numeros complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

6

Página 146 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de I

a

Imaginemos que solo se conocieran los números enteros,

.

Sin utilizar otro tipo de números, intenta resolver las siguientes ecuaciones:

I

I

a) 3x 3x = = 15

b) –2x x = = 18

c) 11x 11x = = –341

d) 4x x = = 34

a) x = 5

b) x = –9

c) x = –31

d) No se puede.

Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en necesario el conjunto de los números enteros, . a) –5x –5x = = 60

b) –7x x = = 22

c) 2x 2x + + 1 = 15

d) 6x – – 2 = 10

e) –3x –3 – 3x = 1 I

f) –

x + x +7=6

a) x = –12

22 b) x = – 7

c) x = 7

d) x = 2

e) x = –

4 3

y para cuáles es

f ) x = 1

Para b) y e) necesitamos

.

Página 147 El paso de I

I

a

Intenta resolver, sin salir de

, las siguientes ecuaciones:

a) 3x 3–x 122 = 0

b)

x 2 – 6x 6x + 8 = 0

c) 2x 2x 2 +– x 1=0

d)

x 2 – 2 = 0

a) x 1 = –2,

x

=2

c) x 1 = –1,

x

=

2

2

1 2

Unidad 6. Números complejos

b) x 1 = 2,

x

2

=4

d) x 2 = 2 → No se puede.

1

I

Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones: a)– x 9 2= 0

x 2 – 15 = 0

b) 5

c) x 2 ––3x 34x = 0

x 2 – 5x 5x + +1=0

d) 2

e) 7x 7x 2 – 7x 7x = =0

f ) 2x 2 + 3x 3x = =0

¿Qué ecuaciones se pueden resolver en

?

¿Para qué ecuaciones es necesario el conjunto de los números reales, I

a) x 1 = –3,

x

2

=3

b) x 1 = – √ 3 ,

c) x 1 = –1,

x

=4

d) x 1 =

5 – √ 17 , 4

f ) x 1 = –

3 , 2

e) x 1 = 0,

2

x

2

=1

Para b) y d), necesitamos

x

2

x

2

?

√3

=

2

=

5 + √ 17 4

x

=

5 + √ 17 4

x

=0

.

aún no es suficiente I

I

Intenta resolver en a)–x 22= 0

b) 2

c) 5x 5x 2 – – x – x 2=0

d)

5x + 1 = 0 x 2 – 5x x 2 + 1 = 0

e) x 2 – 2x 2x + 5 = 0

f ) 5x 2 + 10 = 0

a) x 1 = –√ 2 ,

b) x 1 =

c) x 1 = e) x = I

las siguientes ecuaciones:

x

2

=√ 2

1 – √ 41 , 10

x

2

=

1 + √ 41 10

5 – √ 17 , 4

2

d) x 2 = –1 → No se puede.

2 ± √ –16 → No se puede. 2

f ) x 2 = –2 → No se puede.

Resuelve las tres últimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones números reales y la expresión √ –1 .

I

d) x = ± √ –1 ,

x

1

= – √ –1 ,

e) x 1 = 1 – 2 √ –1 , f ) x 1 = – √ 2 √ –1 ,

x

2

x

2

x

2

= √ –1

= 1 + 2 √ –1 =

√ 2 √ –1

Página 149 1. Representa

gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros: 5 – 3i 3i ;;

1 + 5 i i ;; 2 4


–5i –5 i ;;

7;

√3 i i ;;

0;

–1 – – i i ;;

–7;

4i 4 i

2

• Reale Reales: s: 7, 0 y –7 Imaginarios: 5 – 3i ,

1 5 + i , –5i , 2 4

Imaginarios puros: –5i ,

√ 3 i ,

√ 3 i ,

–1 – i , 4i

4i

• Repre Representa sentación: ción: 4i

√ 3 i —

i

1 + — 5 i — 2 4 1 7

– 7 – 1 – i

5 – 3i – 5i

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) x 2 + 4 = 0 a) x = 1

c) 3x 2 + 27 = 0

± √ –16 ± 4i = = ± 2i ; 2 2

= 2i ,

x

b) x 2 + 6x 6x + 10 = 0

x

2

d) 3x 2 – 27 = 0

2i

= –2i – 2i

b) x = =

c)

2

x

x

1

–6 ±

√ 36 – 40 2

=

–6 ± 2 i = –3 ± i ; 2

–6 ± √ – –4 4 = 2 x

1

= –3 – i ,

= –9 – 9 → x = ± √ – –9 9 = ± 3i = –3i ,

x

2

– 3 +

x

2

= –3 +

i

i

– 3 – i

3i

= 3i

– 3i


3

d) x 2 = 9 → x = ±3 x

1

= – 3, 3,

x

2

=3

– 3

3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) 3 – 5i 5 i

b) 5 + 2i 2 i

c) –1 – 2i 2 i

d) –2 + 3i 3 i

e) 5

f) 0

g) 2i 2i

h) –5i –5i

a) Opu Opuest esto: o: – 3 + 5i Conjugado: 3 + 5i

3 + 5i

– 3 + 5i

3 – 5i

b) Opu Opuest esto: o: – 5 – 2i Conjugado: 5 – 2i

5 + 2i

5 – 2i

– 5 – 2i

c) Opu Opuest esto: o: 1 + 2i

– 1 + 2i

1 + 2i

Conjugado: – 1 + 2i

– 1 – 2i


4

d) Opu Opuest esto: o: 2 – 3i

– 2 + 3i

Conjugado: – 2 – 3i

2 – 3i

– 2 – 3i

e) Opu Opuest esto: o: – 5 Conjugado: 5

– 5

5

f) Op Opue uest sto: o: 0 Conjugado: 0

0

g) Opu Opuest esto: o: – 2i Conjugado: – 2i

2i

– 2i

h) Opu Opuest esto: o: 5i Conjugado: 5i

5i

– 5i


5

4. Sabemos que

i 2 = –1. Calcula i 3, i 4, i 5, i 6, i 20, i 21, i 22, i 23. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. 3

i

4

= – i

20

i

21

=1

CRITERIO :

5

=1

i

=

i

i

=

22

i

i

6

i

i

= – 1

23

= – 1

i

i = – i

Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue: n

i

Por tanto,

n

i

=

r

i ,

=

4c +

i

r

donde

=

r

4c

i

·

r

i

c

= (i 4) ·

r

i

= 1c ·

es el resto de dividir

n

r

i

=1·

r

i

=

r

i

entre 4.

Página 151 1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) (6 – 5i 5 i ) + (2 – i – i ) – 2(–5 + 6i 6 i )

b) (2 – 3i ) – (5 + 4i 4 i ) +

c) (3 + 2i 2 i ) (4 – 2i 2 i )

d) (2 + 3i ) (5 – 6i 6 i )

e) (– i + i + 1) (3 – 2i 2 i ) (1 + 3i 3 i )

f)

2 + 4i 4i 4 – 2i 2i

g)

1 – 4i 4i 3 + i

h)

4 + 4i 4i –3 + 5i 5 i

i)

5 + i –2 – i – i

j)

1 + 5i 5i 3 + 4i 4i

k)

4 – 2i 2i i

m)

(

l) 6 – 3 5 +

1 (6 – 4i ) 2

)

2 i 5

(–3 (– 3i ) 2 (1 – 2i 2i ) 2 + 2i 2i

a) (6 – 5i ) + (2 – i ) – 2 ( – – 5 + 6i ) = 6 – 5i + 2 – i + 10 – 12i = 18 – 18i b) (2 – 3i ) – (5 + 4i ) +

1 (6 – 4i ) = 2 – 3i – – 5 – 4i + 3 – 2i = – 9i 2

c) (3 + 2i ) (4 – 2i ) = 12 – 6i + 8i – – 4i 2 = 12 + 2i + 4 = 16 + 2i d) (2 + 3i ) (5 – 6i ) = 10 – 12i + 15i – – 18i 2 = 10 + 3i + 18 = 28 + 3i i + 1) (3 – 2i ) (1 + 3 i ) = ( e) ( – – i – 3i + 2i 2 + 3 – 2i ) (1 + 3i ) = (3 – 2 – 5i ) (1 + 3i ) = –

= (1 – 5i ) (1 + 3i ) = 1 + 3i – – 5i – – 15i 2 = 1 + 15 – 2i = 16 – 2i f)

8 + 4i + 16i + 8i 2 2 + 4i (2 + 4i ) (4 + 2i ) 20i 20i = = = = = 4 – 2i (4 – 2i ) (4 + 2i ) 16 + 4 20 16 – 4i 2

g)

3 – i – – 12i + 4i 2 1 – 4i (1 – 4i ) (3 – i ) 3 – 13i – – 4 – 1 – 13i = = = = = 3 + i (3 + i ) (3 – i ) 9+1 10 9 – i 2 =

13 – 1 – 10 10


i

i

6

h)

12 – 20i – – 12 – 12i – – 20i 2 4 + 4i (4 + 4i ) ( – 12 – 32i + 20 – 3 – 5i ) – 12 = = = = ( – 9 + 25 – 3 + 5i – 3 + 5i ) ( – – 3 – 5i ) 9 – 25i 2 8 – 32i 8 32 = – 34 34 34

= i)

k)

4 16 – 17 17

5 + i (5 + i ) ( – – 2 + i ) 10 + 5i – – 2i + = = – 10 ( – – 2 – i – 2 – i ) ( – – 2 + i ) 4+1 =

j)

i =

11 3 – 11 + 5 5

i

2

i

=

10 + 3i – 11 + 3i – 10 – 1 – 11 = = 5 5

i

3 – 4i + 15i – – 20i 2 1 + 5i (1 + 5i ) (3 – 4i ) 3 + 11i + 20 = = = = 2 3 + 4i (3 + 4i ) (3 – 4i ) 9 + 16 9 – 16i

4 – 2i i

=

23 + 11i 23 11 = + 25 25 25

=

2 i ) (4 – 2i ) ( – – i = – 4i + 2 i = – 4i – – 2 = – 2 – 4i i ( i ) – i – 1

(

l) 6 – 3 5 +

2 5

)

i

= 6 – 15 +

i

6 6 i = – 9 + 5 5

i

– 3i )2 (1 – 2i ) = 9i 2 (1 – 2i ) = – 9 (1 – 2i ) = – 9 + 18i = m) ( – (2 + 2i ) (2 + 2i ) (2 + 2i ) (2 + 2i )

=

18 + 18i + 36i – – 18 – 36i 2 ( – 18 + 54i + 36 – 9 + 18i ) (2 – 2i ) – 18 = = = (2 + 2i ) (2 – 2i ) 4+4 4 – 4i 2

=

18 + 54i 18 54 = + 8 8 8

i =

9 27 + 4 4

i

2. Obtén polinomios cuyas raíces sean: a) 2 + √3i i y 2 – √3i b) – 3i y 3i i y c) 1 + 2i i y y 3 – – 4 4i (Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales). [x – a) x – (2 +

– (2 – √ 3 i )] [ x – )] = √ 3 i )])] x

x – x – = [( x – 2) – √ 3 i ] [( x – 2) +

x – – 2)2 – ( √ 3 i ) √ 3 i ] = ( x

2

=

= x 2 – 4 x + 4 – 3i 2 = x 2 – 4 x + 4 + 3 = x 2 – 4 x + 7 [x – [x – [x + 3i ] x [x – b) x )] x – ( – – 3i )] – 3i ] = x – 3i ] = x 2 – 9i 2 = x 2 + 9 [x – [x – x – c) x – (1 + 2i )] x – (3 – 4i )] = [( x – – 1) – 2i ] [( x – 3) + 4i ] = x – x – x – x – = ( x – 1) ( x – 3) + 4 ( x – 1) i – – 2 ( x – 3) i – – 8i 2 =

= x 2 – 4 x + 3 + (4 x – – 4 – 2 x + 6) i + 8 = x 2 – 4 x + 11 + (2 x + 2) i = = x 2 – 4 x + 11 + 2ix + 2i = x 2 + ( – – 4 + 2i ) x + (11 + 2i )


7

3. ¿Cuánto debe valer x,

real, para que (25 – – xi xi ) 2 sea imaginario puro?

2 2 2 2 xi ) = 625 + x i – 50 xi = (625 – x x ) – 50 xi (25 – xi

Para que sea imaginario puro: 2 2 625 – x x = 0 → x = 625 → x = ± √ 625 = ± 25

Hay dos soluciones:

x

1

= – 25, 25,

x

2

= 25

4. Representa

gráficamente z 1 = 3 + 2i, 2 i, z 2 = 2 + 5i, 5 i, z 1 + z 2. Comprueba que z 1 + z 2 es una diagonal del paralelogramo de lados z 1 y z 2.

z

1

+ z 2 = 5 + 7i z 1 + z 2

7i z 2

5i

z 1 i

1

2

3

4

5

Página 153 1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos: a) 1 + √3 i d) 5 – 12i 12 i a) 1 +

√b) 3

i +

c) –1 + i

e) 3i 3i

√ 3 i = 260°

d) 5 – 12i = 13292° 37'

b)

√3

f) –5 c) – 1 + i =

+ i = 230°

√ 2 135°

f ) – 5 = 5

e) 3i = 390°

2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 5 (π/6) rad

b) 2 135º

c) 2 495º

d) 3 240º

e) 5 180º

f) 4 90º

a) 5(π/6) = 5

(

cos

) (

)

π + i sen π = 5 √ 3 + i 1 = 5 √ 3 + 5 6

b) 2135° = 2( 2 (cos 135° +


6

i sen

2

2

(

√2

135°) = 2 – –

2

+

2

i

√2 2

2

i

) = – √2 + √2

i

8

c) 2495° = 2135° = – √ 2 +

√ 2 i

(

d) 3240° = 3( 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 – –

)

√ 3 = – 3 – 3 √ 3 i 1 – i 2 2 2 2

e) 5180° = – 5 f ) 490° = 4i

3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo

z = z = r α.

z = r 180° + α Opuesto: – z z = r Conjugado: –

360° – α

4. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo: z = z = 8 (cos 3 0º 0º + i sen 30º) sen 30º) z = 830° = 8 (cos 30° + i sen 30°) = 8

5. Sean los números complejos

( √23 + 12 ) = 8 √2 3 + 82 i

i = 4 √ 3 + 4i

z 1 = 4 60º y z 2 = 3 210º .

a) Exp Expres resa a z 1 y z 2 en forma binómica. b)Halla z 1 · z 2 y z 2 / z 1, y pasa los resultados a forma polar. c) Compar Compara a los módulos y los argumentos argumentos de z 1 · z 2 y z 2 / z 1 con los de z 1 y z 2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

( 12 + √23 ) = 2 + 2 √3 √ 3 – 1 = – 3 √ 3 – 3 =3 = 3( 210° + 210°) = 3 – (– 2 2 2) 2 3 √3 3 = (2 + 2 √ 3 ) – = · (– – 2 2 )

a) z 1 = 460° = 4 (cos 60° + i sen 60°) = 4 z 2

cos

210°

b) z 1 z 2

i

i

i sen

i

i

i

i

= – 3 √ 3 – 3i – 12i = 12270° – 9i – – 3 √ 3 i 2 = – 3 √ 3 – 12i + 3 √ 3 = – 12 z 2 z 1

=

(

) (

3√3 3 i –—–— – — –—– — i 2 2 —

(2 + 2 √ 3 i ) —

=

)

3√3 3 — i (2 – 2 √ 3i ) –—–— – — –—– — i 2 2 —

(2 + 2 √ 3i ) (2 – 2 √ 3 i ) —

—

=

()

– 3 √ 3 – 3i + 9i + 3 √ 3i 2 – 3 √ 3 + 6i – – 3 √ 3 – 6√ 3 + 6i 3 = = = = 2 4 4 – 12i 4 + 12 16 —

—

—

—

—

150°

c) z 1 · z 2 = 460° · 3210° = (4 · 3)60° + 210° = 12270° z 2 z 1

=

()

3210° 3 = 460° 4

210° – 60°


=

() 3 4

1

9

Página 155 1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica: a) 1 150º · 5 30º

b) 6 45º : 3 15º

d) 5 (2π/3)rad : 1 60º

e) (1 – √3 i )

c) 2 10º · 1 40º · 3 70º

5

f) (3 + 2i 2 i ) + (–3 + 2i 2 i )

a) 1150° · 530° = 5180° = – 5

( √23 + 12 ) = √3 + √ 3 = – 3 + 3 √ 3 1 120°) = 6 – (– + 2 ) 2

b) 645° : 315° = 230° = 2 (cos 30° + i sen 30°) = 2 c) 210° · 140° · 370° = 6120° = 6 (cos 120° + i sen

i

i

i

i

d) 5(2π/3)rad : 160° = 5120° : 160° = 560° = 5 (cos 60° + i sen 60°) = =5

( 12 +

i

5 √3 5 = + ) 2 2 2

√3

i

5

e) (1 – √ 3 i ) = (2300°)5 = 321500° = 3260° = 32 32 (cos 60° + i sen 60°) = = 32

( 12 +

i

√3 2

) = 16 + 16 √3

i

f) 4i = 490º

2. Compara los resultados en cada caso: a) (230º)3, (2150º)3, (2270º)3 b)(260º)4, (2150º)4, (2270º)4, (2330º)4 a) (230º)3 = 233 · 30º = 890º (2150º)3 = 233 · 150º = 8450º = 890º (2270º)3 = 83 · 270º = 8810º = 890º b) (260º)4 = 244 · 60º = 16240º (2150º)4 = 16600º = 16240º (2270º)4 = 161080º = 160º (2330º)4 = 161320º = 16240º

3. Dados los complejos

z w2

a) z · t z = 545°

z = 5 45º , w = 2 15º , t t = = 4i 4i , obtén en forma polar:

w = 215°


b)

z 3 w · t 2

c)

z · w3 t

d)

t = 4i = 490°

10

a) z · w = 1060°

() ( ) ( )

5 5 b) z = z = 45° = 430° 4 430º w 2

15°

c)

125135° 125 125 z 3 = = = 32 – 32 300° 215° · 16180° w · t 2 60° – 60

d)

5 ·8 z · w 3 = 45° 45° = 100° = 10 490° t

sen 3 3α 4. Expresa cos 3α y sen

en función de sen α y cos α utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que (a (a + + b) 3 = a 3 + 3a 3a 2b + 3ab 3ab 2 + b 3. (1α)3 = 1 (cos α + i sen α)3 = = cos 3 α + i 3 cos 2 α sen α + 3i 2 cos α sen 2 α + i 3 sen 3 α = = cos 3 α + 3 cos 2 α sen α i – – 3 cos α sen 2 α – i sen 3 α = sen 3 α) i = (cos 3 α – 3 cos α sen 2 α) + (3 cos 2 α sen α – sen

Por otra parte: (1α)3 = 13α = cos 3α + i sen 3α Por tanto: cos 3α = cos 3 α – 3 cos α sen 2 α sen 3α = 3 cos 2

sen 3 α α sen α – sen

Página 157 1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica. 6

√1

=

6

√ 10°

= 1(360° · k )/6 = 160° · k ;

Las seis raí ces ces son:

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

√ 3 i 1 + 2 2

10° = 1

160° =

1180° = – 1

1240° = –

1120° = –

√ 3 i 1 – 2 2

1300° =

√ 3 i 1 + 2 2

√ 3 i 1 – 2 2

Representación:

1


11

2. Resuelve la ecuación z 3 + 27 = 0

z 3 + 27 = 0. Representa sus soluciones.

3

3 → z = √ – 27 27 = √ 27180° = 3(180° + 360° n )/3 = 360° + 120° n ; n = 0, 1, 2

(1

√3

z 1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 + i 2 2

) = 32 + 3 √2 3

i

z 2 = 3180° = – 3

(

√3

1

z 3 = 3240° = 3 (cos 240° + i sen 240°) = 3 – – – i 2 2

) = – 32 – 3 √2 3

i

z 1

z 2

– 3

z 3

3. Calcula:

√

——

4

b) –8 + 8 √3 i

3

a) √ – i i 3

a) √ – i i =

3

√ 1270°

c) √ –25

d)

3

–2 + 2i 2 i – 1 + √ 3i

= 1(270° + 360° k )/3 )/3; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: 1210° = –

190° = i 4

b) √ – 8 + 8 √ 3 i = —

4

√ 16120°

√3 2

–

1 i 2

1330° =

√3 2

+

1 i 2

= 2(120° + 360° k )/4 )/4 = 230° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raí ces ces son:

( √23 + 12 ) = √3 + √ 3 = – 1 + √ 3 1 = 2 ( – – + 2 ) 2 √ 3 = – 1 – √ 3 1 = 2 ( – – – 2 ) 2 √ 3 – 1 = √ 3 – = 2( 2 2)

230° = 2 2120° 2210° 2300°

i

i

i

i

i

i

i


i

12

c) √ – 25 25 =

√ 25180°

= 5(180° + 360° k )/2 )/2 = 590° + 180° k ; k = 0, 1

Las dos raí ces ces son: 590° = 5i ;

d)

√ 3

√ 3

– 2 + 2i — = 1 + √ 3 i

√ 8135° —

=

260°

5270° = – 5i

√√ 275° = √ 2 (75° + 360° k )/3 )/3 = √ 2 25° + 120° k ; 3

6



6

6

6

k = 0, 1, 2

6

√ 2 25°; √ 2 145°; √ 2 265°

Las tres raí ces ces son:

4. Resuelve las ecuaciones: a) x 4 + 1 = 0 b) x 6 + 64 = 0 4

a) x 4 + 1 = 0 → x = √ – 1 =

4

√ 1180°

= 1(180° + 360° k )/2 )/2 = 145° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raí ces ces son: 145° =

√2 2

+

√ 2 i ; 2

√2

1135° = – 6

b) x 6 + 64 = 0 → x = √ – 64 64 =

2

+

6

√ 64180°

√ 2 i ;

1225° = –

2

√2 2

–

√ 2 i ; 2

1315° =

√ 2 – √ 2 i 2

2

= 2(180° + 360° k )/6 )/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raí ces ces son:

( √23 + 12 ) = √3 + 1 √ 3 + 1 = – √ 3 + = 2 ( – – 2 2)

230° = 2 2150°

290° = 2i

i

i

i

2270° = – 2i

( √23 – 12 ) = – √3 – √ 3 – 1 = √ 3 – = 2( 2 2)

2210° = 2 – – 2330°

i

i

i

i

z y y w 5. Comprueba que si z

son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones: z ·· w, z z y w raí ces ces sextas de 1

z /w,

z 2,

z 3

→ z 6 = 1, w 6 = 1

(z · w )6 = z 6 · w 6 = 1 · 1 = 1 → z · w es raí z sexta de 1

( )

z 6 z 6 1 = 6 = =1 w 1 w

→ z es raí z sexta de 1 w

z 2 = (z 2)6 = z 12 = (z 4)3 = 13 = 1

→ z 2 es raí z sexta de 1

z 3 = (z 3)6 = z 18 = z 16 · z 2 = (z 4)4 · z 2 = 14 · 12 = 1 · 1 = 1


→ z 3 es raí z sexta de 1

13

6. El número

4 + 3i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z . Halla las otras tres raíces cuartas de z . 4 + 3i = 536° 52' Las otras tres raí ces ces cuartas de z serán: 536° 52' + 90° = 5126° 52' = – 3 + 4i 536° 52' + 180° = 5216° 52' = – 4 – 3i 536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i

7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones: a) √ –9 a) √ – 9 =

3

b) √ –27

√ 9180°

3

c) √2 – 2i 2i

d)

√ 3

1 – i – i 1 + i

e)

√ 5

–

32 i

3

f) √8i

= 3(180° + 360° k )/2 )/2 = 390° + 180° k ; k = 0, 1

Las dos raí ces ces son: 3i

390° = 3i ; 3270° = – 3i

– 3i

3

b) √ – 27 27 =

3

√ 27180°

= 3(180° + 360° k )/3 )/3 = 360° + 120° k ; k = 0, 1, 2


(1

√3

z 1 = 360° = 3 (cos 60° + i sen 60°) = 3 + i 2 2

) = 32 +

i

3 √3 i 2

z 2 = 3180° = – 3

(1

√3

z 3 = 3300° = 3 (cos 300° + i sen 300°) = 3 – i 2 2

) = 32 – 3 √2 3

i

z 1

z 2

– 3

z 3


14

c)



√ 2 – 2i = √√ 8315° 3

3

=

√ 2 (315° + 360° k )/3 )/3 = √ 2 105° + 120° k ;

k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: z 1 =

d)

z 1

(

√2 – √ 2 –

√ 2 225° =

z 3 =

√ 2 345° = 1,37 – 0,37i

√

√ 3

1 – i = 1 + i

2

1

) = – 1 –

√ 2 i –

z 2 =

3

i

0,37 + 1,37i √ 2 105° = – 0,37 2

– 1

i

z 2

z 3 –i

√ 2315° 3 = √ 1270° = 1(270° + 360° k )/3 — )/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2 √ 245° —

Las tres raí ces ces son: 190° = i ; 1210°

i

√3 = –

√ 3 – 1 i 1 – i ; 1330° = 2 2 2 2 1210°

e)

√ 5

32

–

i

=

√ 5

i ) 32 ( – – i = i ( – i ) – i

–

5

√ 32i

=

5

√ 3290°

= 2(90° + 360° k )/5 )/5 = 218° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4

Las cinco raí ces ces son: z 1 = 218° = 1,9 + 0,6i z 2 = 290° = 2i

1330°

z 2 z 3

z 1

z 3 = 2162° = – 1,9 1,9 + 0,6i z 4 = 2234° = – 1,2 1,2 – 1,6i

z 5

z 4

z 5 = 2306° = 1,2 – 1,6i

f)

3

3

√ 8i = √ 890°

= 2(90º + 360º k )/3 )/3 = 230º + 120º k ; k = 0, 1, 2

Las tres son: z 1 = 230º

z 2

z 1

z 2 = 2150º z 3 = 2270º z 3


15

Página 162 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR

Números complejos en forma binómica 1

Calcula: a) (3 + 2i 2 i )) (2 – i – i )) – (1 – i – i )) (2 – 3i 3 i ))

b) 3 + 2i i (–1 (–1 + i i )) – (5 – 4i 4 i ))

c) –2i –2i – – (4 – i – i )) 5i

d) (4 – 3i 3 i )) (4 + 3i 3 i )) – (4 – 3i 3 i ))2

a) (3 + 2i ) (2 – i ) – (1 – i ) (2 – 3i ) = 6 – 3i + 4i – – 2i 2 – 2 + 3i + 2i – – 3i 2 = = 6 – 3i + 4i + 2 – 2 + 3i + 2i + 3 = 9 + 6i b) 3 + 2i ( – – 1 + i ) – (5 – 4i ) = 3 – 2i + 2i 2 – 5 + 4i = 3 – 2i – – 2 – 5 + 4i = – 4 + 2i c) – 2i – 22i – – (4 – i ) 5i = – 2i – – 20i + 5i 2 = – 22 – 5 = – 5 – 22i d) (4 – 3i ) (4 + 3i ) – (4 – 3i )2 = 16 – (3i )2 – 16 – 9i 2 + 24i = = 16 + 9 – 16 + 9 + 24i = 18 + 24i

2

Calcula en forma binómica: a)

(3 + 3i 3i ) (4 – 2i 2 i ) 2 – 2i 2i

b)

–2 + 3i 3 i (4 + 2i 2i ) (–1 + i )

c)

2 + 5i 5i (1 – – i i ) 3 – 2i 2i

d)

1 + i –3 – 2i 2i + 2 – i – i 1 + 3i 3i

a)

(3 + 3i ) (4 – 2i ) – 6i 2 = 18 + 6i = (18 + 6i ) (2 + 2i ) = = 12 – 6i + 12i – 2 – 2i 2 – 2i (2 – 2i ) (2 + 2i ) 2 – 2i =

b)

( – – 2 + 3i – 2 + 3i – 2 + 3i – 2 + 3i ) ( – – 6 – 2i ) = = = = (4 + 2i ) ( – ( – – 1 + i ) – 4 + 4i – – 2i – – 2 – 6 + 2i – 6 + 2i ) ( – – 6 – 2i ) =

c)

12 + 4i – 18 – 14i 9 – 7i 9 7 – 18i + 6 i = = = – 36 + 4 40 20 20 20

2 + 5i 2 – 2i + 5i + 5 7 + 3i (7 + 3i ) (3 + 2i ) (1 – i ) = = = = 3 – 2i 3 – 2i 3 – 2i (3 – 2i ) (3 + 2i ) =

d)

36 + 36i + 12i – 24 + 48i – 12 = = 3 + 6i 4+4 8

21 + 14i + 9i – 15 + 23i 15 23 – 6 = = + i 9+4 13 13 13

1 + i – 3 – 2i (1 + i ) (2 + i ) ( – – 3 – 2i ) (1 – 3i ) + = + = 2 – i 1 + 3i (2 – i ) (2 + i ) (1 + 3i ) (1 – 3i )


=

2 + i + 2i – 1 + 3i – 9 + 7i – 1 – 3 + 9i – – 2i – – 6 + = + = 4+1 1+9 5 10

=

2 + 6i – 13 – 9 + 7i – 7 + 13i – 7 i = = + 10 10 10 10

16

3

Estos números complejos son los resultados de las operaciones que los siguen. Opera y di cuál corresponde a cuál: 2i , 20, a) (1 – i – i ) (4 – 2i 2 i ) (1 + 3i 3 i )

(

c)

2 – i – i – 1 3 – i – i 5

1 + 8i 8i 1 + 3i 3i

e)

2 – 2i 2i 3 – 5i 5i + i 2 – i – i

)

1 – 1 1 – 17 i , –2, i 5 5 5 5 1 + 2i 2i 1 – 2i 2i b) (2 + i ) + (2 – – i i ) 2 – i – i 2 + i d)

(2 + i ) 2 + (1 – i – i ) 2 1 – (3/2)i (3/2)i

a) (1 – i ) (4 – 2i ) (1 + 3i ) = (4 – 2i – – 4i – – 2) (1 + 3i ) = = (2 – 6i ) (1 + 3i ) = 2 + 6i – – 6i + 18 = 20 b)

1 + 2i 1 – 2i (1 + 2i ) (2 + i ) (1 – 2i ) (2 – i ) (2 + i ) + (2 – i ) = + = 2 – i 2 + i (2 – i ) (2 + i ) 2 2 = (1 + 2i ) (2 + i ) + (1 – 2i ) (2 – i ) = (2 – i ) (2 + i )

=

(1 + 2i ) (4 – 1 + 4i ) + (1 – 2i ) (4 – 1 – 4i ) = 4+1

=

(1 + 2i ) (3 + 4i ) + (1 – 2i ) (3 – 4i ) 3 + 4i + 6i – – 8 + 3 – 4i – – 6i – – 8 = = 5 5

= c)

10 – 10 = – 2 5

2 – i 1 – 3 – i 5

(

)

1 + 8i (2 – i ) (3 + i ) 1 = – 1 + 3i (3 – i ) (3 + i ) 5

[

[

]

]

(1 + 8i ) (1 – 3i ) = (1 + 3i ) (1 – 3i )

(

)

=

6 + 2i – 1 1 – 3i + 8i + 24 7 – i 1 25 + 5i 7 – i 5 + i – 3i + 1 = = = – – – 9+1 5 1+9 10 5 10 10 10

=

7 – i – 2 – 2i 1 – i 1 1 – 5 – i = = = – i 10 10 5 5 5

2 2 4 – 1 + 4i + 1 – 1 – 2i 3 + 2i 6 + 4i d) (2 + i ) + (1 – i ) = = = = (2 – 3i )/2 (2 – 3i )/2 2 – 3i 1 – (3/2) i

= e)

(6 + 4i ) (2 + 3i ) 12 + 18i + 8i – 26i – 12 = = = 2i (2 – 3i ) (2 + 3i ) 4+9 13

2 – 2i i

+

3 – 5i (2 – 2i ) ( – i ) (3 – 5i ) (2 + i ) – i = + = 2 – i i ( – i ) (2 – i ) (2 + i ) – i

=

6 + 3i – 11 – 7i – 2i – – 2 – 10i + 5 – 2 – 2i + = + = 1 4+1 1 5

=

10 – 10i + 11 – 7i 1 – 17i 1 17 – 10 i = = – 5 5 5 5


17

4

Calcula: a) i 37

b) i 126 c) i 87

d) i 64

e) i –216

a) i 37 = i 1 = i b) i 126 = i 2 = – 1 i c) i 87 = i 3 = – i

d) i 64 = i 0 = 1 216 = e) i – 216

5

1 = 1 = =1 0 1 i

1 i 216

Dado el número complejo z z = = – a) 1 + z z + + z 2 = 0 a)

z 2

b)

(

)

2

(

1 + z + z 2 = 1 + – –

1 z

=

=

1 1 √3 – — — + — i 2 2 —

=

√ 3 i = – 1 – √ 3 i 2 – 2 2 4 2

) (

)

√ 3 i + –– 1 – √ 3 i = 1 – 1 + √ 3 i – √ 3 i = 0 1 1 + – – 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 – (– 1 – √ 3 i ) = — = — = — — – 1 + √ 3 i – 1 + √ 3 i ( – – 1 + √ 3 i ) ( – – 1 – √ 3 i ) ———–— 2

2 – 2 – (– 1 – √ 3 i ) (– 1 – √ 3 i ) – 1 – √ 3 i √ 3 i 1 = = = – – 2 2 1+3 4 2

z 2 = –

√ 3 i (lo habí amos 1 amos calculado en a) – 2 2

Por tanto:

6

1 = z 2 z

√ 3 i = 1 + 3 i 2 – √ 3 i = 1 – 3 – √ 3 i = 1 = – – + 2 2 2 2 4 4 4 4 = –

b)

1 √ 3 i i ,, prueba que: + 2 2

1 z

= z 2

Calcula m m y y n para que se verifique la igualdad: (2 + mi mi )) + (n (n + + 5i 5i )) = 7 – 2i 2 i (2 + mi ) + (n + 5i ) = 7 – 2i

 n  n (2 + n) + (m + 5) i = 7 – 2i →  2 + = 7  = 5  m + 5 = – 2  m = – 7


18

7

Determina k para que el cociente

k + i k + sea igual a 2 – – i i . 1 + i

k + i k – (k + i ) (1 – i ) (k + 1) + (1 – k ) i – ki + i + 1 = = = = 1 + i (1 + i ) (1 – i ) 1+1 2

 k + 1 = 2 → k = 3  2  k + 1 1 – k = + i = 2 – i →  2 2  1 – k = – 1 → k = 3   2

(

) (

)

Por tanto, k = 3.

8

Calcula a y b de modo que se verifique (a + bi 4 i. a y a + bi )) 2 = 3 + 4i. ☛

Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.

(a + bi )2 = 3 + 4i a 2 + bi 2 + 2abi = 3 + 4i a 2 – b 2 + 2abi = 3 + 4i b =

4 2 = a 2a

()

a 2 –

a2

2

a

2

= 3 → a 2 – 4 = 3 → a 4 – 4 = 3a 2 → a 4 – 3a 2 – 4 = 0 a2

3 ± √ 9 + 16 3±5 = = 2 2

a = – 2 a=2

9

2 2 →  a – b = 3  2ab = 4

a 2 = 4 → a = ±2 a 2 = – 1 (no vale)

→ b = – 1 → b = 1

Dados los complejos 2 – ai – ai y 3 – – bi bi , halla a a y y b para que su producto sea igual a 8 + 4i . (2 – ai ) (3 – bi ) = 8 + 4i 6 – 2bi – – 3ai + abi 2 = 8 + 4i 6 – 2bi – – 3ai – – ab = 8 + 4i (6 – ab ) + ( – – 2b – – 3a ) i = 8 + 4i

 6 – ab = 8  – 3a = 4  – 2b – b =

4 + 3a – 2


19

6 – a

(

4 + 3a – 2

)

2 = 8 → 6 + 4a + 3a = 8 2

4a + 3a 2 = 2 → 4a + 3a 2 = 4 → 3a 2 + 4a – 4 = 0 2 4 2 a= = → b = – 3 6 3 – 4 ± √ 16 + 48 – 4 ± 8 a= = 6 12 – 12 6 a= = – 2 → b = 1 6

10

Calcula el valor de a a y y b para que se verifique a – – 3i 3i = = a – 3i =

2 + bi . 5 – 3i 3i

2 + bi 5 – 3i

(a – 3i ) (5 – 3i ) = 2 + bi 5a – 3ai – – 15i – – 9 = 2 + bi (5a – 9) + ( – – 3a – 15) i = 2 + bi 5a – 9 = 2  a = 11/5  108/5 – 3a – 15 = b  b = – 108/5

11

Halla el valor de b para que el producto (3 – 6i i )) (4 + bi bi )) sea: a) Un número imaginario puro. b) Un número real. (3 – 6i ) (4 + bi ) = 12 + 3bi – – 24i + 6b = (12 + 6b ) + (3b – – 24) i a) 12 + 6b = 0 → b = – 2 b) 3b – – 24 = 0 → b = 8

12

Determina a para que (a – – 2i 2i ) 2 sea un número imaginario puro. (a – 2i )2 = a 2 + 4i 2 – 4ai = (a 2 – 4) – 4ai Para que sea imaginario puro, ha de ser: a 2 – 4 = 0

13

2, a2 = 2 → a = ±2 → a1 = – 2,

Calcula x para que el resultado del producto (x + (x – i – i ) sea un núx + 2 + ix ) (x mero real. ☛

Efectúa Efectú a el producto. product o. Iguala la parte parte imagina imaginaria ria a 0 y resuelve resuelve la ecuación. ecuación.

( x x + 2 + ix ) ( x x – xi + 2 x – xi 2 = – i ) = x 2 – xi – 2i + x 2i – xi xi + 2 x – x 2 + 3 x ) + ( x x 2 – x x – = x 2 – xi – 2i + ix 2 + x = ( x – 2)i

Para que sea real, ha de ser: x 2 – x x – – 2 = 0

→ x = 1 ± √ 1 + 8 = 1 ± 3 =


2

2

x 1 = – 1 x 2 = 2

20

Números complejos en forma polar 14

Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados, y exprésalos en forma polar: a) 1 – i – i

b) –1 + i

c) √3 + i

e) – 4

f ) 2i

g) –

a) 1 – i =

√ 2 315° √ 2 135°

Conjugado: 1 + i =

√ 2 45°

b) – 1 + i =

√ 2 135°

Opuesto: 1 – i =

√3

h) 2 + 2 √3 i

1 + i

1 – i

– 1 + i

√ 2 315°

Conjugado: – 1 – i = c)

3 i 4

– 1 + i

Opuesto: – 1 + i =

d) – √3 – i

√ 2 225°

– 1 – i

1 – i

+ i = 230°

—

√ 3 + i

Opuesto: – √ 3 – i = 2210° Conjugado:

√ 3 – i = 2330°

d) – √ 3 – i = 2210° Opuesto:

—

– √ 3 – i

—

√ 3 – i

—

√ 3 + i

—

– √ 3 + i

√ 3 + i = 230°

Conjugado: – √ 3 + i = 2150°

—

– √ 3 – i

e) – 4 = 4180° Opuesto: 4 = 40°

– 4

4

Conjugado: – 4 = 4 f ) 2i = 290° Opuesto: – 2i = 2270°

2i

Conjugado: – 2i = 22 – 2i


21

()

3 3 g) – i = 4 4

3i /4 /4

270°

() ()

3 3 i = 4 4

Opuesto:

Conjugado:

h) 2 + 2 √ 3 i =

/4 – 3i /4

90°

3 3 i = 4 4

90°

√ 14 60°

Opuesto: – 2 – 2 √ 3 i =

—

2 + 2 √ 3i

√ 14 240°

Conjugado: 2 – 2 √ 3 i =

√ 14 300°

—

2 – 2 √ 3i

—

– 2 – 2 √ 3i

15

Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 2 45º

b) 3 (π/6)

c) √2

e) 1 (π/2)

f) 5 270º

g) 1 150º

( √22 + √22 ) = √2 + √2 π = 3 √3 + 1 = 3 √3 + 3 ( 2 2) 2 2 6)

a) 245° = 2 (cos 45° + i sen 45°) = 2

(

b) 3(π/6) = 3 cos c)

π + i sen 6

d) 17 0º

180º

h) 4 100º

i

i

i

i

– 1 + i · 0) = – √ 2 √ 2 180° = √ 2 (cos 180° + i sen 180°) = √ 2 ( –

d) 170° = 17 e) 1(π/2) = cos

π + i sen π = i 2

2

f ) 5270° = – 5i

√3

g) 1150° = cos 150° + i sen 150° = –

2

+ i

√ 3 + 1 i 1 = – 2 2 2

h) 4100° = 4 (cos 100° + i sen 100°) = 4 ( – 0,17 + i · 0,98) = – 0,69 0,69 + 3,94i – 0,17


22

16

Calcula en forma polar: a) (–1

√

—

4

b) 1 – √3 i

– i ) 5 – i

e) –( 2

3

d) √8i a) ( – – 1 – i )5 = b)

5

( √ 2 225°)



c)

√3 + 2 i ) 6

√64 6

f ) (3 (3 – 4 4i i ) 3

= 4 √ 2 1125° = 4 √ 2 45° = 4 √ 2

( √22 + √22 ) = 4 + 4 i

√1 – √ 3 i = √2300° = √ 2 (300° + 360° n)/4 = √ 2 75° + 90° n ; 4

4

4

4

i

n = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raí ces ces son: 4

4

√ 2 75° c)

4

√ 64

=

4

√ 2 165° 4

√ 640°

=

√ 2 255°

4

4

√ 2 345°

√ 26 (360° k )/4 )/4 = 2 √ 2 90° k ;

k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raí ces ces son: 2 √ 2 0° = 2 √ 2 3

d) √ 8i =

3

√ 890°

2 √ 2 90° = 2 √ 2 i

2 √ 2 180° = – 2 √ 2

2 √ 2 270° = – 2 √ 2 i

= 2(90° + 360° k )/3 )/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: 230° =

√3

+ i

2150° = – √ 3 + i

2270° = – 2i

6

e) – 096 6900° = 4 09 096 6180° = – 4 09 096 6 (– 2 √ 3 + 2i ) = (4150°)6 = 4 09 f ) (3 – 4i )3 = (5306° 52')3 = 125920° 36' = 125200° 36'

Página 163 17

Calcula y representa gráficamente el resultado: 7 – i i –7 a) i – 2i

b)

(

1 – i – i √ 3 + i

)

3

c)

√ 3

1 + i 2 – i – i

7 7 7 – 7 i 14 – i i 2 – 1 a) i – i = i – 1/i = = = 2i 2i 2 2i 8

=

– 1 – 1 – 2 = = – 1 2 2


– 1

23

(

1 – i b) √ 3 + i

) =( 3

√

1 + i = 2 – i

3

(5)

=

) (( ) ) ( √ ) ( √ ) 3

√2

=

2

2 4

=

285°

855°

2 4

=

4

√2 + – – ( 4 4

√2

=

3

230°

3

=

135°

√ 2 (cos 135° + i sen 135°) =

=

c)

√ 2315°

√ 3

1 – 1 = + ) 4 4 4

√2

i

(1 + i ) (2 + i ) = (2 – i ) (2 + i )

√ 10

√ 3

1 + 3i = 5

( ) √ 10 3 √5 6

71° 34'

=

=

(71° 34' + 360° k )/3 )/3

1 1 i – — — + — i 4 4

i

3

√ 6

– 1

1 3 + i = 5 5 2 ; k = 0, 1, 2 5 23° 51' + 120 k


√

2 = 0,785 + 0,347i 5 23° 51'

√

2 = – 0,693 0,693 + 0,56i 5 143° 51'

√

2 = – 0,092 0,092 – 0,853i 5 263° 51'

6

6

6

18

i

1

Calcula y representa las soluciones:

— —

√ –16 √ 4 – 4 √3 i — — a) √ 4 – 4 √3 i = √ 8300° = 2(300° + 360° 3

a)

3

4

b)

3

k )/3 )/3

√8i 3

c)

= 2100° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: 2100° = – 0,35 + 1,97i

2

2220° = – 1,53 1,53 – 1,26i

2

2340° = 1,88 – 0,68i b) √ – 16 16 = 4

√ 16180° 4

= 2(180° + 360° k )/4 )/4 = 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raí ces ces son: 245° =

√2

+

√ 2 i

2225° = – √ 2 – √ 2 i


2

2135° = – √ 2 + 2315° =

2

2

2

2

√ 2 i

√ 2 – √ 2 i

24

c)

3

3

√ 8i = √ 890°

= 2(90° + 360° k )/3 )/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2 2

Las tres raí ces ces son: 230° =

19

√3

2150° = – √ 3 + i

+ i

2 2

2270° = – 2i

Calcula pasando a forma polar: a) (1 + i √3

)5

b) ( –1 –1 – i – i √3 )

— — c) √ – 2 + 2 √3 i

d)

e) 6√ –64

– i f) √ –1 – i

4

3

g) √ – i i

6

– i i ) ( √3 –

8 (1 – i – i ) 5

2 – 2i 2i –3 + 3i 3i

h)

a) (1 + i √ 3 )5 = (260°)5 = 32300° = 32 32 (cos 300° + i sen 300°) =

( 12 – √23 ) = 16 – 16 √3

= 32 6

b) – (– 1 – i √ 3 )

i

i

( √ 3 – i ) = (2240°)6 (2330°) = (641440°) (2330°) =

= (640°) (2330°) = 128330° = 128 128 (cos 330° + i sen 330°) = = 128

( √23 +

i



c) √ – 2 + 2 √ 3 i = 4

=

)

– 1 = 64 √ 3 – 64i 2 4

√ 4120°

=

4

√ 4 (120° + 360° k )/4 )/4

√ 2 30° + 90° k ;

=

4

√ 22 30° + 90° k =

k = 0, 1, 2, 3


√ 2 30° = √26

+

√ 2 210° = – √26 d)

√ 2 i 2

–

√ 2 i 2

√ 2 120° = – √22

+

(

√ 2 225° = √ 2 (cos 225° + i sen


2

√ 2 300° = √22 – √26 i

8 8 8 8 8 = — 0° 5 = — 0° = — 0° = (√ 2315°) (1 – i )5 4 √ 21575° 4 √ 21 35° 4 √2 =

√ 6 i

)

( ) = √ 2 – √ 2 = – 1 – 225°) = √ 2 ( – – 2 2 ) 135° – – 135

=

2 √2

i

225°

i

25

6

e) √ – 64 64 =

6

√ 64180°

=

6

√ 26 (180° + 360° k )/6 )/6 = 230° + 60° k ;

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raí ces ces son: 230° =

√ 3 + i

2210° = – √ 3 – i f ) √ – 1 – i =



290° = 2i

2150° = – √ 3 + i

2270° = – 2

2330° =

√ 3 – i

√√2225° = √ 2 (225° + 360° k )/2 )/2 = √ 2 112° 30' + 180° k ; 4

4

k = 0, 1

Las dos raí ces ces son: 4

4

0,46 + 1,1i √ 2 112° 30' = – 0,46 3

g) √ – i i =

3

√ 1270°

√ 2 292° 30' = 0,46 – 1,1i

= 1(270° + 360° k )/3 )/3 = 190° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: 1210° = –

190° = i

h)

√

2 – 2i = – 3 + 3i =

√√ (√ )

—

3 2135° 2 3

2

–

1 i 2

2 3

=

180°

√ 3 – 1 i

1330° =

( ) (√ )

—

2 √ 2315°

√3

2 3

=

2

2

=

(180° + 360° k )/2 )/2

; k = 0, 1

90° + 180° k

Las dos raí ces ces son:

(√ ) √ 2 3

20

=

90°

(√ )

2 i 3

2 3

270°

√

= –

2 i 3

Calcula m para que el número complejo 3 – – mi mi tenga el mismo módulo que 2 √5 + √5 i .

 2 2 2 3 – mi  = √ 9 + m 2   √ 9 + m = 5 → 9 + m = 25 → m = 16   m = ±4 ±4 2 √ 5 + √ 5 i  = 5 Hay dos posibilidades: m = – 4 y m = 4

21

– Expresa en forma polar z , su opuesto – z z , y su conjugado z en cada uno de estos casos: a) z z = = 1 – √3 i

b) z z = = –2 – 2i 2 i

c) z z = = –2 √3 + 2i

z = 1 + √ 3 i = 260° √ 3 i = 2210°; – z = 2 + 2i = 2 √ 2 45°; – z = – 2 + 2i = 2 √ 2 135° b) z = – 2 – 2i = 2 √ 2 225°; – z z = 2 √ 3 – 2i = 4330°; – z = – 2 √ 3 – 2i = 4210° c) z = – 2 √ 3 + 2i = 4150°; – z z = – 1 + a) z = 1 – √ 3 i = 2300°; – z


26

22

Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: 5

√i

a) a)

5

√ i

b) √ –1 =

5

√ 190°

c)

——

2i √ 2 √3 + 2i 4

6

= 1(90° + 360° k )/5 )/5 = 118° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4

Las cinco raí ces ces son: 118°

190°

1162°

1234°

1306°

Representación del polí gono gono (pentágono):

1

6

b) √ – 1 =

6

√ 1180°

= 1(180° + 360° k )/6 )/6 = 130° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Las seis raí ces ces son: 130°

190°

1150°

1210°

1270°

1330°

Representación del polí gono gono (hexágono):

1

c)



√2 √ 3 + 2i = √ 430° 4

4

=

4

√ 22 (30° + 360° k )/4 )/4 = √ 2 7° 30' + 90° k ;

k = 0, 1, 2, 3


√ 2 7° 30'


√ 2 97° 30'

√ 2 187° 30'

√ 2 277° 30'

27

Representación del polí gono gono (cuadrado):

—

√2

PARA RESOLVER RES OLVER 23

Halla dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos ☛

π , y la suma de sus módulos 8. 3

Llámalos r α y s β y escribe las ecuaciones que los relacionan:

r α π. s β = 3 0º (0º es el argumento del cociente, α – β = 0º); r + s = 8 y α + β = 3 r =3 s r + s = 8

α+β= π 3

α – β = 0° Hallamos sus módulos:  r  = 3 r = 3 s s   r + s = 8 3 s + s = 8; 4 s = 8; s = 2; r = 6 Hallamos sus argumentos:  π α + β =  π π π 3  α = β; 2β = ; β = ; α = 3 6 6 α – β = 0  Los números serán: 6π/6 y 2π

24

El producto de dos números complejos es 2i i y y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1/2. Hállalos.  z · w = 2i   3 3 4 4 3 1 2z = w ; z · 2z = 2i ; 2z = 2i ; z = i z =  2 w


28

z =

4

√ i

=

4

√ 190°

= 1(90° + 360° k )/4 )/4 = 122° 30' + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3

Hay cuatro soluciones:

25

z 1 = 122° 30'

→ w 1 = 2z 13 = 2 · 167° 30' = 267° 30'

z 2 = 1112° 30'

→ w 2 = 2337° 30'

z 3 = 1202° 30'

→ w 3 = 2607° 30' = 2247° 30'

z 4 = 1292° 30'

→ w 4 = 2877° 30' = 2157° 30'

El producto de dos números complejos es – 8 y uno de ellos es el cuadrado del otro. Calcúlalos. z · w = – 8  3 w = – 8 z = w 2  3

w = √ – 8 =

3

√ 8180°

= 2(180° + 360° k )/3 )/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Hay tres soluciones:

26

w 1 = 260°

→ z 1 = 4120°

w 2 = 2180°

→ z 2 = 40° = 4

w 3 = 2300°

→ z 3 = 4600° = 4240°

De dos números complejos sabemos que: • Tienen el mismo módulo. • Sus argumentos suman 17 π/6. • El primero es conjugado del cuadrado del segundo. ¿Cuáles son esos números? Llamamos a los números: z = r α y w = s β Tenemos que:  r = s  17π   α = 2π – 2β α+β= — 2 = s 2 2 6  r = s = r →  α β π β π β 2 2 – 2 2 – 2  r = r 2 →  —  2 r α = ( s s β)  r = 1

2π – 2β + β =

 r = 0 (no vale)   r = 1

17π 5π 7π 11π ; β = – = rad → α = rad 6 6 6 3

Por tanto, los números son: 111π/3 y 1 – 5π/6 = 17π/6


29

27

Calcula cos 75º y sen sen 75º 75º mediante el producto 1 30º · 1 45º. 130° · 145° = 175° = cos 75° + i sen 75° 130° · 145° = (cos 30° + i sen 30°) (cos 45° + i sen 45°) = =

√6 4

√ 6 i + √ 2 i – √2 –

+

4

4

4

√ 6 – √ 2 —

=

—

4

( √23 + 12 ) ( √22 + √22 ) = i

√6 + √2 —

+

i

—

4

i

Por tanto:

√ 6 – √ 2 —

cos 75° =

28

√6 + √2

—

—

sen 75° =

4

—

4

Halla las razones trigonométricas de 15º conociendo las de 45º y las de 30º mediante el cociente 1 45º : 1 30º. 145° : 130° = 115° = cos 15° + i sen 15° — — — — 145° √ √ 2/2 + i (√ 2/2) 2 + i √ 2 cos 45° + i sen 45° = = — = = — 130° cos 30° + i sen 30° √ 3/2 + i (1/2) √ 3 + i

=

— — (√ — 2 + i √ 2 ) (√ 3 – i ) — — (√ 3 + i ) (√ 3 – i )

√ 6 – √ 2 i + √ 6 i + √ 2 —

=

—

—

—

√6 + √2 —

=

3+1

—

4

√6 + √2 —

+

—

4

Por tanto:

√6 + √2 —

cos 15° =

29

—

4

√ 6 – √ 2 —

sen 15° =

—

4

¿Para qué valores de x es imaginario puro el cociente

x + x + 2 + xi ? x + x + i

x + 2 + xi x + 2 + xi ) ( x x – x 2 – ix + 2 x – – 2i + x 2i + x ( x – i ) = = = x + i x + i ) ( x x – ( x – i ) x 2 + 1

=

x 2 + 3 x ) + ( x x 2 – x x – x 2 – x x – ( x – 2) i x 2 + 3 x – 2 i = + x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1

Para que sea imaginario puro, ha de ser: x 2 + 3 x =0 x 2 + 1

30

x + 3) = 0 → x 2 + 3 x = 0 → x ( x

Halla, en función de x , el módulo de z z = =

x = 0 x = – 3

1 + xi . 1 – xi – xi

Demuestra que |z | = 1 para cualquier valor de x . 2 z  = 1 + xi = √ 1 + x 2 = 1

1  xi – xi


√ 1 + x

30

i

O bien: z =

1 + xi (1 + xi ) + (1 + xi ) x 2 + 2 xi x 2 1 – x 1 – x = = = + 2 x i 2 2 xi xi ) (1 + xi ) 1 – xi (1 – xi 1 + x 1 + x 1 + x 2

√( ) ( ) √ (1 + ) = √ 1 = 1 = √ (1 + )

z  =

1 – x x 2 1 + x 2

2

+

2 x 1 + x 2

2

=

1 + x 4 – 2 x 2 + 4 x 2 = (1 + x 2)2

√

x 4 + 2 x 2 + 1 = (1 + x 2)2

x 2 2 x 2 2

31

Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir

x + 2i x + 2i 4 – 3i 3i

esté representado en la bisectriz del primer cuadrante. ☛

El número complejo a + bi se representa como el punto (a, b), su afijo. Para que esté en la bisectriz del primer cuadrante, cuadrante, debe ser a = b.

x + 2i x + 2i ) (4 + 3i ) ( x 4 x + 3 xi + 8i – 4 x – 3 x + 8 – 6 – 6 i = = = + 4 – 3i (4 – 3i ) (4 + 3i ) 16 + 9 25 25

Ha de ser: 4 x – 3 x + 8 – 6 → 4 x – = – 6 = 3 x + 8 ⇒ x = 14 25 25

32

La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. ¿Cuáles son esos números?

 z + – z = 8  Como z  = 10  z  +  –

z  ⇒ z  = 5 z  =  –

Si llamamos: z = a + bi

z = a – bi → –

z + – z = a + bi + a – bi = 2a = 8

→ a=4

z  = √ a 2 + b 2 = √ 16 + b 2 = 5 → 16 + b 2 = 25 → z = –

→ b 2 = 9 → b = ± √ 9 = ± 3 Hay dos soluciones: z = 4 + 3i → – z = 4 – 3i 1

z 2 = 4 – 3i

33

1

z 2 = 4 + 3i → –

La suma de dos números complejos es 3 + i . La parte real del primero es 2, y el cociente de este entre el segundo es un número real. Hállalos. Llamamos z = a + bi y w = c + di Tenemos que:

 z + w = 3 + i  a + c = 3    a = 2 → c = 1  b + d = 1 → b = 1 – d


31

z 2 + bi (2 + bi ) (1 – di ) = = = 2 – 2di + bi + bd = 2 + bd + – 2d + b i w 1 + di (1 + di ) (1 – di ) 1 + d 2 1 + d 2 1 + d 2 z sea un número real, ha de ser: w

Para que

– 2d + b = 0 → – 2d + b = 0 → b = 2d 1 + d 2

2d = 1 – d → 3d = 1 → d =

1 2 , b = 3 3

Por tanto, los números son: z = 2 +

34

2 i 3

y

w = 1 +

1 i 3

Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar calcula el lado del triángulo formado al unir esos tres puntos. 

√ – 2 – 2i = √√ 8 225° 3

3

=

3

2 i √ –2 – 2i

y

√ 2 (225° + 360° k )/3 )/3 = √ 2 75° + 120° k

Las tres raí ces ces son: z 1 =

√ 2 75°

z 2 =

√ 2 195°

z 3 =

√ 2 315° z 1

120°

l —

√2

z 2

z 3

Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno: l 2 = l =

35

( √2 )2 + ( √ 2 )2 – 2 √ 2 · √ 2

( )

· cos 120° = 2 + 2 – 4 – –

1 =4+2=6 2

√6

Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equilátero. Compruébalo. 3

¿Determinan el mismo triángulo los afijos de √ – 8i ,

3

√8

3

o √ – 8 ?

Representa gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido. 3

• √ 8 i =

3

√ 890°

= 2(90° + 360° k )/3 )/3 = 230° + 120° k ; k = 0, 1, 2


32

Las tres raí ces ces son: z 1 = 230°

z 2 = 2150°

z 3 = 2270°

Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 120°, el triángulo que determinan es equilátero. 3

• √ – 8 i =

3

√ 8 270°

= 2(270° + 360° k )/3 )/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: z 1 = 290° 3

• √8 =

3

√ 80°

z 2 = 2210°

z 3 = 2330°

= 2360° k /3 /3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: z 1 = 20° 3

• √ – 8 =

3

√ 8 180°

z 2 = 2120°

z 3 = 2240°

= 2(180° + 360° k )/3 )/3 = 260° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: z 1 = 260°

z 2 = 2180°

z 3 = 2300°

• Representación: z 1 z 2

z 2

z 1

z 1 z 1 z 3

z 2

√ 8 i

z 3

z 3

z 3 3

z 2

3

3

√ – 8 i

3

√8

√ – 8

Página 164 36

¿Pueden ser z 1 = 2 + i , z 2 = –2 + i , z 3 = –1 – 2i 2i y y z 4 = 1 – 2i 2i , las raíces de un número complejo? Justifica tu respuesta. No. Si fueran las cuatro raí ces ces cuartas de un número complejo, formarí an an entre ellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como vemos en la representación gráfica:

37

i

1

Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexágonos:

2


2

33

1er hexágono: z 1 = 20° = 2 z 4 = 2180° = – 2

z 2 = 260° = 1 +

√3 i z 5 = 2240° = – 1 – √ 3 i

z 3 = 2120° = – 1 +

√ 3 i z 6 = 2300° = 1 – √ 3 i

z 2 = 290° = 2i

z 3 = 2150° = – √ 3 + i

z 5 = 2270° = – 2i

z 6 = 2330° =

2 º- hexágono:

√3 + i z 4 = 2210° = – √ 3 – i z 1 = 230° =

38

√ 3 – i

¿Pueden ser las raíces de un número complejo z , z , los números 2 28º , 2 100º , 2 172º , 2 244º y 2 316º ? ☛

Como todos tienen el mismo módulo, sólo tienes que comprobar que los ángulos 360º entre cada dos de ellas son = 72º. Para hallar z, eleva una de ellas a la quin- 5 ta potencia.

28° + 72° = 100°

100° + 72° = 172°

172° + 72° = 244°

244° + 72° = 316°

Sí son las raí ces ces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta cualquiera de ellas: z = (228°)5 = 32140°

39

El complejo 3 40º es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices. ☛

Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 1 72º .

Los otros vértices serán: 3112°

3184°

3256°

3328°

El número será: z = (340°)5 = 243

40

Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1 + i . Halla z y las z y otras raíces cúbicas. ☛ Ten en cuenta que si

1 + i =

3

√z = 1 + i →

z = (1 + i) 3 .

√ 2 45°

Las otras raí ces ces cúbicas son:

√ 2 45° + 120° = √ 2 165°

√ 2 165° + 120° = √ 2 285°

Hallamos z : z = (1 + i )3 =

=

(

√2 – √ 8 – 2

( √ 2 45°)3 = √8 135° = √8 (cos 135° + i sen 135°) = + i


√2 2

) = – 2 + 2

i

34

Ecuaciones en 41

Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica: a) x 2 + 4 = 0

b) x 2 + x + 4 = 0

c) x 2 + 3x 3x + +7=0

d) x 2 – – x x + 1 = 0

a) x 2 + 4 = 0 → x 2 = – 4 → x = ± √ – 4 = ±2i x 1 = – 2i , x 2 = 2i

b) x 2 + x + 4 = 0 → x = x 1 = –

15 – 1 ± √ 15 i – 1 ± √ 1 – 16 – 1 ± √ – 15 = = 2 2 2

√ 15 i , x = – 1 + 1 – 2 2 2 2

√ 19 i , x = – 3 + 3 – 2 2 2 2

x + 1 = 0 → x = d) x 2 – x

√ 19 i 2

1 ± √ 1 – 4 1 ± √ – 3 1 ± √ 3 i = = 2 2 2

√ 3 i , x = 1 + √ 3 i 1 – 2 2 2 2 2

x 1 =

42

2

19 – 3 ± √ 19 i – 3 ± √ 9 – 28 – 3 ± √ – 19 = = 2 2 2

c) x 2 + 3 x + 7 = 0 → x = x 1 = –

√ 15 i

Resuelve las ecuaciones: a) x 5 + 32 = 0

b) ix 3 – 27 = 0

a) x 5 + 32 = 0 → x 5 = – 32 32 5

x = √ – 32 32 =

5

√ 32180°

= 2(180° + 360° k )/5 )/5 = 236° + 72° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4

Las cinco raí ces ces son: 236°

2108°

2180°

2252°

2324°

b) ix 3 – 27 = 0 → x 3 + 27i = 0 → x 3 = – 27 27i 3

x = √ – 27 27i =

3

√ 27270°

= 3(270° + 360° k )/3 )/3 = 390° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: 390°

43

3210°

Resuelve las siguientes ecuaciones en a) z 2 + 4 = 0

3330°

:

b) z 2 – 2z 2z + +5=0

c) 2z 2 + 10 = 0

a) z 2 + 4 = 0 → z 2 = – 4 → z = ± √ – 4 = ±2i z 1 = – 2i , z 2 = 2i


35

b) z 2 – 2z + 5 = 0 → z =

2 ± √ 4 – 20 2 ± √ – 16 16 2 ± 4i = = = 1 ± 2i 2 2 2

z 1 = 1 – 2i , z 2 = 1 + 2i

c) 2z 2 + 10 = 0 → 2z 2 = – 10 10 → z 2 = – 5 → z = ± √ 5 i z 1 = – √ 5 i , z 2 =

44

√ 5 i

Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones: a) z –41 = 0 ☛

b)

z 4 + 16 = 0

c) z 4 – 8z 8z = =0

En a) y b) despeja z y halla las cuatro raíces. En c) haz z z ((z 3 – 8 ) 8 ) = 0 e

iguala a 0 cada factor. a) z 4 – 1 = 0 → z 4 = 1 → z =

4

√1

4

√ 10°

=

= 1360° k /4 /4 = 190° k ; k = 0, 1, 2, 3

Las cuatro raí ces ces son: 10° = 1

1180° = – 1

190° = i 4

b) z 4 + 16 = 0 → z 4 = – 16 16 → z = √ – 16 16 =

4

√ 16180°

1270° = – i i

= 2(180° + 360° k )/4 )/4 =

= 245° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3 Las cuatro raí ces ces son: 245° =

√2

√ 2 i

+

2135° = – √ 2 +

2225° = – √ 2 – √ 2 i

2315° =

√8

=

3

√ 80°

√ 2 – √ 2 i z = 0 3 — z = √ 8

c) z 4 – 8z = 0 → z (z 3 – 8) = 0 3

√ 2 i

= 2(360° k )/3 )/3 = 2120° k ; k = 0, 1, 2

Las soluciones de la ecuación son: 0

45

2120° = – 1 +

20° = 2

√ 3 i

2240° = – 1 – √ 3 i

Resuelve estas ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica: a) z 3 + 8i 8i = =0

b) iz 4 + 4 = 0 3

a) z 3 + 8i = 0 → z = √ – 8i =

3

√ 8270°

= 2(270° + 360° k )/3 )/3 = 290° + 120° k ; k = 0, 1, 2

Las tres raí ces ces son: 290° = 2i

2210° = – √ 3 – i

2330° =

√ 3 – i

b) iz 4 + 4 = 0 → z 4 – 4i = 0 → z 4 = 4i z =

4

4

√ 4i = √ 490°

=

√ 2 (90° + 360° k )/4 )/4 = √ 2 22° 30' + 90° k ;

k = 0, 1, 2, 3


√ 2 22° 30' = 1,3 + 0,5i

0,5 + 1,3i √ 2 112° 30' = – 0,5

1,3 – 0,5i √ 2 202° 30' = – 1,3

√ 2 292° 30' = 0,5 – 1,3i


36

46

Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: 1 + i y 2 – 3i ☛

Ten en cuenta que si z 1 y z 2 son soluciones de una ecuación de segundo grado, esta será de la forma (z – z 1 ) (z – z 2 ) = 0. )] [z [z – ( La ecuación pedida será [z – ( – (1 + i )] – (2 – 3i )] 3i )] = 0. Multiplica y exprésala en forma polinómica.

[z – – (1 + i )] [z – – (2 – 3i )] = z 2 – (2 – 3i ) z – – (1 + i ) z + (1 + i ) (2 – 3i ) = = z 2 – (2 – 3i + 1 + i ) z + (2 – 3i + 2i – – 3i 2) = = z 2 – (3 – 2i ) z + (5 – i ) = 0

47

Escribe una ecuación ecuación de segundo grado cuyas cuyas soluciones sean 2 – 3i 3i y y 2 + 3i . [z – – (2 – 3i )] [z – – (2 + 3i )] = [(z – – 2) + 3i ] [(z – – 2) – 3i ] = = (z – – 2)2 – (3i 2) = z 2 – 4z + 4 – 9i 2 = = z 2 – 4z + 13 = 0

Interpolación gráfica de igualdades entre complejos 48

– = –3. Representa los números complejos z tales que z z + + z z = ☛

Escribe z en forma binómica, súmale súmale su conjugado y representa la condición condición que obtienes.

Llamamos z = x + iy z = x – Entonces: – – iy Así : z + – z = x + iy + x – – iy = 2 x = – 3

→ x = – 3 2

Representación:

– 2

– 1

1

3 x = – — — 2

49

Representa los números complejos que verifican: – = – z – | = 3 a) z z = z b) |z |z + + z

– | = 4 c) |z – – z

z = x – a) z = x + iy → – – iy – z = – z z → x – x – – iy = – – iy → 2 x = 0 → x = 0 (es el eje imaginario)


37

Representación:

– 1

1 x = 0

z = x + iy + x – b) z + – – iy = 2 x

2 x = 3 → x = 3/2 2 x = – 3 → x = – 3/2 3/2

z  = 2 x  = 3 z + –

Representación:

– 2

1

– 1

2 3 2

3 2

x = —

x = – — —

z = x + iy – c) z – – – – z + iy = 2 yi

2 y = 4 → y = 2 2 y = – 4 → y = – 2

z  = 2 yi  = 2 y  = 4 z – – –

Representación:

2

– 2

50

Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya representación gráfica es la siguiente: a)

b)

c)

2

1 – 3

d)

1

1

e)

2

1

– 1

3

– 3

1

f) 2

3

– 2


38

☛

En a), b) y f) es una igualdad.

En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigualdades.

a) Re z = – 3

b) Im z = 2

c) – 1 ≤ Re z ≤ 1

d) 0 ≤ Im z < 2

 – 3 < Re z < 2 e)   – 2 < Im z < 3

f) z  = 3

Página 165 CUESTIONES TEÓRICAS 51

¿Se puede decir que un n ú úmero mero complejo es real si su argumento es 0? No, también son reales los números con argumento 180° (los negativos).

52

Prueba que |z |z | = √z · z · – z z = x – Si z = x + iy , entonces – – iy . Así : z · – z = ( x x + iy ) ( x x – – iy ) = x 2 – (iy )2 = x 2 – i 2 y 2 = x 2 + y 2

Por tanto: z = √ x 2 + y 2 √ z · –

53

= z 

Si z z = = r α , ¿qu qué é relaci ón tienen con z los n ú úmeros meros r α + 180º 180º y r 360 360ºº – α ? r α + 180° = – z z (opuesto de z ) r 360° – α = – z (conjugado de z )

54

Comprueba que: –—– – a) z + w = z– + w z = a + bi = r α w = c + di = r' β

– –—– b) z · w = z– · w

— – , con k c) kz = k z ∈

z = a – bi = r 360° – α → – w = c – di = r' 360° – β → –

a) z + w = (a + c) + (b + d ) i → z + w = (a + c) – (b + d ) i – z + – w = a – bi + c – di = (a + c) – (b + d ) i = z + w

—

—

z · w = (r · r' )360° – (α + β) b) x · w = (r · r' )α + β → — – z · – w = (r · r' )360° – α + 360° – β = (r · r' )360° – (α + β) = — z · w

— c) kz = ka + kbi → kz = ka – kbi — k – z = ka – kbi = kz Unidad 6. Números complejos

39

55

Demuestra que 1 z

56

=

10° r α

=

1 . | 1z | = |z|

() () 1

r – – α

=

1

r 360° – α

→

  1

z

=

1 r

=

1

z 

El producto de dos n ú úmeros meros complejos imaginarios, ¿puede ser real? Acl á árar alo con un ejemplo. Sí . Por ejemplo: z = i , w = i z · w = i · i = i 2 = – 1

57

∈

Representa el n ú úmero mero complejo z z = = 4 – 4 – 3 3i . Multipl í í calo calo por i i y y comprueba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z z un un giro de 90 90ºº. iz = 4i – – 3i 2 = 3 + 4i 3 + 4i

90°

4 – 3i

58

Halla el n ú úmero mero complejo z que se obtiene obtiene al transformar transformar el complejo complejo 2 + 3i 3i mediante un giro de 30º 30º con centro en el origen. 2 + 3i = z =

59

√ 13 56° 18'

√ 13 56° 18' · 130° = √ 13 86° 18' = 0,23 + 3,60i

¿Qu Qué é relaci ón existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? Se diferencian en 180°. Si el argumento del número es α, el de su opuesto opuesto es: 180° + α

60

– = 1 ? ¿Qu Qué é condici ón debe cumplir un n ú úmero mero complejo z z = = a a + + bi para que z z = z ☛

1 z

Halla 1 , e iguala a a – bi. z

=

a – bi 1 = = a – bi = a – bi a + bi (a + bi ) (a – bi ) a 2 + b 2


40

 a 2 2 2 2 = a   a = a + b → a + b = 1 (módulo 1) 2 2 a + b   b – b  Ha de tener módulo 1 = – b b  2 2 a + b a

PARA PROFUNDIZAR 61

La suma de dos n ú úmeros meros complejos, z = a + bi , w = c + di , dividida por su diferencia, es un n ú úmero mero imaginario puro. Prueba que los dos n ú úmeros meros z y w han de tener el mismo m ódulo. z y ☛

d )i , calcula la parte real de ese cociente e iguala a 0. Haz (a + c ) + (b + d ) (a – c ) + (b – d ) d )i

z = a + bi z + w = (a + c ) + (b + d ) i  w = c + di z – – w = (a – c ) + (b – – d ) i z + w (a + c ) + (b + d ) i [(a + c ) + (b + d ) i ] [(a – c ) – (b – – d ) i ] = = = z – (a – c ) + (b – [(a – c ) + (b – – w – d ) i – d ) i ] [(a – c ) – (b – – d ) i ]

=

(a2 – c 2) + (a + c ) + (b – – d ) i + (b + d ) + (a – c) i – – (b 2 – d 2) i 2 = (a – c) 2 + (b – – d ) 2

=

(a2 – c 2 + b 2 – d 2) + [(a + c ) (b – – d ) + (b + d ) (a – c )] i (a – c) 2 + (b – – d ) 2

Para que sea imaginario puro, su parte real ha de ser 0: a2 – c 2 + b 2 – d 2 =0 (a – c) 2 + (b – – d ) 2 a 2 + b 2 = c 2 + d 2

62

→ a 2 – c 2 + b 2 – d 2 = 0

→ √ a 2 + b 2 = √ c 2 + d 2 → z  = w 

√ 3 i . Pru Sea z ≠ 0 un complejo y w = – 1 + Prueba eba que los afij afijos os de de z , zw y 2 2 zw 2 son los v értices de un tri á ángulo n gulo equil á á tero. tero. ☛

Expresa w en forma polar y recuerda el significado de la multiplicación multiplicación por 1 α

z = r α, w = 1120° z · w = r α · 1120° = r α + 120° z · w 2 = r α · (1120°)2 = r α · 1240° = r α + 240°

Como los tres tienen el mismo módulo y forman entre sí 120°, sus afijos son los vértices de un triángulo equilátero.

63

Un pent á á gono gono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus v értices en el punto

( √2 , √2 ).

Halla los otros v értices y la longitud de su lado.


41

El punto

( √2 , √2 )

corresponde al afijo del número complejo z = √2 + √2 i = 245°.

Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 172°: z 2 = 2117° = – 0,91 0,91 + 1,78i

z 3 = 2189° = – 1,97 1,97 – 0,31i

z 4 = 2261° – 0,31 0,31 – 1,97i

z 5 = 2333° = 1,78 – 0,91i

Los otros tres vértices serán: ( – 0,91; 1,78) – 0,91;

( – 1,97; – 0,31) 0,31) – 1,97;

( – 0,31; – 1,97) 1,97) – 0,31;

(1,78; – 0,91) 0,91)

Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno: l 2 = 22 + 22 – 2 · 2 · cos 72°

l

l 2 = 4 + 4 – 4 · 0,31

2 72°

l 2 = 8 – 1,24

2

l 2 = 6,76 l = 2,6 unidades

64

Si el producto de dos n ú úmeros meros complejos es – es – 8 8 y dividiendo el cubo de uno de ellos entre el otro obtenemos de resultado 2, ¿cu cuá á nto nto valen el m ódulo y el argumento de cada uno?

    r · r' = 8 r α · r' β = (r · r' )α + β = 8180° →  – 8 = 8180°    α + β = 180°  2 = 20°    r 3 3 =2  r 33α (r α)3 r = = = 20° →  r' r' β r' β r' 3α – β  3α – β = 0° Así :  8   r' = r  8  r = 2 r · r' = 8  r 3 r 4 →  → = 16 =   3  r 2 r 3 = 2r'   r' = 4 r' = r  2 z = r α w = r' β

( )

α + β = 180° α + 3α = 180° → 4α = 180° →  α = 45°   β = 135° 3α = β   Por tanto: z = 245°, w = 4135°

65

Calcula el inverso de los n ú úmeros meros complejos siguientes y representa gr á áficaf icamente el resultado: a) 3 π/3

b) 2i 2i

c) – c) – 1 + i

¿Qu Qué é relaci ón existe entre el m ódulo y el argumento de un n ú úmero mero comple jo y de su inverso?


42

a)

1 3π/3

=

() ()

10° 1 1 = = 3π/3 3 – 3 – π/3

3π/3

π/3 (1/3 – π/3)

b)

1 – i i – 1 i = = 2i 2 2

– π/3

2i

1/2i – 1/2

c) – 1 + i =

√ 2 135°

1 = – 1 + i

10°

√ 2135°

– 1 + i

=

( ) 1 √2

135° – 135

=

( ) 1 √2

= – 225°

1

Si z = r α, entonces

66

z

=

1 1 – i 2 2

() 1

r 360° – α

1 ——— – 1 + i

Representa gr á áficamente f icamente las igualdades siguientes. ¿Qu Qué é figura se determina en cada caso? a) |z |z – (1 – (1 + i )| = 5

b) |z – (5 – (5 + 2i 2 i )| )| = 3

a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.

5

(1, 1)

1 1


43

b) Circunferencia de centro centro en (5, 2) y radio 3.

3 2

(5, 2)

5

67

Escribe la condici ón que verifican todos los n ú úmeros meros complejos cuyos afijos est én en la circunferencia de centro (1, 1) y radio 3. – (1 + i ) = 3 z –

PARA PENSAR UN POCO MÁS 68

Demuestra, utilizando n ú úmeros meros complejos, que en un paralelogramo cualquiera la suma de los cuadrados de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de los lados.

z + w w

☛

Al formar un paralelogramo cuyos lados contiguos sean dos números complejos, z y w, observa qué rela- ción tienen con estos las diagonales.

z – – w z

Y recuerda (ejercicio 52) que el cuadrado del módulo de un complejo, |z |2 , es – – 2 igual al al producto de z por su conjugado z. Es decir |z | = z · z (*) Para demostrar la igualdad propuesta, exprésala utilizando los cuadrados de los módulos de los complejos correspondientes, desarróllala utilizando la propiedad (*) , opera y simplifica.

Suma de los cuadrados de los lados: z 2 + w 2 Suma de los cuadrados de las diagonales: z + w 2 + z – – w 2 Operamos: z + – w ) + (z – z – w ) = – w 2 = (z + w ) ( – – w ) ( – – – z + w 2 + z – z + z – w + zw + w – w + z – z – w – w = = z – – z – – zw + w – z + z – z + w – w + w – w = 2z · – z + 2w · – w = 2 (z – z + w – w ) = = z –

= 2 (z 2 + w 2 )


44

Página 168 RESUELVE TÚ Aparte de la Luna y el Sol, los objetos celestes que se nos presentan con m á á s brillo son planetas: Venus, Marte y J ú úpiter. piter. Despué Después de ellos, el astro m á á s brillante es la estrella Sirio. Observ á ándola n dola con seis meses de diferencia, presenta una paralaje de 0,72". ¿ A qué qué distancia se encuentra? Como hemos visto: d =

150 15 0 00 000 0 00 000 0 sen (α/2)

Si α = 0,72", quedarí a: a: d =


150 15 0 00 000 0 00 000 0 = 8,6 · 1013 km ≈ 9 años-luz sen (0,72"/2)

45

numeros complejos

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