FIGMM ± INTRODUCTION TO RESEARCH RESEARCH OPERA OPERATIONS TIONS
PROF: DR. CARLOS ÁGREDA TURRIATE
TEORIA DE COLAS: POBLACION POBLACION FINIT FINITA A
GRUPO Nº 2 INTEGRANTES:: INTEGRANTES
-Zambrano -Zambra no Mar Marcos cos - Pe Perres Nuñez - Fe Ferrro - Hu Huay ayhu hua a - Murga
INTRODUCCIÓN El origen de la Teoría de Colas, según el enfoque actual, lo encontramos en los trabajos de Agner Kraup Erlang (Dinamarca 1878 - 1929) en 1909 para analizar el tráfico telefónico o la congestión de llamadas, con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría paso a ser una herramienta muyy im mu impo port rtan ante te en si simu mula laci ción ón y ayu yudó dó a so solu luci cion onar ar muchos problemas prácticos que tenían como característica llegadas y salidas. 3
FUNDAMENTO TEÓRICO Una
cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen de líneas de espera particulares o de sistema de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre el costo del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.
Ejemplos claros de teoría de colas: Carga de camiones Fabrica,
piezas para ensamblar
Hospital Perforación
de minas. 4
TEORIA COLAS
Es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un servidor, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
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TEORIA COLAS Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas:
Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco.
Estudiantes esperando por obtener sus exámenes o su turno del almuerzo.
Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o pasar las revisiones técnicas.
Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.
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COSTOS DE SERVICIO Y COSTOS DE ESPERA
Los administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el costo de proporcionar buen servicio y el costo del tiempo de espera del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.
Los administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad.
Sin embargo los administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el costo del servicio.
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CARACTERÍSTICAS Las siguientes características se aplican a los sistemas de colas:
Una
población de clientes, que es el conjunto de los clientes posibles.
Un
Un
proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clientes de esa población. proceso de colas, que está conformado por la manera que los clientes esperan para ser atendidos y la disciplina de colas, que es la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio. 8
CARACTERÍSTICAS
Un
proceso de servicios, que es la forma y la rapidez con la que es atendido el cliente
Proceso de salida, que son de los siguientes dos tipos:
Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos.
Los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo, son trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas. 9
NOTACION DE KENDALL Sirve para especificar las características de una línea de espera espera.. v/w/x/y/z v: indica indica la distribución de tiempo tiempo entre llegadas consecutivas.. consecutivas w: alude al patrón de servicio de servidores servidores.. X: es el número de canales de servicio servicio.. Y: es la restricción en la capacidad del sistema. sistema. Z: es la disciplina de cola cola..
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En la tabla se presenta un resumen de los símbolos más utilizados utilizados..
Disciplina de cola, servicio en el orden de llegada FIFO (First In First Out): primero en llegar primero en salir LIFO (Last In First Out): Ultimo en llegar primero en salir SIRO (Service In Random Order): Servicio al azar
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DISTRIBUCION DE POISSON POISSON:: Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.
P x
P(x) = x= P= e=
P x
e P !
x!
para _ x
!
0,1,2,3,4,...
Probabilidad de x arribos número de arribos por unidad de tiempo rango promedio de arribo 2.71828 12
LLEGADA DE CLIENTES La figura muestra las configuraciones generales de los sistemas de filas de espera. La llegada de clientes a un sistema de servicios puede derivarse de una población finita o infinita. Esta distinción es importante porque los análisis se basan en premisas diferentes y su solución exige ecuaciones distintas. Finita Fuente de población Infinita 13
MODELO BASICO CON UNA POBLACION FINITA Es el supuesto de que la fuente o población de donde provienen los clientes para solicitar un servicio, es finita.
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NOTACIONES DE LINEAS DE ESPERA =
Tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo) 1/ = Tiempo medio entre llegadas. = Tasa media de servicio (numero de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor esta ocupado) 1/ = Tiempo medio requerido para prestar el servicio. P = Factor de utilizacion del sistema (proporcion de tiempo que el sistema esta ocupado). Pn = Propbabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema. 15
NOTACIONES DE LINEAS DE ESPERA Lq = Numero medio de de unidades en la cola (longitd de la cola). Ls = Numero medio de unidades en el sistema. Wq = tiempo medio de espera en la cola. Ws = Tiempo medio de espera en el sistema. ` = tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio. Ws(t) = probabilidad de que un cliente permanesca mas de t unidades de tiempo en el sistema. Wq(t) = probabilidad de que un cliente permanezca mas de t unidades de tiempo en la cola. 16
FORMULAS PARA LAS POBLACION FINITAS
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FORMULAS PARA LAS POBLACION FINITAS
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PROBLEMAS Una
unidad minera tiene en funcionamiento 4 taladros, pero en ocasiones están fuera de servicios por que requieren suministros, mantenimiento o reparación. Cada perforadora requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora. Los tiempos de servicio varían, desde un mantenimiento sencillo (como cambio de brocas o aceite) pero el tiempo promedio de servicio es de 5 minutos. El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una perdida de 20 $/hora. El único empleado de mantenimiento recibe 6$/hora.
El número promedio de unidades en cola
El número promedio de unidades en operación
El número promedio de unidades en el sistema de mantenimiento. 19
S RROLLO
DE A
20
S RROLLO
DE A
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PROBL EMA 2: Una empresa
minera cuenta con 20 maquinas de ventilación, para una explotación subterránea.. Cada máquina opera un subterránea promedio de 200 horas antes de hacerle su mantenimiento, para tal caso se requiere un técnico que realice dicha labor labor.. El tiempo medio el mantenimiento mantenimiento de una maquina es de 3.6 horas horas.. La tasa de mantenimiento es una distribución de poisson, y el tiempo de servicio se distribuye de forma exponencial exponencial.. La minera quiere un análisis de la maquina tiempo muerto debido al mantenimiento, para determinar si el personal de mantenimiento actual es suficiente suficiente.. 22
SOLUCION Usando
las fórmulas que hemos desarrollado:
P ! 1 / 200hr P ! 0.005 per hr Q ! 1 / 3.6hr Q ! 0.2778 per hr N ! 20 M aquinas Po: Probabilidad de que hayan cero unidades en el sistema en el tiempo ³t´: P 0 !
1 n
¨ P ¸ § ( N n)! © ¹ ª Q º N
n !0
N !
P 0 !
1 n
¨ 0.005 ¸ § (20 n)! © ¹ ª 0.2778 º 20
20!
n !0
P 0 ! 0.649
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SOLUCION Lq:
Número de maquinas esperando en cola (porcentaje):
Lq ! N (
P
Q P
)(1 P 0 ) Lq ! 20 (
0.005 0.2778 0.005
)(1 0.652)
Lq ! 0.169 L:
Número de maquinas en el sistema: L ! Lq (1 P 0 ) L ! 0.169 (1 0.652)
L ! 0.520 24
SOLUCION Wq: Tiempo estimado a emplearse en la línea de espera:
W q !
Lq ( N L)P
W q !
0.169 ( 20 0.520) v 0.005
Tiempo de espera para su mantenimiento
W q ! 1.74hr 25
SOLUCION W: Tiempo estimado a emplearse en el sistema:
W ! W q
1
Q
W ! 1.74
1 0.2778
En el sistema
W ! 5.33hr Estos resultados muestran que la persona de la reparación está ocupado el 35% del tiempo de reparación en las máquinas. De las 20 máquinas, una media de 0,52, están a la espera para su mantenimiento, o en mantenimiento. Cada equipo averiado está inactivo (desglosados, a la espera para su mantenimiento, o en mantenimiento) un promedio de 5,33 horas. Así, el sistema parece adecuado 26
EJEMPLOS TÍPICOS DE
LÍNEAS DE ESPERA
Los
problemas de ³Colas´ se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos.
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Problemas típicos de Teoría de Colas son:
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CONCLUSIONES
Es notable la gran ayuda que nos brinda el uso de la Teoría de Colas en la solución de nuestro problema.
En el problema que resolvimos no intervienen precios, pero en un problema donde si interviniera precios (como por ejemplo en un problema de transporte de mineral, problema mas conocido como pala camión) la teoría de colas cobra vital importancia; ya que si no tuviésemos un adecuado manejo de tiempos, esto se traduciría en una importante perdida de dinero al formarse colas ya sea en la pala o en el botadero o también al tener a la pala en desuso también generaría perdidas. 29
RECOMENDACIONES
Se recomienda tomar datos exactos, ya que de la precisión de los datos obtenidos depende que tan eficientes sean nuestros resultados.
También se recomienda excluir los datos que se salen de los rangos ya conocidos, ya que si consideramos estos datos los resultados que obtengamos serán inexactos.
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BIBLIOGRAFIA
INVESTIGACION DE OPERACIONESOPERACIONES-TAHA
INVESTIGACION DE OPERACIONES ± ± LIEBERMAN. 9na Edicion
Introduction to Management Science 9th Edition. Edition. Por Bernard W. Taylor Taylor III - Virginia Polytechnic Institute and State University
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