CINEMATICA 1. MOVI MOVIMIE MIENTO NTO MECAN MECANIC ICO O
La más sencilla forma de movimiento de la materia es el movimiento mecánico, que consiste en el desla!amiento de los cueros o de sus artes unos resecto a otros. "ic#o movimiento transcurre tanto en el esacio, como en el tiemo $esacio % tiemo son dos formas inte&rales de e'istencia de la materia( El con)unto de cueros que destacamos ara la o*servaci+n lo denominamos sistema mecánico El sistema de referencia, está formado or un con)unto de cueros inm+viles unos con relaci+n a otros, resecto de los que se e'amina el movimiento % or un relo) que re&istra el tiemo. El movimiento de un mismo cuero con relaci+n a diferentes sistemas de referencia uede tener distinto carácter. carácter. Como e)emlo ima&inmonos que un tren acelera, suon&amos que or el asillo de uno de los va&ones en marc#a #a% un asa)ero a velocidad constante, en dic#o caso el movimiento del asa)ero resecto del va&+n será uniforme, mientras que en lo que resecta a la Tierra este será acelerado. La descrici+n del movimiento de un cuero si&ni-ca indicar ara cada momento de tiemo, la osici+n en el esacio % la velocidad del cuero. Con el -n de re-)ar el estado de un sistema mecánico, #a% que indicar las osiciones % las velocidades de todos los cueros que lo forman. El ro*lema tico de la mecánica, consiste en que conociendo el estado del sistema en cierto momento de tiemo inicial to, as como las le%es que &o*iernan el movimiento, determinar el estado del sistema en los si&uientes momentos de tiemo t. Al mismo tiemo de-nimos al unto material al cuero cu%as dimensiones es osi*le desreciar de acurdo con las condiciones del ro*lema lanteado. lanteado. En el ro*lema odemos considerar o no el cuero concreto que e'aminamos como unto material, % esto a su ve! no deende de las dimensiones del cuero, sino del lanteamiento del ro*lema. /n mismo cuero en muc#os casos uede ser considerado unto material, mientras que en otros de*e e'aminarse como cuero e'tendido.
Cuando se #a*la de un cuero como unto material, este reviamente se #a a*strado de sus dimensiones. 0osteriormente odemos deducir la se&unda a*stracci+n con la que troe!amos en mecánica La del cuero r&ido. En la naturale!a no e'isten cueros que sean indeforma*les, or lo tanto llamamos cuero r&ido a un cuero en el cual sus dimensiones ueden ser desreciadas en las condiciones del ro*lema dado. Es osi*le descomoner todo movimiento de un s+lido en dos formas de movimiento el de rotaci+n % el de traslaci+n. Llamamos traslaci+n a un movimiento que &ira alrededor de una referencia $unto(. El movimiento de rotaci+n se de-ne como el &iro de un cuero *a)o su mismo e)e de rotaci+n que uede estar situado dentro o fuera del cuero. 0ara o*tener la osi*ilidad de descri*ir el movimiento de forma cuantitativa, es necesario li&ar con los cueros que forman el sistema de referencia ciertos sistemas de coordenadas. Entonces la osici+n del unto material uede de-nirse re-)ando tres n2meros ', %, ! que serán las coordenadas cartesianas de dic#o unto. 3. VECTO4E5 Los vectores son ma&nitudes caracteri!ados or valores numricos con direcci+n % sentido, as tam*in or el #ec#o que se suman $comonen( or la re&la de aralelo&ramo. /na de-nici+n más ri&urosa es la de llamar vector a un con)unto de tres ma&nitudes, que se transforman al &irar los e)es de coordenadas se&2n determinadas le%es. El valor numrico del vector es denominado modulo, en otras ala*ras el modulo nos indica la lon&itud del vector, dic#o modulo es un escalar siemre ositivo. La 6ec#a nos indica el sentido del vector. 0ara de-nir su m+dulo utili!amos
|a| Es el modulo del vector
→
a
Los vectores diri&idos a lo lar&o de rectas aralelas $en un mismo sentido o sentido ouesto( reci*en el nom*re de colineales. Los vectores que %acen en lanes aralelos son llamados colanarios. 7. 5/MA 8 5/5T4ACION "E VECTO4E5 9. 04O8ECCION "EL VECTO4
Es ro%ecci+n del vector a en el e)e l. la ro%ecci+n se desi&na con la misma letra que el vector, a;adiendo un ndice que indica la direcci+n so*re la que se ro%ecta el vector. La ro%ecci+n del vector es una ma&nitud al&e*raica. 5i el vector % la direcci+n forman un án&ulo a&udo cos α > 0
La ro%ecci+n será ositiva. 5i el án&ulo es o*tuso cos α < 0
La ro%ecci+n será ne&ativa . 4A"IO VECTO4 ?. 04O"/CTO E5CALA4 "E VECTO4E5 @. 04O"/CTO MITO B. 04O"/CTO VECTO4IAL "OLE D. "E4IVA"A "E /N VECTO4 1=. "E4IVA"A "E /N 04O"/CTO "E
3
T4A8ECTO4IA
0ara la suma se cumle La re&la del
r13
1 "E50LA:AMIENTO
1
7
5i en transcurso de i&uales intervalos de tiemo, la artcula asa i&uales recorridos el movimiento de la artcula reci*e el nom*re de uniforme. En este caso la velocidad se calcula dividiendo el recorrido s or el tiemo t . v=
s t
La velocidad instantánea es la derivada del radio vector de la artcula resecto del tiemo. v=
dx dt
El desla!amiento d' coincide con un elemento in-nitesimal de la tra%ectoria .0or consi&uiente, el vector v está diri&ido or la tan&ente de la tra%ectoria. % d'
v
r rGdr
' La velocidad media, si tomamos los intervalos Ht cada ve! más eque;os, el cociente
∆r ∆t nos ofrecerá en el lmite el valor de la velocidad v en el
momento de tiemo t. v = lim t→0
∆ r dx = ∆ t dt
5i tomamos los se&mentos del recorrido Hr, corresondiente a intervalos de tiemo Ht en constante disminuci+n, la diferencia entre Hs % ⌈ ∆ r ⌉ decrecerá %, en el lmite, su ra!+n será i&ual a la unidad. lim t →0
∆s =1 ∣ ∆ r∣
"e este modo el m+dulo de la velocidad es i&ual a la derivada del recorrido resecto al tiemo. Con el movimiento uniforme el m+dulo de la velocidad queda invaria*le $vconstante(, mientras el sentido del vector v varia al a!ar $en articular uede ser constante(. El desla!amiento elemental de una artcula es i&ual a
dx = v.dt
El vector velocidad, como cualquier otro vector, uede ser reresentado como v = vx + vy + vz
5e desrende que
vx = x vy = yvz = z
0or consi&uiente, la ro%ecci+n del vector velocidad en el e)e de coordenadas es i&ual a la derivada resecto del tiemo de la coordenada corresondiente de la artcula de un movimiento. Tomando en consideraci+n, o*teneos la si&uiente forma v = √ x + y + z 2
2
2
El vector velocidad uede ser reresentado en la forma v=vev , donde v es el m+dulo de la velocidad, ev , el versor del vector v. Introdu!camos el versor de la tan&ente de la tra%ectoria r , onindonos de acuerdo que está diri&ido en el mismo sentido que v .Es evidente que los versores ev % r coincidirán , or lo que odemos escri*ir la si&uiente e'resi+n v =¿ v e v =¿ vr
"e las formulas anteriores o*tenemos v r =ℜr
Está diri&ida a lo lar&o del radio vector r% caracteri!a la raide! de variaci+n de modulo r. La se&unda comonente, que desi&naremos
v Ψ
, es i&ual a
v Ψ =ℜr
Caracteri!a la raide! de variaci+n del radio vector or la direcci+n, odemos escri*ir e r=
dΨ e =Ψ e Ψ dt Ψ
"onde J es el án&ulo entre el radio vector % el e)e ',
e Ψ
un versor
erendicular al radio vector diri&ido #acia el sentido de crecimiento del án&ulo J. v Ψ =rΨeΨ
Kemos introducido las desi&naciones de comonente
v Ψ
v Ψ
%
e Ψ
ara remarcar que la
% el versor que le corresonde, están li&ados con la
variaci+n del án&ulo J. Está claro que los vectores
vr
%
v Ψ
son erendiculares entre s, or lo
tanto v =√ v r
2
2
+ vΨ =
√ r
2
+r
2
2
Ψ
CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN La rotaci+n de un cuero a un án&ulo ϕ uede ser re-)ado en forma de un se&mento, cu%a lon&itud es i&ual a dic#o án&ulo ϕ, coincidiendo as la direcci+n del se&mento con el e)e alrededor del cual ocurre la rotaci+n. 0ara e'licar #acia qu lado se reali!a la rotaci+n alrededor del e)e re-)ado. La direcci+n de rotaci+n % el se&mento que la
reresenta se relaciona or medio de la regla del sacacorchos la direcci+n del se&mento de*e ser tal, que al mirar a lo lar&o de ste $veamos -&. >.1( veamos la rotaci+n en sentido #orario $&irando el man&o del sacacorc#os en sentido #orario rovocaremos un desla!amiento ale)ándose del lector(. Como fue mostrado en el unto 3, los &iros a án&ulos -nitos no se suman se&2n la re&la del aralelo&ramo, or lo que se uede a-rmar que no son vectores. Al &irar a án&ulos mu% eque;os ϕ, el ro*lema es comletamente diferente. El recorrido que reali!a cualquier unto del cuero durante un &iro mu% eque;o uede lle&ar a ser considerado rectilneo $vase -&. >.3(.
Fig. 5.2
Fig.5.1
0or esa ra!+n, dos eque;os &iros
Δ φ 1
%
Δ φ 2
que
se
reali!an sucesivamente condicionan, como se uede ver en el di*u)o, un desla!amiento i&ual
∆ r 3 =∆ r 1 + ∆ r 2
cuero, lo mismo sucede con la rotaci+n de
∆ φ1
%
∆ φ2
de cualquier unto del ∆ φ3
se o*tiene de la suma
se&2n la re&la del aralelo&ramo. Aqu se entiende
que rotaciones mu% eque;as se ueden considerar como vectores, los cuales desi&naremos con
Δφ o
dφ . El sentido del vector de
rotaci+n se relaciona con la direcci+n de rotaci+n del cuero. 0or tanto se entiende que d ϕ no es un vector real, sino que es un seudovector.
ω = lim
La ma&nitud vectorial
•
∆t →0
∆ φ dφ = ∆ t dt
"onde t es el tiemo durante el que efect2a la rotaci+n Δ
Esta ma&nitud vectorial reci*e el nom*re de velocidad angular del cuero, en ocasiones se denomina lineal la velocidad estudiada en la arte 7. La velocidad an&ular ω, que es un seudovector, está diri&ida a lo lar&o del e)e, alrededor del cual &ira el cuero, en el sentido que determina la re&la del sacacorc#os $vase -&. >.7(. El m+dulo de la velocidad an&ular es i&ual a
dφ dt .
Llamamos uniforme la rotaci+n a velocidad an&ular constante. 5i la rotaci+n es uniforme, durante el tiemo t $
ω= ❑ t , donde ϕ es el án&ulo -nito de rotaci+n v=
s t (. "e este modo, la rotaci+n uniforme ω
nos muestra a qu án&ulo &ira el cuero or la unidad de tiemo. La rotaci+n uniforme uede ser caracteri!ada or el erodo de rotaci+n T, or el que se entiende el tiemo que el cuero tarda ara dar una vuelta, es decir, &ira en un án&ulo de 3 π. Como el intervalo de tiemo tT le corresonde el án&ulo de rotaci+n ϕ 3π, L
4 v r
s O O .9
O .7
.>
"onde •
ω=
2 π
T
•
T =
2 π
ω
•
•
•
•
El n2mero de revoluciones or unidad de tiemo v es i&ual a v=
1
T
=
ω 2 π
"e esta ecuaci+n se desrende que la velocidad an&ular es i&ual a 3π multilicada or el n2mero de revoluciones or unidad de tiemo ω =2 πv
•
Los concetos de erodo de rotaci+n % n2mero de revoluciones or unidad de tiemo ueden ser tam*in conservados ara la rotaci+n variada, entendiendo or valor instantáneo de T el tiemo durante el cual el cuero da una vuelta, si el cuero &irara uniformemente con el valor dado de la velocidad an&ular instantánea % sa*iendo que v es el n2mero de revoluciones or unidad de tiemo que reali!a el cuero en condiciones seme)antes.
•
El vector ω uede cam*iar tanto or la variaci+n de la velocidad de rotaci+n alrededor del e)e, en seme)ante caso variará en ma&nitud, como a cuenta del &iro del e)e de rotaci+n en el esacio aqu ω cam*iará de sentido. 5ea que durante el tiemo t, el vector ω reci*e un incremento ω. La variaci+n del vector de la velocidad an&ular con resecto al tiemo se caracteri!a or la ma&nitud llamada aceleración angular .
•
β = lim ∆ t →0
∆ ω dω = ∆ d dt
•
Al i&ual que la velocidad an&ula, la aceleraci+n an&ular es un seudovector.
•
0untos aislados de un cuero en rotaci+n tienen diferentes velocidades lineales v . La velocidad de cada uno de estos untos cam*ia ermanentemente de direcci+n. La ma&nitud de la velocidad v se determina or la velocidad de rotaci+n ω del cuero % la distancia R del e)e de rotaci+n al unto considerado. 5i suonemos que en un eque;o intervalo de tiemo, el cual #a &irado al án&ulo ϕ $vase -&. >.9(. El unto que encontramos a la distancia R del e)e, asa un recorrido ∆ s = R ∆ φ . La velocidad lineal del unto
•
•
•
•
v = lim ∆t →0
∆s ∆ φ ∆φ dφ = lim R = R lim = R = Rω ∆ t ∆t → 0 ∆ t dt ∆t →0 ∆ t
Es decir, v = Rω
La f+rmula anterior relaciona el m+dulo de la velocidad lineal % la velocidad an&ular. Kallamos una e'resi+n que relacione los vectores v % . La osici+n del unto que #emos considerado se determinara or el radio vector r , tra!ado desde el ori&en de coordenadas O, que se encuentra en el e)e de rotaci+n $veamos -&. >.>(. La -&ura nos muestra que la direcci+n del roducto vectorial $ωr( coincide con el vector v % tiene un m+dulo i&ual a ωr sin α =ωR . 0or tanto
•
•
v = ( ωr )
El m+dulo de la aceleraci+n normal de los untos de un cuero 2
v en rotaci+n es i&ual #a |W n|= R
. 4eemla!ando el valor de v ,
o*tenemos
|W n|=ω R 2
•
•
5i introducimos el vector R, erendicular al e)e de rotaci+n, tra!ado al unto dad del cuero $vase -&. >.>(, damos forma vectorial a esta relaci+n 2
•
•
W n=− ω R
5e uede o*servar un si&no menos, esto es de*ido a que los vectores
•
W n
% R tienen sentido ouesto.
5uon&amos que el e)e de rotaci+n del cuero no &ira en el esacio. "e acuerdo con
|W τ |=|v|
aceleraci+n tan&encial será i&ual a
, el m+dulo de la
| | . /samos el valor de dv dt
la velocidad % teniendo en cuenta que la distancia del unto del cuero que se consider+ al e)e de rotaci+n
R= cte , odemos
escri*ir
•
•
|
|W τ |= lim
∆t →0
||
||
| |
∆ ( ωR ) ∆v ∆ω = lim = limR = R ∆ t ∆ t → 0 ∆ t ∆ t → 0 ∆ t
lim
∆ t →0
|
∆ω = Rβ ∆ t
"onde β es el m+dulo de la aceleraci+n an&ular. 0or lo tanto. Los m+dulos de la aceleraci+n tan&encial % an&ular están relacionados mediante la correlaci+n
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|W τ |= βR "e este modo, las aceleraciones normal % tan&encial crecen linealmente al aumentar la distancia desde el unto #asta el e)e de rotaci+n.
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