Numeros Complejos Con Matlab

umeros Complejos con Matlab

Numeros Complejos con Matlab Contents Números complejos expresados expresa dos en forma binómica. Conjugado de un número complejo Representación gráfica de números complejos en forma binómica. Operaciones con números complejos en forma binómica Números complejos expresados expresa dos en forma polar. Representación gráfica de números complejos en forma polar. Operaciones con números complejos en forma polar. Raíces de números complejos Números complejos expresados en forma binómica. Matlab reconoce números complejos y los expresa en forma binómica. Ejemplo: sqrt(-1)

ans = 0 + 1.0000i

Ingreso de números complejos (ejemplo: asignamos a la variable z1 el valor 4

+ 5i):

z1 = 4 + 5i

z1 = 4.0000 + 5.0000i

Funciones Matlab para extraer la parte real e imaginaria de un número complejo: real() extrae

la parte real de un complejo imag() extrae la parte imaginaria de un complejo Ejecutamos esta función sobre la variable compleja z1 antes definida. En este caso, asignamos esos valores a dos nuevas variables z1Real y z1Imag: z1Real = real(z1) z1Imag = imag(z1)

z1Real = 4


z1Imag = 5

Conjugado de un número complejo Para obtener el conjugado de un complejo z se usa la función

conj():

conj (3+7i)

ans = 3.0000 - 7.0000i

Representación gráfica de números complejos en forma binómica. Los números complejos pueden representarse utilizando el diagrama de Argand. Para ello se puede usar la función plot(x,y) . Definimos los complejos z2, z3, z4 y z5: z2 z3 z4 z5

= = = =

-3 + 4i -2 - 3i 4 - 2i 4 + 4i

z2 = -3.0000 + 4.0000i

z3 = -2.0000 - 3.0000i

z4 = 4.0000 - 2.0000i

z5 = 4.0000 + 4.0000i

y los representamos usando plot(x,y) . Notas: plot(x,y,'color simbolo tipodelinea') grafica

los valores de los vectores x e y con las opciones seleccionadas. En este caso, como queremos representar los puntos


del plano complejo que corresponden a cada uno de los cuatro números, y unir el origen de coordenadas con esos puntos por medio de una línea, el vector x tiene dos elementos (coordenadas x de los dos puntos, en este caso 0 y el valor real del complejo) y el vector y también tiene dos elementos (coordenadas y de los dos puntos, en este caso 0 y el valor imaginario del complejo). Los puntos se representan con una marca del color elegido (primer letra, en inglés) con forma "o" unidos por una línea continua "-" hold on permite representar los cuatro números en el mismo gráfico (agrega objetos al gráfico activo), para desactivarlo se % usa hold off grid permite visualizar la grilla xlim e ylim permite definir los límites de los ejes coordenados xlabel e ylabel agregan leyendas que identifican a los ejes coordenados legend agrega leyendas identificando cada gráfico. Para mostrar las leyendas en un lugar del gráfico donde no oculte datos se agrega Location y a continuación la posición del cuadro de leyendas (como si se tratara de un mapa) plot([0 real(z2)],[0 imag(z2)],'bo-'); hold on; plot([0 real(z3)],[0 imag(z3)],'ro-'); plot([0 real(z4)],[0 imag(z4)],'mo-'); plot([0 real(z5)],[0 imag(z5)],'go-'); grid on; xlim([-5 5]); ylim([-5 5]); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); legend('z2','z3','z4','z5','Location','SouthWest'); hold off;


Operaciones con números complejos en forma binómica En este caso asignamos a nuevas variables el resultado de operaciones entre las variables complejas definidas hasta ahora. zSuma = z1 + z2 + z3 zResta = z4 - z5 zProducto = zSuma * z3 zCociente = zSuma / zResta

zSuma = -1.0000 + 6.0000i

zResta = 0 - 6.0000i

zProducto = 20.0000 - 9.0000i

zCociente = -1.0000 - 0.1667i

Representamos gráficamente el complejo zSuma (con color cian) y sus sumandos: (Nota: borra la figura anterior) clf; hold on; x1=real(z1); y1=imag(z1); plot([0 x1],[0 y1],'bo-'); x2=x1+real(z2); y2=y1+imag(z2); plot([x1 x2],[y1 y2],'ro-'); x3=x2+real(z3); y3=y2+imag(z3); plot([x2 x3],[y2 y3],'go-'); plot([0 real(zSuma)],[0 imag(zSuma)], 'co-'); grid on; xlim([-3 5]); ylim([-2 10]); xlabel('Real'); ylabel('Imaginario'); legend('|z1|','|z2|','|z3|','z1+z2+z3','Location','SouthEast'); hold off;

clf


Números complejos expresados en forma polar. Las funciones abs() y angle() permiten calcular el módulo y el argumento, respectivamente, de un número complejo expresado en forma binómica. Importante: el argumento calculado por angle() está en radianes . Definimos el complejo z6: z6 = 4+3i

z6 = 4.0000 + 3.0000i

Calculamos el módulo del complejo z y asignamos el valor a la variable r6: r6 = abs(z6)

r6 = 5

Calculamos el argumento del complejo z y asignamos el valor a la variable theta6rad (argumento en radianes):


theta6rad = angle(z6)

theta6rad =

0.6435

Pasamos el argumento de radianes a grados: theta6grados = theta6rad*180/pi

theta6grados =

36.8699

Podemos definir un número complejo en Matlab en forma polar, usando la forma exponencial (derivada de la fórmula de Euler): z7 = 5 * exp(i*pi/4)

z7 = 3.5355 + 3.5355i

Como se puede observar en el resultado, aún cuando el número complejo se defina en forma polar, Matlab lo convierte a forma trigonomé trica. Para recuperar la forma polar, debemos usar abs y angle. abs(z7) angle(z7)

ans = 5

ans =

0.7854

Representación gráfica de números complejos en forma polar. Podemos usar la función compass(z) . Representamos los cuatro complejos del primer gráfico:


compass(z2,'b'); hold on; compass(z3,'r'); compass(z4,'m'); compass(z5,'g'); legend('z2','z3','z4','z5','Location','SouthWest'); hold off;

Operaciones con números complejos en forma polar. (2 * exp(i*pi/2)) * (5 * exp(i*pi))

ans = -0.0000 -10.0000i

De otro modo: z6 = 2 * exp(i*pi/2) z7 = 5 * exp(i*pi) zprod = z6 * z7

z6 = 0.0000 + 2.0000i


z7 = -5.0000 + 0.0000i

zprod = -0.0000 -10.0000i

Raíces de números complejos Si se usa la función sqrt (raíz cuadrada) en un número complejo, como resultado se obtendrá sólo una de las dos raíces. En este caso, Matlab retorna la raíz más cercana al eje x positivo. Ejemplo: sqrt (2+2i)

ans = 1.5538 + 0.6436i

Cuando hay dos raíces simétricas respecto al eje x (por ejemplo, la raíz de un número negativo o de un imaginario puro) Matlab retorna la raíz con parte imaginaria positiva. Ejemplo: sqrt (-4) sqrt (2i)

ans = 0 + 2.0000i

ans = 1.0000 + 1.0000i

Para obtener todas las raíces cuadradas, y las n-ésimas raíces en general, del complejo z, se debe plantear el problema de buscar las n raíces del polinomio Ejemplo: raíces cuadradas de los complejos planteados anteriormente: Raíces cuadradas w de z

= 2+2i:

son las raíces del polinomio w^2

= z = (2+2i)

Escribimos el polinomio w^2 - (2+2i) = 0 representándolo por medio de un vector de n+1 términos, donde los términos son los coeficientes del polinomio en orden decreciente (en este caso, el polinomio completo es 1*w^2 - 0*w - (2+2i) = 0 :


polinomio = [1 0 -(2+2i)] r = roots (polinomio)

polinomio = 1.0000

0

-2.0000 - 2.0000i

r = 1.5538 + 0.6436i -1.5538 - 0.6436i

Podemos ver que la primer raíz obtenida es la que había retornado Matlab con la función sqrt() (la más cercana al eje x positivo). Las representamos usando compass : compass (r);

Raíces cuadradas de z Polinomio: w^2

= -4,

es decir, 1*w^2

polinomio = [1 0 4] r = roots (polinomio)

polinomio =

= -4 - 0*w + 4 = 0


1

0

4

r = 0 + 2.0000i 0 - 2.0000i

Representamos las raíces: compass (r);

Raíces cuadradas de z

= 2i

polinomio = [1 0 -2i] r = roots (polinomio) compass (r);

polinomio = 1.0000

r = 1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i

0

0 - 2.0000i


Para las raíces n-ésimas con n Ejemplo: raíces cúbicas de z

= 1

polinomio = [1 0 0 -1] r = roots (polinomio) compass (r);

polinomio = 1

0

0

r = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 1.0000

> 2,

-1

solamente se debe incrementar el grado del polinomio.


Ejemplo: raíces cuartas de z

= 16i

polinomio = [1 0 0 0 -16i] r = roots (polinomio) compass (r);

polinomio = Columns 1 through 4 1.0000

0

Column 5 0 -16.0000i

r = -1.8478 -0.7654 0.7654 1.8478

+ +

0.7654i 1.8478i 1.8478i 0.7654i

0

0


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