Metodo Montecarlo en JAVA

´ Simulaci´ on o n del METODO MONTECARLO en Java aplicado en la aproximaci´ on on de cifras del n´ umero umero PI

Cervantes Parvina Pa´ul ul Eduardo Gonzales Macedo Edinson Guevara Ramirez Cristian Miguel Merino C´ordova ordova Katherin Samill´an an Flores Alexis Smith

11 de octubre de 2016

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Resumen

En el presente trabajo de investigaci´ on se dise˜ nar´an SIMULACIONES para estimar el valor del n´umero Pi. El valor de Pi, se sabe que es un valor irracional. Este valor, de infinitas cifras decimales, ha despertado el inter´es particular de muchos cient´ıficos y personas en todo el mundo, sobre todo a lo largo de la historia. Parecer´ıa ser que encontrar nuevas cifras decimales del valor de Pi, se ha vuelto a lo largo del tiempo, un desaf´ıo m´ as que interesante para muchos matem´ aticos. En el proceso se utilizar´an los modelos denominados:   La aguja de Buffon  y el  M´etodo de Monte Carlo  para ejecutar simulaciones considerando diferentes ´ tama˜ nos o valores como entrada, utilizando NUMEROS ALEATORIOS generados por computadora. Una vez obtenidos los resultados, se comparar´ an con el valor real de Pi, para determinar qu´e tan buenas son las aproximaciones, en funci´on del tama˜ no de la muestra generada. Para la ejecuci´ on del proceso de simulaci´ on se ha utilizado el entorno de desarrollo integrado libre “Netbeans ” bas´andonos en el Lenguaje de programaci´ on Java  y para la emisi´ on del informe respectivo el procesador de texto LATEX.

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´Indice

1. Historia del N´ umero PI .............................................4 2. Objetivo de la Simulaci´ on ..........................................5 3. Antecedente: La Aguja de Buffon ..............................5 3.1 Material necesario ...........................................................6 3.2 M´etodo ............................................................................6

4. Proceso de Simulaci´ on: M´ etodo de MonteCarlo ........7 4.1 Explicaci´ on del M´etodo ...................................................7

5. Simulaci´ on del M´ etodo de MonteCarlo en Java..........8 6. Resultados Obtenidos ...............................................10 7. Discusi´ on de Resultados ...........................................10 8. Conclusiones .............................................................11 9. Referencias.................................................................11

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

1.

Historia del N´ umero PI

Pi es el n´umero que se obtiene de dividir la longitud de una circunferencia por su di´ ametro. No importa el tama˜ no de la circunferencia. Grande o peque˜ na, la proporci´ on entre su longitud y su di´ ametro es siempre la misma. Aunque es probable que esta propiedad fuera conocida con anterioridad, la primeras pruebas que tenemos de su conocimiento son el papiro de Mosc´ u de 1850 a.C. y el papiro Rhind de 1650 a.C. (aunque es una copia de un documento m´as antiguo. En ellos se tratan varios problemas matem´ aticos, en algunos de los cuales se aproxima a PI como 256/81, lo que se desv´ıa poco m´as del 0.6 % de su valor real. Los ge´ ometras de la Grecia cl´asica sab´ıan que la raz´on entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su di´ ametro es siempre una constante (el n´ umero al que ahora llamamos pi). Tambi´en conoc´ıan y hab´ıan conseguido demostrar que tanto la raz´ on entre el a´rea de un c´ırculo y su di´ ametro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su di´ ametro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de “Los Elementos” de Euclides). Fue Arqu´ımedes (siglo III a. de C.) quien determin´ o que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con pi. Adem´ as, utiliz´o el m´etodo de exhauci´on, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia pol´ıgonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magn´ıfica aproximaci´ on (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), el n´ umero buscado est´ a entre 3.1407 y 3.1428 (se puede ver en su obra “Sobre la medida del circulo”). La notaci´ on con la letra griega π  proviene de la inicial de las palabras de origen griego (periferia) y (per´ımetro) de un c´ırculo, notaci´ on que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matem´ atico gal´es William Jones (1675-1749), aunque fue el matem´ atico Leonhard Euler, con su obra Introducci´on al c´alculo infinitesimal  de 1748, quien la populariz´ o.  

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El valor de π   se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matem´ aticas que m´as aparece en las ecuaciones de la f´ısica. El r´ecord actual es de 2.576.980.370.000 de decimales, y lo calcul´o Daisuke Takahashi en un superordenador T2K Tsukuba System. El valor m´as antiguo que se conoce es 3,1605 y aparece escrito en el “Papiro de Ahmes”, encontrado en Egipto y datado en el a˜ no 1900 antes de Cristo.

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

2.

Objetivo de la Simulaci´ on

El objetivo de este proyecto es realizar una simulaci´ on del m´etodo de Montecarlo y la aguja de Buffon. Estos m´etodos se llevar´ an a cabo para estimar el valor m´as cercano y aproximado del n´ umero irracional Pi.

3.

Antecedente: La aguja de Buffon

Georges Louis Leclerc (1707-88), Conde de Buffon fue un c´elebre naturalista franc´es autor de una monumental Historia Natural en 44 tomos que recopilaba el conocimiento cient´ıfico con un fin eminentemente divulgativo. Hoy en d´ıa su nombre aparece muchas veces asociado a un problema denominado “La aguja de Buffon” que relaciona el n´ umero pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada. Este experimento consiste en dejar caer una aguja sobre una hoja rayada y anotar las veces que la aguja cruza alguna de las rayas. Despu´es de lanzar la aguja much´ısimas veces comprob´ o que su experimento estaba ´ıntimamente relacionado con el n´ umero . Para obtener un n´ umero muy parecido a , hay que dejar caer la aguja much´ısimas veces sobre la hoja, multiplicar esta cantidad por dos y dividir el resultado entre el n´ umero de veces que la aguja cruz´ o alguna de las rayas. Buffon demostr´ o que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas l´ıneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una l´ınea es:

L(π ) D(2) Vamos a utilizar este resultado para medir pi. Con el llamado problema de “La aguja de Buffon”, (siglo XVIII), nace la teor´ıa de las probabilidades geom´etricas desarrollada poco despu´es por Laplace en su gran tratado “Teor´ıa anal´ıtica de las probabilidades” (1812).

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

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Figura 1: GEORGES LOUIS LECLERC, CONDE DE BUFFON. FUENTE: WIKIMEDIA COMMONS

3.1.

Material Necesario

- Una superficie con l´ıneas paralelas (Puede servir una hoja de papel sobre la que previamente hayas dibujado varias l´ıneas equidistantes o un suelo embaldosado) - Una aguja, palillo u objeto similar, de longitud menor o igual a la distancia entre l´ıneas (Para simplificar es conveniente que la distancia entre dos rayas coincida con la longitud de la aguja)

3.2.

M´ etodo

QuintoCiclo/IO-II/aguja.jpg

Figura 2: EXPERIMENTO DE LA AGUJA DE BUFFON. FUENTE: RECUPERADO DE www.ciencianet.com - Deja caer, de la forma m´ as aleatoria posible, la aguja sobre la superficie. - Anota el n´ u mero de tiradas y el n´ umero de veces que la aguja corta a una l´ınea. - El cociente entre el n´ u mero total de tiradas y el n´ umero de veces que la aguja corta a una l´ınea tiende a pi/2 ( se parecer´ a tanto m´as cuanto 6

´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π mayor sea el n´ umero de tiradas).

2 (n de tiradas) π= n veces que la aguja corta una linea ◦

◦

- Si la aguja tiene una longitud (L) menor que la distancia entre dos l´ıneas (D): 2 (n de tiradas)(D) π= n veces que la aguja corta una linea (L) ◦

◦

´ Proceso de Simulaci´ on: METODO DE MONTECARLO

4.

Todo m´etodo de simulaci´ on pretende comprender el comportamiento de la realidad en base al estudio de un modelo simplificado que represente el comportamiento del objeto de estudio. El m´etodo Montecarlo de simulaci´ on permite estudiar el comportamiento de las variables de salida del modelo en base a dar valores a las variables de entrada, teniendo en cuenta sus distribuciones de probabilidad. Cuanto mayor sea el n´ umero de iteraciones m´ as estables ser´ an los valores obtenidos. Mejor 10,000 iteraciones que 1,000 y aun mejor un mill´ on.

dobi3.png

´ DE PI MEDIANTE EL METODO ´ Figura 3: ESTIMACION MONTECARLO. FUENTE: CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

4.1.

Explicaci´ on del M´ etodo

- Supongamos un cuadrado de lado 2, con un c´ırculo de radio uno, inscrito en el cuadrado.

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π - Elegiremos un punto al azar dentro del cuadro, y observaremos si pertenece o no al a´rea dentro del c´ırculo. - La probabilidad de que un solo punto est´e dentro del c´ırculo, es la raz´ on entre las a´reas, Pi/4. - Despejamos Pi y obtenemos:

PI=

4(cantidad de puntos dentro del c´ırculo ) puntos en total

- Entre mayor sea el n´ umero de puntos, mayor es la aproximaci´ on.

5.

Simulaci´ on del M´ etodo MonteCarlo en Java

- Para nuestro programa de simulaci´ on en Java creamos las siguientes variables: * Una variable tipo int   “contador”, que nos servir´a para contar todos aquellos puntos que caigan dentro del c´ırculo. * Tres variables tipo double: “x” e “y”  las cuales ser´ an ALEATORIAS y  “formula”, la cual ser´a la ra´ız cuadrada de la suma de los cuadrados de nuestras variables aleatorias. * Cuatro variables tipo long:“c”, “d”, “e” y “ j”, esta u ´ ltima representar´ a el n´ umero de puntos en total, y ser´ a la multiplicaci´ on de las tres primeras, para poder obtener un n´ umero suficientemente grande, hasta donde llegar´ an las iteraciones del bucle for. - Creamos un “bucle for” desde i igual a 0 hasta i menor que j, asimismo dentro de este ciclo el condicional “if ” que condicionar´ a si la variable formula es menor o igual que 1, el punto est´a dentro del c´ırculo, y aumentamos el contador de puntos dentro del c´ırculo, de lo contrario, el contador se queda igual. - Una vez obtenida la cantidad de puntos dentro del c´ırculo, los multiplicamos por 4, y lo dividimos entre el n´umero total de puntos. De esta manera obtenemos un valor aproximado de Pi.

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

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´ Figura 4: ALGUNAS CIFRAS DEL N UMERO IRRACIONAL PI. FUENTE: RECUPERADO DE www.investigacionyciencia.es - El c´odigo en Java es el siguiente:

6.

Resultados Obtenidos

El proceso simulaci´ on en NetBeans, mediante el lenguaje de programaci´on Java tom´o un tiempo de ejecuci´ on en consola de 23 horas, 7 minutos y 11 segundos; obteniendo as´ı un valor aproximado para PI=3.1415926535897913.

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

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´ DEL METODO ´ Figura 5: SIMULACION MONTECARLO EN JAVA. FUEN´ TE: ELABORACION PROPIA

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

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´ DEL METODO ´ Figura 6: RESULTADO DE LA SIMULACION DE MON´ TECARLO EN JAVA. FUENTE: ELABORACI ON PROPIA

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

7.

Discusi´ on de resultados - Con los resultados obtenidos, logramos tener una aproximaci´on de 14 cifras decimales del n´ umero PI. - Cabe resaltar que las simulaciones de las variables “x” e “y” se generaron aleatoriamente y cada vez que se ejecuta el programa los n´ umeros pueden cambiar. - Mediante las pruebas que se fueron realizando (aproximadamente 50 simulaciones, apoyados de 5 ordenadores distintos) cada vez que se iba aumentando el n´ umero de iteraciones en el bucle for, el tiempo de ejecuci´ on tambi´en se incrementaba. Hasta que se lleg´ o a la u ´ltima simulaci´on, donde se obtuvo la aproximaci´ on m´as cercana a π  (14 cifras id´enticas halladas).

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´ DE 14 CIFRAS DECIMALES AL NUMERO ´ Figura 7: APROXIMACION PI ´ ´ MEDIANTE METODO DE MONTECARLO. FUENTE: ELABORACION PROPIA

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´ DEL NUMERO ´ SIMULACION π

8.

Conclusiones - Con este experimento se puede concluir que para calcular una aproximaci´ on m´as cercana al n´ umero PI se necesitan de m´ as iteraciones, mientras mas iteraciones realicemos, m´ a s cerca estaremos de π , pues este es un proceso ´ıntegramente de simulaci´ on. - El teorema de Pit´ agoras juega un papel muy importante en el c´alculo de π , ya que fue una herramienta para determinar que puntos ca´ıan fuera o dentro del c´ırculo en la simulaci´ on realizada. - El m´etodo de MonteCarlo es una u´til t´ecnica cuantitativa, ya que se aproxima al comportamiento aleatorio de sistemas reales. Para este experimento se logr´ o aproximarse a una determinada cantidad de cifras decimales del n´ umero PI. - El m´etodo de la Aguja de Buffon fue un antecedente del M´etodo de Simulaci´on de MonteCarlo. - La simulaci´on de este experimento se fundamenta en la utili´ zaci´o n de los NUMEROS ALEATORIOS

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9.

Referencias

[* ] Aigner, M., Ziegler, G. (2005). El libro de las demostraciones. Madrid: Nivola [* ] Mar´ın Uribe, M. (2006). Aproximaci´on a n´ umeros irracionales. Colombia: Universidad de Medell´ın [* ] Simmons, G. (2002). C´ alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica. Madrid: McGraw-Hill [* ] Torija Herrera, R. (1999). Arqu´ımedes alrededor del c´ırculo. Madrid: Nivola [* ] Zh´ ukov, A. (2005). El omnipresente n´ umero PI. Mosc´ u: URSS

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