ING. SISTEMAS E INFORMATICA
INVESTIGACION INVESTIG ACION OPERATIVA II METODO MONTECARLO
Alumno:
Edwin Vasque Villanue!a
CICLO:
VI
Introducción
La in!en"i#n del m$%odo de Mon%e Ca&lo se asi'na a S%an (lam ) a *o+n !on Neumann. (lam +a e,-li"ado "#mo se le o"u&&i# la idea mien%&as u'a/a un soli%a&io du&an%e una en0e&medad en 1234.
El m$%odo de Mon%e Ca&lo es un m$%odo no de%e&min5s%i"o o es%ad5s%i"o num$&i"o usado -a&a a-&o,ima& e,-&esiones ma%em6%i"as "om-leas ) "os%osas de e!alua& "on e,a"%i%ud. El m$%odo se llam# as5 en &e0e&en"ia al Casino de Mon%e"a&lo 7P&in"i-ado de M#na"o8 -o& se& 9la "a-i%al del ue'o de aa&; al se& la &ule%a un 'ene&ado& sim-le de n
El uso de los m$%odos de Mon%e Ca&lo "omo +e&&amien%a de in!es%i'a"i#n; -&o!iene del %&a/ao &ealiado en el desa&&ollo de la /om/a a%#mi"a du&an%e la se'unda 'ue&&a mundial en el La/o&a%o&io Na"ional de Los =lamos en E(A.
SIMULACIÓN M É T OD O M O N TE C A R LO •
Simulación : es el -&o"eso de dise>a& ) desa&&olla& un modelo
"om-u%a&iado de un sis%ema o -&o"eso ) "ondu"i& e,-e&imen%os "on es%e modelo "on el -&o-#si%o de en%ende& el "om-o&%amien%o del sis%ema o e!alua& !a&ias es%&a%e'ias "on las "uales se -uede o-e&a& el sis%ema 7S+annon Ro/e&%8 •
Modelo de simulación: "onun%o de +i-#%esis a"e&"a del 0un"ionamien%o del sis%ema e,-&esado "omo &ela"iones ma%em6%i"as )?o l#'i"as en%&e los elemen%os del sis%ema.
•
Proceso de simulación: ee"u"i#n del modelo a %&a!$s del %iem-o en un o&denado& -a&a 'ene&a& mues%&as &e-&esen%a%i!as del "om-o&%amien%o.
•
•
Métodos de simulación
Simulación estadística o Monte Carlo: Es%6 /asada en el mues%&eo
sis%em6%i"o de !a&ia/les alea%o&ias. •
Simulación continua: Los es%ados del sis%ema "am/ian "on%inuamen%e
su !alo&. Es%as simula"iones se modelan 'ene&almen%e "on e"ua"iones di0e&en"iales. •
Simulación por eventos discretos: Se de0ine el modelo "u)o
"om-o&%amien%o !a&5a en ins%an%es del %iem-o dados. Los momen%os en
los que se -&odu"en los "am/ios son los que se iden%i0i"an "omo los e!en%os del sis%ema o simula"i#n. •
Simulación por autómatas celulares: Se a-li"a a "asos "om-leos; en
los que se di!ide al "om-o&%amien%o del sis%ema en su/sis%emas m6s -eque>os denominadas "$lulas. El &esul%ado de la simula"i#n es%6 dado -o& la in%e&a""i#n de las di!e&sas "$lulas.
Etapas del proceso de simulación o
Definición, descripción del problema. Plan.
o
Formulación del modelo.
o
Programación .
o
Verificaciçon y Validación del modelo.
o
Diseño de experimentos y plan de corridas.
o
Anlisis de resultados
Diagrama de flujo del modelo de simulación
Reunir datos y elaborar el modelo
NO Programar el modelo NO Está validada?
Está verifcada?
S
S! Diseñar el experimento
NO Documentar y Poner en práctica Está completa?
S!
Lenguajes de simulación
Simula"i#n Con%inua: 11@?CSMP; @4 CSMP ) DBNAMO; MISTRAL
Simula"i#n a E!en%os Dis"&e%os: GPSS; SIMSCRIPT; SDL?SIM.
Pa&a "asos sim-les -odemos &e"u&&i& a la u%ilia"i#n de -lanillas de "6l"ulo.
Tam/i$n -odemos im-lemen%a& a-li"a"iones en los len'uaes Fo&%&an; C; *a!a; De-+i;...
•
¿Por qué Simulación en Investigación Operativa? ♦
Los responsables de la toma de decisiones necesitan información cuantificable, sobre diferentes hechos que puedan ocurrir.
♦
La simulación constituye una técnica económica que nos permite ofrecer varios escenarios posibles de un modelo del negocio, nos permite equivocarnos sin provocar efectos sobre el mundo real.
♦
Podemos afirmar entonces,que la simulación es una rama experimental dentro de la Investi ación O erativa .
•
Números aleatorios
De/en %ene& i'ual -&o/a/ilidad de sali& ele'idos.
No de/e e,is%i& "o&&ela"i#n se&ial
Se 'ene&an -o& %a/las 7Rand 128; o -o& dis-osi%i!os es-e"iales: &ule%a. En la -&6"%i"a se u%ilian al'o&i%mos ) se 'ene&an n
•
Números Pseudo aleatorios
Sus%i%u)en a los n
Se 'ene&an -o& al'o&i%mos o 0#&mulas.
Se de/e ase'u&a& la e,is%en"ia de se"uen"ias la&'as )
densas.
•
eneración de Números Pseudo aleatorios !entros !uadrados: •
33 1 934
2@
.
"#todos !ongruenciales: •
x n $%ax n&' ( c) %mod m
*ransformación +nersa •
•
,FH17,8 siendo F7,8P&o/7J,8
S ! M "L # C! $N M %N & E C# 'L %
"os m#todos de $onte %arlo abarcan una colecci&n de t#cnicas 'ue permiten obtener soluciones de problema
•
(! S & %'! #
o
El m$%odo 0ue llamado as5 -o& el -&in"i-ado de M#na"o -o& se& KKla "a-i%al del ue'o de aa&; al %oma& una &ule%a "omo un 'ene&ado& sim-le de n
o
El uso &eal de los m$%odos de Mon%e Ca&lo "omo una +e&&amien%a de in!es%i'a"i#n; -&o!iene del %&a/ao de la /om/a a%#mi"a du&an%e la Se'unda Gue&&a Mundial. Es%e %&a/ao in!olu"&a/a la simula"i#n di&e"%a de -&o/lemas -&o/a/il5s%i"os de +id&odin6mi"a
"on"e&nien%es
a
la
di0usi#n
de
neu%&ones
alea%o&ios en ma%e&ial de 0usi#n. o
A
los
m$%odosKKde
di!isi#n.
Sin
em/a&'o; el desa&&ollo
sis%em6%i"o de es%as ideas %u!o que es-e&a& el %&a/ao de a&&is ) e&man a+n en 123. A-&o,imadamen%e en el mismo a>o; Fe&mi; Me%&o-olos ) (lam o/%u!ie&on es%imado&es -a&a los !alo&es "a&a"%e&5s%i"os de la e"ua"i#n de S"+&din'e& -a&a la "a-%u&a de neu%&ones a ni!el nu"lea&. o
Al&ededo& de 12Q; los desa&&ollos %e#&i"os en "om-leidad "om-u%a"ional "omienan a -&o!ee& ma)o& -&e"isi#n ) &ela"i#n -a&a el em-leo del m$%odo Mon%e Ca&lo. La %eo&5a iden%i0i"a una "lase de -&o/lemas -a&a los "uales el %iem-o ne"esa&io -a&a e!alua& la solu"i#n e,a"%a al -&o/lema "&e"e "on la "lase; al menos e,-onen"ialmen%e "on M. La "ues%i#n a se& &esuel%a e&a
si MC -udiese o no es%ima& la solu"i#n al -&o/lema de %i-o in%&a%a/le "on una ade"ua"i#n es%ad5s%i"a a"o%ada a una "om-leidad %em-o&al -olinomial en M. a&-7128
!
•
mues%&a es%a -&o-iedad -a&a es%ima& en una &ed -lana mul%i%e&minal "on a&"os 0allidos alea%o&ios. D)e&71228 u%ilia MC -a&a es%ima& el !olumen de un "on!e, /od) en el es-a"io Eu"lidiano MHdimensional. &ode&71248; *e&&um ) Sin"lai& 7128 es%a/le"en la -&o-iedad -a&a es%ima& la -e&sis%en"ia de una ma%&i o en 0o&ma equi!alen%e; el n
•
#L %' ! & M%S
o
El al'o&i%mo de Simula"i#n Mon%e Ca&lo C&udo o Pu&o es%6 0undamen%ado en la 'ene&a"i#n de n
•
Determinar la-s V.A. y sus distribuciones acumuladas%F)
•
enerar un n/mero aleatorio
•
uniforme
•
Determinar el alor de la V.A. para el n/mero
•
%0,').
aleatorio generado de acuerdo a las clases
+terar tantas eces como muestras necesitamos
1ue tengamos.
•
•
!alcular media, desiación estndar error y reali2ar el 3istograma ) Anali2ar resultados para distintos tamaños de muestra )
o
O%&a o-"i#n -a&a %&a/aa& "on Mon%e Ca&lo; "uando la !a&ia/le alea%o&ia no es di&e"%amen%e el &esul%ado de la simula"i#n o %enemos &ela"iones en%&e !a&ia/les es la si'uien%e:
•
Diseñar el modelo lógico de decisión
•
4specificar distribuciones de probabilidad para las ariables aleatorias releantes.
•
+ncluir posibles dependencias entre ariables.
•
"uestrear alores de las ariables aleatorias.
•
!alcular el resultado del modelo seg/n los alores del muestreo %iteración) y registrar el resultado
•
5epetir el proceso 3asta tener una muestra estad6sticamente representatia
•
7btener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones
•
!alcular media, des6o.
•
Anali2ar los resultados
o
Las -&in"i-ales "a&a"%e&5s%i"as a %ene& en "uen%a -a&a la im-lemen%a"i#n o u%ilia"i#n del al'o&i%mo son:
•
El sis%ema de/e se& des"&i-%o -o& 1 o m6s 0un"iones de dis%&i/u"i#n de -&o/a/ilidad 70d-8
•
Gene&ado& de n
•
Es%a/le"e& l5mi%es ) &e'las de mues%&eo -a&a las 0d-: "ono"emos que !alo&es -ueden ado-%a& las !a&ia/les.
•
De0ini& S"o&in': Cuando un !alo& alea%o&io %iene o no sen%ido -a&a el modelo a simula&.
•
Es%ima"i#n E&&o&: Con que e&&o& %&a/aamos; "uan%o e&&o& -odemos a"e-%a& -a&a que una "o&&ida sea !6lida
•
T$"ni"as de &edu""i#n de !a&iana.
•
Pa&alelia"i#n ) !e"%o&ia"i#n: En a-li"a"iones "on mu"+as !a&ia/les se es%udia %&a/aa& "on !a&ios -&o"esado&es -a&alelos -a&a &ealia& la simula"i#n.
•
E* E MP L % P '#C &! C % !
o
Tenemos la si'uien%e dis%&i/u"i#n de -&o/a/ilidades -a&a una demanda alea%o&ia ) que&emos !e& que su"ede "on el -&omedio de la demanda en !a&ias i%e&a"iones: a i c n e u c e r F
Demanda
/*00 0*10 0*20 0*30 0*30 0*40 0*40 0*40 0*/0 0*/0 0*00 3435315/53
Unidades
o
(%iliando la dis%&i/u"i#n a"umulada7 F%x) es la probabilidad 1ue la ariable aleatoria tome alores menores o iguales a x 8
-odemos de%e&mina& "ual es el !alo& o/%enido de unidades "uando se 'ene&a un n
•
U
•
F
•
•
3 3 3
•
. . . . .
•
• • • •
o
• • • •
• • • •
Frec .1 .@ .Q .2 1.
Gene&ando los !alo&es alea%o&ios !amos a !e& "omo se o/%iene el !alo& de la demanda -a&a "ada d5a; in%e&es6ndonos en es%e "aso "omo es el o&den de a-a&i"i#n de los !alo&es. Se /us"a el n
•
en"on%&ado7 si no es el !alo& e,a"%o; $s%e de/e se meno& que el de la 0ila sele""ionada -e&o ma)o& que el de la 0ila an%e&io&8; de esa 0ila %omada "omo solu"i#n se %oma el !alo& de las unidades 7Cuando %&a/aamos en E,"el de/emos %oma& el l5mi%e in0e&io& del in%e&!alo -a&a /us"a en las a"umuladas; -a&a -ode& em-lea& la 0un"i#n (SCARV78; -a&a 3 se&5a ; -a&a 3@ ;11 ) as5 su"esi!amen%e8. Eem-lo: Su-on'amos que el n
Demanda
a"umuladas; e,a"%o
/*40 /*00 0*10 0*20 00*3,50 2 0*40 0*00
0*60
/*00
!alo&
a-a&e"e;
el
si'uien%e ma)o& es ;Q ) "o&&es-onde
0*70
a
3
unidades. 0*80
0*/0 s a i c n e u c e r F
no
ese
3435
31
5/
53
Se -uede a-&e"ia& meo& en el '&60i"o;
Unidades
%&aando una &e"%a desde el ee de la 0&e"uen"ia
+as%a
que in%e&se"%a "on la
l5nea
de
la
0un"i#n a"umulada; lue'o se /aa a la "oo&denada unidades o/%iene
de )
el
se !alo&
"o&&es-ondien%eU en es%e "aso 3.
Cuando %&a/aamos "on
!a&ia/les
dis"&e%as la 0un"i#n Número
Númer
de
os
a"umulada %iene un
Valor
in%e&!alo
de la
"
#.
!
%
#.
!"
'
#.
!"
.
...
...
n
#.
(
o
sal%o
-a&a "ada !a&ia/le7 -a&a •
"asos -&6"%i"os +a) que de0ini& los in%e&!alos ) lue'o "on una 0un"i#n de /
el !alo&8. Pa&a 0un"iones "on%inuas se -uede +alla& la in!e&sa de la 0un"i#n a"umulada.
o
De es%a 0o&ma lo'&amos a -a&%i& de la dis%&i/u"i#n de densidad "al"ula& los !alo&es de la !a&ia/le alea%o&ia dada.
o
En la si'uien%e %a/la; !emos "omo a medida que aumen%a el nume&o de simula"iones; el !alo& simulado se a"e&"a al !alo& o&i'inal de la media ) des!ia"i#n es%6nda&; adem6s de la disminu"i#n del e&&o& %5-i"o.
•
• •
Cantidad de • •
• •
%&&& %&&&&
%& %&&
• • • • •
•
Medi
3.4 3.1 3Q. 3Q.
•
• • • • •
De#$
@.31 @.14 @. @.@
• • • • •
Err 1. .@ .1 .
•
E* E MP L % P '#C &! C % ! !
o
Analia&emos a+o&a una -&o-ues%a -a&a la 0a/&i"a"i#n de un nue!o a&%5"ulo du&an%e 3 a>os. Con los da%os de la si'uien%e %a/la:
QW de
Coto de 'ueta en
1
!arc(a
los
#aria)"
in'&esos
*recio de
@
Coto
1W
Coto ,i-o
1
Taa De!an
@3W
da
unida
A!orti.ación
1
anua"
o
Coto
1
La demanda es la !a&ia/le alea%o&ia de nues%&o modelo; )a que -uede %oma& los si'uien%es !alo&es: ;2;1;11;1; es una dis%&i/u"i#n dis"&e%a uni0o&me. Pa&a -ode& simula& los !alo&es de es%a
!a&ia/le
u%ilia&emos
la
0#&mula
ENTERO7XALEATORIO788. De/ido a que los in%e&!alos son %odos de i'ual %ama>o 71?8; es i'ualmen%e -osi/le que ALEATORIO78 lle'ue a "ada uno de ellos; ) -o& lo %an%o es i'ualmen%e -osi/le que la 0#&mula de "ualquie&a de los "in"o !alo&es -osi/les. La 0un"i#n ALEATORIO78 de E,"el 'ene&a un n
n
o
•
valoresi
"o&&es-ondien%e del E,"el "on un in%e&$s del 1W 7+N#
•
8.
Y En la "olumna
•
i
% , % Z tasa -
i
"o&&es-ondien%e al a>o 1 se +an indi"ado las 0o&mulas que de0inen "ada !alo&8 en los 3 a>os; u%iliando el si'uien%e modelo ma%em6%i"o de la si%ua"i#n:
•
A
•
A/o
•
A
•
•
ENT
•
1
•
•
P&e"
•
•
Coto Fi-o
•
•
Cos%
•
3 1
Coto
•
•
QW
•
A!orti.aci
•
•
1 In'&
• •
De!anda
•
In0reo
•
•
•
•
•
Uti"idad
•
•
• •
•
Uti"idad
•
F"u-o neto
•
•
+a"or Neto
•
Actua"
H H 1 1 4
• • • •
A
•
•
A •
•
•
@ 1
•
@ 1
@
•
•
•
1
•
1
•
1
•
•
•
•
(%ili (%ili
•
•
•
•
•
@
•
@
•
4
•
3
•
3
•
•
•
o
A+o&a &ealia&emos !a&ias "o&&idas "on di0e&en%es %ama>os de mues%&a -a&a !e& que su"ede "on el VNA.
o
A&mamos en o%&a +oa un "uad&o "on dos "olumnas ) %an%as 0ilas "omo i%e&a"iones7%ama>o de la mues%&a8 deseemos &ealia&. En la "olumna VNA "o-iamos "on -e'ado es-e"ial70#&mula8 la "elda
del modelo en la "ual se "al"ula el VNA. Sele""ionamos %oda la %a/la ) "on la +e&&amien%a Ta/la en Da%os se 0o&ma una %a/la din6mi"a que "on%end&6 las simula"iones -a&a la "an%idad de i%e&a"iones que +a'amos.
o
Lue'o -a&a "ada %ama>o de mues%&a a-li"a&emos Es%ad5s%i"a des"&i-%i!a7En +e&&amien%as; An6lisis de da%os8 e is%o'&ama 7las "lases que u%iliamos son: H@; H;
•
H1; ; 1; ; @8
A+o&a &ealiamos De#iació
Cantidad Media de s5n%esis Iteracion %& 1@@. simula"iones %&& 1@1. 3&& 144. %&&& 113Q. 3&&& 141. %&&&& 1@Q.
n
M12i!o
Et1ndar 133. 33F23.OF -a&a desa&&olladas 1@@2. 33QFO.Q1 1@. 32A4Q.DD 1222. 32A4Q.DD 1@. 32A4Q.DD 123. 32A4Q.DD
M$ni!o H H H H H H
una
Error @. 1@@2. 2.Q 311.2 1. 12.3 •
de las -ode& !e& que su"edi# "on el modelo:
Histograma para 10 iteraciones a i c n e u c e r F
3*5 3 5 8* 8 4*5 4 /*5 /5 0*0
/40*00: /00*00: 10*00: 20*00: 9recu encia 30*00: 40*00: *00:
: acum ulado
Clase
o
El !alo& de la media ) des!ia"i#n es%6nda& se es%a"ionan a medida que aumen%a la "an%idad de i%e&a"iones. Tam/i$n; "omo "#
; ; ; 80 40 /0 00 00 00 0 0 0
0 / 0 0 0 0
4 0 0 0 0
8 0 0 0 0
3 0 0 0 0
5 0y mayo 0 r*** 0 0
-odemos o/se&!a& en el '&60i"o; disminu)e no%a/lemen%e el e&&o&. Tam/i$n el modelo nos -&esen%a ma)o& !a&ia/ilidad -a&a los !alo&es m6,imo ) m5nimo.
Resumen 20000 50000 30000 80000 40000 /0000 0 ;/0000 ;40000 ;80000 N°Experimentos
$ediaDesviaci&n Estandar$aximo$inimoError
"#
•
# P L ! C # C ! % N E S
•
C&i-%o'&a05a.
•
C&omo din6mi"a
o&'ania"i#n indus%&ial.
"u6n%i"a. •
Densidad ) 0luo de %&60i"o.
•
Dise>o de &ea"%o&es nu"lea&es.
M$%odos "uan%i%a%i!os de
•
•
•
P&o'&amas de "om-u%ado&a.
•
P&on#s%i"o del 5ndi"e de la /olsa.
P&os-e""iones en e,-lo%a"iones -e%&ol50e&as. •
Radio%e&a-ia "on%&a el "6n"e&.
•
Dise>o de VLSI.
•
Sis%emas de "olas.
•
E"olo'5a.
•
Sis%emas de in!en%a&io P ) [.
•
E"onome%&5a.
•
Valo&a"i#n de "a&%e&a de !alo&es.
•
E!olu"i#n es%ela&.
•
F5si"a de ma%e&iales.
•
S!N&ES!S
o
El m$%odo de Mon%e Ca&lo es una +e&&amien%a de in!es%i'a"i#n ) -laneamien%oU /6si"amen%e es una %$"ni"a de mues%&eo a&%i0i"ial; em-leada -a&a o-e&a& num$&i"amen%e sis%emas "om-leos que %en'an "om-onen%es alea%o&ios o de%e&min5s%i"os; man%eniendo %an%o
""
•
la en%&ada "omo la salida un "ie&%o '&ado de in"e&%idum/&e. En In#eti0ación O'erati#a4 Monte Car"o e uti"i.ado con ,ine e2'eri!enta"e4 e decir e 'ueden e"a)orar ditinto !ode"o e ir interca!)iando 'ar1!etro 'ara etudiar cua"e on "o 'oi)"e reu"tado5 o
Cuando el %ama>o de las mues%&as es &ela%i!amen%e &edu"ido; los &esul%ados o/%enidos
•
en la simula"i#n -ueden se& mu) sensi/les a las "ondi"iones ini"iales. o
(n 6&ea de in!es%i'a"i#n es%6 "ons%i%uida -o& los m$%odos [uasiH Mon%e Ca&lo; es%os m$%odos /6si"amen%e a"o%an la 'ene&a"i#n de los n
No debemos confundir la simulación con un método de optimización como por e!emplo el Simplex" #n los métodos de Optimización las variables de decisión son las salidas de la técnica a las cuales buscamos calcular el$los valor$es óptimo$s por el contrario en %onte &arlo u otro tipo de simulación dic'as variables constitu(en las entradas del mismo) el modelo simulado propuesto eval*a distintas alternativas para un con!unto particular de soluciones"
"$
CONCLUSION
El m$%odo de Mon%e"a&lo 0ue "&eado -o& in!es%i'ado&es es%adounidenses -a&a &esol!e& -&o/lemas 05si"os ) qu5mi"os en la &ealia"i#n de la /om/a a%#mi"a -a&a la "ual se em-le# du&an%e la Se'unda Gue&&a Mundial. Des-u$s de es%o el modelo 0ue em-leado -a&a la &esolu"i#n de m
La im-o&%an"ia a"%ual del m$%odo Mon%e"a&lo se /asa en la e,is%en"ia de -&o/lemas que %ienen di05"il solu"i#n -o& m$%odos e,"lusi!amen%e anal5%i"os o num$&i"os; -e&o que de-enden de 0a"%o&es alea%o&ios o se -ueden aso"ia& a un modelo -&o/a/il5s%i"a a&%i0i"ial 7&esolu"i#n de in%e'&ales de mu"+as !a&ia/les; minimia"i#n de 0un"iones; e%".8.
G&a"ias al a!an"e en dise>o de los o&denado&es; "6l"ulos Mon%e"a&lo que en o%&o %iem-o +u/ie&an sido in"on"e/i/les; +o) en d5a se -&esen%an "omo asequi/les -a&a la &esolu"i#n de "ie&%os -&o/lemas.
Es%e m$%odo es a-li"a/le -a&a "ualquie& %i-o de -&o/lema )a sea de%e&min5s%i"o o es%o"6s%i"os em-leado en -&o/lemas "om-leos que solamen%e se -ueden &esol!e& -o& -&o'&amas de "om-u%ado&a; as5 "omo -&o/lemas sim-les que se &esol!e&6n a mano sin %an%a di0i"ul%ad.
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E--en G.; Gould F.; S"+mid% C.; Moo%&e *.; ) `ea%e%+e&0o&d
L. In!es%i'a"i#n de O-e&a"iones en la Cien"ia Adminis%&a%i!a. Edi%o&ial P&en%i"e all. Edi"i#n. . •
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illie& F; Lie/e&man G. In%&odu""i#n a la In!es%i'a"i#n de
O-e&a"iones. M"G&awHill Edi%o&es. 122Q. •
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Im-a"% o0 Mon%e Ca&lo me%+ods on s"ien%i0i" &esea&"+.
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6%7 Sil!es%&e; Mo&eno; Tos"ana ) Luis. Cu&so de Simula"i#n Mon%e
Ca&lo. III En"uen%&o Na"ional de do"en%es de In!es%i'a"i#n O-e&a%i!a. Fa"ul%ad de Cs. E"on#mi"as. (ni!e&sidad Na"ional del Cen%&o de la P&o!in"ia de uenos Ai&es. 122 %%
•
6%7
Simula"i#n. In%&odu""i#n a la in!es%i'a"i#n de O-e&a"iones.
Fa"ul%ad de In'enie&5a . •
(DELAR. +%%-:??www.0in'.edu.u)?in"o?"u&sos?io?a&"+i!os?%eo&i"o?simula"ion.-d0
•
6%;7 Ta+a . In!es%i'a"i#n de O-e&a"iones una in%&odu""i#n. Ed.
P&en%i"e all. 4 edi"i#n. 122. •
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Ca&lo.
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6%97 TE ``` VIRT(AL LIRARB: RANDOM N(MERS and
MONTE CARLO METODS CARLO
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MONTE
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68&7 `ins%on `. 78 In!es%i'a"i#n de O-e&a"iones. A-li"a"iones ) al'o&i%mos. 3%a edi"i#n. In%e&na%ional T+omson Edi%o&es.
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