Universidade Gama Filho Campus Piedade Departamento de Engenharia de Controle e Automação Laboratório da Disciplina CTA-147 Controle I Análise da Resposta Transitória (Este laboratório foi uma adaptação do laboratório montado pelo Professor Paulo Valente da UNESP)
INFORMAÇÕES IMPORTANTES 1. As atividades de laboratório deverão ser feitas individualmente, e os relatórios em grupos de até 3 (três) alunos. 2. Caso algum aluno não possa fazer as atividades, no dia previsto de seu laboratório, o mesmo deverá entregar o relatório individualmente. 3. Os trabalhos ou relatórios deverão ser entregues, quando necessário, na semana seguinte depois do laboratório. 4. As soluções deverão ser de forma clara, simples e organizadas. Se houver figuras, tabelas e equações, essas deverão ser numeradas e referenciadas. Não deverá ser utilizado no relatório material já apresentado na introdução. 5. Sempre que houver listagens de sessões do Matlab, estas deverão ser incluídas como apêndices. 6. A folha de rosto do relatório será a página que contém as atividades.
OBJETIVO Neste laboratório, você usará o Matlab para avaliar uma importante característica de sistemas lineares e invariantes no tempo que é a resposta transitória. Para se analisar, ajustar e controlar sistemas dinâmicos, é necessário haver uma base para sua identificação e especificação de desempenho, que é feita através da resposta do sistema a excitações padronizadas, padronizadas, segundo as quais são definidas as características de desempenho. O ajuste e projeto dos controladores, controladores, por exemplo, devem ter o objetivo de fazer que essas características de desempenho cumpram as especificações.
REFERÊNCIAS 1- Material disponível no site do Prof. Leonardo Gonsioroski, http://www.prof-leonardo.com.br. 2- OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. Pearson do Brasil, 4a. Ed., 2010. 3- OGATA, Katsuhiko. Solução de problemas de engenharia de controle com MATLAB. Rio de Janeiro : Prentice-Hall, 1997.
INTRODUÇÃO TEÓRICA Entradas Entr adas de um sistema siste ma de d e control co ntrol e
As excitações ou entradas para sistemas de controle e outros sistemas dinâmicos podem ter caráter aleatório ou determinístico, de acordo com o tipo e a característica de funcionamento do sistema. Funções aleatórias não podem ser expressas analiticamente analiticamente e não são repetitivas. As funções determinísticas, por sua vez, têm características bem definidas por funções analíticas ou curvas específicas. Uma categoria de sistemas sujeitos a excitações aleatórias é a dos sistemas elétricos de potência, onde os consumidores são livres para ligar e desligar suas cargas a qualquer momento sem a viso da concessionária, que por sua vez tem o compromisso de fornecer energia mantendo constantes a tensão e a freqüência da rede. Outro exemplo é a plataforma de uma câmera utilizada em avião de fotogrametria. O avião voa a uma altitude e a uma velocidade determinadas, e a câmera toma uma série de fotografias do terreno abaixo. Estas fotografias são então montadas umas com as outras para formar um mosaico da área. Torna-se necessário que a plataforma da câmera permaneça nivelada, a despeito dos movimentos do avião. Uma vez que a posição do avião varia devido a rajadas de vento e depende de sua própria estabilidade, a excitação da plataforma é, obviamente, uma função aleatória. Um exemplo de excitação de característica determinística é o molde utilizado numa operação de máquina onde a ferramenta de corte é controlada de modo a reproduzir o contorno do molde. E existem os sistemas de regulação
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automática, que tem o objetivo de manter as variáveis controladas em valores constantes estabelecidos pelos sinais de referência. Entretanto, para se analisar, ajustar e controlar sistemas dinâmicos, é necessário haver uma base para sua identificação e especificação de desempenho. Isto é feito através da resposta do sistema a excitações padronizadas, sobre as quais são definidas as características de desempenho. O ajuste e o projeto dos controladores devem ter o objetivo de fazer que essas características de desempenho cumpram as especificações. As excitações padronizadas mais freqüentemente usadas para identificação e análise de desempenho de sistemas dinâmicos, e especialmente dos sistemas de controle, são as seguintes:
As quatro primeiras excitações são da família de funções singulares. A excitação polinomial é uma combinação linear do degrau e de suas integrais. O degrau é a excitação mais utilizada para a análise e a especificação de desempenho transitório. O impulso pode ser útil para a análise da resposta de sistemas a sinais de grande amplitude e curta duração, e para fins de identificação, já que a TL da resposta a um impulso unitário é igual à função de transferência. E a resposta a entradas senoidais é a base dos métodos de resposta em freqüência, os quais possibilitam a identificação, análise de estabilidade, ajuste e projeto de controladores, e ajuste e projeto de filtros. Outra forma de se perturbar um sistema para fins de análise de transitórios é levá-lo a operar em regime permanente, retirar bruscamente a excitação, e observar a resposta, que nestas condições é a resposta livre: o instante da retirada da excitação é considerado o instante inicial (t = 0), e os valores das variáveis nesse instante são as condições iniciais do sistema. A forma de variação da resposta livre depende tão somente das características dinâmicas do sistema, já que a excitação foi retirada. Portanto, é na resposta livre que tais características podem ser observadas com mais clareza. Desem penho em regime tra nsitório e em regim e perm anente
Verificamos que o primeiro passo na análise de um sistema de controle é derivar um modelo matemático para o sistema. Uma vez obtido tal modelo existem vários métodos disponíveis para análise do desempenho do sistema. Um método utilizado nos sistemas reais é o de se analisar o desempenho, através, dos sinais típicos de teste, apresentados no item 2.1. Este método procura utilizar uma base para comparar o desempenho do sistema, que pode ser obtido comparando-se as respostas de vários sistemas a estes sinais de entrada. Pergunta: Qual ou quais destes sinais de entrada típicos devem ser usados para analisar características do sistema? Resposta: Depende da forma da entrada a que o sistema será sujeito mais freqüentemente durante operação normal. Exemplo: Se as entradas para um sistema de controle são funções que variam gradativamente com o tempo, então a função rampa pode ser um bom sinal de teste; ou então para um sistema sujeito a entradas do tipo choque, uma função impulso pode ser melhor.
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Resposta tran sitória e respost a em regi e permanente
A resposta temporal de um sistema e controle é em geral dividida em duas partes: a. Resposta transitória b. Resposta em regime permanente Sendo c(t) uma resposta temporal; então m geral, ela pode ser escrita como:
Resposta em Regime Perman ente
A definição de regime permanente não é padronizada nos estudos de sistemas e teoria de red es. i.
Em análise de redes, às vezes é til definir regime permanente como uma condição em que a resposta atingiu um valor constante em relação à vari ável independente.
ii.
Em estudo de sistemas de contr le, porém, é mais adequado definir regime perma quando o tempo tende para o inf inito. Portanto, uma onda senoidal é considerada c permanente, porque seu compor tamento é fixado para qualquer intervalo de temp tendendo a infinito. Da mesma forma, a função rampa c( t ) = t é considera permanente, embora cresça com o tempo.
ente como a resposta fixada mo uma resposta em regime , assim como para o tempo a uma resposta em regime
Resposta tran sitória
É definida como a parte da resposta q ue vai para zero quando o tempo se torna gran de. Portanto, propriedade:
ct ( t )
tem a
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SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM A discussão é baseada em uma equação d iferencial de primeira ordem do tipo
onde: = constante de tempo (proporciona inf rmações sobre a velocidade da resposta do sistema A = ganho DC (valor final que a saída se aproxima em resposta a um degrau unitário) Sendo a função de transferência dada por
Resposta ao im pulso un itário de sistema s de p rimeira ordem
Considerando a resposta de um sistema a um impulso quando as condições iniciais são nulas, temos:
Resposta ao d egrau unitário de si stemas de primeira ordem
Resposta a rampa unitária de sistem as d e primeira ordem
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SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM A discussão é baseada em uma equação d iferencial de segunda ordem do tipo:
onde: = razão de amortecimento = freqüência natural não amortecida Representando o sistema de segunda ord m na forma de função de transferência, temos:
Resposta ao d egrau unitário de si stemas de se gunda ordem
sendo a saída c(t) = y(t) , temos como ca acterísticas de desempenho o mostrado na figura 2
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Preparação do Lab3 ATIVIDADES: É fortemente recomendado que esta pre paração seja, pelo menos, estudada antes da aula e Laboratório e seja feita e entregue junto com o relatório do Labor tório. Devo avisá-los que se esta preparação não f or feita pelo aluno, o mesmo encontrará dificuldades e ficará bastante ifícil para ele realizar seu experimento.
Leia com atenção e entenda a introdu ão deste Laboratório, formulando as possíveis d úvidas encontradas em sua leitu a e interpretação, transcrevendo-as aqui. ATENÇÃO: Todas as questões abaixo devem ser resolvidas analitic amente 1-Faça o diagrama de blocos e determine , por simplificação, G(s) = G 1 (s) × G2 (s) e Gsum (s) = G 1 (s) + G2 (s) sendo:
2-Encontre a função de transferência de malha fechada G CL (s) sendo que G(s) é o mesmo calculado na questão 1, e a realimentação é unitária, ou seja, H (s) = 1. 3-Encontre a resposta ao degrau do siste a, descrito pela função de transferência abaixo.
4-Qual das seguintes funções de transfer ncia de malha fechada tem resposta ao degrau com tempo de subida mais longo(mais lento)? Qual se existir, tem o maior sobre-sinal (“overshoot”).
5-Quanto tempo você espera que o siste a abaixo demore para alcançar o valor 0,32 na resp osta a um degrau unitário.
6-Qual das seguintes funções de transfer ncias de malha fechada tem a resposta ao degrau c m mais longo tempo de acomodação. Qual resposta ao degrau nã tem sobre-sinal (“overshoot”).
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7-Qual é o tempo esperado para que a resposta ao degrau do sistema abaixo se estabeleça dentro de 5% do seu valor final.
E a resposta ao degrau de qual dos sistemas abaixo oscila mais?
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LABORATÓRIO – ANÁ ISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA USAND
O MATLAB
Aluno: ____________________ _______________________________________
Nº:______________
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1- Escreva um arquivo (script-file) no Matlab, para solução/simulação de cada um dos itens constantes do Pre-Lab. Antes de resolver os exercícios l embre-se: só serão consideradas as soluções/simul ções utilizando o Matlab, ou seja, qualquer resolução com o s imulink servirá apenas para sua visualização e pos sível validação e conferência dos resultados obtidos com o Ma tlab. Procure sempre usar o comando help para obt r informações de funções ou para saber informações sobre su sintaxe. 2- Os gráficos plotados na figura 1 abaixo mostram a resposta de uma função de trans ferência simples de 1ª ordem ao degrau unitário. Estime as fu ções de transferência para as figuras 1a e 1b:
Após determinadas as funções de transf rência, Simule as respostas para um entrada ao d grau unitário para validação das mesmas.
3- A figura 2 abaixo, mostra a re posta ao degrau de dois sistemas de 2ª ordem si mples com nenhum zero. A função de transferência pode ser parametrizada como:
Para os gráficos 2a e 2b, estime os val res de e n das respostas ao degrau. Novamente, Simule os modelos obtidos, através da análise das curvas, para valida ção dos mesmos.
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4- Criar um Script-file para plotar vários gráficos variando os valores da freqüência natural amortecida e o coeficiente de amortecimento. Analisar o comportamento das respostas a entrada ao degrau.
