PROFESORES: VICTOR ROJAS CERNA
CEPRE – UNI
SERGIO HUARANCA TANTA
CENTRO DE ESTUDIOS PRE-UNIVERSITARIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Definición y representación ge!"trica #e$ cn%&nt #e $s n'!ers c!p$e%s( )#&$ y arg&!ent #e &n n'!er c!p$e%(
Op&est y e$ cn%&ga# #e &n n'!er c!p$e%(
Operacines entre n'!ers c!p$e%s en $a fr!a *inó!ica(
+r!a trign!"trica y e,pnencia$ #e &n n'!er c!p$e%(
Operacines cn c!p$e%s en fr!a trign!"trica y e,pnencia$(
Ptencia #e &n n'!ers c!p$e% fór!&$a #e )i.re/(
Ra01 en"si!a #e &n n'!er c!p$e%
Grafica #e cn%&nts #e n'!ers c!p$e%s(
E$ p$in!i c!p$e%( Tere!a f&n#a!enta$ #e$ a$ge*ra(
Mayo - 2008
1
complejos( y obtu"o la fórmula eiπ = −1 ( *ue relaciona las constantes más importantes de las matemáticas. )arl ,riedric/ $auss obtu"o la primera demostración correcta del teorema fundamental del álgebra en su tesis doctoral de 78:8. ;osteriormente en 7<=7 llamó a estos números 3números complejos4( y los representó geomtricamente como puntos del plano. 6a construcción de los números complejos como pares de números reales >a( b? se debe a @illiam Aamilton en 7<==.
O23ETIVOS • • • •
• • • • • • •
Identificar el conjunto de los números complejos con el plano cartesiano R 2. Representar gráficamente números complejos. Determinar el modulo y argumento de un número complejo. Determinar el opuesto y el conjugado de un número complejo e interpretarlos gráficamente. Realizar operaciones con números complejos en la forma binómica. Expresar un complejo en forma trigonomtrica y exponencial. Realizar operaciones con complejos en forma trigonomtrica y exponencial. Determinar potencias reales de números complejos utilizando la fórmula de !oi"re. Determinar e interpretar las ra#ces de números complejos $raficar regiones en el plano complejo. Establecer y aplicar el teorema fundamental del algebra.
NU)EROS CO)PLE3OS Definición(- El conjunto de los números complejos es el conjunto ( donde se /an definido dos operacionesB (a , b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) %diciónB ( a, b).(c, d ) = ( ac − bd , bc + ad ) !ultiplicaciónB
PROPIEDADES DE DE LA ADICI4N 5 DE LA )ULTIPLICACI4N EN C )6%0+0R%
% mediados del siglo &'I( el mdico y matemático italiano $irolamo )ardano publicó un libro titulado Ars Magna en el *ue se muestra un procedimiento algebraico para resol"er ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado( completando estudios pre"ios de +cipione del ,erro y -icolo ,ontana( ste último más conocido por su apodo artaglia. +in embargo( en ocasiones( como en el ejemplo clásico x 3 = 15 x + 4 ( en el *ue /ay tres soluciones reales( la fórmula obtenida incluye la ra#z cuadrada de números negati"os y )ardano pensó *ue no era aplicable a ciertas ecuaciones. 0nos treinta a1os más tarde( Rafael ombelli justificó el uso del mtodo de )ardano introduciendo los números *ue a/ora llamamos números complejos. %plicó las reglas /abituales del álgebra para operar con números de la forma a + − b y consiguió obtener las ra#ces de 3
= (a, b), Z 2 = (c, d ) y z 1 + z 2 ∈ C
+ean los números complejosB Z 1
INTRODUCCI4N
x
C = { ( x, y ) / x, y ∈ R}
%dición !ultiplicación
)C-!0%I'%
%dición !ultiplicación
%+C)I%I'%
%dición !ultiplicación
E&I+E-)I% DE6 E6E!E-C -E0RC E&I+E-)I% DE6 E6E!E-C I-'ER+C
= 15 x + 4 a partir de la fórmula de )ardano.
Durante muc/o tiempo despus del trabajo de ombelli se pensó *ue los números complejos eran una prdida de tiempo. %un*ue tambin /ubo matemáticos *ue trabajaron con ellos y los aplicaron a di"ersos campos. En el siglo &'II( %lbert $irard sugirió *ue una ecuación polinómica deber#a tener tantas ra#ces como indica su grado( *ue es lo *ue afirma el teorema fundamental del álgebra( aun*ue reconoce algunas de ellas como imposibles. Ren Descartes acu1o el trmino 3imaginarios4 para esas ra#ces *ue no son números reales. 5a en el siglo &'III( 6eon/ar Euler( gran maestro de las notaciones( fue el primero en utilizar en el a1o 7888 la notación i para la ra#z cuadrada de 97. )alculó con exponenciales y logaritmos
%dición !ultiplicación %dición !ultiplicación
%dición y !ultiplicación
Z 3
= (e, f )
z 1. z 2 ∈ C ( a, b) + (c, d ) = (c, d ) + ( a, b) ( a, b).( c, d ) = (c, d ).( a, b)
[ (a, b) + (c, d )] + (e, f ) = (a, b) + [ (c, d ) + (e, f )] [ (a, b).( c, d )].(e, f ) = (a, b).[ (c, d ).(e, f ) ] ( a, b) + (0,0)
( a, b).(1,0)
=
( a, b) ( a, b)
∀ ( a, b) ∈ C
=
∀( a, b) ∈ C ; ∃
∀ ( a, b) ∈ C
( − a,−b) ∈ C /( a, b) + ( − a, −b)
∀(a, b) ∈ C − { (0,0)} ∃ (
a a2
+ b2
( a, b).[ (c, d ) + (e, f )] = ( a, b).( c, d ) + (a, b).(e, f )
,
−b ) ∈ C /(a + b2
a2
0n conjunto no "ació en la con dos operaciones *ue gozan de las propiedades anteriormente mencionadas es denominado cuerpo. ;or lo tanto concluimos *ue los números complejos forman un cuerpo. z 1 = (3,−2) ; z 2 = ( −4,5) ; z 3 = (0,2) Ejm. +eanB Efectúe las siguientes operacionesB 2
+ z 2
b? z 1. z 2
z 1. z 2 z 3
e? z 1 ( z 2
a? z 1 d?
c? z 1 + z 2 +
+ z 3
Re( z1) = Re( z2 ) : a = c z1 = z2 ↔ Im( z1 ) = Im( z2 ) : b = d
z 3 )
LOS NU)EROS REALES CO)O SU2CON3UNTOS DE LOS N6)EROS CO)PLE3OS Es posible establecer una correspondencia uno a uno >bisección? entre el conjunto de los números reales R y el número complejo ( a ,0) . Es decirB a → ( a,0)
REPRESENTACION GEO)ETRICA DE UN N6)ERO CO)PLE3O )omo los números complejos son pares ordenados( entonces podemos efectuar una representación de los mismos en un plano cartesiano rectangular. En esta representación se le denomina eje real >Re? al eje de las x y eje imaginario >Im? al eje de las y. %l plano R 2 se le llama ;lano )omplejo( siempre *ue se consideren sus puntos como números complejos.
b → (b,0) %demás esta correspondencia preser"a la suma y la multiplicaciónB a + b → ( a,0) + (b,0) a.b → ( a,0).(b, 0) En matemática esta correspondencia uno a uno *ue preser"a las operaciones se llama isomorfismo. De esto podemos considerar *ue los números reales están contenidos en los números complejos. %demás esto nos permite identificar al número complejo >a( ? con el número real aB ( a ,0 ) = a
)4DULO DE UN N6)ERO CO)PLE3O Definición(- +ea el número complejo z G >a( b?( entonces el modulo de z se denota por z
El número complejo (0,1) es llamado 0nidad Imaginaria y es representado por el s#mbolo i . 6a propiedad notable *ue el número i satisface es la siguienteB
i %demásB i
−4
=1
En general si n
i
0
i
−1
=
(0,1).(0,1) 1
=1
i
= −i
i
=
( −1,0)
=i
−2
= −1
3
i
−3
= −i
i4
=
a2
+
b2
De la figuraB
arg( z )
= −1
i
y
ARGU)ENTO DE UN N6)ERO CO)PLE3O Definición(- +ea z G >a( b? ∈ z − { (0,0)} ( entonces un argumento de z( denotado por arg >z?( es lla medida del ángulo de inclinación del "ector >a( b?.
UNIDAD I)AGINARIA
2
z
se define como la distancia de z al origenH es decirB
=1
=i
= θ
cosθ
a
=
z
b
=
z senθ
b a
θ = arctg
∈ F( entoncesB
i 4n i4 i
=1
n+1
4n+2
i4
n +3
=
i
El argumento principal de z G >a( b? es el "alor de arg( z ) = θ ( tal *ue 0 ≤ θ < 2π . Ejm. Determine el modulo y un argumento de los siguientes números complejosB a/ ( 2,2) */ (−1, 3 ) c/ ( −4,−4 3 )
= −1 = −i
REPRESENTACION CLASICA DE LOS NU)EROS CO)PLE3OS z = ( a, b)
(a,0) + (0, b) = ( a,0) + (b,0).(0,1) a es llamado la parte realB Re >z? y b la parte imaginaria del complejoB Im>z? =
=
OPUESTO DE UN N6)ERO CO)PLE3O +i z = ( a, b) es un número complejo( entonces el opuesto de z ( se denota por define por − z = ( −a, −b )
a + bi
CO)PLE3OS IGUALES +ean los números complejosB z 1
− z y se
CON3UGADO DE UN N6)ERO CO)PLE3O
= ( a, b) y z 2 = (c, d ) ( entoncesB
+i z = ( a, b) es un número complejo( entonces el conjugado de z ( se denota por define por z = ( a,−b)
3
z
y se
>(-
z
7(-
=
z
z es un complejo real
↔
z + z
Re( z ) =
Im( z )
2 z − z
=
2i
De!stración 8(+ean )ULTIPLICACI4N DE UN N6)ERO REAL POR UN CO)PLE3O +ean el número real α ( a, b)
PROPIEDADES DEL )ODULO ∀ z , z 1 , z 2 ∈ C : z ≥ 0 ; z = 0 ↔ 8( z 1 . z 2 = z 1 z 2 9(-
α y el complejo z = (a, b) ( entoncesB
=
(α ,0).( a, b)
=
(α a − 0b, α b + 0a)
=
(α a, α b)
SUSTRACCI4N 5 DIVISION DE NU)EROS CO)PLE3OS Definición(- +ean z y w dos números complejos cuales*uiera. 6a diferencia de z y w >en ese orden? se denota por z − w y se define como la suma de z con el elemento in"erso
w . Es decirB z − w = z + (− w) Definición(- +ean z y w dos números complejos con
z 1
:(-
z 2
aditi"o de
denota por
z w
w ≠ 0 . El cociente de z y
;(-
w se
y se define como el producto de z con el elemento in"erso multiplicati"o de
z
= z .w
w z 1 = (1,2) y z 2
+eaB
= ( −2,3) . )alculeB
b?
z 1 z 2
z 1 z 1 = z 2 z 2 z n
=
z =
n
( z )
n
; z 2
z 1
≤
+ z 2 ≤
=
z . z
−
=
; ∀n ∈ Z
+
∧n ≥
z
z 1
+
z 2
>Desigualdad triangular?
≥ z 1 − z 2 =
z
z
z
2
≠ (0,0)
; ∀n ∈ Z +
z 1 z 2
z = z
4
=
2
≤ z
z 1 − z 2 z
(0,0)
; ∀n ∈ Z +
z
n
≠
0
De!stación 9(-
7(-PROPIEDADES DE LA CON3UGADA ∀ z , z 1 , z 2 ∈ C : 8( z 1 + z 2 = z 1 + z 2 9( z 1 − z 2 = z 1 − z 2 :( z 1 . z 2 = z 1 .z 2
<(=(-
( z )
Re( z )
>(7(?(?(-
−1
a? z 1 − z 2
;(-
=
Im( z )
. Es decirB
Ejm.
n
; z 2
z 2
z n
<(=(-
w
z 1
=
z =
(ac − bd ) 2
+ (bc + ad )
2
z .w = r 1 r 2 (cos( ϕ + α ) + isen(ϕ + α )) 6as demostraciones de 9(- y :(- se dejan como ejercicio. Ejm. a/ Expresar en su forma polar los siguientes números complejosB
i/ z 1 = ( 2,2) 6a forma binómica( rectangular o estándar del número complejo z = ( a, b) es( según lo tratado anteriormenteB z = a + bi Ejm. Expresar en forma rectangula r los números complejos z = (3,4) H w = ( −2,5) y efectuar en dic/a forma las siguientes operacionesB
*/
z + w
z − w
c/ z .w
#/
z w
e/
. .
w
θ B z
+OR)A TRIGONO)ETRICA O POLAR DE UN N6)ERO CO)PLE3O θ B
es un argumento de z !ódulo de z z = (a, b) = a + bi = r cosθ + ( rsenθ )i ;or lo tantoB z = r (cos θ + isenθ ) Es la llamada forma trigonomtrica o polar del número complejo zH la cual se denota z = rcis (θ ) comúnmente porB Cperaciones en la forma trigonomtricaB +eanB z = r 1 (cosϕ + isenϕ ) ; r 1 > 0 =
8(9(:(-
r 2
w n
z
=
r 1 r 2
= r 1
>0
(cos(ϕ − α ) + isen (ϕ − α )) n
es un argumento de z !ódulo de z
= (cos θ , senθ ) = cos θ + isenθ >,ormula de Euler? z = r (cos θ + isenθ ) = re iθ e iθ
=
z .w = r 1 r 2 (cos( ϕ + α ) + isen(ϕ + α )) z
(−4,−4 3 )
Es la f orma exponencial del número complejo z. ;ropiedadesB z z z + z 8(e 1 .e 2 e 1 2 ; z 1 , z 2 C
r B
w = r 2 (cos α + isenα ) ;
z 3 =
r B
=
+i definimosB
Dado el número z ∈ C − { (0,0)} H dondeB z
iii/
3)
z ∈ ) { (0,0)} H dondeB
Dado el número z w
= ( −1,
i./ z 4 = (0, −5) a/ Efectuar en forma polar las siguientes operacionesB z 4 z 2 i/ z 1 z 2 ii/ iii/ z 3 z 4 i./ z 1 z 4 +OR)A EBPONENCIAL DE UN N6)ERO CO)PLE3O
+OR)A RECTANGULAR @ 2INO)ICA DE UN N6)ERO CO)PLE3O
a/
ii/ z 2
9(-
e − z =
:(;(8(9(:(;(-
e z
(cos(nϕ ) + isen(nϕ )) ; ∀n ∈ Z
z
e
≠
; i
Si : z = e θ
∀ z ∈ C
→
z
;
Si : r
Si : r 1
z w
z .w = r 1r 2 (cos ϕ cosα + i cosϕ senα + isenϕ cos α + i 2 senϕ senα )
z
n
=
→ z = r
> 0 ∧ z = re → z = re − θ iθ
> 0,
r 2
i
> 0,
r 1 r 2
= r 1e
,
w
= r 2e α entoncesB i
e i (θ −α )
r 1 e
i ( nθ )
; n ∈ Z z = e a +bi = e a (cos b + isenb)
Si : z = a + bi → e
e
5
z
iθ
= r 1 r 2 e i (θ +α )
n
=
∀k ∈ Z
=1
Si : r > 0 ∧ z = re iθ
De!stración z .w = r 1 r 2 (cos ϕ + isenϕ )(cos α + isenα ) 8(-
z .w = r 1 r 2 (cos ϕ cos α − senϕ senα + i (cos ϕ senα + senϕ cos α )
0
∈
∀ z ∈ C
;
z
e
= 1 ↔ z = 2k π i
z .w
<(-
∀
1
z
= e
Re( z )
= e
a
Ejm.
PROPIEDAD DE LAS RAICES i/ 6as ra#ces ensimas de z = re iθ ( tienen el mismo modulo r 1 / n y se encuentran sobre una circunferencia con centro en el origen y radio r 1 / n y se /allan igualmente espaciadas 2π / n radianes( ocupando los "rtices de un pol#gono regular de n
b = arg(e z ) a/ Expresar en su f orma exponencial los siguientes números complejosB i/ z 1 = ( 2,2) ii/ z 2 = ( −1, 3 ) iii/ z 3 = (−4,−4 3 )
i./ z 4 = (0,−5) */ Efectuar en forma exponencial las siguientes operacionesB z 4 z 2 i/ z 1 z 2 ii/ iii/ z 3 z 4 i./ z 1 z 4 POTENCIA DE UN N6)ERO CO)PLE3O +OR)ULA DE )OIVRE/ +abemos *ue si z
Ejm.
+iB
n
θ + 2k π θ + 2k π ;k = 0,1,2,......,(n − 1) = r 1 / n cos + isen n n θ 1/ n +i k = 0 ( obtenemos w0 = r CIS H llamada ra#z ensima principal. n iii/ 6a suma de todas las ra#ces ensimas de z ∈ C − { (0,0)} es cero. ii/ EnB wk
∈ ) y n∈ FB
z = (re ) = r e θ = r (cos( nθ ) + isen(nθ )) En particular si n G 7B e i ( nθ ) = (cos θ + isenθ ) n = (cos(nθ ) + isen(nθ )) iθ
n
lados.
n
i(n )
n
z 1 = ( 2,2)
a/
= ( −1,
z 2
8 z 1
*/ z 2
Ejm.
Aallar
5
1 2 k π
>,ormula de !oi"re?
5
3 ) H /allarB
1=e
K =
6
5
i
2k π = cis 5
0, 1, 2, 3, 4
RAÍ DE UN N6)ERO CO)PLE3O +eanB z y w ∈ z − { (0,0)} ; n ∈ Z ∧ n n
z
≥2
= w ↔ w = z n
CON3UNTOS ESPECIALES DE N6)EROS CO)PLE3OS( INTERPRETACI4N GEO)ETRICA
+eanB w = ρ e iα ra#z ensima de z = re iθ EntoncesB De dondeB
= re iθ ρ n e inα = re iθ ρ n = r ↔ ρ = r 1 / n inα = e iθ ↔ nα = θ + 2k π ; e iα
( ρ e )
n
α =
θ + 2k π n
+ea z = ( x, y ) = x + iy ( dondeB θ = arg( z ) Entonces describiremos algunos conjuntos de complejos *ue resultan de relaciones entre módulos( argumentos( Re >z?( Im >z?(..etc. k ∈ Z
;
k
∈ Z
;or lo tanto las 4n4 ra#ces deB z = re iθ ( se obtienen mediante la siguiente relaciónB (θ + 2 k π ) i
Es decirB
wk
= r
wk
θ + 2k π θ + 2k π + isen = r 1 / n cos n n
1/ n
e
)omprobar *ue es suficiente tomar de J( se repiten las ra#ces.
n
k =
0,1,2,........,
;k = 0,1,2,....
n − 1 ( pues para todo otro
"alor
6
8(-
A = { z ∈ C / z
9(-
B
=
r , r > 0}
= { z ∈ C / z − z 0 = r , r > 0, z 0 fijo}
:(-
;(-
C = { z ∈ C / z − z 0
D = { z ∈ C / z − z 0
≤ r , r > 0, z 0 fijo} G
= { z ∈ C / α ≤ arg( z ) ≤ β }
7(-
= { z ∈ C / α < arg( z − z 0 ) < β }
?(-
! = { z ∈ C / Re( z ) ≥ k }
8@(-
" = { z ∈ C / Im( z ) < k }
> r , r > 0, z 0 fijo}
<(-
E = { z ∈ C / r 1
=(-
F = z ∈ C / arg( z ) =
>(-
≤ z ≤ r 2 , r > 0}
π
3
7
EL POLINO)IO CO)PLE3O
+ea z ∈ C ( entonces un polinomio definido sobre el conjunto de los números complejos tiene la formaB
= a n z n + a n −1 z n − 1 + ......... + a1 z + a 0 DondeB n ∈ " es el grado del polinomio # ( z )
ai ∈ C son los coeficientes complejos
z admite "alores complejos TEORE)A +UNDA)ENTAL DEL ALGE2RA
= a n z n + a n −1 z n − 1 + ......... + a1 z + a 0 sobre el campo de los complejos( tiene exactamente n ra#ces( algunas de las cuales se pueden repetir y # ( z ) odo polinomio # ( z )
puede ser expresado de la formaB # ( z ) = a n ( z − r 1 )( z − r 2 )............( z − r n )
TEORE)A odo polinomio con coeficientes reales puede ser escrito como una constante real multiplicada por un producto de factores lineales y de factores cuadráticos irreductibles( todos ellos con coeficientes reales.
TEORE)A
+i un polinomio con coeficientes reales tiene como ra#z al número complejo z ( entonces tambin es ra#z de dic/o polinomio.
z
TEORE)A odo polinomio con coeficientes reales y de grado impar tiene por lo menos una ra#z real.
TEORE)A +i un polinomio con coeficientes racionales tiene como ra#z a + b ( donde a y b racionalesH entonces a − b tambin es ra#z del polinomio.
b
es irracional(
Ejm. a? b? c? d?
Dado el polinomio # ( x)
5
= x +
x − 1 . Determine el número de ra#ces
complejas.
8
