Módulo: dx x f

Evidencia de Aprendizaje Unidad 3 Para apoyarte en la realización de tu examen y como parte de la Evidencia de Aprendizaje deberás completar con la siguiente información este archivo: 1. Tablas de integración inmediata. Se encuentran en la página 22 del material de la unidad 3.

2. Fórmula del teorema fundamental del cálculo (área bajo la curva) página 25 y 26 del material de la unidad 1.

3. Regla de sustitución: páginas 29 a 31 del material de la unidad 1.

4. Áreas entre funciones: páginas 7 y 8 del material de la unidad 2.

5. Sólidos en revolución: Dentro del foro de planeación didáctica de la actividad 3 unidad 2 se encuentra el material en donde se encuentran las fórmulas (son dos). • 𝑉=𝜋

𝑏 2 𝑦 𝑑𝑥 𝑎

Si mi solido gira alrededor del eje 𝑥

• 𝑉=𝜋

𝑏 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑎

Si mi solido gira alrededor del eje 𝑦

6. Valor promedio de una integral: Se encuentra la fórmula en los apuntes de la unidad 2 pero también lo pueden encontrar en la actividad 2 de la unidad 2 en el foro de planeación didáctica.

7. Fórmula de integrales por partes. Páginas 4 y 5 del material de la Unidad 3 y el video de la planeación didáctica actividad 2 Unidad 3.

• 8. Sustitución para racionalizar. Página 5 del material de la Unidad 3.

• 9. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales. A partir de la página 5 hasta la 15 del material de la Unidad 3.

• 10. Integrales trigonométricas. A partir de la página 15 hasta la 21 del material de la Unidad 3. También puedes apoyarte de los videos de la Actividad 3 unidad 3.

• 11. Integrales impropias divergentes y convergentes. Material de la unidad página 24 hasta la 26.

• 12. Tabla de fórmulas de derivación que utilizaste en tu curso de Cálculo Diferencial.

• 13. Realiza en un diagrama de bloques “Las estrategias para integrar”. Material de la unidad 3 página 23. Si existe

Simplificar integrando

Detectar solución obvia (si existe)

No existe

Clasificar de acuerdo a su forma

No hay solución Intentar sustitución o integral por partes

Solución Integrar

• Problema 1. Se va a construir un centro de operaciones de una empresa transportista ubicada junto a una construcción en forma semicircular. Para determinar el área del terreno tendrás que calcular el área siguiente: • El intervalo es de 0.3 a 5 y el resultado será en kilómetros cuadrados.

Integrar 5

0.3

𝑥+8 𝑑𝑥 3 𝑥 + 4𝑥

Factorizando 𝑥3 + 4𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4

Entonces 5

0.3

𝑥+8 𝑑𝑥 = 3 𝑥 + 4𝑥

5

0.3

𝑥+8 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑥 +4

𝑥+8 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 𝐴 𝑥2 + 4 + 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 = 2 𝑥 𝑥 +4 𝑥 𝑥 +4 𝑥 𝑥2 + 4 𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4

Resolvemos 𝑥 + 8 = 𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 = 𝐴 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴 𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 4𝐴 = 8 8 𝐴= =2 4 𝐵 = −𝐴 = −2 Sustituimos 5

0.3

𝑥+8 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥 5

= 0.3

2 𝑑𝑥 − 𝑥

5

0.3

5

0.3

𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4

2𝑥 𝑑𝑥 + 2 𝑥 +4

5

0.3

5

0.3

1 𝑑𝑥 2 𝑥 +4

2 −2𝑥 + 1 + 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 +4

Integramos para cada sumando •

5 2 𝑑𝑥 0.3 𝑥

•

5 2𝑥 𝑑𝑥 0.3 𝑥2 +4

= 2 ln 𝑥

5

0.3

•

5 0.3

𝑢 = 𝑥2 + 4, 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 4

5 1 𝑑𝑥 0.3 𝑥2 +4

5

0.3

5

0.3

1 1 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 4 2

5

0.3

5

0.3

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

1 𝑑𝑢 = ln 𝑢 𝑢

1 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 4 𝑥 𝑢= , 2

5

5 0.3

2

= ln 𝑥 + 4

1

0.3

𝑑𝑥

𝑥2 0.3 4 4 + 1 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2

1 1 𝑑𝑥 = arctan 𝑢 𝑢2 + 1 2

5

5 0.3

1 𝑥 = arctan 2 2

5 0.3

Sustituimos y resolvemos 5

0.3

𝑥+8 𝑑𝑥 3 𝑥 + 4𝑥 5

= 0.3

2 𝑑𝑥 − 𝑥

5

0.3

2𝑥 𝑑𝑥 + 2 𝑥 +4

5

0.3

1 𝑑𝑥 2 𝑥 +4

1 𝑥 = 2 ln 𝑥 − ln 𝑥 + 4 + arctan 2 2

5

2

0.3 2

= 0.446725 − −3.74205 = 4.18877 𝐾𝑚

Problema 2. Integre la siguiente función: Integrar 𝑑𝑥 9 − 𝑥2

Usando la función seno 𝑥 sin 𝜃 = , 𝑥 = 3 sin 𝜃 , 𝑑𝑥 = 3 cos 𝜃 𝑑𝜃 3 9 − 𝑥 2 = 9 − 3 sin 𝜃 2 = 9 − 9 sin2 𝜃 = 9 1 − sin2 𝜃 = 9 1 − sin2 𝜃 = 3 cos 𝜃 Sustituimos

𝑑𝑥 9−

𝑥2

=

Despejamos 𝜽 y resolvemos

3 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 3 cos 𝜃

𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶

𝑥 −1 𝑥 sin 𝜃 = , sin =𝜃 3 3 𝑑𝑥 −1 𝑥 = 𝜃 + 𝐶 = sin 2 3 9−𝑥

Problema 3. • Realice la gráfica de la función f(x)=𝑥 2 ∗ ln 𝑥 en el intervalo de 0 a 3 con los valores X=0, x=0.5, x=1, x=1.5, x=2, x= 2.5 y x=3. También puede usar Geogebra. De acuerdo a la gráfica proponga usted un problema que se resuelva al integrar esta función.

𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ln 𝑥

Problema 3. Texto de su problema propuesto: Un grupo de emprendedores quiere iniciar un proyecto para el cual requieren cierto capital. El proyecto que promueven tiene la expectativa de generar ganancias de acuerdo a la formula: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 ln 𝑥 Donde 𝑥 es cada año que transcurre. ¿Cual seria la ganancia después de cada periodo de 6 meses (medio año)? Grafique el resultado y calcule la cantidad exacta para 3 años.

Desarrollo de su problema a integrar: Integrar 3

2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 0

Dado que esta función es discontinua en 𝑥 = 0, es impropia. Se integra por partes 3 1 𝑥 𝑓 = ln 𝑥 , 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥, 𝑑𝑔 = 𝑥2 𝑑𝑥, 𝑔= 𝑥 3 3

0

2 3 2 2𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 3

2 3 = 𝑥 ln 𝑥 3

3 0

3

𝑥2 𝑑𝑥

− 0

3 0

3

− 0

𝑥3 𝑑𝑥 𝑥 𝑥3

2 3 = 𝑥 ln 𝑥 − 3 3

3

0

Resolvemos el límite 𝑥3 ln 𝑥 −

𝑥3 3

3

0

3 3 3 𝑎 = 33 ln 3 − − lim+ 𝑎3 ln 𝑎 − 3 3 𝑎→0

27 = 27 ln 3 − − 0 = 27 ln 3 − 9 = 20.6625 3

Sustituimos y resolvemos 3

2𝑥2 ln 0

𝑥3

2 3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 3 3

= 13.7750

3

0

2 = 20.6625 3