“AÑO DEL DIALOGO Y
RECONCILIACIÓN NACIONAL” MONOGRAFÍA TEMA: REGÍMENES DE INTERÉS COMPUESTO CONTINUO Y FRACCIONADO
ESTUDIANTE: GRANDA VILLAVICENCIO, LINDA STEPHANIE PROFESOR: ENRIQUE ÁLVAREZ CURSO: EXCEL EMPRESARIAL 1
INDICE:
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I. REGÍMEN DE INTERÉS COMPUESTO CONTINUO: Cuando la frecuencia con la que el interés se capitaliza crece indefinidamente, se habla que el interés en forma continua, llamándose “interés compuesto continuo”. Al emplear este tipo de interés, el monto compuesto no tiende a ser infinitamente grande como a veces se piensa, sino que tiende a acercarse a su valor límite. Deducción de la Fórmula del Monto Compuesto a Capitalización Continua: Partimos del monto compuesto:
= ∗ ( + )
… (1)
Donde S es el monto compuesto o el valor futuro de un capital inicial P, es la tasa de interés por parte de la capitalización y n es el número total de periodos de capitalización. Tomando en cuenta las fórmulas i=j/m y n=m*t , se puede expresar la ecuación (A) de la siguiente forma:
= ∗ ( + /)
… (2)
Donde j es la tasa de interés compuesto anual, m la frecuencia de capitalización y t el tiempo o plazo en años. Si hacemos v=m/j de donde m=v*j y sustituimos en (2), se obtiene:
= ∗ [( + /)
… (3) 3
La ecuación (3) se puede expresar también como:
= ∗ [( + ) ]
… (4)
La capitalización continua se da cuando la frecuencia de capitalización m aumenta en forma indefinida, es decir, cuando m tiende a infinito (m ∞). Si m tiende al infinito entonces v tiende a infinito y ese escenario, el monto vendría dado por:
= ∗[(1+) ] = ∗ [(1+) ]
→∞
→∞
→∞
De donde:
= ∗ [( + ) ] →∞ →∞ Como se demuestra usando el cálculo diferencial que
[( + ) ] = , donde “e” es la base de los logaritmos
→∞
naturales, entonces se concluye en que: Fórmula Monto Compuesto Continuo:
= ∗
…
Esta fórmula (A) permite obtener el monto compuesto de un capital P a una tasa compuesta anual j que capitaliza continuamente durante t años. El interés compuesto generado a capitalización continua se obtiene mediante la fórmula:
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Interés Compuesto Continuo: … (2)
O bien directamente, con la fórmula que resulta al sustituir a S de la fórmula (1) en la fórmula (2): Interés Compuesto Continuo:
= ∗ (
… (3)
La determinación del capital (o valor actual) del tiempo y de una tasa nominal capitalización continuamente se efectúa partiendo de la fórmula (1): = ∗ Despejando se tiene:
Valor Actual:
= ∗ −
Tiempo:
() =
Tasa Anual de Interés Capitalizable Continuamente:
=
()
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II. RÉGIMEN DE INTERÉS COMPUESTO FRACCIONADO: Existe la posibilidad de que las partes involucradas en una operación financiera decidan pactar una mayor frecuencia en el cálculo de interés que la anual. Si la frecuencia de cálculo de intereses aumenta la fórmula del interés compuesto cambia también. En el caso del cálculo anual la expresión general era:
(+) Cuando se pacta en una operación o emisión de deuda la liquidación de interés por periodos inferiores a un año y que son cada uno una parte alícuota del mismo, el tipo de interés fraccionado será el que proporcionalmente corresponda a un periodo. Así, si el año contiene k periodos, el tipo por periodo será el resultado de dividir el tipo de interés anual i por k, por lo que el tipo de interés fraccionado ik=i/k En el caso de cálculo semestral aplicaríamos la mitad del interés anual dos veces por año:
Para un año:
Para dos años:
Para t años:
( + ) ( + ) ( + )
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En el caso de cálculo trimestral aplicaríamos un cuarto del interés anual cuatro veces:
Para un año:
Para dos años:
Para t años:
( + ) ( + ) ( + )
Si llamamos n al número de periodos anuales de cálculo obtenemos la siguiente fórmula general del interés compuesto fraccionado:
( + ⁄) Los bancos tendrán tendencia a aumentar el número de capitalizaciones por un año de un préstamo de interés compuesto. Al aumentar el número de capitalizaciones los intereses pasaran con más frecuencia a ser incluidos en el cálculo de futuros intereses, aumentando de esa manera el importe total de los intereses a pagar.
Prestamos con interés fraccionados: Son aquellos préstamos en los que los intereses se hacen efectivos con mayor frecuencia que la empleada para amortizar el principal, cualquiera que sea la unidad de tiempo elegida. Es decir, las cuotas de interés se pagan fraccionadamente dentro del periodo de tiempo elegido para la amortización del capital, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan y se abonan al final del dicho periodo. 7
Por lo tanto, lo que caracteriza al préstamo con intereses fraccionados es: a) Las cuotas de amortización no se fraccionan, siguen venciendo al final de cada periodo (sea cual sea el elegido). b) Se fracciona el pago de intereses, es decir, en lugar de hacer un solo pago junto con la cuota de amortización al tanto efectivo expresado en la unidad de tiempo de amortización (i), se hacen k pagos al tanto efectivos ik por cada pago de principal, resultando dividido el periodo en k subperiodos a efectos de pago de intereses. Gráficamente, para un préstamo de tres años con amortización anual y pago semestral de intereses, la operación supondría los siguientes pagos:
C0
0
0
C1
C2
A1
A2
A3
1
2
3 años
1
2
8
