Monografia Dcl (2)

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL, SISTEMAS E INFORMÁTICA ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

“DISEÑO CUADRADO LATINO (DCL)”

Cu!"# Estadística Aplicada I D"$%&'%# Víctor Silva Toledo C$"# V I&'%*+&'%!#     

Barrenechea Sarmiento Brithany Estupiñán Bazalar Karla Thalía Loarte Sana Kimerly Samanamud !atividad "uen Sanchez #arin #aricely

HUACHO  -./0

A1$+$"&%! 2% A&+!! 2% V++&3+ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTA FACUL TAD D DE INGENIERÍA INGE NIERÍA INDUSTRIAL SISTEMAS E INFORMÁTICA

$E$I%AT&"IA Este traa'o está dedicado a nuestros padres (ue siempre nos están apoyando incondicionalmente en la parte econ)mica y moral para poder lle*arnos a realizar como e+celentes pro,esionalesA nuestros ,amiliares (ue nos motivan. ayudan y (ue por sus e+periencias a lo lar*o de su vida nos rindan conse'os para realizar todo de la me'or manera posileAnte todo a $ios (ue nos da la vida. nos otor*) una ,amilia la cual cada día nos comporta sus enseñanzas y ,ortalezas para se*uir desempeñando dando siempre lo me'or/n a*radecimiento en especial a nuestro pro,esor Víctor Silva Toledo por su apoyo constantemente. por sus conse'os. por compartir con nosotros sus e+periencias laorales. por motivarnos con este traa'o a investi*ar-

DISEÑO CUADRADO LATINO

-

A1$+$"&%! 2% A&+!! 2% V++&3+ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL SISTEMAS E INFORMÁTICA

A0"A$E%I#IE!T&

A*radecemos de ante mano al *rupo en *eneral por el apoyo rindado en nuestro tema de suma importancia del $ISE1& %/A$"A$& LATI!&. no olvidando de nuestro maestro de la materia por darnos conocimientos previosA*radecer hoy y siempre a nuestros ,amiliares por el es,uerzo realizado en su apoyo en nuestros estudios. de ser así no huiese sido posile- A nuestros padres y demás ,amiliares ya (ue nos rindan el apoyo. la ale*ría y nos dan la ,ortaleza necesaria para se*uir adelante día a día-


4


I!T"&$/%%I2!


5


/ /8/

CA7ÍTULO I# GENERALIDADES ANTECEDENTES# El $%L se us) ori*inalmente en la a*ricultura para me'orar si*ni,icativamente los m3todos a*rícola. se trataa de hallar la e,icacia de los ,ertilizantes en el rendimiento de las cosechas. uscándose plantar cosechas con similares condiciones de suelo de modo (ue la calidad de la tierra no ,uese un ,actor indeseale (ue in,luyese en el rendimiento del terreno cultivado. y la 4nica manera de ase*urarse de tener condiciones id3nticas de tierra era utilizar siempre el mismo sueloEn áreas como la medicina y la zootecnia. las personas y animales hacen las veces de lo(ues cuando recien todos los tratamientos en secuencia-

/8-

O9JETIVOS# O:;%'<" *%&%+# -

Analizar el diseño cuadrado latino. como herramienta en la toma de $ecisiones en el campo de la in*eniería

O:;%'<" %!1%$=>$"#

/84

-

Identi,icar las herramientas estadísticas potencialmente 4tiles en los

-

di,erentes campos de la in*enieríaE+plicar el desarrollo del diseño cuadrado latino

IM7ORTANCIA# La descripci)n del diseño como un cuadrado es conveniente. aun(ue las variales de control no sean ,actores ,ísicos sino l)*icos como la raza. edad. peso o el tiempoLos periodos entre un tratamiento y otro ,orman los lo(ues de la otra variale. con,ormando un diseño de cuadrado latino- En *eneral. se hala de ,ila y columnas para indicar los lo(ues horizontales y verticales respectivamente. y no se hacen di,erencias entre los tipos de variales de control. y en consecuencia otener una mayor precisi)n de la pruea-


6


/85

LIMITACIONES# Las limitaciones (ue se encontraron en el presente traa'o de investi*aci)n ,ueron ásicamente relacionadas al desconocimiento parcial de la realidad de los e'ercicios presentados- Estos e'ercicios ,ueron e+traídos de liros. donde la visi)n del autor no necesariamente es compartida en el traa'o-


0


-

CA7ÍTULO II# MARCO TEÓRICO

-8/

CONCE7TOS FUNDAMENTALES# •

MUESTRA# Es un sucon'unto o parte de una polaci)n- El tomar muestras se hace con la intenci)n de no e+tendernos a sacar resultado de toda la polaci)n (ue representa-

•

MUESTRA ALEATORIA# Viene hacer la muestra ele*ida al azar. es la muestra tomada de la polaci)n en (ue todo individuo tiene la misma proailidad de poder ser ele*ido-

•

7O9LACION# Tami3n llamada /!IVE"S&. es el con'unto de elementos de re,erencia sore el (ue se realizan las oservaciones-

HI7OTESIS# Es el enunciado acerca del valor del parámetro polacionalVARIANZA# Es una media de dispersi)n de,inida como la esperanza del cuadrado de la desviaci)n de dicha variale respecto a su media•

FUNCIÓN DE DISTRI9UCIÓN# 5unci)n (ue hace corresponder a cada uno de los valores de la variale aleatoria discreta su proailidad-

•

CONTRASTE DE HI7ÓTESIS# Es el con'unto de re*las estalecidas para decidir entre la hip)tesis nula o la alternativa. (ue dee ser aceptada en ase al resultado (ue se otuvo de la muestra-

•

VARIA9LE ALEATORIA# Toda ,unci)n (ue tomas di,erentes valores num3ricos. dependiendo del resultado de un ,en)meno aleatorio. con distintas proailidades-

•

VARIA9LE ALEATORIA DISCRETA# Son a(uellas (ue tienen un n4mero ,inito de valores-

•

VARIA9LE ALEATORIA CONTINUA# Son a(uellas (ue pueden tomar un n4mero in,inito de valores en un intervalo determinado-


?


VARIA9LE CATEGÓRICA# Es a(uella (ue clasi,ica cada individuo de la polaci)n en varias clases mutuamente e+cluyentes•

ESTADÍSTICA DESCRI7TIVA# Es el procedimiento estadístico (ue sirven para or*anizar y resumir con'untos de datos num3ricos-

ESTADÍSTICA INFERENCIAL# Es el procedimiento estadístico (ue sirve para deducir o in,erir al*o de un con'unto de datos num3ricos 6polaci)n7. seleccionando una parte de ellos 6muestra7•

GRADOS DE LI9ERTAD# Es el n4mero de oservaciones linealmente independientes en un con'unto de 8n9 oservaciones- Los *rados de liertad. son i*uales a 8n9 menos el n4mero de restricciones impuestas al con'unto total de datos-

HI7ÓTESIS ALTERNATIVA# Es el a(uel enunciado (ue no nie*a. ni a,irma lo (ue dice la hip)tesis de investi*aci)n-

HI7ÓTESIS NULA# Es a(uella (ue nie*a. lo (ue a,irma la hip)tesis de investi*aci)n-

MEDIA# Tami3n conocida como la media aritm3tica. (ue viene hacer el promedio (ue se otiene al sumar todos los elementos en un con'unto de valores-

NIVEL DE CONFIANZA# Es la proailidad de (ue la estimaci)n (ue se e,ectu) se a'usta a la realidad-

NIVEL DE SIGNIFICANCIA# Es el ries*o (ue se asume. acerca de rechazar la hip)tesis nula cuando en realidad dee aceptarse por ser verdadera-

7RUE9AS NO 7ARAMÉTRICAS# :rueas de hip)tesis (ue implican datos de niveles nominal y ordinal-

REGIÓN DE ACE7TACIÓN# Es el con'unto de valores de la estadística de pruea. (ue conducen aceptar la hip)tesis nula-

REGIÓN DE RECHAZO O REGIÓN CRÍTICA# Es el con'unto de valores de la estadística de pruea. (ue conducen al rechazo de la hip)tesis nula-


@


-8-

DEFINICION# El diseño cuadrado latino se usa para eliminar dos ,uentes de variailidad

perturadora. es decir. nos permite hacer la ,ormaci)n de lo(ues sistemática en dos direcciones. por lo tanto las ,ilas y columnas representan en realidad dos restricciones sore la aleatorizaci)nEs un diseño a tres criterios. tami3n se le conoce como; $iseño 0reco Latino. y si*ni,ica diseñar un e+perimento. (ue reduzca el error e+perimental en $B%A y de esta ,orma. incrementar la precisi)n de la investi*aci)nEs a(uel diseño donde dee cumplirse lo si*uiente; Si se van a investi*ar 8r9 tratamientos. se necesitan 8r9 ,ilas y 8r9 columnas< es decir se necesitan 8r =9 resultados-

E;%B1" /# Si se desea estudiar la resistencia de tres 6>7 tipos de pieles. entonces se hara necesario contar con; > tipos de má(uinas. así como > m3todos de ,aricaci)n-

E;%B1" -# Si se desea estudiar el rendimiento de cuatro 6?7 tipos de llantas. entonces se hara necesario contar con; ? tipos de carreteras. asi como ? tipos de climas. a'o los cuales se pruee el e+perimento-

-84

CARACTERISTICAS# -

Es denominado tami3n clasi,icado a tres criterios En este diseño cada tratamiento esta una sola vez y al zar en cada ,ila 6lo(ue7 y

-

en cada columnaEs 4til cuando las unidades e+perimentales pueden a*ruparse de acuerdo a dos ,uentes de variaci)n. además de los tratamientos respectivos-

-85

USO Este diseño se usa ,recuentemente en los e+perimentos a*rícolas e industriales-

:ermite delimitar con se*uridad los e,ectos relativos de varios tratamientos cuando se impone unidades e+perimentales. una restricci)n del tipo de dole lo(ue-





-86

VENTAJAS# -

El A!VA es sencillo. aun cuando es li*eramente más complicado (ue el $B%ASe otienen resultados más e+actos (ue en el $%A y $B%AEl análisis estadístico es el mismo (ue en el $B%A y $%ALa omisi)n de resultados en el e+perimento no ocasiona nin*una complicaci)n 6$atos perdidos7- Si los resultados o datos perdidos son numerosos. entonces el $B%A es más conveniente-

-80

DESVENTAJAS# -

%omo el n4mero de tratamientos depende del n4mero de lo(ues 6,ilas7 y de columnas por consi*uiente el n4mero de unidades e+perimentales. esto le resta ,le+iilidad al diseño para su uso< por ello no es recomendale para más de @

-

tratamientosEl n4mero de tratamientos. ,ilas y columnas dee ser i*ual. a veces es di,ícil encontrar unidades e+perimentales (ue permitan armar los lo(ues homo*3neos

-

en las dos direcciones. más a4n. si el n4mero de tratamientos es *randeEl error e+perimental tiende a incrementar al aumentar el ancho de los lo(ues y

-

el lar*o de las columnasEste diseño tiene menos *-l- para el error e+perimental (ue en el $B%A y el $%A. di,erencia (ue se acent4a a medida (ue disminuye el n4mero de tratamientos-

4

EL 7ROCESO DE CONSTRUCCION DE UN DCL#

@- :artir de un cuadrado latino estándar del tamaño re(uerido; Supon*amos (ue necesitamos un cuadrado ?? y aritrariamente hemos seleccionado el planteado anteriormente. donde se oserva el orden al,a3tico de las letras en la primera ,ila y la primera columna=- Aleatorizar todas las columnas del cuadrado ele*ido; :ara este e,ecto e+isten talas de permutaciones o simplemente se eli*e un orden aleatorio 6con ayuda de la calculadora o de talas de n4meros aleatorios7 de las 8t9 columnas< para este caso. con ayuda de la calculadora se encontraron los valores; @. >. ?C @; Duiere decir (ue la primera columna permanece como estaaC >; Entonces. la (ue antes era la tercera columna. ahora pasa a ser la se*unda-


/.


C ?; La (ue inicialmente era la cuarta columna. ahora pasa a ser la tercera. por descarte. entonces. la (ue ori*inalmente era la se*unda columna. ahora pasa a ser la cuarta. con lo (uedaría;

(ue el cuadrado A

%

$

B

B

$

A

%

%

A

B

$

$

B

%

A

>- Aleatorizar todas las ,ilas del cuadrado encontrado; !uevamente. con ayuda de la calculadora. el orden aleatorio encontrado ,ue; >. ?. @C >; La (ue en el 4ltimo cuadrado era la tercera ,ila. ahora pasa a ser la primeraC ?; La (ue era la cuarta ,ila. ahora se convierte en la se*undaC @; La primera ,ila dee ser ahora la tercera y por descarte. la se*unda ,ila pasa a ser la cuarta. (uedando el si*uiente cuadrado. (ue sería el de,initivo;

48/

%

A

B

$

$

B

%

A

A

%

$

B

B

$

A

%

NOTACIÓN EN UN DCL# :ara realizar el análisis de varianza re(uerido en el $%L- Se re(uieren los

si*uientes t3rminos;


//


--- F GG i'H F 0ran total i-- F Total del tratamiento 8i9 -'- F G i'H F Total de la ,ila 8'9 --H F G i'H F Total de la columna 8H9

48-

7ARTICIÓN EN LA SC EN UN DLC# En el $%A;

SC T =SC Tr + SC E

En el $B%A;

SC T =SC Tr + S C B + SC E SC T =SC Tr + SC F + SC C + SC E

En el $%L; $)nde; SC F

; Suma de cuadrados de las ,ilas-

SC C

; Suma de cuadrados de las columnas2

T X ijk −¿ N SC T = ¿

SC Tr=

∑

SC Tr=

484

∑

2

∑

2

T

.. k

r

2

T i .. T − r N

SC Tr=

2

T − N

∑

2

2

T . j . T − r N

TA9LA ANVA 7ARA UN DCL# 5-V-

S%

*-l-

%#

5%

5T

$E%ISI2!


/-


Tratam-

r −1

SC Tr

CM Tr

CM Tr



CM E

5ilas

$&SIS $E 5/!0I%I$A @ CM = CM > F ? $ A CM % E B

A"EA $E %/LTIV& SC F r −1

F

@ %olumnas

SC C

> E""&"

SC E

T&TAL

SC T

r −1

=

?

?-=R -P A CM B

@-QP $ CM

?-=? %

CM E

C

-> $

(r −1 )( r −2) ?-P>CM EQ-R? B % R

2

−1

5tF 5 6@J7 <6r@7.6r@76r=7

?-=

-QP

@@-P= B

P-> % P-R A

@@-?R A

P-?Q $

@@-P=

-@

C

TABLA



NOTA IMPORTANTE:

Las decisiones (ue sean tomadas en este diseño. tienen las mismas consideraciones (ue en el $%A y $B%A< es decir; Si; 5c  5t entonces dee A%E:TA"SE o 5c M 5t entonces dee "E%ANA"SE o

E;%B1" 9!$"# En una estaci)n e+perimental se estudiaron cuatro tipos de dosis de ,un*icidas 6@;>@LtOá. =;P@LtOá. >;Q@LtOá. y ?;R@LtOá7. para el control del cultivo de ? distintas variedades de papas- Los resultados se presentan a continuaci)n en Tm de rendimiento de papa- El e+perimento se realiz) en ? distintas áreas de cultivo-


/4


7+!" .# %ompletar la tala ori*inal A"EA $E %/LTIV& @ = > ? T-'-

$&SIS $E 5/!0I%I$A @ = > ? $ A % B ?-=R A

-P B

@-QP $

P-> %

?-=? %

-> $

@@-P= B

P-R A

?-P> B

Q-R? %

@@-?R A

P-?Q $

?-= @Q->=

-QP >@-==

@@-P= ?P-=

-@ =>-Q

Ti-=R-@Q =R-QP =R-?> =-P? @@-R

T--K F A; =R-Q>< B; =R-?@< %; =Q-RR< $; =R-Q F @@-R T% F P>-RP?P

7REGUNTA /# ULos tipos de dosis de ,un*icida son si*ni,icativas 7REGUNTA -# UIn,iere el área de cultivo en los resultados


/5


7REGUNTA 4# ULa variedades de papa in,luyen en el estudio

 7+!" /# 5ormular la hip)tesis-

H.# Los tipos de dosis de ,un*icida no son si*ni,icativasH/# Los tipos de dosis de ,un*icida son si*ni,icativasH.# El área cultivo no in,iere en los resultadosH/# El área cultivo in,iere en los resultadosH.# Las variedades de papa no in,luyen en el estudioH/# Las variedades de papa in,luyen en el estudio-

 7+!" -# Estalecer el nivel de si*ni,icancia

%onsiderar   6

 7+!" 4# "ealizar los cálculos aplicando A!VA

SCT= ΣX2ijk – TC

 S%T F 6?-=R= W -P= W @-QP=WXXW @@-P== W -@=7 Y P>-RP?P S%T F R-P@ Y P>-RP?P S%T F @@=-RP SCTR= Σ T2..k /r – TC

 S%T" F 6>=?= W >R= W >>@= W >=P=7 Y T% ?? S%T" F

P?-?QRQ Y P>-RP?P

S%T" F -P=P= DISEÑO CUADRADO LATINO

/6


SCF= ΣT2i.. /r – TC

 S% 5 F

(29.17 + 29.752 + 29.432 + 28.542)

– TC

? S% 5 F P?-@P= Y P>-RP?P S% 5 F -@RQP

SCC= ΣT2.j. /r – TC

S% % F

(17.322 + 31.222 + 45.282 + 23.072)

– TC

??

S% % F R?-=R>P Y P>-RP?P S% % F @@->>R

7+!" 5# %onstrucci)n de la tala A!VA 5-V

S-%

*-l

%-#

"endimiento

-P=

>

-@Q

Zrea de cultivo

-=

>

-Q

@@->?

>

>-Q

@->



-=Q

$osis de ,un*icida Error

5%

5T

 ?-Q -=  ?-Q @>-==  ?-Q ->

$ecisi)n A%E:TA6 &7 A%E:TA6 &7 "E%ANA6 &7


/0


Total

@@=-R

@P

 7+!" 6# ,ormular las conclusiones y recomendaciones

CONCLUSIONES  Se han evaluado ? variedades de papa  La pruea es realizada con nivel de si*ni,icancia de P[  En el análisis de $&SIS $E 5/!0I%I$A. puesto (ue 5c es mayor (ue 5t. por lo tanto se "E%ANA la o En el análisis de 5ILAS. puesto (ue 5c es mayor (ue 5t. por lo tanto se A%E:TA la o En el análisis de %&L/#!AS. puesto (ue 5c es mayor (ue 5t. por lo tanto se A%E:TA la o-

RECOMENDACIÓN Se recomienda realizar un estudio proando (ue tipo de dosis de ,un*icidas es me'or. para (ue el estudio sea más e,iciente-

5

EFICIENCIA EN EL DCL#

Así como en el $B%A. e+iste e,iciencia al aplicar la t3cnica con respecto al $%A. en el $%L. de i*ual manera se puede comparar la e,iciencia de aplicar el $%L. con respecto al $%A y $B%A- Se consideran las mismas conclusiones y las si*uientes ,ormulas; E DCL (

E (

DCL DCA

DCA

=

)

=

CM F + CM C + ( r − 1 ) CM E

)

CM C

( r +1 ) CM E + ( r −1 ) CM

E

r . C M E


/?


E;%B1" 9!$"# En una estaci)n e+perimental se estudiaron cuatro tipos de dosis de ,un*icidas 6A;>@HOá. B;P@HOá. %;Q@HOá. y $;R@HOá7. para el control del cultivo de ? distintas variedades de papas- Los resultados se presentan a continuaci)n en Tm de rendimiento de papa- El e+perimento se realiz) en ? distintas áreas de cultivo-

A"EA $E %/LTIV& @ = > ?

@ $

$&SIS = > A %

? B

?-=R A

-P B

@-QP $

P-> %

?-=? %

-> $

@@-P= B

P-R A

?-P> B

Q-R? %

@@-?R A

P-?Q $

?-=

-QP

@@-P=

-@

EFICIENCIA EN EL DCL

7REGUNTA 5# Uuiera sido pre,erile aplicar el $%A 7REGUNTA 6; Ua sido rentale aplicar el $%L en lu*ar del $B%A

 7+!" .# completar la tala ori*inal


/@


$isponiilidad

:endiente = > A %

@ $

del !itr)*eno @ = > ? T-'-

Ti-? B

?-=R A

-P B

@-QP $

P-> %

?-=? %

-> $

@@-P= B

P-R A

?-P> B

Q-R? %

@@-?R A

P-?Q $

?-= -QP @Q->= >@-==

@@-P= ?P-=

-@ =>-Q

=R-@Q =R-QP =R-?> =-P? @@-R

T--K F A; =R-Q>< B; =R-?@< %; =Q-RR< $; =R-Q F @@-R T% F P>-RP?P

COMPARANDO EL DCL CON EL DCA

 7+!" /# Aplicando la ,)rmulaE$%LO$%A F

CMF = 0.07 CMC = 110.34

CMF + CMC + (r-1) CME (r+1) CME

CME = 1.03

E$%LO$%A F 0.07 + 110.34+ (3) 1.03 (5)1.03

E$%LO$%A F ==-?

%&!SI$E"A%I&!ES;  Si E$%LO$%A M @ entonces es "E!TABLE aplicar el $%L en lu*ar del $%A  Si E$%LO$%A  @ entonces no es "E!TABLE aplicar el $%L Si E$%LO$%A F @ entonces es I!$I5E"E!TE aplicar el $%L o el $%A


/


 7+!" -# Interpretaci)n $e acuerdo con el resultado podemos a,irmar (ue e,ectivamente ha sido

RENTA9LE aplicar el DCL en lu*ar del DCA8

COMPARANDO EL DCL CON EL DBCA

 7+!" /# Aplicando la ,)rmula-

E$%LO$B%A F

CMC + (r-1) CME r CME

E$%LO$B%A F

CMC = 110.34 CME = 1.03

110.34 + (3) 1.03 (4) 1.03

E$%LO$B%A F =Q-P>

%&!SI$E"A%I&!ES;  Si E$%LO$B%A M @ entonces es "E!TABLE aplicar el $%L en lu*ar del $B%A  Si E$%LO$B%A  @ entonces no es "E!TABLE aplicar el $%L Si E$%LO$B%A F @ entonces es I!$I5E"E!TE aplicar el $%L o el $B%A

 7+!" -# Interpretaci)n $e acuerdo con el resultado podemos a,irmar (ue e,ectivamente ha sido

RENTA9LE aplicar el DCL en lu*ar del D9CA8


-.


6

O9SERVACIÓN 7ÉRDIDAS#

En la realidad. al aplicar un e+perimento en este caso un $%L. ocurren accidentes (ue rindan como resultados la perdida de una 6@7 o varias unidades e+perimentalesE'emplo; -

/n animal puede destruir las plantas de una o varias parcelas/n traa'ador se en,erma y no acude a planta/n ,rasco puede romperse en el laoratorio/no o varios animales puede morirse o en,ermarse/n dato puede estar mal tomado%on la perdida de una o varias unidades e+perimentales. no se podría hacer

uso del procedimiento de análisis del $%L. a menos (ue se 8estime9 un valor para las unidades e+perimentales perdidas y se apli(ue el correspondiente A!VA-


-/


0

UNA O9SERVACIÓN 7ERDIDA# Los estadísticos ALLA!. \ISA"T y ATES presentan para @ unidad

e+perimental perdida el si*uiente procedimiento; En a(uellos casos en los (ue se pierde una unidad e+perimental se puede otener un valor estimado a partir de la si*uiente ecuaci)n;

$onde; • • • • •

t F n4mero de tratamientos  F total de valores oservados para la hilera (ue contiene la unidad ,altante % F total de valores oservados para la columna (ue contiene la unidad ,altante T F total del tratamiento (ue contiene la unidad ,altante S F *ran total de valores oservados-

:osteriormente al e,ectuar el A!&VA se dee restar un *rado de liertad al error e+perimental y. por lo tanto. al total-


--


?

DOS O9SERVACIONES 7ERDIDAS# $e haer perdido dos o más valores se su*iere emplear el m3todo iterativo

empleando las si*uientes ecuaciones; :ara el cálculo del primero de los datos ,altantes;

:ara el cálculo del se*undo datos ,altante-

:osteriormente se contin4a con el proceso iterativo hasta lo*rar la concurrencia-


-4


@

CONCLUSIONES  RECOMENDACIONES


-5




9I9LIOGRAFÍA

8/ FUENTES 9I9LIOGRÁFICAS


-6

Monografia Dcl (2)

Recommend Documents