VAR ESTRUCTURALES Y FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
DR. LUIS MIGUEL GALI NDO
I. INTRODUCCIÓN
• Sims Sims (198 (1986) 6),, Bern Bernan anke ke (198 (1986) 6),, Shap Shapir iro o y Wats Watson on (198 (1988) 8) iniciales VAR estructurales (SVAR) o VAR identificados •En vez de identificar los coeficientes se identifican los errores del sistema que se interpretan como combinaciones combinaciones lineales lineales de los los shocks shocks exógenos exógenos •Inicialmente los VAR (Sims, (Sims, 1980) 1980) se ortogonalizaban ortogonalizaban las innovaciones utilizando utilizando la descomposición descomposición de Choleski Choleski de la matriz de covarianzas covarianzas
Dr. Galindo
I. INTRODUCCIÓN
• Sims Sims (198 (1986) 6),, Bern Bernan anke ke (198 (1986) 6),, Shap Shapir iro o y Wats Watson on (198 (1988) 8) iniciales VAR estructurales (SVAR) o VAR identificados •En vez de identificar los coeficientes se identifican los errores del sistema que se interpretan como combinaciones combinaciones lineales lineales de los los shocks shocks exógenos exógenos •Inicialmente los VAR (Sims, (Sims, 1980) 1980) se ortogonalizaban ortogonalizaban las innovaciones utilizando utilizando la descomposición descomposición de Choleski Choleski de la matriz de covarianzas covarianzas
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I. INTRODUCCIÓN
Se impone una una estructura estructura recursiva recursiva en las relaciones relaciones instantáneas entre las variables
Este sistema es arbitrario distinto orden orden cambia los los efectos de los shocks
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I. INTRODUCCIÓN
Recientemente la identificación de shocks utilizando restricciones de largo plazo es utilizada crecientemente La teoría económica puede ofrecer restricciones no lineales de los parámetros que se pueden usar para identificar la estructura del sistema Los SVAR utilizan normalmente solo las restricciones necesarias a diferencias de los modelos multiecuacionales que están sobre identificados
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I. INTRODUCCIÓN
Razón – Crítica de Sims (1980) El SVAR impone solo las restricciones necesarias para identificar a los parámetros Impulso respuesta del SVAR o SVECM son funciones no lineales de los parámetros
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II. LOS MODELOS SUECM: (1) Y t * Y t 1 1 Y t 1 ... * p 1 Y t p 1 C * Dt B * Z t U t
Donde: Y t (Y 1t ,...Y kt )' es(k * 1)
y es un vector de variables endógenas Zt= Vector de variables exógenas o variables estocásticas no modelados Dt= Contiene todos los términos determinísticos
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II. LOS MODELOS
Los shocks se asocian con un sentido económico (shocks de precios de petróleo) pero como no son observados directamente se requieren supuestos para identificarlos
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II. LOS MODELOS
Para analizar por separado el impacto dinámico a los shocks como no correlacionados (ortogonales)
Los shocks o innovaciones estructurales (et) se relacionan con los residuales del modelos como Vt= et Se considera que las verdaderas variables exógenas entrar a traves del termino de error
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II. LOS MODELOS
Así, el modelo a utilizar es:
(2)
Y t * y 1 * Y t 1 ... * p 1 Y t p 1 et t 1
con et~(0, k )
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II. LOS MODELOS
El VAR en niveles equivalentes es: (3)
Y t x 1Y t 1 ... * p Y t p e t
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II. LOS MODELOS La forma reducida de (2) o (3) es: (4.1)
Y t Y t 1 1 Y t 1 ... p 1 Y t p 1 u t
(4.2)
Y t 1 Y t 1 ... pY t p u t
Donde: 1 * j 1 j*
j
U t
1
* j
1
Relaciona los errores de la forma reducida con los shocks estructurales et e t
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II. LOS MODELOS La identificación de los parámetros estructurales requiere imponer restricciones en las matrices de parámetros La matriz A especifica las relaciones instantáneas puede incluso suponer (A = Ik ) que implica que los shocks de et son ortogonales y ello no es suficiente para alcanzar la identificación. Para un sistema de k dimensiones se requieren k(k-1)/2 restricciones para ortogonalizar los shocks porque existen k(k-1)/2 potencialmente diferentes covarianzas.
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II. LOS MODELOS
Las restricciones pueden obtenerse con un “ajuste en el tiempo” de los shocks: los shocks afectan a algunas variables directamente en el tiempo actual y a otro subconjunto de variables solo con un rezago de tiempo. Ejemplo: Identificación triangular o recursiva (Sims, 1980) World causal Chain System
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II. LOS MODELOS Las opciones de restricciones son: 1. I k El vector de innovaciones et se modela como un sistema interdependiente de ecuaciones lineales tal que u t et Las restricciones lineales de A pueden escribirse como un vector donde contiene todos los elementos sin restringir de A, es una matriz con 0-1 elementos y es un vector normalmente de constantes.
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II. LOS MODELOS
2. I k El vector de innovaciones es U t et y la exclusión de algunos shocks estructurales (que son sus combinaciones lineales) en ecuaciones particulares Vec se impone donde incluye los elementos sin restringir de y es la matriz con elementos 0-1.
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II. LOS MODELOS
3. El modelo AB (Amisano y Gionnini (1997) que combina las restricciones en A y B en donde el modelo de las innovaciones es Aut = et y las restricciones son: vec(A) = vec(B) = B B B
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II. LOS MODELOS
4. Existe información a priori de los efectos de largo plazo de algunos de los shocks. Estos shocks son medidos considerando las respuestas de las variables del sistema.
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II. LOS MODELOS
Es posible verificar la identificación del sistema de un SVAR utilizando la condición de orden similar a la utilizada para los sistemas de ecuaciones simultáneas. El numero de parámetros de la forma reducida del VAR (dejando afuera los parámetros asociados a las variables rezagadas) esta dado por el numero de elementos no redundantes de la matriz de covarianzas.
u k k 1 / 2 Dr. Galindo
II. LOS MODELOS
Entonces no es posible identificar a más de k(k+1)/2 parametros de la forma estructural. El número total de elementos de la forma estructural de las matrices A y B son 2k 2
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II. LOS MODELOS
Las restricciones requeridas para identificar un modelo completo son:
(5)
2 k 2
k k 1
2
k 2
k k 1
2
Haciendo a una de las matrices A o B igual a la identidad entonces se requiere k(k-1)/2 restricciones adicionales.
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II. LOS MODELOS Ejemplo: Modelo estructural “keynesiano”: (6.1) (6.2) (6.3)
u t q a 12 u t b 11 e IS t
(IS)
i q m u t a 21 u t a 23 u t b 22
u
m t
3 e t m
(LM)
(Oferta Monetaria)
Donde: q= output i= tasa de interes m=agregado monetario Supuesto: Los shocks estructurales no están auto correlacionados
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II. LOS MODELOS (6.1) Es una curva tradicional IS con un parámetro negativo para la innovación de tasa de interés (6.2) Resolviendo una demanda de dinero con respecto a las innovaciones de la tasa de interés
u t m 1 u t q 2 u t i e LM t β1>0 β2<0
(6.3) Indica que las innovaciones de la base monetaria son llevados por shocks de oferta monetaria exógenas
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II. LOS MODELOS
(6.1) (6.2) y (6.3) en un modelo AB puede escribirse con 0 (7) Aut = et 1 a 21 0
a12
1 0
0
1
a 23
b11 0 ut = 0 b 22 0 0
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0
b23 0
t
II. LOS MODELOS
1 0 a 1 21 0 0 a 21 0 vec(A) = 1 = 0 0 0 0 0 a 23 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 1 0 0
a21 a 12 a23
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+
1 0 0 0 1 0 0 0 1
II. LOS MODELOS
1 0 0 b11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 vec(B) = b22 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 1 33
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b11 b 22 b33
II. LOS MODELOS
Se requieren 2k 2 –k(k+1)/2 restricciones para que el modelo este exactamente identificado Ejemplo: k=3 2k2 – k(k+1)/2 2 (9 )
3( 4 ) 18 6 12 2
Se requieren 12 restricciones en A y B Las restricciones en (7) son 12 (incluyendo 1 y 0)
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA VAR estacionario: La representación Wold de un promedio móvil es: (8)
y t u t 1 u t 1 2 u t 2 ...
Donde:
0 I k
s
s
s j
A j
j 1
Los coeficientes de esta representación pueden representarse como reflejando las respuestas a los impulsos que pegan al sistema.
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Con series I(0) el efecto de un impulso es transitorio Los elementos de las matrices s capturan las respuestas esperadas de y i t+s y el cambio de una unidad en y j t , manteniendo constantes los valores pasados de yt . Mide
el efecto de ut en yi t
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA Función de pronóstico de impulso respuesta para los ut son el error de pronóstico de un paso adelante. Los efectos acumulados se obtienen sumando las matrices
s :
(9)
s I k A 1 ... A
s 0
Esta matriz existe si el VAR es estable.
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1
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Es difícil capturar el efecto aislado si los componentes de ut están correlacionados contemporáneamente, esto es, u no es diagonal. Descomposición de Choleski:
u BB ´ por: e t
donde los shocks ortogonales están dados 1
u t
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Se obtiene: (10) y t e t e t 1 ... e t p Donde es una matriz triangular baja, donde los efectos de eit pueden ser instantáneos en las otras variables, pero no a la inversa.
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA En SVAR los residuales están representados por et con una matriz diagonal de covarianzas E et et ´ et que se especifica, normalmente, como una matriz identidad
Au
Modelo AB:
t
Be
t
Las
funciones de impulso respuesta en un SVAR se 1 obtiene de j A B Suponiendo algunos elementos de largo plazo como ceros (11.1)
0
1
...
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Impulso respuesta para VAR no estacionarios y VECM: No existe la descomposición de Wold, pero se pueden obtener las matrices s aunque no converjan a cero los shoks. En general las funciones acumuladas no existen.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En el caso donde yt puede representarse como VECM, se tiene: ´ y y t 1 1 y t 1 ... p 1 y t p 1 u t (11.2) y
Entonces tiene representación MA: (11.3)
y
t
t
u
i
L u
i1
Dr. Galindo
t
y
0
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA Donde:
I N ´
L
j 0
p 1 i 1
j L
i
1
´
j
y contiene los valores iniciales tiene rango k – r . Si el rango de cointegración del sistema es r y representa los efectos de largo plazo, mientras que j contiene los efectos de corto plazo.
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA Reemplazando ut por A-1 Bet , entonces el efecto ortogonalizado de corto plazo de impulso respuesta es A1 B Los efectos et de largo plazo son: A 1 B
y rango k r
La matriz tiene a lo más r columnas de ceros Tiene a los más r shocks con efectos transitorios
(impacto cero de largo plazo) y al menos existen k k r shocks con efectos permanentes. Supuesto:
A I k
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Para identificar los shocks se necesitan
k k 1
2
restricciones adicionales.
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En forma similar, se requieren r r 1
2
restricciones adicionales para identificar los shocks transitorios.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
En total existen: k k 1
k r
2
r r 1
2
restricciones.
Dr. Galindo
k k 1
2
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Ejemplo: Con r = 2 y k = 3
k k r L.P.: k* = 1
C.P.:
r r 1
2
k k 1
2
0
1
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Ejemplo: Jacobson, Verdín y Warne (1997): Función de producción, función de demanda de trabajo y oferta de trabajo y salario: 1. Función de producción de producción: Relaciona output ( gdpt ) y empleo (empt ):
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA (12.1)
gdp
t
pemp
t
1 t
p = mide los rendimientos a escala 1t = es la tendencia estocástica tecnológica que significa un camino aleatorio.
(12.2)
e gdp t
1 t 1 t 1 e gdp t
es un shock puramente tecnológico.
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA 2. La demanda de empleo a producto y salarios reales es (w – p)t : (12.3)
emp t gdp t w p t 2t
con rérmino de error: (12.4)
2t d 2t 1 et d
Con d 1 la demanda de trabajo es estacionaria y sólo tiene efecto estacionario.e t d
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Jacobson et. al (1997) asumen d 0 que implica que la demanda de trabajo no tiene efectos de largo plazo con cointegración el supuesto de estacionariedad puede evaluarse. 3. La fuerza de trabajo (lt) se relaciona con el precio como (12.5)
l t w p t 3t
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
Donde: 3t es una senda aleatoria:
(12.6) 3 t s t
e
3 t 1 e st
es el shock de oferta de trabajo.
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III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA
4. La relación de salario: (12.7) w p gdp emp t 1 emp t 4t Salarios son función de la productividad y del desempleo 4t puede ser estacionario o no estacionario.
4 t w 4 t 1 e t w Se puede utilizar análisis empírico.
Dr. Galindo
III. FUNCIONES DE IMPULSO RESPUESTA El modelo es llevado por dos sendas aleatorias de oferta de trabajo y la función de producción. Suponiendo r = 2 entonces k r k 2 shocks tiene efectos permanentes.
y sólo dos
Para identificar a los dos shocks permanentes se considera que: k k 1 1 2
Supuesto: Rendimientos constantes a escala p = 1 implica que la productividad sólo es afectada por los shocks e gdp de largo plazo.
Dr. Galindo
IV. ESTIMACIONES DE LOS PARÁMETROS DE SVAR
1. Estimadores GLS 2. Inferencia estadística con un modelo sobreidentificado con LR
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V. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA DE PRONÓSTICO
El gasto h de error de pronóstico del VAR es: (13)
y T h y T h T u T h 1u T h 1 ... h 1u T 1
Expresando este modelo en términos de las innovaciones estructurales: e t e 1 t ,..., e kt B 1 Au ´
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t
da:
V. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA DE PRONÓSTICO
(14) y T h y T h T 0 eT h eT h 1 ... h 1 eT 1 Donde:
j
j A 1 B
Así, la descomposición de varianza es: (15)
2 k
n
h 1
2 k 1 , n
...
k
2 kk , h
h0
j 1
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2 kj , 0
... kj2 , h 1
V. DESCOMPOSICIÓN DE VARIANZA DE PRONÓSTICO
La contribución en porcentaje es:
(16)
w kj h
2 kj , 0
... kj2 , h 1 k 2 h
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VI. EJEMPLOS
Modelo AB: IS – LM (Breiturg, 2000): y t q t , i t , m t
´
SVAR en niveles para no imponer demasiadas restricciones
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VI. EJEMPLOS
(17.1) (17.2) (17.3)
u t q a 12 u t i b 11 e IS t
(IS)
u t i a 21 u t q a 23 u t m b 22 e LM t m m u t b 33 e t
1 a 21 0
a12
1 0
0
(Oferta de dinero)
b11 0 a 23 0 b22 1 0 0
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(LM)
0
0 et
b33
VI. EJEMPLOS
Estimando por ML:
1 0 0 0.0068 0.04 0 ~ ~ A 0.14 0.0087 0 1 0.73 B 0 0 0 0 . 0056 0 0 1
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VI. EJEMPLOS Incluyendo pruebas de t -0.04 signo equivocado pero no significativo La matriz de impacto de las estimaciones ML es:
0.69 0.03 0.02 ~ ~ A1 B 0.10 0.88 0.42 102 0.00 0.00 0.56
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VI. EJEMPLOS
Modelo Blanrhard Quah: Modelo divariado de producto y desempleo
´ y t q t , uN t Los shocks de demanda agregada son identificados como transitorios y los shocks de oferta tienen efectos permanentes en el producto.
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VI. EJEMPLOS
Vector de shocks estructurales et e st , et d esta identificada a través de las restricciones de largo plazo en el et d producto. Esta restricción implica una estructura triangular que puede obtenerse con la descomposición de Choleski.
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VI. EJEMPLOS
La estimación de las matrices del VAR sin restricciones son:
0.075 0.930 Bˆ 0.220 0.208
0 0.519 ˆ 0.008 4.044
Los efectos de oferta son relevantes
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VI. EJEMPLOS
Mercado de trabajo. y t gdp em t , em t , u N t , w p t
gdp e t , emt , u, w p t
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son I 1
VI. EJEMPLOS VECM:
w p t 0.54dgp e t 0.013emt 1.724uN t 0.709t ect t: productivity Identificación de los shocks shocks en el mercado mercado laboral: laboral: gdp d s w , e t , e t , e t e t e t
´
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VI. EJEMPLOS
Supuesto:
A I k
se necesitan
1 2
k k 1 6
restricciones
linealmente independientes para identificar exactamente a B
k k r 3
r 1
los shocks son permanentes
shocks con efectos transitorios
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VI. EJEMPLOS
w Cointegración sugiere que et es I 0 y por tanto no tiene impacto en las variables incluídas en y t que corre con 4 restricciones en la última columna de la matriz de identificación de largo plazo Θ B.
El rango reducido de Θ B impone que k r 3
Para identificar los k 3 shocks permanentes se requieren restricciones adicionales.
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k k 1
2
3
VI. EJEMPLOS
Con rendimientos constantes la productividad es sólo ydp llevada por shocks tecnológicos et en el largo plazo. Esto se impone haciendo 2, 3 y 4 igual a cero. Como B14 0 ya esta impuesto se requiere una restricción más.
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VI. EJEMPLOS
Supuesto: Los shocks de demanda no tienen efectos en los salarios reales B 420
B
0
B
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0 0 0
0 0 0
VI. EJEMPLOS
Estimaciones: 0 . 58 5.94 0 . 12 ~ 1.72 B 0 . 03 0.44 0 . 11 0.73
0 . 07
0 .15
0.61
0.66
0 .26
0 .16
0 .09
4.15
0.88
2.12
0 .27
0 .01
5.22
0.09
0
0 .48 0.74
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0 . 07 0.92
0 .05 1.53 0 .49 5.99
VI. EJEMPLOS
0.79 5.21 0.20 0.86 B 0.16 1.38 0.15 0.84
0
0
0
0.58
0.49
3.10
0.85
0.34
0.14
3.54
0.60
3.59
0.91
0.25 0.91
0 0 0
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VI. EJEMPLOS
Los shocks laborales de ofertano teienen impacto de largo plazo en el desempleo H 0 : B33 0 LR 2 1
LR 6.07 p 0.014
H0 : Rechazada
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VII. CONCLUSIONES
Problema: La identificación de las innovaciones Restricciones increíbles La teoría “coincide” con la práctica
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