOMSON (1997).

Fazendo a somatória das forças verticais presente no elemento da viga da figura 3.9, tem-se:

          

(3.10)

Somando-se os momentos em qualquer ponto da face direit a do elemento:

            O produto

  é muito pequeno e o quadrado dele dividido por dois é

menor ainda, logo se torna desprezível.

    

(3.11)

26

 A equação (3.11) mostra que a taxa de variação do momento ao longo de uma viga é igual ao cisalhamento, enquanto que a equação (3.10) afirma que a taxa de mudança de cisalhamento ao longo do comprimento da viga é igual à carga por unidade de comprimento.



Derivando a equação (3.11) em função de , obtemos:

    

(3.12)

Substituindo a equação (3.10) na equação (3.12), temos:

    Dividindo a equação (3.9) por ( (3.13):

(3.13)

 e em seguida substituindo na equação

             

(3.14)

Logo a equação (3.14) representa a equação governante da viga de Euler para o comportamento estático.

3.6

VIGA DE TIMOSHENKO



 A teoria de Timoshenko, considera a relação da altura , com o comprimento

 próxima de 1 (SILVA & PEDRODO, 2005). Segundo NAVARRA (1995), a teoria de vigas de Timoshenko compartilha as hipóteses 1 e 2 da teoria de vigas clássicas.

Em contrapartida, a nova hipóteses 3 (figura 3.10) estabelece que as seções planas normais ao eixo da viga antes da deformação permanecem planas, mas não necessariamente perpendiculares ao eixo após a deformação.

27

Figura 3.10: Teoria da flexão de vigas de Timoshenko. Giro (Φ) da seção normal a fibra média. Fonte: NAVARRA, 1995.

Segundo SOUSA Jr. (2006), a teoria de flexão simples (viga de Euler), mostrada na figura 3.8, considera as seções como retas, ou seja, que não há distorções das mesmas. Para vigas esbeltas em que a altura da seção é pequena em relação ao comprimento a deformação cisalhante é relativamente pequena. Porém quando essa relação não é tão pequena (viga de Timoshenko) as deformações cisalhantes (deformação angular de cisalhamento) devem ser consideradas e a teoria clássica (Euler-Bernoulli) não se aplica mais.  A figura 3.11, ilustra o efeito de empenamento da seção devido o esforço cortante. Observa-se que as seções não permanecem mais planas e o modelo clássico de vigas em flexão não se aplica mais.

28

Figura 3.11: Empenamento das seções devido o esforço P. Fonte: SOUSA Jr., 2006

29

4.

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

Neste capítulo se mostrará a formulação básica da série de Taylor, que da início ao Método das Diferenças Finitas (MDF), através da aproximação das derivadas. O capítulo também mostrará as condições de contorno presentes na viga, além de demonstrar a equação de Euler na forma de diferenças finitas.

4.1

FORMULAÇÃO BÁSICA

4.1.1 Série de Taylor para funções de variáveis n 

Este método utiliza como técnica de solução de equações diferenciais, a substituição das derivadas por formas de diferenças finitas que são obtidas pela expansão em série de Taylor e truncamento ao nível da ordem do erro desejada (SILVA & PEDROSO, 2005).

                  ; onde [24]: 



, o resto após n termos, é dado por qualquer das formas seguintes

Forma de Lagrange:

       

(4.1)

(4.2)

Forma de Cauchy:

       Segundo SILVA (2008), o valor de formas, fica entre

a

(4.3)



, que pode ser diferentes nas duas

e  x . O resultado determina se

 

 tem derivadas contínuas de

30

ordem n pelo menos. A série é infinita, se Taylor para Meclaurin.

       em

. Se

  

, e é chamada de série de

, a série é frequentemente chamada de série de

Essas séries, chamadas de séries de potências, convergem para todos

os valores de  x   em algum intervalo de convergência e divergem para todos os valores de x  fora desse intervalo (SILVA & PEDROSO, 2005).

4.1.2 Aproximação das derivadas por série de Taylor

 A partir da equação (4.1), pode-se escrever (SILVA, 2008):

                                                          Trabalhando com dois termos das séries (

(4.4)

(4.5)

):

E operando as equações 4.4 menos 4.5:

                                   Segundo SILVA (2008), fazendo

(4.6)

 

 e usando a notação inicial, tem-se

o operador em diferenças finitas para a primeira derivada:

   

 

(4.7)

31

 As equações 4.6 e 4.7 podem ser interpretadas geometricamente como mostra a figura 4.1.  A equação 4.7 é conhecida como diferencial central, há também a diferencial para frente e a diferencial para trás (SILVA & PEDROSO, 2005). Sabe-se que a diferencial central ter melhor acurácia para solução exata (SILVA, 2008), por isso não serão mostradas as diferenciais para frente e a diferencial para trás.

Figura 4.1: Interpretação geométrica para a derivada. Fonte: [25]

Para obter o operador em diferenças finitas para a segunda derivada deve-se somar as equações 4.4 e 4.5 com os três primeiros termos da série (

 

).

            E operando as equações 4.4 mais 4.5:

                                             

(4.8)

 Assim como na equação 4.6 ao fazer

 e usando a notação inicial,

tem-se o operador em diferenças finitas para a segunda derivada:

(4.9)

32

Segundo SILVA (2008), ele define que para achar o operador em diferenças

 

finitas para a terceira derivada se deve partir da equação 4.6, nela substitui-se por

, como mostrado a seguir. 

     Para:

        Tem-se:

                 

               

        

                        Ao fazer

(4.10)

  e usando a notação inicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a terceira derivada:

(4.11)

Por fim se chega ao operador em diferenças finitas para a quarta derivada, onde a partir da equação 4.8 se substitui

     

 

 por

 , como mostrado a seguir. 

33

Para:

        Tem-se:

                 

                (4.12)

             Ao fazer

  e usando a notação inicial, tem-se o operador em

diferenças finitas para a quarta derivada:

4.2

(4.13)

CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS

FINITAS (MDF)

Segundo SILVA & PEDROSO (2005), no método das diferenças finitas, as condições de contorno têm a função de diminuir o número de variáveis no sistema de equações, por meio de valores conhecidos em determinado ponto da viga e/ou relacionar pontos fora da viga (nós artificiais da malha de diferenças finitas) a pontos no seu interior, levando sempre a um sistema possível determinado para problemas estáticos.

4.2.1 No engaste

 A figura 4.2 representa uma viga engastada com a diferencial central, a diferencial para frente e a diferencial para trás.

34

Figura 4.2: Viga engastada. Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

 A flecha no engaste é zero, logo, ficará representada como mostra a equação 4.14.

 

(4.14) O mesmo acontece com a rotação no engaste, que têm seu valor igual a zero

que resulta na equação 4.15.

    Para:

  Tem-se:

    

(4.15)

4.2.2 No apoio do 2º gênero ou 1º gênero

 A figura 4.3 representa uma viga com apoio do 2º gênero (ou 1º gênero) com a diferencial central, a diferencial para frente e a diferencial para trás.

35

Figura 4.3: Viga com apoio do 2º gênero. Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

 Assim como no engaste a flecha no apoio do 2º gênero vale zero, e sua representação é mostrada na equação 4.16.

 

(4.16) Entretanto a rotação não será nula como ocorre no engaste, apesar disso o

momento terá o valor igual a zero que resultará na equação 4.17.

       Para:

   Tem-se:

             

4.2.3 Na extremidade livre

 A figura 4.4 representa uma viga com extremidade livre.

(4.17)

36

Figura 4.4: Viga com a extremidade livre. Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

Na extremidade livre como não se tem apoio o cortante é nulo, ou seja, valerá zero (equação 4.18).

          Para:

   Tem-se:

             

(4.18)

 Assim como no apoio do 2º gênero o momento na extremidade livre será nulo, como mostrado na equação 4.19.

       Para:

   Tem-se:

    

37

  

 

(4.19)

4.2.4 No apoio deslizante

 A figura 4.5 representa uma viga com apoio deslizante.

Figura 4.5: Viga com apoio do deslizante. Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

Igualmente como o engaste a rotação no apoio deslizante (1º gênero ou 1º grau) será igual a zero e poderá ser visto na equação 4.20

    Para:

  Tem-se:

    

(4.20)

O valor do cortante neste apoio deslizante também será igual a zero, como mostra a equação 4.21. Para:

  

38

Tem-se:

               

(4.21)

4.2.5 Esquema de solução

Para melhor entendimento as equações (5.7), (5.8), (5.10) e (5.12) estão representadas esquematicamente na tabela 4.1. Para maior facilidade na busca das condições de contorno definidas e deduzidas anteriormente foram também esquematizadas na tabela 4.2. Tabela 4.1: Representação esquemática para a diferencial central.

Operador  Aproximado

         

Célula (coeficiente)

                                  Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

39

Tabela 4.2: Representação das condições de contorno para a diferencial central.

Tipos de apoio

Condições de contorno

                    Fonte: SILVA & PEDROSO, 2005.

4.3

O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO A EQUAÇÃO DE VIGA

DE EULER

Como já visto anteriormente a viga de Euler considera somente os efeitos de flexão, para o comportamento estático a equação diferencial governante submetida a um carregamento



 fica definida na equação 4.22.

     Divide-se a equação (4.22) por (EI):

(4.22)

40

   

(4.23)

 Aplicando o MDF na equação (4.23), ver equação (4.13) e tabela 5.1:

                            Multiplica-se a equação (4.24) por

(4.24)

:

(4.25)

 A equação (4.25) representa a equação governante da viga de Euler por diferenças finitas.

41

5.

APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA VIGA DE

EULER

Para um melhor entendimento do Método das Diferenças Finitas, será feito aplicações do mesmo na viga de Euler, considerando três tipos de vigas, duas do tipo isostáticas e uma hiperestática, visando mostrar a eficiência do MDF. Em todas as vigas começa-se com uma malha de três

nós e

gradativamente se aumenta a fim

de mostrar a melhor convergência dos resultados em comparação com o método analítico que também será mostrado neste capítulo. 5.1 VIGA BI-APOIADA

5.1.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-apoiada Como já descrito no capítulo 3, o Método da Integração Dupla (MID) calcula o valor da flecha em determinado ponto de uma viga, para tal é preciso ter a equação do momento que representa a viga. Para encontrar essa equação, supondo que a viga tem carregamento distribuído





  

, módulo de elasticidade



, momento de

inércia   e comprimento , antes precisará ter o valor das reações de apoio da viga da figura 5.1.

Figura 5.1: Viga bi-apoiada. Fonte: Elaborada pelo autor.

Com uma seção imaginária passando a uma distância encontra-se o valor de

     



 através de:



  da reação



42

         

(5.1)

Com a equação (5.1) se acha a expressão do momento da viga. (5.2)

Substituindo a equação (5.2) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,

tem-se a equação das rotações (equação 5.3).

                            

(5.3)

 Ao integrar a equação (5.3) se obtém a equação da curva elástica (equação

5.4) capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da figura 5.1.

                                               As constantes

 e

(5.4)

 são encontradas quando:

Substituindo a equação (5.5) na equação (5.4), se encontra o valor de

(5.5) (5.6)



.

(5.7)

Substituindo as equações (5.6) e (5.7) na equação (5.4), se encontra o valor

de

.

43

                                                     

(5.8)

Por fim, substituindo as equações (5.7) e (5.8) na equação (5.4),

considerando o

, encontra-se o valor analítico da flecha no meio do vão.

Dividindo a equação por

:

(5.9)

 A equação (5.9) representa o valor analítico da flecha no meio do vão da viga

da figura 5.1.

5.1.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-apoiada

5.1.2.1 Discretização da viga com 3

nós

Nesta aplicação, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático, visto no capítulo 4 (equação 4.25) de uma viga de Euler. Utiliza-se uma viga bi-apoiada do tipo isostática com um carregamento distribuído

  

. Com a utilização do MDF pretende-se obter as soluções numéricas

das flechas no meio do vão. A viga de estudo é mostrada na figura 5.2 e tem módulo







de elasticidade , momento de inércia  e comprimento . Os nós virtuais presentes fora desta viga (figura 5.2) e nas vigas dos próximos exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4 (tabela 4.2).

44

Como o MDF calcula os valores de forma pontual, a viga (figura 5.2) com três nós  fica

com um

nó  no

centro, onde a flecha é máxima, e um

nó em

cada apoio.

Esses nós são separados igualmente, tanto os de dentro da viga quanto os de fora.

Figura 5.2: Viga bi-apoiada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para três

nós  na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                               Substituindo na equação (4.25)

, se obtém:

 



).

(5.10)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No apoio do 2º gênero (

)



(5.11)



 



No apoio do 1º gênero (

(5.12)

)





(5.13)

45

 

 

(5.14)

Substituindo as equações (5.11), (5.12), (5.13) e (5.14) na equação (5.10), tem-se: 1ª equação:

                                                

(5.15)

Para:

E;

Temos:

(5.16)

 A solução anterior, equação (5.16), representa a flecha no meio do vão, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

46

5.1.2.2 Discretização da viga com 5

nós

Como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular a flecha no meio do vão. A viga da figura 5.3 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento distribuído





, módulo de elasticidade

comprimento ) mudando apenas o número de

nós 



, momento de inércia



e

que serão discretizados na

mesma. Em resumo, ira se mostrar a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler.

Figura 5.3: Viga bi-apoiada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para cinco

nós  na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                             Substituindo na equação (4.25)

, se obtêm:

 

Substituindo na equação (4.25)

).

(5.17) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)



(5.18) , têm-se: (5.19)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No apoio do 2º gênero (

)





(5.20)

47

             



(5.21)

No apoio do 1º gênero (





)

(5.22)



(5.23)

Substituindo as equações (5.20), (5.21), (5.22) e (5.23) nas equações (5.17), (5.18) e (5.19), tem-se: 1ª equação:

                                                            



2ª equação:

 



(5.24)

(5.25)

3ª equação:

Em resumo:

(5.26)

48

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

                                                             Resolvendo o sistema pelo método de

O valor de

Cramer ,

  

, descrito abaixo:

encontra-se o valor do



:

 representa o valor da flecha no meio do vão da viga, quando:

E;

Logo:

(5.27)

 A solução anterior, equação (5.27), representa a flecha no meio do vão da viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

49

5.1.2.3 Discretização da viga com 7

nós

No próximo exemplo (figura 5.4) se pretende usar a mesma viga dos

    

exemplos anteriores (carregamento distribuído



, módulo de elasticidade



,

momento de inércia   e comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de 7

nós,

também se pretende calcular a flecha no meio do vão usando o

MDF.

Figura 5.4: Viga bi-apoiada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para sete

nós  na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                    Substituindo na equação (4.25)

, se obtém:

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

, têm-se: (5.29) , têm-se: (5.30) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.31) , têm-se:

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No apoio do 2º gênero (

)

).

(5.28)

 

Substituindo na equação (4.25)



(5.32)

50

                   

 

(5.33)



 



(5.34)

No apoio do 1º gênero (





)

(5.35)



(5.36)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.33), (5.34), (5.35) e (5.36) nas equações (5.28), (5.29), (5.30), (5.31) e (5.32), tem-se: 1ª equação:

                                       



2ª equação:

 



(5.37)

(5.38)

3ª equação:

(5.39)

51

4ª equação:

                                                          

 



(5.40)

5ª equação:

(5.41)

Em resumo:

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

                       

  

, descrito abaixo:

Resolvendo o sistema através de um software de computação técnica chamado Maple (MapleSoft, 2010), encontram-se os valores dos

         apenas o

Para:



, entretanto

 será usado, que representa o valor da flecha no meio da viga.

52

                            E;

Temos:

(5.42)

 A solução anterior, equação (5.42), representa a flecha no meio do vão da viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.1.2.4 Discretização da viga com 9

nós

No exemplo a seguir (figura 5.5) se usa uma discretização de 9 nós na viga, sabendo que o carregamento distribuído

  

, módulo de elasticidade E, momento

de inércia I e comprimento L permanecem, se pretende calcular a flecha no meio do vão usando o MDF.

Figura 5.5: Viga bi-apoiada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para nove

nós  na

viga, se deseja calcular a flecha no meio do vão (

Substituindo na equação (4.25)



, se obtêm:



).

53

                                                         

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

(5.43)

     

, têm-se: (5.44) , têm-se: (5.45) , têm-se: (5.46) , têm-se: (5.47) , têm-se: (5.48) , têm-se: (5.49)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No apoio do 2º gênero (

)



(5.50)







No apoio do 1º gênero (

)

(5.51)

54

         

(5.52)



 

(5.53)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.50), (5.51), (5.52) e (5.53) nas equações (5.43), (5.44), (5.45), (5.46), (5.47), (5.48) e (5.49), tem-se: 1ª equação:

                                                                    











(5.54)

2ª equação:

(5.55)

3ª equação:

(5.56)

4ª equação:

(5.57)

5ª equação:

(5.58)

6ª equação:

(5.59)

55

7ª equação:

                                                      

 

(5.60)

Em resumo:

Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo: abaixo:

                                      

  

, descrito

Como no exemplo anterior, foi usado para resolução do sistema, um software de computação técnica chamado Maple (MapleSoft, 2010), que calculou os valores

       

dos , contudo, apenas o da viga.

Para:



 será usado, que representa o valor da flecha no meio

56

                        E;

Temos:

(5.61)

 A solução anterior, equação (5.61), representa a flecha no meio do vão da viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.1.2.5 Discretização da viga com 11

nós

Prosseguindo com o mesmo exemplo (carregamento distribuído de elasticidade









, módulo

, momento de inércia   e comprimento ) modificando apenas a

discretização que agora será de 11

nós (figura

5.6), se pretende calcular a flecha no

meio do vão empregando o MDF.

Figura 5.6: Viga bi-apoiada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para onze

nós

na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão (

Substituindo na equação (4.25)



, se obtêm:



).

57

                                                               

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

(5.62)

       

, têm-se: (5.63) , têm-se: (5.64) , têm-se: (5.65) , têm-se: (5.66) , têm-se: (5.67) , têm-se: (5.68) , têm-se: (5.69) , têm-se: (5.70)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No apoio do 2º gênero (

)





(5.71)

58

          



No apoio do 1º gênero (



(5.72)



)

(5.73)



(5.74)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.71), (5.72), (5.73) e (5.74) nas equações (5.62), (5.63), (5.64), (5.65), (5.66), (5.67), (5.68), (5.69) e (5.70), tem-se: 1ª equação:

                                             





2ª equação:

(5.76)

3ª equação:

 



(5.75)

(5.77)

4ª equação:

(5.78)

59

5ª equação:

                                                                                                      



(5.79)

6ª equação:

 







(5.80)

7ª equação:

(5.81)

8ª equação:

(5.82)

9ª equação:

 

(5.83)

Em resumo:

Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo: abaixo:

  

, descrito

60

                                                                                                 

Resolvendo o sistema acima com o software Maple, se encontram os valores

dos , sabendo que apenas o

 será usado, pois representa o valor da flecha no

meio da viga.

Para:

E;

Temos:

(5.84)

 A solução acima, equação (5.84), representa a flecha no meio do vão da viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

61

5.1.2.6 Discretização da viga com 19

nós

Optou-se por mostrar a viga de 19

nós e

não mostrar as vigas com 13, 15 e

17 nós, pois elas convergem no mesmo valor da flecha encontrada para a viga com 11 nós (equação 5.84), considerando uma aproximação de quatro casas decimais.

  

Para a viga com 19

nós (figura



5.7) se mantém o carregamento distribuído





, módulo de elasticidade , momento de inércia  e comprimento . Pretende-se

também calcular a flecha no meio do vão empregando o MDF.

Figura 5.7: Viga bi-apoiada discretizada com 19 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para dezenove

na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão (

                                   nós

Substituindo na equação (4.25)

, se obtêm:

Substituindo na equação (4.25)

, têm-se: (5.86) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

).

(5.85)

 

Substituindo na equação (4.25)



(5.87) , têm-se: (5.88) , têm-se: (5.89)

62

                                                                             Substituindo na equação (4.25)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.90)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

(5.91)

, têm-se: (5.92)

, têm-se: (5.93) , têm-se: (5.94) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.95) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

 

(5.96) , têm-se: (5.97) , têm-se: (5.98) , têm-se: (5.99) , têm-se: (5.100)

63

                      Substituindo na equação (4.25)

, têm-se:

 

(5.101)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No apoio do 2º gênero (

)



 

(5.102)



 



No apoio do 1º gênero (

(5.103)

)



(5.104)



(5.105)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.102), (5.103), (5.104) e (5.105) nas equações (5.85), (5.86), (5.87), (5.88), (5.89), (5.88), (5.90), (5.91), (5.92), (5.93), (5.94), (5.95), (5.96), (5.97), (5.98), (5.99), (5.100) e (5.101), t em-se: 1ª equação:

                     



2ª equação:

(5.106)

64

                                                                   





(5.107)

3ª equação:

(5.108)

4ª equação:

 











(5.109)

5ª equação:

(5.110)

6ª equação:

(5.111)

7ª equação:

(5.112)

8ª equação:

(5.113)

9ª equação:

 





(5.114)

10ª equação:

(5.115)

11ª equação:

 

(5.116)

65

12ª equação:

                                                                                                                                                             











(5.117)

13ª equação:

(5.118)

14ª equação:

 

(5.119)

15ª equação:

(5.120)

16ª equação:

(5.121)

17ª equação:

 

Em resumo:

(5.122)

66

                                                                    Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo: seguir:

  

, descrito a

67

                                                                                                                               

68

Resolvendo o sistema anterior com o software Maple, se encontram os



valores dos , onde apenas o meio da viga.

                                      



 será usado, pois representa o valor da flecha no

Para:

E;

Temos:

(5.123)

 A solução acima, equação (5.123), representa a flecha no meio do vão da viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.1.3 Análise dos resultados

Para se ter uma melhor comparação entre o valor analítico obtido pelo Método da Integração Dupla (MID) e os valores numéricos obtidos pelo Método das Diferenças Finitas (MDF) mostra-se na tabela 5.1 uma comparação entre o MID e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 11 e 19

nós.

Para que essa comparação seja

69

possível, trabalha-se com as chamadas flechas adimensionais, ou seja, se divide a equação da flecha por

                     



Dividindo a equação por

, como mostra o exemplo genérico abaixo:



:

Tem-se;

(5.124)

Logo a equação (5.124) representa de forma genérica o valor das flechas adimensionais, tanto para a viga bi-apoiada, quanto para as outras vigas que serão posteriormente mostradas.  A tabela 5.1 mostra que com o aumento do número de

nós  na

viga se tem

uma maior aproximação do valor da flecha numérica em comparação ao valor analítico. Entretanto, nota-se que a partir da malha com 11 nós os

nós até

a malha de 19

valores convergem lentamente até o erro percentual ser anulado.

Tabela 5.1: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga biapoiada.

Flechas adimensionais:

Solução Analítica (MID)

  

Solução Numérica: MDF Malha

Malha

Malha

Malha

Malha

Malha

com 3

com 5

com 7

com 9

com 11

com 19

              nós

nós

nós

nós

nós

nós

0,0156

0,0137

0,0133

0,0132

0,0131

0,0130

=0,0130

=Erro percentual relativo.

Fonte: Elaborada pelo Autor.

70

O valor do erro percentual pode ser achado por meio de:

                       

Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.8.

Figura 5.8: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga biapoiada. Fonte: Elaborada pelo autor.

5.2 VIGA ENGASTADA-LIVRE

5.2.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler engastada-livre  Assim como o exemplo anterior, será empregado o Método da Integração Dupla (MID) para o cálculo do valor da flecha no meio do vão e na extremidade livre da viga, para tal, é preciso ter a equação do momento que representa a viga. Supondo que a viga tem carregamento distribuído





  

, módulo de elasticidade



,

momento de inércia   e comprimento , se obtém a expressão do momento através do emprego do MID para a viga da figura 5.9. Lembrando que esta viga também é isostática.

71

Figura 5.9: Viga engastada-livre. Fonte: Elaborada pelo autor.

Com uma seção imaginária passando a uma distância



  do bordo livre

(olhando pelo lado direito), encontra-se o valor da expressão do momento.

   

(5.125)

Substituindo a equação (5.125) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,

se tem a equação das rotações (equação 5.126).

                   

(5.126)

 Ao integrar a equação (5.126) se obtém a equação da curva elástica

(equação 5.126) capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da figura 5.8.

                As constantes

 e

(5.127)

 são encontradas quando: (5.128) (5.129)

72

Substituindo a equação (5.127) na equação (5.125), se encontra o valor de

                                                          



.

(5.130)

Substituindo as equações (5.129) e (5.130) na equação (5.127), se encontra o

valor de

.

(5.131)

Por fim, substituindo as equações (5.130) e (5.131) na equação (5.127),

considerando o

, se encontra o valor analítico da flecha no meio do vão.

Dividindo a equação (5.132) por

(5.132) :

(5.133)

 A equação (5.133) representa o valor da flecha no meio do vão da viga da

figura 5.8.  Além do valor da flecha no meio do vão, será calculado o valor da flecha na extremidade livre, através da substituição da equação (5.130) e (5.131) na equação (5.127), considerando o



, pois para este exemplo esta se considerando a plano

cartesiano com origem na extremidade livre, após essas substituições se encontra o valor analítico da flecha na extremidade livre da viga.

73

                                    Dividindo a equação (5.134) por

(5.134) :

(5.135)

 A equação (5.135) representa o valor da flecha na extremidade livre da viga

da figura 5.8.

5.2.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler engastadalivre 5.2.2.1 Discretização da viga com 3

nós

Nesta aplicação, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler. Utiliza-se uma viga engastada do tipo isostática com um carregamento distribuído



, com a

utilização do MDF se pretende obter as soluções numéricas das flechas. A viga de



estudo é mostrada na figura 5.9 e tem módulo de elasticidade , momento de inércia





 e comprimento . O objetivo é calcular as flechas no meio do vão e na extremidade

livre. Os

nós 

virtuais presentes fora desta viga (figura 5.10) e nas vigas dos

próximos exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4 (tabela 4.2).

74

Figura 5.10: Viga engastada-livre discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para três

nós na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                         extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)



, se obtém:



) e na

(5.136) , têm-se: (5.137)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1: 

No engaste (



)

                      

(5.138)





Na extremidade livre (

(5.139)

)



 



(5.140)

75

Substituindo a equação (4.19):

                             

(5.141)

Substituindo as equações (5.138), (5.139), (5.140) e (5.141) nas equações (5.136) e (5.137). 1ª equação:

                                                                           

 

(5.142)

2ª equação:



Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

Logo;

=

(5.143) , descrito abaixo:

76

Para:

                                 E;

Temos:

                              

(5.144)

(5.145)

 As soluções anteriores, equações (5.144) e (5.145), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.2.2.2 Discretização da viga com 5

nós

 Assim como no item anterior, neste próximo exemplo também se pretende calcular as flechas no meio do vão e na extremidade livre. A viga da figura 5.11 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento distribuído







  

, módulo de

elasticidade , momento de inércia   e comprimento ) mudando apenas o número de

nós  que

serão discretizados na mesma. Em resumo, mostra-se a técnica de

resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático (equação 4.25) de uma viga de Euler.

77

Figura 5.11: Viga engastada-livre discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor

Para cinco nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                        extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

, se obtém:

) e na

(5.146)

, têm-se: (5.147) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)





(5.148) , têm-se: (5.149)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No engaste (

)



(5.150)







Na extremidade livre (

)

(5.151)

78

             

(5.152)



(5.153)

Substituindo as equações (5.150), (5.151), (5.152) e (5.153) nas equações (5.146), (5.147), (5.148) e (5.149). 1ª equação:

                                                                                             





2ª equação:

(5.155)

3ª equação:

 



(5.154)

(5.156)

4ª equação:

Em resumo:

(5.157)

79

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

                            

, descrito abaixo:

   

Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos

e

  

, entretanto apenas os

 serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

Para:

                         E;

Temos:

(5.158)

                       

(5.159)

 As soluções anteriores, equações (5.158) e (5.159), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

80

5.2.2.3 Discretização da viga com 7

nós

No próximo exemplo (figura 5.12) se pretende usar a mesma viga dos

    

exemplos anteriores (carregamento distribuído



, módulo de elasticidade



,

momento de inércia   e comprimento ) diferenciando apenar a discretização que será de 7

nós,

também se pretende calcular as flechas no meio do vão e na

extremidade livre usando o MDF.

Figura 5.12: Viga engastada-livre discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para sete nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                     extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

    



, se obtém:



) e na

(5.160)

, têm-se: (5.161) , têm-se: (5.162) , têm-se: (5.163) , têm-se: (5.164) , têm-se: (5.165)

81

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1: 

No engaste (

       



)

(5.166)



 



(5.167)

Na extremidade livre (



                

)

(5.168)



(5.169)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.166), (5.167), (5.168) e (5.169) nas equações (5.160), (5.161), (5.162), (5.163), (5.164) e (5.165), tem-se: 1ª equação:

                                      

 





(5.170)

2ª equação:

(5.171)

3ª equação:

(5.172)

82

4ª equação:

                                             





(5.173)

5ª equação:

(5.174)

6ª equação:

 

(5.175)

Em resumo:

                             Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

                            

Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos

e

   

, descrito abaixo:

, entretanto apenas os

 serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

83

   

  

Para:

      E;

Temos:

                       

                        

(5.176)

(5.177)

 As soluções anteriores, equações (5.176) e (5.177), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.2.2.4 Discretização da viga com 9

nós

No exemplo a seguir (figura 5.13), usa-se uma discretização de 9 sabendo que o carregamento distribuído







, módulo de elasticidade

nós na



viga,

, momento

de inércia   e comprimento  permanecem, se pretende calcular as flechas no meio do vão e na extremidade livre usando o MDF.

84

Figura 5.13: Viga engastada-livre discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para nove nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                                 extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

      



, se obtm:



) e na

(5.178)

, têm-se: (5.179) , têm-se: (5.180) , têm-se: (5.181) , têm-se: (5.182) , têm-se: (5.183) , têm-se: (5.184) , têm-se: (5.185)

85

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1: 

No engaste (

       



)

(5.186)



 



Na extremidade livre (

(5.187)



                

)

(5.188)



(5.189)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.186), (5.187), (5.188) e (5.189) nas equações (5.178), (5.179), (5.180), (5.181), (5.182) (5.183), (5.184) e (5.185), tem-se: 1ª equação:

                                       





(5.190)

2ª equação:

(5.191)

3ª equação:

(5.192)

86

4ª equação:

                                     





5ª equação:

(5.195)

7ª equação:

(5.196)

8ª equação:

                                                                   

(5.194)

6ª equação:

 



(5.193)

 

Em resumo:

(5.197)

87

                                                              e

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

, descrito abaixo:

Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos

, entretanto apenas os

 serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

Para:

E;

Temos:

                    

(5.198)

                    

(5.199)

 As soluções anteriores, equações (5.198) e (5.199), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

88

5.2.2.5 Discretização da viga com 11

nós

    

Continuando com o mesmo exemplo (carregamento distribuído de elasticidade





, momento de inércia   e comprimento

discretização que será agora de 11

nós (figura

, módulo

) mudando apenas a

5.14), se pretende calcular as flechas

no meio do vão e na extremidade livre empregando o MDF.

Figura 5.14: Viga engastada-livre discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para onze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                     extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)  

    





) e na

, se obtém:

(5.200)

, têm-se: (5.201) , têm-se: (5.202) , têm-se: (5.203) , têm-se: (5.204) , têm-se: (5.205)

89

                                                     Substituindo na equação (4.25)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.206)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

(5.207)

, têm-se: (5.208) , têm-se: (5.209)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No engaste (

)



(5.210)





Na extremidade livre (

(5.211)

)



(5.212)



(5.213)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.210), (5.211), (5.212) e (5.213) nas equações (5.200), (5.201), (5.202), (5.203), (5.204), (5.205), (5.206), (5.207), (5.208) e (5.209), tem-se: 1ª equação:

      

90

                                                                                    









2ª equação:





(5.216)

4ª equação:

(5.217)

5ª equação:

(5.218)

6ª equação:

(5.219)

7ª equação:

 



(5.215)

3ª equação:

 



(5.214)

(5.220)

8ª equação:

(5.221)

9ª equação:

 

(5.222)

91

10ª equação:

                                                                                                                                                                  

 

(5.223)

Em resumo:

 e

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

, descrito abaixo:

Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos

, entretanto apenas os

 serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

Para:

92

E;

                          

                            

(5.224)

(5.225)

 As soluções anteriores, equações (5.224) e (5.225), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.2.2.6 Discretização da viga com 13

nós

 Agora a viga será discretizada com 13 carregamento distribuído



nós

(figura 5.15), sendo o

, módulo de elasticidade E, momento de inércia I e

comprimento L. Assim como anteriormente se pretende calcular as flechas no meio do vão e na extremidade livre empregando o MDF.

Figura 5.15: Viga engastada-livre discretizada com 13 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

93

Para treze nós na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                                                      extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

, se obtêm:

(5.226)

(5.227)

, têm-se: (5.228)

, têm-se: (5.229)

, têm-se: (5.230)

, têm-se: (5.231)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

) e na

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)





(5.232)

, têm-se: (5.233)

, têm-se: (5.234) , têm-se: (5.235)

94

                                       Substituindo na equação (4.25)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.236) , têm-se:

 

(5.237)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No engaste (

)



(5.238)





Na extremidade livre (

(5.239)

)



 

(5.240)



 

(5.241)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.238), (5.239), (5.240) e (5.241) nas equações (5.226), (5.227), (5.228), (5.229), (5.230), (5.231), (5.232), (5.233), (5.234), (5.235), (5.236) e (5.237), tem-se: 1ª equação:

                     

 



2ª equação:

(5.242)

95

                                                                          





3ª equação:











(5.245)

5ª equação:

(5.246)

6ª equação:

(5.247)

7ª equação:

(5.248)

8ª equação:

(5.249)

9ª equação:

 



(5.244)

4ª equação:

 



(5.243)

(5.250)

10ª equação:

11ª equação:

(5.251)

96

                                                                                                                                                                                             



(5.252)

12ª equação:

(5.253)

Em resumo:

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

, descrito abaixo:

97

  

Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos

   e

, entretanto apenas os

 serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

                                      Para:

E;

Temos:

                       

(5.254)

(5.255)

 As soluções anteriores, equações (5.254) e (5.255), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.2.2.7 Discretização da viga com 15

nós

Por último se aplica o MDF em uma viga (carregamento distribuído







  

,

módulo de elasticidade , momento de inércia   e comprimento ) discretizada com 15

nós

(figura 4.12). Pretende-se calcular as flechas no meio do vão e na

extremidade livre.

98

Figura 5.16: Viga engastada-livre discretizada com 15 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para quinze  nós  na viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                           na extremidade livre (

). Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)  

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

     





)e

, se obtêm:

(5.256)

, têm-se: (5.257) , têm-se: (5.258) , têm-se: (5.259) , têm-se: (5.260) , têm-se: (5.261) , têm-se: (5.262)

99

                                                 Substituindo na equação (4.25)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.263)

, têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

Substituindo na equação (4.25)

(5.264) , têm-se: (5.265) , têm-se: (5.266) , têm-se: (5.267) , têm-se:

 

Substituindo na equação (4.25)

(5.268) , têm-se:

 

(5.269)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1: 

No engaste (

       



)

(5.270)





(5.271)

Na extremidade livre (

       

 



)

(5.272)

100

         

(5.273)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.270), (5.271), (5.272) e (5.273) nas equações (5.256), (5.257), (5.258), (5.259), (5.260) (5.261), (5.262), (5.263), (5.264), (5.265), (5.266), (5.267), (5.268) e (5.269), tem-se: 1ª equação:

                                                               





2ª equação:





(5.276)

4ª equação:

(5.277)

5ª equação:

 



(5.275)

3ª equação:

 



(5.274)

(5.278)

6ª equação:

(5.279)

7ª equação:

(5.280)

101

8ª equação:

                                                                                                   



9ª equação:

 







(5.283)

11ª equação:

(5.284)

12ª equação:

(5.285)

13ª equação:

 



(5.282)

10ª equação:

 



(5.281)

(5.286)

14ª equação:

 

Em resumo:

(5.287)

102

                                                     

                                                                     Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

   

  

  

  

  

  

  

                 

 e

        E;

  

, entretanto apenas os

 serão usados, que representam o valor da flecha no meio e na extremidade

livre da viga, respectivamente:

Para:

       

    

Resolvendo o sistema encontram-se os valores dos

 

, descrito abaixo:

103

Temos:

                        

                           

(5.288)

(5.289)

 As soluções anteriores, equações (5.288) e (5.289), representam as flechas no meio do vão e na extremidade livre da viga, respectivamente, aproximadas na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.2.3 Análise dos resultados

Como na viga bi-apoiada se usou a flecha adimensional para se ter uma melhor comparação entre os valores analíticos obtidos pelo Método da Integração Dupla e os valores numéricos obtidos pelo Método das Diferenças Finitas, também se usará na viga engastada-livre este artifício de comparação. A fim de melhorar a visualização se criou a tabela 5.2, que mostra uma comparação entre o MID e o MDF, com malhas de 3, 5, 7, 11, 13 e 15

nós.

Nota-se que o MDF no meio do vão, para a malha com 3

nós,

converge mais

rápido para o valor analítico que na extremidade livre, entretanto na malha com 15 nós esta

diferença é quase que irrelevante.

104

Tabela 5.2: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre.

Flechas adimensionais:

Solução Analítica (MID)

  

Solução Numérica: MDF Malha

Malha

Malha

Malha

Malha

Malha

Malha

com 3

com 5

com 7

com 9

com 11

com 13

com 15

                               nós

nós

nós

nós

nós

nós

nós

0,0625

0,0488

0,0463

0,0454

0,0450

0,0448

0,0446

0,1563

0,1328

0,1285

0,1270

0,1263

0,1259

0,1256

=0,0443 =0,1250

: Erro percentual relativo

Fonte: Elaborada pelo Autor.

Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.17.

Figura 5.17: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga engastada-livre. Fonte: Elaborada pelo autor.

105

5.3 VIGA BI-ENGASTADA (HIPERESTÁTICA)

5.3.1 Método da integração dupla aplicado a uma viga de Euler bi-engastada Por fim, será empregado o MDF em uma viga de Euler bi-engastada, ou seja, uma viga hiperestática. Pretende-se mostrar que o MDF não se limita apenas a casos de vigas isostáticas. Para isso, como nos exemplos anteriores, será empregado o Método da Integração Dupla (MID) para o cálculo do valor da flecha no meio do vão da viga. Supondo que a viga tem carregamento distribuído









, módulo

de elasticidade , momento de inércia  e comprimento , se obtém a expressão do momento através do emprego do MID para a viga da figura 5.18.

Figura 5.18: Viga bi-engastada. Fonte: Elaborada pelo Autor.

Como esta viga é uma estrutura hiperestática, as equações da estática (equação 3.1) não funcionam para o cálculo das reações. Por isso se usou para o cálculo das reações do engaste do lado esquerdo:

             

nos anexos deste trabalho, onde:

       e

, uma tabela disponível

Com as reações, se chega à expressão do momento da viga da figura 5.16. (5.290)

Substituindo a equação (5.290) na equação (3.2) e em seguida integrando-a,

se tem a equação das rotações (equação 5.291).

              

(5.292)

106

 Ao integrar a equação (5.292), se obtém a equação da curva elástica (equação 5.291), capaz de mostrar o valor da flecha em qualquer ponto da viga da figura 5.16.

                                           As constantes

 e

(5.292)

 são encontradas quando: (5.293) (5.294)

Substituindo a equação (5.293) e (5.294) na equação (5.292), se encontra os

valores de

 e

.

(5.295) (5.296)

Por fim, substituindo as equações (5.295) e (5.296) na equação (5.292),

considerando o

, se encontra o valor analítico da flecha no meio do vão.

Dividindo a equação por

(5.297)

, temos:

(5.298)

 A equação (5.298) representa o valor da flecha no meio do vão da viga da

figura 5.16.

5.3.2 Método das diferenças finitas aplicado a uma viga de Euler bi-engastada

5.3.2.1 Discretização da viga com 3

nós

Nesta aplicação, assim como nas aplicações anteriores, mostra-se a técnica de resolução por diferenças finitas para a equação de equilíbrio estático, visto no capítulo 4 (equação 4.25) para uma viga de Euler. Utiliza-se uma viga bi-engastada

107

do tipo hiperestática com um carregamento distribuído

   

, com a utilização do

MDF pretende-se obter as soluções numéricas da flecha. A viga de estudo é mostrada na figura 5.19 e tem módulo de elasticidade



comprimento .

, momento de inércia



e

Os nós presentes nesta viga (figura 5.19) e nas vigas dos próximos exemplos são obtidos através das condições de contorno descrito no capítulo 4 ( tabela 4.2).

Figura 5.19: Viga bi-engastada e discretizada com 3 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para três

nós  na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

             Substituindo na equação (4.25)

, se obtêm:



).

(5.299)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:





No primeiro engaste (

No segundo engaste (

)

(5.230) (5.301)

)

(5.302) (5.303)

Substituindo as equações (5.230), (5.301), (5.302) e (5.303) na equação (5.299), tem-se: 1ª equação:

    

(5.304)

108

Para:

               E;

Temos:

(5.305)

 A solução anterior, equação (5.305), representa a flecha no meio do vão,

aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.3.2.2 Discretização da viga com 5

nós

 A viga da figura 5.20 tem as mesmas propriedades da anterior (carregamento distribuído

  







, módulo de elasticidade , momento de inércia   e comprimento )

mudando apenas o número de

nós que

serão discretizados na mesma.

Figura 5.20: Viga bi-engastada e discretizada com 5 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para cinco

nós  na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

              Substituindo na equação (4.25)

,

,

, respectivamente temos:

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



).

(5.306) (5.307) (5.308)

109



No primeiro engaste (

    



No segundo engaste (

)



(5.309) (5.310) ) (5.311) (5.312)

Substituindo as equações (5.309), (5.310), (5.311) e (5.312) nas equações (5.306), (5.307) e (5.308), respectivamente temos:

                                     

(5.313) (5.314) (5.315)

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

Resolvendo o sistema pelo método de

O valor de

Cramer ,

  

, descrito abaixo:

encontra-se o valor do



:

 representa o valor da flecha no meio do vão da viga, quando:

E;

Temos:

(5.316)

 A solução anterior, equação (5.316), representa a flecha no meio do vão da

viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

110

5.3.2.3 Discretização da viga com 7

nós

Emprega-se o MDF em uma viga hiperestática, desta vez com malha de 7 nós,

os parâmetros da viga da figura 5.21 são os mesmos das anteriores. Pretende-

se calcular a flecha no meio do vão.

Figura 5.21: Viga bi-engastada e discretizada com 7 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para sete

nós  na

viga deseja-se calcular a flecha no meio do vão (

                                         Substituindo na equação (4.25)

,

,

,

e



).

, respectivamente,

obtêm-se:

(5.317) (5.318) (5.319) (5.320) (5.321)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:





No primeiro engaste (

No segundo engaste (

)

(5.322) (5.323)

)

(5.324) (5.325)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.322), (5.323), (5.324) e (5.325) nas equações (5.317), (5.318), (5.319), (5.320) e (5.321), respectivamente, tem-se:

         

(5.326) (5.327)

111

                                                             

(5.328) (5.329) (5.330)

Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

  

, descrito abaixo:

Resolvendo o sistema através do software Maple, se encontram os valores

dos , contudo apenas o

 será usado, que representa o valor da flecha no meio da

viga.

Para:

E;

Temos:

(5.331)

 A equação (5.331) representa a flecha no meio do vão da viga aproximada na

flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.3.2.4 Discretização da viga com 9

nós

No exemplo a seguir (figura 5.22) se usa uma discretização de 9 nós na viga, sabendo que o carregamento distribuído

  

, módulo de elasticidade E, momento

de inércia I e comprimento L permanecem, se pretende calcular a flecha no meio do vão usando o MDF.

112

Figura 5.22: Viga bi-engastada e discretizada com 9 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

Para nove

nós  na

       

viga, se deseja calcular a flecha no meio do vão (

Substituindo na equação (4.25)

,

respectivamente, se obtém:

                                                      

,

,

,

,

).

e

,

(5.332) (5.333) (5.334) (5.335) (5.336) (5.337) (5.338)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:





No primeiro engaste (

No segundo engaste (

)

(5.339) (5.340)

) (5.341) (5.342)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.339), (5.340), (5.341) e (5.342) nas equações (5.332), (5.333), (5.334), (5.335), (5.336), (5.337) e (5.338), respectivamente, tem-se:

                                             

(5.343) (5.344) (5.345) (5.346) (5.347) (5.348)

113

                                                          

(5.349)

Portanto, obteve-se um sistema de equações do tipo:

abaixo:

  

, descrito

Resolvendo o sistema através do software Maple, se encontram os valores

dos , contudo apenas o

 será usado, que representa o valor da flecha no meio da

viga.

Para:

E;

Temos:

(5.350)

 A solução anterior, equação (5.350), representa a flecha no meio do vão da viga aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

5.3.2.5 Discretização da viga com 11

nós

Prosseguindo com o mesmo exemplo (carregamento distribuído de elasticidade









, módulo

, momento de inércia   e comprimento ) modificando apenas a

114

discretização que agora será de 11

nós (figura

5.23), se pretende calcular a flecha

no meio do vão empregando o MDF.

Figura 5.23: Viga bi-engastada e discretizada com 11 nós em diferenças finitas (comportamento estático). Fonte: Elaborada pelo autor.

                                                                                     Para onze

nós

na viga se deseja calcular a flecha no meio do vão (

Substituindo na equação (4.25)

,

,

,

,

,

,

,

). e

, respectivamente, se obtêm:

(5.351) (5.352) (5.353) (5.354) (5.355) (5.356) (5.357) (5.358) (5.359)

Para as condições de contorno visto na tabela 4.1:



No primeiro engaste (

)

(5.360) (5.361)



No segundo engaste (

)

(5.362) (5.363)

Substituindo as equações de condições de contorno (5.360), (5.361), (5.362) e (5.363) nas equações (5.351), (5.352), (5.353), (5.354), (5.355), (5.356), (5.357), (5.358) e (5.359), respectivamente, tem-se:

   

(5.364)

115

                                                                                                                                         Portanto obteve-se um sistema de equações do tipo:

(5.365) (5.366) (5.367) (5.368) (5.369) (5.370) (5.371) (5.372) , descrito abaixo:

Resolvendo o sistema acima com o software Maple, se encontram os valores

dos , sabendo que, apenas o

 será usado, pois representa o valor da flecha no

meio da viga.

Para:

E;

Temos:

(5.373)

 A solução acima, equação (5.373), representa a flecha no meio do vão da viga, aproximada na flexão de vigas de Euler pelo método das diferenças finitas.

116

5.3.2.6 Discretização da viga com 13, 15, 17 e 19

nós

Continuando com a viga bi-engastada, emprega-se o MDF com malhas de 13, 15, 17 e 19

nós.

Sabe-se que ao substituir as condições de contorno nas devidas

equações se chega a sistemas de equações lineares que ao serem resolvidos com o software Maple e substituindo os valores de meio do vão, mostrado abaixo:

             

  e

, temos os valor das flechas no

(5.374) (5.375) (5.376) (5.377)

5.3.3 Análise dos resultados

 Assim como as vigas dos exemplos anteriores, para se ter uma melhor comparação entre o valor analítico obtido pelo MID e os valores numéricos obtidos pelo MDF, mostra-se na tabela 5.3 uma comparação entre o MID e o MDF com as malhas de 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17 e 19

nós.

Para que essa comparação seja possível,

trabalha-se com as chamadas flechas adimensionais, já mostrada no item 5.1.3.  A tabela 5.3 mostra que com o aumento do número de

nós  na

viga se tem

uma maior aproximação do valor da flecha numérica em comparação ao valor analítico.

117

Tabela 5.3: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga biengastada.

Flechas adimensionais:

  

Solução Numérica: MDF Solução Analítica (MID)



=0,0026



Malha

Malha

Malha

Malha

Malha

com 3

com 5

com 7

com 9

com 11

nós

nós

nós

nós

nós

0,0078

0,0039

0,0032

0,0029

0,0028

Malha com 13, 15 e 17nós 0,0027

Malha com 19 nós

0,0026

             

=Erro percentual relativo.

Fonte: Elaborada pelo Autor.

Observa-se que com uma malha de 3

nós  o

erro é muito alto, contudo a

medida que aumenta a malha o erro diminui quase que pela metade a cada aumento de malha. Apesar disso, as malhas de 13, 15 e 17

nós apresentaram

o mesmo valor,

considerando quatro casas decimais, pois se fosse considerado apenas duas casas decimais a malha com três

nós já

teria um erro de 0%.

Para melhor visualizar a convergência do método numérico (MDF) para o valor analítico (MID), mostra-se o gráfico da figura 5.24.

118

Figura 5.24: Convergência do Método das Diferenças Finitas no cálculo das flechas para viga biengastada. Fonte: Elaborada pelo autor.

119

6.

CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

 A cada ano, o estudo das estruturas na construção civil se torna mais presente nas universidades, através de estudos em nível de graduação e pósgraduação. O mercado de trabalho cobra que o engenheiro estrutural tenha um completo entendimento das tradicionais e novas técnicas que sujem para a análise e o dimensionamento das peças estruturais. O Método das Diferenças Finitas, apesar de não ser um método numérico novo, é um método pouco explorado na graduação em engenharia civil, talvez devido ao fato de se priorizar o ensinamento de métodos analíticos que, mostram de forma global e ampla o comportamento de uma estrutura. De forma geral os métodos numéricos, incluindo o MDF, mostram resultados de forma pontual, entretanto, não se limitam a um único caso específico de aplicação.  As estruturas são elementos de um sistema maior, chamado de sistema global, composto por vários elementos ou subsistemas que trabalham cada um de forma distinta, onde um pode ou não interagir com o outro. Dependendo da forma, posição e carregamento cada elemento estrutural produzirá esforços internos e externos, afim de, estabilizar o sistema global. Um dos principais elementos estruturais são as vigas. Elas podem ser classificadas quanto ao tipo e posição dos apoios, a origem das cargas, etc. As vigas são peças estruturais, que produzem esforços diferenciados das outras peças estruturais. Sua deformação pode acarretar alguns incômodos em casas e edifícios, essas deformações são conhecidas como flecha. No nível de graduação, existe o método analítico da integração dupla que mostra o valor da flecha na viga, basta ter a expressão do momento característico da viga em estudo. Existem duas teorias que estudam o comportamento da viga, a teoria de Euler e Timoshenko. A primeira é mais usual, pois a viga geralmente se apresenta como um elemento unidimensional logo, apenas produz esforços de momento fletor. Já a segunda, apesar de ser mais completa, não considera a viga com elemento unidimensional, por isso produzirá além do momento fletor o esforço de cisalhamento.  Através da substituição das derivadas por formas de diferenças finitas, que são obtidas pela expansão em série de Taylor, se tem os operadores em diferenças

120

fintas para as derivadas de ordem

,

dependendo do truncamento e o nível da

ordem do erro desejado. Como a equação de Euler para viga, considerando a estrutura estática, é uma equação de quarta ordem, o operador em diferenças finitas encontrado foi até a substituição da derivada de quarta ordem, ou seja, se a derivada fosse de uma ordem maior também se teria operadores para ela, logo se conclui que para o MDF funcionar basta ter uma equação diferencial de qualquer ordem, que o método não ira se limitar. Como o MDF cria pontos virtuais ( nós) na viga, acaba que aparecem também pontos fora da viga, devido a isso, se torna necessário a utilização das condições de contorno, que irão diminuir o número de variáveis, por meio de valores conhecidos na viga, pois essas condições relacionam os pontos f ora com os pontos de dentro da viga. Em resumo, o MDF substitui uma equação diferencial por um sistema de equação. Como ocorre na equação de Euler, onde uma equação diferencial de quarta ordem foi substituída por um sistema. Para melhor entender o MDF e para mostrar que ele realmente funciona, aplica-se o método em exemplos de vigas estáticas de Euler. Como primeiro exemplo, uma viga bi-apoiada, através da equação governante da viga de Euler por diferenças finitas com malhas de 3, 5, 7, 9, 11 e 19

nós,

se calculou a flecha

adimensional no meio do vão. Considerando o MID como método de referência, foram comparados os valores das flechas adimensionais encontrados por meio do método numérico e do método analítico. Notou-se que à medida que aumenta o número de pontos na viga o valor numérico (MDF) se aproxima mais do valor analítico (MID). Entretanto, tem seqüências de malhas que o MDF demora para convergir para o valor analítico. O segundo exemplo que foi mostrado, uma viga engastada-livre, também se calculou a flecha adimensional pelo MID e MDF (3, 5, 7, 9, 13 e 15

nós),

contudo,

além da flecha no meio do vão, se torna válido a obtenção da flecha na extremidade livre da viga. Para todas as malhas, o MDF converge mais rápido na extremidade livre. Para o último exemplo, uma viga bi-engastada, o método numérico na primeira malha teve um erro muito grande, isso para uma aproximação de quatro casas decimais, entretanto conforme a malha se adensa, o MDF converge para o valor analítico (MID).

121

Com a aplicação do MDF nas vigas, se obteve sistemas de equações lineares, que quando a malha possuía poucos

nós,

era possível resolver o sistema

de equações por técnicas aprendidas na graduação, e quando se aumentava os

nós

se obteve matrizes grandes, que com o auxílio de um software puderam ser resolvidas. O MDF converge a sistemas capazes de serem resolvido “ a

mão” ,

ou

seja, não se precisou de um software para calcular as flechas, apenas se usou um software para o cálculo das matrizes, que funcionou como uma calculadora de mão, onde se usa para cálculos grandes. Conclui-se que o MDF, em todos os exemplos, convergiu para o método analítico. Isso serve para outras possíveis aplicações do MDF, independente da malha o MDF provavelmente ira convergir (  ).  Apesar de todas as contribuições desse trabalho, ficam algumas sugestões para possíveis trabalhos futuros. Como por exemplo: a aplicação do MDF na viga de Euler para o comportamento dinâmico, pois este trabalho apenas abordou o comportamento

estático.

A

aplicação

do

MDF

na

viga

de

Timoshenko,

comportamento estático e dinâmico. A criação de um programa de computador para as possíveis aplicações do MDF. A aplicação do MDF em outro tipo de elemento estrutural, como pilares, lajes, etc.

122

REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS  AZEVEDO, A. F. M. Métodos dos elementos finitos. 1. Ed. Portugal, 2003. 248 p. CAMPANARI, F. A. Teoria das Estruturas I. Ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois S.A., 1985. 432p CAMPOS, João. Curso de Fundamentos e Resistência dos Materiais. 91 slides. UNILINS  – SP, 2010. FERRARI, V. J. Deformações em Vigas. Maringá: DEA. Disponível em  Acesso em: 17 set 2010. GHISI, Enedir. Resistência dos sólidos para estudantes de arquitetura. Mar. de 2005. 72f. Notas de Aula. Mimeografado HIBBELER, Russell Charles. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 7. Ed. São Paulo: Pearson Pretice Hall, 2010. 639p.

LEMA:  Arquitetos Associados. Disponível em: . Acesso em: 8 set. 2010. LIMA, F. B. Teoria das Estruturas I: Aula 06. 32 slides. UFAL – AL, 2010 MERIAM, J. L. & KRAICE, L. G.. MECÂNICA ESTÁTICA. 4. Ed. Rio de Janeiro: LTC  – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1999. 360p.

MAPLESOFT- The Essential Tool for Mathematics and Modeling. Disponível em: < http://www.maplesoft.com/products/maple/>. Acesso em: 24 nov. 2010 NAKAO, O. S. Exercícios de revisão 1.  USP: LEM. Disponível em: . Acesso em: 17 set. 2010. NASH, William Arthur. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. 2. Ed. São Paulo: McGrawHill do Brasil, 1982. 521p. NAVARRA, E. O. I. Calculo de Estruturas por el método de Elementos Finitos. 2. Ed. Barcelona: Artes Gráficas Torres S. A., 1995. 838 p. NOVAES, A. L. Y. Estrutura: Definição e Classificação. Campinas: UNICAMP, Disponível em: . Acesso em: 8 set. 2010. NOVAES, C. C. & PARSEKIAN, G. A. (2008). Sistemas Estruturais. 60p. Notas de  Aula. Universidade Federal de São Carlos.

123

PIMENTA, P. M. (2006). Fundamentos da mecânica dos sólidos e das estruturas. 390p. Notas de Aula. Universidade de São Paulo.

PUCPR  –  Pontífice Universidade Católica do Paraná. Disponível em: .  Acesso em: 17 set. 2010. ROMÃO, Xavier. Mecânica I.  Portugal: UP, 2003. Disponível em: . Acesso em: 15 de set 2010. SANTOS JUNIOR. E. C. R. Equilíbrio dos corpos: Tipos de apoios estruturais. 08 de out. de 2007 5f. Notas de Aula. Mimeografado. SCHÄFFER, Almir. Concreto Armado II: Flexão Simples. 2006. 17f. Notas de Aulas (Curso de Engenharia Civil)  – Pontífice Universidade Católica do Rio Grande do Sul, 2004. SILVA, S. F. & PEDROSO, L. J. (2005). Método das Diferenças Finitas em Dinâmica de Vigas Profundas. 19p. Relatório Técnico de Pesquisa (RTP-SFS0306/2005)  – Universidade de Brasília. SILVA, S. F. O método das diferenças finitas aplicado à viga de Euler: Comportamento estático e dinâmico. Revista Traços,  Belém, v.10, n.21, p. 9-22,  jun. 2008. SILVA, S. F. Conceitos Introdutórios: Tipos de esforços. 30 de jan. de 2008. 5f. Notas de Aula. Mimeografado SOUSA Jr., L. C. Uma Aplicação dos Métodos dos Elementos Finitos e Diferenças Finitas à Interação Fluido-Estrutura. 2006. 217f. Dissertação (Mestrado em Estrutura e Construção Civil)  – Departamento de Engenharia Civil e  Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, 2006. THOMSON, William T. & DAHLEH, M. D.. VIBRATION THEORY AND APPLICATIONS. 5. Ed. Pretice Hall, 1997. 534p.

TQS  – Informática Ltda. Disponível em: . Acesso em: 17 set. 2010. UFPR Universidade Federal do Paraná.  – . Acesso em: 13 set. 2010.

Disponível

em:

UL- Universidade de Lisboa. Lisboa: FCT, 2010 Disponível em: . Acesso em: 10 set. 2010

124

UNL  – Universidade Nova de Lisboa. (FCT / DEC) Disponível em: . Ano de acesso: 2003. VANDERLEI, R. D. Estática: Resumo das notas de aula do professor. Maringá: GDAC, 2007. Disponível em: . Acesso em: 8 set. 2010. VAZ, J. C. Análise do comportamento dinâmico de uma viga de Euler-Bernoulli escalonada com apoios elasticamente variáveis. 2008, 113f.. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica)  – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Itajubá, 2008.

125

ANEXO