Notas de Geo I-Parte I

Notass de Geo Nota Geomet metrr´ıa I Borrador muy preliminar, no exento de erratas

Ernesto Girondo Sirvent Versi´ on del 10-02-09 on

Ernesto Girondo. Versión on del 10-02-09. Puede contener erratas

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´ Indice general I

Geometr´ıa Af´ın

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1. Espacios afines 1.1.. La defin 1.1 definici ici´ón de espacio af´ın . . . . . . . . . . . . . 1.2. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. 1. 3. Coo Coord rden enad adas as en es espa paci cios os afi afine nes. s. Re Refe fere renc ncia ias. s. . . . . 1.4. 1. 4. Ec Ecua uaci cion ones es de var variied edad ades es li line neal alees . . . . . . . . . . 1.5. 1. 5. La ra raz´ z´ o n si on simp mple le.. Teo Teore rema mass de de Men Menel elao ao y de de Cev Cevaa . 1.6. Orien Orientaci taci´ón en espacios afines re real alees . . . . . . . . 2. Afinidades 2.1.. La defin 2.1 definici ici´ón de afinidad . . . . . . . 2.2. Propie Propiedades dades básicas de las afinidades 2.3. 2. 3. Al Algu guna nass afi afin nid idad ades es impo port rtan anttes . . . 2.4. No toda toda aplica aplicaci´ ción es una afinidad . 2.5. 2. 5. M´ a s pr as prop opie ieda dade dess de las las afi afini nida dade dess . . 2.6. Afinidades y coo oord rdeenadas . . . . . . 2.7. Variedades Invar ariiantes . . . . . . . .

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9 . . . . 9 . . . . 11 . . . . 17 . . . . 27 . . . . 32 . . . . 36

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37 . . . . . . 37 . . . . . . 38 . . . . . . 41 . . . . . . 53 . . . . . . 54 . . . . . . 59 . . . . . . 63

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Ejercicios

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Problemas

71

II

75

Geometr´ıa Eucl´ıdea

3. Espacios vectoriales eucl´ıdeos y unitarios 3.1. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3. 2. Es Espa paci cios os vec ecto tori rial ales es eu eucl cl´´ıd ıdeo eoss . . . . . . . . . . 3.3. 3. 3. El ca caso so co comp mple lejo jo.. Esp Espac acio ioss vec vecto tori rial ales es un unit itar ario ioss 3.4. 3. 4. Or Orttog ogon onal aliida dad d y su sube besp spac aciios . . . . . . . . . . . 3.5. 3. 5. Pr Prooyec ecci cion ones es y sim simet etrr´ıa ıass or orto togo gona nale less . . . . . . 3.6. 3. 6. Ap Apli lica caci cion ones es ad adju jun nta tass y au auto toad adju jun nta tass . . . . . .

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79 . . . . 79 . . . . 82 . . . . 87 . . . . 88 . . . . 92 . . . . 94

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´ INDICE GENERAL

4

4. Espacios afines eucl´ıdeos. Movimientos 4.1. Norma y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ortogonalidad y variedades lineales . . . . . . . . . 4.3. Distancia entre variedades . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Aplicaciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Movimientos de la recta eucl´ıdea . . . . . . . . . . 4.7. Movimientos del plano eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . 4.8. Movimientos del espacio eucl´ıdeo tridimensional . .

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97 97 100 103 109 111 113 114 120

Ejercicios

129

Problemas

133

III

Geometr´ıa proyectiva

137

5. El espacio proyectivo 5.1. La noci´ o n de espacio proyectivo . . . . . . . . 5.2. La definició n abstracta del espacio proyectivo 5.3. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . 5.4. Operaciones entre variedades proyectivas . . . 5.5. Referencias y coordenadas proyectivas . . . . 5.6. Cambios de referencia proyectiva . . . . . . . 5.7. Ecuaciones de variedades lineales proyectivas

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141 141 144 146 149 153 156 157

6. Dualidad y teoremas cl´ asicos de incidencia 159 6.1. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2. Dos teoremas clá sicos sobre incidencia . . . . . . . . . . . . . . . 163 7. Aplicaciones proyectivas 7.1. Aplicaciones naturales entre espacios proyectivos . . . . . . . . . 7.2. Aplicaciones proyectivas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Aplicaciones proyectivas y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . .

167 167 170 173

Ejercicios

175

Problemas

177

IV

Formas cuadr´ aticas y c´ onicas

8. Formas cuadr´ aticas y c´ onicas 8.1. Formas cuadr´ aticas . . . . . 8.2. C´ onicas . . . . . . . . . . . 8.3. La circunferencia . . . . . . 8.4. Focos y excentricidad . . . .

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181 . . . .

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183 183 186 191 193

Ernesto Girondo. Versión del 10-02-09. Puede contener erratas

´ INDICE GENERAL

5

8.5. Determinación del tipo de una cónica . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.6. C´ onicas y reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Ejercicios

213

Problemas

215

Bibliograf´ıa

217


6

´ INDICE GENERAL


Parte I

Geometr´ıa Af´ın

7



Cap´ıtulo 1

Espacios afines 1.1.

La definici´ on de espacio af´ın

1.1.1 Nuestro primer objetivo es desarrollar una estructura formal que nos ´ permita usar la maquinaria del Algebra Lineal para estudiar Geometr´ıa. Algunos conceptos t´ıpicamente geométricos, como rectas, planos, etcétera, nos han aparecido ya como subespacios de espacios vectoriales. Pero un espacio vectorial tiene un punto distinguido (el origen), cuya existencia no tiene sentido desde un punto de vista geométrico. Por ejemplo, nos gustar´ıa estudiar todas las rectas y planos de R3 , pero en la estructura de R-espacio vectorial de R3 s´ olo aparecen de modo natural las rectas y planos que pasan por el origen. Necesitamos, de algún modo, ser capaces de definir una estructura que incorpore algo as´ı como “un espacio vectorial con el origen fijado donde más nos convenga”. La noción correcta es la siguiente: Definici´ on Un espacio af´ın sobre un cuerpo k es un conjunto A  = ∅, un espacio vectorial E sobre k , y una aplicación ϕ : A × A −→ E ( p, q ) −→ ϕ( p, q ) tal que: i) Para todo p ∈ A, la aplicación

ϕ p : A −→ E es biyectiva. q −→ ϕ( p, q )

ii) Para p,q,r ∈ A cualesquiera, ϕ( p, q ) + ϕ(q, r) = ϕ( p, r). La dimensi´ on de un espacio af´ın es por definición la dimensió n de E . Se conoce a E como espacio vectorial asociado al espacio af´ın A, o como espacio director o direcci´ on . Formalmente se llama espacio af´ın a la terna ( A,E,ϕ). Pero, a menudo, cuando el resto de la estructura es clara o no se quiere explicitar, se habla 9


CAP ´ ITULO 1. ESPACIOS AFINES

10

simplemente del espacio af´ın A. Durante casi todo el curso trabajaremos con espacios afines sobre R (es decir, que para fijar ideas y no liarse se puede suponer acticamente siempre): en los pocos casos en que debamos pensar en k = R pr´ otros cuerpos, como el de los números complejos, lo mencionaremos expl´ıcitamente. La idea es que la aplicación ϕ asocia a cada par de puntos ( p, q ) un vector de E , que interpretamos como “el vector con origen en p y extremo en q”. De →. Para que toda hecho, frecuentemente denotaremos a ϕ( p, q ) simplemente por − pq la estructura sea consistente, parece necesario tener un modo de relacionar los vectores que tienen origen en puntos diferentes del espacio af´ın A.

A

E

q

p

pq

pr

r qr

Figura 1.1: La estructura de espacio af´ın. Esto es para lo que sirve la condición ii) de la definición, que es en estos → + − → → términos − pq qr = − pr (ver la figura 1.1). 1.1.2 1. Sea E un espacio vectorial. Para mayor claridad, denotemos por A al conjunto de puntos (vectores) de E , considerado como simple conjunto, desprovisto de la estructura de espacio vectorial. Definamos ϕ(u, v) = v − u. Entonces (A,E,ϕ) es un espacio af´ın (para convencerse de esto, habrá que ver que esta ϕ cumple las condiciones exigidas en la definición). Obsérvese que esta estructura af´ın de E es canónica, en el sentido de que depende sólo de la propia estructura vectorial, y no de ninguna construcción adicional. El espacio af´ın en que A = k n (k cuerpo) y la estructura af´ın es la canónica descrita arriba, se conoce como espacio af´ın est´ andar de dimensión n sobre k . 2. El tiempo es un espacio af´ın real (es decir, sobre R) de dimensión 1. Un instante es un punto de A y un lapso de tiempo es un vector de E . No hay ning´ un instante distinguido. Este espacio af´ın es relevante para la mecánica de Newton y la relatividad de Einstein.


11

1.2. VARIEDADES LINEALES

3. En relatividad especial (Einstein) se estudian sucesos, como por ejemplo la emisión de un fotón por un átomo. El conjunto de sucesos tiene lugar en un espacio af´ın real de dimensión 4 (el espacio-tiempo). 1.1.3 A partir de ahora, a menos que haya que hacer mención expl´ıcita a la → para ϕ( p, q ). aplicación ϕ, adoptaremos por comodidad la notación − pq Si hemos entendido bien la relación entre puntos y vectores, las siguientes propiedades deber´ıan no chocarnos en absoluto: Proposici´ on En un espacio af´ın se cumple:

→ → = − i) − pq 0 ⇔ p = q . → = −− → ii) − pq qp, para todos p, q ∈ A. − → − → → − → iii) pq = rs ⇔ − pr = qs (identidad del paralelogramo; ver la figura 1.2).

A

q

p

s

E

r

pq = rs

pr = qs

Figura 1.2: La identidad del paralelogramo.

→ + pp = → − − → Demostraci´ on.- i) Las propiedades de espacio af´ın implican − pp pp, − → − → y por tanto pp = 0 . Por otra parte, la aplicación ϕ p es biyectiva, de modo que → → → = − → − si ϕ p (q ) = − pq 0 , como ϕ p ( p) = − pp = 0 , se tiene necesariamente q = p. − → − → → − − → − → → − ii) pq + qp = pp = 0 , luego pq = − qp. → = − → → + − → → → → − →  iii) − pq rs ⇔ − pq qr = − qr + − rs ⇔ − pr = qs. → 1.1.4 A veces es conveniente usar la siguiente notación. Si p, q ∈ A y − u ∈ E − → − → − → es tal que ϕ( p, q ) = pq = u , escribimos q = p + u . Es importante tener presente que esta expresión no tiene ningún significado matemático: es sólo un − → = − → modo abreviado de decir que pq u . Más adelante, cuando introduzcamos coordenadas, comprobaremos que, de hecho, esta notación es bastante natural.

1.2.

Variedades lineales

1.2.1 Definici´ on La variedad lineal que pasa por el punto a ∈ A, en la direc-



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ci´ on del subespacio vectorial F ⊂ E es el conjunto

− →

→ → a + F := { b ∈ A | ab ∈ F } = { b ∈ A | b = a + − u,− u ∈ F }. Se define dim(a + F ) := dim(F ). Se llama a F la direcci´ on de a + F . A las variedades lineales se les conoce también como subespacios afines . La razón es que si X ⊂ A es una variedad lineal, la estructura de espacio af´ın de A induce del modo obvio (¡compruébalo!) una estructura de espacio af´ın en X (por restricción). De modo que la noción de variedad lineal es la noción natural de subespacio en geometr´ıa af´ın. 1.2.2 Ejemplos: 1. Sea E un espacio vectorial. Considera en E la estructura natural de espacio af´ın. Sea H ⊂ E un subespacio vectorial. Entonces H , visto como subconjunto de puntos del espacio af´ın E , es una variedad lineal. Pero no todas las variedades lineales, es decir los subespacios afines de ( E, estructura af´ın), son subespacios vectoriales de (E, estructura vectorial). Por ejemplo, en el plano R 2 solamente las rectas que pasan por el origen son subespacios vectoriales de dimensión 1. Cualquier recta, pase por donde pase, es una variedad lineal de dimensión 1. 2. Una variedad lineal de dimensión 0 es simplemente un punto. 3. Una variedad lineal de dimensión 1 es como una recta , y una de dimensión 2 es como un plano. 4. En un espacio af´ın de dimensión n, las variedades de dimensión n − 1 se llaman hiperplanos . Observa que esta es una noción relativa: en un espacio de dimensi´ on 3 un hiperplano es como un plano, en uno de dimensión 2 es como una recta, y en uno de dimensió n 1 es sólo un punto. 5. La mayor variedad lineal de un espacio af´ın A de dimensión n es a + E , donde a es un punto cualquiera, y E es el espacio vectorial asociado a A. Obviamente a + E coincide con todo el espacio A, y es una variedad lineal de dimensi´ on n. 1.2.3 La definición que hemos dado de las variedades lineales habrá extra˜ nado a m´ as de uno. ¿Qué papel cumple el punto a, cuando hablamos de la variedad a + F ? ¿Es importante dicho punto para describir la variedad? Si lo es, ¿cómo elegir el punto adecuado?... La siguiente proposición resulta tranquilizadora: Proposici´ on Si b ∈ a + F , entonces a + F = b + F .

− →

− →

− →

→ −

Demostraci´ on.- Como ab ∈ F por hipótesis, se tiene bx ∈ F ⇔ ab + bx = − → ∈ F . Luego x ∈ a + F ⇔ x ∈ b + F . Es decir, que ambos conjuntos son ax  idénticos.



13

Observa que la implicación rec´ıproca a la de la proposición es también cierta (obviamente).

→ ∈ F . 1.2.4 Corolario Si p, q ∈ a + F , entonces − pq Demostraci´ on.- Por la proposición 1.2.3, como p ∈ a + F , entonces a + F = → ∈ F .  p + F . Además q ∈ a + F = p + F , luego − pq La implicación rec´ıproca a la del corolario es obviamente falsa: no siempre → ∈ F se cumple p, q ∈ a + F . Un ejemplo sencillo que ilustra que esto no que − pq → − es cierto es F =  0 , q = p  = a (compruébalo). 1.2.5 Nuestra intención es ahora estudiar la posición relativa de dos variedades lineales. Como motivación, pensemos en el caso de dos rectas en el espacio tridimensional (espacio af´ın estándar de dimensión 3 sobre R). Todos sabemos (no es dif´ıcil visualizarlo) que hay tres posibilidades para la posición relativa de las dos rectas: o bien se cortan, o bien son paralelas (incluyendo el caso especial en que ambas son iguales), o bien se cruzan. ¿C´ omo podemos determinar a priori que las rectas se cortan? Supongamos que las dos rectas son L 1 = a + F y L 2 = b + G, donde F y G son subespacios unidimensionales del espacio vectorial R3 . Si L1 ∩ L2  = ∅, existe algún punto − → − → c que pertenece a L1 y a L2 , y por tanto ac ∈ F , bc ∈ G. Pero entonces → − → − − → − → − cb = − bc ∈ G, de modo que ab = → ac + cb ∈ F + G. Veamos que en realidad, este análisis es válido con total generalidad, para cualquier par de variedades lineales de cualquier espacio af´ın. Proposici´ on Dos variedades lineales a + F, b + G de un espacio af´ın A se − → cortan ⇔ ab ∈ F + G. Demostraci´ on.- ⇒) Como en el ejemplo: si c ∈ (a + F ) ∩ (b + G), entonces − → → − − → → − → → − ac ∈ F , cb = − bc ∈ G, y por tanto ab = − ac + cb ∈ F + G. − → ⇐) Si ab ∈ F + G, por definici´ on de suma de subespacios vectoriales existen − → − → − − → → → u ∈ F , v ∈ G tales que ab = u + − v . Dado que la aplicación ϕ a es biyectiva, − → → − → → existe un punto c ∈ A tal que ϕ a (c) = ϕ(a, c) = − ac = − u . As´ı que ab = − ac + → v , → − → − − → − → → − − → y por tanto v = − ac + ab = ca + ab = cb. − → → → → As´ı que c cumple − ac = − u ∈ F , es decir, c ∈ a + F , y también bc = −− v ∈ G, o sea c ∈ b + G. Por tanto c ∈ (a + F ) ∩ (b + G), de modo que ambas variedades se cortan.



1.2.6 En nuestro análisis de posiciones relativas de variedades, tratamos ahora la noción de paralelismo. Más que un teorema, necesitamos definir en términos formales la idea intuitiva que tenemos de paralelismo. La definición más razonable es:



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Definici´ on Dos variedades lineales a+F y b+G se dicen paralelas si F ⊂ G ó G ⊂ F (o ambos, en cuyo caso F = G). Observa que se puede estudiar sin ningún problema el paralelismo de variedades de dimensiones diferentes (piensa en un plano y una recta en el espacio). 1.2.7 Lee atentamente la definición anterior. La idea que tienes de rectas paralelas en el espacio está cubierta por ella, pero hay más. Por ejemplo: ¿pueden variedades paralelas cortarse según tal definición? La respuesta es obvia: s´ı, puesto que si F ⊂ G entonces las variedades L1 = a + F , L2 = a + G son paralelas y claramente L1 ⊂ L2 , luego L1 ∩ L2  = ∅ . De hecho, ese es el único caso posible, como cabr´ıa esperar: Proposici´ on Si a + F y b + G son paralelas, entonces o no se cortan o una est´ a contenida en la otra. Demostraci´ on.- Supongamos que a + F y b + G son paralelas. Sin pérdida de generalidad podemos suponer F ⊂ G. − → Si (a + F ) ∩ (b + G)  = ∅ , la proposición 1.2.5 nos dice que ab ∈ F + G. Pero − → → − F + G = G en este caso, luego ba = − ab ∈ G. Por tanto a ∈ (b + G), luego  (a + G) = (b + G), y entonces (a + F ) ⊂ (a + G) = (b + G). 1.2.8 Tomando la nomenclatura del caso de rectas en el espacio tridimensional, diremos que dos variedades lineales se cruzan cuando no se cortan ni son paralelas. 1.2.9 Vamos ahora a estudiar operaciones entre variedades lineales. La más natural es la intersecci´ on . Pensemos en el caso del espacio tridimensional: si dos rectas se cortan, o bien son iguales, o se cortan en un punto. Dos planos diferentes, si se cortan, lo hacen en una recta, etc... Parece que la intuición nos dice que la intersección de variedades lineales debe ser de nuevo una variedad lineal. En efecto, eso es siempre as´ı, pero ¿cuál es la intersección? Por ejemplo: ¿cómo se cortan dos planos en un espacio de dimensi´ on 4? El siguiente resultado da la respuesta a estas cuestiones: Proposici´ on Si c ∈ (a+F )∩ (b+G), entonces (a+F )∩(b+G) = c+(F ∩G). Demostraci´ on.- x ∈ (a + F ) ∩ (b + G) ⇔

− → → − ac ∈ F , bc ∈ G, lo anterior es equivalente a F ∩ G ⇔ x ∈ c + (F ∩ G).

 



− → ∈ F xa . Ahora bien, como → − xb ∈ G − → − → → xa + ac = − xc ∈ F → ⇔− xc ∈ → − − → − → xb + bc = xc ∈ G





1.2.10 Ya sabemos que un punto es una variedad lineal. El conjunto que forman dos puntos no lo es en general * (¿se te ocurre algún argumento para de*

Esa afirmaci´ on no es cierta por ejemplo en el caso del espacio af´ın estándar sobre el cuerpo


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mostrarlo?). As´ı que parece que la unión de variedades lineales no va a ser una variedad lineal. Pero no es dif´ıcil imaginar cuál es la menor variedad que contiene a dos →, la recta que − puntos p y q . Parece claro que un candidato adecuado es p +  pq → (piensa en el caso del plano o el espacio − pasa por p y está dirigida por  pq usual). Ese concepto de m´ınima variedad que contiene a unos cuantos puntos dados se puede definir, formalmente, con toda generalidad: Proposici´ on-Definici´ on.- Dados a1 , . . . , ak ∈ A, existe una variedad lineal m´ınima que los contiene. Se la conoce como variedad lineal generada por a1 , . . . , ak . Demostraci´ on.- Existe obviamente alguna variedad lineal que contiene a los puntos a 1 , . . . , ak : basta tomar por ejemplo a 1 + E (todo A). → −−→ Ahora, si a 1 + F contiene a a 1 , . . . , ak se tiene que − a− 1 a2 , . . . , a1 ak ∈ F (por el − − → − − → corolario 1.2.4), y por tanto  a1 a2 , . . . , a1 ak  ⊂ F , por lo que la variedad lineal → −−→ → −−→ a1 +  − a− a contenida en a1 + F . Como a1 +  − a− 1 a2 , . . . , a1 ak  est´ 1 a2 , . . . , a1 ak  contiene, en efecto, a a 1 , . . . , ak , esa es precisamente la variedad buscada.  1.2.11 Lo que acabamos de describir para puntos, es en realidad un caso particular de un procedimiento general para crear una variedad que contenga a unas cuantas variedades dadas (insistamos en que la simple unión de variedades no es, en general, variedad). Este procedimiento, válido para variedades de cualquier dimensión (no sólo puntos , i.e. variedades de dimensión 0), es en términos precisos: Definici´ on Se llama suma de dos variedades lineales L1 = a+F y L2 = b+G → − a la variedad lineal a + F + G + ab. Se denota como L 1 + L2.

1.2.12 La propiedad importante que caracteriza a la variedad suma es: Proposici´ on L1 + L2 es la m´ınima variedad que contiene a L1 y a L 2 .

→ −

Demostraci´ on.- Sea L 1 = a + F , L 2 = b + G, L 1 + L2 = a + F + G + ab. → − Es claro que a + F ⊂ L 1 + L2 , pues F ⊂ F + G + ab. − → → − → − → − → − Como ab ∈  ab, b +  ab = a +  ab, y por tanto b + F + G +  ab = → − a + F + G + ab, que contiene obviamente a b + G como en el paso anterior. De modo que L 1 + L2 contiene a L 1 y a L 2 . Ahora, supongamos que una variedad lineal c + H contiene a a + F y a b + G. Como a ∈ c + H , entonces c + H = a + H . Como, por hipótesis, (a + F ) ⊂ tiene sólo dos elementos: F2 = (Z/2Z, +, ·) est´ a formado por las dos clases {[0], [1]} que pueden resultar al dividir un número entero entre 2, con las operaciones definidas como [n] + [m] = [ n + m], y [n] · [m] = [nm] F2 que


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(c + H ) = (a + H ), se tiene F ⊂ H . Del mismo modo comprobamos G ⊂ H . − → − → → Adem´ as a ∈ c + H, b ∈ c + H ⇒ − ac ∈ H, bc ∈ H ⇒ ab ∈ H . → − → − → − As´ı que F,G, ab ⊂ H , por tanto F +G+ ab ⊂ H , as´ıque a+F +G+ ab ⊂  a + H = c + H . 1.2.13 La siguiente cuestión es calcular la dimensión de la variedad suma. Para empezar, recordemos que en el caso de subespacios vectoriales, la dimensión del espacio vectorial suma es dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G). En espacios afines, la situación es parecida, pero la fórmula debe contemplar un caso que no existe para espacios vectoriales: que la intersección sea vac´ıa (piensa por ejemplo en el caso de dos rectas que se cruzan en el espacio tridimensional). De hecho, en el caso af´ın no hay sólo una fórmula sino dos: Proposici´ on [F´ ormulas de Grassmann] Sean L1 = a + F y L2 = b + G dos variedades lineales. Entonces: i) Si L1 ∩ L2  = ∅ , entonces dim(L1 + L2 ) = dimL1 + dimL2 − dim(L1 ∩ L2 ). ii) Si L 1 ∩ L2 = ∅ , entonces dim(L1 + L2 ) = dimL1 + dimL2 − dim(F ∩ G) + 1. Atención, que hay que tener mucho cuidado con un detalle: en ii) lo que aparece es dim(F ∩ G) y no dim(L1 ∩ L2 ). De hecho, en ii) L 1 ∩ L2 = ∅ , luego no tendr´ıa sentido considerar dim(L1 ∩ L2 ).

− →

= ∅, entonces ab ∈ F + G, y se sigue que Demostraci´ on.- Si L1 ∩ L 2  → − F + G + ab = F + G, que tiene dimensión dimF + dimG − dim(F ∩ G). Como dimF = dimL1 , dimG = dimL2 por definición, y dim(F ∩ G) = dim(L1 ∩ L2 ) (ver proposición 1.2.9), hemos probado i). − → Si L 1 ∩ L2 = ∅ , entonces ab ∈ / F + G, de modo que

→ −

dim(L1 + L2 ) = dim(F + G + ab)

→ −

→ −

= dim(F + G) + dimab − dim((F + G) ∩ ab) = dimF + dimG − dim(F ∩ G) + 1 − 0 = dimL1 + dimL2 − dim(F ∩ G) + 1. 

1.2.14 Las fórmulas de Grassmann son de gran importancia. Sirven, por ejemplo, para dar pruebas consistentes de hechos que nos parecen intuitivamente ciertos (y otros donde la intuición no nos sirve de mucha ayuda: ¿quién puede intuir algo en un espacio de dimensión 127? ¿Y cómo intuir algo si el cuerpo k es finito?). Por ejemplo: En dimensión 2 dos rectas no paralelas siempre se cortan. La razón es que si L1 = a + F y L2 = b + G son dos rectas que no se cortan, entonces 2 ≥ dim(L1 + L2 ) = 3 − dim(F ∩ G). Se deduce dim(F ∩ G) ≥ 1, pero como F y G tienen dimensión 1, la única opción es F = G, y por tanto L1 y L2 son paralelas.


1.3. COORDENADAS EN ESPACIOS AFINES. REFERENCIAS.

17

(La idea es que no hay suficiente dimensión en el espacio ambiente para que las rectas se crucen. Sin embargo, como todos sabemos, en dimensión 3 si puede pasar). M´ as a´ un, podemos decir dónde se cortan L 1 y L 2 : sabemos dim(L1 + L2 ) = 2 − dim(L1 ∩ L2 ). Luego dim(L1 ∩ L2 ) vale o bien 0 (se cortan en un punto, y L1 + L2 es todo el plano af´ın), o bien 1 (en cuyo caso L 1 = L 2 , y en particular son paralelas). Ejercicio.- En un espacio af´ın de dimensión 3 una recta y un plano afines no paralelos se cortan siempre en un punto.

1.3.

Coordenadas en espacios afines. Referencias.

Queremos introducir ahora coordenadas en los espacios afines, de forma que los cálculos prácticos se reduzcan a manipulaciones algebraicas con números concretos. Veremos que en un espacio af´ın se pueden definir de forma razonable dos tipos de coordenadas: cartesianas o baricéntricas. Antes de entrar en detalles, como motivación, recordemos el caso de espacios vectoriales. Para dar coordenadas en un espacio vectorial de dimensión n, se construye una base (n vectores linealmente independientes). Cualquier vector del espacio se escribe de manera ´ unica como combinación lineal de los vectores de la base: las coordenadas de un vector (los coeficientes de la combinación lineal correspondiente) quedan totalmente determinadas al fijar la base. Pero, por supuesto, el mismo vector tiene coordenadas diferentes en bases diferentes. En espacios afines, la situación será parecida. De hecho, los sistemas de referencia cartesianos no son más que una traducción obvia de las coordenadas del espacio vectorial director al espacio af´ın. Para definir coordenadas baricéntricas, tendremos que trabajar algo más. 1.3.1 Definici´ on Un sistema de referencia cartesiano de un espacio af´ın n− → − → − dimensional (A,E,ϕ) es { p; → e1 , . . . , − e→ n }, donde p es un punto de A y { e1 , . . . , en } es una base de E .

− 1.3.2 Dado un sistema de referencia cartesiano { p; → e1 , . . . , − e→ omo n }, es claro c´ dar coordenadas a cualquier punto de A: → − → → − − → Dado q ∈ A, como {− e1 , . . . , − e→ n } es base de E , pq = x 1 e1 + · · · +xn en . Decimos entonces que (x1 , . . . , xn ) son las coordenadas (cartesianas) de q en la referencia → { p; − e1 , . . . , − e→ n }. 1.3.3 Supongamos que a tiene coordenadas (a1 , . . . , an) en la referencia car− → − → tesiana R = { p; → e1 , . . . , e− n } y el vector w tiene coordenadas (w1 , . . . , wn ) en la → − → − → − base { e1 , . . . , en}, y sea b = a + w . ¿Qué coordenadas tiene b? − → → − → → − → Puesto que pb = − pa + ab = − pa + → w = (a1 + w1 )− e1 + · · · + (an + wn )− e→ n , las coordenadas de b en R son (a1 + w1 , . . . , an + wn ).



18

→ Es decir: la expresión b = a + − w no tiene sentido literal, pero refleja exactamente lo que ocurre en coordenadas. 1.3.4 La gran virtud de las coordenadas cartesianas es que se definen de forma extraordinariamente sencilla. Por el contrario, el hecho de que haya que elegir un punto especial es en algunas ocasiones poco conveniente. Vamos a definir también otro tipo de referencias que va a consistir sólo en una elección apropiada de puntos de A. Para ello, necesitamos hacer un poco de trabajo previo. Definici´ on Decimos que los k puntos a1 , . . . , ak del espacio af´ın (A,E,ϕ) → −−→ son linealmente independientes si los k − 1 vectores − a− 1 a2 , . . . , a1 ak de E son linealmente independientes. Algunos comentarios inmediatos a la definición: Dos puntos diferentes son siempre linealmente independientes, puesto que el → vector − a− 1 a2 forma un conjunto de vectores linealmente independiente si y sólo si es no nulo, y eso ocurre si y sólo si a 1  = a2 . En un espacio af´ın de dimensión n podemos encontrar, como máximo, n + 1 puntos linealmente independientes. ¿Tienes claro por qué? 1.3.5 De nuevo al lector exigente deber´ıa haberle chocado algo en la definición 1.3.4. ¿Qué papel especial juega ese punto a 1 en la definición de independencia lineal? Con la definición que hemos dado, parece que tuviera alguna importancia cu´ a l de los puntos es el a1 , y eso no parece razonable. Si el mundo es justo (al menos el mundo af´ın), deber´ıamos poder reordenar los puntos y colocar a cualquiera de ellos en el papel de a 1 sin que la definición cambiara. El siguiente resultado muestra que no hemos dado una definición chapucera. También muestra una caracterización de independencia lineal en un espacio af´ın que nos deber´ıa recordar al caso de espacios vectoriales (aunque, como ves, en el caso af´ın hay una restricción sobre el tipo de combinaciones lineales a considerar: s´ olo aquellas con suma de coeficientes nula). Proposici´ on Sean a1 , . . . , ak ∈ (A,E,ϕ). Son equivalentes: − − → − − →k } son vectores linealmente independientes de E . i) { a1 a2 , . . . a1 a → = i } es un conjunto de vectores linealii) Para cualquier i entre 1 y k, { − a− i ah , h  mente independientes de E . → −→1 + · · · + λk pa −→k = − λ1 pa 0 iii) Para todo p ∈ A, ⇔ λ1 = · · · = λk = 0. λ1 + · · · + λk = 0



Demostraci´ on.- i) ⇒ ii).



=i,1 h

→ λh − a− 1 ah + (





 h =i

− →

→ λh − a− i ah = 0 =



→ −−→ −−→ λh (− a− i a1 +a1 ah )+λ1 ai a1 =

h =i,1

→ λh )− a− = 1, i, y i a1 . Por i), se tiene entonces λh = 0 para h 

=i h


19


0 = −



λh = −λ1 , es decir λ 1 = 0.

=i h

ii) ⇒ i). Esta implicación es obvia.

− →

−→1 + · · · + λ k pa −→k = 0 . i) ⇒ iii). Supongamos λ1 + · · · + λ k = 0 y λ1 pa − → −→1 + · · · + λk pa −→k = λ 1 pa −→1 + −→1 + − → −→1 + Entonces 0 = λ 1 pa λj ( pa a− λi ) pa 1 aj ) = (



 j ≥2

→ λj − a− ermino de esta suma es nulo, pues 1 aj . El primer t´

j ≥2



 i≥1

λi = 0. Por tanto,

i≥1

por i), tenemos λ j = 0 ∀ j ≥ 2. De nuevo usando que la suma de los λ’s vale 0, obtenemos λ 1 = 0.

− →

iii) ⇒ i). 0 =

k

 j =2

k



→ λj − a− 1 aj = (

k



λj )− a→ 1 p +

j=2

−→j . Por tanto, aplicando iii) con λ′ = (− λj pa 1

j =2

(como



k

 

−→j = (− λj pa

j =2 k

k



−→1 + λj ) pa

j=2

λj ) y λ′j = λ j para j > 1

j =2

′

λj = 0 podemos aplicar iii)), obtenemos λ j = 0 ∀ j ≥ 2.



j

1.3.6 El u ´ ltimo paso antes de definir los sistemas baricéntricos es poder conseguir un conjunto de puntos independientes lo más grande posible (como ya hemos dicho, n + 1 puntos si la dimensión es n). Esto se puede lograr siempre a base de ir ampliando el número de puntos de modo apropiado, como muestra el siguiente resultado: Proposici´ on Sea (A,E,ϕ) espacio af´ın de dimensi´ on n. Dados a0 , . . . , ak puntos linealmente independientes de A, existen ak+1 , . . . , an que hacen que {a0 , . . . , an } sean puntos linealmente independientes. Demostraci´ on.- Que a 0 , . . . , ak sean linealmente independientes quiere de→ − → cir que − a− a , . . . , a− algebra 0 1 0 ak son vectores linealmente independientes en E . Por ´ − − → − → − − → − − → − − → − → lineal, existen vk+1 , · · · , vn tales que { a0 a1 , · · · , a0 ak , vk+1 , . . . , vn } son base de E . →, . . . , an := a 0 + − Sean a k+1 := a 0 + − vk−+1 v→ arrafo 1.1.4n (recuerda -mira el p´ − − → que esto no es más que notación: quiere decir que ϕ(a0 , ak+1) = vk+1 , etcétera, y los puntos a j existen por biyectividad de ϕ a ). Entonces, por definición de independencia lineal de puntos en un espacio af´ın, { a0 , . . . , an } son linealmente independientes.  0

1.3.7 Definici´ on Un sistema de referencia baric´ entrico de un espacio af´ın (A,E,ϕ) de dimensión n es un conjunto de n + 1 puntos linealmente independientes. Un nombre usado también con frecuencia para este mismo objeto es el de sistema de referencia af´ın .



20

Una vez que se tiene un sistema de referencia baricéntrico: ¿cómo definir las coordenadas? Pongamos por ejemplo que la dimensión es 2, y que { p0 , p1 , p2 } son puntos independientes. Dado un punto x, el conjunto {x, p0 , p1 , p2 } no puede ser linealmente independiente (son demasiados puntos). As´ı que existe algún p ∈ A, y k, k0 , k1 , k2 ∈ k no todos nulos tales que k + k 0 + k 1 + k 2 = 0 y − → − → −→ −→ −→ k px + k ıan 0 pp0 + k 1 pp1 + k 2 pp2 = 0 . Ahora, si fuera k = 0, { p0 , p1 , p2 } ser´ dependientes. De modo que k  = 0, y podemos dividir entre k. Obtenemos:

− → = x0 pp −→0 + x1 pp −→1 + x2 pp −→2 px 1 = x0 + x1 + x2



,

donde x 0 = −k0 /k,x1 = −k1 /k y x 2 = − k2 /k. Precisamente (x0 , x1 , x2 ) es lo que vamos a llamar coordenadas baricéntricas de x en la referencia { p0, p1 , p2 }. Por supuesto, hay que dar alguna justificación de que esta construcción es consistente. Especialmente, hay que convencerse de que el punto auxiliar p que hemos usado no es en realidad importante. 1.3.8 Proposici´ on Sean p 0 , . . . , pk puntos de (A,E,ϕ) de dimensi´ on n. Dado x ∈ A, supongamos que existe p ∈ A y x 0 , . . . , xk ∈ k tales que

− → = x0 pp −→0 + · · · + xk pp −→k px 1 = x0 + · · · + xk



.

Entonces: i) La misma expresi´ on es v´ alida, con los mismos coeficientes, cambiando el punto p por cualquier otro q ∈ A. ii) Los valores x0 , . . . , xk son ´ unicos si p 0 , . . . , pk son linealmente independientes. Demostraci´ on.- i) Tomemos otro punto q . Entonces:

− → = − → − → qx qp + px → −→0 + · · · + xk pp −→k = − qp + x0 pp → → + x0 − − →0 + · · · + xk pq → + xk − − = − qp + x0 pq qp qp→k → → →0 + · · · + xk − = − qp + ( −x0 − · · · − xk )− qp + x0 − qp qp→ k →0 + · · · + xk − = x0 − qp qp→ k, la u ´ ltima igualdad como consecuencia de x 0 + · · · + xk = 1. ii) Si

− → = x0 pp −→0 + · · · + xk pp −→k px 1 = x0 + · · · + xk





y también

− → = x′ pp −→0 + · · · + x′ pp −→k px 0 k 1 = x′0 + · · · + x′k − →



21

,

−→0 + · · · + (xk − x′ ) pp −→k = 0 . entonces (x0 − x′0 ) pp k Como (x0 − x′0 ) + · · · + (xk − x′k ) = 0, la independencia lineal de { p0 , . . . , pk }  implica x j − x′j = 0 ∀ j, y por tanto x j = x′j para j = 0, . . . , n. 1.3.9 Ejemplo: Consideremos la recta af´ın real R. Sea R = { p0 , p1 } la referencia baricéntrica 1 2 en que p0 = 1, p1 = 7. Las coordenadas de x = 3 son , , puesto que 3 3 → 1 pp −→0 + 2 pp −→1 = 1 · 1 + 2 · 7. El significado de tomando p = 0 se tiene 3 = − px = 3 3 3 3 estas coordenadas es claro: x divide el segmento entre p 0 y p 1 en la proporción 1 2 : . 3 3 No es raro entonces que si calculamos ahora las coordenadas de x = 13 en la 1 1 referencia R ′ = { 5, 29} (ejercicio), tengan que salir de nuevo , (¿puedes 3 3 ver por qué?).

 

 

Es decir, las coordenadas baricéntricas tienen que ver con la noción de proporci´ on : son una medida de proporcionalidad . 1.3.10 De nuevo introducimos una notación cómoda. Dados p 0 , . . . , pk y x, si se cumple − → = x0 pp −→0 + · · · + xk pp −→k px , 1 = x0 + · · · + xk escribimos x = x0 p0 + · · · + xk pk . Insistamos en que esto es sólo notación: no hay ninguna estructura en A que permita en realidad calcular una combinación lineal como la de arriba. Esa expresi´ on, le´ıda literalmente, no tiene sentido.





1.3.11 Ejemplo (plano af´ın estándar): Sea (A,E,ϕ) el plano af´ın estándar. Sean p 0 = (0, 0), p1 = (4, 0), p2 = (0, 4). Tomemos una referencia de cada tipo, → −−→ como por ejemplo R = { p0 , p1 , p2 } y R c = { p0 ; p−− 0 p1 , p0 p2 }. − − → −− → Como p0 p1 = ϕ( p0 , p1 ) = (4 − 0, 0 − 0) = (4, 0), p 0 p2 = ϕ( p0 , p2 ) = (0 − 0, 4 − 0) = (0, 4) y { (0, 4), (4, 0)} es base del espacio vectorial R2 , se sigue que p0 , p1 , p2 son linealmente independientes (es decir, R es referencia af´ın) y que Rc es referencia cartesiana. Sea x = (4, −4) ∈ A. Claramente, sus coordenadas en Rc son (1, −1). ¿Y → − →0 + − →1 − − →2 , de modo que en R ? Tomemos, por ejemplo, p = (2, 0); − px = pp pp pp x tiene coordenadas (1, 1, −1) (observa que 1 + 1 − 1 = 1) en R . Si hubiéramos tomado otro punto auxiliar, por ejemplo q = (0, 2), el cálculo no cambia, puesto que − → → → → qx = − qp 0 + − qp 1 − − qp 2 



(4, −6) = (0, −2) + (4, −2) − (0, 2)


22


1.3.12 Observaci´ on.- No es nada complicado comprender la relación existente en general entre coordenadas cartesianas y coordenadas baricéntricas: Sea R = {a0 , . . . , an } referencia baricéntrica. Que x tenga coordenadas (x0 , . . . , xn ) en R quiere decir

− → −→ −→ −−→ px = x 0 pa0 + x1 pa1 + · · · + xn pan para cualquier punto p. En particular, podemos tomar p = a 0 para obtener

−→0 = x1 − → −−→ pa a− 0 a1 + · · · + xn a0 an , es decir, que (x1 , . . . , xn ) son las coordenadas de x en la referencia cartesiana → −−→ R0 = {a0 ; − a− 0 a1 , . . . , a0 an }. Del mismo modo, si (x0 , . . . , xk,1 , xk+1 , . . . , xn ) son las coordenadas de x → −−−−→ −−−−→ −−→ en la referencia cartesiana Rk = {ak ; − a− k a1 , . . . , ak ak−1 , ak ak+1 , . . . , ak an }. Es decir, que basta tomar las coordenadas baricéntricas de x en la referencia R y olvidarse de la coordenada x k para obtener las coordenadas (cartesianas) de x en R k .

− Rec´ıprocamente, sea R c = { p; → v1 , . . . , − v→ n } referencia cartesiana. Las coordenadas de x en R c son (λ1 , . . . , λn ) cuando − → → − − → (⋆) px = λ 1 v1 + · · · + λn vn . → Denotemos p0 = p, p1 = p + − v1 , . . . , pn = p + − v→ n , de forma que R = { p0 , . . . , pn } es obviamente referencia baricéntrica. Podemos entonces reescribir la expresión (⋆) en la forma → −−→ −−→ p−0→ x = (1 − (λ1 + · · · + λn )) p−− 0 p0 + λ1 p0 p1 + · · · + λn p0 pn , por lo que (1 − (λ1 + · · · + λn ), λ1 , . . . , λn ) son las coordenadas baricéntricas de x en R . 1.3.13 Veamos algunos ejemplos sencillos sobre coordenadas baricéntricas: 1. Las coordenadas baricéntricas de p 0 en el sistema de coordenadas baricén→0 = 1 · pp −→0 + 0 · pp −→1 + trico { p0 , p1 , . . . , pn} son (1, 0, . . . , 0), puesto que − pp − → · · · + 0 · ppn para cualquier punto p ∈ A. j

  

An´ alogamente, las coordenadas de p j son (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0). 2. Consideremos el espacio af´ın estándar de dimensi´ on 1 sobre R, y una referencia baricéntrica { p0 , p1 } = R. Un punto x tiene coordenadas (x0 , x1 ) → −→ −→ en R, si dado cualquier p ∈ R se tiene − px = x 0 pp0 +x1 pp1 , con x 0 +x1 = 1.

−0→ → Tomando p = p0 , vemos p x = x1 p−− a en el 0 p1 , de forma que si x est´ segmento entre p 0 y p 1 su coordenada x 1 está entre 0 y 1, si p 1 está entre p0 y x se tiene x1 > 1, y si p0 está entre x y p1 , entonces x1 < 0. Un estudio similar tomando p = p 1 determina las regiones en las que x 0 > 1, x0 < 0, ó 0 < x0 < 1. Resumiendo, la situación es como indica la figura 1.3: 1 1 → Observa que el punto medio del segmento − p− 0 p1 es 2 p0 + 2 p1 .


23


x 0 =1 x 0 >1 x 1 <0

x 0 =0 p

x 0 <0

0
x 1 >1

p

0

x 1 =0

1

x 1 =1

Figura 1.3: Coordenadas baricéntricas en R . Ejercicio.-Realiza un análisis como el anterior para las coordenadas baricéntricas en una base baricéntrica cualquiera del plano af´ın real (dimensión 2). 1.3.14 La descripción que acabamos de hacer del punto medio de un segmento de la recta real en función de coordenadas baricéntricas respecto de los extremos del segmento se generaliza fácilmente a un concepto, el baricentro de cierto n´ umero de puntos, que no depende de la dimensión ni del cuerpo ** sobre el que esté definido el espacio af´ın. Definici´ on Se llama baricentro de los puntos a1 , . . . , am ∈ A al punto b 1 1 dado por b = m a1 + · · · + m am . Observa que para que el baricentro de m puntos exista, se debe poder dividir m

  

entre m = 1 + · · · + 1 en k . Eso no es posible hacerlo en todo cuerpo. De hecho, p

  

se dice que k tiene caracter´ıstica p si p es el menor entero tal que 1 + · · · + 1= 0 en k . Si no existe tal entero, se dice que la caracter´ıstica es 0. De modo que en caracter´ıstica 0 siempre existe el baricentro de m puntos, mientras que en Z/3Z no existe el baricentro de 3 puntos, ni de 6, 9, etc´ etera. Ejercicio.- Demuestra que el concepto de baricentro de geometr´ıa elemental (es decir, el punto donde se cortan las medianas de un triángulo) coincide con el baricentro (según la definición dada aqu´ı) de los tres vértices del triángulo correspondiente. 1.3.15 El u ´ ltimo ingrediente en nuestro estudio de coordenadas baric´ entricas es el cálculo de cómo cambian las coordenadas al cambiar de referencia. Veamos que no es algo muy diferente a un cambio de base en un espacio vectorial: **

Aunque, como mencionamos en el comentario tras la definición siguiente, la car acter´ıstica del cuerpo en cuestión puede hacer que alg´ un concepto de baricentro no tenga sentido.



24

                       

Sean R = { p0 , . . . , pn } y R = { p0 , . . . , pn} dos referencias baricéntricas. Dado x ∈ A, sean (x0 , . . . , xn ) y (x0 , . . . , xn ) sus coordenadas en R y R. ¿Cómo se relacionan? Supongamos que para i = 0, . . . n, pi tiene coordenadas (λ0i , λ1i , . . . , λni ) (recuerda la notación pi = λ0i p0 + · · · + λni pn). Entonces: n



n

−→j = − → xj pp px =

j =0

n

−→

xi p pi =

n

−→j ) = λji pp

(xi

i=0

i=0



j=0

n

(

−→j . xi λji ) pp

j=0 i=0

n

De modo que x j =

n

 

xi λji para j = 0, . . . , n. Equivalentemente, en nota-

i=0

ci´ on matricial,

x0 x1 .. .

=

xn

λ00 λ10 .. .

· · · λ0n · · · λ1n

λn0

· · · λnn

.. .

      

x0 x1 .. .

xn

  

.

Observa que las columnas de la matriz cuadrada en la ecuación anterior son las coordenadas de los puntos de R en la referencia R , y que dicha matriz transforma coordenadas en R en coordenadas en R . 1.3.16 Tratemos ahora el cambio de coordenadas cartesianas. →′ → − ′ ′ ′ − → Sean R = { p; − e1 , . . . , − e→ n } y R = { p , e1 , . . . , en } dos referencias cartesianas. − → → Supongamos que e′i = λ 1i − e1 + · · · + λni − e→ en n , i = 1, . . . , n. Supongamos tambi´ ′ ′ − → → − que ( p1 , . . . , pn ) son las coordenadas de p en R, es decir pp = p1 e1 + · · · + pn− e→ n ′ → − o, equivalentemente, p = p + pj ej .

 j

Entonces n

−→ ′

p x

=

 

n

→′ ′−

xi ei =

i=1



−→′ − → − pp px =

n

n

′

xi (

i=1

→ xj − ej −

j =1

n

n

     n

→ λji − ej ) =

j =1

→ λji x′i )− ej

j =1 i=1

→ pj − ej =

j =1

(

n

→ (xj − pj )− ej

j =1

de modo que

n

xj = pj +



λij x′i

i=1

para j = 1, . . . , n. La igualdad anterior se puede expresar, por supuesto, matricialmente como

  

x1 x2 .. . xn

  

=

  

p1 p2 .. . pn

  

+

  

λ11 λ21 .. .

· · · λ1n · · · λ2n

λn1

· · · λnn

.. .

   

x′1 x′2 .. . x′n

  

.



25

Observa que para obtener esa ecuación, que da el modo de transformar corrdenadas en R′ en coordenadas en R, hay que expresar los elementos que forman la referencia R ′ en la referencia R . Tanto las coordenadas de p′ en R , que es el vector que aparece sumando, como las coordenadas de los vectores de la base de R ′ en la base de R , que son las columnas de la matriz cuadrada. 1.3.17 Ejemplo (Continuación del ejemplo 1.3.11). Ya vimos que si p 0 = (0, 0), p1 = (4, 0), p2 = (0, 4), entonces x = (4, −4) es el punto de coordenadas (1, 1, −1)R, donde R = { p0 , p1 , p2 }. Sea ahora R = {q 0 , q 1 , q 2 } con q 0 = (−8, 4), q 1 = (4, 4), q 2 = (−4, 12). − →= ¿C´ omo son las coordenadas de x en R? Buscamos una expresión como px → − → − → − x0 pq 0 + x1 pq 1 + x2 pq 2 . Tomemos, por ejemplo, p = q 1 :









   

−→ (0, −8) = − q 1→ x = x0 − q → 1 q 0 + x2 q 1 q 2 = x0 (−12, 0) + x2 (−8, 8),





por lo que x2 = −1, x0 = 2/3, y por tanto x1 = 4/3. Para calcular coordenadas en R buscamos una expresión como q 0 = λ00 p0 + →0 = λ 00 pp −→0 +λ10 pp −→1 +λ20 pp −→2 para cualquier p. Tomemos λ10 p1 +λ20 p2 , es decir − pq por ejemplo p = p 2 , con lo que





→ −−→ −−→ (−8, 0) = − p− 2 q 0 = λ 00 p2 p0 + λ10 p2 p1 = λ 00 (0, −4) + λ10 (4, −4) ⇓ λ10 = −2, λ00 = 2

⇓ λ20 = 1

−→1 = λ01 pp −→0 + λ11 pp −→1 + λ21 pp −→2 ; tomando, por ejemplo, y, del mismo modo, pq p = p 0 , resulta → −−→ −−→ (4, 4) = − p− 0 q 1 = λ 11 p0 p1 + λ21 p0 p2 = λ 11 (4, 0) + λ21 (0, 4) ⇓ λ11 = λ 21 = 1

⇓ λ01 = −1

→2 = λ02 pp −→0 + λ12 pp −→1 + λ22 pp −→2 y tomando p = p 2 resulta Por u ´ltimo − pq → −−→ −−→ (−4, 8) = − p− 2 q 2 = λ 02 p2 p0 + λ12 p2 p1 = λ 02 (0, −4) + λ12 (4, −4) ⇓ λ12 = −1, λ02 = − 1

⇓ λ22 = 3



De modo que la matriz del cambio de coordenadas en R a coordenadas en R es 2 −1 −1 −2 1 −1 , 1 1 3

 

 



26 y las coordenadas de x en R son

 

2 −1 −1 −2 1 −1 1 1 3

                      2/3 4/3 −1

=

1 1 −1

.

Para un punto z ∈ R 2 arbitrario, sean (x0 , x1 , x2 ) y (x0 , x1 , x2 ) sus coordenadas en R y R respectivamente. La relación entre ambas es:

       x0 x1 x2

=

2 −1 −1 −2 1 −1 1 1 3

x0 x1 x2

.

→ −−→ −−→ −−→ En coordenadas cartesianas; Rc = { p0 ; p−− 0 p1 , p0 p2 }, Rc = {q 0 ; q 0 q 1 , q 0 q 2 }, → −−→ −−→ −−→ con − p− 0 p1 = (4, 0), p0 p2 = (0, 4), q 0 q 1 = (12, 0) y q 0 q 2 = (4, 8). Para obtener las coordenadas cartesianas de x = (4, −4) en Rc calculamos → −−→ (12, −8) = − q 0→ x = x1 − q − 0 q 1 + x2 q 0 q 2 = x1 (12, 0) + x2 (4, 8)

 

⇓

x1 = 4/3, x2 = − 1



Para calcular coordenadas en R c , miramos a los elementos que forman Rc . → −−→ −−→ Para las coordenadas de q 0 en R c , obtenemos (−8, 4) = − p− 0 q 0 = a p0 p1 + b p0 p2 = a(4, 0) + b(0, 4) ⇒ a = − 2, b = 1.

→ −−→ −−→ −−→ Para las coordenadas de − q − 0 q 1 en la base { p0 p1 , p0 p2 }; (12, 0) = q 0 q 1 = − − → − − → − − → λ11 p0 p1 +λ21 p0 p2 = λ 11 (4, 0)+λ21(04) ⇒ λ 11 = 3, λ21 = 0. Y para q 0 q 2 , calcula→ −−→ −−→ mos (4, 8) = − q − 0 q 2 = λ 12 p0 p1 +λ22 p0 p2 = λ 12 (4, 0)+λ22 (0, 4) ⇒ λ 12 = 1, λ22 = 2. As´ı que las coordenadas de x en R son (x1 , x2 ), donde

       x1 x2

=

3 1 0 2

4/3 −1

+

−2 1

,

es decir, (x1 , x2 ) = (1, −1). Obviamente, ésta es la relación que se da siempre entre las coordenadas (x1 , x2 ) y (x1 , x2 ) de un punto z ∈ R 2 arbitrario:

                      x1 x2

=

3 1 0 2

x1 x2

+

−2 1

.

La u ´ ltima igualdad matricial se suele expresar con una matriz cuadrada añadiendo una fila nueva (0 0 1) y cuadrando los vectores columna con un 1 adicional: x1 3 1 −2 x1 x2 0 2 1 x2 = . 1 0 0 1 1 La expresión anterior puede resultar a primera vista algo artificial pero, como veremos cuando la usemos en el cap´ıtulo próximo, es razonable, pues tiene la gran ventaja de reducir cálculos de composiciones o inversiones a simples productos o inversas de matrices cuadradas.


27

1.4. ECUACIONES DE VARIEDADES LINEALES

1.4.

Ecuaciones de variedades lineales

Una vez que tenemos coordenadas a nuestra disposición, queremos expresar las variedades lineales mediante ecuaciones, de modo que decidir si un punto dado pertenece o no a una variedad se reduzca simplemente a comprobar si sus coordenadas verifican la ecuación. 1.4.1 Sea (A,E,ϕ) un espacio af´ın de dimensión n. Sea L = a + F variedad → − → lineal de dimensión k, con { − v1 , . . . , → vk } base de F . Sea R c = { p; − e1 , . . . , − e→ n } una referencia cartesiana. → → Si a = (a1 , . . . , an) en R c y − vj = v 1j − e1 + · · · + vnj − e→ n para j = 1, . . . , k. Sea x = (x1 , . . . , x n )R . Entonces: c

x ∈ a + F

 − → (x1 − a1 , . . . , xn − an ) ∈ F ax =  → − → − → − (x1 − a1 ) e1 + · · · + (xn − an)− e→ n = λ 1 v1 + · · · + λk vk → − = (λ1 v11 + λ2 v12 + · · · + λk v1k ) e1 + · · · + (λ1 vn1 + · · · + λk vnk )− e→ n as´ı que obtenemos x1 xn

 

= a1 + λ1 v11 + · · · + λk v1k .. . = an + λ1 vn1 + · · · + λk vnk

Ecuaciones paramétricas de a + F = L.

→ ∈ − → − De otra forma equivalente, x ∈ L ⇔ − ax v1 , . . . , → vk , lo cual ocurre si en − → → − → − {ax, v1 , . . . , vk } sólo hay k vectores linealmente independientes, es decir Rg

 

x1 − a1 .. .

v11 .. .

· · · v1k

xn − an

vn1

· · · vnk

.. .

 

= k = Rg

 

v11 .. .

···

vn1

· · · vnk

v1k .. .

 

por independencia lineal. Alguno de los menores k × k de la matriz de la derecha debe ser no nulo. Supongamos, para hacer más clara la exposición, que

 

v11 .. .

· · · v1k

vk1

· · · vkk

.. .

 

=0 

(si fuese otro menor el no nulo, se deber´ıa seguir lo que vamos a hacer a partir de ese otro, y no del que hemos tomado). Entonces x1 − a1 v11 · · · vik .. .. .. . . . =0 xk − ak vk1 · · · vkk xi − ai vi1 · · · vik

  

  



28

para i = k + 1, k + 2, . . . , n, lo cual da un sistema de ( n − k) ecuaciones en las n incógnitas x 1 , . . . , xn (obviamente si el menor era otro esta cuenta del número de ecuaciones resultante es la misma). Rec´ıprocamente, un conjunto de ecuaciones lineales λ11 x1 + · · · + λ1n xn

= b1 .. .

λd1 x1 + · · · + λdn xn

= bd

 

donde (x1 , . . . , xn ) son las coordenadas cartesianas de un punto genérico de A, son las ecuaciones de una variedad lineal L *** cuya dimensión resulta ser, por el λ11 · · · λ1n .. .. Teorema de Rouché-Frobenius, igual a dim(L) = n − Rg . . .

 

Las soluciones del sistema homogéneo asociado λ11 x1 + · · · + λ1n xn

= 0 .. .

λd1 x1 + · · · + λdn xn

= 0

λd1

· · · λdn

 

 

determinan un subespacio vectorial F ⊂ E , donde (x1 , . . . , xn ) son coordenadas → en E respecto de la base { − e1 , . . . , − e→ on de este subespacio vecton }. La dimensi´ rial F , que no es más que el espacio de direcciones de L, es conocida por el mencionado Teorema de Rouché-Frobenius. Ahora, si (a1 , . . . , an) es una solución particular del sistema no homogéneo (es decir, son las coordenadas de un punto a de A que resulta estar en L), la soluci´ on general del sistema no homogéneo (coordenadas de un punto arbitrario de L) es la suma de dicha solución particular con la solución general del homogéneo. Esto no es más que una reinterpretación en términos de coordenadas y sistemas de ecuaciones de la descripción de L como L = a + F . 1.4.2 Ejemplos • La ecuación lineal en dos incógnitas 2x + 3y = 5 representa una variedad lineal de dimensión 2 − 1 = 1 en el espacio af´ın de dimensión 2 (una recta).

• Análogamente, 2x + 3y − z = 5 es una variedad de dimensión 2 en un espacio af´ın de dimensión 3 (un hiperplano). Su espacio director es el subespacio vectorial de dimensión 2 de ecuación 2x + 3y − z = 0.

• El sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas 2x + 3y − z x−y ***

= 5 = 1



Por supuesto, siempre que dicho sistema sea compatible.


29


A

E

L=(1,1)+F

F={2x+3y=0}

Figura 1.4: Una variedad lineal y su espacio director. da las ecuaciones de una recta en el espacio, puesto que su dimensión es 3 − Rg



2 3 −1 1 −1 0



= 3 − 2 = 1.

De hecho, L es la intersección de los planos π1 : 2x+3y −z = 5 y π2 : x−y = 1. Cualquier otro plano que contenga a L tendrá una ecuación que, añadida a las ecuaciones de L, dé las mismas soluciones, de modo que la ecuación de dicho plano debe ser combinación lineal de las dos ecuaciones que definen L. Luego λ 1 (2x + 3y − z) + λ2 (x − y) = 5λ1 + λ2 con λ 1 , λ2 ∈ R es la ecuación del haz de hiperplanos que contienen a L.

• Las rectas L1 = { 3x − y = 5} y L2 = { 6x − 2y = 3} en R2 son paralelas (pues las ecuaciones 3x − y = 0 y 6x − 2y = 0 definen el mismo subespacio vectorial de direcciones). La recta L3 = {6x − 2y = 10} es exactamente la misma que L 1 .

→ • Una recta en R3 que pase por a = (a1 , a2 , a3 ) con dirección − v = (v1 , v2 , v3 ) tiene ecuaciones

x − a1 y − a2 z − a3 = = , v1 v2 v3

(despejar λ en la ecuación paramétrica (x,y,z) = (a1 , a2 , a3 ) + λ(v1 , v2 , v3 ) para obtener tales ecuaciones). x−1 z + 1 = y = y el plano L2 ≡ 3x − 2y + 4z = 5 2 −1 → son paralelos: el vector director de la recta, − v = (2, 1, −1), está en el espacio director del plano, dado por 3x − 2y +4z = 0 (basta comprobar que es solución). → De modo que L 1 = a + F con F =  − v  y L 2 = b + G con F ⊂ G.

• La recta L1 ≡

1.4.3 En general, sea cual sea la dimensión n del espacio af´ın ambiente:



30

L

Figura 1.5: Haz de planos soportado sobre la recta L.

• La ecuación a1 x1 + · · · anxn = b con (a1 , . . . , an)  = (0, . . . , 0) es un hiperplano de un espacio af´ın de dimensión n. El espacio director tiene ecuación a1 x1 + · · · + anxn = 0.

• Las ecuaciones a11 x1 + · · · + a1n xn

= b1 .. .

ad1 x1 + · · · + adnxn

= bd

 

definen una variedad L dada por la intersección de d hiperplanos. La ecuación de cualquier otro hiperplano que contenga a L es combinación lineal de éstas. a11 . . . a1n .. .. La dimensión de L es n − Rg . . .

 

ad1 . .. adn

 

→ • Las ecuaciones de la recta L = a + − v  son

x1 − a1 x2 − a2 xn − an = = · · · = v1 v2 vn (donde si v j = 0 se elimina esa parte, y aparece en su lugar la ecuación xj = a j ).


31


• Dos hiperplanos son paralelos si y sólo si tienen igual dirección. Es decir, que L : a 1 x1 + · · · + anxn = b L : a1 x1 + · · · + anxn = b



 



son paralelos si y sólo si para cierto c se tiene aj = c aj ∀ j. Si además b = c b, ambos planos son coincidentes.



x1 − a1 xn − an = · · · = y un hiperplano b 1 x1 + . . . + bn xn = b v1 vn son paralelos exactamente cuando b 1 v1 + · · · + bn vn = 0.

• Una recta

1.4.4 Respecto a las ecuaciones de variedades lineales en coordenadas baricéntricas, es sencillo repetir el tipo de argumentos que hemos hecho aqu´ı en cartesianas. Una observación muy útil es que en coordenadas baricéntricas es muy sencillo calcular la dimensión de la variedad generada por unos cuantos puntos. Concretamente****: Teorema Sea R = { p0 , . . . , pn } una referencia baricéntrica. Sean q 0 , . . . , qm dados en coordenadas baric´ entricas por q j = q j 0 p0 + · · · + q jn pn , j = 0, . . . , m. Sea V (q 0 , . . . , qm ) la variedad generada por { q 0 , . . . , qm }. Entonces

dim(V (q 0 , . . . , qm )) + 1 = rg

 

q 00 .. .

· · · q m0

q 0n

· · · q mn

.. .

 

.

La demostración, que queda como ejercicio para el lector, consiste en una simple manipulación por filas y columnas en la matriz del lado derecho de la igualdad. Como paso previo, deberá demostrarse la observación siguiente: Lema Con la notaci´ on del teorema, (q j 1 − q 01, . . . , qjn − q 0n ) son las coor − − → − − → − − → denadas del vector q j q 0 en la base { p1 p0 , . . . , pn p0 }. Este resultado es todo lo que hace falta para comprobar que una variedad lineal L de dimensi´ on m en un espacio af´ın de dimensión n viene dada por n − m ecuaciones lineales homogéneas independientes en n + 1 variables, mas la ecuación adicional x0 + · · · + xn = 1. **** Ojo, que es fundamental en el teorema siguiente que l as coordenadas son baricéntricas: en cartesianas no hay, en general, relaci´ on entre el rango de la matriz de coordenadas de unos cuantos puntos con la dimensión de la variedad que generan. Una forma de verlo es el ejemplo siguiente: sea p 1 de coordenadas cartesianas ( p11, . . . , pn1 ), y p 2  = p 1 de coordenadas ( p12 , . . . , pn2 ). La matriz que forman los dos vectores de coordenadas puede tener rango uno o dos, pero V ( p1 , p2 ) tiene siempre dimensi´ o n 1.



32

Las n − m ecuaciones homogéneas salen de forma parecida a como salen las ecuaciones cartesianas (ver la sección 1.4.1): si L = V (q 0 , . . . , qm ), siendo los q i linealmente independientes, y usamos la notación del teorema anterior para las coordenadas baricéntricas de los q j , un punto p de coordenadas (x0 , . . . , xn ) estar´ a en V (q 0 , . . . , qm ) cuando V ( p, q 0 , . . . , qm ) = V (q 0 , . . . , qm ), lo cual se traduce en m + 1 = rg

 

q 00 .. .

· · · q m0

q 0n

· · · q mn

.. .

    = rg

x0 .. .

q 00

xn

q 0n

· · · q m0 .. .

· · · q mn

 

.

Basta orlar un menor no nulo de orden (m + 1) × (m + 1) de la matriz de la izquierda de las n − m formas posibles para formar menores de orden (m + 2) × (m + 2). Cada uno de estos menores tiene que ser nulo, lo cual da las referidas ecuaciones homogéneas. Insistamos que a ellas hay que añadir la ecuación x 0 + · · · + xn = 1.

1.5.

La raz´ on simple. Teoremas de Menelao y de Ceva

1.5.1 Con el último ob jeto que introducimos en este cap´ıtulo vamos a ver que la idea de proporci´ on es también t´ıpicamente af´ın. Definici´ on Sean a 1 , a2 y a 3 tres puntos alineados (i.e. no linealmente independientes) en un espacio af´ın ( A,E,ϕ). La raz´ on simple de a 1 , a2 , a3 , denotada − − → − − (a1 a2 a3 ), es el escalar r ∈ k tal que a1 a3 = r a1→ a2 . No es dif´ıcil comprobar que la razón simple está bien definida si a 1  = a 2 , y que (a1 a2 a1 ) = 0, (a1 a2 a2 ) = 1. 1.5.2 ¿Cual es la relación entre la razón simple y el concepto de proporción? Supongamos por un momento que k = R , y consideremos un ejemplo concreto para que la idea quede clara (ver figura 1.6):

a1

a2

a3

Figura 1.6: La razón simple mide proporciones.

→ −−→***** , es ¿Qué quiere decir (a1 a2 a3 ) = 3? Simplemente que − a− 1 a3 = 3a1 a2 → → decir que el vector − a− as grande que el vector − a− 1 a3 es tres veces m´ 1 a2 . Mirando a la figura 1.6 a uno le dar´ıan ganas de expresar lo que all´ı ocurre diciendo: “la *****

En muchos libros cl´ asicos se denota el segmento entre A y B como AB, y se expresa (ABC ) = k en la forma AC/AB = k.


´ SIMPLE. TEOREMAS DE MENELAO Y DE CEVA 1.5. LA RAZ ON

33

distancia entre a 1 y a 3 es el triple que la distancia entre a 1 y a 2 ”. Sin embargo, si uno vive en un mundo af´ın no tiene forma de medir distancias. El concepto de distancia no forma parte de la estructura af´ın (nos encontraremos con él m´ as adelante en el curso), pero el de proporci´ on s´ı (recuerda la sección 1.3.9). As´ı, un habitante de un mundo af´ın nunca podrá decir cosas como “vivo a ocho kilómetros de tu casa”, pero s´ı que sabrá que “tu casa está tres veces más lejos de mi casa que la universidad”. Comentemos de pasada otro hecho: si tomamos un microscopio y aumentamos la figura, seguiremos viendo el punto a2 dividiendo el segmento entre a1 y a3 en la misma proporción que antes, aunque en la figura aumentada las “distancias.entre los puntos, tal y como las solemos entender, hayan cambiado. Aumentar o encoger será, como veremos en el próximo cap´ıtulo, una de las transformaciones que consideraremos como t´ıpicamente afines. Tales transformaciones van a preservar no sólo las razones simples, sino el resto de nociones afines que hemos considerado hasta ahora: paralelismo, coordenadas baricéntricas... 1.5.3 En la práctica, las razones simples se calculan en función de las coordenadas del primer punto en la referencia baricéntrica de la recta que contiene a los tres y que está formada por los dos últimos puntos. Proposici´ on Si a2  = a3 y (α, β ) son las coordenadas de a1 respecto a α {a2 , a3 }, entonces (a1 a2 a3 ) = − . β La demostración, muy sencilla, queda como ejercicio. 1.5.4 La proposición 1.5.3 es todo lo que nos hace falta ahora para demostrar dos teoremas clásicos interesantes: el de Menelao y el de Ceva. Ambos tratan propiedades geométricas que tienen que ver con proporciones en triángulos arbitrarios, de modo que a muchos lectores les sonarán como potencialmente relacionados con el Teorema de Thales. Daremos por ahora demostraciones de ambos en coordenadas, pero en el próximo cap´ıtulo probaremos el Teorema de Thales, y veremos como se pueden dar de forma análoga pruebas más elegantes de Menelao y de Ceva. 1.5.5 Teorema [Menelao] Sean a 0 , a1 , a2 linealmente independientes, y sean b0 , b1 y b2 puntos de las rectas determinadas por a1 y a2 , a0 y a2 , a0 y a1 respectivamente, que estén alineados y sean diferentes de a0 , a1 y a 2 . Entonces (b0 a1 a2 ) · (b1 a2 a0 ) · (b2 a0 a1 ) = 1.

Demostraci´ on.- Las coordenadas de b0 en la referencia af´ın {a0 , a1 , a2 } son de la forma (0, α0 , β 0 ) (puesto que las ecuaciones de la recta que pasa por a1 y a2 son, en coordenadas baricéntricas, x0 = 0, x0 + x 1 + x 2 = 1). Del


CAP ´ ITULO ITUL O 1. ESP ESPAC ACIOS IOS AFINES AFINES

34

a1 b2 b0 b1 a2

a0

b2

Figura 1.7: El teorema clásico asico de Menelao. mismo modo, las coordenadas de b 1 y b 2 son de la forma (α ( α1 , 0, β 1 ) y (α2 , β 2 , 0) respectivamente. α0 β 1 α2 As´ı qu quee (b0 a1 a2 ) = − , (b1 a2 a0 ) = − , (b2 a0 a1 ) = − , con lo que β 0 α1 β 2 (b0 a1 a2 ) · (b1 a2 a0 ) · (b2 a0 a1 ) = −

α0 β 1 α2 . β 0 α1 β 2

Pero, por el Teorema 1.4.4, b0 , b1 , b2 alineados

 0=

 

0 α0 β 0

α1 0 β 1

α2 β 2 0

 

= α0 β 1 α2 + α1 β 2 β 0



−

α0 β 1 α2 =1 α1 β 2 β 0 

1.5.6 Teorema [Ceva] [Ceva] Sean a0 , a1 , a2 puntos linealmente independientes en un es espacio pacio af´ın A ın A de dimensi´ on 2. Dado p Dado p ∈ A A,, p  = a 0 , a1 , a2 , sea b b i ( i = 0, 1, 2) − → − − → la intersec intersecci´ ci´ on de la recta p recta p +  pai con la recta a a k + ak ah  ( k, k, h  = i i). ). Entonces (b0 a1 a2 ) · (b1 a2 a0 ) · (b2 a0 a1 ) = − 1.


´ SIMPLE. TEOREMAS DE MENELAO Y DE CEVA 1.5. 1. 5. LA R RAZ AZ ON

35

b0

a1 p b2

b1

a0

a2

Figura 1.8: El teorema de Ceva


CAP ´ ITULO ITUL O 1. ESP ESPAC ACIOS IOS AFINES AFINES

36

(Ver la figura 1.8). Demostraci´ on.- Sean (α,β,γ on.(α,β,γ ) las coordenadas de p p en en { a0 , a1 , a2 }. Entonβ γ ces b0 tiene coordenadas 0, , , de donde se sigue que (b ( b0 a1 a2 ) = 1−α 1−α β − . El cálculo alculo para convencernos de que esas son las coordenadas de b 0 es como γ sigue: dado que b que b 0 está en la recta que pasa por a 1 y a 2 , su primera coordenada es nula. Sean pues (0,A,B (0 ,A,B)) las coordenadas de b0 . Además, as, b0 pertenece a la recta por p y a0 , luego esos tres puntos no son linealmente independientes, lo que en vista del teorema 1.4.4 se traduce en



 

0 A B



α 1 β 0 γ 0

 

= Aγ − − Bβ Bβ = = 0.

Como además A as A + B = 1, deducimos B =

γ

β

. 1−α 1−α Del mismo modo se comprueba que las coordenadas de b 1 y b 2 son, respectiα γ α β γ vamente, ,0 y , , 0 . De modo que (b ( b1 a2 a0 ) = − 1 − β 1 − β 1 − γ 1 − γ α α y (b2 a0 a1 ) = − , y se sigue que β





y A A = =



(b0 a1 a2 ) · (b1 a2 a0 ) · (b2 a0 a1 ) = −

βγ α = −1. γαβ 

1.5.7 Observ Observaci´ aci´ on.- Los Teoremas de Ceva y de Menelao enuncian en realion.dad una equivalencia, de la cual sólo hemos h emos tratado aqu´ı una implicación.

1.6. 1. 6.

Orien Ori enta taci ci´ o on ń en espacios afines reales

1.6.1 Terminemos el cap´ıtulo ıtulo haciendo hacie ndo un breve comentario comenta rio sobre sobr e orientabilidad . → Sea E E un un espacio vectorial sobre R, y sea B = {− e1 , . . . , − e→ n } una base. Sea ′ → − − → − → → − − → B = { v1 , . . . , vn } otra base, donde vi = v 1i e1 + · · · + + v vni en . Sea P = (vij ) la matriz de cambio de base. Decimos que B y B ′ tienen la misma orientaci´ on si det P > 0. Es obvio que existen sólo olo dos orien orientaci taciones ones posibles. Se llam llamaa orientar a E a la elección on de una de ellas. Una vez orientado E , se llama orientaci´ llama orientaci´ on positiva a la elegida, y orientaci´ on negativa a negativa a la otra. n Por ejemplo, en R se toma como orientación on positiva la de la base usual. 1.6.2 Obviamente, un espacio af af´´ın real r eal se puede consider considerar ar también en orientado orientado,, sin más as que elegir una orientación on en el espacio vectorial real subyacente.


Cap´ıtulo 2

Afinidades 2.1.

La definici´ on de afinidad

2.1.1 Las afinidades, o aplicaciones afines, son a los espacios afines como las aplicaciones lineales a los espacios vectoriales.

A1 a

E1

f

b

~ f

ϕ (a,b) 1

A2 f(a)

f(b)

E2

ϕ (f(a),f(b)) 2

Figura 2.1: La definición de afinidad. Definici´ on Una aplicaci´ on af´ın (o afinidad ) de (A1 , E 1 , ϕ1 ) a (A2 , E 2 , ϕ2 ) es un par formado por una aplicación f : A1 → A2 y una aplicación lineal → −−−−−→ − f : E 1 → E 2 tales que f (ab) = f (a)f (b) ∀ a, b ∈ A1 .





37


CAP ´ ITULO 2. AFINIDADES

38 En otras palabras, el diagrama A1 × A1 ϕ1 ↓ E 1

f ×f

−→ A2 × A2 ↓ ϕ2

−→ (f (a), f (b)) ↓ ϕ1 (a, b) −→ f (ϕ1 (a, b)) = ϕ2 (f (a), f (b)) (a, b)

↓





f

−→ E 2

conmuta. A veces diremos simplemente que f es una aplicación af´ın si existe f tal que el diagrama anterior conmute. Se llama a f aplicaci´ on lineal asociada a f ó parte lineal de f .





2.1.2 La siguiente proposición da una forma equivalente de expresar la relación entre f y f .



Proposici´ on Son equivalentes: → −−−−−→ − i) f (ab) = f (a)f (b) ∀ a, b ∈ A1 → → → ii) f (a + − u ) = f (a) + f ( − u ) ∀a ∈ A 1 , ∀− u ∈ E 1 .



  

→ Demostraci´ on.- Empezamos por demostrar i) ⇒ ii). Sea a+− u = b, es decir − − − − − → → − − → → − → ab = u . Por i), se tiene f ( u ) = f (ab) = f (a)f (b), es decir f (a) + f (− u ) = f (b). → − → − Luego f (a + u ) = f (a) + f ( u ). − → → − → → ii) ⇒ i): Sean a, b ∈ A, y llamemos − u al vector ab. Entonces f (ab) = f (− u) = −−−−−−−−−− → − − − − − → → −  f (a)f (a + u ) = f (a)f (b), donde hemos usado ii) en la segunda igualdad. → −

2.2.







Propiedades b´ asicas de las afinidades

2.2.1 En el fondo, una afinidad está casi completamente determinada por la correspondiente aplicación lineal. De hecho, basta añadir la información sobre la acción en un sólo punto de A para determinarla totalmente, como muestra el resultado siguiente: Proposici´ on Si f , g son dos afinidades de A1 en A2 tales que f ( p) = g( p) para alg´ un p ∈ A1 , y f = g , entonces f = g.



Demostraci´ on.- Dado a ∈ A1 , se tiene

− → = f ( p) + f ( pa) − → = g( p) + g ( pa) − → = g( p + pa) − → = g(a), f (a) = f ( p + pa)





donde la segunda y cuarta igualdad se deben a la proposición 2.1.2, y la tercera  es por hipótesis. 2.2.2 Rec´ıprocamente, decidir la imagen de un punto y una aplicación lineal determina de manera un´ıvoca una afinidad:

Ernesto Girondo. Versi´ on del 10-02-09. Puede contener erratas

´ 2.2. PROPIEDADES BASICAS DE LAS AFINIDADES

39

Proposici´ on i) Dada una aplicaci´ on lineal φ : E 1 → E 2 y un par de puntos p ∈ A 1 , q ∈ A 2 , existe una ´ unica afinidad f : A1 → A2 tal que f ( p) = q y f = φ.



ii) Si dim(A1 ) = n y a0 , . . . , an son linealmente independientes (referencia baricéntrica) en A1 , y b0 , . . . , bn son n + 1 puntos arbitrarios de A2 , existe una unica ´ afinidad f : A1 → A 2 tal que f (ai ) = b i , i = 0, . . . , n. Demostraci´ on.- i) Si existe tal f , de la proposición anterior se deducirá que → → es u ´ nica. Para demostrar la existencia, definimos f ( p + − u ) = q + φ(− u ) y comprobamos que es afinidad, y que tiene a φ como aplicación lineal asociada:

−−−−−→

−−−−−−−−−−−−−− −→ →

−−−−−−−−−−−−−−−− −→ →

− → p + pb) = (q + φ( pa))(q − → f (a)f (b) = f ( p + pa)f ( + φ( pb)) → −

→ −

→ −

− → = φ( pb − pa) − → = φ( pb + − → = φ( pb) − φ( pa) ap) → −

= φ(ab)

→ −−→ ii) Como a0 , . . . , a n es referencia baricéntrica, {− a− 0 a1 , . . . , a0 an } es base de E 1 . → −−→ Definamos φ : E 1 → E 2 dando su acción en esta base, por φ(− a− 0 ak ) = b0 bk . La afinidad f buscada, si existe, debe tener necesariamente a φ como parte lineal, −−−−−−−→ −−→ → −−→ puesto que f (− a− 0 ak ) = f (a0 )f (ak ) = b0 bk = φ(a0 ak ). Podemos definir f (a) = −→ f (a0 + − a→ 0 a) = b 0 + φ(a0 a), que es afinidad y cumple f (ai ) = b i obviamente. La unicidad se sigue del apartado i). 



2.2.3 Lo siguiente que queremos comprobar es que las afinidades pueden componerse sin problemas: Proposici´ on Dadas f : A1 → A2 y g : A2 → A3 afinidades, entonces g ◦ f : A 1 → A3 es afinidad, y g ◦ f = g ◦ f .



Demostraci´ on.- Basta hacer un sencillo cálculo:

→ −

−−−−−−−−−−−−−→

g ◦ f (ab) = (g ◦ f (a))(g ◦ f (b))

−−−−−−−−−−→

= g(f (a))g(f (b))

−−−−−→

= g(f (a)f (b))

  

→ −

= g(f (ab))

→ −

= g ◦ f (ab) 

2.2.4 La relaci´ on entre una afinidad y su aplicación lineal asociada es tan estrecha, que el siguiente resultado deber´ıa ser esperable:



40



Proposici´ on Dada una afinidad (f, f ) de (A1 , E 1 , ϕ1 ) en (A2 , E 2 , ϕ2 ), se cumple: a) f inyectiva ⇔ f inyectiva. b) f sobreyectiva ⇔ f sobreyectiva. c) f biyectiva ⇔ f biyectiva.

  

Demostraci´ on.- a) Comencemos por probar ⇒ ). −−−−−−−−−− → → → → → → Dado que f (a)f (a + − w ) = f (− w ) para cualquier − w , si f (− u ) = f (− v ), se −−−−−−−−−− → − − −− −− −− −− → → − → − sigue que f (a)f (a + u ) = f (a)f (a + v ). Por la definición de espacio af´ın se → → → → tiene f (a + − u ) = f (a + − v ) y, como f es inyectiva, a + − u = a + − v . De nuevo − → − → las propiedades de espacio af´ın aseguran que u = v . → −−−−−→ − − → ⇐) Si f (a) = f (b) entonces f (ab) = f (a)f (b) = 0 . Como f es inyectiva se tiene → − − → ab = 0 , por lo que a = b.



 





→ → → → b) ⇒) Sea − v ∈ E 2 . Busco − u ∈ E 1 tal que − v = f (− u ). Sean a2 , b2 tales − − → − → que v = a2 b2 . Como f es sobre, existen a 1 , b1 tales que f (a1 ) = a 2 , f (b1 ) = b 2 . −−−−−−−→ −−→ −−→ → → Luego − v = f (a1 )f (b1 ) = f (a1 b1 ). Basta tomar − u = a1 b1 . ⇐) Sea a 2 ∈ A2 . Busco a1 ∈ A 1 tal que f (a1 ) = a 2 . Sea p2 ∈ Im(f ), p 2 = f ( p1 ). →2 = p−− → − → − → − → −−→ Sea − u 2 a2 . Como f es sobre, existe u1 tal que f (u1 ) = u2 = p2 a2 . Sea →1 . Entonces f (a1 ) = f ( p1 ) + f (− →1 ) = p 2 + − →2 = a2 . a1 = p 1 + − u u u









c) Se sigue de los dos apartados anteriores.





2.2.5 De lo anterior, se deduce fácilmente que la inversa de una afinidad biyectiva es afinidad: Proposici´ on Si f es una afinidad biyectiva de (A1 , E 1 , ϕ1 ) en (A2 , E 2 , ϕ2 ) con aplicaci´ on lineal asociada f , entonces f −1 es afinidad con aplicaci´ on lineal

           

asociada f −1 = f

−1

.

Demostraci´ on.- Dados a2 , b2 ∈ A2 , sean a1 = f −1 (a2 ), b1 = f −1 (b2 ). −− − − −−−−−−−→ −−−−−−−→ −−→ −−→ Entonces f (f −1 (a2 )f −1 (b2 )) = f (a1 b1 ) = f (a1 )f (b1 ) = a2 b2 , de modo que

−− −−−−−− −− −→ 1 1 −−

f (a2 )f (b2 ) = f

−1

−−→

(a2 b2 ), por lo que f −1 es afinidad, y tiene como apli-

caci´ on lineal asociada a f

−1

.



2.2.6 Definici´ on Una afinidad biyectiva se llama isomorfismo af´ın . Dos espacios afines son isomorfos si existe un isomorfismo af´ın entre ellos. Observaciones • Si (A1 , E 1 , ϕ1 ) es isomorfo a (A2 , E 2 , ϕ2 ), entonces existe f : A1 → A2 isomorfismo af´ın. En particular, f : E 1 → E 2 es una aplicación lineal biyectiva, de modo que E 1 es isomorfo a E 2 .




41

2.3. ALGUNAS AFINIDADES IMPORTANTES

• Rec´ıprocamente, si E 1 es isomorfo a E 2 y φ : E 1 → E 2 es isomorfismo, tomamos a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , y existe una única afinidad f con f (a1 ) = a2 y



f = φ. Como φ es biyectiva, f también lo es, de modo que (A1 , E 1 , ϕ1 ) es isomorfo a (A2 , E 2 , ϕ2 ). • Se deduce que dos espacios afines de dimensión finita sobre el mismo cuerpo on. En particular, todos los k son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensi´ espacios afines de dimensión n sobre k son isomorfos al espacio af´ın estándar k n (con A = k n , E = k n , ϕ k ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = (y1 − x1 , . . . , yn − xn )). De hecho, si (A,E,ϕ) es un espacio af´ın de dimensión n sobre k, el simple hecho de elegir coordenadas cartesianas en él produce un isomorfismo expl´ıcito con k n: → Sea R = { p; − v1 , . . . , − v→ n } una referencia cartesiana en A. Definimos: F : A −→ kn a −→ (x1 , . . . , xn ) donde (x1 , . . . , xn ) son las coordenadas de a en R . Si ahora b tiene coordenadas (y1 , . . . , yn ), podemos calcular

→ −

→ −

− →

→ pb = pb − pa = − → (y1 − x1 )− → ab = − ap + v1 + · · · + (yn − xn )− v→ n.

As´ı,

  → −

ϕk (F (a), F (b)) = (y1 − x1 , . . . , yn − xn ) =: F ab ,

→ → → donde F es la aplicación lineal determinada por F ( − vj ) = − ej , siendo − ej el j-ésimo n valor de la base canónica de k .



2.3.



Algunas afinidades importantes

En esta sección vamos a describir algunos de los tipos más importantes de afinidades de un espacio af´ın en s´ı mismo.

→ 2.3.1 Definici´ on Sea (A,E,ϕ) un espacio af´ın. Dado − v ∈ E , la aplicación − → − → → − T − que env´ ı a p al u ´ nico punto q tal que pq = v (es decir, T → → − v v ( p) = p + v ) se → llama traslaci´ on de vector − v en A. 2.3.2 Es muy sencillo comprobar que las traslaciones son, en efecto, afinidades:

−−−−−−−−−→ −−−−−→ − → −−−−−→ T − → → → → v (a)T − v (b) = T − v (a)a + ab + bT − v (b) −−−−−→

→ −

−−−−−→

= −aT − → → v (a) + ab + bT − v (b)

→ −

→ → = −− v + ab + − v =

− → ab

→ −

= Id(ab),



42



de modo que T − v = Id. → → v es afinidad, y T−



Rec´ıprocamente, si f es una afinidad tal que f = Id, dados a, b cualesquiera −−−−−→ → − − → se tiene f (a)f (b) = f (ab) = ab. Luego, por la identidad del paralelogramo, −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ → f (a)a = f (b)b, es decir af (a) = bf (b) = − v0 (el mismo vector independientemente del punto). −−−→ → As´ı que f ( p) = p + pf ( p) = p + − v0 = T − → → v ( p), por lo que f = T − v .



0

0

Hemos comprobado, por tanto:



Proposici´ on Una afinidad f de (A,E,ϕ) en s´ı mismo cumple f = Id | si y s´ olo si es una traslaci´ on. E

2.3.3 Si E es un espacio vectorial, y ( E , E , ϕ) es la estructura natural de − → − → − → espacio af´ın sobre E , entonces las traslaciones T − → w : u → u + w son aplicaciones afines de (E , E , ϕ), pero no son aplicaciones lineales del espacio vectorial E (a − → → menos que − w = 0 , que corresponde a la identidad). 2.3.4 Definici´ on Una afinidad f : A → A es una homotecia de raz´ on r (r  = 0, 1) si f = rId| .



E

2.3.5 A diferencia de las traslaciones, las homotecias fijan algún punto. ¿Cómo calcular a tal que f (a) = a?:

− → = f ( p) + f ( pa) − → = f ( p) + r pa − → f (a) = f ( p + pa)



para un p cualquiera, de modo que a = f (a)

 − → a = f ( p) + r pa  −−−→

−−−→

− → f ( p)a = r pa − → f ( p) p + pa =  − → pa =

1 −−−→ pf ( p) 1−r

1 −−−→ pf ( p) = a es un punto fijo 1−r −−−→ por f . Sea entonces a un punto fijo. Dado cualquier x ∈ A, tenemos af (x) = −−−−−−→ → = r − → por lo que f (x) = a + r− → f (a)f (x) = f (− ax) ax, ax. As´ı que dado p ∈ A cualquiera, el punto p +




43


Vemos entonces que sólo hay un punto fijo, puesto que si b  = a fuera otro → − − → → − punto fijo, entonces b = f (b) = a + r ab ⇒ ab = r ab ⇒ r = 1. Al u ´ nico punto fijo se le llama centro de la homotecia, y al número r su raz´ on . Una vez conocidos centro y razón, la homotecia queda determinada por

→ f (x) = a + r− ax. 2.3.6 Ejemplo En la figura 2.2 está representada una homotecia en R2 de razón r = − 2 y centro a = (1, 1).

f(q)

p

a q

f(p)

Figura 2.2: Una homotecia de razón − 2. Se puede comprobar que f lleva rectas en rectas, conservando ademá s la noción de paralelismo. Sin embargo, f no preserva distancias, al menos con la noción habitual de distancia. Volveremos a este tipo de consideraciones más adelante. 2.3.7 Definici´ on Una aplicación af´ın f : A → A es una proyecci´ on si f 2 = f . 2.3.8 El estudio de las propiedades de las proyecciones va a dejar claro el porqué del nombre: En primer lugar, observamos que si b es un punto fijo (es decir, tal que f (b) = b), entonces b ∈ Im(f ), el conjunto imagen de f (lo cual es obviamente cierto para cualquier afinidad). Además, si b ∈ f (A), existe un a ∈ A tal que b = f (a), y como f es proyección se sigue que f (b) = f 2 (a) = f (a) = b, y b es punto fijo. Resumiendo:

{Puntos fijos de una proyección f } = Im(f ).



44

   

Por otra parte, si f es proyección entonces ( f )2 = f (compruébalo: es un ejercicio sencillo). De modo que el polinomio m´ınimo mf de f divide a x2 − x

− →

 

(dado que (f )2 − f ≡ 0 ). Recuerda en este punto que el polinomio m´ınimo es el polinomio mónico* de menor grado al que anula la aplicación lineal; el polinomio caracter´ıstico es múltiplo de él. As´ı que, seg´ un sea m f , hay tres casos posibles:



 −→

−−−−−→



→ −

− →

(i) Si mf (x) = x ⇒ f ≡ 0 . De modo que f (a)f (b) = f (ab) = 0 ∀a, b, luego f (b) = f (a) ∀ a, b, de modo que f es constante (es la proyección sobre un punto, si se quiere). (ii) Si m f (x) = x − 1 entonces f = Id | , de modo que f es una traslación. Pero como f es una proyección tiene necesariamente puntos fijos. La única posibilidad es f = T − → = Id | . 0 (iii) Si m f (x) = x(x − 1), sabemos por álgebra lineal que E = E 0 E 1 donde









E

A





− →



E 0 es un subespacio invariante en el que f| ≡ 0 (autoespacio de autovalor 0), y E 1 es subespacio invariante en que f| = Id | (autoespacio de autovalor 1). E0

E1

E1

Obviamente los dos primeros casos carecen de mucho interés. Para el tercero, si p es un punto fijo y a es un punto cualquiera entonces

− → f (a) = f ( p + pa) →0 + − →1 ) = f ( p) + f (− u u

  

→0 ) + f (− →1 ) = f ( p) + f (− u u →1 = f ( p) + − u →1 , = p+− u → − →0 + − →1 es la descomposición de − → donde − pa = u u pa asociada a la de E como suma directa E = E 0 E 1 . De modo que f (a) ∈ p + E 1 . Por otra parte, se tiene



−−−→

−−−→

− → f (a)a = f (a) p + pa →1 + − →0 + − →1 = −− u u u →0 ∈ E 0 . = − u Por tanto hemos comprobado que f (a) ∈ (a + E 0 ) ∩ ( p + E 1 ), donde p es un → − punto fijo. Como (a+E 0 ) ∩ ( p+E 1 ) es una variedad de dirección E 0 ∩ E 1 = { 0 } , *

Un polinomio es

m´ onico cuando

el coeficiente del monomio de grado más alto vale 1.


45


deducimos que

{f (a)} = (a + E 0 ) ∩ ( p + E 1 ), lo cual caracteriza f (a) geométricamente. 2.3.9 Ejemplos • La figura 2.3 representa una proyección sobre una recta en dirección paralela a otra recta en R 2 .

A E1

E0 a

p

a+ E p+ E1

0

f(a)

Figura 2.3: Proyección sobre una recta en R 2 .

• En R 3 hay dos posibilidades diferentes: el caso dim( E 0 ) = 2, dim(E 1 ) = 1, ver figura 2.4 (proyección sobre una recta p + E 1 en dirección paralela a un plano p + E 0 ), o el caso dim(E 0 ) = 1, dim(E 1 ) = 2, ver figura 2.5 (proyección sobre un plano en dirección paralela a una recta). 2.3.10 En dimensión 3 no existe algo as´ı como proyectar sobre una recta en direcci´ on paralela a otra recta (no cuadran las dimensiones). Hay que hacer constar tambi´ en que las proyecciones no son, en general, biyectivas (lo cual es una diferencia importante respecto a las traslaciones y homotecias). Otra observación importante, del mismo tipo de la que hicimos en la sección 2.3.3 sobre traslaciones en un espacio vectorial E equipado de su estructura canónica de espacio af´ın. En ese caso, cualquier proyección sobre un subespacio vectorial en dirección de otro subespacio vectorial (de las dimensiones adecuadas) es una aplicación lineal. Las proyecciones sobre variedades lineales que no pasen por el origen de E son afinidades pero no son aplicaciones lineales.



46

E

A a a+ E0

E1

f(a)

E0

p+ E1

p

Figura 2.4: Proyección sobre una recta en R3 .

E

A E1 p+ E1 a+ E0

E0

f(a)

a

p

Figura 2.5: Proyección sobre un plano en R 3 .


47


2.3.11 Ejemplo Sea f la proyección sobre el plano x + y + x − 1 = 0 en R3 en la dirección del vector  (0, 1, 1). Por el estudio del párrafo 2.3.8, sabemos que f (a,b,c) es el u ´ nico punto que hay en la intersección

{(a,b,c) + (0, 1, 1) } ∩ {x + y + z − 1 = 0 }. Las dos ecuaciones de la recta ( a,b,c) + (0, 1, 1) junto a la del plano x + y + z − 1 = 0 dan un sistema

cuya u ´ nica solución es

As´ı que

f (a,b,c) =



a,

     

x−a = 0 y − b = z − c x + y + z = 1

x = a y

=

1+b−c−a 2

z

=

1+c−b−a 2

1 + b − c − a 1 + c − b − a , 2 2

      =

1 1 0, , + 2 2

1

0

−

1 2

1 2

−

1 2

−

0

−

1 2

1 2 1 2

       a b c

.

Veremos más adelante (ver sección 2.6) que éste es el aspecto t´ıpico de una afinidad expresada en coordenadas cartesianas. 2.3.12 Definici´ on Una afinidad f : A → A es una simetr´ıa si f 2 = Id A . 2.3.13 Supongamos char(k)  = 2. Sea f una simetr´ıa. 1 1 Sea a un punto cualquiera, y sea m definido por m = a + f (a), es decir, 2 2 1− 1 −−−→ − → → pm = pa + pf (a) ∀ p ∈ A. 2 2 −−→ → 1− Tomando p = a vemos − am = af (a). Por tanto 2



 

1 −−−→ 1 −−−−−−→ 1 −−−→ −−→ → = f 1 − f (a)f (m) = f (− am) af (a) = f (af (a)) = f (a)f 2 (a) = f (a)a,

−−−−−−→



2

2

2

2



48

−−−−−−→ 1 −−−→ 1 −−−−−−→ de modo que f (a)f (m) = f (a)a + f (a)f (a), de lo que podemos deducir que 2 2 1 1 f (m) = a + f (a) = m. 2 2 As´ı que: una simetr´ıa siempre fija el punto medio entre un punto cualquiera y su imagen .



2.3.14 No es dif´ıcil comprobar que si f es simetr´ıa entonces ( f )2 = Id, de modo que m f divide a x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Casos:



  f = Id . • (ii) m (x) = x + 1 ⇔ f = − Id ⇔ f es una homotecia de razón r = − 1. Por tanto existe un único punto fijo p y para cualquier a se tiene • (i) m f (x) = x − 1 ⇔ f = Id E ⇔ f es una traslación. Como tiene puntos fijos, A

E

f

− → f (a) = p − pa  −−−→

− → pf (a) = − pa  −−−→

−−−→

−−−→

− → + af (a) = f (a) p + af (a) = − → pa ap  −−→ 1 −−−→ 1 → − → 1− ap = af (a) = af (a) + − aa 2

2

2

 p =

1 1 a + f (a). 2 2

En realidad, el cálculo anterior era previsible por lo que sab´ıamos. El único punto fijo, centro de la homotecia de razón − 1, es el punto medio entre cada punto y su imagen (ver figura 2.6). (También se llama a una aplicación como esta simetr´ıa central de centro p).

• (iii) mf (x) = (x + 1)(x − 1) ⇒ E = E 1

 





de f de autovalor 1 ( f| (f| = − IdE ). E−1

E1

−1



E −1 , donde E 1 es el autoespacio

= IdE ) y E −1 es el autoespacio de autovalor −1 1


49


f(q) p

a f(p) q

Figura 2.6: Una simetr´ıa central en R 2 . Si p es un punto fijo de f y a ∈ A es cualquier otro punto, entonces

− → f (a) = f ( p + pa) − → = f ( p) + f ( pa)



→1 ) + f (− → = p + f (− u u− −1 )

 

→1 − − → = p+− u u− −1 ,

→ − →1 + − → − → −−→ → donde − pa = u u− on de − pa asociada −1 , u1 ∈ E 1 , u−1 ∈ E −1 es la descomposici´ a la suma directa E = E 1 E −1 . → →1 + − → −−→ − Como a = p + − u u− −1 , se tiene a = f (a) ⇔ u−1 = 0 ⇔ a ∈ p + E 1 .



1 1 Ya sab´ıamos { Puntos fijos de f } = { Puntos medios a + f (a), a ∈ A }. En2 2 tonces ∀ a ∈ A se tiene 1 1 a + f (a) ∈ p + E 1 , 2 2

−−−→

→1 + − → −−→ − → −−→ y si a = p + − u u− −1 entonces af (a) = − 2u−1 (pues f (a) = p + u1 − u−1). De modo que f (a) ∈ a + E −1 . Estas dos condiciones determinan f (a). Llamamos a esta aplicación simetr´ıa respecto a p + E 1 en la dirección de E −1 . 2.3.15 Ejemplos En las figuras 2.7 , 2.8, 2.9 vemos ejemplos de simetr´ıas en R2 y R3 (obviamente relacionadas con las proyecciones descritas en la sección 2.3.9).



50

Nota que el mismo tipo de observaciones que hicimos en la sección 2.3.10 al respecto de las distintas posibilidades que existen en función del espacio ambiente se aplican también al caso de las simetr´ıas.

A E−1

E1

a+ E

−1

p p+ E1

a

f(a) Figura 2.7: Simetr´ıa sobre una recta en R 2 .

E

A a+ E−1 E1

f(a) p+ E1

E−1

p

a

Figura 2.8: Simetr´ıa sobre una recta (en dirección a un plano) en R 3 .

2.3.16 Ejemplo


51


E

A E1 f(a) p+ E1

a+ E−1 a

E−1

p

Figura 2.9: Simetr´ıa sobre un plano (en dirección a una recta) en R 3 . Consideremos la aplicación f : R 2 → R 2 definida por

    x y

→

8 3 4 + x − y 5 5 5 16 4 3 − x− y 5 5 5

 

=

 

8 5 16 5

 

+

 

3 5

−

4 5

−

4 5

−

3 5

     x y

Se comprueba directamente que

      x

f f

=

y

        

   

  

8 3 + 5 5

8 3 4 4 + x − y − 5 5 5 5

16 4 3 − x− y 5 5 5

16 4 − 5 5

8 3 4 3 + x − y − 5 5 5 5

16 4 3 − x− y 5 5 5

x

=

,

y

por lo que f es una simetr´ıa.

Si A =

 

3 5

4 − 5

 

, se tiene det(A − λI ) = λ 2 −

4 3 − 5 5 autovalores son λ ± 1, como esperábamos.

−

9 16 − , con lo que los 25 25



52 Para el autovalor λ = 1 tenemos

ker(A − I ) →

 

2 − 5

4 − 5

4 − 5

8 − 5

         x

0

=

y

,

0

as´ı que el autoespacio correspondiente (que da la dirección de la variedad sobre la que se hace la reflexión) tiene ecuación x = −2y. Un vector generador es, por ejemplo, ( −2, 1). Si buscamos un punto fijo, tenemos que resolver 8 3 4 + x − y 5 5 5

= x

16 4 3 − x− y 5 5 5

= y

 

que da x = 4 − 2y. Por ejemplo el punto (4 , 0) es un punto fijo, de modo que f es una simetr´ıa respecto de la recta (4 , 0) +  (−2, 1), que tiene ecuación x−4 y − 0 = , es decir x + 2y − 4 = 0 (obviamente, es la misma ecuación que −2 1 obtuvimos al buscar los puntos fijos). ¿Y cuál es la dirección de reflexión?

ker(A + I ) →

 

8 5

4 − 5

4 − 5

2 5

         x

0

=

y

,

0

que da la ecuación x = 2y.

E−1

p+E1

p

Figura 2.10: Simetr´ıa sobre x + 2y − 4 = 0 en la dirección de x = 2y.


´ ES UNA AFINIDAD 2.4. NO TODA APLICACI ON

2.4.

53

No toda aplicaci´ on es una afinidad

El u ´ nico objetivo de esta sección es dar un ejemplo sencillo de la existencia de aplicaciones de un espacio af´ın en s´ı mismo que, pese a tener contenido geométrico, no son aplicaciones afines. Basta tomar A = R 2 , el plano af´ın real. Denotemos por (x, y) las coordenadas respecto de la referencia cartesiana usual, y sea L la recta af´ın de ecuación x = 1. Sea f la aplicación que env´ıa un punto (a, b) ∈ R 2 con la intersección de L con la recta que pasa por (0, 0) y por (a, b) (figura 2.11).

L q

f(q)

p

f(p)

Figura 2.11: Las proyecciones radiales desde un punto no son afinidades. Es obvio que obligatoriamente f (a, b) = λ(a, b) para cierto λ. Para calcular 1 λ, basta imponer f (a, b) ∈ L, lo cual produce λ = . Es decir, que la expresión a de f en coordenadas cartesianas es f (a, b) =

  1,

b a

que, por culpa de la a dividiendo no es de la forma

    c1 c2

+ M

a b

, de

modo que no puede ser una afinidad. ** La estructura que hace falta para comprender estas aplicaciones no es la de espacio af´ın sino la de espacio proyectivo. La estudiaremos más adelante. **

Aparte de que la expresión en coordenadas muestra algo que es obvio en la figura 2.11: f no est´ a definida en la recta x = 0.



54

2.5.

M´ as propiedades de las afinidades

2.5.1 La primera propiedad interesante tiene que ver con el comportamiento de las variedades lineales: Proposici´ on (a) Si f : A1 → A2 es una aplicaci´ on af´ın y a + F es una variedad lineal de A 1 , entonces f (a + F ) es variedad lineal de A 2 y f (a + F ) = f (a) + f (F ).



(b) Si b+G es una variedad lineal de A2 y a ∈ f −1 (b+G), entonces f −1 (b+G) es variedad lineal de A1 y f −1 (b + G) = a + f −1 (G).



→ − Demostraci´ on.- (a) Sean p, q ∈ f (a + F ). Existen − u ,→ v ∈ F tales que − − − −− − −− − −− − −− → → − → − − → → − → − → → p = f (a + u ), q = f (a + v ), con lo que pq = f (a + u )f (a + v ) = f (− v −− u ) ∈ f (F ).





(b) Si x ∈ f −1 (b + G), entonces f (x) ∈ b + G. Como además f (a) ∈ b + G −−−−−→ → = − por hipótesis, f (− ax) f (a)f (x) ∈ G. → cumple − → ∈ f −1 (G), puesto que f (− → ∈ G. As´ı que Luego x = a + − ax ax ax) f −1 (b + G) ⊂ a + f −1 (G). → ∈ f −1(G), de modo que Rec´ıprocamente, si x ∈ a + f −1 (G), entonces − ax −−−−−−→ − − − → → ∈ G. Pero también f (a)b ∈ G por hipótesis (f (a) ∈ b + G), f (a)f (x) = f (− ax) −−−→ −−−→ −−−−−−→ luego bf (x) = bf (a) + f (a)f (x) ∈ G, y por lo tanto f (x) ∈ b + G de modo que x ∈ f −1 (b + G) 











 

2.5.2 Corolario Si f es afinidad de A1 en A 2 entonces: (a) Im(f ) es variedad lineal de dimensi´ on rango(f ). (b) f lleva variedades lineales paralelas en variedades lineales paralelas.







Demostracion.- (a) Simplemente porque dim( f (E 1 )) = rg(f ). (b) Es muy sencillo, y lo dejamos como ejercicio.



2.5.3 Una observación importante es que tres puntos alineados (i.e. que están en una recta) van por una aplicación af´ın a tres puntos alineados (o los tres al mismo): −−−−−−−→ → −−→ Si a3 ∈ a1 +− a− 1 a2  entonces f (a3 ) ∈ f (a1 )+ f (a1 a2 ) = f (a1 )+ f (a1 )f (a2 ), que es una variedad lineal de dim 0 si f (a1 ) = f (a2 ) o una recta si no. Esta observación, junto al corolario anterior, muestra que:



Las afinidades conservan la colinearidad y el paralelismo 2.5.4 Proposici´ on Si el conjunto de puntos fijos de una afinidad f : A → A es no vac´ıo, entonces es una variedad lineal con direcci´ on dada por el espacio de autovectores de f de autovalor 1.



La demostración es un ejercicio sencillo.


´ PROPIEDADES DE LAS AFINIDADES 2.5. M AS

55

2.5.5 Las afinidades se comportan bien respecto de las coordenadas baricéntricas: r

Proposici´ on Si f : A1 → A2 es una afinidad y x = afines ( x1 + · · · + xr = 1), entonces f (x) =

xi ai , en coordenadas

i=1

r





xi f (ai).

i=1

→ Demostraci´ on.- Si p es un punto cualquiera de A 1 tenemos − px =

r



−→i , xi pa

i=1

por lo que

−−−−−−→

r

  

− → = f ( p)f (x) = f ( px)

−→i ) = xi f ( pa

i=1

r



−−−−−−→

xi f ( p)f (ai ).

i=1



Corolario Toda aplicaci´ on af´ın lleva el baricentro de r puntos al baricentro de sus im´ agenes. Es decir, que las afinidades se comportan en coordenadas afines como aplicaciones lineales. De hecho, el rec´ıproco es cierto: Proposici´ on Una aplicaci´ on f : A 1 → A2 es af´ın ⇔ siempre que x 1 + · · · + r

xr = 1 se tiene f (



r

xi ai ) =

i=1



xi f (ai ).

i=1

Demostraci´ on.- Fijemos un punto p ∈ A1 . Definimos una aplicación lineal → → f : E 1 → E 2 del modo siguiente: dado − u ∈ E 1 , tomamos q = p + − u (es decir, − → − → q es tal que pq = u ), y definimos



−−−−−→

→ →) = f ( p)f (q ). − f (− u ) = f ( pq





      

No es dif´ıcil comprobar que esta f es lineal: → →y− → → sea s = p + − → → → = − → → Dados − u = − pq v = − pr, u + − v , es decir que − ps u + − v . Tenemos −−−−→ → → → = − − f (− u +− v ) = f ( ps) f ( p)f (s), y

−−−−−→

−−−−−→

→ → →) + f ( pr) − → == f ( p)f (q ) + f ( p)f (r), − f (− u ) + f (− v ) = f ( pq

y debemos comprobar que ambas expresiones coinciden, es decir

−−−−−→

−−−−−→

−−−−−→

f ( p)f (s) = f ( p)f (q ) + f ( p)f (r), lo cual equivale a f (s) = −f ( p) + f (q ) + f (r). Por la hipótesis sobre f , basta que probemos s = − p + q + r, es decir → − − → + pr, → lo cual es cierto por construcción. − ps = pq



56

→ →, y sea r = p + k − → → → − Sean ahora − u = − pq u (es decir, que − pr = k u ). Tenemos −−−−−→

→ f (− u ) = f ( p)f (q ),

 

mientras que

−−−−−→

→ f (k − u ) = f ( p)f (r), −−−−−→

−−−−−→

y debemos probar f ( p)f (r) = k f ( p)f (q ), lo cual significa f (r) = (1 − k)f ( p) + → →, que es cierto por − kf (q ). Basta ver que r = (1 − k) p + kq , es decir que − pr = k pq construcci´ on. S´ olo resta ver que f es la aplicación lineal asociada a f : dados a, b ∈ A se tiene



→ −

→ −

−−−−−→

→ −

−−−−−−→

−−−−−→

− → = f ( pb) − f ( pa) − → = f ( p)f (b) − f ( p)f (a) = f (a)f (b). f (ab) = f ( pb − pa)





 



2.5.6 Otra caracterización de las afinidades se puede dar en t´ erminos de ra − − → → zones simples. Recordemos que (a1 a2 a3 ) = r quiere decir a1 a3 = r − a− 1 a2 (ver la definici´ on 1.5.1). Lema Las afinidades preservan la raz´ on simple. Demostraci´ on.- Basta calcular:

− → −−→ a− 1 a3 = r a1 a2 ⇓ −−−−−−−→

−−−−−−−→

→ −−→ f (a1 )f (a3 ) = f (r− a− 1 a2 ) = r f (a1 a2 ) = r f (a1 )f (a2 )



⇓



(f (a1 )f (a2 )f (a3 )) = r 

De hecho, el hecho de preservar las razones simples y la relación de colinearidad caracteriza también las afinidades: Teorema Si k no es de caracter´ıstica 2, una aplicaci´ on f : A1 → A2 es afinidad si y s´ olo si conserva alineaciones de puntos y sus razones simples. Demostraci´ on.- Fijemos un p ∈ A1 como en la prueba de la última pro− →, definamos posició n en el párrafo 2.5.5. Para cualquier vector de la forma pq − − − − − → →) = f ( p)f (q ) (como dado − − → → → = − → f ( pq u podemos tomar q = p + − u y se tiene − pq u, → − − → esta regla define f ( u ) para cualquier u ). Queremos comprobar que f es una aplicaci´ on lineal:








´ PROPIEDADES DE LAS AFINIDADES 2.5. M AS

57

−−−−−→

→ pq − →. Tenemos f ( pq − → + pr) − → = f ( ps) − → = f ( p)f (s). − Dados q, r ∈ A1 , sea s = p + pr+ →) + f ( pr) − → = − Queremos comprobar que esta última cantidad coincide con f ( pq −−−−−→ −−−−−→ f ( p)f (q ) + f ( p)f (r). 1 1 1 Sea t = r + q el punto medio entre r y q , que cumple (rqt) = . Por la 2 2 2 1 −−−−−→ 1 −−−−−→ hip´ otesis sobre f , se tiene (f (r)f (q )f (t)) = , por lo que f (r)f (t) = f (r)f (q ), 2 2 1 1 es decir, f (t) = f (q ) + f (r) o, equivalentemente 2 2



−−−−−→

f ( p)f (t) =

 



1 −−−−−→ 1 −−−−−→ f ( p)f (r) + f ( p)f (q ). 2 2

1 1 1− − → → = 1 pr + → 1 pq − →. − Pero también se tiene t = p + s, puesto que pt = ps 2 2 2 2 2 1 1 El mismo razonamiento de antes muestra entonces que f (t) = f ( p) + f (s) 2 2 luego, en particular −−−−−→ 1 −−−−−→ f ( p)f (t) = f ( p)f (s). 2

−−−−−→

−−−−−→

Juntando las dos expresiones obtenidas para f ( p)f (t), obtenemos f ( p)f (s) = −−−−−→ f ( p)f (q ) + c, como quer´ıamos probar.

→. Es decir, que x es tal que − − → →, con lo − Por otra parte, sea x = p + λ pq px = λ pq que ( pqx) = λ. Como f preserva la razón simple, tenemos (f ( p)f (q )f (x)) = λ, −−−−−→ −−−−−→ − → = − →). − con lo que f ( px) f ( p)f (x) = λf ( p)f (q ) = λ f ( pq

 



As´ı que f es una aplicación lineal. Por construcción, es la aplicación lineal  asociada a f , que es entonces una afinidad. 2.5.7 El Teorema de Thales es una consecuencia sencilla de que la razón simple sea invariante por afinidades. Basta tomar dos rectas L 1 y L 2 en el plano. Sea L1 ∩ L 2 = { p}, y tomemos dos puntos q, r ∈ L1 distintos de p. Sea f una proyección sobre L2 en alguna dirección (no paralela a la dirección de L2 ), y sean s = f (q ), t = f (r) (ver la figura 2.12). Esta construcción produce dos tri´ angulos semejantes : el de vértices p,q,s y el de vértices p,r, t. Como f debe preservar razones simples, tenemos ( pqs) = (f ( p)f (q )f (s)) = ( prt), es decir

pr pt = . pq ps

Del mismo modo, es sencillo dar ahora una prueba más elegante del Teorema de Menelao (Teorema 1.5.5 y figura 1.7): Sea f la proyección sobre la recta generada por a0 y a2 en la dirección de la recta que contiene a los bi, y sea p = f (a1 ). Observa que f (b0 ) = f (b1 ) = f (b2 ) = b 1 (ver la figura 2.13).



58

L1

r q

f p L2

s t

Figura 2.12: La invariancia de la razón simple por proyecciones implica el Teorema de Thales.

a1 b2 b0 b1 a0

p

a2

Figura 2.13: Otra prueba del Teorema de Menelao.


59

2.6. AFINIDADES Y COORDENADAS

Dado que f conserva razones simples, tenemos k1 := (b0 a1 a2 ) = (b1 pa2 ),

k2 := (b1 a2 a0 ),

k3 = (b2 a0 a1 ) = (b1 a0 p)

o, equivalentemente

−−→

−→

b1 a2 = k1 b1 p,

−−→

−−→

−−→

−→

b1 a0 = k2 b1 a2 ,

−→

−−→

b1 p = k3 b1 a0 ,

−−→

−−→

de modo que b1 a2 = k 1 b1 p = (k1 k3 )b1 a0 = (k1 k2 k3 )b1 a2 , luego k 1 k2 k3 = 1.

2.6.

Afinidades y coordenadas

2.6.1 Comencemos por estudiar cómo es una afinidad en coordenadas cartesianas. Veremos que siempre es una expresión del tipo f (x) = b + M x.

− − → −→ Sea f : A 1 → A2 una afinidad, y R 1 = { p; → e1 , . . . , − e→ n }, R2 = { q ; u1 , . . . , um } referencias cartesianas de A 1 y A 2 respectivamente. Como ya sabemos, − → = f ( p) + f ( px) − → f (x) = f ( p + px)



Sean (x1 , . . . , xn) las coordenadas de x en R1 , y M = (aij ) (donde i = → → 1, . . . , m, y j = 1, . . . , n) la matriz de f en las bases B 1 = { − e1 , . . . , − en } de E 1 y − → − → → − − → − → B 2 = {u1, . . . , um} de E 2 (es decir, f ( ej ) = a1j u1 + · · · + amj um). − → en B 2 son Entonces las coordenadas de f ( px) M · x =

  

 

a11 .. .

···

am1

· · · amn

a1n .. .

     x1 .. .

.

xn

Si b = (b1 , . . . , bm) son las coordenadas de f ( p) en R 2 , entonces las coordenadas de f (x) en R 2 son

                      x1 .. .

b1 .. .

=

xm

+

bm

···

a1n .. .

x1 .. .

am1

· · · amn

xn

que también se suele escribir x1 .. .

=

xm 1

           

a11 .. .

a11 .. .

···

am1 0

· · · amn bm ··· 0 1

a1n .. .

b1 .. .

x1 .. .

xn 1

,

.

M b es la matriz de la afinidad f en las referencias 0 1 R1 y R 2 . Nota que coordenada a coordenada es: La matriz N =

x1

= a11 x1 + · · · + a1n xn + b1 .. .

xm

= am1 x1 + · · · + amn xn + bm

 

 



60

Observacion.- Dadas ecuaciones en coordenadas como las anteriores, existe una aplicación af´ın g : A 1 → A 2 cuya matriz en las referencias R 1 , R2 dadas es a11 · · · a1n b1 .. .. .. . . . . Es decir, que hay una correspondencia 1 − 1 entre am1 · · · amn bm 0 ··· 0 1 M b afinidades y ecuaciones del tipo f (x) = b + Mx ( ⇔ Matrices ). 0 1

  

  





2.6.2 La proposición siguiente nos asegura que una composición de afinidades se traduce en coordenadas en un producto de matrices. Proposici´ on (a) Sean A1 , A2 , A3 espacios afines con referencias cartesiaM b nas R 1 , R2 , R3 . Si la matriz de f 1 : A1 → A2 en R 1 y R 2 es N = y 0 1 C d la de f 2 : A2 → A 3 en R 2 y R 3 es L = , entonces f 2 ◦ f 1 es afinidad 0 1 C d M b CM Cb + d con matriz LN = = . 0 1 0 1 0 1 M b (b) Si f : A → A es afinidad biyectiva con matriz N = en la 0 1 referencia cartesiana R, entonces f −1 : A → A es afinidad con matriz N −1 = −1 M b . 0 1







   



 







Demostraci´ on.- (a) f 2 ◦ f 1 (x) = f 2 (f 1 (x)). Si (x1 , . . . , xn ) son las coordenadas en R1 , f (x) tiene coordenadas M x+ b en R2 ⇒ f 2 (f 1 (x)) tiene coordenadas C (M x + b) + d = CMx + (Cb + d) en R 3 . Como LN x =



C 0

d 1



M 0

b 1

  x =

CM 0

Cb + d 1



x = CM x+(Cb +d)



(b) f ◦ f −1 = Id tiene como matriz (en cualquier referencia cartesiana) la  identidad. 2.6.3 Nos interesa ahora saber cómo cambian las ecuaciones de una afinidad al cambiar la referencia. La razón es que hay referencias en las que una afinidad dada tiene un aspecto sencillo, y nos interesará en lo sucesivo ser capaces de cambiar de una referencia cualquiera a una de estas. Ejemplo Las ecuaciones de la simetr´ıa de la figura 2.14 respecto a r + F en dirección − → G en la referencia R = { 0; → v1 , − v2 } tienen un aspecto complicado. Sin embargo, ′ − → → − en R = { r; e 1 , e 2 } es inmediato: • f (r) = r ⇒ coordenadas (0, 0) en R ′ . −−−−−−−−− → −−−−−− → → → → → → → • f (− e1 ) = f (r)f (r + − e1 ) = r(r + − e1 ) = − e1 ⇒ coordenadas (1, 0) en { − e1 , − e2 }.




61

2.6. AFINIDADES Y COORDENADAS

E

A G

F v

2

r

e2

0

v1 e1

r+F

→ → Figura 2.14: La referencia { O; − v1 , − v2 } está mal adaptada a la simetr´ıa respecto → − a r + F en la dirección G, pero { r; − e1 , → e2 } está bien adaptada. −−−−−−−−− → −−−−−− → → → → → → → • f (− e2 ) = f (r)f (r + − e2 ) = r(r − − e2 ) = − − e2 ⇒ coordenadas (0, −1) en { − e1 , − e2 }.



 

1 0 0 −1 Luego la matriz de f en R2 es 0 0 coordenadas de un punto en R2 , (y1 , −y2 ) son imagen por f .

 

0 0 . Es decir, si (y1 , y2 ) son 1 las coordenadas (en R2 ) de su

En general: Sea f : A 1 → A 2 afinidad de ecuación x ¯ = b + M x en las referencias carte→ − − → →1 , . . . , − sianas R 1 = { p; e1 , . . . , en } de A 1 y R 2 = { q ; − u u→ m } de A 2 . ′ ′ ′ − → →′ −→′ Sean R′1 = { p′ ; − e1 ′ , . . . , − e→ n } y R 2 = { q ; u1 , . . . , um } dos nuevas referencias de A 1 y A 2 respectivamente. Buscamos las ecuaciones de f en R ′1 y R ′2 :

f

A1,R → A2,R IdA ↑ ↓ Id A 1

2

1

2

A1,R

′

1

f

→ A2,R

′

2

Si las ecuaciones de Id A : A 1,R → A1,R (cambio de referencia en A1 ) son x = c + Rx′ , las de f : A 1,R → A 2,R son x ¯ = b + Mx y las de IdA : A2,R → A2,R ′ son x ¯ = a +T ¯ x (cambio de referencia en A2 ), entonces las de f : A1,R → A2,R 1

1

′

1

2

1

2

2 ′

1

′

2 ′

2



62 son

    x ¯′ 1



a 1

M 0

b 1



=

T 0

=

T MR a + T (b + M c) 0 1

    x′ 1

R c 0 1

x′ 1

.

2.6.4 Ejemplo.- Simetr´ıa sobre la recta x − 3y + 3 = 0 de R 2 , en la dirección →1 , − →2 }, R′ = { r; − → − ortogonal a ella. Sean R = {o; − u u v1 , → v2 }, donde o = (0, 0), r = 3 1 1 3 → →1 + − →2 , y − → →1 + − →2 (ver la figura 2.15). (6, 3), − v1 = − u u v2 = − − u u 2 2 2 2

E

A E−1 v2

E1

L

u2 v1

r

o

u1

Figura 2.15: Ejemplo de cambio de referencia para una simetr´ıa en R 2 . Vimos que las ecuaciones de f en R ′ son

      y1′ y2′ 1

1 0 0 0 −1 0 0 0 1

=

    x′1 x′2 1

.

Describimos R ′ en función de R :

→ − →1 + 3 − →2 , or6− u u

3 → 1 − − → →2 , v1 = − u1 + u 2

2

1 → 3 − − → →2 v2 = − − u1 + u 2

2

Luego Id : AR → AR tiene ecuación ′

        x1 x2 1

=

3 2

1 2

6

1 2

3 2

3

0

0 1

−

       x′1 x′2 1

.


63

2.7. VARIEDADES INVARIANTES

Al contrario,

        ′

x1 x′2 1

=

          −1

3 2

1 − 2

1 2

3 2

0

0 1

6

x1 x2 1

3

=

      

3 5

1 5

21 − 5

1 − 5

3 5

3 − 5

0

0

1

     

3 5

1 5

1 − 5

3 5

3 − 5

0

0

1

x1 x2 1

.

Luego la ecuación de f en R es

           y1 y2 1

=

=

ó

3 2

−

1 2

6

1

1 2

3 2

0

0 1

4 5

3 5

3 5

4 − 5

9 5

0

0

1

y1 y2

=

0 0

0 −1 0

3

0

−

    

2.7.

           

3 5

−

0 1

x1 x2 1

3 5 9 5

 

+

 

−

21 5

       x1 x2 1

,

4 5

3 5

3 5

4 − 5

   x1 x2

.

Variedades Invariantes

2.7.1 Las variedades invariantes de una afinidad f son aquellas a las que se puede restringir f , dado que la imagen de todos los puntos de la variedad queda dentro de ella. Es decir: Definici´ on Dada f : A → A aplicación, una variedad lineal q + F es invariante por f si f (q + F ) ⊂ q + F .

→ → → 2.7.2 Observa que si − v ∈ F, f (q + − v ) = f (q ) + f (− v ). −−−−−−−−− → − → → → As´ı que si f (q ) ∈ q + F, f (q + v ) ∈ q + F ⇒ f (− v ) = f (q )f (q + − v ) ∈ F . Luego f (F ) ⊂ F , es decir, F es un subespacio vectorial invariante por f .



 





64

→ En particular, para un subespacio unidimensional F = − u , si q + F es − → invariante por f entonces u es autovector de f . El rec´ıproco no es cierto: no → → toda recta p + − v  donde − v sea autovector de F queda invariante. Hace falta −−−→ → − adem´ as que pf ( p) ∈  v  (como se ve claramente en el ejemplo 2.7.6).

 

2.7.3 Ejemplo.- R2 , proyección en una recta L en la dirección del espacio G (figura 2.16).

b

L f(b)

Figura 2.16: Una proyección sobre una recta. Cada punto de L queda fijo; cada p ∈ L es una subvariedad invariante de dimensió n 0 de f . Dado b, los puntos de M = b + G no quedan fijos, pero f (M ) ⊂ M , luego cada recta paralela a G es subvariedad invariante de dimensión 1. Todo el plano es, obviamente, una subvariedad invariante de dimensión 2. (Lo mismo para una reflexión) 2.7.4 Observaciones:

• El conjunto de puntos fijos de una afinidad es una variedad lineal. • Si existe un punto fijo, la variedad de puntos fijos tiene como dirección el autoespacio de autovalor 1. − → → v  = 0 no tienen puntos fijos. • Las traslaciones por − • Las proyecciones sobre una variedad y las simetr´ıas en una variedad tienen a dicha variedad como conjunto de puntos fijos. • f tiene un único punto fijo exactamente cuando 1 no es autovalor de f . Lo comprobamos: Como en coordenadas cartesianas f (x) = x ¯ = b + M x, x es punto fijo ⇔ x = x ¯ = b + M x ⇔ −b = (M − I )x ⇔ x es solución del sistema



(M − I )

        x1 .. .

xn

= −

b1 .. .

,

bn

por lo que el punto fijo es único exactamente cuando det(M − I )  = 0, i.e. cuando 1 no es autovalor.


65

2.7. VARIEDADES INVARIANTES

2.7.5 Seg´ un su dimensión: • dim 0; Un punto p es invariante por f si f ( p) = p, i.e. p punto fijo. → v de f que • dim 1; rectas invariantes ⇔ rectas de dirección un autovector − −−−→ → − pasen por un punto p tal que pf ( p) ∈  v . • dim n − 1; hiperplanos invariantes de una afinidad biyectiva : Si las ecuaciones de f son



x ¯1 x ¯n

= a11x1 + · · · + a1n xn + b1 .. . = an1 x1 + · · · + ann xn + bn

el hiperplano π : c 1 x1 + · · · cn xn + c = 0 es invariante si n



n

ci x ¯i

= c1 (b1 +

i=1

n



= (



 

,

n

a1i xi ) + · · · + cn(bn +

i=1

i=1

n

ciai1 )x1 + · · · + (

i=1





ciain )xn + (

i=1

ani xi ) + c n



ci bi) + c = 0,

i=1

que es la ecuación de f −1 (π), es una ecuación que define el mismo plano que π, i.e. si c1 c1 a11 + · · · + cnan1

= · · · =

cn c1 a1n + · · · + cnann

=

c . c1 b1 + · · · + cnbn + c

2.7.6 Ejemplo.- Sea f : A → A de ecuaciones



x ¯ = −2x + 1 y¯ = 3x + y − 1

• Los puntos fijos de f son las soluciones de x = −2x + 1 y = 3x + y − 1



,

es decir x = 1/3 (recta de puntos fijos).

• Rectas invariantes: 0 = det



−2 0 3

1

   − λI = det

−2 − λ

0

3

1−λ



= (λ − 1)(λ + 2)

 λ = 1, −2 autovalores.



Autovectores para λ = 1: E 1 = ker(f −I ) viene dado por x = 0, as´ı que E 1 = (0, 1).



−3 0 3

0

  x y

⇒



66



Autovectores para λ = −2: E −2 = ker(f +2I ) viene dado por

⇒ 3x + 3y = 0, as´ı que E −2 = (1, −1).

   0 0 3 3

x y

−−−→

Si q + F es recta invariante por f , entonces F = E 1 ó F = E −2 , y qf (q ) ∈ E 1 ó E −2 . −−−→ Si q = (x0 , y0 ), f (q ) = (−2x0 + 1, 3x0 + y 0 − 1), de modo que qf (q ) = (−3x0 + 1, 3x0 − 1). Luego

−−−→

qf (q ) ∈ E 1 ⇔ −3x0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 1/3

−−−→

qf (q ) ∈ E −2 ⇔ −3x0 + 1 = − 3x0 + 1 ⇔ x0 arbitrario De modo que la única recta invariante en la dirección de E 1 es x = 1/3. Las rectas invariantes en dirección E −2 son cualquier q + F con F = E −2 = (1, −1).

• Hiperplanos invariantes: Sea ax + by + c = 0 la ecuación de un hiperplano invariante. Entonces 0 = a¯ x + b¯ y + c = a(−2x + 1) + b(3x + y − 1) + c = (−2a + 3b)x + by + (a − b + c)

 a b c = = −2a + 3b b a − b + c a = 1 ⇔ a = b. Es un hiperplano paralelo a (1, −1) −2a + 3b (y como c es arbitrario, es cualquiera de ellos). Si b  = 0, se tiene

a c 1 c Si b = 0 (por tanto a  = 0), entonces = ⇔ − = ⇔ −2a a+c 2 a + c a a 1 −a − c = 2c ⇔ c = − . Es decir, ax = ⇔ x = . 3 3 3 En este ejemplo en que dim(A) = 2, los hiperplanos son rectas. Por supuesto, los cálculos que hemos hecho para calcular las rectas invariantes y los hiperplanos invariantes han arrojado, como no pod´ıa ser de otro modo, los mismos resultados.


Ejercicios de Geometr´ıa Af´ın 1. Calcula la dimensión del subespacio af´ın de R5 generado por los puntos: p1 = (−1, 2, −1, 0, 4), p2 = (0, −1, 3, 5, 1), p3 = (4, −2, 0, 0, −3), p4 = (3, −1, 2, 5, 2).

3

2. Considera la familia de planos 2 λx + (λ + 1)y − 3(λ − 1)z + 2λ − 4 = 0 en

R .

a. Demuestra que estos planos tienen una recta en común. b. Determina los planos de esta familia que pasan por el punto (1 , −1, 2). c. Determina los planos de esta familia que son paralelos a la recta L = {x + 3z − 1 = 0 , y − 5z + 2 = 0 } 3. Sea λ un n´ umero real. Considera los puntos de R3 : a = (λ, 0, 0), b = (1, 2, 1), c = (1, 0, −1) y d = (2, 2, λ), y los conjuntos: S 1 = { a, b},

S 2 = { a,b,c},

S 3 = { a,b,d}.

a. Halla las ecuaciones impl´ıcitas de los subespacios afines engendrados por S 1 S 2 y S 3 . b. Estudia la posición relativa de los subespacios anteriores en función de λ y calcula su dimensión. 4. Sea M la variedad lineal de R4 engendrada por los puntos: p0 = (1, 0, 0, 0), p1 = (2, 1, 0, 0), p2 = (3, 1, 0, 0), p3 = (4, 2, 0, 0). Sea L la variedad lineal de ecuaciones paramétricas x1 = 2λ + 5, x2 = λ + 1, x3 = λ + 1, x4 = λ + 1 . Halla las ecuaciones impl´ıcitas de L + M y de L ∩ M y comprueba que se verifica la fórmula de Grassmann. 67


68 5. Estudia la dependencia af´ın de los puntos de R3 : a1 = (1, 0, 1), a2 = (4, 3, −2), a 3 = (2, 1, 0). Halla las ecuaciones vectoriales, paramétricas, impl´ıcitas del subespacio af´ın que engendran. 6. En R4 se considera los puntos de coordenadas q 0 = (1, 0, 3, 1), q 1 = (1, 1, 3, 0), q 2 = (0, 1, 1, 0). Sea N el subespacio af´ın de R 4 que engendran. a. Estudia la dependencia af´ın de q 0 , q 1 y q 2 . Halla la dimensión de N . b. Halla las ecuaciones paramétricas e impl´ıcitas de N . 7. Considera el subespacio vectorial W de (R4 )∗ engendrado por los vectores: v1∗ = (0, 1, −2, 0), v2∗ = (0, 1, 0, 3), v3∗ = (1, 0, 0, 4). Determina las ecuaciones paramétricas del subespacio af´ın de R4 que pasa por el punto (1, 1, 1, 1) y tiene como dirección W ∗ = Ann(W ), dual de W 8. Sea A4 (K ) un espacio af´ın de dimensión 4 sobre el cuerpo K . Sea R0 un sistema de referencia cartesiano en A4 (K ). Considera los hiperplanos de ecuaci´ on (respecto de R 0 ) π 1 : 1 + x + y + z + t = 0, π 2 : 2 + x − y + z − t = 0, y el punto p = (1, 1, 1, −4). a. Verifica que p ∈ π 1 , y halla un sistema de referencia af´ın, R , de π1 que no tenga ninguno de sus puntos en el hiperplano π 2 . b. Fijado el sistema de referencia R del apartado anterior, halla las ecuaciones de la variedad lineal de dimensión 2 que pasa por p, está contenida en π 1 , y es paralela a π 1 ∩ π2 . 9. Considera los puntos de R3 : p0 = (0, 0, 1), p1 = (0, 1, 0), p2 = (0, 0, 0), p3 = (1, 0, 0), q 0 = (2, 1, 1), q 1 = (1, 0, 1), q 2 = (1, 1, 0), q 3 = (0, 0, −1). a. Demuestra que R = { p0, p1 , p2 , p3 } y R′ = { q 0 , q 1 , q 2 , q 3 } son referencias afines de R3 . b. Halla las ecuaciones del cambio de coordenadas cartesianas de la referencia R a la referencia R ′ . c. Halla las ecuaciones del cambio de coordenadas baricéntricas de la referencia R a la referencia R ′ . 10. Considera los siguientes puntos de R 4 : a = (1, −2, 3, 1),

b = (0, 0, 1, 5),

c = (3, −1, 5, 0).

Halla la ecuación del haz de hiperplanos que tiene como base el plano determinado por los puntos a, b y c. 11. En el espacio af´ın real R 3 se consideran las rectas: L1 = { x + y + z = 0 , x + 2y = 0} , L2 = { 2x + 2y + z = 3 , x + y = 2} L3 = { 3x + 2y + 2z = 2 , 2x + y + z = 0}. a. Demuestra que se cruzan dos a dos y que existe un plano π paralelo a las tres rectas.


69 b. Demuestra que toda recta que corte a las tres es paralela a un plano fijo, y determinar ese plano. 12. Halla las ecuaciones de la homotecia de R4 de centro el punto O = (1, 3, −1, 1) y razón 2. 13. Halla las ecuaciones de la afinidad definida por los pares de puntos: p1 = (0, 0), p′1 = (3, 6);

p2 = (−1, 2), p′2 = (22, 48);

p3 = (2, −2), p′3 = (−11, 28).

Determina los puntos fijos de esta aplicación af´ın. 14. Halla las ecuaciones de la aplicación af´ın que transforma los puntos del sistema de referencia baricéntrico R = { p0 , p1 , p2 , p3 } en los puntos q 0 = (2, −3, 1, 1), q 1 = (1, −2, 0, 2), q 3 = (0, 4, −1, −2), y q 4 = (3, −9, 2, 5) respectivamente, donde las coordenadas de los puntos q i están referidas al sistema de referencia baricéntrico R . 15. Considera una referencia af´ın R = { O; u1 , u2 , u3 } en R3 , y la afinidad f de ecuaciones: x′ = 12 (x + y + z + 1) y ′ = −x + 2y + z + 1 . 1 ′ z = 2 (3x − 3y − z − 3) a. Demuestra que la aplicación as´ı definida es una proyección. b. Halla la variedad de puntos fijos de f . c. Halla la dirección de proyección de f . 16. En el espacio af´ın R 3 considera la afinidad de ecuaciones: x′ = 2 − x + y − z y ′ = 1 + 2x + 2y + 2z z ′ = 1 − 2z Encuentra las figuras transformadas del plano x + y − z = 2 y de la circunferencia x2 + y 2 = 1, z = 0, y comprueba que transforma rectas paralelas en rectas paralelas. Calcula sus puntos fijos. 17. En el espacio af´ın R3 considera la afinidad dada en la referencia R = {O; u1 , u2 , u3 } por: x′ = 2 − x + y − z y ′ = 1 + x + y + z z ′ = −x − 2z a. Halla las ecuaciones de la figura en la que se transforma la elipse de ecuación 9x2 + 4y 2 = 36 en el plano z = 2. b. Halla las ecuaciones de la afinidad en la referencia R ′ = { O′ ; u′1 , u′2 , u′3 }, donde O′ = (0, 3, 2), u′1 = (1, 0, 1), u′2 = (0, 1, 1), u′3 = (0, 0, 1) respecto a la referencia R .


70


Problemas de Geometr´ıa Af´ın 1. Sea (A,E,ϕ) un espacio af´ın, donde E es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo ordenado K . Un subconjunto B ⊂ A se dice convexo si para todo par de puntos p, q ∈ B el segmento de extremos p y q está contenido en B . Demuestra que todo subespacio af´ın es convexo. 2. Considera el plano af´ın A 2 (F3 ) sobre el cuerpo F3 . a. Calcula cuántos puntos y rectas hay en A2 (F3 ). Calcula el cardinal de una recta. b. Calcula el número de rectas paralela a una dada, y el número de haces de rectas paralelas que hay en A 2 (F3 ). 3. En el plano af´ın R2 se considera el triángulo abc y con relación a él los sistemas de referencia:

R = {a;  ab, ac  }, y R ′ = { b;  ba,  bc}. a. Halla las ecuaciones que permiten pasar de R a R ′ . b. Determina el conjunto de puntos del plano que tienen las mismas coordenadas respecto a los dos sistemas de referencia. 4. Considera en R2 el sistema de referencia R = { O;  u1 , u2 } y, respecto de él, el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación: 6x2 − 5xy + y 2 = 1 .

(∗)

Sea R ′ = { O; v1 , v2 } con v1 = u1 + αu2 , v2 = βu1 + γu2 , donde γ − αβ  = 0. Determina los valores de α,β, γ para que en el sistema de referencia R′ el conjunto de puntos que satisfacen ( ∗) sean los puntos que verifican la ecuación x′ y ′ = 1, donde x , y son las coordenadas en R ′ . ′

′

5. Considera las rectas del plano af´ın real R 2 de ecuaciones (respecto de un sistema de referencia cartesiano dado): L1 : 3x + 2y = 1,

L2 : y = 5,

L3 : 6x + y = − 13.

71


72 Halla los triángulos de vértices a,b, c que tienen sus medianas *** paralelas a estas rectas, el vértice a sobre la recta L 1 y el (−1, 2) como punto medio del lado bc. 6. Considera un triángulo abc del plano af´ın real R 2 , y tres puntos a ′ , b ′ , c ′ sobre los lados bc, ca, ab, respectivamente. Encuentra una condición necesaria y suficiente para que los triángulos abc y a ′ b′ c′ tengan el mismo baricentro. 7. Para cada i = 1, 2, 3, toma la recta L i ⊂ R 2 de ecuación a i x + bi y + ci = 0, con (ai , bi)  = (0, 0). Comprueba que la relación: (∗)

 

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

 

= 0 .

es una condición necesaria para que las tres rectas sean concurrentes (es decir, se corten las tres en el mismo punto). Da un ejemplo de tres rectas no concurrentes que verifiquen ( ∗). Supongamos que se da la condición (∗).¿Qué condicienes geométricas y algebraicas han de verificarse para que las tres rectas sean concurrentes? 8. Sea E un K -espacio vectorial, y (A,E,ϕ) un espacio af´ın sobre K . Dados tres puntos alineados a1 , a2 , a3 de A , se llama raz´ on simple de a1 , a2 , a3 , y se escribe (a1 a2 a3 ), al escalar λ ∈ K tal que a1 a3 = λ a1 a2 . La razón simple está definida siempre que a1  = a2 , es 0 si a1 = a3 , y es 1 si a2 = a 3 . a. Si a 2  = a 3 y (α, β ) son las coordenadas baricéntricas de a 1 en el sistema de referencia { a2 , a3 }, demuestra que (a1 a2 a3 ) = − α/β . b. Supongamos que K = R . Demuestra que el punto a 1 está en el segmento que une a 2 con a 3 , si y sólo si (a1 a2 a3 ) < 0. c. Sean p0 , p1 , p2 tres puntos distintos de C. Da una condición necesaria y suficiente en función de su razón simple para que formen un triángulo equilátero. 9. Sea (A,E,ϕ) un espacio af´ın. Sea f : A −→ A una simetr´ıa. Demuestra que existen una variedad lineal A1 de A y un subespacio vectorial F de E , complementario de L(A1 )**** en E , tal que si π es la proyección de A sobre A 1 paralelamente a F entonces***** f = 2π − idA . 10. Sea R = { p0, . . . , pn } una referencia baricéntrica de un espacio af´ın (A,E,ϕ). Considera r puntos q 1 , . . . , qr en A, y (λi,0 , . . . , λ i,n ) las coordenadas baricéntricas de q i en la referencia R. Considera la matriz Λ = (λi,j ). Demuestra ***

Mediana: recta que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto. L(A1 ) denota el subespacio vectorial asociado a la variedad lineal A 1 . ***** idA denota la aplici´ on identidad de A. ****


73 que para que el subespacio af´ın engendrado por q 1 , . . . , qr tenga dimensión r − 1, es condición necesaria y suficiente que la matriz Λ tenga rango r. 11. Sean L1 y L2 dos rectas que se cruzan en R3 . Determina el lugar geométrico de las imágenes de un punto dado p ∈ R3 , por todas las afinidades que tienen a L 1 como recta de puntos fijos y a L 2 como recta invariante. 12. Demuestra que existe una única afinidad en un plano af´ın que transforma cada uno de los vértices de un triángulo dado en el punto medio del lado opuesto. Estudia esta afinidad. 13. Sea f una afinidad de un espacio af´ın real. a. Demuestra que si f 2 tiene algún punto fijo, entonces f también. b. Demuestra que si existe un número natural n tal que f n tiene un punto fijo, entonces f también. 14. Sea A un espacio af´ın de dimensión 1 sobre un cuerpo K . Clasifica las afinidades de A. Si K = F 3 , da una lista de las afinidades de A. 15. Sea A un espacio af´ın de dimensión 2 sobre un cuerpo K . Clasifica las afinidades de A en función de su conjunto de puntos fijos. Da una interpretación geométrica de cada tipo de afinidad.


Notas de Geo I-Parte I

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