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CAPITULO II
MODELOS MATEMÁTICOS DINÁMICOS Introducción.
El primer paso para el diseño de un sistema de control consiste en obtener ecuaciones diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varían. Comúnmente, las componentes de un sistema de control incluyen elementos eléctricos, electrónicos, mecánicos y electromecánicos. Este apartado intenta proporcionar una breve reseña de las ecuaciones que caracterizan a algunos de los componentes comunes del sistema de control y sus conexiones. Muchos otros tipos de elementos menos comunes, hidráulicos, térmicos, neumáticos, biológicos y químicos, pueden, en determinado momento, integrarse también en un sistema de control.
2.1. Sistemas Mecánicos.
Enseguida se estudiarán los modelados de sistemas mecánicos. Como puede resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda ley de Newton, la cual es aplicable a cualquier sistema mecánico. Un método sistemático para obtener ecuaciones de arreglos como los presentes es el siguiente: 1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema. 2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las fuerzas que actúan sobre ellas en términos de posiciones de masa A continuación, mencionaremos algunos ejemplos importantes. Sistemas mecánicos traslacionales. Considérese un sistema de masa-resorte-amortiguador, montado en un carro como se muestra en la figura. Obtendremos su modelo matemático suponiendo que el sistema está en reposo para un tiempo t < 0. En este sistema u(t) es el desplazamiento del carro y se considera como nuestra entrada. En t = 0, el carro se desplaza a velocidad constante y u es constante también. La salida es el desplazamiento de la masa m que está montada en el carro, c arro, y este desplazamiento se representa y(t), medido con respecto al suelo. u y
k b
m
1
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Además de la masa m, consideraremos otras constantes como k, que es la constante del resorte; y B que es el coeficiente de viscosidad. Al suponer que el resorte es lineal, la fuerza del mismo es proporcional a y – u. La segunda ley de Newton establece que ma = ∑ F ma = Sum F, que aplicada al sistema presenta nos da m
O bien
d 2 y
⎛ dy du ⎞ b = − ⎜ − ⎟ − k ( y − u ) dt 2 ⎝ dt dt ⎠
m
d 2 y dt 2
+b
dy dt
+ ky = b
du dt
+ ku
Esta ultima ecuación es el modelo matemático buscado. Sin embargo, en control nos interesa representar nuestros modelados mediante una función de d
transferencia. Si tomamos
dt
como D en la ecuación anterior, tenemos
2
mD y +bD(y – u) +(y – u) = 0
En la ecuación anterior, aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación nos queda
L (mD y +bD(y – u) +(y – u) = 0 ) 2
. De la definición de función de transferencia, hemos eliminado las derivadas de las funciones en t = 0, puesto que son nulas. Finalmente se toma la relación de Y(s) con respecto a U(s), para obtener 2
(ms + bs k)Y(s) = (bs + k)U(s)
Función de transferencia = G(s) =
Y ( s ) U ( s )
=
bs + k ms 2 + bs + k
El modelado anterior es uno de los más frecuentes en el estudio de ingeniería de control, por sus muchas aplicaciones. Sin embargo se debe hacer notar que los modelos en que se usa la función de transferencia tienen aplicación únicamente en sistemas lineales invariantes en el tiempo, puesto que la función de transferencia sólo está definida para dichos sistemas. 2
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Un sismógrafo. Como segundo caso, consideremos un sistema detector de vibraciones del suelo, el cual se representa a continuación. x
m
xo
k
b
Como se puede observar, el arreglo de sus componentes es muy similar al análisis anterior. En la figura aparecen los siguientes parámetros: • x = desplazamiento del gabinete con respecto a la masa. • x0 = desplazamiento de la masa con respecto al espacio inercial. • y = x0 – x = desplazamiento de la masa con respecto al gabinete. El resto son las constantes consideradas anteriormente (k, b, m), del resorte, el amortiguador y la masa. Ahora, tomando la notación del operador D, del ejemplo antecedente, obtenemos el modelado del sistema; así tenemos: 2
0 = mD x0 +bD( x0 – x) + k ( x0 – x) 2
0 = mD ( y + x) +bD( y) + ky
(usando la relación y = x0 – x)
Aplicando la transformada de Laplace y despejando Y(s) con respecto a X(s), nos queda finalmente:
L (0 = mD ( y + x) +bD( y) + ky) 2
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− ms 2 = X ( s ) ms 2 + bs + k Y ( s )
2.2. Sistemas eléctricos.
Análisis de circuitos. Tal vez ya se esté familiarizado con el estudio de los componentes eléctricos básicos, como son la resistencia, el capacitor y el inductor; y tal vez en menor grado, con los amplificadores operacionales. Para el modelado de estos sistemas se debe echar mano del análisis de circuitos, que se basa fundamentalmente en la aplicación de las leyes de Kirchhoff. La primera de ellas se conoce como ley de corrientes (ley de nodos), establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es nula; la misma ley se puede enunciar de esta manera: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. La segunda ley de Kirchhoff se conoce como ley de voltajes (ley de mallas o lazos), y nos indica que la suma de los voltajes en una malla del circuito eléctrico el cero; también es usual representar la segunda ley de este modo: La suma de las caídas de tensión a lo largo de una malla del circuito, es igual a la suma de las elevaciones de tensión en la misma malla. El sistema para encontrar las ecuaciones diferenciales es muy sencillo, pues basta con encontrar las ecuaciones de malla o de nodos, del circuito de que se trate. Las corrientes y voltajes de cada elemento se escriben según su definición en cada caso.
Circuito simple LCR. Considérese un circuito serie LCR, como el mostrado en la figura, en donde se indica una corriente de malla, y el voltaje de salida es el voltaje del capacitor L
R
i
C
vo
vi
Las unidades de resistencia, capacitancia e inductancia están dadas en Ohmios, henrys y faradios, respectivamente; la corriente y los voltajes, están en amperios y voltios, respectivamente. Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) a la malla donde circula la corriente i, encontraremos las siguientes ecuaciones:
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L
di dt
1 C
+ Ri +
1 C
∫ i dt = v
i
∫ i dt = v
o
De nuevo, nos interesa más obtener la función de transferencia, y para ello aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación anterior, sin olvidar que las derivadas obtenidas se eliminan por ser iguales a cero, esto tomado de la definición de Función de Transferencia. Para ello tomamos como entrada el voltaje de la fuente vi y como salida el voltaje vo y despejamos las dos ecuaciones. De esta manera nos quedan las ecuaciones así LsI ( s ) + RI ( s ) + I ( s )
I ( s ) Cs
= V i ( s )
= V o ( s )
Cs
V o ( s ) V i ( s )
=
1 LCs 2 + RCs + 1
Función de transferencia de elementos en cascada. Al estudiar los sistemas retroalimentados, encontramos que hay componentes que se cargan unos a otros, dicho de otro modo, la entrada de un elemento del sistema es la salida de otro componente del sistema. Podemos representar un arreglo muy similar en el circuito eléctrico que se muestra a continuación, en el cual se ubican dos mallas RC, con sus corrientes indicadas. De nuevo, vi es la entrada y vo, el voltaje del capacitor 2, es la salida. R1
vi
R2
i1
vo
i2 C 1
C 2
En el presente caso, la carga la produce la sección de C 2 R2 sobre la primera etapa del circuito R1C 1. Aplicando LVK en las dos mallas del circuito, encontramos el modelado matemático en las siguientes ecuaciones integro-diferenciales: 1 C 1
∫ (i1 − i2 )dt + R1i1 = v1
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1
y
C 1
∫ (i2 − i1 )dt + R2i2 = −
1 C 2
∫ i2dt = −v
o
Tomando las transformadas de Laplace de estas dos ecuaciones, teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son iguales a cero, se obtiene 1 C 1 s
1
[ I 1 ( s) − I 2 ( s)] + R1 I 1 ( s) = V i ( s)
[ I 2 ( s) − I 1 ( s)] + R2 I 2 ( s) = −
1
I 2 ( s) = V o ( s) C 1 s C 2 s Eliminando I 1(s) e I 2(s) de las ecuaciones anteriores encontramos finalmente nuestra función de transferencia entre Ei(s) y Eo(s), que resulta ser V o ( s ) V i ( s )
=
1
=
1 2
( R1C 1 s + 1)( R2C 2 s + 1) + R1C 2 s R1C 1 R2C 2 s + ( R1C 1 + R2C 2 + R1C 2 ) s + 1
El presente análisis indica que si dos circuitos RC están conectados en cascada, o sea, la salida de uno es la entrada del otro, la función de transferencia, no es, como pudiera pensarse, el producto de las funciones de transferencia que se obtendrían al analizar cada porción del circuito total en forma independiente. Esto se debe a que al hacer el modelado de forma independiente, se supone que no hay efectos de carga en la salida, que es lo mismo que decir que no se toma potencia alguna de la salida. 2.3. Sistemas análogos.
Definición. Dos sistemas físicamente diferentes, pero que se comportan de manera semejante, y por ende sus modelados matemáticos son semejantes, se dice que son sistemas análogos. Esto implica que una misma ecuación puede describir a más de un sistema. Esta propiedad nos permite ciertas ventajas en el estudio de sistemas físicos, entre las que podemos contar: 1. La solución de la ecuación o ecuaciones, que describe a un sistema se puede aplicar a otros sistemas de áreas distintas, que estén descritos por la misma ecuación o ecuaciones. 2. Esto nos permite manejar el estudio más fácilmente, puesto que hay sistemas más simples para implementar en el laboratorio (como el eléctrico), que otros más complicados y costosos (como puede ser un sistema mecánico o hidráulico).
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Por ser los más comunes en nuestro curso de control, presentaremos primordialmente las analogías entre sistemas mecánicos y eléctricos, teniendo presente que las analogías no se aplican exclusivamente a estos dos sistemas. Se debe recalcar la importancia que tiene el análisis de circuitos en el modelado de sistemas, y en la conversión de analogías entre un sistema y otro diferente físicamente. Es por ello que se debe hacer un repaso de las técnicas de análisis de nodos y mallas, cuando se tienen elementos almacenadores de energía (capacitores y bobinas).
Analogía mecánica – eléctrica. Analicemos los dos pares de figuras representadas abajo y obtengamos las ecuaciones que los definen físicamente.
L
R
k f(t) m
i x
b
C
e(t)
Las ecuaciones del sistema mecánico son m
d 2 x 2
dt
+b
dx dt
+ kx = f (t ) .
(a)
Para la red eléctrica RCL en serie de la derecha, al aplicar LVK obtenemos la ecuación de malla escrita debajo: L
di dt
+ Ri +
1 C
∫ idt = e(t ) .
Expresando esta ecuación respecto de la carga eléctrica q, tenemos finalmente L
d 2 q 2
dt
+ R
dq dt
+
1
q = e(t ) . C
(b)
Se observará que las ecuaciones (a) y (b) tienen exactamente la misma forma, por lo que podemos concluir que son sistemas análogos.
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Ahora comparemos la misma masa del dibujo anterior con una red eléctrica RCL en paralelo, como la que aparece en la figura mostrada enseguida. En esta ocasión aplicaremos la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), lo que nos lleva a las siguientes expresiones
k f(t) i R
m i(t)
x
b
R
iC
i L L
C
i L + i R + iC = i s .
Cada corriente de la ecuación de nodos anterior se expresa, según el elemento eléctrico de que se trate, de la siguiente forma i L =
1 L
∫
i R =
edt ,
e R
,
de iC = C . dt
Por lo que tenemos 1
e
de
edt + + C = i(t ) L ∫ R dt
s
.
El flujo magnético se relaciona con el voltaje mediante la expresión. Sustituyendo nos queda, nos queda finalmente la ecuación siguiente.
C
d 2ψ 2
dt
+
1 d ψ 1 R dt
+ ψ = i (t ) . L
(c)
Esta nueva ecuación (c) también es idéntica en cuanto a la forma, a la ecuación (a), por lo que concluimos nuevamente que el circuito paralelo RCL también es análogo al sistema amortiguador – masa – resorte.
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Haciendo análisis similares a los anteriores nos queda que, excepto las variables usadas, los sistemas de ecuaciones son idénticos, lo que nos indica que estos cada uno de estos pares de ecuaciones es análogos. Los términos semejantes en cada ecuación se denominan magnitudes análogas. En la primera serie de ecuaciones la analogía indicada se denomina fuerza – voltaje (o analogía masa - inductancia). En el segundo caso, la analogía se denomina fuerza – corriente, o analogía masa – capacitancia. Las relaciones ya encontradas se pueden resumir en la siguiente tabla.
Sistemas análogos Mecánico – Eléctrico. Fuerzas Masa m Coeficiente de viscosidad b Constante de resorte k Desplazamiento x
Voltajes Inductancia L Resistencia R
Corrientes Capacitancia C
1/C
1/L
Q
Dx
Corriente i Voltaje e(t)
Flujo magnético Ψ Voltaje e Corriente i(t)
Fuerza f(t)
1/R
Esta tabla de identidades nos permitirá convertir un sistema de fuerzas en otro eléctrico de voltajes o corrientes; o viceversa, un sistema eléctrico en uno mecánico Para entender mejor cómo se usa esta tabla de conversiones, consideremos el siguiente arreglo de dos masas suspendidas y conectadas entre sí por sistemas de resorte – amortiguador.
b1
k 1 m1 k 2
x1 b2
m2
x2
k
3
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Primero, comenzaremos encontrando el modelado del sistema. De nueva cuenta usamos la notación D para representar. Luego entonces, tenemos: 2
0 = m1 D x1 + b1 Dx1 + k 1 x1 +b2 D( x1 – x2) + k 2( x1 – x2)
(1)
Tomando como referencia la masa 1. Para la masa 2, nuestro modelado es: 2
0 = m2 D x2 + k 3 x2 +b2 D( x2 – x1) + k 2( x2 – x1).
(2)
Ahora procederemos a aplicar la analogía para convertir este sistema mecánico en uno eléctrico, más fácil de analizar. Primero usaremos la analogía fuerza – voltaje; refiriéndonos a la primera y segunda columnas de la tabla anterior, tenemos las siguientes ecuaciones q1
0 = L1 Di1 + R1i1 + 0 = L2 Di2 +
q2 C 3
C 1
+ R2 (i1 − i2 ) +
+ R2 (i2 − i1 ) +
1 C 2
1 C 2
(q1 − q2 )
(1)
(q2 − q1 )
(2)
Sin embargo, como nos indica el nombre de esta analogía, nos interesa indicar todos los elementos de esta ecuación en términos de voltajes. Por lo que podemos tomar las relaciones eléctricas entre capacitancia y carga eléctrica para obtener: 1
0 = L1 Di1 + R1i1 + 0 = L2 Di2 +
1 C 3
C 1
t
∫ 0
i1dt + R2 (i1 − i2 ) +
t
∫ 0
i2 dt + R2 (i2 − i1 ) +
1 C 2
1 C 2
t
∫ 0(i1 − i2 )dt
(1)
t
∫ 0 (i2 − i1 )dt
( 2)
Una vez que tenemos las ecuaciones del sistema, podemos representarla con su respectivo diagrama eléctrico. Los siguientes son los diagramas de las ecuaciones de mallas encontradas anteriormente.
L1
C 3
C 1
R1
i1
R2
C 2 Ecuación (1)
R2 i2
i1
i2
L2
C 2
Ecuación (2)
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ING. QUIRINO JIMENEZ D. R1
C 3
C 1
R2 i2 i1
L1
L2 C 2
Circuito resultante de dos mallas.
Ahora transformaremos el mismo circuito mecánico del ejemplo anterior en su equivalente circuito eléctrico definido por corrientes (ecuaciones de nodos). Tomando las columnas 1 y 3 de la tabla de conversiones entre sistemas mecánicos y eléctricos obtenemos
0 = C 1 D e1 +
e1 R1
+
ψ 1
L1
+
1 R2
(e1 − e2 ) +
1 L2
aplicando la misma relación entre flujo y el voltaje ( 0 = C 1 D e1 +
e1
1
+
R1 L1
t
∫ 0
e1dt +
1 R2
(ψ 1 − ψ 2 )
d ψ dt
(e1 − e2 ) +
= e ), nos queda la ecuación
1
L2
t
∫ 0(e1 − e2 )dt
(1) .
De la misma forma, la ecuación (2) del sistema mecánico tiene como equivalente 0 = C 2 De2 +
1 L3
t
∫ 0
e2 dt +
1 R2
(e2 − e1 ) +
1 L2
t
∫ 0 (e2 − e1 )
( 2)
sus diagramas eléctricos son los que a continuación se representan
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L2 e1
e2
e2
R2
R2 C 2
L1 C 1
L3
R1
Gnd
Gnd
Ecuación (2)
Ecuación (1)
L2 e2
e1 R2 C 1
R1
L1
C 2
L3
Gnd Circuito resultante de dos nodos
2.4. Sistemas electromecánicos.
Servomotor de cd. Se conoce como servosistema (o servomecanismo) al grupo general de sistemas de control en los que se integran los elementos reguladores automáticos y los servomecanismos. Un servomotor es por tanto, cualquier sistema físico en el que una o más magnitudes de entrada (mando) controlan, por medio de una función de transferencia determinada, una o más magnitudes de salida, las cuales pueden poseer un nivel de potencia superior al de entrada. Un servomotor es el órgano motor que acciona los elementos mecánicos en los servosistemas, en donde suele utilizarse como elemento de salida para controlar la potencia suministrada a la carga para controlar, en función de la señal eléctrica recibid a la entrada. Los servomotores se pueden accionar por medio de la fuerza eléctrica, hidráulica, neumática, o una combinación de las mismas. Nos centraremos en los motores eléctricos controlador por electricidad de cd.
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En los servomotores de cd, los bobinados de campo se pueden conectar en serie con la armadura, o separados (o sea, con el circuito magnético construido en forma independiente). En este último caso, cuando el campo es excitado por separado, el flujo magnético es independiente de la corriente de la armadura. En algunos servomotores de cd, el campo magnético es producido por un imán permanente, y por lo tanto, el flujo magnético es constante; estos servomotores se denominan de imán permanente. Los servomotores de cd con campo magnético excitado de manera independiente, así como los de imán permanente, pueden ser controlados por la corriente de la armadura. Tal esquema de control de salida se llama control de armadura de los servomotores de cd. Ra
La
ea
ia
eb
T
J b If = constante
En el caso en que la corriente de la armadura se mantiene constante y la velocidad se controla mediante la tensión del campo, se dice que el motor de cd es controlado por campo. (Algunos sistemas de control de velocidad usan motores de cd controlador por campo). El requisito de mantener constante la corriente de la armadura es poco ventajoso, es mucho más fácil producir voltaje constante. Las constantes de tiempo del motor de cd controlado por campo son generalmente grandes en relación con las constantes de tiempo de motores controlador por armadura. Un servomotor se puede controlar por medio de un controlador electrónico, frecuentemente denominado servopropulsor, combinación de propulsor y motor. El servopropulsor controla el movimiento de un servomotor de cd y funciona de diversos modos. Algunas de sus características son el posicionado punto por punto, el seguimiento de un perfil de velocidad, y la aceleración programable. En los sistemas de control de robot, en los sistemas de control numérico y otros sistemas de control de posición y de velocidad, es muy frecuente emplear el controlador electrónico de movimiento que emplea u propulsor de modulación de ancho de pulso para controlar un servomotor de cd. Enseguida estudiaremos el control de la armadura de servomotores de cd y el control electrónico de movimiento de servomotores de cd.
Control de la armadura de servomotores de cd. Analizaremos el siguiente esquema de un servomotor de cd controlado por armadura, como el que aparece en el dibujo anterior. En ese mismo esquema tenemos los siguientes parámetros:
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Ra = La = ia = i f = ea = eb=
= T = J = B = Θ
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resistencia de la armadura, en ohmios (Ω) inductancia de la armadura, en henrios (H) corriente de la armadura (amperios, A) corriente del campo (A) tensión aplicada en la armadura, en voltios (V) fuerza contra-electromotriz (V) desplazamiento angular del eje del motor, en radianes (rad) par desarrollado por el motor, en Newton-metro (N-m) momento de inercia del motor y carga con referencia al eje del motor, en kg-m2 coeficiente de viscosidad del motor, con carga referida al eje del motor, en N-m/rad/seg
El par T desarrollado por el motor es proporcional a la corriente de la armadura, y al flujo magnético en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente del campo. O bien donde Kf es una constante. El par T se puede escribir entonces como T = K f i f K li a
Si la corriente del campo es constante , el flujo también es constante, y el par es directamente proporcional a la corriente de la armadura, de modo que T = Kia
Donde K es una constante del par motriz. Nótese que si el signo de la corriente se invierte , también se invierte el signo del par T, los que se manifiesta en la inversión del sentido rotación del eje del motor. Cuando la armadura está girando, se induce en ella una tensión proporcional al producto del flujo por la velocidad angular. Para un flujo constante, la tensión inducida eb es directamente proporcional a la velocidad angular eb = K b
d θ dt
,o
d θ dt
donde K es la constante de fuerza contraelectromotriz. La velocidad de un servomotor de cd controlado por armadura, se controla mediante la tensión de la armadura. (la tensión de la armadura es la salida de un amplificador de potencia que no está dibujado en el diagrama). La ecuación diferencial del circuito de armadura es entonces La
dia dt
+ Raia + eb = ea
La corriente de la armadura produce un torque que se aplica a la inercia y la fricción
J
d 2θ dt 2
+
d θ dt
= T = Kia 14
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Ahora aplicaremos la transformada de Laplace a las tres ecuaciones anteriores y obtendremos K b s Θ( s ) = E b ( s )
( La s + Ra ) I a ( s ) + E b ( s) = E a ( s) ( Js 2 + bs) Θ( s) = T ( s) = KI a ( s) Considerando al sistema E a(s) como la entrada y a Θ(s) como la salida, construimos un diagrama de bloques como el siguiente
Se notará que es un sistema retroalimentado . el efecto de la fuerza contraelectromotriz es una retroalimentación proporcional a la velocidad del motor. Esta retroalimentación incrementa el amortiguamiento efectivo del sistema. Despejando de las transformadas obtenidas, la función de transferencia es Θ ( s) E a ( s )
=
K La Js 2 + ( Lab + Ra J ) s 2 + ( Rab + KK b ) s
Si la inductancia del circuito de la armadura es pequeña, generalmente se desprecia, por lo que nuestra función de transferencia queda de esta forma Θ ( s ) E b ( s )
=
K m
=
K m
s (T m s + 1) s (T m s + 1)
Donde K m = K/(Rab+KK a ) = constante de ganancia del motor T m = Ra J/(Rab+KK b ) = constante de tiempo del motor Con estos resultados obtenidos, el diagrama de bloques del servomotor se reduce a Ea(s)
K m s (T m s + 1)
Θ(s)
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Control electrónico de movimiento de servomotores de cd. Hay muchos tipos diferentes de controladores de movimiento electrónicos, o servopropulsores, para servomotores. La mayor parte de los servopropulsores se diseñan para controlar la velocidad del servomotor. Con ello se mejora la eficiencia de operación. En la figura se presenta el esquema de un diagrama de bloques de un servoposicionador de alta precisión con control de velocidad que combina un servomotor y un servopropulsor. El servopropulsor está diseñado para lograr una velocidad del servomotor proporcional al voltaje E1.
Sistema de control de posición. Analizaremos el sistema de control de posición que aparece en el siguiente diagrama, en donde tenemos los mismos parámetros del servomotor analizado con anterioridad y otros nuevos, los cuales son R= C= K a = K p = N=
desplazamiento angular del eje de entrada, en radianes desplazamiento del eje de salida, en radianes ganancia del potenciómetro ganancia del amplificador relación de engranes
. Los elementos de los extremos son potenciómetros conectados a fuentes de voltaje, y un enlace entre la salida del servomotor y la entrada al potenciómetro c. Vamos a deducir su función de transferencia de la misma forma como se hizo con el servomotor..
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Del análisis del la figura tenemos las siguientes relaciones. e = (r − c) K p
E ( s) = ( R( s ) − C ( s)) K p
ea = eK a
E a ( s) = E ( s ) K a
Los diagramas de bloques de estas relaciones son R(s)
k p
E(s)
C(s)
E(s) k a
Va(s)
El modelado del motor encontrado en el servomotor lo utilizamos nuevamente, o sea Θ ( s ) E a ( s )
=
K La Js 3 + ( La b + Ra J ) s 2 + ( Ra b + KK b )
Y ahora utilizando una última que relaciona en número de engranes, que es Θ(s)n
= C(s)
Tenemos finalmente el diagrama de bloques que se muestra abajo, y la función de transferencia final del sistema, que se obtiene directamente al simplificar el diagrama mismo.
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C(s ) R(s)
=
K K a K p n 2 L aJs + (L ab R aJ)s (R a +b +KK b)s 3
2.5. Sistemas de nivel de líquido.
Para simplificar el análisis de sistemas de nivel de líquido, haremos uso de los conceptos eléctricos de resistencia y capacitancia – obviamente con su respectiva analogía – para poder describir las características dinámicas de esos sistemas en forma simple. Esto nos hará ver otra similitud entre un sistema hidráulico y uno eléctrico.
Resistencia y capacitancia en sistemas de nivel de líquidos. Supóngase que se tienen dos tanques con determinados niveles de agua, y que dichos tanques están conectados por una tubería corta. Se define resistencia como la relación entre la diferencia de nivel de agua entre los tanques, necesaria para producir una variación unitaria en el gasto; o sea 3
R = (cambio en la diferencia de niveles, en metros, m)/(cambio en el gasto, en m /s)
Si consideramos el siguiente dibujo de un tanque con dos válvulas. Si tenemos un flujo laminar, la relación entre el gasto en estado estacionario y la presión hidrostática en el mismo estado estacionario al nivel de la restricción laminar, es Q = KH Válvula de control
Q + qi
Válvula de carga
H +h
Q +qo Capacitancia C
Donde
Q= K=
Resistencia R
gasto en el estado estacionario coeficiente, en m2/s
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H=
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presión hidrostática, en estado estacionario.
Esta ley que rige el flujo laminar es análoga a la ley de Coulomb, que establece que la corriente es directamente proporcional a la diferencia de potencial, por lo que la resistencia se define también como sigue R1 =
dH H dQ
=
Q
La resistencia al flujo laminar es análoga a la resistencia eléctrica. Si el flujo es turbulento, el gasto estacionario se da por Q = K H
Donde
Q= K= H=
gasto en el estado estacionario coeficiente, en m2/s presión hidrostática, en estado estacionario.
La resistencia Rt (resistencia de flujo turbulento), se obtiene de Rt =
dH dQ
como se hizo con anterioridad, tenemos dQ =
K
2 H
dH
y también dH dQ
=
2 H K
=
2 H H Q
=
2 H Q
por lo que la resistencia de flujo turbulento queda finalmente Rt =
2 H Q
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El valor de la resistencia de flujo turbulento depende del gasto y de la presión hidrostática. Sin embargo, su valor se puede considerar constante si las variaciones de la presión y del gasto son pequeñas, respecto al estado estacionario Hay que hacer notar que en la práctica casi nunca se conoce el valor del coeficiente K, el cual depende del coeficiente del flujo y del área de restricción. En esos casos, la resistencia se obtiene trazando la representación hidrostática de la presión hidrostática en función del gasto, basándose en valores experimentales, y midiendo la pendiente de la curva en la condición de operación. La capacitancia se define como la variación en la cantidad del líquido acumulado, necesaria para producir una variación unitaria en el potencial (presión hidrostática). El potencial es la magnitud que indica el nivel de energía del sistema. Esta relación queda C =
cambio en la cantidad del líquido acumulado , en m2 cambio en el nivel en m
Se notará que la capacitancia (m2) es diferente a la capacidad (m3), ya que la primera representa el área de la sección de corte. Si ésta es constante, la capacitancia es constante para cualquier carga hidrostática.
Función de transferencia en sistemas de nivel. De la misma figura usada para deducir la capacitancia y resistencia hidrostáticas, consideraremos las otras magnitudes que aparecen allí, a saber Q qi
= =
qo = H = H =
gasto en el estado estacionario (antes de haber algún cambio), en m3/s pequeña desviación en el gasto de entrada, respecto al valor del estado estacionario, en m3/s pequeña desviación en el gasto de salida, respecto al estado estacionario (m3/s) nivel de carga en el estado estacionario, en m pequeña desviación de la carga con respecto al nivel del estado estacionario.
Si el flujo se considera lineal, el sistema se considera lineal, de otro modo, tendría que linealizarse. Sin embargo, la ecuación diferencial se puede obtener del siguiente modo. El gasto de entrada menos el gasto de salida durante el intervalo de tiempo dt es igual a la cantidad de liquido acumulada en el tanque, lo que nos produce que C
dh dt
= (qi − qo )
Por la definición de resistencia, la relación entre qo y h está dada por
qo =
h R 20
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Y la ecuación diferencial del sistema es, para un valor constante de R, dh RC + h = Rqi dt
donde RC es la constante del sistema. Tomando la transformada de Laplace de toda la ecuación, con sus condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene ( RCs + 1) H ( s) = RQ1 ( s ) . Si se toma a qi como entrada y a h como la salida, la función de transferencia queda como H ( s) Qi ( s )
=
R RCs + 1
.
Por otro lado, si consideramos a qo como la salida, la función de transferencia queda así Qo ( s) Qi ( s)
=
1 RCs + 1
,
tomando en cuenta que
Qo ( s) =
H ( s) R
Con los resultados obtenidos del análisis de un sistema de nivel de líquido de un solo tanque, obtendremos la función de transferencia de un sistema similar, con dos tanques con interacción. O sea, la salida del primer tanque es la entrada del segundo. En todo el análisis subsecuente se supondrá que se tiene un flujo laminar en el sistema. Las ecuaciones para este sistema son, entonces las siguientes Tanque 1
Q +q
Tanque 2
H1 +h1
C 1
R1
H2 +h2
C 2
R2 Q + q2
Q + q1 Sistema de nivel de líquido con interacción.
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CONTROL I
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C 1
dh1 dt
= (qi − q1 )
→
Qi ( s)
C 1 sH 1 ( s ) = Qi ( s) − Q1 ( s)
H 1 (s)
1 C 1 s
Q1 ( s)
R1
=
(h1 − h2 )
q1
H 1 (s)
→
R1
1
=
H 1 ( s) − H 2 ( s) Q1 ( s)
Q1 ( s)
R1
H 2 ( s) Los grupos de ecuaciones anteriores nos dan la relación de la capacitancia y la resistencia para el primer tanque, así como su interacción con el tanque 2. en la extrema derecha se pueden apreciar sus respectivos diagramas de bloques.
Q1( s)
H 2 (s)
1 C 2 s
C 2
dh2 dt
=
(q1 − q0 )
C 2 sH 2 ( s ) = Q1 ( s ) − Q2 ( s)
→
Qo ( s )
H 2 ( s ) R2
=
h2 qo
→
R2
=
H 2 ( s)
1
Qo ( s)
R2
Qo ( s )
Las relaciones de resistencia y capacitancia para el segundo tanque se definieron en las ecuaciones de arriba. En cada una de las ecuaciones anteriores, las de la columna izquierda representan la ecuación diferencial; en el centro están indicadas las transformadas de Laplace para cada una de las ecuaciones, y, como se mencionó ya, su respectivo diagrama de bloques a la extrema derecha. Al unir todos los diagramas de bloques de cada par de ecuaciones, obtenemos el siguiente diagrama de bloques del sistema, en donde se aprecian las relaciones descritas en la figura de los dos tanques.
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CONTROL I
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Al simplificar, por el álgebra de bloques, tenemos finalmente la función de transferencia, esta vez representada en un diagrama de bloques.
Adviértase la semejanza entre esta última función encontrada y la que se dedujo del análisis de circuito eléctricos en cascada. Comparando ambos arreglos, se ve que el presente sistema es análogo al eléctrico en cascada. En el sistema de nivel, la salida del tanque 1 a través de la primera válvula de carga (R1), es la entrada del segundo sistema del tanque 2. Bibliografía
Brogan, W. L. , TEORÍA DE CONTROL MODERNO. Capítulo 1. Editorial Prentice-Hall. México 1985. Hostetter, G.; Savant C.; Stefani, R. SISTEMAS DE CONTROL. Capítulo 1. Edit Mc Graw- Hill Hispanoamericana de México, S.A. de C. V. México 1990 Johnson, D., Hilburn, J., Johnson, J., Scott, P., ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Quinta edición. Capítulos 4, 5 y 6. editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México 1996. Ogata Katsuhiko. INGENIERÍA DE CONTROL MODERNO. Segunda edición. Capítulo 2. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. México 1993.
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