VII
ONDAS EN DOS Y TRES DIMENSIONES
La expresión del movimiento ondulatorio dado por interpretarse como una onda concentrada en el eje ℇ
perturbación física descrita por signica que en un tiempo
( x − vt ) ℇ=f (
no debe
x , sobre todo si la
se extiende sobre todo el espacio. Esto
t , la función
ℇ=f ( ( x − vt )
toma el mismo
valor en todos los puntos del espacio con la misma coordenada x . Esto quiere decir que
x =const representa el plano YZ de coordenadas x . Por lo
tanto, de acuerdo a la gura 1, la función ℇ f ( ( x vt ) representa =
−
una onda plana en el espacio dado por las coordenadas XYZ ! que se propaga en dirección
x ver gura 1!. "i es un despla#amiento,
+
se tiene una onda longitudinal si es paralelo a la dirección de propagación propagación o eje x $ec%ado! & se tiene una onda transversal cuando
ℇ
es
perpendicular a la dirección de propagación indicada por la $ec%a ' paralela al plano YZ !. En este ultimo caso el despla#amiento se puede expresar por la superposición de sus componentes rectangulares
T z
T y
&
.
(%ora, si
û representa la dirección de propagación &
r es el vector de ⃗
posición de cualquier punto del frente de onda onda plana! tenemos que x =rcosα =û ∙ r , & por lo tanto podemos escribir) ⃗
( û ∙ r − vt ) ℇ= f (
1!
⃗
*ualquiera que sea la dirección de
û ver gura +! la cantidad
û ∙ r es la ⃗
distancia desde el origen al frente de onda, esta es igual a la componente del vector de posición a la dirección de propagación de la onda plana.
En el caso de una onda plana armonica propagndose en la dirección û , se tiene) senk ( û∙ r −vt ) ℇ=ℇ 0
+! -onde
û= îcosα + jcosβ + kcosθ r = îx + j^ y + k^ z ⃗
(%ora deniendo el vector magnitud debe ser
k
=
2 π
λ
k =kû como el vector de propagación cu&a =
ω v , la onda plana armonica se expresa por)
ℇ=ℇ sen ( ⃗k ∙ r − ωt )= ℇ0 sen 0 ⃗
1
k =( k x + k y + k z ) 2
-onde
2
2 2
=
( k x x
+
k y y + k z z − ωt )
/!
ω2 v
0!
2
"i la propagación tiene lugar en el espacio tridimensional!, la ecuacion de onda se convierte en)
(
2
2
2
)
2
∂ ℇ ∂ ℇ ∂ ℇ 1 ∂ ℇ + + = 2 2 2 2 2 ∂x ∂ y ∂ z v ∂ t
! Las ondas planas +! & /! aunque contienen las tres coordenadas
x , y &
z realmente son monodimensionales &a que la propagacion esta en una
dirección particular & la situación física es la misma en todos los planos perpendiculares a la dirección de propagación gura /a!, pero %a& otras clases de ondas que se propagan en varias direcciones se trata de las ondas cilíndricas & esf2ricas guras /b & /c!
Puede comprobarse que estas ondas son soluciones de la ecuacion diferencial tridimensional !. En las ondas cilíndricas los frentes de onda son paralelos al eje z & se propagan perpendicularmente a este eje. (%ora cuando la perturbación se propaga en todas direcciones con la misma velocidad, el medio es 3isotrópico4 & las ondas son esf2ricas originndose desde el punto donde se genera la perturbación. 5uc%as veces la velocidad no es la misma en todas direcciones, en cu&o caso el medio se dice ser 3anisótropo4. Ejemplos de estos son un gas con un gradiente de temperatura, un solido sometido a ciertas deformaciones ó un cristal con propiedades diferentes en varias direcciones. En algunos casos la perturbación se propaga sobre una supercie, tal como en un liquido o en una membrana en donde la onda es bidimiensional, la cual para su descripcion solo requiere dos coordenadas, gura 0. La ecuacion de esta onda puede ser)
(
2
2
)
2
∂ ℇ ∂ ℇ 1 ∂ ℇ + = 2 2 2 2 ∂x ∂ y v ∂ t
6! En este caso la coordenada # no es necesaria para describir.
Ejercicio) −2
La ecuacion
ℇ( r , t ) =5 x 10 ⃗
(
1
6
)
sen 3 x + 2 y + z −7 x 10 t 2
con unidades del ".7.
representa una onda armonica plana. Encuentre a! la dirección de propagación de la onda, b! la longitud de la onda, c! su frecuencia & periodo, d! la velocidad de propagación, e! gracar una onda en cualquier punto r.
ℇ=ℇ sen ( ⃗k ∙ r − ωt ) 0
Por comparación con la ecuacion
a!
se tiene)
⃗
^ ) ∙ ( xî + y ^ ^ ) =k x + k y + k z k⃗ ∙ r =( k x î + k y j^ + k z k j + z k x y z ⃗
k ∙ r =3 x + 2 y +12 z ⃗
√
()
^ =3 î + 2 j ⃗ ^ + 12 k^ k = 32+ 22+ 1 k =k x î + k y j^ + k z k
∴ α =
b!
arcos 3
√ 13.25
=
k =√ 13.25 k =
34.496 ° β =
2 π
λ
λ=
arcos 2
√ 13.25
2 π
2 π
k
√ 13.25
=
=
2
2
=
56.671 ° θ =
= 1.726
√ 13.25
arcos 0.5
√ 13.25
=
82.105 °
6
6
c!
ω =7 x 10 T
=
ra! ω 7 x 10 = f = 2 π 2 π s 7
−
8.976 x 10
6
x 10 "z
= 1.1141
se#$n!os
6
d!
ω ω 7 x 10 6 = 1.923 x 10 k = v = = v k √ 13.25 s
e! Ondas Superfciales en Liquidos
La supercie de un liquido en equilibrio es plana & %ori#ontal. 8na perturbación produce el despla#amiento en tra&ectoria cerrada de los elementos de volumen por debajo de la supercie. Las tra&ectorias cerradas resaltan de la superposición de los desla#amientos verticales & %ori#ontales cu&as amplitudes, en general, varian con la profundidad del liquido, siendo circulares en las cercanías por debajo de la supercie & %elipticas a
distancias alejadas de la supercie. "i la profundidad del liquido es mu& grande los elementos del fondo no experimentan despla#amiento vertical.
-urante la perturbación del liquido, adems de la fuer#a de la presión atmosf2rica act9an la tensión supercial vertical %acia arriba, similar al de la cuerda! & el peso del liquido, situado por encima & debajo del nivel de liquido en equilibrio. "i las ondas superciales son armonicas su ecuacion de movimiento seria)
(
2
2
)
2
∂ ℇ ∂ ℇ 1 ∂ ℇ + = 2 2 2 2 ∂x ∂ y v ∂ t
:! *u&a velocidad de propagación esta dada por)
v=
√(
) ( )
#λ 2 π% + 2 π &λ
tanh
2 π'
λ
;! "iendo λ es la longitud de onda, tierra,
# la aceleración de gravedad de la
% es la tensión supercial sobre el liquido, & la densidad del
liquido &
' su profundidad. 8n caso mu& com9n es cuando la profundidad
' del liquido es mu& grande comparada con respecto a
%iperbolica se aproxima a 1, esto es) tanh
( ) 2 π'
λ
=
1 s(')
λ
< la velocidad de propagación es)
λ , la función
v=
√
#λ 2 π% + 2 π &λ
=! El aspecto mas interesante de esta ecuacion es que v depende de la longitud de onda >. *omo f?v>, entonces v tambien depende de la frecuencia!. (%ora si > es lo suficientemente grande como para que 2 π%
&λ
*0
Entonces v
=
√
#λ 2 π
1@!
En este caso las ondas son llamadas 3ondas de gravedad4. Esta situación indica que v es independiente de las características del liquido. (%ora, cuando, λ es mu& pequeAo, el termino que predomina 2 π%
sustancialmente es
#λ *0 & entonces) π
por lo que
&λ
v
=
√
2 π%
11!
&λ
Estas ondas son llamadas 3ondas de ri#o o capilares4. "on las que se observan en un lago quieto cuando sopla una bri#a o cuando un recipiente que contiene un liquido se somete a vibraciones de mu& alta frecuencia & pequeAa amplitud. En este caso, a ma&or λ , menor velocidad de propagación.
Btra situación de inter2s es cuando
pequeAo &
tanh
( ) 2 π'
λ
*
2 π'
&
λ
v
1+!
2 π'
=
√
λ
'≪ λ . En este caso
* 0 & entonces)
#λ 2 π' ∙ 2 π λ
=
√ #'
2 π'
λ
es mu&
< la velocidad de propagación resulta independiente de λ
( y f ) .
Cinalmente, si el movimiento ondulatorio resulta de la superposición de varias ondas armonicas de diferentes frecuencias, el medio en que estas se propagan es disperso. En este caso, la onda se distorsiona porque cada onda componente se propaga con diferente velocidad. La dispersión es mu& com9n en la propagación de ondas electromagn2ticas.
