MODELO MATEMATICO DEL PROGRAMA LINEAL
Un mode modelo lo mate matemá máti tico co es producto de la abst abstra racc cció ión n de un sistema real, eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una técnica matemática matemática y y se obtiene una representación simbólica del mismo. La programación lineal es lineal es la interrelación de los componentes de un sistema, en térm términ inos os matemáticos matemáticos,, ya sea en forma de ecuaciones o inecuacio inecuaciones nes Modelo de Programación Programación Lineal. Lineal. Es una técnica utilizada para lineales llamado Modelo desa desarro rroll llar ar modelos mate matemát mátic icos os,, dise diseña ñada da para para opti optimiz mizar ar el uso uso de los los recursos limitados en una empresa u empresa u oranización oranización.. El Mode Modelo lo de Programación Lineal, Lineal, es una representación simbólica de la realidad !ue se estudia, o del problema !ue se "a a solucionar. #e forma con e$pr e$pres esio ione nes s de lói lóica cas s matemáticas matemáticas,, conten contenien iendo do términ términos os !ue sinif sinifica ican n contribuciones% a la utilidad utilidad &con &con má$imo' o al costo &con m(nimo' en la )unción *bjeti"o del modelo. + al consumo consumo de de recursos disponibles &con desiualdades ó e iualdades ' en las restricciones. En el presente te$to desarrollaremos -odelos -atemáticos de roramación Lineal de% -a$imización y -inimización, los cuales estarán indicados en la )unción *bjeti"o del -odelo.
OBJETIVO DE LA PROGRAMACION LINEAL
El obje objeti ti" "o prim primor ordi dial al de la Programa Programación ción Lineal Lineal es optimi optimizar zar,, es decir decir,, ma$i ma$imi miza zarr o mini minimi miza zarr func funcio ione nes s line lineal ales es en "aria "arias s "aria "ariabl bles es real reales es con con restriccion restricciones es lineales lineales &sistemas &sistemas de inecuacio inecuaciones nes lineales', lineales', optimizand optimizando o una función objeti"o también lineal.
¿COMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL? El primer paso para la resolución de un problema de programación programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son: •
Función Objetivo
•
Variables
•
Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:
LA FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo tiene una estreca relación con la pregunta general !ue se desea respon responde der" r" #í en un mo model delo o resul resultas tasen en disti distinta ntass pregun preguntas tas,, la funci función ón objet objetivo ivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental" $sí por ejemplo, si en una un a situación se desean minimi%ar mi nimi%ar los costos, es mu& mu & probable !ue la
pregunta de ma&or nivel sea se a la !ue se relacione con aumentar au mentar la utilidad en lugar de un interrogante !ue bus!ue allar la manera de disminuir los costos"
LAS VARIABLES DE DECISIÓN #imi #imilar lar a la relaci relación ón !ue e'ist e'istee entre entre objet objetivo ivoss especí específi ficos cos & objet objetiv ivo o gener general al se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto !ue estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental" Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema !ue se está modelando, & como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, !ue contribu&a con la consecución del objetivo de la función general del problema"
LAS RESTRICCIONES (uando ablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo a!uello !ue limita la libertad de los valores !ue pueden tomar las variables de decisión" La mejor manera de allarlas consiste en pensar en un caso ipot) ipot)ti tico co en el !ue decid decidi)r i)ram amos os darle darle un valor valor infin infinito ito a nuest nuestras ras varia variabl bles es de decisión, por ejemplo, *!u) pasaría sí en un problema !ue precisa ma'imi%ar sus utilidades en un sistema de producción de cal%ado decidi)ramos producir una cantidad infinita de %apatos+ #eguramente aora nos surgirían surgirían mltiples interrogantes, como por ejemplo: •
(on cuánta materia prima cuento para producirlos+
•
(on cuánta mano de obra cuento para fabricarlos+
•
-ueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto+
•
-odría mi fuer%a de mercadeo vender todos los %apatos+
•
-uedo financiar tal empresa+
-ues bueno, entonces abríamos descubierto !ue nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de conte'to, de tal manera !ue los valores !ue en un mom omen ento to dado dado podr podría ían n tom tomar nues nuestr tras as vari variab able less de deci decisi sión ón se encu encuen entr tran an condicionados por una serie de restricciones"
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL EL PROBLEMA La fábrica de .ilados & /ejidos 0#$L$1$R0 re!uiere fabricar dos tejidos de calidad diferente / & /23 se dispone de 455 6g de ilo a, 755 6g de ilo b & 859 6g de ilo c" -ara obtener un metro de / diariamente diariamente se necesitan 84 gr de a, 845 gr de b & ; gr de c3 para producir un metro de /2 por día se necesitan necesitan 55 gr de a, 855 gr de b & ; gr de c"
El / se vende a <=555 el metro & el /2 se vende a <4555 el metro" #i se debe obtener el má'imo beneficio, *cuántos metros de / & /2 se deben fabricar+
El problema se recomienda leer en más de una ocasión para facilitar el reconocimiento de las variables, además es muy recomendable la elaboración de tablas o matrices que faciliten una mayor comprensión del mismo.
PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA" Para realizar este paso partimos partimos de la pregunta pregunta central del problema. problema.
¿cuánt! #t$! %# T & T' !# %#(#n )*($+c*$?
> la formulación es:
?@eterminar la cantidad de metros diarios de tejido tipo / & /2 a fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio respecto a la utilidadA"
PASO ,: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIÓN Basándonos en en la formulación formulación del problema nuestras nuestras variables variables de decisión son:
B/: (antidad de metros diarios de tejido tipo / a fabricar B/2: (antidad de metros diarios de tejido tipo /2 a fabricar
PASO -: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas están dadas por capacidad, capacidad, disponibilidad, proporción, proporción, no negatividad negatividad entre otras.
@e disponibilidad de materia prima:
5,8B/ C 5,B/2 D 455
.ilo ?aA
5,84B/ C 5,8B/2 D 755
.ilo ?bA
5,5;B/ C 5,5;B/2 D 859
.ilo ?cA
@e no negatividad
B/,B/2 5
PASO .: DETERMINAR LA FUNCIÓN OBJETIVO En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del problema para de esta forma determinar si es de aximización o inimización. En este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es aximizar. aximizar.
Función Objetivo
1G$B =555B/ C 4555B/2
PASO PASO /: RESOLVER RESOLVER EL MODELO UTILI0ANDO SOFTARE SOFTARE O M2TODOS MANUALES $ menudo los problemas de programación lineal están constituidos por innumerables variables, lo cual dificulta su resolución manual, es por esto !ue se recurre a softHare espec especial iali% i%ado ado,, como como es el caso caso de IinJ#K IinJ#K,, /OR$ /OR$,, Lingo Lingo o para modelos menos complejos se ace til la erramienta #olver de E'cel" E'cel"
El anterior ejercicio fue resuelto mediante #olver E'cel, & su resultado fue:
ara resol"er un problema de proramación lineal es recomendable seuir ciertos pasos !ue son% /. Entender el problema a fondo. 0. 1escribir el objeti"o. 2. 1escribir cada restricción. 3. 1efinir las "ariables de decisión. 4. Escribir el objeti"o en función de las "ariables de decisión. 5. Escribir las restricciones en función de las "ariables de decisión. 6. 7rear las restricciones de no neati"idad.
Paginas http://www.monografas.com/trabajos96/ormulacion-modelosprogramacion-lineal/orm programacion-lineal/ormulacion-modelos-pr ulacion-modelos-programacion-lineal.sh ogramacion-lineal.shtml tml
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herram http://www.ingenieriaindustrialonline.com /herramientas-para-elientas-para-elingeniero-industrial/investigaci%C%!n-de-operacione ingeniero-industrial/in vestigaci%C%!n-de-operaciones/program s/programaci aci %C%!n-lineal/
