Números Complejos y Fasores. Formas Binómica, Polar y Operaciones.
INDICE
1. Fasores o números Complejos. 2. Forma Binómica de un Número Complejo. 3. Forma Polar de un Número Complejo. 4. Paso de Binómica a Polar. 4.1.
Paso de Binómica a Polar, usando la calculadora
5. Paso de Polar a Binómica 6. Paso de polar a binómica usando la calculadora. 7. Operaciones básicas con números complejos: Suma en forma binómica. Multiplicación y división en polar. 7.1.
Suma en forma binómica
7.2.
Multiplicación en forma polar
7.3.
División en forma polar
1. Fasores o números Complejos Recordamos que una magnitud vectorial además del valor numérico o módulo, necesitamos conocer su dirección o resta de acción, y su sentido dentro de dicha recta. En la práctica esto es fácil, porque si por ejemplo trabajamos con sistemas de ejes cartesianos X-Y, o coordenadas rectangulares, conociendo las coordenadas de un punto, podemos representar el vector de posición de dicho punto, y mediante Pitágoras y trigonometría determinarlo perfectamente, como vemos en la siguiente figura:
Ya sabemos que la tensión y la corriente alterna senoidal, son vectores rotatorios que giran en sentido anti horario, de forma que, a la frecuencia de 50 Hz, y con una velocidad angular de 314,16 rd/s dan 50 vueltas por segundo. Para resolver los cálculos en los ejercicios, vamos a usar los Fasores o números complejos, ya que son vectores rotatorios. Luego veremos que para el instante de cálculo los valores instantáneos de tensión y corriente, se convierten en vectores fijos cuya longitud o módulo es el valor eficaz de la señal, aunque eso sí, su ángulo sería el ángulo eléctrico que la señal de tensión y corriente tiene en dicho instante. El ángulo, nos sirve perfectamente para determinar la orientación del vector.
En corriente alterna, los receptores no son solo resistencias, sino que además tenemos reactancias, que también se mide en ohmios. Las definiciones de las mismas, y los diferentes tipos de circuitos, las daremos más adelante. La reactancia de la bobina se representa por la letra “XL” (), y la del condensador por “XC” ().
La representación de resistencias y reactancias se realiza en sistemas de ejes cartesianos XY, o coordenadas rectangulares, de forma que el valor de los ohmios de la resistencia lo tomaremos en el eje X+, los ohmios de la reactancia de la bobina en el Y+, y los de la reactancia del condensador en el Y-. A esto se llega mediante derivadas, usando las ecuaciones de la bobina y del condensador, pero para simplificar, nosotros nos lo vamos a creer, ya que de esta manera se allana el entendimiento del comportamiento de los distintos tipos de impedancia en corriente alterna. Decir que el hecho de que la reactancia de la bobina y la del condensador estén en el eje Y, en sentidos opuestos, es porque en corriente alterna senoidal, cuando la bobina se carga de energía reactiva, el condensador se descarga, y viceversa. Es por ello, que cobra sentido la mejora del coseno de “fi”
mediante condensadores. El concepto de resistencia negativa, no existe en electricidad, aunque en electrónica puede significar la inyección de potencia mediante una fuente externa al circuito.
Una vez que situamos en el diagrama resistencia y reactancias, podemos hablar de impedancia, que el concepto que engloba a cualquier receptor en alterna La impedancia es la dificultad al paso de la corriente de un receptor en alterna, y lógicamente se mide en ohmios.
Vamos a representar una resistencia R = 10 ( ), una reactancia inductiva X L=20 (), y una capacitiva X C =15 (). Aunque digamos que XC tiene 15 ohmios, al representarla debemos considerar que es negativa, es decir podemos hablar de la resistencia del condensador como si fuese positiva, pero al situarla en coordenadas rectangulares deberemos ponerle el signo menos, como vemos en el siguiente diagrama:
Recuerda: El eje X+ es el eje de resistencias, conocido también como eje real. El eje Y, que los matemáticos llaman eje imaginario, es el eje de reactancias, positivo para las inductivas de la bobina y negativo para l as capacitivas del condensador. La letra “j”, debe recordarnos que ponemos en él los ohmios de dichas reactancias, y que no son resistencias.
2. Forma Binómica de un Número Complejo Una vez que situamos en el diagrama resistencia y reactancias, podemos hablar de impedancia, que el concepto que engloba a cualquier receptor en alterna La impedancia es la dificultad al paso de la corriente de un receptor en alterna, y lógicamente se mide en ohmios. La impedancia es un vector, que se designa con la l etra Z, y como tal debemos poder determinarlo.
Esto en corriente alterna lo hacemos al tratarla como un número complejo, ya sea en forma binómica o en forma polar. La forma binómica de una impedancia consiste en conocer sus dos componentes sobre un sistema de ejes cartesianos XY. La forma general de una impedancia en binómica, es pues el valor de resistencia (la situamos sobre eje X+, llamado eje real) y el valor de reactancia X, que si es inductiva la llamamos XL y situamos sobre el eje Y+, y si es capacitiva, la llamamos XC, y situamos sobre el eje Y-. Al eje Y, cuando trabajamos con números complejos, se le llama también eje imaginario, y se identifica con la letra “j”.
En definitiva, la forma binómica de una impedancia, son las dos componentes del vector que la representa: el valor de resistencia R() sobre el eje real (eje X), y el valor de reactancia X LóC() sobre el eje imaginario (eje Y), positiva si es de bobina (XL()) y negativa si es condensador XC(). Es decir, Z
= ± ó
Siendo: Z: Vector impedancia R () = Resistencia XL (): Reactancia de una bobina XC(): Reactancia de un condensador Ejercicio 4: Representar en binómica los siguientes receptores o impedancias: a) Un Receptor R-L, formado por una resistencia de 10 en serie con una bobina de 20 b) Un receptor R-C, formado por una resistencia de 10 en serie con condensador de 20
Solución: Apartado a) La forma binómica para una resistencia de R = 10 en serie con una reactancia inductiva de X L =20 , quedará así: Z
= + = 10+ 20
Esta fórmula la aplicamos así, siempre que los receptores (resistencias y reactancias) estén en serie. Ya veremos que sucede en paralelo. Teniendo en cuenta que la resistencia de 10 está sobre el eje X+ o real, y que la reactancia inductiva de 20 lo está sobre el eje Y+ o imaginario, en cierto modo para dibujar el vector Z, hacemos lo propio a como si jugásemos a hundir la flota, unimos el origen de coordenadas con el punto cuyas coordenadas son (10,20) que es donde hacemos agua o tocamos al barco, y así dib ujamos el vector Z.
La impedancia como vector la representamos con la letra Z gótica, y esto nos debe decir que necesitamos conocer bien sea su forma binómica, que ya sabemos, o su forma polar que luego veremos.
La letra Z normal, la usaremos para indicar el módulo del vector, que es la longitud que mide. Módulo y ángulo j, es lo que usaremos en la forma polar. Apartado b) La forma binómica para una resistencia de R = 10 en serie con una reactancia inductiva de X C = 20 , quedará así, si tenemos en cuenta que la reactancia capacitiva del condensador lleva signo menos delante, al ir en el eje Y-: Z
= = 1 20
Como vemos, cuando indicamos la reactancia capacitiva del condensador podemos decir que:
= 20 = 20
Es decir, que podemos olvidarnos del signo y de la “j”, pero cuando escribimos su forma binómica, ambas cosas deben de ser tenidas en cuenta, ya que reactancia inductiva y capacitiva juegan energéticamente con desfases de 180º en cuanto a corrientes, potencias y energías. Cuando el condensador empieza a cargarse, una bobina en paralelo con él, comenzaría a descargarse. Esto nos permitirá más adelante corregir el factor de potencia o coseno de “fi” de una instalación.
Gráficamente la impedancia que representa a la resistencia de 10 y al condensador de 20 quedaría así, acompañado del diagrama en coordenadas rectangulares
3. Forma Polar de un Número Complejo La forma polar de un número complejo, consiste en conocer el módulo del vector (lo que mide su longitud), y el ángulo que forma con el eje X+. El módulo del vector es siempre positivo, ya que es el ángulo del vector, el que fija su orientación. Por ejemplo si el vector es una tensión de 230 V, cuyo valor instantáneo posee un ángulo de -90°, se situará en el eje Y- . El ángulo se toma positivo en el sentido de giro del vector (desde el eje X+ hacia arriba), y negativo si lo damos en sentido contrario a la forma en que gira el vector (desde el eje X+ hacia abajo), como vemos en la siguiente figura, donde representamos la tensión alterna monofásica que tenemos en los enchufes, cuando para t=0s, el ángulo eléctrico vale +90°.
En principio, da igual poner: U
= 〈 =230〈° =230〈−°
Pero debemos de procurar emplear el sentido de la economicidad, por lo que es más preferible indicarlo midiendo el ángulo por el camino más corto. Solamente en trifásica no haremos caso de esta regla, cuando nos referimos a la generación de tensiones o corrientes. U
= 〈 =230〈°
Recordar siempre que el módulo, o longitud del vector, es siempre positivo, y que en todo caso, el ángulo establece la orientación del vector, pudiendo este ángulo ser negativo. Llamaremos “U” a la tensión alterna simple o monofásica, para dejar la “V” para la tensión de línea o compuesta en trifásica
4. Paso de Binómica a Polar Para pasar de binómica a polar, podemos valernos de Pitágoras y trigonometría, de la siguiente forma:
= ± ó
De forma Binómica: Z
a Forma Polar:
Z
= 〈
Calculamos el módulo “Z”, por Pitágoras
:
= + ó
Y el ángulo “”, mediante la función inversa de la tangente, o arco tangente:
= arctan ( ó)
= + =10+20 .
Ejercicio 5: Pasar de binómica a polar, la impedancia Z
Solución:
= + = 10 + 20 =22,36 =( )=(2010)=63,43°
Si representamos nuestra impedancia en coordenadas rectangulares, vemos la relación que hay entre la forma binómica (valores de resistencia en el eje real, y reactancia inductiva en el eje imaginario) y la polar (longitud del vector o módulo, y el ángulo que esta forma con el eje X, medido como positivo en sentido anti horario). Es fácil ver que quedándonos con las componentes del vector (sus dos catetos) y el módulo (hipotenusa) podemos extraer de la representación del vector en coordenadas rectangulares, el llamado triángulo de impedancia. Lo hemos punteado en ambas representaciones, y en general nos sirven para lo mismo.
El coseno del ángulo , es lo que llamaremos factor de potencia del receptor.
4.1.
Paso de Binómica a Polar, usando la calculadora:
Podemos pasar de forma más rápida de binómica a polar, usando la calculadora. La manera de hacerlo varía con la marca (Casio, Sharp, Texas Instruments…) por lo
que el alumno deberá echar mano del manual de instrucciones. Si lo ha perdido los fabricantes suelen ponerlo, tal es el caso de Casio, en internet. Importante comprobar que la calculadora está en grados (deg) o en radianes (rad), según se quiera operar. Nosotros lo haremos siempre en grados, salvo que necesitemos operar por necesidad en unidades del Sistema Internacional.
= + = 1 + √ 3
Ejercicio 6: Pasar de binómica a polar Z Solución: Z
= 〈 = 2〈°
Con la calculadora de Casio moderna FX 82 MS, se hace así, teniendo cuidado, de que sale 1,047 si está en rad (radianes), y 60° si está en deg (grados). Al módulo la calculadora lo llama “r”, y al ángulo “ ”.
Con la calculadora de Casio antigua, se hace así:
Si tenemos que pasar de binómica a polar, Fasores o números complejos, que se encuentran sobre los ejes reales (X) o imaginarios (Y o de las “j”), no hace falta usar calculadora, ya que la única componente que tienen es el módulo buscado, y el
ángulo se ve fijándonos sobre que eje se sitúan. Si está en la bisectriz de los ejes, es fácil al menos saber el ángulo y su signo. Ejercicio 7: Pasar de binómica a polar las siguientes impedancias:
= + = 10 +0 b) Z = + = 0 +20 c) Z = = 0 20 d) Z = + = 10+ 10 a) Z1
2
3
4
Solución: Mirando su representación en coordenadas rectangulares, o visualizándola mentalmente, tenemos:
= + = 10+0 = 〈 = 10〈° b) Z = + = 0 + 20 = 〈 = 20〈° c) Z = = 0 20 = 〈 = 20〈−° d) Z = + = 10 + 10 = 〈 =14,14〈° a) Z1
2
3
4
Podemos comprobarlo igualmente manejando la calculadora.
5. Paso de Polar a Binómica Para pasar de polar a binómica, podemos valernos de trigonometría, de la siguiente forma: De forma polar: Z
= 〈
= ± ó
a Forma Binómica: Z
Entonces fijándonos en el vector, su representación en coordenadas rectangulares, y su triángulo de impedancia, tenemos:
= = = ó ó =
Ejercicio 8: Pasar de polar a binómica las siguientes impedancias:
= 〈 =22,36〈,° b) Z = 〈 =22,36〈−,° a) Z1
2
Solución: a) La representamos gráficamente, extraemos el diagrama de impedancia, y aplicamos trigonometría obteniendo el siguiente resultado:
= + = 10 +20
Z1
Ya que:
= = =22,3663,43° = 10 = 10 = = =22,3663,43° = 20 =20
b) Operamos de forma análoga, a partir de la representación en coordenadas rectangulares y de su diagrama de impedancia, tenemos que:
= = 10 20
Z2
Ya que:
= = =22,3663,43° = 10 = 10 = = =22,3663,43° =20 =20
6. Paso de Polar a Binómica usando la calculadora. Igualmente, el empleo de la calculadora, nos permite pasar de forma rápida de polar a binómica:
Mediante la Casio Fx:
Mediante los modelos tradicionales:
= 〈 = 2〈°
Ejercicio 9: Pasar de polar a binómica la impedancia Z1
= + = 1+ 1,73
Solución: Z1
Ejercicio 10: Entrenarse pasando de binómica a polar o de polar a binómica los siguientes fasores:
= + = 10 + 6 Z = = 10 6 Z = + = 90 + 0 Z = + = 60 Nota: está incompleta, por lo que la componente que falta vale 0. Z = + = 6 Nota: está incompleta, por lo que la componente que falta vale 0. I = + = 10 + 10 Z1
2
3
4
5
1
= + = 6 Nota: está incompleta, por lo que la componente que falta vale 0. V = + = 230 Nota: está incompleta, por lo que la componente que falta I2
1
vale 0. V2
= + = 230 Nota: está incompleta, por lo que la componente que falta vale
0.
= + = 162,63 + 162,63 P = + = 1000 +500; P = = 1000 500; E = + = 10.000 + 5.000(Wh; VARh) E = = 10.000 5.000(Wh; VARh) V3 1
2
1
2
Solución:
= + = 10 + 6 = 〈 =11,66〈,° Z = = 10 6 = 〈 =11,66〈−,° Z = + = 90 + 0 = 〈 = 90〈° = Z = + = 60 +0 = 〈 = 60〈° Z = + = 0+ 6 = 〈 = 6〈° I = + = 10 + 10 = 〈 =14,14〈° I = + = 0 + 6 = 〈 = 6〈° V = + = 0 + 230 = 〈 =230〈° V = + = 230 + 0 = 〈 =230〈° V = + = 162,63 + 162,63 = 〈 =230〈° P = + = 1000 +500; = 〈 =1.118,03〈,° Z1
2
3
4
5
1
2
3
1
1
2
P2 E1 E2
= = 1000 500; = 〈 =1.118,03〈−,° = + = 10.000+5.000(Wh; VARh) = 〈 =1.1180,33〈,°ℎ = = 10.000 5.000(Wh;VARh) = 〈 =1.1180,33〈−,°ℎ
7. Operaciones básicas con números complejos: Suma en forma binómica. Multiplicación y división en polar. Respetando las posibilidades que nos dan las matemáticas, que son muchas más, a la hora de operar, cuando debamos sumar ó restar, operaremos en binómica. Para la multiplicación y la división, en forma polar, de la manera que ahora comentamos.
7.1.
Suma en forma binómica.
La suma en forma binómica, se hará sumando por un lado las parte reales (valores del eje X de los Fasores a sumar) y por otro las imaginarias (valores del eje Y de los Fasores a sumar). De esta forma obtendremos un nuevo número complejo en forma binómica, con su parte real y su parte imaginaria. Ejercicio 11: Sumar las siguientes impedancias: Z1 Z2
= + = 10 +16 = = 10 6
Solución:
= 10+16 +106 = 20+10 Z = + = 20+10 =22,36〈,° ZE = Z1 + Z2 E
Si nos fijamos, al sumar obtenemos la forma binómica de la impedancia total o equivalente del circuito serie ZE que formarían Z1 y Z2. Es posible realizar dicha suma de forma gráfica. Recordamos que, para sumar vectores de forma gráfica, basta con llevar uno a continuación de otro, de forma que el vector suma está entre el origen del primer vector (origen de coordenadas en nuestro caso) y el extremo o punta del último sumado. Hemos representado el vector suma, o nuestro fasor de color rojo.
7.2.
Multiplicación en forma polar.
La multiplicación la haremos en forma polar, multiplicando módulos, y sumando ángulos.
= + = 20 +10 es recorrida por una = + = 9,195 4,596 . Calcular la tensión del
Ejercicio 12: La impedancia Z1 intensidad de valor I1
generador. Solución: Aplicamos la Ley de Ohm, que es igual que en corriente continua, salvo el hecho de que está la Z en lugar de la R (ver punto 9). Además, las operaciones son con Fasores. Por tanto, pasamos a polar la intensidad y la impedancia, para apli car la Ley de Ohm, operando de la forma descrita, multiplicando módulos y sumando ángulos: I1
= + = 9,20 4,60 =10,29〈−,°
= + = 20 + 10 =22,36〈,° V = I Z =10,29−,° 22,36〈,° = 230 〈° Z1
Nota: De conectarse un amperímetro, mediría 10,29 amperios eficaces, que es el valor del módulo o longitud del vector intensidad, obtenido al pasar a polar. Recordad que operaremos siempre con valores eficaces.
7.3.
División en forma polar
La división en forma polar se realizará dividiendo los módulos de los fasores y restando los ángulos. El resultado estará en forma polar, que podremos pasarla a binómica.
= + = 10+ 6 y es
Ejercicio 13: Un receptor tiene una impedancia Z 1
alimentado por una tensión de 230 V, 50 hz. Calcular la intensidad que circula por dicho receptor, y pasarla a binómica. Solución: Necesitamos aplicar la Ley de Ohm (ver punto 9), para lo cual la tensión y la impedancia deben estar en forma polar. La tensión en forma polar la consideramos en el instante en que pasa por 0 con tendencia creciente. Por tanto, tenemos:
= + = 10 + 6 = 〈 =11,66〈,° U = + = 230 + 0 = =230〈° 〈 Z
g
I
=
Ug Z
=
=19,73 〈−,°() 〈 〈
230 0° V
11,66 30,96° Ω
Nota: En el cociente, letras góticas, ya que dividimos Fasores o vectores rotatorios, y no escalares. Estos vectores rotatorios se convierten en fijo en el instante de cálculo, momento en que en sentido figurado “obtenemos la foto”.
