Introducción 1- ¿u! es un "ector# $us co%&onentes '- (i&os de Vectores )- N*%eros Co%&le+os , &eraciones con N*%eros I%aginarios .- $u%a , /esta de Vectores 0- Modulo - Angulo entre dos Vectores 2- Multi&licación de Vectores 3- 4roducto 5scalar de Vectores 6- Conclusión 17-
8iografía
Introducción Hacia los fnes del siglo XIX el empleo de los vectores se generalizo a toda la ísica. El alemán Grassman, en 1884 por el mtodo geomtrico introd!"o
ormalmente las #ases del cálc!lo vectorial $s!ma, prod!cto escalar % vectorial&. El ingls Hamilton, por cálc!lo alge#raico llego a las mismas concl!siones '!e Grassman( empleo por primera vez los trminos vectorial % escalar. Ha% diversas sit!aciones en las c!ales !n n)mero no alcanza para descri#irlas. *or e"emplo, c!ando en ísica se de#e identifcar !na !erza, se necesita identifcar de c!anto es % +acia donde va. #"etivo- e plante/ este tra#a"o para ad'!irir !n me"or % más sencilla conocimiento de lo '!e son los vectores en plano % en el espacio a partir de los dierentes casos de resol!ci/n donde se necesita de vectores.
1- ¿u! es un Vector# Es !n segmento orientado '!e empieza en !n p!nto 0 % termina en p!nto . 2enominando así 3ector 0. im#/licamente se escri#e 0.
Gráfcamente
0
0
Co%&onentes de un "ector: •
•
•
9irección: Esta defnida por la recta determinada por los p!ntos 0 % . e considera '!e los movimientos so#re rectas paralelas tienen la misma direcci/n. $entido: En cada direcci/n +a% dos sentidos $En n!estro e"emplo p!ede ser de 0 a o de a 0&. Modulo: Es la longit!d del segmento determinado por las composiciones iniciales % fnal del movimiento.
'- (i&os de Vectores: •
3ectores *aralelos- 2os vectores son paralelos si tienen la misma direcci/n % no in!%e el sentido. E"emplos- 5os 3ectores 67, 0 % 09 7
6 •
0
9
0
Vectores 5qui"alentes- 2os vectores son e'!ivalentes si tienen el mismo sentido % el mismo mod!lo. E"emplos- 5os 3ectores 56 % 0: 6
:
5
•
0
Vectores &uestos: 2os 3ectores con el mismo 6od!lo % sentidos p!estos. E"emplos- 5os 3ectores 6; < =* son op!estos.
;
=
6
*
)- N*%eros Co%&le+os 2efnici/n- Este con"!nto n!mrico se crea con el o#"etivo de resolver la operaci/n
√ a c!ando n
a < 0 ∧ n es par.
$u%a de N*%eros Co%&le+os e llama s!ma de dos o más n)meros comple"os al comple"o '!e tiene como componente >eal la s!ma de dos los componentes reales % como componente Imaginaria la s!ma de los componentes imaginarias de los n)meros s!mandos.
( a ; b ) + ( c ; d ) i=[( a +c ); ( b + d )i ] E"emplo$?(@i& A $B(1i&CD$?AB&($@A1&iC$F(?i& Con+ugado de n*%ero co%&le+o 2os n)meros comple"os se dicen con"!gados c!ando tienen los componentes reales % los componentes imaginarios de ig!al valor a#sol!to pero de distinto signo. En orma #inomica-
´ =a− bi Z
*or e"emplos, son n)meros comple"os con"!gados. Z =3 + 2 i entoncesel conjudo es ´Z =3−2 i
&uesto de un n*%ero co%&le+o El op!esto de !n n)mero comple"o es ig!al al componente real al ig!al '!e la imaginaria cam#iado de signo. En orma #inomica- Z =−a−bi *or e"emplo el op!esto de !n n!mero comple"o. Z =3 + 2 i entonces el opuesto es − Z =−3 −2 i
/esta de N*%eros Co%&le+os
5a resta de n)meros comple"os es ig!al a la s!ma entre el primer n)mero comple"o por el op!esto del seg!ndo n)mero comple"o En ím#olos-
( a + bi )− ( c + di )=( a + bi ) + (−c − di) =( a− c )+ ( b− d ) i E"emplo$@ABi&$?A@i&C$@ABi&A$?@i&C$@?&A$B@&iC1A4i 4roducto de N*%eros Co%&le+os e llama prod!cto de dos n)meros comple"os al n!mero comple"o c!%o componente real es la dierencia entre el prod!cto de las componentes reales % las componentes imaginarias de los actores % c!%as componentes imaginarias es ig!al a la s!ma de los prod!ctos de la componente real por la componentes imaginarias de dic+os actores, es decir$a( #i&$c( di&C $ac #d&A $ad Ac#&i 9i"isión de n*%eros co%&le+os: *ara dividir dos n)meros comple"os se m!ltiplican el dividendo % el divisor por el con"!gado del divisor % l!ego se eect)a las operaciones indicadas.
( a + bi) ( a +bi ) . ( c −di ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ( ac + bd ) +( bc −ad ) i = = = 2ivisi/n- ( c + di ) ( c + di ) . ( c − di) ( c + d ) +( cdi−cdi ) (c + d ) 2
2
2
2
.- $u%a de Vectores *ara s!mar dos vectores aplicamos la s!ma de n)meros comple"os *or e"emplo- J1C K1A %1 i, J@C K@A%@ i, s! s!ma es J ?C J1AJ@C $K1AK@& A $%1A%@& i GráfcamenteJ1
J?C J1AJ@
J@
/esta de Vectores *ara restar dos vectores, se s!ma al primero el op!esto del seg!ndo. *or E"emplo- J 1C K1A %1 i, J@C K@A%@ i, se s!ma el primero con el op!esto de seg!ndo entonces la resta es- J ?C J1J@C $K1K@& A $%1%@& i
J@ J?C J1A$J@& J1 J@ 0- Modulo e llama mod!lo del n!mero comple"o z C aA#i, se representa por m o
| z| , a la longit!d del 3ector 0.
√ + b 2
m =| z|= a
2
- Angulo entre dos Vectores El áng!lo L, MNO L O 18MN, '!e orman los vectores a % # c!mplen '!e-
cos a
=
¿ ⃗a .b 0 ° ≤ a ≤ 180 ° |a||b|
2- Multi&licación de Vectores u ⃗
*rod!cto Escalar o *rod!cto *!nto- 2ados dos vectores prod!cto escalar o prod!cto p!nto o prod!cto interno o#tenido como prod!cto de los mod!los de
u % ⃗
u ⃗
. .
im#/licamente .
v el escalar ⃗
⃗ v por el coseno del
áng!lo ormado por dos vectores
⃗ u
v ( e llama ⃗
v =|u|.|v|C o s θ ⃗
3- 4roducto 5scalar de Vectores ex&resados seg*n sus co%&onentes
i
⃗ u=( u 1 ; u 2 )
% ⇒
v =( v 1 ; v 2) ⃗ ⃗ u .
v =(u 1 . v 1 + u 2 . v 2) ⃗
6- Conclusión Pna magnit!d '!e tiene !na direcci/n % sentido al mismo tiempo los llamamos vectores '!e se representan con segmentos orientados !tilizando los vectores, se p!ede resolver gráfcamente c!al'!ier pro#lema relacionado con el movimiento de c!al'!ier o#"eto #a"o la in!encia de varias !erzas. 17- 8iografía 5i#ro- 6atemática *olimodal( 5i#ro 4 Q3ectoresR( Editorial- 5ongseller 5i#ro- 0lge#ra % Geometría 0nalítica( ;otas 9e/ricas de :átedra 0!tora- 5inc. eatriz 0!tino de calone.
