SIS - 2610 Investigación Operativa II Tema # 5 Teoría de Inventarios, Modelos Determinísticos
28/12/2012
M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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Objetivos específicos
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Bibliografía a Emplear Introducción a la Investigación de Operaciones, Hillier, Lieberman, MacGrawHill,
Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, Juan Prawda, Limuza,
Investigación de Operaciones, Mathur Solow, Prentise Hall,
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Investigación de Operaciones, Wayne L. Winston, Editorial Iberoamericana,
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Bibliografía a Emplear
Investigación de Operaciones, TAHA, AlfaOmega, 1998
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Investigación de Operaciones, Toma de Decisiones, Raffo Lecca, Arte Studio Grádica, 1999
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WinQSB, Version 2.0, Yih-Long Chang, Kiran Desai, Wiley, 2002
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Modelos Determinísticos Estos
modelos constituyen una simplificación de la realidad Hay casos donde toda la información es determinística Estos modelos son muy utilizados y con gran éxito en la mayoría de los procesos de TD. 28/12/2012
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Contenido Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento 28/12/2012
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Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua
C1= costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo C2= Costo unitario penal por unidad de tiempo C3= Costo fijo por cada proceso de producción r = Tasa de demanda k= Tasa de producción (k>r) q = Variable de decisión que indica la cantidad de producción (reorden) en cada proceso productivo (compra)
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Modelo A
Modelo de un solo nivel, comprende a un solo producto, el producto es duradero e indivisible, la revisión es constante de igual manera la demanda es constante, el horizonte de planeación es finito = T, y que durante este horizonte de planeación se debe satisfacer una demanda conocida D
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Aplicación Practica Inventarios de uso de lámparas en un edificio Sistema de inventarios en una librería Sistema de abastecimiento de productos en una empresa de producción
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Inventario
S
k-r
r k=0
k>r
t3
t4 Tiempo
t1
t2
k>r
k=0
r
k-r
D 28/12/2012
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Parámetros T = Horizonte de planeación R = Demanda que tiene que ser satisfecha durante todo el periodo C1= Costo de mantenimiento del recurso por unidad de tiempo C2 = Costo de inexistencias costo unitario o penal por unidad de tiempo C3 = Costo fijo
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Variables r = la tasa de la demanda k = la tasa de producción S = Nivel máximo de producción D = Nivel máximo de inexistencias q = Cantidad a producir u ordenar en un periodo
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Variables t1
= Tiempo de producción hasta alcanzar el nivel máximo t2 = Tiempo de satisfacción de la demanda hasta un nivel 0. t3 = Tiempo de insatisfacción de la demanda hasta un nivel máximo de insatisfacción t4 = Tiempo de reorden o producción y satisfacción de la demanda hasta un nivel 0
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Objetivo
Determinar los valores de las variables S, D, t1, t2, t3, t4, y q de tal manera que minimicen el costo total del sistema de inventarios
min_ Costos *
*
* 1
* 2
* 3
* 4
S , D ,t ,t ,t ,t , q
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*
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Construcción del Modelo Numero de Periodos
CTS = n * CtsP / T CstP = CM + CI + Cf CM = C1 * Area _ Δ1 CI = C2 * Area _ Δ 2
[0] [a] [b] [c]
CF = C3 R r= T 28/12/2012
R Unidades en un periodo T
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Inventario
S
t1
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C1 (t1 + t 2 ) S CM = 2
t2
[1]
Tiempo
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C2 (t3 + t 4 ) D CI = 2
Inventario
t3
[2]
t4
Tiempo
D
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El costo total es: Con [1][2][c]
C1 (t1 + t 2 ) S C2 (t3 + t 4 ) D [3] C= + C3 + 2 2 CtsP CTPS = t1 + t 2 + t3 + t 4
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[4]
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Reemplazando [3] en [4]
C1 * (t1 + t 2 ) * S C2 * (t3 + t 4 ) * D + + C3 2 2 min(CTPS ) = t1 + t 2 + t3 + t 4
[5]
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⎧k * t1 − r * t1 = S Δ1 ⎨ ⎩r * t 2 = S t1 * (k − r ) = r * t 2
Inventario
S
k-r
t1 28/12/2012
r
t2
r * t2 t1 = k −r S = r *t 2
[6]
[8]
Tiempo
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⎧r * t 3 = D Δ2 ⎨ ⎩k * t 4 − r * t 4 = D t 4 * ( k − r ) = r * t3
Inventario
t3
t4
r * t3 t4 = k −r D = r *t3
[7]
[9]
Tiempo r k-r
D 28/12/2012
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Reemplazando en [5] las ecs. [6][7][8][9]
rt3 rt3 ⎛ rt 2 rt 2 ⎞ + t 2 ) + C2 ( (t3 + ) + C3 ⎟ ⎜ C1 k −r 2 k −r 2 ⎟ min⎜ rt3 rt 2 [10] ⎜ ⎟ +t 2 +t3 + ⎜ ⎟ k −r k −r ⎝ ⎠ Simplificando
( C2 rt3 k − r) ⎞ ⎛ C1rt 2 (rt2 + kt2 − rt2 ) + (kt3 − rt3 + rt3 ) + C3 ⎜ ⎟ k −r ⎟ 2( k − r ) 2(k − r ) ⎜ min rt 2 + kt2 − rt 2 + kt3 − rt3 + rt3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k − r ⎝ ⎠ 28/12/2012
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A
⎞ ⎛ C1rkt22 C2 rkt32 ⎜ + + C3 (k − r ) ⎟ 2 ⎟ min⎜ 2 ⎟ ⎜ k (t 2 + t3 ) ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ @ CTSP @ t2
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@ CTSP = 0 __ @ t3
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= 0
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@ CTSP @ t2
C 1 rkt 2 k (t 2 + t 3 ) − Ak = = 0 2 2 k (t 2 + t 3 )
@ CTSP @ t3
C 2 rkt 3 k (t 2 + t 3 ) − Ak = = 0 2 2 k (t 2 + t 3 )
C 1 rt 2 k (t 2 + t 3 C 2 rt 3 k (t 2 +
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)= t3 ) =
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A
[11]
A
[12]
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C 1 rt 2 k (t 2 + t 3
)=
C 2 rt 3 k (t 2 + t 3
)
C 1t 2 = C 2 t 3 t
* 3
C1 * t2 = C2
[13]
Reemplazando A en [11]
C 1 rkt 22 C 2 rkt 32 C 1 rt 2 k (t 2 + t 3 ) = + + C 3 (k − r ) 2 2
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Reemplazando [13] en la anterior ecuación
⎛ C1 ⎞ rkt rk C 2 C1rkt2 ⎜⎜ t 2 + t 2 ⎟⎟ = C1 + C2 t 2 + C3 (k − r ) 2 2 C C2 ⎠ ⎝ 2 2
2 1 2 2
Operando
2 C1 rk C 1 2 2 rkt 2 (C 2 + C 1 ) = t 2 (C 2 + C 1 ) + C 3 (k − r ) 2 C2 2 C2 C1 rkt 22 (C 2 + C 1 ) = C 3 (k − r ) 2C 2
r ⎞ ⎛ 2C 2C 3 ⎜1 − ⎟k 2 C 2 C 3 (k − r ) k ⎠ 2 2 ⎝ ⇒ t2 = t2 = C 1 rk (C 2 + C 1 ) C 1 rk (C 2 + C 1 )
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Determinar las variables que minimizan el costo 2c2 c3 (1 − r / k ) t = r (c1 + c2 )c1 * 2
2c1c3 (1 − r / k ) t = r (c1 + c2 )c2 * 3
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r ⎞ ⎛ r 2 C 2C 3 ⎜1 − ⎟ k ⎠ ⎝ 2 r ⎛ ⎞ 1 − ⎜ ⎟ rC 1 (C 1 + C k ⎠ ⎝ 2
t 1*
t
* 1
rt 2* = = k − r
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2
2
)
2 C 2C 3r r ⎞ ⎛ ( ) C 1 C 1 + C 2 ⎜1 − ⎟ k ⎠ ⎝
1 = k
t
k
* 4
1 = k
C
2
2 C 1C 3 r r ⎞ ⎛ (C 1 + C 2 )⎜ 1 − ⎟ k ⎠ ⎝
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El nivel de inventario deseado S* es
2rc2 c3 (1 − r / k ) S * = rt = (c1 + c2 )c1 * 2
El déficit o demanda diferida D* será
2rc1c3 (1 − r / k ) D = rt = (c1 + c2 )c2 *
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* 3
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La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
q = r (t 1 + t 2 + t 3 + t 4 ) q
*
q*
q
*
q
*
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* ⎛ rt 2* rt 3 = r ⎜⎜ + t 2* + t 3* + k − r ⎝ k − r
⎛ rt 2* C1 * r C1 * ⎞ * t2 + t 2 ⎟⎟ = r ⎜⎜ + t2 + C2 k − r C2 ⎝ k − r ⎠
⎛ rC = rt ⎜⎜ ⎝ * 2
=
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
+ kC
2
− rC 2 + C 1 k − C 1 r + C 1 r (k − r )C 2
(c 1 + c 2 ) 2 rc 3 1 c 1 (1 − r / k ) c2 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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⎞ ⎟⎟ ⎠
El costo total mínimo C* es
⎡ 2rc1c2 c3 (1 − r / k ) ⎤ C =⎢ ⎥ (c1 + c2 ) ⎣ ⎦ *
1 2
2rc1c2 c3 (1 − r / k ) C = (c1 + c2 ) *
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Cts=cm(t1,r,t2,t3,t4)
Ejemplo
Se requiere 10 000 toneladas de fertilizante para los próximos 180 días. Se ha calculado el costo de mantenimiento del inventario en 15 Bs. Por tonelada día, y el costo fijo de producción es de 500 000 Bs. Mediante un arreglo con el cliente, se quedé en, pagarle 100 Bs. Por tonelada día en que no se pueda satisfacer su demanda y además la producción no es instantánea, sino se produce a razón de 80 toneladas de fertilizante por día. ¿Cuánto debe producirse y con que frecuencia, para que el costo total sea el mínimo?
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Solución R = 10000 _ tons T = 180 _ días 10000 r= = 55.56 _ tons / día 180 C1 = 15 _ $ _ tons / día C2 = 100 _ $ _ tons / día C3 = 500000 _ $ 28/12/2012
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Solución
q * = 3734 _ tons t1* = 40 . 83 _ días t 2* = 2 . 27 _ días t 3* = 2 . 7 _ días t 4* = 6 . 14 _ días S * = 997 . 89 _ tons D * = 149 . 88 _ tons T = 67 . 6 _ días C = 14988 . 52 _ $ *
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Derivaciones del modelo anterior Si la tasa de producción k es mucho mayor que la tasa de consumo r, se tiene el caso de Producción Instantánea. En esta situación, se deja que k tienda al infinito, por lo que la relación r/k tiende a 0, o lo que es lo mismo, los tiempos de producción t1 y t4 tienden a cero.
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Derivaciones del modelo anterior Conocido también como el modelo de Witing es un modelo mas simplificado y se obtiene en base el modelo ya demostrado Su deducción es la siguiente:
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Inventario
S
t3 Tiempo
t2 D 28/12/2012
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2c2 c3 2c1c3 * t = ___ t3 = r (c1 + c2 )c1 r (c1 + c2 )c2 * 2
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
2rc3 (c1 + c2 ) q = c1 c2 *
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El nivel de inventario deseado S* es
S* =
2 rc 2 c 3 ( c1 + c 2 ) c1
El déficit o demanda diferida D* será
D = *
2 rc 1 c 3 ( c1 + c 2 ) c 2
El costo total mínimo C* es
C 28/12/2012
*
⎡ 2 rc 1 c 2 c 3 ⎤ = ⎢ ⎥ ( c + c ) 2 ⎦ ⎣ 1
1 2
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Ejemplo
Suponga en el ejercicio anterior que la producción es instantánea es decir k>>r, en este caso la producción optima será
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Solución
q = 2063.88 _ tons *
t = 32.30 _ días * 2
t = 4.8 _ días * 3
S = 1794.68 _ tons *
D = 269.2 _ tons *
C = 26920.27 _ $ *
T = 37.1 _ días 28/12/2012
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Derivaciones del modelo anterior Otra particularidad, es el no permitir que el inventario sea negativo, es decir, no permitir demanda diferida. En este caso, el costo penal c2 tiende al infinito y el tiempo t3 a cero, la relación c2/(c1+c2) tiende a la unidad.
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Inventario
S
t2
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Tiempo
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Cantidad Económica de Pedido OEQ
2c3 t = rc1 * 2
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
q = *
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2 rc 3 c1
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El nivel de inventario deseado S* es
2rc3 S = c1 *
El déficit o demanda diferida D* será
D =0 *
El costo total mínimo C* es
C = [2rc1c3 ] *
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1 2 46
Ejemplo
En el ejemplo anterior asumir que no se permite diferir la demanda al futuro, en este caso la producción optima será
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Solución
q = 1924.5 _ tons *
t = 34.64 _ días * 2
S = 1924.5 _ tons *
C = 28868.67 _ $ T = 34.64 _ días *
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Derivaciones del modelo anterior No se permite demanda diferida, la producción no es instantánea. Para este modelo C2 tiende a infinito, considerando esto t3 y t4 son 0.
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Inventario
S
k-r
t1
28/12/2012
r
t2
Tiempo
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50
⎛ r⎞ 2C3 ⎜1 − ⎟ k⎠ * ⎝ t2 = rC 1 1 t = k * 1
28/12/2012
2rC3 ⎛ r⎞ C1 ⎜1 − ⎟ ⎝ k⎠
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51
La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:
2rC3 q = ⎛ r⎞ C1 ⎜1 − ⎟ ⎝ k⎠ *
El nivel de inventario deseado S* es
⎛ r⎞ 2rC3 ⎜1 − ⎟ k⎠ * ⎝ S = C1 El costo total mínimo C* es
⎛ r⎞ C = 2rC1C3 ⎜1 − ⎟ ⎝ k⎠ *
28/12/2012
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Problema
Inventario
S
S
r
k-r
t1 28/12/2012
t2 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
t3
Tiempo
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Problema
Inventario
S
S
r
t1 28/12/2012
k-r
t2 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
t3
Tiempo
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Problema
Se requiere capacitar a los docentes de la Universidad Técnica de Oruro, FNI=152 Eco=92 Arq=43 Agr=31 Der=108 Tec=89 Med=26, en Pedagogía en los próximos 3 meses. El costo fijo del curso de actualización Pedagógica es de 61730 $us (Dólares Americanos) que es ofertado por la CUJAE Entidad Cubana, Curso de Diplomado en Pedagogía. Y el costo de mantenimiento de cada alumno durante el curso es de 250 Bs. Diarios. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo? 28/12/2012
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Para el problema anterior
Suponga que existe demanda diferida y la penalización con la entidad acreditadora es de 70 $us (Dólares Americanos), por docente que no está actualizado en Pedagogía, o no tiene un Diplomado en Pedagogía. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?
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Para el problema anterior
Ahora suponga que la capacitación no es instantánea, puesto que la entidad Cubana encargada de la capacitación delimita que tan solo puede capacitar tres paralelos de 30 postulantes como máximo y que los cursos de diplomado son mensuales. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo? 28/12/2012
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Contenido Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento 28/12/2012
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Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Precio del producto varié con la cantidad La variación del precio no es una función del lineal sino discontinua. Asume que
Producción
instantánea
No se permite demanda diferida 28/12/2012
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Modelo B
Sistema de inventario de un solo producto, duradero e indivisible, la demanda es continua con una tasa de demanda constante, precio del producto es discontinuo, variando de acuerdo a las cantidades Considerar que el tiempo de entrega es instantáneo no permite diferir la demanda, como el precio del producto es discontinuo significa que se hacen descuentos según la cantidad de productos, los costos fijos son costos lineales
28/12/2012
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60
Objetivo
Construir el modelo matemático y determinar la cantidad de productos a producir u ordenar de tal manera que se minimice el costo total unitario del sistema de inventarios
28/12/2012
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61
Parámetros r = Tasa de demanda. k = tasa de producción infinito ∞ c1 = costo de mantenimiento. c2 = costo penal infinito ∞. c3 = costo fijo.
28/12/2012
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Las Variables son t2=
tiempo en que se satisface la demanda t1 = t3 = t4 = 0 q = variable de decisión, que determina cuanto producir u ordenar p1 = precio unitario en el rango de 0 a k1 piezas. p2 = precio unitario en el rango de k1 para arriba. 28/12/2012
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Construcción del modelo Inventario
S
S
q
q
t2 28/12/2012
t2 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
Tiempo 64
Inventario
k1
28/12/2012
k2
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k3
Tiempo 65
Costo de Producción + costo fijo + costo de mantenimiento
CTS = CM + CF + CP t 2 qC1 CM = 2 CF = C3 ⎧0 _____ q = 0 ⎪ CP = ⎨qp1 ____ 0 < q ≤ k1 ⎪qp ____ q ≥ k 1 ⎩ 2 28/12/2012
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66
⎧ C1qt 2 ⎪ 2 + C3 + 0 ______ q = 0 ⎪ ⎪ C1qt 2 + C3 + P1q ____ 0 < q ≤ k1 CTS = ⎨ ⎪ 2 ⎪ C1qt 2 + + ≥ ____ C P q q k 3 2 1 ⎪ 2 ⎩
28/12/2012
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67
Dividiendo entre t2
⎧ C1q C3 ⎪ 2 + t + 0 ______ q = 0 2 ⎪ ⎪ C1q C3 P1q CTS = ⎨ ____ 0 < q ≤ k1 + + t2 t2 ⎪ 2 ⎪ C1q C3 P2 q ____ q ≥ k1 + + ⎪ t2 t2 ⎩ 2
28/12/2012
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68
Si Sabemos que:
q q = rt 2 _____ t 2 = r
Reemplazando
⎧ C1q C3 ⎪ 2 + t + 0 ______ q = 0 2 ⎪ ⎪ C1q C3 P1q CTS = ⎨ ____ 0 < q ≤ k1 + + t2 t2 ⎪ 2 ⎪ C1q C3 P2 q ____ q ≥ k1 + + ⎪ t2 t2 ⎩ 2 28/12/2012
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Tenemos
⎧ ⎪ C1q + C3 + 0 ______ q = 0 ⎪ 2 q ⎪ r ⎪⎪ C q C P1q 3 1 CTS = ⎨ + + ____ 0 < q ≤ k1 q q 2 ⎪ r r ⎪ ⎪ C1q + C3 + P2 q ____ q ≥ k 1 ⎪ 2 q q ⎪⎩ r r
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⎧ q ⎪C1 2 + C3 ⎪ ⎪ q min(q ) = CTS = ⎨C1 + C3 ⎪ 2 ⎪ q ⎪C1 + C3 ⎩ 2
r + 0 ______ q = 0 q r + P1r ____ 0 < q ≤ k1 q r + P2 r ____ q ≥ k1 q
C 3r dCTS C1 = − = 0 2 2 dq q C 3r C1 = 2 q2 2C 3r 2 q = C1 28/12/2012
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Resolviendo
2c3 r q* = c1
Que es el mínimo exceptuando el punto de discontinuidad
Defínase a q1 como aquella cantidad que satisface a:
c3 r 1 c3 r 1 p1 r + + c1 q * = p 2 r + + c1 q 1 2 q1 q* 2 28/12/2012
Se tiene 3 posibilidades!!!! M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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Caso 1 C(q)
P1
Si q*>k1, el punto óptimo de producción o compra es q* y el costo mínimo seria
2c3 r q* = c1
P 2
Durante
q K1 28/12/2012
q*
q1 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
2C3 t = C1r * 2
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*
C1q C3r CTS = + * + p2r q 2
Q1 se determina de la siguiente relación *
C1q C3r q1 C3r p1r + + * = p2r + C1 + 2 q 2 q1 28/12/2012
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C1 2 aq1 = q1 + C3 r 2 C1 2 q1 − aq1 + C3 r = 0 2
Determinar el valor de q1
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Caso 2 p1
C(q)
p2
Si k1>=q* y a la vez k1<=q1, o sea que q*
k1 t = r * 2
q q* 28/12/2012
K1 q1 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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C1k1 C3 r CTS = + + p2 r k1 2
Determinar el valor de k1
28/12/2012
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Caso 3 C(q)
p1 p2
Si k1>=q1la cantidad optima es q*, pues q*
q r CTS = C1 + C3 * + p1r q 2 q q* 28/12/2012
q1
K1
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Ejemplo
Considere el caso de un vendedor de refrigeradores marca LG que tiene una demanda uniforme mensual de 5 refrigeradores, un consto fijo de 10000Bs, generado por su viaje a Iquique para traerlas de contrabando un costo de almacenamiento de 1000 Bs. Mensuales generados por el alquiler de la bodega donde guarda la mercadería y un costo unitario en la compra de los refrigeradores en el extranjero dada por la siguiente tabla.
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Precio unitario Pj
Cantidad kj
2000 Bs
Si 0 < q < 15
1000 Bs
Si 15 <= q M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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Solución C3 = 10000 _ Bs C1 = 1000 _ Bs / mes R = 5 _ refrigeradores T = Mes r = 5 _ ref / mes
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Solución
q = 10 _ ref *
El valor de q* será
Para q1 se tiene dos soluciones
q11 = 26.18 q12 = 3.82
Con los valores anteriores se calcula el valor de K1
Y el costo mínimo será
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k1 = 15
C (k ) = 15833.33 _ Bs M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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Extensión del modelo Precio
Intervalo
P1
Si 0 < q < k1
P2
Si k1 <= q < k2
P3
Si k2 <= q < k3
…..
…..
Pm
Si km <= q
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Como se resolverá el problema si existen más de una discontinuidad, es decir, varios descuentos.
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C(q)
Gráficamente p1 p2 p3 p4 p…. pm
q K1 28/12/2012
K2
K3
K…
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Km 83
Relaciones
El punto q* se calcula de
q* =
2 c3r c1
El costo total de calcula de
c3 r 1 C j = p jr + + c1q ____ j = 1, 2,3 q 2 28/12/2012
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Ejemplo
La fabrica de cerveza Huari tiene calculado el costo unitario de sus botellas de cerveza de acuerdo a la siguiente tabla. Suponiendo una producción instantánea, y no se permite demanda diferida, el costo fijo de producción es de 12000 Bs, el costo de mantenimiento es de 0.15 Bs. Por botella mensualmente, y existe una demanda uniforme mensual de 8000 botellas. Cual debe ser la producción mensual que minimice los costos?
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Costo Unitario
Cantidad
P1 = 5 Bs
0 < q < 10000 = K1
P2 = 4.7 Bs
10000 <= q < 80000 = K2
P3 = 4.5
80000 <= q M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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Solución Datos Iniciales
C3 = 12000 _ Bs C1 = 0.15 _ Bs r = 8000 _ Botellas / mes
El valor de q* es
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q = 35777.08 _ botellas *
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Solución k1 = 10000 < 35777.08 < k 2 = 80000 C2 = 42966.56 _ Bs C3 = 43200 _ Bs Como C2 (35777.08) = 42966.56 Bs < C3 (80000) = 43200 Bs. El volumen Optimo de producción es de 35777.08 Botellas, a un costo minimo total Mensual de 42966.56 Bs.
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Problema
Se requieren 30000 toneladas de fertilizante, que se consumirá en el transcurso de un año. El costo fijo de producción es de 80 Bs. El costo del capital invertido, seguros e impuestos sobre el inventario promedio es del orden del 20% del valor de este. El costo de almacenamiento es de 10 centavos por mes y está basado en el inventario promedio anual. El costo de venta tiene una tasa fija de 20 Bs. por orden, más un costo unitario determinado por la siguiente tabla. No se permite demanda diferida a periodos futuros. ¿Cuál debe ser el volumen de producción de fertilizante que minimiza el costo total?
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Orden
Precio unitario por tonelada
0 < q < 10000 = k1
P1 = 1 Bs
10000 <= q < 30000 = k2
P2 = 0.98 Bs.
30000 <= q < 50000 = k3
P3 = 0.96 Bs.
50000 <= q
P4 = 0.94 Bs. M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
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Contenido Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento 28/12/2012
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Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento Se considera n (n>1) productos Demanda Constante Espacio Limitado de almacenamiento V
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Modelo C
El sistema se caracteriza por que contempla varios productos, cada producto tiene un volumen físico determinado de almacenamiento, en nuestro sistema el deposito de almacenamiento se encuentra limitado, para cada producto se asume una demanda conocida con tasa de demanda constante, producción instantánea, sin demanda diferida, para cada producto revisión periódica y además que no se presenta el descuento en precios, los productos son duraderos e indivisibles, con costo fijo.
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Objetivo
Construir el modelo matemático para el sistema y determinar las variables del sistema que minimicen el coso unitario total del sistema tomando en cuenta la limitación en el volumen de almacenamiento del depósito.
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Parámetros N productos Costo Fijo c3i Costo de almacenamiento c1i Costo penal c2i Volumen unitario del producto i: vi Volumen total del depósito V Demanda constante ri i = 1... n productos
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Variables Se supone producción o reorden instantáneo No existen descuentos en los precios No existe demanda diferida t1i = t3i = t4i = 0 t2i = diferente para cada producto k = tiende a infinito C2 = tiende a infinito qi=variable de decisión
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Construcción del modelo Inventario
S
S
q
q
t2 28/12/2012
t2 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
Tiempo 95
Función de Costo
Se obtiene a partir del costo total para un solo producto n
n
i =1
i =1
CTS = ∑ CTS i = ∑ (CM i + CFi )
Los costos de mantenimiento y fijo serán los siguientes
qi CM i = C1i t 2i 2 CFi = C3i
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Función de Costo
La función a analizar será
⎛ C1i qi t 2i ⎞ + C3 i ⎟ CTS = ∑ ⎜ 2 ⎠ i =1 ⎝ n
Y las relaciones de qi y t2i son:
qi = ri t 2i qi t 2i = ri 28/12/2012
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Dividiendo por t2i
⎛ C1i qi t 2i C3i ⎞ ⎟⎟ CTS = ∑ ⎜⎜ + t 2i ⎠ i =1 ⎝ 2t 2 i n
Reemplazando la relación t2i
⎛ C1i qi C3i ri ⎞ ⎟⎟ CTS = ∑ ⎜⎜ + 2 qi ⎠ i =1 ⎝ n
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El problema es
⎡1 c3i ri ⎤ Min _ CTS = ∑ ⎢ c1i qi + ⎥ qi ⎦ i =1 ⎣ 2 sujeto _ a n
n
∑v q i =1
i i
<= V
qi >= 0 ____ i = 1,..., n 28/12/2012
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Solución Programación No lineal
Método de Lagrange
⎡1 ⎡ n ⎤ c3i ri ⎤ − λ ⎢∑ vi qi − V ⎥ L(q1 , q2 ,..., qn , λ ) = ∑ ⎢ c1i qi + ⎥ qi ⎦ i =1 ⎣ 2 ⎣ i =1 ⎦ n
Los valores qi y λ que minimizan la ec. Se hallan de
∂L = 0 ____ i = 1,..., n ∂qi
∂L =0 ∂λ 28/12/2012
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Solución Programación No lineal c3i ri ∂L 1 = c1i − 2 − λvi = 0 ____ i = 1,..., n qi ∂qi 2 ∂L = −∑ vi qi + V = 0 ∂λ i =1 n
2ri c3i qi * = _____ i = 1,..., n c1i − 2λ * vi 28/12/2012
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Ejemplo
Una Bodega de 25000 mts3 de espacio real de almacenamiento de productos agrícolas (maíz, trigo y cebada). El espacio ya toma en cuenta lo que se requiere para maniobras de estiba. Las características de estos productos son. Cual es la política óptima del inventario que minimiza los costos totales? Producto
Demanda constante mensual ri
Espacio ocupado por ton. De grano vi
Costo fijo de almacenamie nto c3i
Costo de almacenamie nto por ton c1i
i=1 maíz
2 ton
1000 mts3
10000 Bs.
300 Bs.
i=2 Cebada
4 ton
1000 mts3
5000 Bs.
100 Bs.
i=3 Trigo
3 ton
1000 mts3
15000 Bs.
200 Bs.
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Solución
Se utiliza un valor arbitrario de λ, que variará en incrementos de -0.05 empezando con el valor λ =0 y la ecuación para q*i, Una ves conocidos estos valores se substituyen los valores calculados en las restricciones de volumen del modelo hasta lograr un valor cercano al cero
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Iter 1 2 3 4 5 6 7 28/12/2012
Valor λ<0 0.0 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 -0.25 -0.30
Maíz q*i 11.2 10.0 9.0 8.2 7.6 7.1 6.7
Frijol q*2 20.0 14.1 11.5 10.0 8.9 8.2 7.6
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Trigo q*3 21.2 17.3 14.9 13.4 12.2 11.3 10.6
Vol.Tot vi*qi 27400 16400 10400 6600 3700 1600 -100 104
Solución Se observa que el valor óptimo de λ se encuentra en el intervalo -0.3 < λ < -0.25, por lo tanto el valor de λ = -0.3 y para el inventario optimo mensual será: q*1 = 6.7 tons q*2 = 7.6 tons q*3 = 10.6 tons Ocupando un espacio total de 24900 mts3
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Problema
Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante No se permite demanda diferida La producción es instantánea
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Problema
Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante Se permite demanda diferida hasta un nivel máximo D La producción es instantánea
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Problema
Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante Se permite demanda diferida hasta un nivel máximo D Se contempla un tiempo producción
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Contenido Inventario de un solo producto, demanda dinámica, revisión periódica.
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Inventario de un producto, demanda dinámica y revisión periódica Se considera un solo producto La demanda es determinística No hay demanda diferida La revisión es periódica
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Descripción
En este modelo, se considera un solo producto, cuya demanda es determinística en el periodo t de un horizonte de finito de planeación de N periodos (no necesariamente de igual duración) es rt, t = 1, …, N. Por lo general, la demanda determinística de cada periodo será diferente. Se supone que una orden de producción o compra de inventario se satisface instantáneamente y que no permite diferir la demanda a periodos futuros. La revisión del inventario, para efectuar la decisión de compra o producción, será periódica, es decir, expresada en función de un número fijo de periodos de tiempo y no en forma continua. 112 28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez
Objetivo
Construir el modelo matemático para el sistema y determinar las variables del sistema que minimicen el coso unitario total del sistema tomando en cuenta las restricciones planteadas para dicho modelo.
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Parámetros Xt : La variable de decisión que indica la cantidad que se ordeno o se produce instantáneamente en el periodo t, t=1,2,…,N rt : La demanda determinística del periodo t, t=1,2,…,N. Zt : El inventario que se tiene al inicio del periodo t, t=1,2,…,N. antes de tomar una decisión.
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Variables ht : el costo unitario de mantenimiento del inventario que se acarrea del periodo t al t+1, t=1,2,…,N. kt : el costo fijo de producción o reorden durante el periodo t, t=1,2,…,N. ct (Xt) : el costo marginal de reorden o producción, durante el periodo t, t=1,2,…,N. Es una función de la variable de decisión Xt.
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