Seminario ASP-Modelo Matematico

Universidad del Zulia Facultad De Ingeniería Instituto de Cálculo Aplicado

SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE PROCESOS DE ASP MODELOS MATEMATICOS DEL SIMULADOR UTCHEM Ing. Luis Eduardo Zerpa

Ing. María Gabriela Perdomo Maracai Mar acaibo, bo, Julio de 2002 2002

OBJETIVOS GENERALES Presentar la formulación matemática general manejada en el simulador UTCHEM y describir brevemente los modelos de reacción química.

SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

CONTENIDO Introducción: Se hace una breve descripción del simulador y sus potencialidades. ESQUEMA DE SOLUCIÓN: se describe el algoritmo general de solución de las ecuaciones fundamentales en el simulador. FORMULACION MATEMÁTICA: se presentan las ecuaciones de conservación de masa, conservación de energía y la ecuación de presión y las condiciones de borde establecidas por el simulador. MODELO DE REACCION REACCIONES ES QUÍMICAS QUÍMICAS DE DE UTCHEM: UTCHEM: se describe la química química álcali-petróleo álc ali-petróleo y las diferentes diferentes reacciones reacciones que se producen en el medio poroso modeladas en el pre-procesador EQBATCH utilizado para calcular variables geoquímicas necesarias para el UTCHEM.


INTRODUCCIÓN UTCHEM es un simulador tridimension tridimensional al (3-D), multicomponente y multifásico desarrollado por la Universidad de Texas en Austin, que utiliza un modelo composicional para describir los procesos de flujo químico, tomand tomando o en cuenta el comportamiento comportam iento de fases, las transformaciones transformaciones químicas y físicas y las propiedades propiedades heterogéneas del medio poroso. El esquema de solución de ecuaciones utilizado por el programa es análogo al IMPES, ya que las presiones se solucionan de forma implícita, pero pero en este caso se solucionan las concentraciones de manera explicita en lugar de las saturacio saturaciones, nes, mediante una rutina de cálculo de fases. La ecuación de balance de energía se resuelve a la temperatura del yacimiento de manera implícita, e incluye flujo de calor entre el yacimiento y el borde superior e inferior de la roca.


INTRODUCCIÓN Las aplicaciones del UTCHEM en la simulación de yacimiento son las siguientes: Inyección de agua Pruebas con marcadores para un solo pozo, particionamiento entre pozos y humectabilidad Inyección de Polímeros Control de perfiles utilizando gel Inyección de surfactantes Inyección de álcali de alto Ph Recuperación mejorada de petróleo microbial Recuperación mejorada de petróleo mediante la inyección de ASP


INTRODUCCIÓN Principales fenómenos descritos por el simulador Dispersión Difusión Efectos de dilución Adsorción de petróleo, surfactante y polímeros Tensión interfacial Permeabilidad relativa Presión capilar Histéresis en permeabilidad relativa y presión capilar Entrampamiento capilar Intercambio catiónico Densidad de las fases


INTRODUCCIÓN Viscosidad composicional de las fases Comportamiento de las fases (pseudo cuaternario) Reacciones acuosas Partición de especies químicas entre el petróleo y el agua Disolución / precipitación Reacciones de intercambio catiónico que envuelven mas de dos cationes Generación en sitio de surfactantes proveniente de la reacción entre ácidos de petróleo y álcali Ph dependiente de la adsorción de surfactante Capacidad de biodegradación orgánica Especies orgánicas múltiples


INTRODUCCIÓN Disolución orgánica en equilibrio y no-equilibrio en la fase acuosa Opción de doble porosidad para flujo simple de trazas Propiedades de los polímeros: viscosidad no Newtoniana, volumen poroso inaccesible, reducción de la permeabilidad, adsorción Propiedades de las trazas: particionamiento, adsorción, caída de la radioactividad, reacción (ester hidrolización), dead-end pore (capacitance) Propiedades dependientes de la temperatura: viscosidad, reacción de las trazas, reacciones del gel, comportamiento de la fase de surfactante Reducción de la movilidad del gas debido a la espuma Presión capilar y petróleo / agua

permeabilidad

relativa para humectabilidad mixta capilar


ESQUEMA DE SOLUCIÓN El problema de flujo reactivo con equilibrio local es equivalente a una serie de cálculos de equilibrio de reacciones químicas. Conociendo las condiciones iniciales resuelve la ecuación de presión implícitamente por diferencias finitas determinando la presión de los bloques en el próximo nivel de tiempo Esto permite el cálculo del flujo de las fases, que entra y sale de cada bloque durante el paso de tiempo, usando la ecuación de Darcy para flujo multifásico en medio poroso.

Luego, la ecuación de conservación de la masa se resuelve de forma explicita mediante diferencia finita para determinar la concentración total de los componentes en un bloque en un nuevo nivel de tiempo. Con esta información, se calcula un nuevo estado de equilibrio para cada bloque usando el modelo de reacciones químicas.


ESQUEMA DE SOLUCIÓN a que ! Debido equilibrio dada

no se conoce que sólidos están presentes en una condición de se empieza asumiendo que los sólidos presentes el nuevo nivel de tiempo son los mismos presentes en la condición inicial o en un nivel de tiempo anterior. Se utilizan unas restricciones de solubilidad para disolver o precipitar sólidos según sea necesario. Finalmente, a partir del equilibrio y las concentraciones totales, se determina las concentraciones de los componentes en cada fase, la saturación de las fases, y otras propiedades físicas y de transporte requeridas para resolver la ecuación de presión para el próximo nivel de tiempo.


FORMULACION MATEMÁTICA En el modelo, las ecuaciones de flujo y transporte de masa son resueltas para cualquier número de componentes químicos especificados por el usuario (agua, surfactantes, alcoholes, polímeros, cloruro, calcio, otros electrolitos, etc.). Estos componentes pueden estar presentes en un máximo de cuatros fases (gas, agua, petróleo y microemulsión) y en cualquier número de sólidos minerales, dependiendo de la composición total. La formación de microemulsión se produce sólo cuando la concentración de surfactante está por encima de la concentración micelar crítica, y ésta se establece como una mezcla termodinámicamente estable de agua, surfactante y petróleo. ACEITE

CMC SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

AGUA

FORMULACION MATEMÁTICA La formulación general y las ecuaciones de balance del modelo son resueltas de la siguiente manera:

1.

Realiza balance de masa para cada especie.

2.

Resuelve la ecuación de presión de la fase acuosa haciendo un balance de masa general sobre el volumen ocupado por los componentes (agua, petróleo, surfactante, y co-surfactante). Las presiones de las otras fases son calculadas al incluir el efecto de la presión capilar entre las fases.

3.

Resuelve la ecuación de balance de energía.


FORMULACION MATEMÁTICA Se modelan un máximo de 4 fases, de las cuales una corresponde a gas simple identificada ( = 4) y las otras tres son fases líquidas, a saber: acuosa ( = 1), oleica ( = 2), y microemulsión (= 3), las cuales dependen de las cantidades relativas y la concentración efectiva de electrolitos (salinidad) del medio de la fase.

Las ecuaciones de flujo permiten compresibilidad en los fluidos y la roca, dispersión y difusión molecular, reacciones químicas, y comportamiento de la fase, y son complementadas mediante relaciones constitutivas.


Ecuación de conservación de masa Se establecen las siguientes restricciones para resolver el sistema de ecuaciones de flujo: Equilibrio termodinámico local, excepto para los marcadores y para la disolución de componentes orgánicos Inmovilidad de las fases sólidas Dispersión de Fick (dispersión molecular por gradientes de concentración) Mezcla idealizada Ley de Darcy Como condición de contorno, se establece que no hay flujo de fluidos ni flujo dispersivo a través de los bordes impermeables.


Ecuación de conservación de masa La conservación de masa para el componente k aplicando la ley de Darcy, es expresada en términos del volumen total del componente k por unidad de volumen ~ ): (C κ n r  r  p r ~ ∂ ~ (φC κ ρ κ ) + ∇ ⋅  ∑ ρ κ   C κ l u l − D κ l     = R κ ∂t  l =1   

donde el volumen total del componente k por unidad de volumen es la suma del volumen ocupado en todas las fases, incluso de las fases adsorbidas.

 n p Cˆ κ  ∑ SlC κ l + Cˆ κ  κ ∑  l = = 1   1

 ~ C κ = 1 −

n cv

Para k = 1,..., nc

Donde ncv representa el número de volúmenes ocupados por los componentes (agua, petróleo, surfactante y aire); np el número total de fases; Cˆ es la concentración absorbida de la especie k ; ρ κ es la densidad del componente puro k a la presión de referencia de la fase (P R), con respecto a su densidad a la presión de referencia (PRO), normalmente tomada a condiciones de superficie (1 atm). SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Ecuación de conservación de masa Se asume un mezclado ideal y una compresibilidad pequeña y constante ( C οκ ) y se expresa como: ρ κ = 1 + C οκ (PR − PRO ) El flujo de dispersión tiene la forma de la ecuación de Fick: r r r ~r D κ l, x = φSlK κ l ⋅ ∇C κ l r r

En esta expresión, el tensor de dispersión ( K κ l) incluye el efecto de la dispersión molecular ( D κ l ) y es calculado mediante (Bear, 1979) como sigue: r r

K κ lij =

D κ l

τ

δ ij +

(α + α ) u u α Tl δij + Ll Tl lri l j φSl φS l ul

Donde α Ll es la dispersión longitudinal de la fase ( l ); α Tl es la dispersión transversal de la fase (l ); τ es el factor de torsión establecido como (>1); u li , u l j son las componentes del flujo de Darcy en la fase (l ) y δij es la función delta de Kronecker. SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Ecuación de conservación de masa La magnitud del vector de flujo para cada fase es calculado de la siguiente manera: r

u l = (u xl )2 + (u yl )2 + (u zl )2

Aplicando la ley de Darcy, la velocidad de la fase resulta: r r

r

ul = −

k r l k

µl

r

r

⋅ (∇Pl − γ l∇h )

r r

Donde k se define como el tensor de permeabilidad intrínseco; h es la profundidad vertical, la permeabilidad relativa es definida como (k r l), la viscosidad de la fase ( µ l ) y la densidad específica ( γ l ).


Ecuación de conservación de masa El término fuente Rk es una combinación de los términos de todas las tasas para un componente en particular, y puede ser expresado de la siguiente manera:

R κ = φ

n p

∑ Slr κ + (1 − φ)r κ s + Q κ l

l =1

Donde Qk es la tasa de inyección/producción para el componente k por volumen total; r κ l , r κ s es la tasa de reacción para el componente k en la fase l y en la fase sólida s respectivamente. Las ecuaciones de flujo utilizadas para las direcciones y y z , son análogas a las aplicadas para la dirección x .


Ecuación de conservación de energía La ecuación de balance de energía es desarrollada a partir de la suposición de que la energía es sólo función de la temperatura y el flujo energético en el yacimiento ocurre únicamente mediante advección y convección de calor. La ecuación resulta: np  r  np r  ∂  (1 − φ)ρs C vs + φ ∑ ρlSl C vl  T + ∇ ⋅ ∑ ρl C pl u l T − λ T ∇T  = q H − Q L  l =1  ∂t   l =1  

Donde T es la temperatura del yacimiento; Cvs y C vl son los calores específicos a volumen constante del sólido y la fase l ; C pl es el calor específico a presión constante de la fase l y λ T es la conductividad térmica, todas estas propiedades se asumen constantes. A su vez qH es el término fuente de entalpía para el volumen total y QL son las perdidas de calor hacia los bordes superior e inferior de la formación o el sólido, calculadas mediante el método de pérdidas de calor de Vinsome y Westerveld [1980].


Ecuación de presión La ecuación de presión es desarrollada como sigue: a)

Se hace una sumatoria de las ecuaciones de balance de masa sobre todo el volumen ocupado por los componentes

b)

Se sustituyen los términos de flujo de las fases por la ley de Darcy para flujo multifásico

c)

Se establece la definición de presión capilar

d)

Se especifica que

n cv

∑ Cκ = 1 l

κ =1


Ecuación de presión Para realizar los cálculos, se utiliza la primera fase (acuosa) como presión de referencia, así: n p n cv r r r r ∂P1 r r φC t + ∇ ⋅ k ⋅ λ rTc ∇P1 = −∇ ⋅ k ⋅ λ r c∇Pc 1 + Q κ ∂t =1 κ =1

∑

l

l

Donde λ r c = l

l

∑

n cv

∑ρ C κ =1

κ κ l

es la permeabilidad relativa del componente k n en la fase l , y la

permeabilidad relativa total se calcula mediante la expresión λ rTc =

p

∑λ l

r l c

.

=1

La compresibilidad total Ct, es la suma del peso volumétrico de la roca o matriz sólida (Cr ) y de los componentes compresibles ( C οκ ) presentes en el yacimiento: C t = C r +

n cv

∑ κ =1

~

C οκ C κ

La porosidad se calcula en base a la presión y porosidad de referencia mediante la expresión φ = φ R [1 + C r (PR − Pro )]. SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Condiciones de borde Las condiciones de borde básicas asumidas son: Cero flujo convectivo Cero flujo de dispersión Cero flujo térmico a través de los bordes

El flujo térmico conductivo a través de los límites superior e inferior del acuífero puede ser modelado utilizando el método de Vinsome y Westerveld [1980]. Opcionalmente, la condición de cero flujo y transferencia de calor puede ser reemplazada en parte especificando presión en los bordes.


Condiciones de borde Si se modelan zonas insaturadas donde: La presión superior y lateral son establecidas a la presión atmosférica y los otros lados se consideran cerrados. El aire es la única fase que puede entrar mientras ningún fluido puede salir de acuerdo a su saturación y la movilidad relativa en los bloques de la malla. Para zonas saturadas: Los bordes laterales son los únicos que están abiertos especificando un gradiente de presión Sólo puede entrar agua a través de los bordes Si ambas zonas son modeladas el usuario debe especificar la profundidad de la tabla de agua en los dos lí mites laterales del acuífero y el gradiente de presi ón potencial a través de la zona saturada. SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

MODELO DE REACCIONES QUÍMICAS DE UTCHEM En esta sección se presenta el modelo de reacciones químicas del simulador de yacimientos composicional tridimensional generalizado para procesos de inyección de químicos alcalinos (High-pH chemical flooding) realizado por Bhuyan[1] (EQBATCH). El modelo asume equilibrio termodinámico local en las reacciones químicas y en el comportamiento de fases, y calcula las composiciones en equilibrio de los electrolitos y las fases en función del tiempo y la posición. Las reacciones químicas consideradas son: química de electrolitos acuosos, precipitación/disolución de minerales, reacciones de intercambio de iones en la superficie de la roca, reacción de componentes ácidos del petróleo con químicos alcalinos en solución acuosa, y reacciones de intercambio de cationes con las micelas.

[1] Bhuyan, D., Development of an alkaline/surfactant/polymer compositional reservoir simulator , Ph.D. dissertation, U. of Texas, Austin, Dec 1989.


MODELO DE REACCIONES QUÍMICAS DE UTCHEM La formulación del modelo de equilibrio químico es bastante general y se puede adaptar para simular una variedad de descripciones químicas: Contaminación de agua subterránea Reinyección de agua producida Disposición de desechos químicos, etc. En una, dos o tres dimensiones y bajo condiciones de flujo multifásico. Además, puede ser utilizado para la determinación de la compatibilidad entre el agua de inyección y el agua residente, cálculo de la composición de equilibrio y compatibilidad de mezclado de aguas de diferentes fuentes, cálculo de la composición de equilibrio y el pH resultante del agua de inyección después de añadir varios electrolitos.


Descripción de la química de procesos inyección de álcali El desempeño de un proceso de inyección de químicos alcalinos es altamente influenciado por las interacciones químicas presentes en el medio poroso. Las características principales que controlan el proceso alcalino y que forman la base para su cuantificación son: 1.

Generación de surfactantes en sitio, debido a la reacción entre álcali y

componentes ácidos del petróleo 2.

Reacciones con la salmuera y minerales del yacimiento y el consecuente

consumo de álcali y cambios en el ambiente iónico 3.

Efecto de los productos de las reacciones y el alto pH sobre el comportamiento

de fase, la tensión interfacial, adsorción de surfactantes, y transporte de propiedades


Química petróleo-álcali La generación de surfactantes en sitio debido a la reacción entre componentes ácidos del petróleo y químicos alcalinos, es la causa principal del aumento de la producción de petróleo , en estos procesos de recuperación.

El contenido de ácidos en el petróleo se mide como el Número Ácido, este es definido como los miligramos de Hidróxido de potasio necesarios para neutralizar un gramo de petróleo. Pese a que el número ácido indica el contenido total de componentes ácidos en el petróleo, éste no distingue entre los componentes ácidos que producen surfactante y los que no. Por lo tanto, un número ácido alto no siempre es un buen indicador de mayor producción con inyección de álcali. Se han identificado componentes ácidos del petróleo capaces de generar surfactante en sitio y estos son: ácidos carboxílicos, carboxifenoles, y fracciones de asfaltenos, entre otros.


Química petróleo-álcali Aunque la actividad interfacial se debe a numerosas especies químicas individuales, la generación de surfactante y su actividad interfacial se modela asumiendo un solo componente seudo-ácido (HA) altamente soluble en petróleo. La química petróleo-álcali es descrita como la partición del componente seudo-ácido entre las fases oleica y acuosa y la subsiguiente hidrólisis en la presencia de álcali para producir un surfactante aniónico (A-) soluble. Esto puede ser representado cuantitativamente como sigue: D HAo ← →  HAw

K

HAw ← → H K a

+

w H 2 O ← →  H

K

+

+A

donde −

+ OH −

K D

=

[ HAw ] [ HAo ] +

H A

donde

K a

=

donde

K w

= H +

−

Petróleo

[ HA] −

OH


Química petróleo-álcali Debido a la baja solubilidad del componente seudo-ácido, la constante de partición KD es usualmente un número muy bajo, alrededor de 10 -4. La constante de disociación del ácido Ka junto con el producto iónico del agua Kw, relaciona la concentración de hidróxido en la solución con la hidrólisis de HA.

D HAo ← → HAw 

K

HAw ← → H K a

+

w H 2 O ← → H 

K

+

+A

donde −

+ OH −

K D

=

[ HAw ] [ HAo ] +

H A

donde

K a

=

donde

K w

= H +

−

[ HA] −

OH


Reacciones acuosas homogéneas Reacciones de asociación y disociación de una o más especies químicas resultan en la formación de una o más especies diferentes en la solución acuosa . Muchas

reacciones de reducción y oxidación pertenecen a esta categoría de reacciones. Sin embargo, en el modelo no se considerarán reacciones de reducción – oxidación.

Una clase importante de reacciones acuosas son las reacciones que involucran ácidos débiles y sus bases conjugadas, llamadas soluciones amortiguadoras. La acción amortiguadora puede tener un efecto significativo en la cantidad de álcali requerido para lograr un cierto nivel de pH en la solución acuosa. Ejemplos comunes de soluciones amortiguadoras que son de interés en inyección de álcali son la solución carbonato-bicarbonato, silicato y aluminato. La presencia de sólidos que al diluirse dan lugar a la formación de una solución amortiguadora pueden empeorar la situación. SEMINARIO: FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Reacciones acuosas homogéneas Una soluci ón amortiguadora es una soluci ón compuesta por un ácido d ébil y su base conjugada o una base d ébil y su ácido conjugado, que sirve para moderar el pH de la soluci ón.

Otra clase importante de reacciones acuosas homogéneas son las reacciones que involucran iones que participan en reacciones de disolución / precipitación. Cambiando las concentraciones de estos iones, estas reacciones controlan indirectamente la disolución / precipitación de sólidos.


Reacciones de disolución / precipitación Las reacciones de disolución / precipitación de minerales sólidos entran dentro de las clases de reacciones más importantes que contribuyen al alto consumo de álcali en yacimientos de petróleo. La mayoría de estas reacciones son controladas dinámicamente y pueden causar neutralización del álcali inyectado. Bajo condiciones de equilibrio, sin embargo, estas reacciones son controladas por las restricciones del producto de solubilidad de todos los sólidos posibles. Adicionalmente al consumo de álcali, estas reacciones también determinan concentraciones de cationes multivalentes en la solución acuosa, las cuales generalmente tienen un efecto significativo sobre el comportamiento de fases y la actividad interfacial de surfactantes generados o inyectados.


Reacciones de intercambio de iones con minerales de la roca Dentro de las reacciones de intercambio de iones, son de particular interés las reacciones de intercambio de cationes. Estas reacciones son en general rápidas y reversibles. La reacción de intercambio de hidrógeno puede consumir grandes cantidades del álcali inyectado causando un frenado significativo de la propagación de la solución alcalina. Reacciones de intercambio entre cationes multivalentes y monovalentes pueden liberar cationes multivalentes en la solución acuosa y afectar el comportamiento de fases y la actividad interfacial de los surfactantes así como iniciar precipitación de sólidos.


Reacciones de intercambio de iones con micelas Reacciones de intercambio de iones entre cationes multivalentes y monovalentes que ocurren en la superficie de las micelas tienen un efecto significativo sobre la solubilidad relativa del surfactante en petróleo o en agua, la tensión interfacial y la tolerancia a la salinidad.


Termodinámica química de procesos en equilibrio La teoría general que describe el equilibrio termodinámico de sistemas multifásicos, multicomponentes, establece que la dirección natural de todos los cambios, a temperatura y presión constantes, es hacia la mínima energía libre de Gibbs. Cuando este mínimo es alcanzado, se dice que el sistema esta en equilibrio termodinámico. Un sistema bajo condiciones de equilibrio termodinámico no experimenta tendencia a cambiar su composición y su estado. Matemáticamente, el equilibrio es alcanzado a temperatura y presión constantes, cuando dG

t

=0

donde Gt es la energía libre de Gibbs total y dGt es la variación diferencial de la energía libre de Gibbs total.


Termodinámica química de procesos en equilibrio Para L fases y m especies a temperatura y presión constantes, Gt es definido como L

G

t

m

= ∑∑ n ⋅ G l i

l i

l =1 i =1

l

donde n i l representa los moles de especie i en la fase l y G i es la energía libre de l Gibbs molar parcial de la especie i en la fase l . Frecuentemente G i es llamado l potencial químico, µ i . Cuando ocurren cambios en la composición como resultado de reacciones químicas solamente, la condición para equilibrio químico es,

∆G = 0 r

donde ∆ Gr es el cambio de energía libre de Gibbs para la reacción r y esta dado por m

∆G = ∑ν ⋅ µ r

ri

i

i =1


Termodinámica química de procesos en equilibrio La actividad de las especies i es definida como µi

= G 0 + RT ln a i

i

Se pueden combinar las ecuaciones anteriores y llegar a m

m

ln

∏a

νri i

− ∑ν ⋅ G 0 ri

=

i

i =1

(1)

RT

i =1

El lado derecho de esta ecuación es una función solo de la temperatura, mientras que el lado izquierdo representa una función de la actividad de los reactivos y los productos bajo la condición de equilibrio. Definiendo la constante de equilibrio de una reacción r a una temperatura T como m

− ∑ν ⋅ G 0 ri

K r (T ) =

exp

i

i =1

RT


(2)

Termodinámica química de procesos en equilibrio la ecuación (1) puede ser escrita como m

K r (T ) =

∏a

νri i

(3)

i =1

La actividad de las especies químicas en solución es relacionada con su concentración molar a través de los coeficientes de actividad individual, γ i como ai

= γ ⋅ C i

i

Para soluciones ideales, los coeficientes de actividad de las especies son iguales a la unidad, de manera que la actividad puede ser reemplazada por su respectiva concentración molar en la ecuación (3). Para sólidos puros, la actividad se considera igual a la unidad.


Termodinámica química de procesos en equilibrio Típicamente, las energías libres de estado estándar de formación de especies químicas son tabuladas para 298.15 K. Por lo tanto, usando la ecuación (2) se puede calcular fácilmente la constante de equilibrio de una reacción a 298.15 K. Sin embargo, para calcular la constante de equilibrio de una reacción a otra temperatura diferente de 298.15 K, se puede utilizar la ecuación de van’t Hoff dada por d [ln K r (T )] dT

=

∆ H 0 (T ) r

RT

2

(4)

Donde ∆ H r oes el calor estándar de reacción de la reacción r . ∆ H r o es también función de la temperatura. Para calcular la constante de equilibrio, la ecuación (4) puede ser integrada en función de temperatura para dar, ln

K r (T 2 ) K r (T 1 )

=

T 1 2 ∆ H r o (T )

R

∫

T 1

2

T


(5)

Seminario ASP-Modelo Matematico

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