numeros complejos

1 1

NUMEROS COMPLEJOS

1.1 Definición y origen de los números complejos. Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma real y bi es la parte imaginaria. Tanto a como b son reales, e i=-1 .

a+bi donde a es la parte

Los números números complej complejos os aparece aparecen n al tratar tratar de resolver resolver ecuaciones ecuaciones del tipo Despejando a x se obtiene x=-1 , que se escribe x=i .

x2+ 1=0.

El origen origen de los números números complejos complejos se remonta remonta al siglo siglo XVI en que Cardano Cardano llamó llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0., donde c es cualquier número positivo. El brillante matemático Leonhard Euler designó por i a -1 . El símbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de -1 ? Los números números complejo complejos s se pueden pueden graficar graficar en el plano plano complejo complejo creado por el gran matemático matemático Gauss, quien colocó en el eje x la parte a, y en el eje y la parte bi , es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un número complejo complejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real a,b .

Im

b

0, 0

.a, b

a

Re

Gráfica 1: Representación del número complejo

(a+bi) .

De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, complejos, ya que en el plano R2 el número complejo a,0 coincide con el número real a, donde a∈R. En el caso de los números complejos de la forma 0,b son llamados imaginarios puros. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

2

Los números complejos complejos cumplen cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por 0+0i). Antes de ver la suma de números complejos escribiremos en función de i diferentes expresiones:

1. -9=9-1=9-1=3i , recordar que -1=i 2. -4-4=-8=8(-1)=4(2)(-1)=42-1=22i Es 2i NO 2i 3. -104+23=-81=81(-1)=81-1=9i 4. 5-16=516-1=516-1=5∙4∙i=20i 5. -36+9-49 =36-1+949-1=36-1+949-1=6∙i+9∙7∙i -36+9-49 =6i+63i=69i 6. -3-32=-316(2)-1=-3162-1=-3∙4∙2i=-122i Es 2i NO 2i 7. 4-50=450-1=425(2)-1=4252-1=4∙52i=202i Es 2i NO 2i 8. 6-18=618-1=69(2)-1=692-1=6∙32i=182i Es 2i NO 2i 9. -9-128=-9128-1=-964(2)-1=-9642-1=-9∙82i=-722i Con los resultados de los ejercicios 7, 8 y 9 resuelva el ejercicio 10. 10. 4-50+6-18-9-128=202i+182i-722i=20+18-722i=-342i COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

11. -125=55i 12. -310-200=-32i 13. -12=22i 14. 8-49100-9-1625=-165i 8-49100-9-1625=-165i 15. -8+3-82=2i-1 Suma de un número complejo Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte parte real del segundo segundo.. Luego Luego se suma la parte parte imagina imaginaria ria del primer primer número con la parte parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

a+bi+ c+di=a+c+ bi+di a+bi+ c+di=a+c+ b+di Por ejemplo:

3 16. 3+7i+ 2+4i=3+2+ 7i+4i=5+7+4i=5+ 11i La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso. Veamos otros ejemplos con dos pasos:

17. 8-11i+13+2i=8+13+ -11+2i=21-9i 18. -6+9i+5-3i=-6+5+ 9-3i=-1+6i 19. -4-6i+-7+8i=-4-7+ -6+8i=-11+2i 20. -10-4i+-1-9i=-10-1+ -4-9i=-11-13i 21. 23+67i+-13-47i=23-13+ 67-47i=13+ 27i 22. 67+58i+23-49i=67+23+ 58-49i Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.

67+23=18+1421=3221 58-49i=45-3272i=1372i 22. 67+58i+23-49i=3221+1372i Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de:

3221=1.523809523809523809…. En el caso anterior se puede reportar el resultado como: 1.5238095 ó 1.5238 ó 1.52 los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio. RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.

23. 310-14i+-67-811i= 310-14i+-67-811i= 24. 4a+7bi+-4a-5bi=4a-4a+ 7b-5bi=2bi 25. -10a+3bi+4a-3bi=-10a+4a+ 3b-3bi=-6a 26. 7+-20+-11--125=7+45(-1)+-11-255(-1) 7+-20+ -11--125 =7+45-1+-11-255-1 7+-20+ -11--125=7+25i+-11-55i 26. 7+-20+ -11--125=7-11+2-55i=-4-35i Resta de un número complejo Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo:

4 La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego Luego se resta a la parte imagina imaginaria ria del primer primer número número la parte parte imagina imaginaria ria del segundo. segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

a+bi-c+di=a-c+bi-di a+bi-c+di=a-c+b-di Resolvamos varios ejemplos:

27. 4+7i-6+3i=4-6+7i-3i=-2+7-3i=-2+4i 28. 15+4i-9-i=15-9+4-(-1)i=6+5i Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos

--=(+)

29. -11+2i-4-14i=-11-4+2-(-14)i=-15+16i 30. -9-8i--13+i=-9-(-13)+-8-1i=4-9i 31. -17-15i-(-12-19i)=-17-(-12)+-15-(-19)i=-5+4i 32. 4+35i-67-2i=4-67+35--2i Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:

4-67=41-67=28-67=227 35--2i=35+21i= 3+105i=135 i 32. 4+35i- 67-2i=227+135 i 33. 32+57i-25-49i=32-25+57--49i=32-25+57+49i Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.

32-25=15-410=1110 57+49i=45+2863i=7363i 33. 32+57i-25-49i=1110+7363i RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.

34. -89+1011i- -34-56i= La segunda segunda forma forma de restar restar números números complejo complejos s es usar las leyes de los signos signos para camb cambiar iar el signo signo a la parte parte real e imag imagina inaria ria del del segun segundo do núme número ro comple complejo jo con con lo que que la ecuació ecuación n se transform transforma a en una suma suma de números números complej complejos, os, esto es muy útil, en especial especial cuando hay signos negativos en el segundo número complejo. En forma de ecuación queda así:

a+bi-c+di=a+bi+-c-di

a+bi-c+di=a-c+b-di

5 Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el segundo segundo número complejo quedando la ecuación como suma de dos números complejos complejos en vez de resta:

35. 4+7i-6+3i=4+7i+-6-3i=(4-6)+7-3i=-2+4i 36. 15+6i-9-i=15+6i+-9+i=15-9+6+1i=6+7i 37. -11+2i-4-14i=-11+2i+-4+14)i=-11-4+2+14i=-15+16i RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

38. -2-8i--15+4i= 39. -12-17i-(6-9i)= -12-17i-(6-9i)= 40. 5+27i-913-4i= 5+27i-913-4i= 41. -14-67i- -1316-511i= Si comparamos las dos formas de restar números complejos aunque la segunda tiene un paso adicional (que es transformar una resta en suma a través del cambio de signo del segundo número complejo) puede ser más útil que la primera forma, por no tener que estar al pendiente de los signos. Multiplicación de números complejos Para multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los términos tendrá i2, donde i2 es equivalente a:

i2=ii=-1 -1 =-112 -112=-112 +12=-122=-1 . En forma de ecuación:

a+bic+di=ac+adi+bci+bdi2 a+bic+di=ac+bd-1+adi+bci=ac-bd+ad+bci Resolvamos algunos ejemplos:

42. 1+2i5+4i=5+4i+10i+8i2=5+8-1+4i+10i 1+2i5+4i=5-8+(4+10)i=-3+14i Observe que i2 se sustituyó sustituyó en en la ecuación por -1. Siempre se debe debe hacer así. 43. 3+4i6-5i=18-15i+24i-20i2=18-20-1-15i+24i 3+4i6-5i=18+20+(-15+24)i=38+9i Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos

44. 2-7i-1+4i=-2+8i+7i-28i2=-2-28-1+8i+7i 2-7i-1+4i=-2+28+(8+7)i=26+15i

--=(+)

6

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES 45. -4-8i-3+9i=84-12i 46. -5-3i-4-7i=-1+47i 47. -1-4i-3+5i2+3i=3-5i+12i-20i22+3i -1-4i-3+5i2+3i=3-20-1-5i+12i2+3i -1-4i-3+5i2+3i=3+20+(-5+12)i2+3i=23+7i2+3i -1-4i-3+5i2+3i=46+69i+14i+21i2=46+21-1+69i+14i -1-4i-3+5i2+3i=46-21+69+14i=25+83i Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego se simplificó el resultado hasta tener un binomio a+bi=23+7i , enseguida se multiplicaron el nuevo binomio 23+7i por el último binomio y se simplificó. Resolvamos otros ejercicios.

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES 48. -2-i9-2i6-5i=-145+70i 49. 1-i2+2i-3+4i-4-6i=144+8i Resolvamos ahora una multiplicación de fracciones de números complejos

50. 38+47i23-12i=3823+38-12i+47i23+47i-12i 38+47i23-12i=624-316i+821i-414i2=624-414(-1)-316i+821i Al aplicar ley de los signos

--=+ y simplificando las fracciones queda:

38+47i23-12i=14+27-316i+821i=14+27+-316+821i Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:

14+27=7+828=1528 -316+821i=-63+128336i=65336i 50. 38+47i23-12i=1528+65336i COMPRUEBE LA SIGUIENTE MULTIPLICACION 51. -23+45i-67+89i=-44315-1,208945i División de dos números complejos Antes de tratar la división de dos números complejos es necesario definir: El conjugado de un número complejo Z=a+bi es Z=a-bi , es decir, se cambia el signo de la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo Z=7-9i y Z=7+9i son conjugados. También son conjugados W=-5+14i y W=-5-14i , observe que el signo de la parte real a no cambia.

7

Demuestre que son válidas las proposiciones siguientes, para los números complejos:

Z=7-9i, Z=7+9i, W=-5+14i y W=-5-14i 52. Z+W=Z+W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. Z+W=7-9i+-5+14i=7-5+-9i+14i2+5i=2-5i Z+W=7+9i+-5-14i=7-5+9i-14i=2-5i ∴ Z+W=Z+W= 2-5i 53. Z-W=Z-W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. Z-W= 7-9i--5+14i =7-9i+5-14i=7+5+-9i-14i=12-23i Z-W= 12+23i Z-W=7+9i--5-14i=7+9i+5+14i=7+5+9i+14i= 12+23i ∴ Z-W=Z-W=12+23i 54. ZW=Z∙W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. ZW=7-9i-5+14i=-35+98i+45i-126i2=-35-126-1+143i ZW=-35+126+143i=91+143i=91-143i Z∙W=7+9i-5-14i =-35-98i-45i-126i2=-35-126-1-143i Z∙W=-35+126-143i=91-143i ∴ ZW=Z∙W=91-143i COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

Si Z=2+3i, Z=2-3i, W=4-8i y W=4+8i 55. Z-W=Z-W=12+23i 56. ZW=Z∙W=32+4i Para dividir dos números complejos se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por -1. Recordemos que:

a+ba-b= a2-ab+ab-b2= a2-b2 para nuestro caso: a+bia-bi= a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2= a2-b2-1=a2+b2 Veamos varios ejemplos de división de números complejos:

57. 10i2=5i 58. 62i=62i∙-2i-2i=-12i-4i2=-12i-4(-1)=-12i4=-3i

8

59. -43-5i=-43-5i∙3+5i3+5i=-12-20i9-25i2=-12-20i9-25(-1)=-12-20i9+25=-1220i34 59. -43-5i =-1234-2034i=-617-1017i 60. 21+6i=21+6i∙1-6i1-6i=2-12i1-36i2=2-12i1-36(-1)=2-12i1+36=2-12i37=2371237i 61. -43-5i+21+6i= se vió que -43-5i=-617-1017i y 21+6i=237-1237i ∴ -43-5i+21+6i= -617-1017i+237-1237i=-617+237+ -1017i-1237i Resolveremos manualmente las fracciones anteriores

-617+237=-222+34629=-222+34629=-188629 -1017i-1237i=-1017-1237i=-370-204629i=-574629i 61. -43-5i+21+6i=-188629-574629i 62. 3+4i2+5i=3+4i2+5i∙2-5i2-5i=6-15i+8i-20i24-25i2=6-20(-1)-15i+8i4-25(1)=26+(-15+8)i4+25 62. 3+4i2+5i =26-7i29=2629-729i 63. 8-i6+7i=8-i6+7i∙6-7i6-7i=48-56i-6i+7i236-49i2=48+7(-1)-56i-6i36-49(-1)=41+ (-56-6)i36+49 63. 8-i6+7i =41-62i85=4185-6285i 64. -642+-81=64-12+81-1=64-12+81-1=8i2+9i∙2-9i2-9i=16i-72i24-81i2=16i-7214-81-1 64. -642+-81=72+16i4+81=72+16i85=7285+1685i 65. 32-23i32+23i=32-23i32+23i∙32-23i32-23i=32-23i( 32-23i)322-232i2 65. 32-23i32+23i =94-66i-66i+49i29∙2-(4∙3)i2=9∙2-126i+4∙3(-1)18-12(-1) 65. 32-23i32+23i= 18-126i-1218+12=6-126i30=630-126i30i=210-66i15i 66. ZW=ZW Si Z=7-9i, Z=7+9i, W=-5+14i y W=-5-14i Como hay que resolver dos divisiones se harán por separado.

ZW=7-9i-5+14i=7-9i-5+14i∙-5-14i-5-14i =-35-98i+45i+126i225-196i2=-3553i+126(-1)25-196(-1) ZW=-35-126-53i25+196=-161-53i221=-161221-53i221=-161221+53221i

9 ZW=7-9i-5+14i=7+9i-5-14i∙-5+14i-5+14i=-35+98i-45i+126i225-196i2=35+53i+126-125-196-1 ZW=7+9i-5-14i=-35-126+53i25+196=-161+53i221=-161221+53i221 ∴ 66. ∴ ZW=ZW=-161221+53i221 COMPRUEBE LAS SIGUIENTES DIVISIONES. 67. 12-3i=4i 68. -3i4-7i=2165-1265i 69. -4+2i3-9i=-13-13i 70. 5+i-7-6i=-4185+2385i 71. 2-8i-9-4i=1497+8097i 72. -7-4i-10-3i=82109+19109i 73. -1003+-49=3529+1529i 74. ZW=ZW=-2341+241i Si Z=2+3i, Z=2-3i, W=-4-5i y W=-4+5i Inverso multiplicativo de un número complejo.

a+bi∙1a+bi=1 Interesa encontrar el valor de 1a+bi 1a+bi=1a+bi∙a-bia-bi=a-bia2-bi2=a-bia2-b2i2=a-bia2-b2-1=a-bia2+b2 1a+bi=aa2+b2-bia2+b2 75. Calcule el inverso multiplicativo de

1+2i

11+2i=112+22-2i12+22=11+4-2i1+4=15-2i5 Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor

1+2i

1+2i∙15-2i5=15-2i5+2i5-4i25=15-4-15=15--45=15+45=55=1 76. Calcule el inverso multiplicativo de

2-3i

12-3i=222+-32--3i22+-32=24+9--3i4+9=213+3i13 Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor

2-3i

2-3i∙213+3i13=413+6i13-6i13-9i213=413-9-113=413--913=413+913=1313=1

10 77. COMPRUEBE QUE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE -4+5i ES -441-5i41, OBTENGA 1. 78. COMPRUEBE QUE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE -3-i ES -310+i10, OBTENGA 1. 79. Calcule el inverso multiplicativo de

1+3i

11+3i =112+32-3i12+32=11+3-3i1+3=14-3i4 Para comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor

1+3i

1+3i∙14-3i4=14-3i4+3i4-3i24=14-3-14=14 +34=44=1 80. COMPRUEBE QUE EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE -3+2i ES -35-2i5, OBTENGA 1. 1.3 Potencias de “ i ”, módulo o valor absoluto de un número complejo. Para calcular las potencias de i se puede emplear la ecuación: i=-1

i2=i∙i=-1∙-1=(-1)12∙(-1)12=(-1)1+12=(-1)22=-1 i3=i∙i∙i=i2∙i=(-1)∙i=-i i4=i∙i∙i∙i=i2∙i2=-1∙-1=1 i5=i∙i∙i∙i∙i=i4∙i=1∙i=i i6=i∙i∙i∙i∙i∙i=i4∙i2=1∙-1=-1 i7=i∙i∙i∙i∙i∙i∙i=i4∙i2∙i=1∙-1∙i=-i i8=i∙i∙i∙i∙i∙i∙i∙i=i4∙i4=1∙1=1 i9=i∙i∙i∙i∙i∙i∙i∙i∙i=i4∙i4∙i=1∙1∙i=i Si revisamos los valores anteriores podemos ver qu e:

i= i5=i9

;

i2=i6 = -1

;

i3=i7=-i

;

i4=i8=1

De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de i tienen valores cíclicos de 4 en 4 de acuerdo a la siguiente tabla:

i=i5=i9=i13=i17=i21=i25=i29=i33=i37=i41=i45=i49=i i2=i6=i10=i14=i18=i22=i26=i30=i34=i38=i42=i46=i50=-1 i3=i7=i11=i15=i19=i23=i27=i31=i35=i39=i43=i47=i51=-i i4=i8=i12=i16=i20=i24=i28=i32=i36=i40=i44=i48=i52=1 Aunque la tabla anterior puede resultar práctica para potencias menores a 20, para valores como i89 ó i552 ó i1,789 ó i58,127 resulta insuficiente. Como los valores son cíclicos de 4 en 4, dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer renglón, usemos los valores de potencias de i 1, 5, 9, 13, 17, 37, 49

14=0.25 ; 54=1.25 ; 94=2.25 ; 134=3.25 ; 174=4.25 ; 374=10.25 ; 494=12.25 Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor después del punto decimal es . 25 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de decimales de .25 tendrá un valor de:

11

i=i5=i9=i13=i17=i37=i49=i Dividiendo entre 4 potencias de

i del segundo renglón como 2, 6, 10, 14, 18, 30, 42.

24=0.50 ; 64=1.50 ; 104=2.50 ; 144=3.50 ; 184=4.50 ; 304=7.50 ; 424=10.50 Ahora podemos ver que el valor después del punto decimal es .50 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de decimales de .50 tendrá un valor de:

i2=i6=i10=i14=i18=i30=i42=-1 Si repetimos lo anterior con potencias de i del tercer renglón como 3, 7, 11, 15, 31, 43, veremos que el valor después del punto decimal es .75 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de una fracción de .75 tendrá un valor de:

i3=i7=i11=i15=i31=i43=-i En el caso de potencias de i del cuarto renglón como 4, 8, 12, 16, 32, 44, 52 veremos que el valor después del punto decimal es .00 en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de i que se divida entre 4 y de una fracción de .00 tendrá un valor de:

i4=i8=i12=i16=i32=i44=i52=1 Como síntesis podemos decir: si la división de una potencia de i entre 4 tiene como fracción .25 el valor de in=i. En el caso de que la división de una potencia de i entre 4 tenga como fracción .50 el valor de im=-1. Cuando la división de una potencia de i entre 4 tiene como fracción .75 el valor de ip=-i. Por último si la división de una potencia de i entre 4 tiene como fracción .00 el valor de iq=1. Veamos varios ejemplos:

1. i177 1774=44.25 ∴ i177=i 2.i898 8984=224.50 ∴ i898=-1 3. i7,683 7,6834=1,920.75 ∴ i7,683=-i 4. i11,544 11,5444=2,886.00 ∴ i11,544=1 COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE i. 5. i349=i 6. i3,466=-1 7. i39,263=-i 8. i123,736=1 i:11, 111, 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811, 911, 1,011, 1,111, 1,211, 1,311, 1,411, Como último punto es útil saber que todas y cada una de las siguientes potencias de

12 1,511 al ser divididas entre 4 tienen como fracción .75, la importancia de lo anterior es que cuando deseamos calcular la potencia de i de cualquier valor de 2, 3, 4, 5 ó más dígitos, solo ocupamos al dividir entre 4 tener en cuenta los últimos 2 dígitos. En todas las potencias de i arriba señaladas el valor es -i . NOTA: Lo anterior no se cumple para un solo dígito, por ejemplo si i es 1 al dividir entre 4 se obtiene .25 y no .75. Si aplicamos lo escrito en el párrafo anterior a los ocho ejercicios anteriores veremos que la fracción obtenida es la misma, con lo que el valor de la potencia de i no cambia.

9. i177 774=19.25 ∴ i177=i 10. i898 984=24.50 ∴ i898=-1 11. i7,683 834=20.75 ∴ i7,683=-i 12. i11,544 444=11.00 ∴ i11,544=1 COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE i, DIVIDIENDO SOLO LOS ÚLTIMOS DOS DIGITOS. 13. i349=i 14. i3,466=-1 15. i39,263=-i 16. i123,736=1 Calcule: 17. 5i899+i7,681-2i177+4i11,546=5-i+i-2i+4-1=-4-6i 18. 2i23= 234=5.75 ∴ 2i23=223i23=223-i=8,388,608-i=- 8,388,608i 19. 2i23=2i23=2-i=-2i COMPRUEBE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. 20. 4i250-5i795+3i181+2i11,538=-6+8i 21. 3i14=- 4,782,969 22. 3i14=-2 Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios más complicados de multiplicación y división de números complejos. Vamos a resolver binomios elevados a potencias como -1+5i3 por tres métodos distintos. Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta a+bi, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede a+bi.

13 23. -1+5i3=-1+5i-1+5i-1+5i=1-5i-5i+25i2-1+5i -1+5i3=1+25(-1)-10i-1+5i=(-24-10i)-1+5i 23. -1+5i3=24-120i+10i-50i2=24-50-1-110i=74-110i El binomio de Newton y el triángulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados a cualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son: Triángulo de Pascal

Binomio de Newton

a+b0= 1 a+b0= 1 a+b1= 1 1 a+b1= a+b a+b2= 1 2 1 a+b2= a2+2ab+ b2 a+b3= 1 3 3 1 a+b3= a3+3a2b+3ab2+b3 a+b4=1 4 6 4 1 a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

24. Construya el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton para las potencias 5, 6, 7 y 8. Segundo Método: Usamos el Binomio de Newton.

25. -1+5i3=-13+3-125i+3-15i2+5i3 -1+5i3=-1+315i-325i2+125i3 pero i3= -i porque 34=.75 25. -1+5i3=-1+15i-75-1-125i=-1+75+15-125i=74-110i Observe que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada término se obtiene la potencia a resolver, en este caso 3. Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.

26. -1+5i3=-1+5i2-1+5i=-12+2-15i+5i2-1+5i -1+5i3=1-25i+25i2-1+5i=1-10i+25(-1)-1+5i -1+5i3=-24-10i-1+5i=24-120i+10i-50i2 26. -1+5i3=24-50-1-110i=74-110i 27. COMPRUEBE QUE 28. COMPRUEBE QUE

2-i4=-7-24i USANDO EL Primer Método. 2-i4=-7-24i USANDO EL Segundo Método.

29. COMPRUEBE QUE

2-i4=-7-24i USANDO EL Tercer Método.

Resolver

1-2i5 por los tres métodos ya vistos.

Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta a+bi, enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado a que quede a+bi, y así continuamos hasta terminar.

30. 1-2i5=1-2i1-2i1-2i1-2i1-2i 1-2i5=1-2i-2i+4i21-2i1-2i1-2i 1-2i5=1-4i+4(-1)1-2i1-2i1-2i=-3-4i1-2i1-2i1-2i 1-2i5=-3+6i-4i+8i21-2i1-2i=-3+2i+8(-1)1-2i1-2i 1-2i5=-11+2i1-2i1-2i=-11+22i+2i-4i21-2i 1-2i5=-11+24i-4(-1)1-2i=-7+24i1-2i=-7+14i+24i-48i2 30. 1-2i5=-7+14i+24i-48i2=-7+38i-48(-1)=41+38i

14 Segundo Método: Resolvamos ahora usando el método del Binomio de Newton. Podemos observar que: -i=-1i , i2=-1 , i3=-i , i4=1 , i5=i

31. 1-2i5=15+514-2i+1013-2i2+1012-2i3+51-2i4+-2i5 1-2i5=1+5-2i+104i2+10-8i3+516i4-32i5 1-2i5=1-10i+40-1-80-i+801-32i=1-40+80-10i+80i-32i 31. 1-2i5= 41+38i Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.

32. 1-2i5=1-2i221-2i=12+21-2i+-2i221-2i 1-2i5=1-4i+4i221-2i=1-4i+4(-1)21-2i 1-2i5=1-4-4i21-2i=-3-4i21-2i 1-2i5=-32+2-3-4i+-4i21-2i=9+24i+16i21-2i 1-2i5=9+24i+16(-1)1-2i=9-16+24i1-2i 1-2i5=-7+24i1-2i=-7+14i+24i-48i2 32. 1-2i5=-7+38i-48-1=-7+48+38i= 41+38i Nuevamente el resultado es el mismo por los tres métodos. En este último ejercicio es más sencillo resolver por el método de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cada binomio. 33. COMPRUEBE QUE

1-3i8=-8432+5376i USANDO EL Tercer Método.

1-3i8=1-3i222 Vamos a ver divisiones un poco más complicadas.

34. Calcule 3+i77-2-6i125 , 774=19.25 ∴ i77=i, 254=6.25 ∴ i25=i 3+i77-2-6i125=3+i-2-6i∙-2+6i-2+6i=-6+18i-2i+6i24-36i2=-6+6(-1)+16i4-36(-1) 34. 3+i-2-6i =-12+16i4+36=-12+16i40=-310+25i 35. Calcule 5+i-7-6i3 Ya se calculó en el ejercicio 70 del subtema 1.2 5+i-7-6i =4185+2385i 5+i-7-6i3=-4185+2385i3=-41853+3-418522385i+3-41852385i2+2385i3 5+i-7-6i3=-68,921614,125+115,989614,125i-65,067614,125i2+12,167614,125i3 5+i-7-6i3=-68,921614,125+115,989614,125i-65,067614,125-1+12,167614,125-i 5+i-7-6i3=-68,921614,125+65,067614,125+115,989614,125i-12,167614,125i=3,854614,125+103,822614,125i 36. DEMUESTRE QUE 8-i6536+7i1,781=4185-6285i 37. DEMUESTRE QUE -4+2i3-9i5212=29i 38. DEMUESTRE QUE 4-2i26i3+5i=-6481224+2641224i

15

Resuelva primero el binomio al cuadrado y resuelva el denominador.Simplifique y resuelva la división.

1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo. Forma polar de los Números Complejos. En la gráfica que está enseguida se tiene: y

cos θ=CAH=xr

x=r∙cos θ=rcosθ

sen θ=COH=yr

y=r∙sen θ=rsenθ

x+yi

La forma rectangular (binómica) de un número complejo es:

Z=a+bi=x+yi ,

r

x+yi=rcosθ+risenθ x+yi=rcosθ+isenθ=rcisθ

y

pero

θ 0, 0

x

x

Gráfica 1: Representación de la forma polar rcisθ de un número complejo.

Donde r(cosθ+isenθ) es la forma polar de un número complejo. En la expresión anterior r representa la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como módulo o valor absoluto del número complejo. Con el teorema de Pitágoras se obtiene

z=r=x2+y2

El ángulo θ se denomina amplitud o argumento, se puede dar su valor en forma positiva si está en los primeros dos cuadrantes y en forma negativa si está en los cuadrantes tres y cuatro, sin embargo podemos equivocarnos al omitir el signo. Para obtenerlo siempre con valor positivo se usan dos ecuaciones la primera es α=tan-1yx , donde y es el valor absoluto de y sin el término i, x es el valor absoluto de x. El ángulo α está entre los valores x y r para los cuatro

16 cuadrantes. El ángulo θ inicia en el eje x del lado positivo con el valor 00 (está en el número 3 de un reloj), y aumenta en sentido contrario a las manecillas del reloj. Veamos las gráficas de ángulos en los cuatro cuadrantes.

θ=1800+α

θ=3600-α α

α α=θ

α

θ=1800-α (b)

(c)

(d)

Gráfica 2. Muestra los ángulos α y θ, así como la relación entre ellos en cada cuadrante. (a) Primer cuadrante, (b) segundo cuadrante, (c) tercer cuadrante, (d) cuarto cuadrante.

Para la segunda ecuación que relaciona a Signo de

x

Signo de

+

+

+

y

α y θ se tiene la siguiente tabla. Cuadrante

Primero (00 a 900)

+

Segundo

(900 a 1800)

-

Tercero (1800 a 2700)

-

Cuarto

(2700 a 3600)

ecuación ángulo

θ

θ=α θ=1800-α=π- α θ=1800+α=π+ α θ=3600-α=2π- α

Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa:

θ=600=-3000 , Segundo θ=1100=-2500 , Tercero θ=2250=-1350 , Cuarto θ=3100=-500 . Encuentre el lector los ángulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda de un transportador de preferencia de 3600. Primero

Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este caso se deben pasar de forma polar a forma binómica. Vamos a ver como pasar un número complejo de forma binómica a forma polar. Serán cuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habrá cuatro ejemplos, que coincidan con los ejes x, o y, después veremos ejemplos de números complejos que pasan de forma polar a forma binómica. 1.

Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

1. Z1=3+3i Z1 está en el primer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados con la expresión α=tan-133 teniendo la calculadora en DEG (D). α=tan-133=tan-11=450

17

Como α está en el primer cuadrante (ver la tabla)

θ= α=450 El argumento en radianes se calcula con

α= θ

α=tan-133 teniendo la calculadora en RAD (R).

α=tan-133=tan-11=0.785398163=0.785398163ππ=0.25π=14π=π4 rad Observe que el valor 0.785398163 está en radianes pero no contiene a π. Para introducir a π, se multiplicó y dividió por π el número 0.785398163, pero solo se hizo la división en la calculadora, por lo que π, quedó escrito en el numerador y 0.25 es exacto. Como α está en el primer cuadrante (ver la tabla) α= θ.

θ= α=π4 rad Calculemos el módulo o valor absoluto:

r=x2+y2=32+32=9+9=18=9(2)=9∙2=32 Como

x+yi=r(cosθ+isenθ) =rcisθ se tiene que

1. Z1=3+3i=32cos450+isen450=32cosπ4+isenπ4 ó 1. Z1=3+3i=32cis450=32cisπ4 2. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

2. Z2=-1+3i=2cos1200+isen1200=2cos2π3+isen2π3 ó 2. Z2=-1+3i=2cis1200=2cis2π3 3. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

3. Z3=-123-12i Z3 está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) α en grados con la expresión α=tan-1-12-123 teniendo la calculadora en DEG (D). α=tan-1-12-123=tan-10.577350269=300 Como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla)

θ=1800+α

θ=1800+α= 1800+300=2100

α=tan-1-12-123 teniendo la calculadora en RAD (R). α=tan-1-12-123=tan-10.577350269=0.523598775=0.523598775ππ El argumento en radianes se calcula con

α=tan-1-12-123=0.166666666π=16π=π6 rad Observe que el valor 0.523598775 está en radianes pero no contiene a π. Para introducir a π, se multiplicó y dividió por π el número 0.523598775, pero solo se hizo la división en la calculadora, por lo que π quedó escrito en el numerador y 16 es exacto. Como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla) θ=1800+α= π+α pues 1800=π.

18

θ=π+α=π+π6=6π6+π6=7π6 rad Otra forma de obtener θ en radianes a partir de

θ en grados es con 1800=π.

θ=2100π1800=21001800π= 7π6 rad Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

r=-1232+-122=34+14=44=1=1 Como

x+yi=r(cosθ+isenθ)=rcisθ

se tiene que:

3. Z3=-123-12i =1cos2100+isen2100=1cos7π6+isen7π6 ó 3. Z3=-123-12i =1cis2100=1cis7π6 4. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

4. Z4=4-3i=5cos323.130+isen323.130=5cos1.7952π+isen1.7952π ó 4. Z4=4-3i=5cis323.130=5cis1.7952π 5. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo.

5. Z5=8 Z5 está en el eje x (en el número 3 de un reloj), para este caso la amplitud θ es: θ=00 θ =00π1800 =001800π=0 rad Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

x=8, y=0, r=x2+y2=82+02=64=8 Como

x+yi=r(cosθ+isenθ)=rcisθ se tiene que:

5. Z5=8=8cos00+isen00=8cos0+isen0 ó 5. Z5=8=8cis00=8cis0 6. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

6. Z6=7i=7cos900+isen900=7cosπ2+isenπ2 ó 6. Z6=7i=7cos900+isen900=7cosπ2+isenπ2 7. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo:

7. Z7=-4 Z7 está en el eje x (en el número 9 de un reloj), para este caso la amplitud θ es:

19

θ=1800 θ =1800π1800 =18001800π=1π=π rad Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

x=-4, y=0, r=x2+y2=(-4)2+02=16=4 Como

x+yi=r(cosθ+isenθ)=rcisθ se tiene que:

7. Z7=-4=4cos1800+isen1800=4cosπ+isenπ ó 7. Z7=-4=4cis1800=4cisπ 8. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo.

8. Z8=-53i=53cos2700+isen2700=53cos3π2+isen3π2 ó 8. Z8=-53i=53cis2700=53cis3π2 Para escribir un número complejo en forma binómica (rectangular) a partir de la forma polar, solo es necesario calcular el coseno y el seno del argumento θ y multiplicarlo por el módulo r. Calculemos 8 ejercicios en grados y luego 8 ejercicios en radianes. 9. Encontremos la forma binómica del número complejo:

9. Z9=4cos300+isen300 Al calcular cos300 la calculadora debe estar en DEG (D).

Z9=4cos300+isen300=40.866025403+0.5i=40.8660254032+0.5i 9. Z9=40.75+12i=434+12i=434+12i=432+12i=23+2i Observe que 0.866025403 no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número 0.866025403, pero solo se desarrolló el cuadrado con la calculadora y entonces se escribió la raíz cuadrada 0.75 que es un valor exacto.

9. Z9=4cos300+isen300=23+2i 10. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

10. Z10=8cos1350+isen1350=-42+42i 11. Encontremos la forma binómica del número complejo:


Z11=10cos2500+isen2500=10-0.342020143-0.93969262i Z11=-3.42020143-9.3969262i=-3.4202-9.3969i

20 11. Z11=10cos2500+isen2500=-3.4202-9.3969i Los valores -0.342020143 y -0.93969262i no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas. 12. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

12. Z12=2cos3150+isen3150=2-2i 13. Encontremos la forma binómica del número complejo:


13. Z13=17cos00+isen00=171+0i=17 14. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

14. Z14=2cos900+isen900=2i 15. Encontremos la forma binómica del número complejo:

15. Z15=57cos1800+isen1800

Al calcular cos1800 la calculadora debe estar en DEG (D).

15. Z15=57cos1800+isen1800=57-1+0i=-57 16. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

16. Z16=23cos2700+isen2700=-23i Los últimos 8 números estaban en grados, vamos a pasar de forma Polar a forma binómica, cuando están en radianes. 17. Encontremos la forma binómica del número complejo:

17. Z17=14cosπ6+isenπ6 Al calcular π6 la calculadora debe estar en RAD (R). Z17=14cosπ6+isenπ6=140.866025403+0.5i=140.8660254032+0.5i Z17=140.75+12i=1434+12i=1434+12i=1432+12i=73+7i Observe que 0.866025403 no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto se elevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada, pero sólo se desarrolló el cuadrado con la calculadora y entonces se escribió la raíz cuadrada 0.75 que es un valor exacto.

17. Z17=14cosπ6+isenπ6= 73+7i

21 18. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

18. Z18=2cos3π4+isen3π4=-1+i 19. Encontremos la forma binómica del número complejo:

19. Z19=20cos9π8+isen9π8 Al calcular cos9π8 la calculadora debe estar en RAD (R). Z19=20cos9π8+isen9π8=20-0.923879532-0.382683432i Z19=-18.47759064-7.65366864i=-18.478-7.6537i 19. Z19=20cos9π8+isen9π8=-18.478-7.6537i Los valores -0.923879532 y -0.382683432 no son exactos, y no es posible hacerlos exactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativas en los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas. 20. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

20. Z20=42cos11π6+isen11π6=26-22i 21.

Encontremos la forma binómica del número complejo:

21. Z21=3cos0+isen0 Al calcular cos0 la calculadora debe estar en RAD (R).

Z21=3cos0+isen0=31+0i=3 22. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

22. Z22=5cosπ2+isenπ2i=5i 23. Encontremos la forma binómica del número complejo:

23. Z23=38cosπ+isenπ Al calcular cos

π la calculadora debe estar en RAD (R).

23. Z23=38cosπ+isenπ=38-1+0i=-38 24. Demuestre que la forma binómica del número complejo:

Z24=711cos3π2+isen3π2i=-711i Ya sabemos pasar de forma binómica a forma polar y viceversa. Se mencionó que los números complejos no se pueden sumar ni restar en forma polar, en este caso se pasan de forma polar a forma binómica, se realiza la suma y se regresan a forma polar.

22 Realizaremos una suma y una resta usando algunos de los números complejos con los que ya trabajamos. Calcule: 25. Z10+Z12=Z25 y 26. Z9-Z11=Z26

Z10+Z12=8cos1350+isen1350+2cos3150+isen3150 Al calcular la forma binómica de

Z10 y Z12 se obtuvo

Z10=-42+42i Z12=2-2i al sumar se obtiene Z25=Z10+Z12=-42+42i+2-2i=-42+2+42i-2i 25. Z25=Z10+Z12=-4+12+4-12i=-32+32i 25. (a) Encontremos la forma polar del número complejo en grados y radianes:

25. (a) Z25=-32+32i Z25 está en el segundo cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) α en grados con la expresión tan-132-32 teniendo la calculadora en DEG (D). α=tan-132-32=tan-11=450 Como α está en el segundo cuadrante (ver la tabla)

θ=1800-α

θ=1800-α= 1800-450=1350 El argumento en radianes se calcula con α=tan-132-32 teniendo la calculadora en RAD. α=tan-132-32=tan-11=0.785398163=0.785398163ππ=0.25π=14π=π4 rad Observe que el valor 0.785398163 está en radianes pero no contiene a π. Para introducir a π, se multiplicó y dividió por π el número 0.785398163, pero solo se hizo la división en la calculadora, por lo que π quedó escrito en el numerador y 14 es exacto. Como α está en el segundo cuadrante (ver la tabla) θ=1800-α= π-α pues 1800=π.

θ=π-α=π-π4=4π4-π4=3π4 rad Otra forma de obtener θ en radianes a partir de


π18001350=13501800π=0.75π=34π=3π4 rad Calculemos el módulo o valor absoluto:

r=x2+y2=(-32)2+(32)2=9∙2+9∙2=18+18=36=6 Como

x+yi=r(cosθ+isenθ) =rcisθ se tiene que

Z25=Z10+Z12=-32+32i 25. a Z25=6cos1350+isen1350= 6cis1350

23 25. a Z25=6cos3π4+isen3π4=6cis3π4 26. Demuestre que la resta

26. Z26=Z9-Z11=6.8843+11.397 26. (a) Demuestre que la forma polar del número complejo en grados y radianes:

Z26=6.884303045+11.3969262i es 26. a Z26=13.315cos58.8660+isen58.8660=13.315cis58.8660 26. a Z26=13.315cos0.32703π +isen0.32703π =13.315cis0.32703π La multiplicación de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

r1(cosθ1+isenθ1)r2(cosθ2+isenθ2)=r1r2cos(θ1+θ2)isen(θ1+θ2) Veamos algunas multiplicaciones.

27. Z1∙Z2= Z27. Se tiene que Z1=32cos450+isen450=32cosπ4+isenπ4 Z2=2cos1200+isen1200=2cos2π3+isen2π3 Vamos a multiplicar primero en grados y luego en radianes.

Z27=Z1∙Z2= 32cos450+isen4502cos1200+isen1200 Z27=Z1∙Z2=322cos450+1200+isen450+1200 27. Z27=Z1∙Z2=62cos1650+isen1650=62cis1650 Z27=Z1∙Z2=32cosπ4+isenπ42cos2π3+isen2π3 Z27=Z1∙Z2=322cosπ4+2π3+isenπ4+2π3 Vamos a resolver paso a paso la suma de fracciones:

π4+2π3=14+23π=3+812π=11π12 rad 27. Z27=Z1∙Z2=62cos11π12+isen11π12=62cis11π12 28. Demuestre que 28. Z28=Z3∙Z4=5cos533.130+isen533.130=5cis533.130 28. Z28=Z3∙Z4=5cos(2.9618π)+isen(2.9618π)=5cis(2.9618π) 29. Calcule

Z29=Z5∙Z6 . Se tiene que

24

Z5=8cos00+isen00=8cos0+isen0 Z6=7cos900+isen900=7cosπ2+isenπ2 Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.

Z29=Z5∙Z6=8cos00+isen007cos900+isen900 Z29=Z5∙Z6=87cos00+900+isen00+900 29. Z29=Z5∙Z6=56cos900+isen900=56(cis900) Z29=Z5∙Z6=8cos0+isen07cosπ2+isenπ2 Z29=Z5∙Z6=87cos0+π2+isen0+π2=56cosπ2+isenπ2 29. Z29=Z5∙Z6=56cosπ2+isenπ2=56cisπ2 30. Demuestre que 30. Z30=Z7∙Z8=203(cos4500+isen4500)=203(cis4500) 30. Z30=Z7∙Z8=203cos5π2+isen5π2=203cis5π2 La división de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos se dividen y los argumentos se restan.

r1(cosθ1+isenθ1)r2(cosθ2+isenθ2)=r1r2cosθ1-θ2+isen(θ1-θ2) Resolvamos algunas divisiones

31. Z1Z2=Z31 Se tiene que

Z1=32cos450+isen450=32cosπ4+isenπ4 Z2=2cos1200+isen1200=2cos2π3+isen2π3 Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.

Z31=Z1Z2=32cos450+isen4502cos1200+isen1200=322cos(450-1200)+isen(4501200) Z31=Z1Z2=322cos(-750)+isen(-750) En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 3600. -750+3600=2850

31. Z31=Z1Z2=322cos2850+isen2850=322cis2850

25 Z31=Z1Z2=32cosπ4+isenπ42cos2π3+isen2π3=322cosπ4-2π3+isenπ4-2π3 Vamos a resolver paso a paso la resta en radianes

π4-2π3=14-23π=3-812π=-5π12 rad Z31=Z1Z2=322cos-5π12+isen-5π12 En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 2π.

-5π12+2π=-512+2π=-512+2412π=19π12 31. Z31=Z1Z2=322cos19π12+isen19π12=322cis19π12 32. Demuestre que 32. Z32= Z3Z4=15cos(246.870)+isen(246.870)=15cis(246.870) 32. Z32=Z3Z4=15cos-0.62850π+isen-0.62850π=15cis-0.62850π 33. Z5Z6=Z33 Se tiene que

Z5=8cos00+isen00=8cos0+isen0 Z6=7cos900+isen900=7cosπ2+isenπ2 Vamos a resolver primero en grados y luego en radianes.

Z33=Z5Z6=8cos00+isen007cos900+isen900 Z33=Z5Z6=87cos(00-900)+isen(00-900 Z33=Z5Z6=87cos(-900)+isen(-900) En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos 3600. -900+3600=2700

33. Z33=Z5Z6=87cos2700+isen2700=87cis2700 Z33=Z5Z6=8cos0+isen07cosπ2+isenπ2 Z33=Z5Z6=87cos0-π2+isen0-π2 Z33=Z5Z6=87cos-π2+isen-π2 En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos La suma en radianes paso a paso es:

-π2+2π=-12+2π=-12+42π=32 π

2π.

26 33. Z33=Z5Z6=87cos32 π+isen32 π=87cis32 π 34. Demuestre que 34. Z34=Z7Z8=4315cos2700+isen2700=4315cis2700 34. Z34=Z7Z8=4315cos32 π+isen32 π=4315cis32 π Forma Exponencial de un número complejo Con las leyes de los exponentes tenemos que: an∙am=an+m y anam=an-m en particular si en lugar de a tomamos el valor e, entonces ex∙ey=ex+y y exey=ex-y con x, y

∈R. Se tiene que

Z∈ ⊄, Z=a+bi. ¿Qué pasa con eZ=ea+bi ?

Sabemos que ea+bi=eaebi como a∈R conocemos el valor de ea, pero con ebi tenemos el problema de la i, ya que no sabemos cuánto vale e porque ebi=eib ó también ebi=ebi. La fórmula de Euler nos dice que el desarrollo de eiθ=(cosθ+isenθ) , de acuerdo con esto un número complejo Z=a+bi se podrá escribir con la notación de Euler como Z=es+iθ=eseiθ=es(cosθ+isenθ) , donde es=r ∴ Z=reiθ=r(cosθ+isenθ) . La ecuación

Z=reiθ es la forma Exponencial de los números complejos.

Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial, por lo que en este caso primero se pasan a forma Polar, luego se pasan a forma rectangular, se hace la suma o resta y se regresa el resultado primero a forma Polar y luego a forma binómica. Pasar de forma Exponencial a forma Polar es muy sencillo ya que

Z=reiθ=r(cosθ+isenθ) 35. Determinemos la forma polar en grados y radianes de

35. Z35=4ei1500 35. Z35=4rei1500=4(cos1500+isen1500)=4(cis1500) π=1800 ∴ (1500)π1800=π15001800=56π=5π6 35. Z35=4rei1500=4cos5π6+isen15005π6=4cis5π6 36. Determinemos la forma polar en grados y radianes de 36.

Z36=4ei2400

36.

Z36=4ei2400=4(cos2400+isen2400)=4(cis2400)

π=1800 ∴ (2400)π1800=π24001800=43π=4π3

27 36. Z36=4ei2400=4cos4π3+isen15004π3=4cis4π3 Es igual de sencillo pasar de forma Polar a forma Exponencial 37. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de

37. Z37=3ei1200 37. Z37=3ei1200=3(cos1200+isen1200)=3(cis1200) π=1800 ∴ (1200)π1800=π12001800=23π=2π3 37. Z37=3ei2π3=3cos2π3+isen2π3=3cis2π3 38. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de

38. Z38=63ei3000 38. Z38=63ei3000=63(cos3000+isen3000)=63(cis3000) π=1800 ∴ (3000)π1800=π30001800=53π=5π3 38. Z38=63ei3000=63cos5π3+isen5π3=63cis5π3 Ya se mencionó que los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial. En este caso se pasan a forma Polar, luego a forma rectangular, se hace la operación de suma o resta y luego se pasa el resultado a forma polar y finalmente a forma Exponencial. Vamos a resolver una suma y una resta de números complejos en forma Exponencial. 39. Suma en forma Exponencial

Z39=Z35+Z36 . Ya se vió que:

Z35=4ei1500=4(cos1500+isen1500) Z35=4-0.866025403+0.5i=4-0.8660254032+12i=4-0.75+12i Z35=-434+42i=-432+2i=-23+2i Z36=4ei2400=4(cos2400+isen2400)=4-0.5+-0.866025403i Z36=4-12-0.75i=-2-434i=-2-23i Z39=Z35+Z36=-23+2i+-2-23i=-23-2+2i-23i 39. Z39=Z35+Z36=-23-2+2-23i=-5.464101615-1.464101615i El valor Z39=Z35+Z36 es en forma rectangular, pasemos a forma Polar y Exponencial.

Z39=-5.464101615-1.464101615i

28 Z39 está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) α en grados con

la expresión α=tan-1-1.464101615-5.464101615 teniendo la calculadora en DEG. α=tan-1-1.464101615-5.464101615=tan-10.267949192=150 El valor

150 es exacto, como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla) θ=1800+α.

θ=1800+α=1800+150=1950 El argumento en radianes se calcula con α=tan-1-1.464101615-5.464101615 con la calculadora en RAD α=tan-1-1.464101615-5.464101615=tan10.267949192=0.261799387ππ=0.083333333π rad α=112π=π12rad Como α está en el tercer cuadrante (ver la tabla)

θ=1800+α= π+α pues 1800=π.

θ=π+π12=12π12+π12=13π12 rad Otra forma de obtener θ en radianes a partir de


θ=1950π1800=19501800π= 13π12 rad Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

r=(-5.464101615)2+(-1.464101615)2=29.85640646+2.143593539=32 r=16∙2=162=42 Como

x+yi=rcosθ+isenθ=rcisθ=reiθ

se tiene que:

39. Z39=Z35+Z36=-5.464101615-1.464101615i 39. Z39=42cos1950+isen1950=42cis1950 39. Z39= 42cos13π12+isen13π12=42cis13π12 39. Z39=42ei1500=42ei13π12 40. Demuestre que la resta en forma Exponencial

40. Z40=Z37-Z38=-732+212i donde Z37=3ei1200 y Z38=63ei3000 40. Z40=73cos1200+isen1200=73cis1200 40. Z40= 73cos2π3+isen15002π3=73cis2π3 40. Z40=73ei1200=73ei2π3

29 La multiplicación de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.

r1eiθ1r2eiθ2=r1r2eiθ1+θ2 Multipliquemos

Z39∙Z40= Z41 Se tiene que: Z39=42ei1950=42ei13π12 y Z40=73ei1200=73ei2π3 41.

Z41=Z39∙Z40= 42ei1950∙73ei1200=4∙723ei(1950+1200)=282∙3ei3150 41. Z41=Z39∙Z40=286ei3150 Z41=Z39∙Z40= 42ei13π12∙73ei2π3=4∙723ei13π12+2π3=282∙3ei21π12 41. Z41=Z39∙Z40=286ei21π12 42. Demuestre que si

Z42 =5ei450=5eiπ4 y Z43=43ei2400=43ei4π3

42. Z44= Z42∙Z43=203ei2850 42. Z44= Z42∙Z43=203ei2850 La división de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulos se divide n y los argumentos se restan

r1eiθ1r2eiθ2=r1r2eiθ1-θ2 Dividamos 43. Z39Z40=Z45 Se tiene que: Z39=42ei1950=42ei13π12 y Z40=73ei1200=73ei2π3 43. Z45=Z39Z40=42ei195073ei1200=4273ei1950-1200=4273ei750 43. Z45=Z39Z40=42ei13π1273ei2π3=4273ei13π12-2π3=4273ei13π8π12=4273ei5π12 44. Demuestre que si

Z42 =5ei450=5eiπ4 y Z43=43ei2400=43ei4π3

44. Z46= Z42Z43=154ei1650 44. Z46= Z42Z43=154ei11π12 1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. El Teorema de De Moivre dice que cuando se eleva a la n un número complejo en forma Exponencial se obtiene una ecuación que recibe el nombre de Fórmula de De Moivre.

Sea Z=reiθ. Entonces

30

Zn=reiθn=rneiθn=rneinθ=rncos nθ+isen nθ Fórmula de De Moivre rncos θ+isen θn=rncos nθ+isen nθ Potencias de un número complejo en forma Polar. 1. Calcule

Z18 ya se vió que:

Z1=3+3i=32cos450+isen450=32cosπ4+isenπ4 Z18=3+3i8=32cos450+isen4508=32cosπ4+isenπ48 Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre

rncos θ+isen θn=rncos nθ+isen nθ Z18=32cos450+isen4508=328cos450+isen4508 Z18=3828cos8∙450+isen8∙450=6,56116cos3600+isen3600 Con la calculadora en DEG ó D se calcula

cos3600

1. Z18=104,976cos3600+isen3600=104,9761+0=104,976 Z18=32cosπ4+isenπ48=328cosπ4+isenπ48 Z18=3828cos8∙π4+isen8∙π4=6,56116cos2π+isen2π Con la calculadora en RAD ó R se calcula

cos2π

1. Z18=104,976cos2π+isen2π=104,9761+0=104,976 2. Demuestre que si

Z2=-1+3i

2. Z211=-1,024-1,0243i 3. Calcule

Z315 ya se vió que

Z3=-123-12i =1cos2100+isen2100=1cos7π6+isen7π6 Z315=-123-12i15=1cos2100+isen210015=1cos7π6+isen7π615 Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De Moivre

rncos θ+isen θn=rncos nθ+isen nθ Z315=-123-12i15=115cos2100+isen210015 Z315=1cos15∙2100+isen15∙2100=1cos3,1500+isen3,1500 Con la calculadora en DEG ó D se calcula

cos3,1500

31

3. Z315=1cos3,1500+isen3,1500=10-i=-i Z315=1cos7π6+isen7π615=115cos7π6+isen7π615 Z315=1cos15∙7π6+isen15∙7π6=1cos105π6+isen105π6=1cos35π2+isen35π2 Con la calculadora en RAD ó R se calcula

cos35π2

3. Z315=1cos35π2+isen35π2=10-i=-i 4. Demuestre que si

Z4=4-3i

4. Z420=9.10045 X 1013-2.85155 X 1013i 5. Calcule

Z3513 ya se vió que Z35=4ei1500

5. Z3513=4ei150013= 413ei131500=67,108,864ei1,9500 π=1800 ∴ (1500)π1800=π15001800=56π=5π6 Z35=4ei5π6 5. Z3513=4ei5π613= 413ei135π6=67,108,864ei65π6 6. Demuestre que si

Z36=4ei2400

6. Z3611=4,194,304ei2,6400 6. Z3611=4,194,304ei44π3 7. Calcule

Z3714 ya se vió que

Z37=3ei1200

7. Z3714=3ei120014= 314ei141200=2,187ei1,6800 π=1800 ∴ (1200)π1800=π12001800=23π=2π3 Z37=3ei2π3 7. Z3714=3ei2π314= 314ei(14)2π3=2,187ei28π3 Raíces de un número complejo en forma Polar. Si k es un entero con valores sucesivos

k=0, 1, 2, 3,… ,n-1,

cos θ=cos θ+k∙3600 y sen θ=sen θ+k∙3600 Luego

x+yi1n=rcos θ+isen θ1n ó nx+yi=nr(cosθ+isenθ)

x+yi1n=rcos θ+k∙3600+isen θ+k∙36001n x+yi1n=r1ncos θ+k∙3600n+isen θ+k∙3600n En el caso de radianes se tiene lo siguiente para

3600=2π

32 x+yi1n=rcos θ+k∙2π+isen θ+k∙2π1n x+yi1n=r1ncos θ+k∙2πn+isen θ+k∙2πn Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un número cualquiera tanto real como complejo, tiene n raíces enésimas distintas, donde la primera raíz será para k=0, la segunda raíz será para k=1, la tercera raíz será para k=2, y así hasta llegar a la raíz n que será para k=n-1. Aunque todas las operaciones con números complejos son importantes es necesario que la solución de raíces con números complejos quede bien comprendida, ya que al resolver ecuaciones polinómicas con números complejos se tendrá que resolver raíces. Es debido a esto que antes de resolver una raíz con números complejos vamos a desarrollar las ecuaciones para raíz cuadrada, para raíz cúbica y para raíz cuarta. Raíz cuadrada de un número complejo. Se resuelven dos raíces Z1 y Z2 pero ya hemos usado Z1 y Z2 como los dos primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1 y Z2, para las dos raíces; Z1 y Z2.

x+yi12=2x+yi=2r(cosθ+isenθ)=x+yi=r(cosθ+isenθ) x+yi12=r12cos θ+k∙36002+isen θ+k∙36002 Para raíz cuadrada

n=2, k=0 para la raíz Z1 y k=1 para la raíz Z2

En grados las dos raíces son:

Z1 k=0=rcos θ+0∙36002+isen θ+0∙36002 Z2 k=1=rcos θ+1∙36002+isen θ+1∙36002 En radianes las dos raíces son:

Z1 k=0=rcos θ+0∙2π2+isen θ+0∙2π2 Z2 k=1=rcos θ+1∙2π2+isen θ+1∙2π2 Raíz cúbica de un número complejo. Se resuelven tres raíces Z1, Z2 y Z3 pero ya hemos usado Z1, Z2 y Z3 como los tres primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1, Z2 y Z3, para las tres raíces; Z1, Z2 y Z3.

x+yi13=3x+yi=3r(cosθ+isenθ) x+yi13=r13cos θ+k 36003+isen θ+k 36003 Para raíz cúbica

n=3, k=0 para la raíz Z1, k=1 para la raíz Z2 y k=2 para la raíz Z3

En grados las tres raíces son:

33 Z1 k=0=3rcos θ+0∙36003+isen θ+0∙36003 Z2 k=1=3rcos θ+1∙36003+isen θ+1∙36003 Z3 k=2=3rcos θ+2∙36003+isen θ+2∙36003 En radianes las tres raíces son:

Z1 k=0=3rcos θ+0∙2π3+isen θ+0∙2π3 Z2 k=1=3rcos θ+1∙2π3+isen θ+1∙2π3 Z3 k=2=3rcos θ+2∙2π3+isen θ+2∙2π3 Raíz cuarta de un número complejo. Se resuelven cuatro raíces Z1, Z2, Z3y Z4 pero ya hemos usado Z1, Z2, Z3y Z4 como los cuatro primeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugar de Z1, Z2, Z3y Z4 para las cuatro raíces; Z1, Z2, Z3y Z4.

x+yi14=4x+yi=4r(cosθ+isenθ) x+yi14=r14cos θ+k 36004+isen θ+k 36004 Para raíz cuarta para la raíz Z4.

n=4, k=0 para la raíz Z1, k=1 para la raíz Z2, k=2 para la raíz Z3 y k=3

En grados las cuatro raíces son:

Z1 k=0=4rcos θ+0∙36004+isen θ+0∙36004 Z2 k=1=4rcos θ+1∙36004+isen θ+1∙36004 Z3 k=2=4rcos θ+2∙36004+isen θ+2∙36004 Z4 k=3=4rcos θ+3∙36004+isen θ+3∙36004 En radianes las cuatro raíces son:

Z1 k=0=4rcos θ+0∙2π4+isen θ+0∙2π4 Z2 k=1=4rcos θ+1∙2π4+isen θ+1∙2π4 Z3 k=2=4rcos θ+2∙2π4+isen θ+2∙2π4 Z4 k=3=4rcos θ+3∙2π4+isen θ+3∙2π4 Todas las raíces serán resueltas paso a paso, con la práctica será posible omitir varios pasos. 8. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:

4cos300+isen300

34 Z47=4cos300+isen300=4cos 300+k∙36002+isen 300+k∙36002 Z471 k=0=4cos 300+0∙36002+isen 300+0∙36002=2(cos150+isen150) Z471 k=0=20.965925826+0.258819045i=1.931851653+0.51763809i 8. Z471 k=0=2(cos150+isen150)=1.9319+0.51764i Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.

Z472 k=1=4cos 300+1∙36002+isen 300+1∙36002 Z472 k=1=2cos1950+isen1950=2-0.965925826-0.258819045i Z472 k=1=-1.931851653-0.51763809i 8. Z472 k=1=2cos1950+isen1950=-1.9319-0.51764i Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas. Las dos raíces son:

8. Z471 k=0=2cos150+isen150=1.9319+0.51764i primer cuadrante 8. Z472 k=1=2cos1950+isen1950=-1.9319-0.51764i tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,

1950-150=1800

9. Demuestre que si Z48=64cos600+isen600 al calcular la raíz cuadrada se obtiene:

9. Z481 k=0=8cos300+isen300=43+4i 9. Z482 k=1=8cos2100+isen2100=-43-4i 10. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:

Z6 donde Z6=7i se tiene que Z6=7i=7cos900+isen900=7cosπ2+isenπ2 ∴ Z49=Z6=7i=7cos900+isen900=7cosπ2+isenπ2 Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:

Z49=7cos900+isen900=7cos 900+k∙36002+isen 900+k∙36002 Z491 k=0=7cos 900+0∙36002+isen 900+0∙36002 10. Z491 k=0=7cos450+isen450=7(0.707106781+0.707106781i) cos450=0.707106781=0.7071067812=0.5=12=12 =12 y sen450=0.707106781=12 ∴

35

Z491 k=0=712+12i=72+72i Veamos la simplificación de 72 72=22∙72=2722=2∙72∙2=144=142 10. Z491 k=0=142+142i Z492 k=1=7cos 900+1∙36002+isen 900+1∙36002 Z492 k=1=7cos2250+isen2250 cos2250=-0.707106781=-0.7071067812=-0.5=-12=-12=-12 y sen2250=-0.707106781=-12 ∴ 10. Z492 k=1=7-12-12i=-72-72i=-142-142i Las dos raíces son:

10. Z491 k=0=7cos450+isen450=142+142i primer cuadrante 10. Z492 k=1=7cos2250+isen2250=-142-142i tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,

2250-450=1800

Resolvamos en radianes las dos raíces:

Z49=Z6=7i =7cosπ2+isenπ2 Z49=7cosπ2+isenπ2=7cos π2+k∙2π2+isen π2+k∙2π2 Z491 k=0=7cos π2+0∙2π2+isen π2+0∙2π2 10. Z491 k=0=7cosπ4+isenπ4 primer cuadrante Z492 k=1=7cos π2+1∙2π2+isen π2+1∙2π2 Nota: 22∙2π=4π2 Z492 k=1=7cos π2+4π22+isen π2+4π22=7cos 5π22+isen 5π22 10. Z492 k=1=7cos5π4+isen5π4 tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen, 5π4-π4=π Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800 ∴ 450∙π1800=450∙π1800=π4, 2250∙π1800=2250∙π1800=5π4 11. Demuestre que si

Z7=-4 al calcular la raíz cuadrada se obtiene:

11. Z501 k=0=2cos900+isen900=2i=2cosπ2+isenπ2

36 11. Z502 k=1=2cos2700+isen2700=-2i=2cos 3π2+isen 3π2 12. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:

Z2 donde Z2=-1+3i

se tiene que Z2=-1+3i=2cos1200+isen1200=2cos2π3+isen2π3 ∴ Z51=Z2=-1+3i =2cos1200+isen1200=2cos2π3+isen2π3 Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:

Z51=2cos1200+k∙36002+isen1200+k∙36002 Z511 k=0=2cos 1200+0∙36002+isen 1200+0∙36002 12. Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i cos600=0.5=12 y sen600=0.866025404=0.8660254042=0.75=34=34=32 ∴ Z511 k=0=212+32i=22+232i=22+2∙32i=22+62i Veamos la simplificación de 62 62=3∙22=3∙222=3∙2∙22=3∙222=32 12. Z511 k=0=22+62i=22+32i Z512 k=1=2cos 1200+1∙36002+isen 1200+1∙36002 12. Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i cos2400=-0.5=-12 y sen2400=-0.866025404=-0.8660254042=-0.75=-34=-34=-32 ∴ Z512 k=1=2-12-32i=-22-232i=-22-2∙32i=-22-62i Se vió que 62 =32 Las dos raíces son:

12. Z511 k=0=2cos600+isen600=22+32i primer cuadrante 12. Z512 k=1=2cos2400+isen2400=-22-32i tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,

2400-600=1800


Z51=Z2=2cos2π3+isen2π3 Z51=2cos 2π3+k∙2π2+isen 2π3+k∙2π2 Z511 k=0=2cos 2π3+0∙2π2+isen 2π3+0∙2π2 Nota:2π32=2π6=π3

37

12. Z511 k=0=2cosπ3+isenπ3=20.5+0.866025404i Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i 12. Z511 k=0=212+32i=22+32i Z512 k=1=2cos 2π3+1∙2π2+isen 2π3+1∙2π2 Nota:33∙2π=6π3 Z512 k=1=2cos 2π3+6π32+isen 2π3+6π32=2cos 8π32+isen 8π32 12. Z512 k=1=2cos8π6+isen8π6=2cos4π3+isen4π3 Z512 k=1=2(-0.5-0.866025404i) Se vió que: Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2(-0.5-0.866025404i) Z512 k=1=2-12-32i=-22-32i Las dos raíces son:

12. Z511 k=0=2cosπ3+isenπ3=22+32i primer cuadrante 12. Z512 k=1=2cos4π3+isen4π3=-22-32i tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen, 4π3-π3=π Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800 ∴ 600∙π1800=600∙π1800=π3, 2400∙π1800=2400∙π1800=4π3 13. Demuestre que si

Z5=8 al calcular la raíz cuadrada se obtiene:

13. Z521 k=0=22cos00+isen00=22=22cos 0+isen 0 13. Z522 k=1=22cos1800+isen1800=-22=22cos π+isen π 14. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: -36i el valor -36i está en 2700, r=36 ∴ -36i=36cos2700+isen2700 -36i=36cos3π2+isen3π2 Z53=-36i =36cos2700+isen2700=36cos3π2+isen3π2 Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:

Z53=36cos 2700+k∙36002+isen 2700+k∙36002 Z531 k=0=36cos 2700+0∙36002+isen 2700+0∙36002

38 14. Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6(-0.707106781+0.707106781i) cos1350=-0.707106781=-0.7071067812=-0.5=-12=-12=-12 y sen1350=0.707106781=12 ∴ Z531 k=0=6-12+12i=-62+62i Se vió que:

62=32 ∴ 14. Z531 k=0=-32+32i Z532 k=1=36cos 2700+1∙36002+isen 2700+1∙36002 14. Z532 k=1=6cos3150+isen3150=6(0.707106781-0.707106781i) cos3150=0.707106781=0.7071067812=0.5=12=12=12 y sen3150=-0.707106781=-12 ∴ Z532 k=1=612-12i=62-62i 62=32 ∴ 14. Z532 k=1=32-32i Las dos raíces son:

14. Z531 k=0=6cos1350+isen1350=-32+32i segundo cuadrante 14. Z532 k=1=6cos3150+isen3150=32-32i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,

3150-1350=1800


Z53=36cos3π2+isen3π2 Z53=36cos 3π2+k∙2π2+isen 3π2+k∙2π2 Z531 k=0=36cos 3π2+0∙2π2+isen 3π2+0∙2π2 14. Z531 k=0=6cos3π4+isen3π4=6(-0.707106781+0.707106781i) Se vió que: Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6-0.707106781+0.707106781i Z531 k=0=6-12+12i=-62+62i=-32+32i ∴ Z532 k=1=36cos 3π2+1∙2π2+isen 3π2+1∙2π2 Z532 k=1=6cos 3π2+4π22+isen 3π2+4π22=6cos 7π22+isen 7π22 14. Z532 k=1=6cos7π4+isen7π4=6(0.707106781-0.707106781i) Se vió que: Z532 k=1=6cos3150+isen3150=60.707106781-0.707106781i

39 Z532 k=1=612-12i=62-62i=32-32i ∴ Las dos raíces son:

14. Z532 k=0=6cos3π4+isen3π4=-32+32i segundo cuadrante 14. Z532 k=1=6cos7π4+isen7π4=32-32i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen, 7π4-3π4=π Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800 ∴1350∙π1800=1350∙π1800=3π4, 3150∙π1800=3150∙π1800=7π4 15. Vamos a resolver la raíz cúbica de:

8

el valor 8 está en 00, r=8 ∴ 8=8cos00+isen00=8cos0+isen0 Z54=38=38cos00+isen00=38cos0+isen0 Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

Z54=38cos00+isen00=38cos 00+k∙36003+isen 00+k∙36003 Z541 k=0=38cos 00+0∙36003+isen 00+0∙36003 15. Z541 k=0=2cos00+isen00=21+0i=2 Z542 k=1=38cos 00+1∙36003+isen 00+1∙36003 15. Z542 k=1=2cos1200+isen1200=2-0.5+0.866025404i Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i ∴ 15. Z542 k=1=2-12+ 32i=-22+ 232i=-1+3i Z543 k=2=38cos 00+2∙36003+isen 00+2∙36003 15. Z543 k=2=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i Se vió que: Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i Z512 k=1=2-12-32i ∴ 15. Z543 k=2=2-12- 32i=-22- 232i=-1-3i Las tres raíces son:

40 15. Z541 k=0=2cos00+isen00=2 está en el eje x positivo 15. Z542 k=1=2cos1200+isen1200=-1+3i segundo cuadrante 15. Z543 k=2= 2cos2400+isen2400=-1-3i tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raíz. Resolvamos en radianes las tres raíces:

Z54=38cos0+isen0=38cos 0+k∙2π3+isen 0+k∙2π3 Z541 k=0=38cos 0+0∙2π3+isen 0+0∙2π3 15. Z541 k=0=2cos0+isen0=21+0i=2 Z542 k=1=38cos0+1∙2π3+isen0+1∙2π2 15. Z542 k=1=2cos 2π3 +isen 2π3=2-0.5+0.866025404i Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i=22+62i ∴ Z542 k=1=2-12+ 32i=-22+ 232i=-1+3i Z543 k=2=38cos 0+2∙2π3+isen 0+2∙2π3 15. Z543 k=2=2cos 4π3 +isen 4π3=2-0.5-0.866025404i Se vió que: Z512 k=1=2cos2400+isen2400=2-0.5-0.866025404i Z512 k=1=2-12-32i ∴ Z543 k=2=2-12- 32i=-22- 232i=-1-3i Las tres raíces son:

15. Z541 k=0=2cos0+isen0=2 está en el eje x positivo 15. Z542 k=1=2cos 2π3 +isen 2π3=-1+3i segundo cuadrante 15. Z543 k=2= 2cos 4π3 +isen 4π3=-1-3i tercer cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raíz. Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

41 π1800 ∴ 00∙π1800=00∙π1800=0, 2400∙π1800=2400∙π1800=4π3

1200∙π1800=1200∙π1800=2π3,

16. Demuestre que la raíz cúbica de 27i es 16. Z551 k=0=3cos300+isen300=332+32i=3cosπ6+isenπ6 16. Z552 k=1=3cos1500+isen1500=-332+32i=3cos 5π6 +isen 5π6 16. Z553 k=2= 3cos2700+isen2700=-3i = 3cos 9π6 +isen 9π6 17. Vamos a resolver la raíz cúbica de:

-64

el valor -64 está en 1800, r=64 ∴-64=64cos1800+isen1800=64cosπ+isenπ Z56=3-64=364cos1800+isen1800=364cosπ+isenπ Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

Z56=364cos1800+isen1800=364cos 1800+k∙36003+isen 1800+k∙36003 Z561 k=0=364cos 1800+0∙36003+isen 1800+0∙36003 17. Z561 k=0=4cos600+isen600=4(0.5+0.866025404i) Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i ∴ 17. Z561 k=0=412+32 i=42+432 i=2+23 i Z562 k=1=364cos 1800+1∙36003+isen 1800+1∙36003 17. Z562 k=1=4cos1800+isen1800=4-1+0i=-4 Z563 k=2=364cos 1800+2∙36003+isen 1800+2∙36003 17. Z563 k=2=4cos3000+isen3000=40.5-0.866025404i Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i ∴ 17. Z563 k=2=412- 32i=42-432 i=2-23i Las tres raíces son:

17. Z561 k=0=4cos600+isen600=2+23i primer cuadrante 17. Z562 k=1=4cos1800+isen1800=-4 está en el eje x negativo

42

17. Z563 k=2= 4cos3000+isen3000=2-23i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raíz. Resolvamos en radianes las tres raíces:

Z56=364cosπ+isenπ=364cos π+k∙2π3+isen π+k∙2π3 Z561 k=0=364cos π+0∙2π3+isen π+0∙2π3 17. Z561 k=0=4cosπ3+isenπ3=4(0.5+0.866025404i) Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i ∴ 17. Z561 k=0=412+32 i=42+432 i=2+23 i Z562 k=1=364cosπ+1∙2π3+isenπ+1∙2π3 17. Z562 k=1=4cos 3π3 +isen 3π3=4cos π+isen π=4-1+0i=-4 Z563 k=2=364cos π+2∙2π3+isen π+2∙2π3 17. Z563 k=2=4cos 5π3 +isen 5π3=40.5-0.866025404i Se vió que: Z511 k=0=2cos600+isen600=20.5+0.866025404i Z511 k=0=212+32i ∴ 17. Z563 k=2=412- 32i=42-432 i=2-23i Las tres raíces son:

17. Z561 k=0=4cos π3 +isen π3=2+23i primer cuadrante 17. Z562 k=1=4cos π+isen π=-4 está en el eje x negativo 17. Z563 k=2= 4cos 5π3 +isen 5π3=2-23i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raíz. Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800 ∴ 600∙π1800=600∙π1800=π3, 3000∙π1800=5π3

1800∙π1800=1800∙π1800=π,

43 18. Demuestre que la raíz cúbica de -125i es 18. Z571 k=0=5cos900+isen900=5i=5cosπ2+isenπ2 18. Z572 k=1=5cos2100+isen2100=-532-52i =5cos 7π6 +isen 7π6 18. Z573 k=2=5cos3300+isen3300=532-52i=5cos 11π6 +isen 11π6 19. Vamos a resolver la raíz cúbica de:

-1+i

-1+i tiene como argumento 1350, r=2 ∴ -1+i=2cos1350+isen1350 -1+i=2cos3π4+isen3π4 Z58=3-1+i=32cos1350+isen1350=32cos3π4+isen3π4 Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:

Z58=32cos1350+isen1350 Z58=32cos 1350+k∙36003+isen 1350+k∙36003 32=21213=21213=216=62 Z581 k=0=62cos 1350+0∙36003+isen 1350+0∙36003 19. Z581 k=0=62cos450+isen450=620.707106781+0.707106781i Se vió que: Z491 k=0=7cos450+isen450=7(0.707106781+0.707106781i) Z491 k=0=712+12i ∴ Z581 k=0=6212+12i=622+622i Vamos a simplificar 622 622=216212=216 13=1213=132=3232∙3232∙132=32∙232∙2∙2

12=22-612=2-412=2-

622=3438=342 ∴ 19. Z581 k=0=342+342i Z582 k=1=62cos 1350+1∙36003+isen 1350+1∙36003 19. Z582 k=1=62cos1650+isen1650=62-0.965925826+0.258819045i No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el

cos1650ó sen1650

Z582 k=1=1.122462048-0.965925826+0.258819045i 19. Z582 k=1=-1.084215081+0.290514555i=-1.0842+0.29051i Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.

44 Z583 k=2=62cos 1350+2∙36003+isen 1350+2∙36003 19. Z583 k=2=62cos2850+isen2850=620.258819045-0.965925826i No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el

cos2850ó sen2850

Z583 k=2=1.1224620480.258819045-0.965925826i 19. Z583 k=2=0.290514555-1.084215081i=0.29051-1.0842i Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos. Las tres raíces son:

19. Z581 k=0=62cos450+isen450=342+342i primer cuadrante 19. Z582 k=1=62cos1650+isen1650=-1.0842+0.29051i segundo cuadrante 19. Z583 k=2= 62cos2850+isen2850=0.29051-1.0842i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raíz. Resolvamos en radianes las tres raíces:

Z58=32cos3π4+isen3π4=62cos 3π4+k∙2π3+isen 3π4+k∙2π3 Z581 k=0=62cos 3π4+0∙2π3+isen 3π4+0∙2π3 19. Z581 k=0=62cos3π12+isen3π12=62cosπ4+isenπ4 Z581 k=0=62(0.707106781+0.707106781i) Se vió que: Z491 k=0=7cos450+isen450=7(0.707106781+0.707106781i) Z491 k=0=712+12i ∴ Z581 k=0=6212+12i=622+622i Se vió que: Z581 k=0=62cos450+isen450=62(0.707106781+0.707106781i) Z581 k=0=6212+12i=622+622i=342+342i ∴ 19. Z581 k=0=342+342i Z582 k=1=62cos3π4+1∙2π3+isen3π4+1∙2π3 Z582 k=1=62cos3π4+8π43+isen3π4+8π43=62cos11π43+isen11π43 19. Z582 k=1=62cos 11π12 +isen 11π12=62-0.965925826+0.258819045i No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, el cos11π12ó sen11π12

45

Z582 k=1=1.122462048-0.965925826+0.258819045i 19. Z582 k=1=-1.084215081+0.290514555i=-1.0842+0.29051i Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.

Z583 k=2=62cos3π4+2∙2π3+isen3π4+2∙2π3 Z583 k=2=62cos3π4+16π43+isen3π4+16π43 Z583 k=2=62cos19π43+isen19π43 19. Z583 k=2=62cos 19π12 +isen 19π6=620.258819045-0.965925826i Z582 k=1=1.1224620480.258819045-0.965925826i 19. Z582 k=1=0.290514555-1.084215081i=0.29051-1.0842i Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos. Las tres raíces son:

19. Z581 k=0=62cosπ4+isenπ4=342+342i primer cuadrante 19. Z582 k=1=62cos 11π12 +isen 11π12=-1.0842+0.29051i 2o. cuadrante 19. Z583 k=2= 62cos 19π12 +isen 19π6=0.29051-1.0842i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: 1200 entre cada raíz. Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800 ∴ 450∙π1800=450∙π1800=π4, 2850∙π1800=19π12 20. Vamos a resolver la raíz cuarta de:

1650∙π1800=1650∙π1800=11π12,

-16

-16 tiene como argumento 1800, r=16 ∴ -16=16cos1800+isen1800 -16=16cos π+isen π Z59=4-16=416cos1800+isen1800=416cos π+isen π Resolvamos primero en grados las cuatro raíces y después en radianes:

Z59=416cos1800+isen1800 Z59=416cos 1800+k∙36004+isen 1800+k∙36004

46 Z591 k=0=416cos 1800+0∙36004+isen 1800+0∙36004 20. Z591 k=0=2cos450+isen450=2(0.707106781+0.707106781i) Se vió que: Z491 k=0=7cos450+isen450=70.707106781+0.707106781i Z491 k=0=712+12i ∴ Z591 k=0=212+12i=22+22i Veamos la simplificación de 22 22=22∙22=2222=222∙2=224=222=2 20. Z591 k=0=2+2i Z592 k=1=416cos 1800+1∙36004+isen 1800+1∙36004 20. Z592 k=1=2cos1350+isen1350=2-0.707106781+0.707106781i Se vió que: Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6-0.707106781+0.707106781i Z531 k=0=6-12+12i ∴ Z592 k=1=2-12+12i=-22+22i Se vió que: Z591 k=0=2cos450+isen450=20.707106781+0.707106781i Z591 k=0=212+12i=22+22i =2+2i ∴ 20. Z592 k=1=-2+2i Z593 k=2=2cos 1800+2∙36004+isen 1800+2∙36004 20. Z593 k=2=2cos2250+isen2250=2-0.707106781-0.707106781i Se vió que: Z492 k=1=7cos2250+isen2250=7-0.707106781-0.707106781i Z492 k=1=7-12-12i ∴ Z593 k=2=2-12-12i=-22-22i Veamos la simplificación de -22 -22=-22∙22=-2222=-222∙2=-224=-222=-2 ∴ 20. Z593 k=2=-2-2i Z594 k=3=2cos 1800+3∙36004+isen 1800+3∙36004 20. Z594 k=3=2cos3150+isen3150=20.707106781-0.707106781i

47

Se vió que: Z532 k=1=6cos3150+isen3150=60.707106781-0.707106781i Z492 k=1=612-12i ∴ Se vió que: 20. Z594 k=3=212-12i=22-22i=2-2i ya que Z492 k=1=212-12i=22+22i=2-2i ∴ Las cuatro raíces son:

20. Z591 k=0=2cos450+isen450=2+2i primer cuadrante 20. Z592 k=1=2cos1350+isen1350=-2+2i segundo cuadrante 20. Z593 k=2= 2cos2250+isen2250=-2-2i tercer cuadrante 20. Z594 k=3=2cos3150+isen3150=2-2i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con: 900 entre cada raíz. Resolvamos en radianes las cuatro raíces:

Z59=416cos π+isen π=416cos π+k∙2π4+isen π+k∙2π4 Z591 k=0=416cos π+0∙2π4+isen π+0∙2π4 20. Z591 k=0=2cosπ4+isenπ4=20.707106781+0.707106781i Se vió que: Z491 k=0=7cos450+isen450=70.707106781+0.707106781i Z531 k=0=712+12i ∴ 20. Z591 k=0=212+12i=22+22i =2+2i Z592 k=1=416cosπ+1∙2π4+isenπ+1∙2π4 20. Z592 k=1=2cos3π4+isen3π4=2-0.707106781+0.707106781i Se vió que: Z531 k=0=6cos1350+isen1350=6-0.707106781+0.707106781i Z531 k=0=6-12+12i ∴ 20. Z592 k=1=2-12+12i=-22+22i=-2+2i Z593 k=2=416cosπ+2∙2π4+isenπ+2∙2π4 20. Z593 k=2=2cos5π4+isen5π4=2-0.707106781-0.707106781i Se vió que: Z492 k=1=7cos2250+isen2250=7-0.707106781-0.707106781i

48

Z492 k=1=7-12-12i ∴ 20. Z593 k=2=2-12-12i=-22-22i=-2-2i Z594 k=3=416cosπ+3∙2π4+isenπ+3∙2π4 20. Z594 k=3=2cos7π4+isen7π4=20.707106781-0.707106781i 20. Z594 k=3=212-12i=22-22i=2-2i Las cuatro raíces son:

20. Z591 k=0=2cosπ4+isenπ4=2+2i primer cuadrante 20. Z592 k=1=2cos3π4+isen3π4=-2+2i segundo cuadrante 20. Z593 k=2= 2cos5π4+isen5π4=-2-2i tercer cuadrante 20. Z594 k=3=2cos7π4+isen7π4=2-2i cuarto cuadrante Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con: 900 entre cada raíz. Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes. Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raíces obtenidas en grados por:

π1800 ∴ 450∙π1800=π4, 1350∙π1800=3π4, 2250∙π1800=5π4, 3150∙π1800=7π4 21. Demuestre que la raíz cuarta de 81cos3200+isen3200 es 21. Z601 k=0=3cos800+isen800=3cos4π9+isen4π9=0.52094+2.9544i 21. Z602 k=1=3cos1700+isen1700=3cos17π18+isen17π18 21. Z602 k=1=-2.9544+0.52094i 21. Z603 k=2= 3cos2600+isen2600= 3cos 13π9+isen 13π9 21. Z603 k=2=-0.52094-2.9544i 21. Z604 k=3=3cos3500+isen3500=3cos35π18+isen35π18 21. Z604 k=3=2.9544-0.52094i 22. Demuestre que la raíz cuarta de -4-3i es 22. Z611 k=0=45cos54.2170+isen54.2170=0.87435+ 1.2131i 22. Z611 k=0=45cos 0.30121π+isen 0.30121π

49

22. Z612 k=1=45cos144.220+isen144.220=-1.2131+0.87435i 22. Z612 k=1=45cos0.80121π+isen0.80121π 22. Z613 k=2= 45cos234.220+isen234.220=- 0.87435- 1.2131i 22. Z613 k=2= 45cos1.30121π+isen1.30121π 22. Z614 k=3=45cos324.220+isen324.220=1.2131-0.87435i 22. Z614 k=3=45cos1.80121π+isen1.80121π 1.6 Ecuaciones polinómicas. Las ecuaciones polinómicas con números complejos aparecen con relativa frecuencia en algunas áreas de la ciencia, es por ello que se hace necesario el estudiar este tema. 1. Resolvamos la siguiente ecuación polinómica.

Z2+2i-3Z+5-i=0 en esta ecuación a=1, b=2i-3, c=5-i Z=-b±b2-4ac2a ∴ Z=-2i-3±2i-32-415-i21 Z=3-2i±4i2-12i+9-45-i2=3-2i±4-1-12i+9-20+4i2 Z=3-2i±-4-12i+9-20+4i2=3-2i±5-12i-20+4i2 Z=3-2i±-15-8i2 Calculemos la raíz cuadrada de

-15-8i. Con la calculadora en DEG (D)

α=tan-1-8-15=28.072486940 Como α está en el tercer cuadrante

θ=1800+α

θ

θ=1800+α=1800+28.072486940=208.072486940 Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto:

r=(-15)2+(-8)2=225+64=289=17 Como

α -15-8i

x+yi=r(cosθ+isenθ) se tiene que:

-15-8i =17cos208.072486940+isen208.072486940 Z=-15-8i=17cos208.072486940+isen208.072486940 Z1 k=0=17cos208.072486940+0∙36002+isen208.072486940+0∙36002 Z1 k=0=17cos104.03624350+isen104.03624350

50 Z1 k=0=4.123105626-0.242535625+0.9701425i Z1 k=0=-1+4i Podemos ver que al usar todas las cifras significativas

a+bi fueron enteros.

Z2 k=1=17cos208.072486940+1∙36002+isen208.072486940+1∙36002 Z2 k=1=17cos284.03624350+isen284.03624350 Z2 k=1=170.242535624-0.9701425i Z2 k=1=1-4i=--1+4i ∴ Podemos ver que al usar todas las cifras significativas

a+bi fueron enteros.

Z=3-2i±-15-8i2=3-2i±(-1+4i)2 Lo anterior da como resultado dos valores de Z.

Z1=3-2i+(-1+4i)2= = 3-2i-1+4i2==2+2i2=1+i Z2=3-2i-(-1+4i)2= 3-2i+1-4i2=4-6i2=2-3i ∴ Z1= 1+i

y

Z2=2-3i son las dos raíces de la ecuación polinómica.

Para comprobar basta con sustituir las raíces en la ecuación.

Z2+2i-3Z+5-i=0 . Iniciamos con Z1= 1+i 1+i2+2i-31+i+5-i=0 1+2i+i2+2i+2i2-3-3i+5-i=0 1+2i+-1+2i+2-1-3-3i+5-i=0 1+2i-1+2i-2-3-3i+5-i=0 1-1-2-3+5+2i+2i-3i-i=0 1-1-2-3+5=0 y 2i+2i-3i-i=0 ∴ 0+0=0 Si Z2=2-3i

2-3i2+2i-32-3i+5-i=0 4-12i+9i2+4i-6i2-6+9i+5-i=0 4-12i+9-1+4i-6-1-6+9i+5-i=0 4-12i-9+4i+6-6+9i+5-i=0

numeros complejos

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