Matematicas Numeros Complejos (by Carrascal)

Iñaki Carrascal Mozo. Números complejos. Problemas de Yahoo! Respuestas – v1.3 - 07/02/2013

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v1.0: 03/12/2012. Última actualización: v1.3: 07/02/2013 Autor Título del documento de

Iñaki Carrascal Mozo

Matemáticas

Números complejos

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Enlace (Link) del documento

http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal

http://www.scribd.com/doc/115742990/Matematicas-Numeros-Complejos-by-Carrascal

Puesto 3º en “Los mejores de Física”. 93 % Mejor Respuesta. 79 fans. Nivel 7. 25.680 25.680 puntos. 1759 preguntas (07/02/2013)

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El 11 de octubre de 2012 me hice miembro de Yahoo! Respuestas y me puse a resolver ejercicios que planteaba la comunidad. Me gustaba el planteamiento de que alguna duda que tuviera alguien pudiera resolverla uno o varios compañeros a través de internet. En (exactamente) un mes alcancé el Nivel 6 (superando los 10.000 puntos). Y en (justamente) dos meses he superado los 17.000 puntos y me he colado hasta el 3º puesto de los “Mejores de Física” . Desde el 07 de febrero de 2013 ocupo el Nivel 7. Soy “ Colaborador destacado ” en Física, Matemáticas e Ingeniería (y también lo fui en Software ). Desde el 23 de noviembre estoy entre los 10 primeros puestos de “Los mejores de Física”, el 03 de diciembre ocupé el 7º puesto, el 15 de diciembre el 5º lugar y el 07 de febrero de 2013, el tercer puesto. He alcanzado un 93 % de Mejor Respuesta . A fecha 07/02/2013 llevo contestadas 1759 preguntas, con 25.680 puntos (nivel 7), tengo un 93 % de Mejor Respuesta, ocupo la 3ª posición de “Los Mejores de Física” y tengo 79 “fans” . A continuación presento unas cuantas preguntas de Yahoo! Respuestas que yo mismo resolví, con la fecha en que lo hice. En la mayoría de ellas he respetado la pregunta original. Quizá haya corregido alguna falta de ortografía o mejorado un poco el enunciado para hacerlo mas claro. Con el tiempo iré ordenando los ejercicios por orden de dificultad creciente. Aunque muchos problemas pueden resolverse de otra forma, creo que las respuestas que he dado son la manera más adecuada de hacerlo, fruto de años de docencia de Física y Matemáticas a nivel universitario. Las respuestas están tal y como las respondí en su momento, con el (sencillo) editor de textos de Yahoo. He procurado poner paréntesis para clarificar las mismas. Las potencias las indico con: ^ (5^4); la raíz cuadrada, con ^(1/2), con SQRT o con “raiz” (ej. raiz (2) = 2^(1/2)); la integral como “integral”. No puedo emplear subíndices (ej. radio de la Tierra: RT; épsilon sub o)... Si alguna de las respuestas es incorrecta, que puede, pues todos somos humanos y de vez en cuando nos confundimos, podéis comunicármelo por correo electrónico: fí[email protected] . Revisaré mi respuesta y la que me indiquéis y la corregiré si es necesario. El 18/11/2012 me agregué al foro100cia y el 09/12/2012 al Grupo de Facebook Ayudémosnos en matemáticas por lo que también he incluido mis respuestas a ejercicios que he resuelto a través del foro o de Facebook. Tras este pequeño prólogo, indico las fórmulas más usuales que aparecen en el tema. Con el tiempo quizá explique cómo usarlas y cómo resolver determinados “problemas modelo”. También señalo otras secciones relacionadas con el capítulo que estamos estudiando con su enlace al documento de Scribd correspondiente. Siempre podéis recurrir a mi página web para consultar mas fórmulas y datos: http://www.carrascal.net46.net/físicas/ y a Wikipedia: http://es.wikipedia.org/ . Podéis difundir este documento entre vuestros compañeros. Respetad, eso sí, el formato del mismo, su autoría y la marca de agua con mi foto. ¿A que molo de pequeño? Este documento se estará actualizando continuamente por lo que es recomendable que consultéis la última versión (actualizada con nuevos ejercicios) desde mi perfil en Scribd: http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal Gracias a quienes habéis preguntado y respondido también. Un saludo a todos y espero que estos problemas os puedan servir en vuestros estudios. Iñaki Carrascal Mozo. Desde Castrillo de Don Juan, un pequeño pueblo de Palencia (España) Si queréis visitar mi pueblo, echad una ojeada a mi web: http://www.castrillodedonjuan.netai.net/

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Fórmulas de números complejos i2 = -1; i = √ −1 Forma binómica: z = a + i b donde a es la parte real y b la parte imaginaria Forma polar: r θ, donde r es el módulo y θ el argumento Paso de binómica a polar :

{

r = √ a + b 2

2

b Paso de polar a binómica : θ= arctan a

{ ==

x rcos θ y rsin θ

Forma trigonométrica y exponencial: z =a + i b =r θ =r cos (θ)+ i r sen (θ)= r e i θ Complejo conjugado: z* = a - i b Fórmula de Euler: e i θ=cos (θ)+ i sen (θ) Operaciones con números complejos Sean z 1 = a1 + i b1 = r 1 [θ 1 ] ; z 2 = a2 + i b2 = r 2 [θ 2 ] – Suma (en binómica): z 1 + z 2 = a1 + a2 + i (b1 + b2 ) – Diferencia (en binómica): z 1 - z 2 = a1 - a2 + i (b1 – b2 ) – Producto (en polar): z = z 1 · z 2 =r 1 · r 2 [ θ1 +θ 2 ] z

r

z 2

r 2

1 – Cociente (en polar): z = =

1

[θ1 −θ2 ]

Mis respuestas a las preguntas de Yahoo! Respuestas v 1.3 (07/02/2013. 13 preguntas) Pregunta 01. Resuelta el 28/11/2012

¿Cuál es la aplicación de los números complejos en la ingeniería y la telecomunicación? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Fundamentalmente los vas aplicar al resolver problemas de circuitos en corriente alterna, con resistencia, condensadores, autoinducciones. Operarás con números complejos, sumas, productos y cocientes... pasarás continuamente de forma polar a binómica y viceversa. -A la resistencia R le asociaremos un numero complejo real, que es el valor de la propia resistencia R -A una autoinducción L le asociaremos el numero complejo imaginario puro positivo, j w L (normalmente para no confundirla con la intensidad, la unidad imaginaria se designara por j en vez de con i) -A un condensador el numero complejo imaginario puro negativo, -j / (w C) En serie la impedancia equivalente es la suma de impedancias (complejas) y en paralelo haremos 1 / Z = 1 / Z1 + 1/ Z2 + ... Pregunta 02. Resuelta el 16/12/2012

¿Números complejos forma polar a rectangular y sus sumas en paralelo y serie ? Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


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Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Paso de forma polar a binómica Sea z = ro angulo theta (forma polar) en forma binómica: z = a + b i donde a = ro · cos theta b = ro · sen theta Paso de binómica a polar Sea z = a + b i , entonces ro = raiz (a^2 + b^2) theta = arc tg (b/a) Suma de complejos. En forma binómica: Sea z1 = a1 + b1 i y z2 = a2 + b2 i z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2) Si aplicas a circuitos con impedancias, - en serie, la impedancia equivalente es la suma de impedancias: z = z1 + z2 + ... - en paralelo, la admitancia (inversa de la impedancia) es la suma de admitancias : 1/z = 1/z1 + 1/z2 + ... Pregunta 03. Resuelta en octubre de 2012

¿La raíz cúbica de 64? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (10) Respuesta 3 La raiz cúbica de 64 proviene de la solución de la ecuación x^3 = 64, que al ser de tercer grado tiene TRES soluciones. No se si has visto o no números complejos. Deberías señalar el nivel que tienes en la pregunta. Una solución real es x = 4 (pues 4^3 = 64), pero hay otras dos soluciones complejas que son (en forma polar): 4 ángulo 120º y 4 ángulo 240º o en forma binómica: 4 (cos 120º + i sen 120º) ; 4 (cos 240º + i sen 240º) que se pueden simplificar teniendo en cuenta los valores del seno y el coseno de 60 (raiz de 3 entre 2 y 1/2 respectivamente) Pregunta 04. Resuelta el 28/11/2012

¿Cual es la raíz cuarta de 160? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (6) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


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160 = 16 · 10 raiz cuarta (160) = raiz cuarta (16 · 10) = raiz cuarta (2^4 · 10) = + - 2 raiz cuarta (10) = + - 3,56 (con dos decimales) Tenemos dos soluciones reales una positiva x1 = + 2 raiz cuarta (10) = + 3,56 (con dos decimales) y otra negativa x2 = - 2 raiz cuarta (10) = - 3,56 (con dos decimales) y además otras dos soluciones complejas conjugadas (en concreto: +3,56 i y -3,56 i, siendo i la unidad imaginaria i^2 = -1) , pues una raiz cuarta tiene CUATRO SOLUCIONES. En el cuerpo de los números reales serían +3,56 y -3,56 (repito, ajustada a dos decimales). Pregunta 05. Resuelta el 08/12/2012 ¿pasa de forma binómica a polar?

Modulo 1 argumento 72 grados ; Modulo 1 Argumento 144º ; Modulo 1 argumento 216º Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Para pasar el número complejo de forma polar z = ro angulo theta a binómica z = a + b i (pero no lo que tú pones en el enunciado, tú quieres pasar de forma polar a binómica, pero lo has escrito mal) a = ro · cos theta b = ro · sen theta z1 = 1 L 72º La "L" es para separar el módulo del argumento. a = 1 cos 72º = 0,31 b = 1 sen 72º = 0,95 Con lo que el número complejo es z1 = 0,31 + 0,95 · i (he ajustado el resultado a dos decimales y lo he hecho con la calculadora, claro). Los otros dos ejercicios son IGUALES. z2 = 1 L 144º = 1 cos 144º + i 1 sen 144º = -0,81 + 0,59 i z3 = 1 L 216º = 1 cos 216º + i 1 sen 216º = -0,81 - 0,59 i Pregunta 06. Resuelta el 01/11/2012

Determinar los números complejos z distinto de 0 que satisfacen la condición de que z + 1/z pertenezca a R. Representar en el plano el conjunto de los puntos cuyo afijo verifica esta condición. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Sea z = x + i y el número complejo, con x e y reales z + 1/z = (z^2 + 1) / z = ( (x + i y)^2 + 1) / (x + i y) multiplicamos y dividimos por el complejo conjugado del denominador: (x^2 + 2 x y i - y^2 + 1) ( x - i y) / (x^2 + y^2)



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para que sea real, la parte imaginaria del complejo anterior debe ser nula (tomaré la parte imaginaria del numerador = 0) - y (x^2 - y^2 + 1) + 2 x^2 y = 0 de donde una solución es y = 0 (lógico el número z sería x -real directamente-), si lo representamos sale la recta y = 0 (eje x) la otra solución es -x^2 + y^2 - 1 + 2 x^2 = 0 de donde x^2 + y^2 = 1 (que si lo representamos en el plano complejo sale una circunferencia de centro el origen y radio 1) Pregunta 07. Resuelta el 01/12/2012

1- Calcula m y n para que se cumpla la igualdad (4m-2i) / (3+ni) = 6-2i 2- La suma de dos números complejos es 3+i la parte real de uno de ellos es 2. Determina dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro 3- La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el modulo de uno de ellos es 5. Calcula ambos números Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (3) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1) 4 m - 2 i = (6 - 2i) · (3 + ni) 4 m - 2 i = 18 + 6 ni - 6 i + 2 n pues i^2=-1 iguala parte real e imaginaria 4 m = 18 + 2 n -2 = 6n -6 de donde n =2/3 m = 29/6 2) z1 = 2 + a i z2 = b + ci z1 + z2 = 3 + i 2 + b + (a+c)i = 3 + i de donde 2 + b = 3, b = 1 a+c =1 de momento: z1 = 2 + a i z2 = 1 + (1-a) i Real (z2 / z1) = 0 (al se imaginario puro) haciendo el cociente (multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador), e igualando la parte real a cero, llegamos a que 2 + a - a^2 = 0 de donde a = -1 y 2 por lo que z1 = 2 - i y z2 = 1 + 3 i o bien z1 = 2 + 2 i y z2 = 1 - i 3) z1 = a + b i z2 = a - bi (al ser complejo conjugado) a + a = 6, luego a = 3 z1 = 3 + bi Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


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modulo z1 = 5 = raiz (3^2 + b^2) de donde b = +4 ó b = -4 Los números son 3+ 4i y 3 - 4i Pregunta 08. Resuelta el 08/12/2012

Si z1 = 27210 º, z2 = 350 º y z3 = 172 º se pide: a) Calcular la forma polar de los complejos z1 · z2, z1 / z2 y z1 · (z2) 3 y explicar si alguno de ellos es un número real. b) Representar gráficamente los complejos z3, (z3) 2, (z3) 3, (z3) 4 y (z3) 5, explicando qué forman sus afijos. c) Comprobar que el número complejo w = 370 º es una raíz cúbica de z1 (lo cual, si os fijáis bien, no pide, en absoluto, saber calcular raíces cúbicas) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No entiendo los números complejos que escribes, separa el módulo del argumento. Voy a interpretarlos así: z1 = 27 L 210º z2 = 3 L 50º z3 = 1 L 72º La "L" es para separar el módulo del argumento del numero complejo a) z1 · z2 = ro1·ro2 L (theta1 + theta2) z1 · z2 = 27·3 L (210 + 50) = 81 L 260º z1 / z2 = ro1 / ro2 L (theta1 - theta2) z1 / z2 = 27/3 L (210 - 50) = 9 L 160º (z2)^3 = ro2^3 L (3 · theta2) (z2)^3 = 1^3 L (3·72º) = 1 L 216º b) lamento que no pueda hacerte el dibujo con este editor de textos de Yahoo! c) podemos comprobar que w^3 = z1 (3 L 70º)^3 = 27 L 210º, ves como corresponde? Pregunta 09. Resuelta el 29/12/2012

Calcula el valor de z^6, sabiendo que ......-1+?3i z= ----------........2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. en forma polar -1 + raiz 3 i es modulo: r = raiz (1 + 3) = 2 tan theta = -raiz 3, de donde theta = 120º z^6 = [(2 angulo 120º) / 2]^6 = (2/2)^6 angulo 6·120º



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6·120º = 720º que equivalen a 0º luego z^6 = 1 angulo 0º = 1 Recuerda que en forma polar en muy sencillo hacer la potencia de un numero complejo (ro angulo theta)^n = modulo (ro^n) angulo (theta·n) Pregunta 10. Resuelta el 29/12/2012

¿Cuál es el módulo y el argumento del número complejo z=1- i/(1+i/(1-i/(1+i))) ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. A mi me sale z = 0. A ver cómo lo ponemos aquí: empecemos por abajo del todo 1 - i/(1+i) = (1 + i - i) / (1 + i) = 1 / (1 + i) por lo que i/(1-i/(1+i)) = i / [1 / (1 + i)] = i (1 + i) = i - 1 1+i/(1-i/(1+i)) = 1 + i - 1 = i por lo que quedará: z=1-i/i=1-1=0 Pregunta 11. Resuelta el 31/12/2012

Necesito saber como representar en una gráfica los siguientes números complejos: ------> {z e(perteneciente) C / |z-2i|<= 1} ------> {z e C / z z(conjugado) > 4} ------> {z e C / |z-3i| = 4} Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No puedo hacerte la gráfica, pero te lo indico: 1) Puntos interiores a la circunferencia de centro el punto (0, 2) y radio 1 incluyendo el "borde" de la circunferencia. En el eje x se representa la parte real, y el en y la imaginaria, de ahí que el centro es el (0, 2) 2) puntos exteriores (sin el borde) a la circunferencia de centro el origen y radio 2 lo ves claramente si escribes el numero complejo como z = x + i y 3) como el primero. Circunferencia (el borde solo) de centro el punto (0, 3) y radio 4. Pregunta 12. Pregunta resuelta en diciembre (Facebook)

¿Alguien me puede ayudar a saber bajo qué condiciones el módulo de la suma de 2 números complejos es igual al módulo de la diferencia de los números? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo z1 = a1 + b1 · i , el otro, z2 = a2 + b2 · i. Haz la suma: z1 + z2= a1 + a2 + (b1 + b2) i su modulo : raiz [(a1 + a2)^2 + (b1 + b2)^2] Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 22/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal


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Haz la resta: z1 + z2= a1 - a2 + (b1 - b2) y su módulo : raiz [(a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2] iguala ambos (elevando al cuadrado) (a1 + a2)^2 + (b1 + b2)^2 = (a1 - a2)^2 + (b1 - b2)^2 al desarrollar los cuadrados se irán: a1^2, a2^2, b1^2 , b2^2 y quedará 2 a1 a2 + 2 b1 b2 = - 2 a1 a2 - 2 b1 b2 es decir 4 a1 a2 + 4 b1 b2 = 0 o sea: a1 · a2 + b1 · b2 = 0 lo que señalé en el primer comentario . Me indicaron que no resolviera el ejercicio, sino que sólo señalara cómo se hacía. Ahí está la respuesta. Ejemplo z1 = 1 + i, z2 =1 - i (vemos que cumple la condición que he deducido) z1 + z2 = 2 y su modulo: 2 z1 - z2 = 2 i y su módulo: 2 vemos que ambos soy iguales. Pregunta 13. Resuelta el 22/12/2012 (Facebook)

Como resolveríais esta ecuación en R y en C. z^2 (1 + i) - z (1 + 3 i) + 2 + 4 i = 0 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Carrascal Mozo ¿Por que no resuelves la ecuación como una ecuación de segundo grado en "z"? Con la formulas,[-b +- raiz (b^2 - 4 a c)] / (2a)


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