DEFLEXIÓN DE UNA PLACA POR EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS Baso, López, Puga
Fidedigna Baso 2-731-792
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Rafael López 8-848-1498
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Josimar Puga 8-865-306
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RESUMEN
ABSTRACT
Basándonos en expansiones en series de Taylor, se desarrolló una expresión en diferencias centrales para la ecuación diferencial de una placa estática. La ecuación general de la placa en diferencias centrales consta de 13 puntos tomando en cuenta el punto ij. Dependiendo del punto del que se realice l a ecuación, varios de estos 13 puntos pueden salirse del dominio. En cuanto a las condiciones de frontera, por simplicidad se supuso una placa empotrada en sus cuatro bordes, generando
Based on Taylor series expansions, an expression in central differences for the differential equation of a static plate was developed. The general equation of the central central difference plate consists of 13 points. Depending on the point of that equation, equation, one or more of these 13 points can get out of the domain. As for the boundary conditions, for simplicity, a plate embedded in its four edges was assumed, generating four boundary conditions on "x" and four "Y", four for zero deflection on all four edges and four zero angle at all four edges. The previous were developed in Taylor series and were later written using indicial notation just as the general equation of static plate. The boundary conditions of zero a ngle were used to put points outside the domain in terms of points within the domain to thereby solve the system of equations. Analysis was performed assuming an isotropic completely submerged horizontal bottom plate of a ship of 7 m draft, depth with which a uniformly distributed hydrostatic pressure of 171.72 kPa was calculated. The meshing made consisted of 25 internal points, but due to the double symmetry of our problem only a system of nine equations nine unknowns had to be solved by the method of Gaussian elimination. Maximum deflection obtained by the method of finite differences was 7.0232 mm at the center of the plate. A simulation simulation in Autodesk Inventor Inventor program which obtains the deflections of the plate by the finite element method was developed. This gave us 5 ,705 mm deflection in the center of the plate. For simplicity, in the analysis of the plate only the hydrostatic load was taken into account. The hydrodynamic pressure and drag were not taken into account.
cuatro condiciones de frontera en “x” y cuatro en “y”,
cuatro de deflexión cero en los cuatro bordes y cuatro de ángulo cero en los cuatro bordes. Las anteriores se desarrollaron en serie de Taylor para posteriormente expresarlas como notación indicial al igual que la ecuación general de la placa estática. Las condiciones de frontera de ángulo cero se utilizaron para poner los puntos fuera del dominio dominio en función de puntos dentro del dominio para de esta manera resolver el sistema de ecuaciones. Se realizó el análisis suponiendo una placa isotrópica totalmente sumergida y horizontal del fondo de un buque de calado de 7m, calado con el cual se calculó una presión hidrostática uniformemente distribuida de 171.72 KPa. El mallado realizado fue de 25 puntos internos, pero debido a la doble simetría de nuestro problema sólo se tuvo tuvo que resolver un sistema de nueve ecuaciones y nueve incógnitas mediante el método de eliminación de Gauss. La máxima deflexión obtenida por el método de diferencias finitas centrales fue de 7.0232 mm en el centro de la placa. Se desarrolló una simulación en el programa Autodesk Inventor el cual obtiene las deflexiones de la placa mediante el método de elementos finitos. Ésta deflexión nos dio 5.705 mm en el centro de la placa. En el análisis de la placa sólo se tomó en cuenta la carga hidrostática, se despreció la hidrodinámica y el arrastre.
Plate theory, Taylor series, Finite Differences, maximum deflection, horizontal totally submerged plate, uniform load.
KEYWORDS:
PALABRA S CLAVE: Teoría de placas, Serie de Taylor,
INTROD UCCIÓN UCCIÓN
Diferencias finitas, Deflexión máxima, placa horizontal totalmente sumergida, carga uniforme.
En este trabajo mostraremos una aplicación sobre la teoría de placas. En la teoría clásica de placas lineal delgada, hay una serie de suposiciones que son necesarias para reducir las tres ecuaciones dimensionales de elasticidad a dos dimensiones que pueden ser resueltas. Considerando un cuerpo elástico 1
mostrado en la figura 1, que comprende la región 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ , ℎ/2 ≤ ≤ ℎ/2 de tal manera que ℎ ≪ ℎ ≪ . Esto es llamado una placa.
1. 2. 3. 4. 5.
Suposiciones básicas de la teoría de placas. Placa isotrópica Empotrada en los cuatro bordes Carga uniformemente distribuida Placa estática
Se presenta la ecuación general para la placa isotrópica estática y delgada que debe llevarse a diferencias finitas centrales:
∇ = figura 1.
.
=
, =
Las siguientes suposiciones son: 1. Un elemento lineal de la placa extendida a través del espesor de la placa, normal a la superficie media, x-y, en el estado de no esfuerzo, tras la aplicación de carga: se somete a la mayor traslación y rotación con respecto al sistema de coordenadas original. se mantiene normal a la mitad de la superficie deformada. 2. Una placa resiste cargas laterales y sobre el plano por flexión. 3. Un elemento lineal a través del espesor no se elonga o contrae. 4. El elemento lineal permanece recto en aplicación de la carga. 5. Aplica el principio de St. Venant
ℎ 3 121 Mallado cuadrado h=K
Procedemos a desarrollar una expresión en diferencias finitas para nuestra ecuación diferencial mediante expansiones en serie de Taylor:
ℎ, ≈ ,
1 ℎ ℎ 2!
ℎ, ≈ ,
1 ℎ ℎ 2!
ℎ, ℎ, ≈ 2 ,
ℎ
1 ≈ ℎ, 2, ℎ, ℎ
Un aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuaciones en derivadas parciales. Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de computación y áreas de ingeniería, como es nuestro caso. Este método es muy eficiente para los análisis estructurales tanto para un barco como para una aeronave.
≈
1 [ 2 −, ] ℎ +,
1 ≈ [ 4+, 6 4−, −, ] ℎ +, 1 ≈ [ 4,+ 6 4,− ,−] ,+ 1 ≈ [+,+ ℎ 2(,+ +, −, ,−) −,+ 4 +,+ −,−]
MATER IALES Y MÉTODOS
Desarrollo de la expresión general para una placa estática en diferencias finitas.
Luego de reemplazar las cuartas derivadas de “w” con respecto a “x” y “y” y la derivada cruzada, nuestra ecuación resultante es:
Planteamiento del problema Se desea obtener la deflexión de una placa de fondo de un buque de calado de 7 metros. La placa tendrá las siguientes propiedades: Cuadrada de 1 metro de longitud Espesor de 12.7 mm (1/2 pulgada) Acero ASTM A36
{20 8(+, −, ,+ ,−) 2(+,+ −,+ +,− −,−) +, −, ,+ ,−} ≈
Suposiciones 2
El mallado resultante de la ec uación en diferencias finitas desarrollada posee esta forma y contiene estos puntos:
Por ende:
= = = 3 = = 5 = = = = 3 = = 5 = = = 3 = = 5 = = = = 3 = = 5 = = 0 Condiciones de frontera de ángulo en “x”
0, =0 , =0 Condiciones de frontera de ángulo en “y”
,0 =0 , =0 Se realiza una serie de Taylor hasta el término de primer orden y se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener las diferencias centrales de primer orden: Podemos observar que hay dos puntos que se salen de las fronteras de la placa, estos puntos se les llama puntos ficticios y se pueden poner en función de puntos dentro de la malla mediante las condiciones de frontera de ángulo. Para “x”
Condiciones de frontera para bordes empotrados Para los bordes empotrados, las deflexiones en los cuatro bordes es cero al igual que los ángulos, es decir, la primera derivada.
ℎ, ≈ ,
ℎ
ℎ, ≈ ,
ℎ
Condiciones de frontera de deflexión en “x”
ℎ, ℎ, ≈ 2 = 0, = 0 , = 0 = 0
ℎ
1 ≈ ( −, ) 2ℎ +,
Condiciones de frontera de deflexión en “y”
Ya que la primera derivada es cero tenemos la siguiente condición de frontera de ángulo en notación indicial:
, = 0 , = 0
+, = −, Para “y”
Que expresadas en notación indicial quedan de la siguiente manera:
= 0 = 0 = 0 = 0 3
, ≈ ,
, ≈ ,
, , ≈ 2
Procedemos a desarrollar las ecuaciones para los puntos 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32 y 33 ya que la placa es doblemente simétrica debido al empotramiento en todos los bordes, a la isotropía y a la carga uniformemente distribuida.
1 ≈ ( ,−) 2 ,+
20 8 2 3 − 3 − = 20 8 3 23 3 3 − = 20 3 83 3 2 33 −3 5 = 3 20 83 23 3 3 − = 20 83 3 233 3 3 = 20 3 833 3 23 3 3 3 5 = 3 20 3 8 3 3 2 5 33 3− = 3 20 3 8 33 3 23 3 5 3 3 = 3 20 33 83 3 3 3 2 53 3 35 3 = 33
Ya que la primera derivada es cero tenemos la siguiente condición de frontera de ángulo en notación indicial.
,+ = ,− De las condiciones de frontera de ángulo, reemplazando las coordenadas de las fronteras podemos observar que los puntos ficticios equivalen a los siguientes puntos dentro del dominio: Para “x”
, = −, , = −, ,3 = −,3 Para “y”
, = ,− , = ,− 3, = 3,−
El mallado a utilizar será el siguiente:
Aplicando las condiciones de frontera:
22 8 2 3 3 = 21 8 3 23 3 = 21 3 83 2 33 5 = 3 21 83 23 3 = 20 83 3 233 3 3 = 20 3 833 3 23 3 3 5 = 3
4
21 3 8 3 2 5 33 = 3 20 3 8 33 3 23 3 5 3 = 3 20 33 83 3 3 3 2 53 3 35 3 = 33
2 8 23 8 22 83 23 83 233 = 4 83 2 16 213 43 833 = 3 2 16 4 213 83 33 = 3 2 4 16 43 83 213 833 = 3 23 8 163 23 163 2033 = 33
Aplicando las condiciones de doble simetría:
= = 5 = = = = 5 = 5 = = 5 3 = 3 3 = 3 3 = 53 3 = 35
RESULTADOS:
Introducimos los valores en la matriz para obtener los resultados por el método de gauss:
22 8 2 3 3 = 22 8 3 23 3 = 21 3 83 2 4 33 2 = 3 22 83 23 3 = 22 8(3 3 233 3 3 ) = 213 833 3 2 43 2 = 3 21 3 82 3 4 2 33 = 3 21 3 82 33 3 43 2 = 3 20 33 16 3 3 8 23 23 = 33
Se transforma la matriz aumentada del sistema en una matriz de forma escalonada:
Reordenando el Sistema de ecuaciones:
22 8 3 8 2 3 = 8 22 83 2 8 23 3 = 2 16 213 4 83 33 = 3 8 2 22 8 3 83 23 = 5
resultados obtenidos podemos obtener el punto de deformación máxima y por lo tanto su campo tensional. Se puede aplicar tanto al campo naval como al campo de la aeronáutica para predecir las deflexiones, los esfuerzos y las deformaciones a la que una estructura puede estar sometida de manera que puedan tomarse medidas correctivas de ser necesario evitando que falle el elemento estructural.
Luego de despejada X9 de esta ecuación, el resultado se reemplaza en la ecuación de arriba para sacar X8 y así sucesivamente para obtener X1. De manera análoga se van desarrollando de la misma manera las demás ecuaciones resultantes hasta obtener las demás incógnitas. Obtenemos los siguientes resultados en milímetros:
= = . = = . = = . = = . = = . = = . = = . = = . = = . Análisis de la placa usando Autodesk Inventor
Una deflexión máxima en el centro de nuestra placa de 5.705 mm por el método de elementos finitos (Autodesk Inventor) vs una de 7.02 mm utilizando el método de diferencias finitas representa un error del 22%. Esto sugiere que nuestro mallado debería ser más fino para obtener resultados más precisos. CONCLUSION
En este documento se ha desarrollado la teoría de placa lineal en un elemento estructural. Utilizando el método de diferencias finitas para desarrollar las ecuaciones planteadas con respecto a una placa. Con estos 6
