1
I.E. C ÁRDEN AS CENTRO
MÓDULO DE M ATE ATEM ÁTIC A
CICLO V GR ADO DÉCIMO
2
I.E. C ÁRDEN AS CENTRO
MÓDULO DE M ATE ATEM ÁTIC A
CICLO V GR ADO DÉCIMO
2
TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1 1. 1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2..
ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS DE ACUERDO CON SU AMPLITUD EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓN Ángul! "n!#"u$%&!. L! 'u# $%#n#n un l() * #l &+,$%"# "-n. Ángul! /u#!$! /, #l &+, $%"# Ángul! ,-()! /, )! /(,(l#l(! * un( $,(n!&#,!(l
6 6 7 7 0 3
2. 2.1. 2.2. 2..
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EL R ADIÁN EL GRADO SE4AGESI M AL EL GRADO CENTESIM AL
1 1 1 15
. .1. .2.
APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE TALES Y DE PITÁGOR AS TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS TEOREMA DE T ALES8 TEOREMA DE PITÁGOR AS
10 10 10
PRUE9A TIPO ICFES
21
UNIDAD 2 1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.. 1.1.5. 1.1.;. 1.1.6.
RA:ONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO E4ISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 9ÁSI C AS El !#n El "!#n L( $(ng#n$# L( "$(ng#n$# L( !#"(n$# L( "!#"(n$#
2; 2; 26 26 27 27 27 27
2. 2.1. 2.2.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES ÁNGULO DE 5;< ÁNGULOS DE =< Y 6=<
20 20 20
. .1. .2. .. .5.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEG>N LOS CU ADR ANTES PRIMER CU ADR ANTE SEGUNDO CU ADR ANTE TERCER CU ADR ANTE CUARTO CU ADR ANTE
= = = 1 1
5. 5.1. 5.2. 5.. 5.5.
CASOS ?UE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APLICACIÓN GEOMÉTRIC A APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIER@A APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGR AF@A APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN N AVEGA AVEGACIÓN
1 5 ; 6
3
5.;.
APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOG@A
7
;. ;.1. ;.2. ;.. ;..1. ;..2. ;... ;..5. ;..;. ;..6. ;..7. ;..0.
DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRIC A DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RANGO DE UNA FUNCIÓN ELA9ORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRIC A L( un"%n !#n L( un"%n "!#"(n$# L( un"%n "!#n L( un"%n !#"(n$# L( un"%n $(ng#n$# L( un"%n "$(ng#n$# P,/%#)()#! )# l(! un"%n#! $,%gn-+$,%"(! Fun"%n#! "%,"ul(,#! ,#"B/,"(!
3 3 3 5= 5= 5= 5= 5= 5= 51 51 51
PRUE9A TIPO ICFES
52
UNIDAD 3 1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS O9LICU ÁNGULOS TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO T#,#-( )#l !#n T#,#-( )#l "!#n
5; 5; 5; 50
2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.. 2.1.5.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUND AMENTALES COMPRO9ACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRIC AS P, !%-%l%$u) "n (lgun( ,-ul( P(!(n) ( !#n! * "!#n! D#!/#(n) l(! ,-ul(! 9%n-%! "nug()!
;1 ;2 ; ;5 ;5 ;;
.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRIC AS
;7
5.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS ÁNGULOS DO9LES Y ÁNGULOS MEDIOS 5.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS 5.2. ÁNGULOS DO9LES Y ÁNGULOS MEDIOS 5.2.1. Ángul! )l#! 5.2.2. Ángul! -#)%!
;3 ;3 6= 6= 6=
PRUE9A TIPO ICFES
62
UNIDAD 4 1. 1.1. 1.2.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PL ANO COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
66 66 67
2. 2.1.
LA LINEA RECTA PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
63 63
4
2.1.1. 2.1.2. 2.2. 2..
E"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, )! /un$! E"u("%n )# l( ,#"$( )()! /un$/#n)%#n$# ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA
7= 71 71 7
.
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICUL ARES
7;
5.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
7;
;. ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS PARÁ9OLA ELIPSE E IPÉR9OL A ;.1. PAR Á9OL A ;.1.1. E"u("%n#! )# l( /(,Hl( ;.1.2. E"u("%n %n&lu",(n) l( )%!$(n"%( "(l ;.1.. E"u("%n g#n#,(l )# un( /(,Hl( ;.1.5. A/l%"("%n#! ELIPSE ;.2. ;.2.1. El#-#n$! )# un( #l%/!# ;.2.1.1. Pun$! )# un( #l%/!# ;.2.1.2. E#! )# un( #l%/!# ;.2.1.. E"#n$,%"%)() )# un( #l%/!# ;.2.1.5. E"#n$,%"%)() (ngul(, )# un( #l%/!# ;.2.1.;. Cn!$(n$# )# l( #l%/!# ;.2.1.6. D%,#"$,%"#! )# l( #l%/!# ;.2.2. E"u("%n#! )# l( #l%/!# ;.2.2.1. En ",)#n()(! "(, $#!%(n(! ;.2.2.2. En ",)#n()(! /l(,#! ;.2.. A/l%"("%n#! ;.. IPÉR9OL A ;..1. E"u("%n#! )# l( J%/+,l( ;..1.1. E"u("%n#! #n ",)#n()(! "(, $#!%(n(! ;..1.2. E"u("%n#! #n ",)#n()(! /l(,#! ;..1.. E"u("%n#! /(,(-+$,%"(! ;..2. A/l%"("%n#! #n #l -un) ,#(l
70 70 70 73 01 01 02 02 02 02 0 0 0 05 05 05 0; 06 07 07 07 00 03 03
PRUE9A TIPO ICFES
3=
9I9LIOGR AF@A
36
5
UNIDAD 1 1. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS Un Hngul #! l( /(,$# )#l /l(n "-/,#n)%)( #n$,# )! !#-%,,#"$(! 'u# $%#n#n #l -%!- /un$ )# ,%g#n &+,$%"#. Su#l#n -#)%,!# #n un%)()#! $(l#! "- #l ,()%Hn #l g,() !#(g#!%-(l #l g,() "#n$#!%-(l. 1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD Tipo Ángul nul Ángul (gu)
De!"ip!i#$ E! #l Hngul ,-() /, )! !#-%,,#"$(! "%n"%)#n$#! /, l $(n$ !u (#,$u,( #! nul( !#( )# =K. E! #l Hngul ,-() /, )! !#-%,,#"$(! "n (-/l%$u) -(*, )# = ,()* -#n, )# ,(). E! )#"%, -(*, )# =K * -#n, )# 3=K g,()! !#(g#!%-(l#!8 -#n, )# g 1== g,()! "#n$#!%-(l#!8.
Ángul ,#"$ Un Hngul ,#"$ #! )# (-/l%$u) %gu(l ( ,() g sexagesimales 1== centesimales 8. E! #'u%&(l#n$# ( 3=K ) ! L! ! l()! )# un Hngul ,#"$ !n /#,/#n)%"ul(,# #n$,# !B. Ángul $u! Un Hngul $u! #! ('u#l "u*( (-/l%$u) #! -(*, ( ,() * -#n, ( ,() M(*, ( 3=K * -#n, ( 10=K sexagesimales -H! )# 1==g * -#n! )# g 2== cent esimales8. Ángul ll(n #$#n)%) "l%n#(l El Hngul ll(n $%#n# un( (-/l%$u) )# ,() g & E'u% (l#n$# ( 10=K sexagesimales 2== centesimales8.
Ángul l%"u Ángul 'u# n #! ,#"$ n% -l$%/l )# un Hngul ,#"$. L! Hngul! (gu)! * $u!! !n Hngul! l%"u!. Ángul "-/l#$ /#,%gn(l
Un Hngul "-/l#$ /#,%gn(l $%#n# un( (-/l%$u) )# ,() g E'u% &(l#n$# ( 6=K sexagesimales 5== centesimales8.
6
Ángul "n&# !(l%#n$#
Ángul "n"(& ,#l# #n$,(n$#
E! #l 'u# -%)# -#n! )# ,(). E'u% &(l# ( -H! )# =K * -#n! )# 10=K sexagesimales -H! )# =g * -#n! )# g 2== centesimales 8.
E! #l 'u# -%)# -H! )# ,() * -#n! )# ,(). E!$ #! -H! )# 10=K * -#n! )# 6=K sexagesimales -H! )# 2==g * -#n! )# g 5== cent esimales8.
1.2. EN &UNCI'N DE SU POSICI'N 1.2.1. Á$g()o !o$e!(*i+o. L! 'u# $%#n#n un l() * #l &+,$%"# "-n. S# )%&%)#n #n
Do á$g()o o$ !o,p)e,e$*-"io !% l( !u-( )# !u! -#)%)(! #! 3=K / 0 o$ !o,p)e,e$*-"io / 0
Do á$g()o o$ (p)e,e$*-"io !% l( !u-( )# !u! -#)%)(! #! 10=K / 0 o$ (p)e,e$*-" io / 0 15
%
Do á$g()o o$ -78-!e$*e !% $%#n#n un l() #n "-n * l! $,! )! #!$Hn #n l( -%!-( ,#"$(. ( #! ()*("#n$# "n A 9 C !n "l%n#(l#! #!$Hn #n l( -%!-( ,#"$(8 9D l() "-n /(,( ( * Lo á$g()o -78-!e$*e o$ (p)e,e$*-"io. Á$g()o !o$9( g-7o !# )#n-%n( ( )! Hngul! "u*(! - #)%)(! !u-(n 6=< g,()! !#(g#!%-(l#!8. D! Hngul! "nug()! "n &+,$%"#! "%n"%)#n$#! $#n),Hn !u! l()! "-un#!. A!B /(,( $#n#, #l Hngul "nug() )# 'u# $%#n# un( (-/l%$u) )# 2;=K !# ,#!$(,H )# 6=K 0 36 : 2 ; 11; El Hngul 0 #$(8 #! #l "nug() )# (l (8. 6= g,()! !#(g#!%-(l#! #'u%&(l#n ( 2 ,()%(n#! 5== g,()! "#n$#!%-(l#! .
1.2.2. Á$g()o op(e*o po" e) +<"*i!e. A'u#ll! "u*! l()! !n !#-%,,#"$(! /u#!$(!. C- *( &%-! /, )#%n%"%n un Hngul #! un( %gu,( g#-+$,%"( ,-()( #n un( !u/#,%"%# /, )! lBn#(! ,#"$(! 'u# /(,$#n )# un -%!- /un$. F%(n) nu#!$,( ($#n"%n #n l(! "e!*- !(#-! 'u# #!$(! /u#)#n !#, !#"(n$#! 'u# !# ",$(n8 /(,(l#l(! 'u# n !# ",$(n nun"(8 . D! ,#"$(! !#"(n$#! !# ",$(n #n un /un$ * )#$#,-%n(n "u($, Hngul!. C()( Hngul $%#n# )! l()! * un &+, $%"#.
E!$( "n!$,u""%n #n #l /l(n n! /#,-%$# ,#l("%n(, #n$,# !B l! Hngul! (!B ,-()!.
Sn l! Hngul! ,-()! /, )! ,#"$(! 'u# !# ",$(n #n un /un$ ll(-() +<"*i!e =>?. #! /u#!$ /, #l &+,$%"# "n 0 @ #! /u#!$ /, #l &+,$%"# "n C- /)#-! &#,%%"(, #n l( %gu, ( Lo á$g()o op(e*o po" e) +<"*i!e o$ ig(-)e
5
1.2.3. Á$g()o o",-7o po" 7o p-"-)e)- 8 ($- *"-$+e"-). Ángul! )#$#,-%n()! /, )! ,#"$(! /(,(l#l(! * un( !#"(n$#.
D! ,#"$(! /(,(l#l(! ",$()(! /, un( $#,"#,( )#$#,-%n(n "J Hngul! E!$( )%!$,%u"%n nu-+,%"( n! /#,-%$# "(,#"$#,%(, /(,#(! )# Hngul! !#gn !u /!%"%n J("%#n) n$(, 'u# l! Hngul! 5 ; * 6 !n i$*e"io"e =o i$*e"$o? * 'u# l! Hngul! 1 2 7 * 0 !n e*e"io"e =o e*e"$o? ,#!/#"$ ( l(! ,#"$(!
Á$g()o i$*e"$o =3 4 8 6?. L! Hngul! %n$#,n! ( un -%!- l() )# l( $,(n!&#,!(l ( )! ,#"$(! /(,(l#l(! !n (p)e,e$*-"io !u-(n 10=<8
Á$g()o 3 8 o$ (p)e,e$*-"io =(,-$ 15;?
Á$g()o 4 8 6 o$ (p)e,e$*-"io =(,-$ 15;?
Á$g()o e*e"$o =1 2 % 8 5?. L! Hngul! #$#,n! ( un -%!- l() )# l( $,(n!&#,!(l ( )! ,#"$(! /(,(l#l(! !n (p)e,e$*-"io .
Á$g()o 1 8 % o$ (p)e,e$*-"io =(,-$ 1;?
Á$g()o 2 8 5 o$ (p)e,e$*-"io =(,-$ ;5;?
Á$g()o !o""epo$7ie$*e. Sn ('u#ll! 'u# #!$Hn (l -%!- l() )# l(! /(,(l#l(! * (l -%!- l() )# l( $,(n!&#,!(l.
1 8 o$ á$g()o !o""epo$7ie$*e =ig(-)e? ∠ 1 ∠
2 8 6 o$ á$g()o !o""epo$7ie$*e =ig(-)e? ∠ 2 ∠ 6
3 8 % o$ á$g()o !o""epo$7ie$*e =ig(-)e? ∠ 3 ∠ %
4 8 5 o$ á$g()o !o""epo$7ie$*e =ig(-)e? ∠ 4 ∠ 5
E!$( ,#l("%n )( /%# /(,( ,-ul(, #l !%gu%#n$# /!$ul() Si 7o "e!*- p-"-)e)- o$ !o"*-7- po" ($*"-$+e"-) e$*o$!e !-7- p-" 7e á$g()o !o""epo$7ie$*e e !o$g"(e$*e e$*"e .
Á$g()o -)*e"$o i$*e"$o. Sn ('u#ll! Hngul! %n$#,%,#! 'u# #!$Hn ( )%!$%n$ l() )# l( $,(n!&#,!(l * ( )%!$%n$ l() )# l(! /(,(l#l(!.
3 8 6 o$ á$g()o -)*e"$o i$*e"$o
∠3∠6
4 8 o$ á$g()o -)*e"$o i$*e"$o
∠4∠
E!$( ,#l("%n )( /%# /(,( ,-ul(, #l !%gu%#n$# /!$ul() Si 7o "e!*- p-"-)e)- o$ !o"*-7- po" ($*"-$+e"-) e$*o$!e !-7- p-" 7e á$g()o -)*e"$o i$*e"$o e !o$g"(e$*e e$*"e .
Á$g()o -)*e"$o e*e"$o. Sn ('u#ll! Hngul! #$#,%,#! 'u# #!$Hn ( )%!$%n$ l() )# l( $,(n!&#,!(l * ( )%!$%n$ l() )# l(! /(,(l#l(!.
1
1 8 5 o$ á$g()o -)*e"$o e*e"$o
∠1∠5
2 8 % o$ á$g()o -)*e"$o e*e"$o
∠2∠%
E!$( ,#l("%n )( /%# /(,( ,-ul(, #l !%gu%#n$# /!$ul() Si 7o "e!*- p-"-)e)- o$ !o"*-7- po" ($*"-$+e"-) e$*o$!e !-7- p-" 7e á$g()o -)*e"$o e*e"$o e !o$g"(e$*e e$*"e .
EJERCICIOS…… E9e"!i!io 1
S%
"(l"ul(,
11
E9e"!i!io 2
S%
%!#"$,%
)#l
"(l"ul(,
E9e"!i!io 3?
S% #n"u#n$,# l( -#)%)( )#
E9e"!i!io 4? En l( %gu,( #n$n"#! "uHl#!8 )# l(! !%gu%#n$#! ,#l("%n#! !n !%#-/,# &#,)()#,(!
A)*e" $-*i -*i+- (8 !l I 8 !l II "8 !l III )8 I II * III #8 I * II
12
2. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS L! !%!$#-(! )# -#)%)(! )# Hngul! !n #l ,()%Hn #l g,() !#(g#!%-(l #l g,() "#n$#!%-(l. 2.1. EL RADI RADIÁN El "-7iá$ #! l( un%)() )# Hngul /l(n #n #l S%!$#-( In$#,n("%n(l )# Un%)()#!. R#/,#!#n$( #l Hngul "#n$,(l #n un( "%,"un#,#n"%( * ((,"( un (," "u*( lng%$u) #! %gu(l ( l( )#l ,()%. Su !B-l #! "-7 "-7. (!$( 133; $u& l( "($#g,B( )# un%)() !u/l#-#n$(,%( #n #l S%!$#-( In$#,n("%n(l )# Un%)()#! un$ "n #l #!$#,#,,()%Hn. A /(,$%, )# #!# ( * J(!$( J(!$ ( #l --#n$ /,#!#n$# (-(! un%)()#! %gu,(n #n ( l( "($#g,B( )# un%)()#! )#,%&()(!.
E!$( un%)() !# u$%l%( $,%gn-#$,B( gn%-#$,B( #$".
/,%-,)%(l-#n$#
#n FB!%"( "Hl"ul
%n %n% %n%$#!% -(l
El Hngul ,-() /, )! ,()%! )# un( "%,"un#,#n"%( -#)%) #n ,()%(n#! #! %gu(l ( l( lng%$u) )#l (," 'u# )#l%-%$(n l! ,()%! #! )#"%, θ Q s r )n)# θ #! Hngul s #! l( lng%$u) )#l (," * r #! #l ,()%. P, $(n$ #l ángulo completo 'u# !u!$%#n)# un( "%,"un#,#n"%( )# ,()% r -#)%) #n ,()%(n#! #!
El ,()%Hn #! un( un%)() !u-(-#n$# $%l /(,( -#)%, Hngul! /u#!$ 'u# !%-/l% %" %" "-un#! !# #/,#!(n -#)%(n$# !# n"%ll! -l$%/l! )%&%!,#! )# .
l! "Hl"ul! *( 'u# l! -H!
2.2. EL GRADO SEFA SEFAGESIMA GESIMAL L Un g"-7o e-gei,-) #! #l Hngul "#n$,(l !u$#n)%) /, un (," "u*( lng%$u) #! %gu(l ( 16= )# l( "%,"un#,#n"%(. E! l( nn(g+!%-( 13=8 /(,$# )# un Hngul ,#"$. El g,() !#(g#!%-(l "- un%)() )#l !%!$#-( )# -#)%)( )# Hngul! !#(g#!%-(l #!$H )#%n%) /(,$%#n) )# 'u# un Hngul ,#"$ $%#n# 3=K 3= g,()! !#(g#!%-(l#!8 !#(g#!%-(l #!8 * !u! )%&%!,#! #l -%nu$ !#(g#!%-(l * #l !#gun) !#(g#!%-(l #!$Hn )#%n%)! )#l !%gu%#n$# -) 1 Hngul ,#"$ Q 3=K g,()! !#(g#!%-(l#!8. 1 g,() !#(g#!%-(l Q 6= -%nu$! 6= -%nu$! !#(g#!%-(l#!8. 1 -%nu$ !#(g#!%-(l Q 6= !#gun)! !#(g#!%-(l#!8.
13
No*-!i#$ 7e!i,-). Un( "(n$%)() #n g,()! !# /u#)# #/,#!(, #n ,-( )#"%-(l !#/(,(n) l( /(,$# #n$#,( )# l( ,(""%n(,%( "n l( "-( )#"%-(l !# )%&%)# #n 6= #n l( ,-( n,-(l )# #/,#!(, "(n$%)()#! )#"%-(l#! l 'u# !# u!"( #! $,(n!,-(, #n -%nu$ * #l !#gun) n-#,! )#"%-(l#! /, ##-/l. 225;K 122K ;=26;K 12636K No*-!i#$ e-gei,-). P)#-! #/,#!(, un( "(n$%)() #n g,()! -%nu$! * !#gun)! l(! /(,$#! )# g,() %n#,%,#! (l !#gun) !# #/,#!(n "- /(,$# )#"%-(l )# !#gun) ##-/l 12K5 5 5 1K 2 20 125K5; 5 57= 2K5 1= 1= T#n%#n) "u%)() "- n,-( )# n$("%n n )#(, #!/("% #n$,# l(! "%,(! #! )#"%, #!",%%, 12K5 5 * n 12K 5 5 5 P)#-! $(-%+n ,#/,#!#n$(, #n ,-( )#"%-(l l( -#)%)( )# un Hngul #n ,#/,#!#n$("%n !#(g#!%-(l $#n%#n) #n "u#n$( 'u# 1 Q 16=8K Q ==1666667K ,#)n)#(n) ( "J )Bg% $!8 1W Q 16=8 Q 16=8 Q 16==8K Q ====27770K A!B 12K1; 12 K1; 2 Q 12K X 1;16=8K X 216==8K 122;63K 2.3. EL GRADO CENTESIMA TESI MAL L Un g,() "#n$#!%-(l #! #l Hng ul "#n$,(l !u$#n)%) /, un (," "u*( "u *( lng%$u) lng %$u) #! %gu(l ( 15== )# l( "%,"un #,#n"%( #,#n"%(. El g"-7o !e$*ei,-) !e$*ei,-) g"-7o !e$*g"-7o g"-7iá$ /lu,(l g,()%(n#!8 ,#!ul$( )# )%&%)%, un H ngul ,#"$ #n "%#n un%)()#!. L( "%,"un#,#n"%( "%,"un#,#n"%( !# )%&%)# (!B #n 5== g,()! "#n$#!%-(l#!. "#n$#!%-(l#!. Un g,() "#n$#!%-(l #'u%&(l# ( nu#&# )+"%-! )# g,() !#(g#!%-(l. En l(! "(l"ul(),(! !u#l# u!(,!# l( (,#&%($u,( grad . S# ,#/,#!#n$( "- un( ZgZ g-%n!"ul( #n !u/#,Bn)%"# "l"()( $,(! l( "%,(. P, ##-/l 125;75 Su! )%&%!,#! !n -
"
1 g,() "#n$#!%-(l Q 1== -%nu$! "#n$#!%-(l#! 1== 1== 8 1 -%nu$ "#n$#!%-(l Q 1== !#g u n)! "#n$#!%-(l#! 1==! 1==""8 El g,() g,() "#n$#!%"#n$#!%-(l (l !u,g# )# l( )%&%!%n )#l /l(n "(,$#!%(n #n "u($,"%#n$! "u($,"%#n$! Hngul! %gu(l#! "n &+,$%"# "-n. C()( "u(),(n$# /!## un( (-/l%$u) 1== g,()! "#n$#!%-(l#! * l( !u-( )# l! "u($, "u(),(n$#! -%)# 5== g,()! "#n$#!%-(l#! .
14
E(i+-)e$!i- e$*"e g"-7o e-gei,-)e 8 !e$*ei,-)e =K Q =
g
3=K Q 1==
g
10=K Q 2==
g
27=K Q ==
g
6=K Q 5== E9e,p)o
g
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1
TABLA DE CON>ERSI'N ENTRE GRADOS SEFAGESIMALES Y RADIANES
EJEMPLOS:
P,%-#, /l(n$#(-! l( ,#gl( )# $,#!. N$#!# 'u# l( &( (,,%( #n l( /!%"%n )# l! ,()%(n#!.
E9e,p)o A Cn&#,$%, 0K ( ,()%(n#!.
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16
EJERCICIOS DE
APLICACIÓN……
P, l$%- $#n#-! #l #'u%&(l#n$# )#"%-(l
1. Ep"e- )o ig(ie$*e á$g()o e$ g"-7o ,i$(*o 8 eg($7oH
Q =662 ,()%(n#!.
(8 2;6< 8 56 70< "8 1251< )8 7;=0<
E9e,p)o BH Cn&%#,$# 17<57\1\\ ( n$("%n )#"%-(l.
2. Ep"e- e$ i*e,- 7e!i,-) )o ig(ie$*e á$g()oH
<
1 C- 1< Q 6=\ #n$n"#! 1\ 6= \
(8 5;<6\20\\ 8 12;<5;\70\\ "8 3;<;;\70\\ )8 173<;3\6\\
<
1 1 T(-%+n 1\\ 6= 6==
3. -))- e) (p)e,e$*o 7e 1;36J45JJ 4. Co$+ie"*- 24 "-7i-$e - g"-7o.
En$n"#! $#n#-! 'u# 17<57\1\\
. Ep"e- e$ g"-7o )o ig(ie$*e á$g()o ,e7i7o e$ "-7i-$eH
Q 17< X 57\X 1\\ <
Q
17
<
<
1 1 57 1 6= 6==
(8
2
8
0
"8
)8 2
2
6. Ep"e- e$ "-7i-$ e )o ig(ie$*e á$g()oH
Q 17< X =70< X ===6<
(8 10=<
Q 177063<
1%
8 5;<
"8 6=< )8 6=<
3. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE TALES Y DE PITÁGORAS 3.1. TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS =TEOREMA DE TALES? S% $#n#-! )! ,#"$(! , * ! )# un /l(n * #n un( )# #ll(! , $-(-! )! !#g-#n$! "u(l#!'u%#,( A9 9C (l $,((, /, l! #$,#-! )# #!$! !#g-#n$! ,#"$(! /(,(l#l(! #n$,# !B 'u# ",$#n ( l( !#gun)( ,#"$( ! )#$#,-%n(,Hn #n #!$( $,! )! !#g-#n$! /,/,"%n(l#! ( l! /,%-#,! !#( 'u# !# &#,%%"( S% )! ,#"$(! )# un /l(n !n ",$()(! /, &(,%(! /(,(l#l(! l! !#g-#n$! )#$#,-%n()! #n un( )# #ll(! !n /,/,"%n(l#! ( !u! J-lg! )# l( $,( #! )#"%, l( ,(n #n$,# un !#g-#n$ * !u J-lg #! "n!$(n$#.
3.2. TEOREMA DE PITÁGORAS En un $,%Hngul ,#"$Hngul #l "u(),() )# l( J%/$#nu!( #! %gu(l ( l( !u-( )# l! 2 2 2 "u(),()! )# l! "($#$!. ( Q X " En $) $,%Hngul #l "u(),() )#l l() /u#!$ ( un Hngul (gu) #! %gu(l ( l( !u-( )# l! "u(),()! )# l! $,! )! l()! -#n! #l )u/l )# un )# #ll! /, l( /,*#""%n )#l $, !,# +l. En $) $,%Hngul #l "u(),() )#l l() /u#!$ ( un Hngul $u! #! %gu(l ( l( !u-( )# l! "u(),()! )# l! $,! )! l()! -H! #l )u/l )# un )# #ll! /, l( /,*#""%n )#l $, !,# +l. 2
2
2
P(,( "(l"ul(, un "($#$ #n un $,%Hngul ,#"$Hngul !# !%gu# l( !%gu%#n$# ,-ul( X " Q (
15
1
EKERCICIOS. Teo"e,- 7e T-)e C(l"ul( l( lng%$u) )# A9 #n l( %gu,( ()un$(
C(l"ul( A9 #n l( %gu,( ()un$(
Un H,l /,*#"$( un( !-,( )# 6 - * ( l( -%!-( J,( * #n #l -%!- !%$% un /(l )# 1; - /,*#"$( un( !-,( )# 2 -. C(l"ul( l( (l$u,( )#l H,l.
Teo"e,- 7e Pi*ágo"- C(l"ul( l( J%/$#nu!( #n #l $,%Hngul )# l( %gu,(
C(l"ul( #l "($#$ )# C #n #l $,%Hngul )# l( %gu,(
C(l"ul( l( J%/$#nu!( #n un $,%Hngul ,#"$Hngul "u*! "($#$! -%)#n 66 "- * 00 "C(l"ul( l( lng%$u) )# un "($#$ #n un $,%Hngul ,#"$Hngul "u*( J%/$#nu!( -%)# 2= - * #l $, "($#$ 16 -
2
PRUEBA TIPO IC&ES RESPUESTA =TIPO I?
(8
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4. Si ($- pe"o$- 7i!e - ( -,igo (e e$ e) 9(ego o*(+o ($ p($*-9e 7e 1 p($*o -$*e 7e p--" -) *e"!e" $i+e) e$*o$!e eo (ie"e 7e!i" (eH (8 O$u& #l -H%- /un$(# #n l! )! /,%-#,! n%&#l#! * n $u& /un$! #n #l $#,"#, n%&#l. 8 Tu& 7 ("%#,$! #n #l /,%-#, n%&#l * 1; ("%#,$! #n #l !#gun) n%&#l. "8 Tu& 1 ("%#,$! #n #l /,%-#, n%&#l * ; ("%#,$! #n #l !#gun) n%&#l. )8 Tu& 1; ("%#,$! #n #l /,%-#, n%&#l * 7 ("%#,$! #n #l !#gun) n%&#l.
1. De -!(e"7o !o$ )- i$o",-!i#$ e p(e7e 7e!i" (eH (8 L( -(*, ,#(( #!$H #n ,u$(! /u#!$ 'u# ; #! #l ,("%n(l "n -(*, nu-#,(), . 8 L( -(*, ,#(( #!$H #n ,u$(! /u#!$ 'u# ; #! #l -(*, )# l! ,("%n(l#!. "8 L( -(*, ,#(( #!$H #n /,)u"$! )# (!# /u#!$ 'u# #l ,("%n(l 10 #! #l 'u# $%#n# -(*, )#n-%n(), . )8 L( -(*, ,#(( #!$H #n "(,n#! /u#!$ 'u# 1 #! -(*, 'u# 27.
Repo$7- )- p"eg($*- - 5 7e -!(e"7o - )o ig(ie$*eH
2. Si -) p-g-" e) ,e"!-7o ($ !)ie$*e "e!ie 1% o)e*- e p(e7e e*-)e!e" (eH (8 Su! "-/,(! u#,n -(*,#! ( ]6==.===. 8 Su! "-/,(! #!$u&%#,n #n$,# ]5;=.=== * ];3=.===. "8 Su! "-/,(! u#,n !u/#,%,#! ( ]6==.===. )8 Su! "-/,(! #!$u&%#,n #n$,# ];;=.=== * ]6==.===.
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. A) !o,p-"-" )o +o),e$e 7e )o *-$(e 2 8 4 e p(e7e 7e!i" (eH (8 A-! &l-#n#! !n %gu(l#! *( 'u# l(! -#)%)(! )# l! ,()%! )# l(! (!#! * l(! (l$u,(! !n %gu(l#!. 8 E! -(*, #l &lu-#n )#l $(n'u# 2 /,'u# #l &lu-#n )#l "%l%n), #! 5 &#"#! #l &lu-#n )#l "n "u(n) (-! $%#n#n (!#! )# %gu(l ,()%. "8 El &lu-#n )#l $(n'u# 2 #! -(*, *( 'u# ",,#!/n)# ( $,#! &#"#! #l &lu-#n )#l "n. )8 El &lu-#n )#l $(n'u# 5 #! -(*, /u#!$ 'u# #l &lu-#n )#l "%l%n), #! l( $#,"#,( /(,$# )#l &lu-#n )#l "n.
3. Te$ie$7o e$ !(e$*- )- i$o",-!i#$ -$*e"io" e p(e7e 7e!i" (e e) $,e"o 7e p"(e- po" $i+e)H
21
6. L- "e)-!i#$ (e e p(e7e e*-)e!e" e$*"e e) +o)(,e$ 7e )o *-$(e 2 8 3 eH (8 8
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V2 Q 58 V. V2 Q V.
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8 V Q V5.
"8 V5 Q V.
D8 V5 Q 18 V.
5. Te$ie$7o e$ !(e$*- (e e) $,e"o 31416 e ($!o$*-$*e e p(e7e -i",-" (e e) +o)(,e$ 7e) *-$(e !o$ o",- 7e !o$o eH (8 E'u%&(l#n$# (l &lu-#n )#l $(n'u# "n ,-( )# "u. 8 E'u%&(l#n$# ( )#l &lu-#n )#l $(n'u# "n ,-( )# "u. "8 E'u%&(l#n$# ( 5 )#l &lu-#n )#l $(n'u# "n ,-( )# "u. )8 E'u%&(l#n$# ( &#"#! #l &lu-#n )#l $(n'u# "n ,-( )# "u. Repo$7- )- p"eg($*- - 12 7e -!(e"7o - )o ig(ie$*eH P(,( (l-("#n(, ("#%$# !# u$%l%( un $(n'u# )# ,-( "%lBn),%"( 'u# $%#n# l(! !%gu%#n$#! )%-#n!%n#! . Si e) +o)(,e$ 7e ($ !i)i$7"o e o*ie$e ,()*ip)i!-$7o e) á"e7e )- -e po" )- ,e7i7- 7e )-)*("- e$*o$!e e p(e7e -i",-" (e )- ep"ei#$ (e "ep"ee$*- e) +o)(,e$ 7e) *-$(e 7e -!ei*e eH 2
(8 * X 8 * X *
X 8
"8 ** X 8 2 )8 * *
1. Si e) "-7io 7e )- -e e ig(-) - 4 , e$*o$!e e) +o)(,e$ 7e) !i)i$7"o eH (8
20 -
8 13 -
"8 76 -
)8
112
11. Si e) +o)(,e$ pe",-$e!e !o$*-$*e 8 e) "-7io 7e )-e e *"ip)i!- e$*o$!e e p(e7e -i",-" (e )-)*("- 7e) !i)i$7"o e ig(-) -H (8
"8
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12. Si e !o$i7e"- e) +o)(,e$ 7e) !i)i$7"o !o$*-$*e 8 7-7o po" )- ig(ie$*e ep"ei#$H V = Abase xh, - ,e7i7(e -(,e$*- e) "-7io 7e )- -e 7e) !i)i$7"o ( -)*("H (8 Au-#n$( /u#!$ 'u# #n l( #/,#!%n 'u# ,#/,#!#n$( l( (l$u,( #l ,()% #!$H #n #l )#n-%n(), * #! )%,#"$(-#n$# /,/,"%n(l ( l( (l$u,(. 8 D%!-%nu*# /u#!$ 'u# #n l( #/,#!%n 'u# ,#/,#!#n$( l( (l$u,( #l ,()% #!$H #n #l )#n-%n(), * #! %n&#,!(-#n$# /,/,"%n(l ( l( (l$u,(. "8 Au-#n$( /u#!$ 'u# l( #/,#!%n 'u# ,#/,#!#n $( l( (l$u,( #l ,()% #!$H #n #l nu-#,(), * #! )%,#"$(-#n$# /,/,"%n(l ( l( (l$u,(. )8 D%!-%nu*# /u#!$ 'u# #n l( #/,#!%n 'u# ,#/,#!#n$( l( (l$u,( #l ,()% #!$H #n #l nu-#,(), * #! %n&#,!(-#n$# /,/,"%n(l ( l( (l$u,(. Repo$7- )- p"eg($*- 13 - 16 7e -!(e"7o - )o ig(ie$*eH S# /u#)# )#"%, #n $+,-%n! g#n#,(l#! #n )! %gu,(! !n !#-#(n$#! "u(n) $%#n#n l( -%!-( ,-( * )% #,#n$# $(-( * )! %gu,(! !n "ng,u#n$#! !% $%#n#n l( -%!-( ,-( * $(-(.
P(,( l! $,%Hngul! !# $%#n#n un! ",%$#,%! "n #l %n )# /)#, %)#n$%%"(, "u(n) )! )# #ll! "n !#-#(n$#! "u(n) !n "ng,u#n$#!. S# )%"# 'u# )! $,%Hngul! !n "ng,u#n$#! "u(n) !# "u-/l# (lgun( )# l(! !%gu%#n$#! "n)%"%n#! T%#n#n !u! l()! ",,#!/n)%#n$#! "ng,u#n$#!. Un )# l! Hngul! * l! l()! 'u# ,-(n )%"J Hngul !n "ng,u#n$#!. D! Hngul! !n "ng,u#n$#! * #l l() "-n ( )%"J! Hngul! #n l! $,%Hngul! $(-%+n !n "ng,u#n$#!. S# )%"# 'u# )! $,%Hngul! !n !#-#(n$#! !% !# "u-/l# (lgun( )# l(! !%gu%#n$#! "n)%"%n#! T%#n#n )! Hngul! "ng,u#n $#!. L! l()! ",,#!/n)%#n$#! )# l! $,%Hngul! !n /,/,"%n(l#!. T%#n#n )! l()! /,/,"%n(l#! * l! Hngul! ,-()! /, l! l()! /,/,"%n(l#! !n "ng,u#n$#!.
El "n"#/$ )# !#-#(n( )# $,%Hngul! !# /u#)# #$#n)#, ( /lBgn! )# -H! )# $,#! l()!. P)#-! )#"%, 'u# )! /lBgn! !n !#-#(n$#! "u(n) $%#n#n !u! Hngul! %gu(l#! * !u! l()! ",,#!/n)%#n$#! /,/,"%n(l#!.
L! 1=== #!$u)%(n$#! )# H!%"( !#"un)(,%( #n un "l#g% !# )%!$,%u*#n )# l( !%gu%#n$# -(n#,( 1= #n g,() !#$ 27; #n g,() !+/$%- 20 #n g,() "$(& * 267 #n g,() n&#n.
13. De -!(e"7o !o$ )- i$o",-!i#$ p"ee$*-7- e$ e) *e*o $o e p(e7e 7e7(!i" (eH (8 8 "8 )8
D! /#n$Hgn! "u(l#!'u%#,( !n !#-#(n$#!. D! "u(),()! "u(l#!'u%#,( !n !#-#(n$#! #n$,# !B. S# /u#)#n #n"n$,(, $,%Hngul! #'u%lH$#,! 'u# n !n !#-#(n$#!. D! /lBgn! ,#gul(,#! "u(l#!'u%#,( !n !#-#(n$#!.
1%. L- g"ái!- (e "ep"ee$*- !o""e!*-,e$*e )7i*"i(!i#$ 7e e*(7i-$*e 7e ái!- e!($7-"i- e$ e) !o)egio eH (8
8
"8
)8
14. De )- -i",-!i#$ Do pe$*ágo$o "eg()-"e o$ e,e9-$*e e$*"e e p(e7e 7e!i" (eH (8 8 "8 )8
E! "%#,$( /u#!$ 'u# l! ""%#n$#! #n$,# l! l()! ",,#!/n)%#n$#! )# l! )! /#n$Hgn! n !n %gu(l#!. E! (l!( /u#!$ 'u# l! Hngul! )# l! /lBgn! n !n %gu(l#!. E! (l!( /u#!$ 'u# (l !#, ,#gul(,#! l! l()! * Hngul! )# l! )! /#n$Hgn! !n %gu(l#!. E! "%#,$( /u#!$ 'u# l! Hngul! !n %gu(l#! * (l "(l"ul(, l! ""%#n$#! )# l(! -#)%)(! )# l()! ",,#!/n)%#n$#! !# $%#n# #l -%!- ,#!ul$().
1. Si e *ie$e$ 7o *"iá$g()o e(i)á*e"o e$*o$!e e p(e7e 7e!i" (eH (8 8 "8 )8
!n !#-#(n$#! /u#!$ 'u# "u-/l#n "n "u(l'u%#,( )# l(! $,#! "n)%"%n#! 'u# !# )##n "u-/l%, /(,( 'u# )! $,%Hngul! !#(n !#-#(n$#!. Sn "ng,u#n$#! /u#!$ 'u# #n un $,%Hngul #'u%lH$#, $)! l! l()! $%#n#n %gu(l -#)%)(. N !n !#-#(n$#! /u#!$ 'u# !l !# )## "u-/l%, un( )# l(! "n)%"%n#! /(,( 'u# !# /u#)( )#"%, 'u# l !#(n. N !n "ng,u#n$#! /u#!$ 'u# l! $,#! Hngul! !n "ng,u#n$#!.
15. E) g"(po ,á "ep"ee$*-*i+o 7e )o e*(7i-$*e 7e e!($7-"i- e$ e) !o)egio eH
16. Si 7o *"iá$g()o "e!*á$g()o *ie$e$ ($o 7e ( á$g()o -g(7o ig(-)e e$*o$!e e p(e7e 7e!i" (e o$H (8 8 "8 )8
(8 O"$(& g,() /, !#, #l g,u/ -H! nu-#,!. 8 S#$ g,() /, !#, #l g,u/ -#n! nu-#,!. "8 S+/$%- g,() /, !#, #l !#gun) g,u/ -H! nu-#,!. )8 N&#n g,() /, !#, #l !#gun) g,u/ -#n! nu-#,!.
Cng,u#n$#!. S#-#(n$#!. Sn "ng,u#n$#! * !#-#(n$#! ( l( &#. N !n "ng,u#n$#! n% !#-#(n$#!.
1. Si e) 7ep-"*-,e$*o 7e ,-*e,á*i!- e) !o)egio e*á !o$o",-7o po" 6 o,"e 8 4 ,(9e"e 8 )- e7-7e p"o,e7io o$ "epe!*i+-,e$*e 4 8 2 e$*o$!e e p(e7e -i",-" (e )- e7-7 p"o,e7io 7e )o i$*eg"-$*e 7e) 7ep-"*-,e$*o 7e ,-*e,á*i!- 7e) !o)egio eH
Repo$7- )- p"eg($*- 1% - 1 7e -!(e"7o - )o ig(ie$*eH
23
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2. E) ig(ie$*e g"ái!o ,(e*"- e) $,e"o 7e ,()*- 7e *"á$i*o *(+ie"o$ (e p--" +e!()o p-"*i!()-"e po" i$"i$gi" )- ,e7i7- 7e) Q pi!o 8 p)-!- e$ Bogo*á 7("-$*e ($- e,-$- 7e) ,e 7e -go*o 7e 26.
21. Si e 7ee- e!oge" ($ "ep"ee$*-$*e 7e *o7o )o e,p)e-7o p-"- )ee" )- p-)-"- 7e ie$+e$i7- -) $(e+o p"ei7e$*e 7e )- e,p"e- )- p"o-i)i7-7 7e (e )- pe"o$- e)e!!io$-7- e- o,"e eH (8
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23. P-"- 7e*e",i$-" )- p"o-i)i7-7 (e -) e)e!!io$-" ($ e,p)e-7o e- e!ogi7- ($- ,(9e" (e *"--9e e$ e) 7ep-"*-,e$*o 7e +e$*- e 7eeH (8 D%&%)%, 1; #n$,# = /u#!$ 'u# #n #l )#/(, $(-#n$ )# &#n$(! )# l! = #-/l#()! ; !n -u#,#!. 8 D%&%)%, = #n$,# 1== /u#!$ 'u# )# l! 1== #-/l#()! )# l( #-/,#!( = #!$Hn #n #l )#/(,$(-#n$ )# &#n$(!. "8 D%&%)%, 1; #n$,# 1== /u#!$ 'u# #n &#n$(! J(* 1; -u#,#! )#l $$(l )# 1== #-/l#()! )# l( #-/,#!(. )8 D%&%)%, 1; #n$,# 7= /u#!$ 'u# J(* 1; -u#,#! #n #l )#/(,$(-#n$ )# &#n$(! * 7= #-/l#()! 'u# n /#,$#n#"#n (l -%!-.
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24
UNIDAD 2 1. RAONES TRIGONOMTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO En -($#-H$%"(! L(! un"%n#! $,%gn-+$,%"(! !n l(! un"%n#! 'u# !# )#%n#n ( %n )# #$#n)#, l( )#%n%"%n )# l(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! ( $)! l! n-#,! ,#(l#! . D() "u(l'u%#, $,%Hngul ,#"$Hngul A9C !# /u#)#n "n!%)#,(, l(! !%gu%#n$#! ,(n#! #n$,# l! l()! )#l $,%Hngul
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26
1.1.3. L- *-$ge$*eH )# un Hngul #! l( ,#l("%n #n$,# l( lng%$u) )#l "($#$ /u#!$ * l( )#l ()*("#n$#
1.1.4. L- !o*-$ge$*eH )# un Hngul #! l( ,#l("%n #n$,# l( lng%$u) )#l "($#$ ()*(" n$# * l( )#l /u#!$
1.1.. L- e!-$*eH )# un Hngul #! l( ,#l("%n #n$,# l( lng%$u) )# l( J%/$#nu!( * l( lng%$u) )#l "($#$ ()*("#n$#
1.1.6. L- !oe!-$*eH )# un Hngul #! l( ,#l("%n #n$,# l( lng%$u) )# l( J%/$#nu!( * l( lng%$u) )#l "($#$ /u#!$
2%
EJERCICIOS…… 1. C(l"ul(, l(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! )#l $,%Hngul ,#"$Hngul )# l()! 7 "- 75 "- * 25 "-. /(,( #l Hngul )# 13<. 2. S% l! ,(*! )#l !l ,-(n un Hngul )# 6;< "n #l !u#l * l( !-,( )# un -H!$%l #! )# 06 "-. aCuHl #! l( (l$u,( )#l -H!$%l -#)%) #n -#$,!b . S#( #l $,%Hngul AC9 ,#"$Hngul #n # n C * !#(n ( * " l! l()! /u#!$! ( l! Hngul! A 9 * C "n Q 12 * "Q 1 "(l"ul( l(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! )# l! Hngul! A * 9.
2. &UNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES A &#"#! n#"#!%$(-! * /)#-! "(l"ul(, " (l"ul(, (lgun(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! $, %gn-+$,%"(! /(,( un! )#$#,-%n()! Hngul! 2.1. ÁNGULO DE 4; T#n#-! un $,%Hngul ,#"$Hngul # %!!"#l#! #! un( )# l! )! #!"u(),(! "lH!%"(!8. S# "(l"ul( l( J%/$#nu!( !u/n%#n) l! l()! %gu(l#! %gu(l #! Q " * !# /u#)#n !u/n#, !%n /+,)%)( )# g#n#,(l%)() )# &(l, 1.
2.2. ÁNGULOS DE 3; Y 6; E!$( #! l( $,( #!"u(),( "lH!%"(. U!(n) #!$( #!"u(),( !# l# ()!( $,( #!"u(),( "- l -u#!$,( l( %gu,( %gu,( !%gu%#n$# * $#n#-! un $,%Hngul #'u%lH$#, *( 'u# $)! !u! Hngul! -%)#n 6=<.
C- #l $(-( n (#"$( ( l! "Hl"ul! /)#-! !u/n#, 'u# "()( l() -%)# 2 un%)()#!. L( (l$u,( J )#l $,%Hngul #!
25
Oe"+-!i#$H Lo +-)o"e o*e$i7o p(e7e$ i$*e*i-"e e$ )- ig(ie$*e *-) *-)-H -H
EJERCICIOS…… 1. Si $o -)e9-,o e$ )- )$e- "e!*- 3 , #)o -8 (e )e+-$*-" )- +i*- 3; p-"- +e" )- p($*- 7e )- -$*e$-. C(á) e )- -)*("- 7e )- -$*e$-V. 2. Ap)i!-$7o )o +-)o"e p-"- á$g()o 7e 3; 4; 8 6; !-) ()-H !-)!()-H (. !#n =< X $(n 5;<. . !#n 6=< X "! 6=< "$ 5;< ". !#n =< "! 5;< X $(n 5;<. 3. Co,p"(e- i )- ig(ie$*e p"opoi!io$e o$ +e"7-7e"- o -)-H 2
2
2
2
(. !#n 5;< X2 "! 5;< Q !#n 6=< X "! 6=< 2 2 . 1 2 !#n =< Q "! 6=< !ug#,#n"%( !#n AQ !#n ! #n A8 8
2
3. SIGNOS DE LAS &UNCIONES TRIGONOMTRICAS SEGWN LOS CUADRANTES En #l /,%-#, "u(),(n$# &#-! 'u# #l "($#$ ()*("#n$# !# u%"( !,# #l ## (!B 'u# l )#n-%n(,#-! ZZ (l "($#$ /u#!$ 'u# !# u%"( !,# #l ## * l ll(-(,#-! Z*Z. L( J%/$#nu!( 'u# #! #l ,()% )# l( "%,"un #,#n"%( #,#n"%( Z. l( )#!%gn(,#-! Z, Z.
3.1. PRIMER CUADRANTE Y( 'u# ZZ Z*Z Z,Z !n /!%$%&(! #n$n"#! T)(! l(! un"%n#! $,%gn-+$,%"(! #n #l /,%-#, "u(),(n$# !n /!%$%&(!.
3.2. SEGUNDO CUADRANTE En #l !#gun) "u(),(n$# #l "($#$ ()*("#n$# "(# !,# #l ## n#g($%& )# l(! -%#n$,(! 'u# #l "($#$ /u#!$ !%gu# !,# #l #l# /!%$%& )# l(! * . El ,()% l( J%/$#nu!(8 !%gu# !%#n) /!%$%&( #n $)! l! "u(),(n$#!. P, l $(n$ #l "!#n l( $(ng#n$# * !u! %n&#,!(! !#"(n$# * "$(ng#n$#8 $%#n#n ,#!ul$()! n#g($%&!.
3
3.3. TERCER CUADRANTE En #l $#,"#, "u(),(n$# $(n$ #l "($#$ ()*("#n$# "- #l "($#$ /u#!$ $%#n#n !u! !%gn! n#g($%&! *( 'u# "(#n !,# l( /(,$# n#g($%&( )# l! ##!. En #!$# "(! l( $(ng#n$# * !u %n&#,!( l( "$(ng#n$#8 ,#!ul$(n /!%$%&(! Q X8.
3.4. CUARTO CUADRANTE En #l "u(,$ "u(),(n$# #l "($#$ ()*("#n$# &u#l&# ( #!$(, !,# #l ## /!%$%& )# l(! -%#n$,(! 'u# #l "($#$ /u#!$ !%gu# !,# #l ## n#g($%& )# l(! *. En #!$# "(! l(! n%"(! un"%n#! "u* ,#!ul$() !#,H /!%$%& !n #l "!#n * l( !#"(n$#.
4. CASOS XUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCI'N DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Sn -u"J(! l(! !%$u("%n#! )n)# !# /,#!#n$(n /,l#-(! "u*( !lu"%n !# ,#(l%( -#)%(n$# l( ,#!lu"%n )# $,%Hngul! ,#"$Hngul!. S(ge"e$!i- p-"- "eo)+e" *"iá$g()o "e!*á$g()o
T) $,%Hngul $%#n# !#%! #l#-#n$! $,#! l()! * $,#! Hngul! %n$#,%,#!. R#!l&#, un $,%Hngul #! "n"#, #!$! !#%! #l#-#n$! un)(-#n$(l#!.
31
P, g#-#$,B( !(#-! 'u# #n $) $,%Hngul !# /u#)#n $,((, lBn#(! n$(l#! $,#! (l$u,(! $,#! %!#"$,%"#! $,#! -#)%(n(! * $,#! -#)%($,%"#!. En $) $,%Hngul ,#"$Hngul !%#-/,# #! "n"%) un )# !u! Hngul! %n$#,%,#! #! )#"%, #l Hngul ,#"$. Lu#g un $,%Hngul ,#"$Hngul /u#)# ,#!l&#,!# !% ()#-H! )#l Hngul ,#"$ !# "n"#n )! )# !u! l()! un l() * un )# !u! Hngul! (gu)!. Cu(n) #n un $,%Hngul ,#"$Hngul !# "n"# un )# !u! Hngul! (gu)! (!$( ,#!$(, #!$# &(l, )# 3=< Hngul ,#"$8 /(,( $#n#, #l $, Hngul (gu) )#l $,%Hngul #n -#n"%n. P(,( J(ll(, un #l#-#n$ )#!"n"%) )#l $,%Hngul ,#"$Hngul *( !#( l( lng%$u) )# un )# !u! l()! #l &(l, )# un )# !u! Hngul! (gu)! #!"g#-! un( )# l(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! 'u# "n$#ng( )%"J #l#-#n$ * $,! )! #l#-#n$! un)(-#n$(l#! "n"%)! /(,( )#!/#(, #l #l#-#n$ #n "u#!$%n. S% #l $,%Hngul /, ,#!l&#, n #! ,#"$Hngul /#, #! %!!"#l#! #'u%lH$#, #n$n"#! !# $,(( l( (l$u,( ",,#!/n)%#n$# ( l( (!# /#,/#n)%"ul(, (()( )#!)# #l &+,$%"# /u#!$ ( l( (!#8 * #!$# 'u#)(,H )%&%)%) #n )! $,%Hngul! ,#"$Hngul! "ng,u#n$#!. L( ,#!lu"%n )# un )# #!$! )! $,%Hngul! ,#"$Hngul! n! /#,-%$%,H ,#!l&#, #l $,%Hngul.
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I)#n$%%"( #n #!# #!'u#-( l(! -(gn%$u)#! 'u# /u#)#! ,#l("%n(, /(,( #n"n$,(, #l &(l, )# l( %n"gn%$(. E!",%# l(! ,#l("%n#! * l(! ,-ul(! n#"#!(,%(! /(,( )#!(,,ll(, #l /,l#-(. R##-/l(( l! &(l,#! )# l(! -(gn%$u)#! "n"%)(! "n l! )($! )#l /,l#-(. R#(l%( l! /,"#)%-%#n$! (,%$-+$%"! * (lg#,(%"! n#"#!(,%! /(,( )#!/#(, #l &(l, )# l( %n"gn%$(.
4.1. APLICACI'N GEOMTRICA D() #l $,%Hngul ,#"$Hngul A9C 'u# !# -u#!$,( #n l( %gu,( "(l"ul( (8 Su H,#(
8 Su /#, B-#$,
So)(!i#$ (8 C- #l H,#( )# un $,%Hngul !# )#%0n# "- AQ J2 )##-! "n"#, #l &(l, )# l( (!# * #l &(l, )# l( (l$u,(. En #l g,H%" !# !#,&( 'u# l( J%/$#nu!( AC8 &(l# 6"- * #l Hngul (gu) CQ 5=<.
33
D##-! #n$n"#! J(ll(, #l &(l, )# l( (l$u,( A98 * #l &(l, )# l( (!# 9C8. C- A9 #! #l "($#$ /u#!$ (l Hngul C $#n#-! 'u#
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8 C- #l /#,B-#$, !# )#%n# "- l( !u-( )# l! l()! )# l( %gu,( #n$n"#! P#,B-#$, Q A9 X 9C X AC PQ 0;0 "- X 5;36 "- X 6 "PQ 15 5;5 "4.2. APLICACIONES TRIGONOMTRICAS EN INGENIERA D(&%) #! un #!$u)%(n$# )# %ng#n%#,B( "%&%l 'u# )#!#( -#)%, l( (l$u,( )# un( $,,#. P(,( #ll u%"( #l $#)l%$ %n!$,u-#n$ 'u# -%)# l! Hngul! )# un $#,,#n8 #n #l /un$ P ( un( )%!$(n"%( )# l( $,,# -%)# #l Hngul )# #l#&("%n * $%#n# un &(l, )# 7;<. Lu#g !# (l#( 1== - #n lBn#( ,#"$( )#l /un$ P J(!$( #l /un$ ? -%)# nu#&(-#n$# #l Hngul )# #l#&("%n * $%#n# 7<. aCuHn$ -%)# l( $,,# !% #l $#)l%$ $%#n# un( (l$u,( )# 1; -b
34
So)(!i#$ G,(%'u#-! l( !%$u("%n )#!",%$( L( g,H%"( -u#!$,( )! $,%Hngul! ,#"$Hngul! 'u# $%#n#n un l() "-n )#n$() /, J1. C- n "n"#-! #l &(l, )# n%ngun( )# l(! J%/$#nu!(! )##-! u!(, l( ,(n $(ng#n$# )#l Hngul. En$n"#! P(,( #l $,%Hngul ,#"$Hngul A9P
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4 Q 2;23 4.3. APLICCIONES TRIGONOMTRICAS EN TOPOGRA&A Un $/g,( n#"#!%$( -#)%, #l l(,g )# un $n#l 'u# )## ($,(&#!(, un( -n$(( /(,( un%, )! "%u)()#! /(,( #ll !# u%"( #n l( "%u)() A * u$%l%( un $#)l%$ %n!$,u-#n$ "n #l "u(l #n"u#n$,( l(! -#)%)(! 'u# %n)%"( l( %gu,(. CuHl #! #l Hngul )# #l#&("%n #n #l $, #$,#- )#l $n#lb.
So)(!i#$ (8 El $/g,( (/un$( #n !u l%,#$( l! )($! $#n%)! )# l( !%gu%#n$# ,-( * /,"#)# ( ,#(l%(,
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c c #n$n"#! Q . P, $(n$ b "! 6=< b
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El l(,g )#l $n#l #! 5 c-. 8 P(,( J(ll(, #l &(l, )#l Hngul )# #l#&("%n $#n#-! 'u# ∢ A X ∢ 9 X ∢ C Q 10=<
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4.4. APLICACIONES TRIGONOMTRICAS EN NA>EGACI'N Un( #-(,"("%n /(,$# )#!)# un (, 'u# $%#n# un( (l$u,( )# ;=-. Cu(n) !# #n"u#n$,( ( 2 c- )#l (, !u ,# (ll(! #n !u! #'u%/! )# "-un%"("%n * #n&B( un( !#(l -#)%(n$# un ,# l#"$, . (. aCuHl )## !#, #l Hngul )# #l#&("%n 'u# ,-( #l ,#l#"$, "n l( $,,# )n)# #!$H #l !#,&(), /(,( &%!u(l%(, l( !#(lb. . aCuHl #! #l &(l, )#l Hngul )# )#/,#!%n 'u# !# ,-( #n #l (,b. So)(!i#$ S# !'u#( l( !%$u("%n )#!",%$( #n #l /,l#-(
36
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4.. APLICCIONES TRIGONOMTRICAS EN METEOROLOGA Un -#$#,lg 'u%#,# !(#, l( (l$u,( ( l( 'u# !# #n"u#n$,( un( nu#. P(,( #ll u%"( un /un$ % P !,# #l !u#l * !# u%"( #n #l /un$ ? !#/(,() 2- )#l /un$ P. U%"( un $#)l%$ )# 1; - )# (l$u,( #n #l /un$ ? * -%)# un Hngul )# #l#&("%n )# 0=;<. (8 aA 'u+ (l$u,( !# #n"u#n$,( l( nu#b. 8 a?u+ )%!$(n"%( !#/(,( l( nu# )#l /un$ 9b. So)(!i#$ S# g,(%"( l( !%$u("%n )#!",%$( #n #l /,l#-(. (8 En l( g,H%"( !# !#,&( 'u# !# ,-( #l $,%Hngul ,#"$Hngul AD9 )n)# #l "($#$ 9D #! l( J,%n$(l 'u# !# ,-( "n l( &%!u(l )#l !#,&(), . T(-%+n &#-! 'u# l( nu# #!$H ( un( (l$u,( J )#l /%! )n)# JQ AD X DP. P, $(n$ J(ll(n) #l &(l, )# AD /)#-! "n"#, l( (l$u,(.
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"8 16 "-
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42
p-"- e$!o$*"-" )- pe$7ie$*e 7e ($- "e!*- e (*i)i- )- ep"ei#$H e$*o$!e e p(e7e -i",-" (e )- pe$7ie$*e 7e 7i!- "e!*- eH (8 1= )8 =.
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14. E) -)-"io ,e$(-) 7e ($ +e$7e7o" (e +e$7i7o ($i7-7e e$ ($ ,e e p(e7e ep"e-" !o$ )- e!(-!i#$ 8=? 7-7- po"H (8 * Q 52=.=== X .=== "8 * Q .=== 52=.=== 8 * Q .=== X 52=.=== )8 * Q X 52=.=== .===
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15. Si e) +o)(,e$ 7e ($ !i)i$7"o e o*ie$e ,()*ip)i!-$7o e) á"e- 7e )- -e po" )- ,e7i7- 7e )- -)*("- e$*o$!e e p(e7e -i",-" (e )ep"ei#$ (e "ep"ee$*- e) +o)(,e$ 7e) *-$(e 7e -!ei*e eH 2
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1. Si e) "-7io 7e )- -e e ig(-) - 4 , e$*o$!e e) +o)(,e$ 7e) !i)i$7"o eH (8
(8 20 - )8 112
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UNIDAD 3 1. SOLUCI'N DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS L! $,%Hngul! 'u# n !#(n ,#"$Hngul! !# ll(-(n l%"uHngul! .
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EJERCICIOS……
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2. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS &UNDAMENTALES En -($#-H$%"(! l(! %)#n$%)()#! $,%gn-+$,%"(! !n %gu(l)()#! 'u# %n&lu",(n un"%n#! $,%gn-+$,%"(! &#,%%"(l#! /(,( "u(l'u%#, &(l, /#,-%!%l# )# l( &(,%(l# &(,%(l#! 'u# !# "n!%)#,#n #! )#"%, /(,( "u(l'u%#, &(l, 'u# /u)%#,(n $-(, l! Hngul! !,# l! 'u# !# (/l%"(n l(! un"%n#!8.
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2.1. COMPROBACI'N DE IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS D()( un( /,/!%"%n $,%gn-+$,%"( )#-!$,(,l( "n!%!$# #n $,(n!,-(,l( J(!$( "n&#,$%,l( #n un( %gu(l)() 'u# !#( "%#,$( !%n lug(, ( )u)(!.
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EJERCICIOS
GENERALES……
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3. SOLUCI'N DE ECUACIONES TRIGONOMTRICAS Un( #"u("%n $,%gn-+$,%"( #! un( #"u("%n #n l( 'u# (/(,#"# un( -H! ,(n#! $,%gn-+$,%"(!. P(,( ,#!l&#, un( #"u("%n $,%gn-+$,%"( #! "n&#n%#n$# #/,#!(, $)! l! $+,-%n! )# l( #"u("%n "n #l -%!- (," Hngul8 * )#!/u+! ,#)u"%,l ( un( ,(n $,%gn-+$,%"( %#n ("$,%(, l( #"u("%n !% #! /!%l#.
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E9e,p)o 7e e!(-!io$e *"igo$o,<*"i!-H e$=?1 E! -u* !#n"%ll( n J(* 'u# )(, l! /(!! %n)%"()! !l ,#",)(, l( "%,"un#,#n"%( gn%-+$,%"( * !#,&(, 'u# 3=< #! #l /,%-#, Hngul "u* !#n #! 1. El !#n n &u#l&# ( &(l#, un J(!$( 'u# #l Hngul n
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EJERCICIOS……
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1. En"u#n$,( /(,( θ#n"-/,#n)%)(! $,%gn-+$,%"(!. #l ,#!ul$() ,()%(n#! . πE/,#!( #n$,# = * 5l(! !lu"%n#! )# l(! !%gu%#n$#! #"u("%n#!
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4. &UNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 4.1. &UNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS O!#,&#-! l( !%gu%#n$# %gu,( )n)# l( n( g,%! ",,#!/n)# (l Hngul "#n$,(l Z(Z * l( ,( (l Hngul "#n$,(l ZZ S# $%#n# 'u# !#n ( Q DC "! ( Q OD !#n Q 9A "! Q O9 !#n (X8 QEA "! (X8 Q OE
En$n"#! e$ =-/?QEAQGFQG9X9FQO9 !#n ( XA9 "! ( Q e$ - !o /!o - e$ P, $, l() !o =-/?QOEQOGEGQO9 "! ( A9 !#n ( Q !o - !o : e$ - e$ . A)#-H! ,#",)(n) l(! #"u("%n#! un)(-#n$(l#!
En ,#!u-#n l(! ,-ul(! )# l( ()%"%n )# Hngul! !n
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4.2. ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 4.2.1. Á$g()o 7o)e. S% !u/n#-! "n"%)(! l(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! )# un Hngul Z(Z * 'u#,#-! "n"#, l(! )#l Hngul Z2(Z /)#-! ,#"u,,%, ( l(! ,-ul(! )#l Hngul !u-( &%!$(! #n #l (/(,$() (n$#,%, J("%#n) Q( /(,( $#n#,
4.2.2. Á$g()o ,e7io. Su/ng(-! (J,( 'u# "n"#-! l(! ,(n#! $,%gn-+$,%"(! )#l Hngul Z(Z * 'u#,#-! (!Hn)n! #n #ll(! "n"#, l(! )#l Hngul Z(2Z. S% #n l(! ,-ul(! )#l Hngul )l# J("%#n) 2(QA * /, $(n$ (QA2 $#n#-!
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6
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E9e,p)oH C-)!()- e$o 8 !oe$o 7e 22;3\ S# "u-/l# 'u#
EJERCICIOS…… 1. U$%l%(n) l( ,-ul( ( /,/%()( )#l !#n )#l "!#n )# l( !u-( )# l( )%#,#n"%( )# Hngul! "-/,u#( 'u#
. U$%l%( l(! ,-ul(! )# Hngul! )l#!
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(8 !#nθ X π8 Q !#n θ 8 !#nπ - θ8 Q !#n θ "8 "! π - θ8 Q "! θ )8 "! π + θ8 Q "! θ 2. S% sen
! sen ;
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5. U$%l%( l(! ,-ul(! )# Hngul -#)% /(,( "(l"ul(, !%n "(l"ul(),(8
(8 !#n θ X φ8
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!#n )# 12=<. $(n )# 1;<. "! )# 1=;<. $(n )# 1;=<
#8 sen
61
; 6
PRUEBA TIPO IC&ES 1. A p-"*i" 7e )- ig(ie$*e g"ái!- "epo$7eH !(á) 7e )- -i",-!io$e e !o""e!*-H
(8 En l( %gu,( 2 /u#)# (!#gu,(,!# 'u# A #! un !u"nun$ )# 9. 8 En l( %gu,( 2 /u#)# (!#gu,(,!# 'u# ∀ 8
∊ A ➱ ∊
98. "8 En l( %gu,( 1 /u#)# (!#gu,(,!# 'u# A ⊂ B) : (∃x) (x ∊ A x ∉ B). )8 De la !"#$a 2 %&'e& ae"#$a$ *#e: (A B) : (∃x) (x ∊ A x ∉ B).
2. Se-$ A ] ^
8
El "nun$ : #! un "nun$ %n%n%$ )n)# "()( n-#, #n$#, $%#n# un (n$#"#!, * un !u"#!, . "8 El "nun$ )# l! n-#,! ,#(l#! #! #l "nun$ )# $)! l! n-#,! 'u# /u#)#n #/,#!(,!# "n )#"%-(l#! %n%n%$! /#,%)%"! n /#,%)%"!. )8 El "nun$ )# l! n-#,! ,("%n(l#! #! un "nun$ )#n! #! )#"%, 'u# #n$,# )! n-#,! ,("%n(l#! J(* %n%n%$! n-#,! ,("%n(l#! ()#-H! "()( n-#, $%#n# un !u"#!, * un (n$#"#!, . 4. P-"- !-7- $,e"o e$*e"o 7ei$i,o e) +-)o" -o)(*o 7e (e i$7i!-,o __ !o,o ig(eH i e) $,e"o e poi*i+o o !e"o ( +-)o" -o)(*o e e) ,i,o $,e"o 8 e ( op(e*o [ i e) $,e"o e $eg-*i+o. De*e",i$-H
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(x , 5) (x , 2) . /0 B 13 A/ e %#e'e a!$a$ *#e: a) 4 #! un( !lu"%n !% * !l !% l! ("$,#! !n
(-! /!%$%&!. ) L(! !lu"%n#! /(,( #l "nun$ A !n $)! l! n-#,! ,#(l#! 'u# !# #n"u#n$,(n #n #l %n$#,&(l h ;8. ) P(,( #l "nun$ A (-! ("$,#! !n /!%$%&! !% #!$H #n #l %n$#,&(l ; h8 * (-! !n n#g($%&! !% #!$H #n h 28. ') L(! !lu"%n#! /(,( #l "nun$ 9 !n $)! l! n-#,! ,#(l#! #n l( un%n h 28 U ; h8.
3. De*e",i$- !(á) 7e e*- -i",-!io$e e -)-H (8 L! n-#,! %,,("%n(l#! !n ('u#ll! 'u# !# #!",%#n -#)%(n$# un( #/,#!%n )#"%-(l "n %n%n%$(! "%,(! * n /#,%)%"(!.
8
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)8 . U$- e,-"!-!i#$ - $-+eg-7o "o --9o 5 `, 8 - +(e)*o i$+i"*ie$7o e$ *o7o e) "e!o""i7o . L+e)o!i7-7 7e )- !o""ie$*e 7e) "o e 7e 3 `,^. C(á) e )- +e)o!i7-7 p"opi- 7e )- e,-"!-!i#$V Si )- +e)o!i7-7 p"opi- 7e )- e,-"!-!i#$ e 7e$o*- !o$ )- )e*"- e$*o$!e e p(e7e p)-$*e-" )- ig(ie$*e e!(-!i#$H (8 2; X 8 X 2; 8 Q 0 8
(8 C- #l /,)u"$ #! -#n, 'u# "#, #n$n"#! X 2 k = 1 k =. 8 C- #l /,)u"$ #! -#n, 'u# "#, X 2 k = 1 k = * l( !lu"%n #! h 18. "8 C- #l /,)u"$ #! -#n, 'u# "#, #n$n"#! X 2 k = 1 j = * l( !lu"%n #! 128. )8 C- #l /,)u"$ #! -#n, 'u# "#, #n$n"#! X 2 k = 1 j= ()#-H! X 2 j= 1 k = * l( !lu"%n #! 2 18.
"8 )8 6. To7o )o +-)o"e 7e p-"- )o !(-)e )($!i#$ !(-7"á*i!- 7-7- po" )- g"ái!- e $eg-*i+- o",-$ e) ig(ie$*e !o$9($*oH
. P-"- ($ !o$9($*o C ∊ ^ [ 2 a b 3 po7e,o -eg("-" (eH (8 Un( "$( %n#,%, #! 13 /,'u# !# #n"u#n$,( )#n$, )#l ,(ng )#%n%) /, #l "nun$. 8 Un( "$( !u/#,%, #! 1 /,'u# #! un n-#, -(*, ( l! #l#-#n$! )#l "nun$. "8 Un( "$( !u/#,%, #! 23 /,'u# !# #n"u#n$,( )#n$, )#l ,(ng )#%n%) /, #l "nun$. )8 T) n-#, -#n, ( 2 #! un( "$( %n#,%, * $) n-#, -(*, %gu(l ( #! un( "$( !u/#,%, .
(8 h =8 /,'u# /(,( $) &(l, )# * #! n#g($%&. 8 2 h8 /,'u# #! l( n%"( ,-( #n 'u# l! &(l,#! )# l( un"%n !# J("#n n#g($%&!. "8 h 18 U 2 h8 /,'u# #n #!$# %n$#,&(l l! &(l,#! )# !n n#g($%&!. )8 1 28 /,'u# n%"(-#n$# l( un"%n #! n#g($%&( #n$,# #!$! &(l,#!. %. De )- ep"ei#$ (eH
1. Lee e) ig(ie$*e *e*o 8 -$-)i- )- g"ái!- (e )o -!o,p-Z-H %ll#,,) Sn#ll * R#n+ D#!"(,$#! lg,(,n )#!",%%, #l "(-% )# )%,#""%n )# l( lu #n #l --#n$ #n 'u# /(!( )# un -#)% ( $,. S% i #! #l Hngul 'u# ,-( #l ,(* %n"%)#n$# "n l( /#,/#n)%"ul(, ( l( !u/#,%"%# 'u# !#/(,( ( l! )! -#)%! * r #! #l Hngul ,-() /, #l ,(* ,# ,("$() "n l( /#,/#n)%"ul(, ( l( !u/#,%"%# * ()#-H! % 1 #! l( &#l"%)() )# l( lu #n #l -#)% 1 * % 2 l( &#l"%)() )# l( lu #n #l !#gun) -#)% $#n#-! l( "n"%)( L#* )# Sn#ll
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5. Se p"ee$*-$ 7o !-o p-"- po7e" e$!o$*"-" )- o)(!i#$ 7e = / 2? = : 1? a H
63
"8 S% #l#g%-! un( un"%n $,%gn-+$,%"( ()#"u()( /(,( ,#l("%n(, l( (l$u,( )# l( "(( "n l( lng%$u) )# l( &(,%ll( $#n#-! 56<3;\. )8 P(,( J(ll(, #l Hngul 'u# l( &(,%ll( ,-( "n #l /%! u$%l%(-! #l $,%Hngul ,#" $Hngul )#$#,-%n() /, l( &(,%ll( * l( )%(gn(l )# l( (!# )# l( "(( * l( (l$u,( )# l( -%!-(. El Hngul -%)# 56<51\1=12W.
S% $#n#-! 'u# i Q =< * l! -#)%! !n #l (%,# * #l (gu( )n)# l( ,(n )# &1 ( &2 #! 5 D# ("u#,) "n l (n$#,%, /)#-! (%,-(, 'u# #l Hngul ,#,("$() #! (8 20< = 5;mm
"8
13. Lee e) ig(ie$*e *e*o 8 -$-)i- )- g"ái!- (e )o -!o,p-Z-H
8 22< 1m 20mm
)8
L( %elocidad lineal =+? )# un /un$ $ #! l( )%! $(n"%( 'u# ,#",,# $ /, un%)() )# $%#-/ )n)# t #! #l $%#-/ $,(n!"u,,%).
11. Lee e) ig(ie$*e *e*o 8 -$-)i- )- g"ái!- (e )o -!o,p-Z-H Un( "(( $%#n# un( (!# "u(),()( )# 0= "- )# l() * 12 - )# (l$u,(. Gu(,) un( &(,%ll( )# $(l ,-( 'u# !# u%"( !%gu%#n) l( )%(gn(l /,%n"%/(l )# l( "(( /)#-! (%,-(, 'u# (8 d #! l( lng%$u) )# l( &(,%ll( * $%#n# un &(l, )# 1117 "- . 8 d #! l( lng%$u) )# l( &(,%ll( * $%#n# un &(l, )# 15522 "-. "8 d #! l( lng%$u) )# l( )%(gn(l )# l( (!# * -%)# 1117 "-. * p #! l( lng%$u) )# l( &(,%ll( l( "u(l -%)# 1115 "-. )8 d #! l( lng%$u) )# l( )%(gn(l )# l( (!# * -%)# 1115 "- * p #! l( lng%$u) )# l( &(,%ll( l( "u(l -%)# 16532 "-.
En un( ,u#)( 'u# g%,( "n &#l"%)() "n!$(n$# l( %elocidad angular 8 !# )#%n# "- #l Hngul (,,%) #n un( un%)() )# $%#-/ /(,( un Hngul #n /!%"%n n,-(l "u* l() %n(l !# #n"u#n$,( "n un /un$ P !,# l( "%,"un#,#n"%( )# ,()% r !# )#%n# l( &#l"%)() (ngul(, "- )n)# ` #! #l Hngul )# ,$("%n -#)%) #n ,#&lu"%n#!8 * )n)# t #! #l $%#-/ -#)%) #n -%nu$!8. Un( ,#&lu"%n #'u%&(l# 2,()8. S% l( ,u#)( )# un "(,, $%#n# un ,()% )# 25 "- * g%,( "n un( &#l"%)() (ngul(, )# 2.== ,/,#&lu"%n#! /, -%nu$8 /)#-! (%,-(, 'u# (8 C- #l Hngul )# ,$("%n !# )# %n# "- 6 Q &t #n$n"#! #l Hngul #'u%&(l# ( 2.== ,/-. 8 C- un( ,#&lu"%n #'u%&(l# 2,() !% )%&%)%-! l(! ,/- /, 2,() $#n#-! #l Hngul )# ,$("%n 6 'u# #'u%&(l# ( 2== ,/-. "8 C- un( ,#&lu"%n #'u%&(l# ( 2,() !% -ul$%/l%"(-! l(! ,/- /, 2,() $#n#-! #l Hngul )# ,$("%n 6 'u# #'u%&(l# ( 5.6== ,().
12. De) p($*o -$*e"io" po7e,o -i",-" (eH (8 P(,( J(ll(, #l Hngul 'u# l( &(,%ll( ,-( "n #l /%! u$%l%(-! #l $,%Hngul ,#"$Hngul )#$#,-%n() /, l( &(,%ll( * l( )%(gn(l )# l( (!# )# l( "((. 8 P(,( J(ll(, #l Hngul 'u# l( &(,%ll( ,-( "n #l /%! u$%l%(-! #l $,%Hngul ,#"$Hngul )#$#,-%n() /, l( &(,%ll( * l( )%(gn(l )# l( (!# )# l( "(( * l( (l$u,( )# l( -%!-(. El Hngul -%)# 3=<.
64
)8
El Hngul )# ,$("%n n /u#)# !#, J(ll() /,'u# n J(* )($! !u%"%#n$#! (l$( #l $%#-/ )# ,$("%n8.
14. De )- i$o",-!i#$ 7e) p($*o -$*e"io" e p(e7e -i",-" (eH (8 L( )%!$(n"%( 'u# ,#",,# l( ,u#)( #! )# 25 "- /, un%)() )# $%#-/. 8 L( lng%$u) )# (," #! )# 11=.5== ")#%) ( 'u# #l (," #! %gu(l ( s ' r Ѳ( "8 C- l( &#l"%)() l%n#(l #! /u#)#
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J(ll(,!# )#%) ( 'u# n $#ng #l $%#-/ 'u# $(,)( g%,(n). )8 L( &#l"%)() l%n#(l #!$H )#%n%)( "- /, l $(n$ l( &#l"%)() #! Cn l( !%gu%#n$# %n,-("%n ,#!/n)# l(! /,#gun$(! )# l( 1; ( 10. El &l$(# #n un "(-/ #l+"$,%" #! #l $,(( #n#,gB( n#"#!(,%( /(,( -&#, un( "(,g( #l+"$,%"( )# un /un$ ( $, #n "n$,( ( (&, )# l(! u#,(! )#l
"(-/ )n)# #!$( !# #n"u#n$,(. S% #l &l$(# )# un "%,"u%$ )# ",,%#n$# (l$#,n( #!$H )() /, l( #/,#!%n ) *t+Q 17= !#n 12= t 8 )n)# t #! #l $%#-/ -#)%) #n !#gun)! * ) *t+ #! #l &l$(# -#)%) #n &l$%!. 1. De -!(e"7o !o$ )o -$*e"io" p(e7e - i",-"e (eH (8 L( (-/l%$u) )# l( un"%n #! 1 /,'u# #!( #! l( (-/l%$u) )# l( un"%n !#n. 8 El /#,B) )# l( un"%n #! 12=. "8 L( (-/l%$u) )# l( un"%n #! 17=2. )8 El /#,B) #! 16= !#gun)!. 16. E) +o)*-9e p"o,e7io 7e ($ !i"!(i*o 7e !o"" ie$*e -)*e"$- e*á 7-7o po" _-_^ c 2. E) +o)*-9e p"o,e7io -p"oi,-7-,e$*e eH (8 25= &l$%!. "8 =7 &l$%!. 8 12= &l$%!. )8 0; &l$%!. 1%. E) $,e"o 7e !i!)o po" eg($7o e )"e!(e$!i- 7e )- !o""ie$*ed e 7e!i" e e) i$+e"o 7e) pe"io7o 7e )- ($!i#$. L- "e!(e$!i- eH 1 (8 16= !#gun)!. "8 6= ! . 1 8 6= !#gun)!. )8 6= ! .
UNIDAD 4 1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 1.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO F,-ul( )# l( )%!$(n"%( #n$,# )! /un$! #n #l /l(n ",)#n()
E9e,p)oH
1.2. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO S% un !#g-#,n$ )# lBn#( $%#n# /un$!
E9e,p)oH
#n$n"#! l(! ",)#n()(! )#l /un$ -#)% !n
EJERCICIOS…… 1. E$!o$*"-" )- 7i*-$!i- e$*"e =[3[? 8 =2 [6?
2.
3. P($*o ,e7io 7e )$e-. Si ($ eg,e$*o 7e )$eCoo"7e$-7- 7e) p($*o ,e7io o$V. G"-(e)-. 4. U-$7o =5?. Mo*"-")o g"á i!-,e$*e.
*ie$e
p($*o
e$*o$!e )-
. E$!o$*"-" e) p($*o ,e7io 7e) eg,e$*o 7e )$e- !o$ p($*o =16? 8
2. LA LINEA RECTA PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA L( ,#"$( !# /u#)# #n$#n)#, "- un "nun$ %n%n%$ )# /un$! (l%n#()! #n un( n%"( )%,#""%n. V%!$( #n un /l(n un( ,#"$( /u#)# !#, J,%n$(l &#,$%"(l )%(gn(l %n"l%n()( ( l( %'u%#,)( ( l( )#,#"J(8. L( lBn#( /)#-! &#,l( /#, ( /(,$%, )# l! )($! 'u# n! #n$,#g( l( -%!-( lBn#( /(, )# ",)#n()(! /(,( A * /(, )# ",)#n()(! /(,( 9 #n #l p)-$o !-"*ei-$o? #! 'u# /)#-! #n"n$,(, un( #/,#!%n (lg#,(%"( un( un"%n8 'u# )#$#,-%n# ( #!( -%!-( ,#"$(. El n-,# 'u# ,#"%# l( #/,#!%n (lg#,(%"( un"%n8 'u# )#$#,-%n# ( un( ,#"$( )()( !# )#n-%n( E!(-!i#$ 7e )- Re!*-. E! #n #!$# "n$#$ 'u# l( G#-#$,B( (n(lB$%"( n! #n!#( 'u# un( ,#"$( #! l( ,#/,#!#n$("%n g,H%"( )# un( #/,#!%n (lg#,(%"( un"%n8 #"u("%n l%n#(l )# /,% - #, g,(). E!$( #"u("%n )# l( ,#"$( &(,B( !u ,-ul("%n )# ("u#,) "n l! )($! 'u# !# "n"(n )# l( lBn#( ,#"$( 'u# !# 'u%#,# ,#/,#!#n$(, (lg#,(%"(-#n$#. D%"J #n $,(! /(l(,(! J(* &(,%(! ,-(! )# ,#/,#!#n$(, l( #"u("%n )# l( ,#" $(. 2.1. ECUACI'N GENERAL DE LA RECTA E!$( #! un( )# l(! ,-(! )# ,#/,#!#n$(, l( #"u("%n )# l( ,#"$(. D# ("u#,) ( un )# l! /!$ul()! )# l( G#-#$,B( Eu"l%)%(n( /(,( )#$#,-%n(, un( lBn#( ,#"$( !l #! n#"#!(,% "n"#, )! /un$! A * 98 )# un /l(n #n un /l(n "(,$#!%(n8 "n (!"%!(! 8 * ,)#n()(! *8 . R#"u#,)#n 'u# #! %-/,#!"%n)%l# )-%n(, $)! l! (!/#"$! !,# #l Pl(n "(,$#!%(n /u#! l( E"u("%n )# l( ,#"$( n $%#n# #%!$#n"%( "n"#/$u(l !%n un Pl(n "(, $#!%(n. AJ,( %#n "n"%)! #!! )! /un$! $)(! l(! ,#"$(! )#l /l(n !%n #"#/"%n 'u#)(n %n"lu%)(! #n l( #"u("%n Ax + By + C = 0
?u# $(-%+n /u#)# #!",%%,!# "- ax + by + c = 0
* 'u# !# "n"# "- l( #"u("%n g#n#,(l )# l( lBn#( ,#"$( "- l (%,-( #l !%gu%#n$#
T#,#-( L( #"u("%n g#n#,(l )# /,%-#, g,() A X 9* X C Q = )n)# A 9 C /#,$#n#"#n ( l! n-#,! ,#(l#! 8 * #n 'u# A * 9 n !n !%-ul$Hn#(-#n$# nul! ,#/,#!#n$( un( lBn#( ,#"$(.
L( #"u("%n g#n#,(l )# l( ,#"$( =A / B8 / C ? #n #ll( l( /#n)%#n$# ,8 * #l "#%"%#n$# )# /!%"%n $8 'u#)(n )#$#,-%n()! /,
E9e,p)oH aCuHl #! l( /#n)%#n$# * #l "# %"%#n$# )# /!%"%n )# l( ,#"$( 4 : 68 / 3 b
2.1.1. E!(-!i#$ 7e )- "e!*- (e p-- po" 7o p($*o. S#(n P=1 81? * X=2 82? )! /un$! )# un( ,#"$(. S,# l( (!# )# #!$! )! /un$! "n"%)! )# un( ,#"$( #! /!%l# )#$#,-%n(, !u #"u("%n. P(,( #ll $-#-! un $#,"#, /un$ R= 8? $(-%+n /#,$#n#"%#n$# ( l( ,#"$(. C- P ? * R /#,$#n#"#n ( l( -%!-( ,#"$( !# $%#n# 'u# P? * PR )##n $#n#, l( -%!-( /#n)%#n$#. O !#(
* Lu#g l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, )! /un$! #!
'u# $(-%+n !# /u#)# #/,#!(, "-
E9e,p)oH D#$#,-%n( l( #"u("%n g#n#,(l )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, l! /un$! P=1 2? * X=3 4?
%
%1
2.1.2. E!(-!i#$ 7e )- "e!*- 7-7o p($*o:pe$7ie$*e =e !o$o!e ($ p($*o 8 e !o$o!e )- pe$7ie$*e?. P, l *( &%!$ * /, l! ##-/l! (n$#,%,#! !(#-! 'u# l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, )! /un$! #!$H )#$#,-%n()( /,
/#,
Lu#g !% ,##-/l((-! #n l( #"u("%n (n$#,%, $#n#-!
)#!/#(n) ll#g(-! ( 8 : 8 1 ,= : 1? E9e,p)oH D#$#,-%n( l( #"u("%n g#n#,(l )# l( ,#"$( )# /#n)%#n$# 5 * 'u# /(!( /, #l /un$ ; 8 8 : 8 1 ,= : 1? 8 : =:3? :4= : ? 8 / 4 :4 / 2 Lu#g l( #"u("%n /#)%)( #! 4 / 8 : 16 . 2.2. ECUACI'N PRINCIPAL DE LA RECTA E!$( #! $,( )# l(! ,-(! )# ,#/,#!#n$(, l( #"u("%n )# l( ,#"$(. P#, (n$#! )# #n$,(, #n l( #"u("%n /,%n"%/(l )# l( ,#"$( "n&%#n# ,#",)(, l !%gu%#n$# C()( /un$ *8 'u# /#,$#n#"# ( un( ,#"$( !# /u#)# ,#/,#!#n$(, #n un !%!$#-( )# ",)#n()(! !%#n) #l &(l, )# l( (!"%!( * *8 #l &(l, )# l( ,)#n()(. x, y! = Abscisa , "rdenada!
E#-/l El /un$ ;8 $%#n# /, (!"%!( * /, ,)#n()( ;. S% un /(, )# &(l,#! *8 /#,$#n#"# ( l( ,#"$( !# )%"# 'u# #!# /un$ !($%!("# l( #"u("%n. E#-/l El /un$ 7 28 #l 7 #n l( (!"%!( * #l 2 #n l( ,)#n()( *8 !($%!("# l( #"u("%n * Q ; *( 'u# (l ,##-/l((, 'u#)( 2 Q 7 ; l 'u# ,#!ul$( &#,)()#,.
%2
,ecordado lo anterior- %eamos ahora la ecuaci.n de la recta /ue pasa solo por un punto conocido ! cu!a pendiente *de la recta+ tambi0n se conoce- /ue se obtiene con la .rmula# y = mx + n
'u# "n!%)#,( l(! !%gu%#n$#! &(,%(l#! un /un$ *8 l( /#n)%#n$# -8 * #l /un$ )# %n$#,"#/"%n #n l( ,)#n()( n8 * #! "n"%)( "- #"u("%n /,%n"%/(l )# l( ,#"$( "n"%)( $(-%+n "- ,-( !%-/l%%"()( "- &#,#-! lu#g8. Al ,#/,#!#n$(, l( #"u("%n )# l( ,#"$( #n !u ,-( /,%n"%/(l &#-! 'u# (/(,#"%#,n )! nu#&(! &(,%(l#! l( - * l( n #!$ (g,#g( ( nu#!$,( #"u("%n )# l( ,#"$( )! nu#&! #l#-#n$! 'u# )##n "n!%)#,(!# (l (n(l%(, ,#/,#!#n$(, un( ,#"$( l( /#n)%#n$# * #l /un$ )# %n$#,"#/"%n $(-%+n ll(-() %n$#,"#/$8 #n #l ## )# l(! ,)#n()(! *8. R#!/#"$ ( #!$ #n #l g,H%" )# l( %'u%#,)( , ,#/,#!#n$( l( pe$7ie$*e 7e )- "e!*- 8 pe",i*e o*e$e" ( g"-7o 7e i$!)i$-!i#$ #n ,#l("%n ( l( J,%n$(l (!"%!(8 * $ #! #l !oei!ie$*e 7e poi!i#$ #l n-#, 'u# !#(l( #l /un$ )n)# l( ,#"$( %n$#,"#/$(,H (l ## )# l(! o"7e$-7- =8?. 2.2.1. &o",- i,p)ii!-7- 7e )- e!(-!i#$ 7e )- "e!*-. S% !# "n"# l( /#n)%#n$# , * #l /un$ )n)# l( ,#"$( ",$( (l ## )# ,)#n()(! #! 8 ",,#!/n)# ( $ #n l( ,-ul( /,%n"%/(l *( &%!$(8 /)#-! )#)u"%, /(,$%#n) )# l( #"u("%n )# l( ,#"$( )# l( ,-(
E!$( #! un( !#gun)( ,-( )# l( e!(-!i#$ p"i$!ip-) 7e )- "e!*- !# l( ll(-( $(-%+n o",- ep)!i*- 7e )- e!(-!i#$8 * !# u$%l%( "u(n) !# "n"#n l( /#n)%#n$# * l( ,)#n()( (l ,%g#n %n$#,"#/$8 'u# ll(-(,#-! n l&%)#-! 'u# ",,#!/n)# ( l( $ #n l( /,%-#,( ,-( )# l( #"u("%n /,%n"%/(l8. T(-%+n !# /u#)# u$%l%(, #!$( #"u("%n /(,( "n"#, l( /#n)%#n$# * l( ,)#n()( (l ,%g#n ( /(, $%, )# un( #"u("%n )()(. E#-/l L( #"u("%n 8 4 / % $%#n# /#n)%#n$# 5 * "#%"%#n$# )# /!%"%n 7 l "u(l %n)%"( 'u# %n$#,"#/$(,H (l ## 8 #n #l /un$ = %?. Cn"%)( l( ,-ul( )# l( #"u("%n /,%n"%/(l !%-/l%%"()( #/lB"%$( "- 'u%#,(n ll(-(,l(8 )# l( ,#"$( #! /!%l# $#n#, l( #"u("%n )# "u(l'u%#, ,#"$( !%#-/,# 'u# !# n! )#n (l -#n! )! &(,%(l#! )# #ll( /u#)# !#, l( /#n)%#n$# /u#)# !#, un /un$ /u#)# !#, #l %n$#,"#/$.
E!$ !%gn%%"( 'u# !% $# )(n #!( %n,-("%n !# /u#)# "n!#gu%, un( #"u("%n )# l( ,-( 8 , / 'u# "u-/l# "n #!(! "n)%"%n#! )()(!. N$#!# 'u# l( #"u("%n 8 , / #! l( ,-( g#n#,(l%()( )# l( ,-( /,%n"%/(l 8 , / $d /, l $(n$ l( ",,#!/n)# (l &(l, )# $ #l %n$#,"#/$ #n l( o"7e$-7- 88. E9e,p)o. (ll(, l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# $%#n# pe$7ie$*e , 3 # i$*e"!ep*o 1. T#n#-! 'u# J(ll(, l( #"u("%n )# l( ,#"$( #!$ #! 8 , / . U!(-! l( %n,-("%n 'u# $#n#-! , 3 * 1 * !u!$%$u%-! #n l( #"u("%n 8 3 / 1. L( #"u("%n 'u# !# /%)# #! 8 3 / 1.
N$#!# 'u# #!$( ,-( /,%n"%/(l !%-/l%%"()( #/lB"%$(8 $(-%+n /)#-! #/,#!(,l( "- un( #"u("%n g#n#,(l 8 : 3 : 1
S% n! )%"#n 'u# l( ,#"$( /(!( /, #l /un$ 1 38 * 2 8 !l $#n#-! 'u# !u!$%$u%, #!$! &(l,#! #n l( #"u("%n /,%n"%/(l * $#n),#-! )! #"u("%n#! "n )! %n"gn%$(! 3 , 1 / $ , 2 / $.
l( "u(l (-/l%%"(-! /, 1 'u#)(n) "- : 8 / 3 / 1 'u# lu#g ,)#n(-! /(,( 'u#)(,
AJ,( !#,&#-! #l g,H%" Cu(n) !# $%#n#n )! /un$! )# un( ,#"$( P1 =1 81? * P2 =2 82? l( /#n)%#n$# (e e ie,p"e !o$*-$*e 'u#)( )#$#,-%n()( /, #l ""%#n$# #n$,# l( )%#,#n"%( )# l(! ,)#n()(! )# #!! )! /un$! * l( )%#,#n"%( )# l(! (!"%!(! )# l! -%!-! /un$! !#( "n l( ,-ul(
3 : 8 / 1 2.3. PENDIENTE DE UNA RECTA Cn ,#!/#"$ ( l( /#n)%#n$# #! n#"#!(,% "n"#, l! !%gu%#n$#! #nun"%()! L(! ,#"$(! /(,(l#l(! $%#n#n l( -%!-( /#n)%#n$#. S% un( ,#"$( $%#n# /#n)%#n$# - Q * #! /(,(l#l( ( $,( #n$n"#! #!( $,( $(-%+n $%#n# /#n)%#n$# - Q . L(! ,#"$(! /#,/#n)%"ul(,#! $%#n#n /#n)%#n$#! ,#"B/,"(! * /u#!$(!. S% un( ,#"$( $%#n# /#n)%#n$# - Q ; * #! /#,/#n)%"ul(, ( $,( #n$n"#! #!( $,( $%#n# /#n)%#n$# ;. A)#-H! S% , l( ,#"$( #! J,%n$(l /(,(l#l( (l ## 8. S% 8 l( ,#"$( #! /#,/#n)%"ul(,. S% $ l( ,#"$( /(!( /, #l ,%g#n. De*e",i$-" )- pe$7ie$*e. A/,#n)%) l (n$#,%, #! -u* H"%l J(ll(, l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, un /un$ * $%#n# un( /#n)%#n$# )()( /(,( J(ll(, l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, )! /un$!.
En$n"#! ( /(,$%, )# #!$( #",()- 7e )- pe$7ie$*e !# /u#)# $(-%+n $#n#, l( #"u("%n )# l( ,#"$( "n l( ,-ul(
S% n! )%"#n /, ##-/l 'u# un( ,#"$( $%#n# un( /#n)%#n$# )# 2 * 'u# /(!( /, #l /un$ 1 38 !l $#n#-! 'u# !u!$%$u%, #!$! &(l,#! #n l( #"u("%n /,%n"%/(l * n! 'u#)(, B(
y $ y % = mx $ x % !
E!$( ,-( )# $#n#, l( #"u("%n )# un( ,#"$( !# !u#l# u$%l%(, "u(n) !# "n"#n !u /#n)%#n$# * l(! ",)#n()(! )# un !l )# !u! /un$!. En$n"#! l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, #l /un$ P1 =1 81? * $%#n# l( /#n)%#n$# )()( , !# #!$(l#"# )# l( !%gu%#n$# -(n#,( 8 : 8 1 ,= : 1?
3 2 1 / $ * )#!/#(n) $ 'u#)( $ 1. P, l $(n$ l( #"u("%n )# #!( ,#"$( !#,H 8 2 / 1.
%3
EJERCICIOS…… 1. (ll(, l( #"u("%n )# l( ,#"$( 'u# /(!( /, #l /un$ =1 2? * $%#n# /#n)%#n$# , : .
. En l( %gu,( (n$#,%, l(! "e!*- L1 * L2 !n /#,/#n)%"ul(,#! #n$n"#! a"uHl )# l(! !%gu%#n$#! /"%n#! ,#/,#!#n$( ( l( e!(-!i#$ 7e )- "e!*- L1b
2. En l( %gu,( a"uHl#!8 )# l(! !%gu%#n$#! (%,-("%n#! #! !n8 &#,)()#,(!8b
I8 L( /#n)%#n$# )# ,#(l.
* )#
II8 L( /#n)%#n$# )#
#! "#,.
III8 L( /#n)%#n$# )#
#! /!%$%&(.
E9e"!i!io p-"- o*e$e" )- e!(-!i#$ ge$e"-) 7e )"e!*- 7-7o ($ p($*o 8 )- pe$7ie$*e
n #! un n-#,
R#"u#,)# 'u# l( ,-ul( %n%"%(l #! 8 : 8 1 ,= : 1? 4. , :1d p($*o =:2 3?
A)*e"$-*i+- A8 Sl I 98 Sl II C8 Sl III D8 Sl I * II E8 I II * III
* Q 1 X 28 * Q 2 X*1Q= . , 2d p($*o =:3^2 :1? * X 1 Q 2 X 28 * X 1 Q 2 X 2 X * 2 Q = 2 * X 2 Q = 6. , d p($*o =:3 ? * = Q = X 8 *Q=
%4
3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES L(! ,#"$(! /(,(l#l(! n !# ",u(n n% !# un$(n (un'u# !# (l(,gu#n
D! ,#"$(! 'u# (l un$(,!# #n un /un$ ,-(n Hngul ,#"$ !# ll(-(n /#,/#n)%"ul(,#! .
4. ECUACI'N DE LA CIRCUN&ERENCIA L( !i"!($e"e$!i- #! #l lug(, g#-+$,%" )# l! /un$! )#l /l(n 'u# #'u%)%!$(n )# un /un$ % ll(-() "#n$, ,#",)(, 'u# #!$(-! J(l(n) )#l P)-$o C-"*ei-$o * #! ,#!/#"$ ( +!$# 'u# $,(((-!8. De*e",i$-!i#$ 7e ($- !i"!($e"e$!i-. Un( "%,"un#,#n"%( 'u#)( )#$#,-%n()( "u(n) "n"#-! T,#! /un$! )# l( -%!-( #'u%)%!$(n$#! )#l "#n$,. El "#n$, * #l ,()%. El "#n$, * un /un$ #n #ll(.
El "#n$, * un( ,#"$( $(ng#n$# ( l( "%,"un #,#n"%(. T(-%+n /)#-! )#"%, 'u# l( "%,"un#,#n"%( #! l( lBn#( ,-()( /, $)! l! /un$! 'u# #!$Hn ( l( -%!-( )%!$(n"%( )# $, /un$ ll(-() !e$*"o. E!$( /,/%#)() #! l( "l(&# /(,( J(ll(, l( ep"ei#$ -$-)*i!- )# un( "%,"un #,#n"%( l( e!(-!i#$ 7e )- !i"!($e"e$!i-8. En$n"#! #n$,(n) #n #l $#,,#n )# l( Geo,e*"- A$-)*i!- )#n$, )#l P)-$o C-"*ei-$o8 )%,#-! 'u# o/(,( "u(l'u%#, /un$ P = 8? )# un( "%,"un#,#n"%( "u* "#n$, #! #l /un$ C =- ? * "n ,()% " o l( #"u("%n ,)%n(,%( #! = f -?2 / =8 f ?2 " 2 a?u+ !%gn%%"( #!$b En #l "n$#$ )# l( G#-#$,B( An(lB$%"( !%gn%%"( 'u# un( "%,"un#,#n"%( g,(%"()( "n un "#n$, )# %n%) ",)#n()(!8 #n #l /l(n C(,$#!%(n * "n ,()% "n"%) l( /)#-! ^&#,W "- g,H%" * $(-%+n l( /)#-! ^$,(n!,-(,W #/,#!(, "- un( #"u("%n -($#-H$%"( .
R#",)(, !%#-/,# 'u# #n #!$( ,-ul( l( * l( 8 !#,Hn l(! ",)#n()(! )# "u(l'u%#, /un$ =P? !,# l( "%,"un#,#n"%( #'u%)%!$(n$# )#l "#n$, un ,()% ="?. Y 'u# l( - * l( l( * l( ` !#gn !# u!#8 ",,#!/n)#,Hn ( l(! ",)#n()(! )#l "#n$, )# l( "%,"un#,#n"%( C=- ?. No*- i,po"*-$*eH L! ##,"%"%! !,# #!$( -($#,%( /u#)#n J("#,!# #n un u $, !#n$%). E! )#"%, !% n! )(n l( e!(-!i#$ 7e ($- !i"!($e"e$!i- ( /(,$%, )# #ll( /)#-! #n"n$,(, l(! ",)#n()(! )# !u "#n$, * #l &(l, )# !u ,()% /(,( g,(%"(,l( )%u(,l(. Y !% n! )(n l(! ",)#n()(! )#l "#n$, )# un( "%,"un#,#n"%( * #l ,()% )($! /(,( #n"n$,(,l /)#-! ll#g(, ( l( #"u("%n )# l( -%!-( "%,"un #,#n"%(.
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2
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Si & - / f " e$*o$!e A)#-H! $,( !o$7i!i#$ $e!e-"i- /(,( 'u# un( #"u("%n )()( ,#/,#!#n$# un( "%,"un#,#n"%( #! 'u#
%%
2
2
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. ESTUDIO DE LAS SECCIONES C'NICASH PARÁBOLA ELIPSE E IPRBOLA L(! "u,&(! "n%"(! u#,n #!$u)%()(! /, -($#-H$%"! )# l( #!"u#l( G,%#g( J("# -u"J $%#-/. S# )%"# 'u# M#n(#"J-u! u# #l 'u# )#!"u,% l(! !#""%n#! "n%"(! * 'u# u# #l /,%-#, #n #n!#(, 'u# l(! /(,Hl(! J%/+,l(! * #l%/!#! #,(n $#n%)(! (l ",$(, un "n #n un /l(n n /(,(l#l ( !u (!#. M#n(#"J-u! ,#(l% !u! )#!"u,% -%#n$! )# l(! !#""%n#! "n%"(! "u(n) +l $,($(( )# ,#!l&#, un /,l#-( )# )u/l%"(, un "u. A/lln%u! )# P#,g( u# $, -($#-H$%" 'u# #!$u)% l(! "n%"(!. P" !# !(# )# !u &%)( /#, !u $,(( $u& un( g,(n %nlu#n"%( #n #l #!$u)% )# l(! -($#-H$%"(!. A/lln%u! #!",%% l%,! 'u# %n$,)u#,n $+,-%n! 'u# J(!$( J* !n "n"%)! "- /(,Hl( J%/+,l( * #l%/!#. .1. PARÁBOLA L( /(,Hl( #! #l lug(, g#-+$,%" )# l! /un$! )#l /l(n 'u# #'u%)%!$(n )# un /un$ % ll(-() " * )# un( ,#"$( %( ll(-()( )%,#"$,%. .1.1. E!(-!io$e 7e )- p-"áo)-. Un( /(,Hl( "u* &+,$%"# #!$H #n #l ,%g#n * !u ## "%n"%)# "n #l ## )# l(! ,)#n()(! $%#n# un( 2 #"u("%n )# l( ,-( !'ax )n)# #l /(,H-#$, a #!/#"%%"( l( #!"(l( )# l( /(,Hl( %n",,#"$(-#n$# )#!",%$( "- l( orma )# l( /(,Hl( *( 'u# "- !# )% (n$#! $)(! l(! /(,Hl(! $%#n#n l( -%!-( ,-(. Cu(n) #l /(,H-#$, #! /!%$%& l( /(, Hl( !# (,# pJ("%( (,,%(q * "u(n) #! n#g($%& !# (,# pJ("%( ((q. T-(n) nu#&(-#n$# l( )#%n%"%n )# /(,Hl( "- !#""%n )# un "n ,#"$ )# ,-( /(,(l#l( ( l( )%,#"$,% !#( ) un /un$ #n #l ## * !#( #) /#,/#n)%"ul(, (l ##. #) ",,#!/n)# (l &(l, x #n l( &#,!%n (n(lB$%"( * $) (l &(l, ! 8. Cn!%)#,(n) l( !#""%n "%,"ul(, 'u# /(!( /, # * #! /(,(l#l( ( l( (!# )#l "n $#n#-! 3 /(,(l#l! ( B * C . P, #l $#,#-( )# /$#n"%( )# un /un$
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Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.
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.3. IPRBOLA Un( J%/+,l( #! un( !#""%n "n%"( un( "u,&( (%#,$( )# )! ,(-(! $#n%)( l ",$(, un "n ,#"$ /, un /l(n l%"u (l ## )# !%-#$,B( "n Hngul -#n, 'u# #l )# l( g#n#,($,% ,#!/#"$ )#l ## )# ,#&lu"%n.
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
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.3.1. E!(-!io$e 7e )- ip<"o)-. .3.1.1. E!(-!io$e e$ !oo"7e$-7- !-"*ei-$-. E"u("%n )# un( J%/+,l( "n "#n$, #n #l ,%g#n )# ",)#n()(! #"u("%n )# l( J%/+,l( #n !u ,-( "(nn%"(.
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ip0rbola abierta de arriba a aba
ip0rbola abierta de noreste a suroeste;
ip0rbola abier t a de noroeste a surest e;
55
.3.1.3. E!(-!io$e p-"-,<*"i!- ip<"o)- -ie"*- 7e 7e"e!- - i(ie"7-H
ip<"o)- -ie"*- 7e -""i- - --9oH
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5
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24. D-7o )o +e!*o"e Se !(,p)e (eH (8 L( /,*#""%n )# 8 El &#"$,
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)8 2. E) *eo"e,- 7e !oe$o e*á 7e!"i*o po" )ig(ie$*e ep"ei#$H (8 (2 X 2 Q "2. 2 2 2 8 ( Q X " 2" "! <. "8 2
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32. P-"- *"--" )- g"ái!- 7e ($- ($!i#$ )i$e-) -*- !o$o!e" )- i$o",-!i#$ 7e #)o 7o p($*o =p-"e9- o"7e$-7-?. L- pe$7ie$*e 7e e- "e!*e -))- 7e )- ig(ie$*e o",-H (8
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E) á"e- 7e ))á,i$- 7i+io"i- e$ ($i7-7e !(-7"-7- e*á "ep"ee$*-7- po" )- ep"ei#$H
33. E$ )- g"ái!- 7e ($- ($!i#$ )i$e-) )pe$7ie$*e ,-8o" (e !e"o i$7i!- (e )- ($!i#$ eH (8 C,#"%#n$#. 8 D#",#"%#n$#. "8 Cn!$(n$#. )8 N #! un"%n.
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35. P-"- e,p-!-" 8 p"o*ege" ($ -"*!()o )e,p"e- !o)o!- ($- )á,i$- 7e)g-7- 7e o",*"i-$g()-" 7e$*"o 7e )- !-9- !o,o e i)(*"- !o$*i$(-!i#$H
34. E$ )- g"ái!- 7e ($- ($!i#$ )i$e-) )pe$7ie$*e ,e$o" (e !e"o i$7i!- (e )- ($!i#$ eH (8 C,#"%#n$#. 8 D#",#"%#n$#. "8 Cn!$(n$#. )8 N #! un"%n.
E) ig(ie$*e 7i(9o "ep"ee$*- e) 7ieZo 7e ($pi!i$- p-"- $iZo (e e (ie"e !o$*"(i" e$ ($ !e$*"o +-!-!io$-)H
3. U$- ($!i#$ )i$e-) e !-"-!*e"i- po" *e$e"H (8 D! /un$! )# ",$# "n #l ## . 8 N%ngn /un$ )# ",$# "n #l ## . "8 Un /un$ )# ",$# "n #l ## . )8 T,#! /un$! )# ",$# "n #l ## . 36. P-"- e,p-!-" -"*!()o ($- e,p"e!o$*"(8e !-9- 7e o",- !i!- 7e !-"*#$ !o$ *-p- 8 7e -"i*- (-$7o e) ig(ie$*e 7ieZoH
3. P-"- "e!("i" e) i$*e"io" 7e )- pi!i$- !o$ *e)2 -á)*i!- e) !o$*"(!*o" pi7e 3, . E*- !-$*i7-7 7e ,-*e"i-)H (8 N #! !u%"%#n$# /,'u# (l$(, B( 2 (/,%-()(-#n$# 7 - . 8 E! !u%"%#n$# /,'u# !n (/,%-()(-#n$# 2 2; - . "8 N #! !u%"%#n$# /,'u# (l$(, B(n 2 (/,%-()(-#n$# 15 - . )8 E! !u%"%#n$# * !,(,B(n (/,%-()(-#n$# 2 2; - .
L- ep"ei#$ (e pe",i*e 7e*e",i$-" )- ,$i,!-$*i7-7 7e ,-*e"i-) "e(e"i7o p-"- )!o$*"(!!i#$ 7e !-7- !-9- eH
