Morfisme şi izomorfisme de grupuri Fie ( G 1 , o) şi ( G 2 , ∗ ) două grupuri. Definiţii: Funcţia f : G 1 →G 2 se numeşte morfism ( omomorfism ) de grupuri dacă: f ( x oy ) = f ( x ) ∗ f( y ), ∀ x ∈ G 1 . Funcţia f : G 1 →G 2 se numeşte izomorfism de grupuri dacă: 1. f este morfism de grupuri; 2. f este funcţie bijectivă Grupurile ( G 1 , o) şi ( G 2 , ∗ ) se numesc grupuri izomorfe şi se scrie G 1 ~ G 2 , dacă între ele există cel puţin un izomorfism de grupuri. Definiţii: Un morfism f : G → G, se numeşte endomorfism al grupului G. Un izomorfism f : G → G, se numeşte automorfism al grupului G. Mulţimea endomorfismelor unui grup se notează End(G), iar mulţimea automorfismelor lui G se notează Aut(G). Teoremă: Fie (G 1 , o) şi ( G 2 , ∗ ) două grupuri cu elementele neutre e 1 şi e 2 , şi f : G 1 →G 2 , un morfism de grupuri. Atunci : a) f ( e 1 )= f ( e 2 ) b) f ( x −1 ) = ( f (x) ) −1 , ∀ x ∈ G 1 c) f ( x n )= ( f(x)) n , ∀ x ∈ G 1 şi n ∈ Z. OBSERVAŢIE În scriere aditivă, relaţiile anterioare se scriu: f ( 0)= 0 f (-x)= - f(x), ∀ x ∈ G 1 f ( nx)= nf(x), ∀ x ∈ G 1 şi n ∈ Z Teoremă: Fie grupurile ( G 1 ,·), ( G 2 ,·) şi (G 3 ,·). Dacă f : G 1 →G 2 şi g : G 2 →G 3 sunt morfisme de grupuri, atunci h : G 1 →G 3 , h = g ◦ f este morfism de grupuri. Dacă f : G 1 →G 2 este izomorfism de grupuri, atunci : G 2 →G 1 este izomorfism de grupuri.
Demonstraţie Avem succesiv: h ( xy) = g ( f ( xy )) = g ( f ( x ) · f ( y )) = g ( f ( x )) · g ( f ( y )) = h ( x ) · h ( y), ∀x , y ∈ G 1 . Funcţia fֿ−1 : G 2 →G 1 este bijectivă. Fie y 1 şi y 2 ∈ G 2 . Deoarece f este bijectivă, rezultă că există x 1 şi x astfel ca f ( x 1 ) = y 1 şi f ( x 2 ) = y 2 . Avem: f −1 ( y 1 · y 2 )= f −1 ( f (x 1 ) · f ( x 2 ))= f −1 ( f ( x 1 · x 2 )) = x 1 · x 2 = f −1 ( y 1 ) · f −1 ( y 2 ) Deci, f −1 este izomorfism de grupuri.
2
∈ G 1,
q.e.d. Teoremă: Fie (G, o ) un grup. Atunci: a) ( End(G), o ) este monoid; b) Aut( G ), o) este grup.
