ESCUELA POLTECNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA TRANSFERENCIA DE CALOR I Tema: Método de diferencias Finitas en estado transitorio Nombre: IZA PILLAJO ALEXIS JAVIER Fecha: 25/11/2013 Formulación matemática de las ecuaciones de diferencias finitas. La reducción de una ecuación diferencial parcial a una aproximación adecuada en diferencias finitas se puede hacer fácilmente por medio de las series de Taylor. Para ilustrar el método consideremos la ecuación diferencial parcial que caracteriza los procesos de transferencia de calor en estado no estable, unidireccional, sin generación:
(1)
Como
puede expandirse alrededor de t para un valor fijo de z:
En la medida que Δt sea suficientemente pequeño, los términos del orden de pueden ser despreciados, y una primera aproximación a es:
y superiores,
(2) Aquí hemos introducido una notación abreviada donde el subíndice indica el punto o nodo donde se mide la variable, y el superíndice el momento en el cual se hace tal medición. Para obtener la primera aproximación a
se necesitan dos expansiones de la serie:
Sumando miembro a miembro y despreciando los términos de orden y superiores la así llamada aproximación central en diferencias finitas a la segunda derivada es:
(3) El error de truncamiento involucrado al omitir el resto de la serie es del orden de Reemplazando las aproximaciones (2) y (3) anteriores en diferencias finitas en la ecuación (1)
(4) Notando que intervalo de tiempo Δt, reescribimos:
(5) Aquí, explícitamente hallamos la temperatura del nodo m en un momento futuro t+1, a partir de las temperaturas de los 3 nodos adyacentes en el momento presente t. A continuación ilustramos la manera de obtener estas mismas ecuaciones a través de balances de materia o de energía.
METODOIMPLÍCITO Este método de incrementos finitos para régimen no estacionario es, a diferencia del anterior, estable para prácticamente todas las magnitudes de los intervalos de espacio y tiempo Δz y Δt, es decir para todos los valores de los números de Fourier y Biot, aunque los valores serán tanto más precisos cuanto menores sean dichos intervalos, al reducirse los errores de truncamiento y redondeo. El método se diferencia del explícito en que el balance de energía se establece en el instante (t +Δt) en lugar del (t)
(6) A diferencia del método explícito, la temperatura del nodo m en el tiempo (t + 1) queda expresada en función de las de los nodos vecinos pero también en el futuro. Se hace entonces necesario resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones de todos los nodos simultáneamente. Esto se puede hacer usando el método de Gauss – Seidel, o el de inversión de matrices. Sin embargo el ser incondicionalmente estable le da ventaja sobre el método explícito, pues al seleccionar por ejemplo un valor de 2 para Fo, permite encontrar un resultado con la cuarta parte de los pasos necesarios si usáramos el máximo Fo = 0.5 en el método explícito. Se debe advertir que al analizar nodos de frontera pueden aparecer requisitos de estabilidad aún más restrictivos.
Métodos Mixtos Se encuentran también métodos de incrementos finitos basados en los dos anteriores. Explicaremos a continuación uno basado en la media aritmética de ambos, denominado de Crank – Nicolson. METODO DE CRANK NICOLSON En este caso se retiene el lado izquierdo de la ecuación en diferencia finita dada en las ecuaciones (4) ó (6) pero en el lado derecho se toma el promedio de los lados derechos de ambas:
que se puede reorganizar como.
Si m = 0, 1, 2, . . ., N, se presentan N + 1 ecuaciones algebraicas acopladas de las N + 1 temperaturas desconocidas (m = 0, 1, 2, . . ., N) de los puntos nodales. Las temperaturas para m = -1 y m = N +1 se obtienen de las condiciones de frontera. En resumen, el método implícito produce un grupo de ecuaciones acopladas que se deben resolver en cada intervalo de tiempo mientras que las ecuaciones del método explícito no son acopladas. Sin embargo al poder seleccionar intervalos de tiempo Δt mayores se puede obtener una respuesta más rápidamente. A continuación obtenemos ecuaciones por los tres métodos para diferentes condiciones de frontera y con generación usando el método de balances de energía por ser más ilustrativo. Los cambios para adaptar las ecuaciones superficiales a otra situación son obvios si tenemos presente que los nodos se numeran de izquierda a derecha como 0, 1, ..., m-1, m, m +1, ..., N -1, N. Nodo interno (m) con generación
Podemos desarrollar la ecuación en diferencias finitas aplicando un balance de energía (salida menos entrada más acumulación igual generación) alrededor del nodo m
MÉTODO EXPLÍCITO
Dividiendo por ρCSΔz y reorganizando obtenemos
Reconociendo que
Para estabilidad el coeficiente de
debe ser mayor o igual a cero, es decir Fo≤ ½.
Método Implícito
El coeficiente de
es la unidad por lo que este sistema es incondicionalmente estable
EJERCICIOS Se calienta una barra de acero de 1 m de longitud hasta que la barra tiene un gradiente lineal que y el otro extremo de la barra se mantienen aislados. Calcule el perfil de temperatura después de 0.27 Ms. (Sugerencia: debido a que los lados y un extremo están aislados es posible considerar a la barra como la mitad de una placa plana con el extremo de 6 parece indicado usar el método de diferencias finitas completamente implícito, con incrementos
Datos: Tome las siguientes propiedades para el metal:
Otros valores dados en la literatura son
Para realizar el cálculo en forma manual procedemos a trabajar por el método completamente implícito de diferencias finitas con Δz = 0.25 m y Δt = 15 h = 54000 s. El número de Fourier, con α = 0.44x10-5 m2/s es 3.8. Sacrificamos exactitud pero reducimos la cantidad de operaciones a realizar. Necesitaremos 5 incrementos de tiempo y el enmallado tendrá solo 4 nodos a saber:
Las matrices iniciales son:
Invirtiendo A obtenemos
=
;
se diferencia de
que se va modificando en la medida que se modifique ; Obtenemos las siguientes distribuciones de temperatura:
solamente en el último término permanece inmodificable.
Para observar la eficiencia del sistema en función del número de Fourier, presentamos los valores obtenidos con Δz = 0.05 m (21 nodos) y Δt = 600 s (450 iteraciones), Fo = 1.06, verificado usando el paquete I. H. T
Al observar los resultados calculados por los tres métodos descritos las curvas para Fo = 1y el análisis exacto se confunden, pero la diferencia respecto a Fo = 3.8 es notable. REFERENCIA: Fundamentals of Heat and Mass Transfer. Frank P. Incropera, David P. DeWitt. 7th Edition.pdf
