Números Complejos Complejos 1.- Introducción.-
Definición de número complejo :
Un número complejo, complejo, es una entidad entidad matemática matemática que viene dada por un par de números números reales reales,, el primero primero x se denomi denomina na la parte parte real y al segundo segundo y la y la parte imaginaria. Los números complejos se representan por un par de números entre paréntesis (x, y), y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, x+yi, i se denomina la unidad imaginaria que es !. "stos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. "n f#sica e ingenier#a los números complejos se utili$an para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. "l núme número ro i apare aparece ce e%pl e%pl#c #cit itam amen ente te en la ecua ecuaci ci&n &n de onda onda de 'c(r 'c(r)d )din inge gerr que que es fundamental en la teor#a cuántica del átomo. Concretamente en las ecuaciones en las que (ay que calcular las ra#ces cuadradas de números negativos es a(# donde aparecen los números complejos, que nos ayudan a resolverlas. Número imaginario * imaginario * número complejo cuyo componente imaginario no es +. 'i la parte real es + entonces es un número imaginario puro. Número complejo* complejo * e%presiones de tipo a bi donde a y b son n. reales. -ienen parte real y parte imaginaria. "jemplo* Los número númeross de la forma forma z = a+bi , dond dondee a, b son número númeross reales reales,, y además además i es la 2 unidad imaginaria, siendo i = - 1 ,se denominan números complejo. La parte formada por a se la denomina parte real de z, y a la formada por b parte imaginaria de z.
2.- Hitoria.-
Los números complejos aparecieron al buscar soluciones para ecuaciones como % / !. No e%iste ningún número real % cuyo cuadrado sea !, por lo que los matemáticos de la antig0edad concluyeron que no ten#a soluci&n. 'in embargo, a mediados del siglo 123, el fil&sofo y matemático italiano 4erolamo Cardano y sus contemporáneos comen$aron a e%perimentar con soluciones de ecuaciones que inclu#an las ra#ces cuadradas de números negativos. 5or ejemplo, Cardano sugiri& que el número real 6+ se puede e%presar como
"l matemático sui$o Leon(ard "uler introdujo el moderno s#mbolo i para ! en !777 y formul& la e%presi&n
que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas. "l matemático alemán Carl 8. 4auss, en su tesis doctoral de !799, demostr& su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una ra#$ compleja. "n !:;, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés
=peraciones >ásicas * i / ?!@ iA / ! ! B i / i iA?6@ / !D i A?6!@ / iD iA?6@ / !D i A?6E@ / i ? i @ / ?!B@ ?!B@ i
=peraciones con números complejos *
? / es un numero entero@
'uma de dos números complejos * Cuando se suman dos números complejos la parte real es la suma de las partes reales de los complejos sumandos, y la parte imaginaria, es la suma de las partes imaginarias de los sumandos. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. "jemplo* ?6i@ ?EFi@ / ?6E@ ?F@i / ?76i@ Gesta de dos números complejos * (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)I "jemplo* ?9Ei@ ?6;i@ / ?96@ ?E;@i / ?;i@ 5ara umar y retar se siguen las reglas de las operaciones de los números reales y cumplen la propiedad de asociaci&n y la conmutativa pero teniendo en cuenta que el + es el elemento neutro de la suma. 5roducto de dos números complejos * "n la multiplicaci&n también se siguen los pasos de la multiplicaci&n de números realesD cumple también la propiedad asociativa y conmutativa. "l ! es el elemento neutro de la multiplicaci&n. ?abi@ . ?cdi@ / ?acbd@ ?adbc@i. "jemplo * ?Ei@?6!i@ / ?E 6 !@?E ! 6@i / ?!@?E:@i / ?!+ !!i@ "l resultado de multiplicar un número complejo por su conjugado es siempre un número real.
Cociente de dos números complejos *
5ara dividir dos números complejos (ay que eliminar primero la parte imaginaria del denominador. 5ara ello multiplicamos al denominador por su conjugado. La f&rmula para (allar el cociente de dos números complejos es*
"jemplo* (4-2i) / (3+6i) (3+6i) . (3-6i) = (32+62) = 45 (4-2i) . (3-6i) = (12-12) + (-6-24)i = 0 -30i
Nota* No se puede dividir por +. 5otencia de un número complejo * 5ara (allar la potencia de un número complejo, aplicamos el binomio de NeHton. -eniendo en cuenta las potencias de la unidad imaginaria el resultado es
otro número complejo cuya parte real es
?!@
y cuya parte imaginaria es
?@
5otencias de la Unidad 3maginaria*
5ara encontrar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria I iJ cogemos su e%ponente, y lo dividimos entre 6, y el resto siempre que va a se menor que 6 , será el valor que buscamos. "jemplo*
Como resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir dos números complejos obtenemos otro número complejo.
Gepresentaci&n de los números complejos * 'e consideran dos ejes ortogonales, cada eje es una recta real, ambas rectas se intersectan en el origen, entonces al número complejo z = a+bi, le asignamos el punto del plano , cuya distancia orientada al eje (ori$ontal ?el eje %@ es a, cuya distancia al eje vertical ?eje y@ es b. "jemplo* el número complejo z = -! + 2i esta representado por el punto de coordenadas #-!$2%.
Ke la misma manera que los números reales se pueden representar como puntos de una l#nea, los números complejos se pueden representar como puntos de un plano. "l número complejo a bi es aquel punto del plano con coordenada % igual a la parte real a, y coordenada y igual a la parte imaginaria b. Los complejos ! 6i y i aparecen en la figura ! y corresponden a los puntos ?!,6@ y ?,@ del plano. "n !:+F, el matemático francés eanGobert
Kado que los puntos del plano se pueden definir en funci&n de sus coordenadas polares r y M ?véase 'istema de coordenadas@, todo número complejo $ se puede escribir de la forma $ / r ?cos M i sen M@ donde r es el m&dulo de $ o distancia del punto al origen y M es el argumento de $ o ángulo entre $ y el eje de las %. 'i $ / r ?cos M i sen M@ y H / s ?cos i sen @ son dos números complejos en forma polar, entonces el producto ?en forma polar@ viene dado por $H / rs ?cos?M @ isen?M @@
Kefiniciones de 8unciones y =peraciones Complejas* ?a bi@ ?c di@ / ?ac@ ?b d@ i ?a bi@ ?c di@ / ac adi bci bdi A / ?ac bd@ ?ad bc@ i !B?a bi@ / aB?a A bA@ bB?aA bA@ i ?a bi@ B ?c di@ / ?ac bd@B?c A dA@ ?bc ad@B?c A dA@ i a b / ?a bi@ ?a bi@ ?la suma de cuadrados@ eA?i @ / cos i sen nA?a bi@ / ?cos?b ln n@ i sen?b ln n@@n Aa si $ / r?cos i sen @ pues $ An / r An ? cos n i sen n @
-eorema de KeOoivre
si H / r?cos i sen @D n / es un numero enteroD entonces (ay n, n ra#ces complejas ?$@ de H para / +,!,..n!* $?@ / r A?!Bn@ P cos? ? ?53@@Bn @ i sen? ? ?53@@Bn @ Q si $ / r ?cos i sen @ pues ln?$@ / ln r i sen?a bi@ / sen?a@cos(?b@ cos?a@sen(?b@ i cos?a bi@ / cos?a@cos(?b@ sen?a@sen(?b@ i tan?a bi@ / ? tan?a@ i tan(?b@ @ B ? ! i tan?a@ tan(?b@@ / ? sec( secA?a@tan(?b@ i @ B ?! tan A?a@tan(A?b@@
A
?b@tan?a@
Conjugado de un complejo* Llamaremos conjugados de dos complejos R y & que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real. 'i cumple, por tanto, que* R / a bi y & / a bi
Kiremos que & es el conjugado del complejo R. "n la practica, para determinar el conjugado de un complejo basta cambiar en este el signo de la parte imaginaria. "n forma de pares ordenados* 'i R / ?a , b@ "ntonces* & / ?a , b@ 3nverso de un numero complejo* ! a , b Llamaremos el inverso de R / a b es * R / a b a b 'ea el conjunto ?a , b@ y el elemento simétrico* R / ?% , y@. 5or definici&n* ?a , b@ S ?% , y@ / ?! , +@. "s decirD ?a% T by , ay b%@ / ?! , +@
y también
, tal que R S R / ?!,+@
a% T by / ! ay b% /+
a a b
y/
b a b
Oodulo de un numero complejo* 'e llama modulo de un complejo a la longitud del vector que lo representa, lo designaremos simplemente por r. 'u valor se obtiene por la conocida relaci&n* R /r/
a b
ue es la relaci&n que nos permite determinar la longitud de un vector. 'ea R un numero complejo. "%plique como determinar R 'ea R / a bi.
La ra#$ cuadrada del complejo a bi será otro complejo que llamaremos % yi* R / % yi a bi / % yi ?'@ "levando ambos miembros al cuadrado y reduciendo terminos* a bi / % %yi y i a bi / % %yi y ?!@ a bi / ?% y @ %yi % y /a 3gualando partes reales y partes imaginarias se forma el siguientes sistema* %y / b Kespejando IyJ en ? '''@* y / b % 'ustituyendo este valor en ? ''@* % b / + %
% b /a 6% 6% b / 6a% 6% 6a% b / + "%presando en terminos % * 6?% @ 6a?% @ T b / + % / 6a !Fa !Fb : % / 6a !F?a b @ : % / 6a 6 a b : % /a a b -omamos únicamente el valor positivo, pues a b es mayor que IaJy % no puede ser
negativo.
%/ as 'ustituyendo el valor de I%J en la ecuaci&n ? '@ se obtiene lo siguiente* a s Ty / a y / a sT a y /sTa y / s a La ecuaci&n ? '@ queda as#*
a bi / s a
sTa i
"n la ecuaci&n ?QQQ@ podemos observar que IbJ tiene el mismo signo que el producto I%yJ. 5or lo tanto, si IbJ es positivo I%J e IyJ serán de igual signo y tendremos que* a bi / s a s T a i a bi / s a s T a i Como los signos que deben tomarse para 1 e V deben satisfacer la ecuaci&n 1V / b, (ay que (acer las siguientes consideraciones* 5ara b W + * Las ra#ces deben serD ambas del mismo signo* positivas o negativas ? , @ , ? , @. 5ara b X + * Las ra#ces, se toman con signos opuestos* ? , @ , ? , @. 'ea R un numero complejo. "%plique como graficar $ y como determinar su forma polar. 'ea el complejo R / a bi /?a , b@. Gepresentaci&n grafica de R* 'e conviene en representar los números complejos mediante puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real IaJ del numero que representa. La ordenada es
igual a la parte imaginaria IbJ. Ke esta forma, la representaci&n del complejo R / a bi es el punto O del plano adjunto. "ste punto O recibe el nombre de <83= del complejo R. Cuando R / a ?en forma binomica@ o R / ?a , +@ ?en forma de par ordenado@ tiene su afijo sobre el eje (ori$ontal. 5or esta ra$&n, en la representaci&n de los números complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre de "" G"
(.- )jercicio.-