SIMULACIÓN UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLÍVAR MANUEL SOTO DE LA VEGA 11/09/2017
SIMULACIÓN MONTECARLO
SIMULACIÓN MONTECARLO La simulación de Monte Carlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos. Por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas continuos.
SIMULACIÓN MONTECARLO Los orígenes de esta técnica están ligados al trabajo desarrollado por Stan Ulam y John Von Neumann a finales de los 40 en el laboratorio de Los Alamos, cuando investigaban el movimiento aleatorio de los neutrones. En años posteriores, la simulación de Monte Carlo se ha venido aplicando a una infinidad de ámbitos como alternativa a los modelos matemáticos exactos o incluso como único medio de estimar soluciones para problemas complejos.
SIMULACIÓN MONTECARLO Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulación de números aleatorios. El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico.
SIMULACIÓN MONTECARLO La clave de la simulación MC consiste en crear un modelo matemático del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificando aquellas variables ( inputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema. Una vez identificados dichos inputs o variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente en (1) generar – con ayuda del ordenadormuestras aleatorias (valores concretos) para dichos inputs, y (2) analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de n observaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos será de utilidad para entender el funcionamiento del mismo.
SIMULACIÓN MONTECARLO Así, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulación Monte Carlo en las áreas de la: Matemática
Empresarial
Física
Industrial
Estadística
Económica
Química
Finanzas
Informática
Social
En otras palabras, la simulación de Monte Carlo está presente en todos aquellos ámbitos en los que el comportamiento aleatorio o probabilístico desempeña un papel fundamental.
SIMULACIÓN MONTECARLO Son muchos los estudiosos que han apostado por utilizar hojas de cálculo para realizar simulación Monte Carlo. La potencia de las hojas de cálculo reside en su universalidad, en su facilidad de uso, en su capacidad para recalcular valores y, sobre todo, en las posibilidades que ofrece con respecto al análisis de escenarios. Las últimas versiones de Excel incorporan, además, un lenguaje de programación propio, el Visual Basic for Applications (VBA), con el cual es posible crear auténticas aplicaciones de simulación destinadas al usuario final.
SIMULACIÓN MONTECARLO En el mercado existen de hecho varios complementos de Excel (Add‐Ins) específicamente diseñados para realizar simulación Monte Carlo, siendo los más conocidos: @Risk, Crystall Ball, Insight.xla, SimTools.xla, etc.
SIMULACIÓN MONTECARLO Considerar que esta técnica puede aplicarse tanto a problemas determinísticos (la solución, si existe, es exacta) como a problemas estadísticos o no determinísticos (la solución, si existe, viene caracterizada por un valor medio, una varianza, etc.). De cualquier manera la solución que aporta este método, sea cual sea el problema considerado, es de tipo aproximado y por lo tanto susceptible de caracterizarse como cualquier variable estadística.
SIMULACIÓN MONTECARLO Ejemplo 1:
En la imagen inferior se muestra un análisis histórico de 200 días sobre el número de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial (EIS) residente en un servidor central. La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (número de días que se producen 0, 1, ..., 5 consultas), las frecuencias relativas (10/200 = 0,05, ...), y las frecuencias relativas acumuladas.
SIMULACIÓN MONTECARLO Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día. La respuesta a esta pregunta es fácil si recurrimos a la teoría de la probabilidad:
0 × 0,05 + 1 × 0,1 + ⋯+ 5 × 0,15 2,95 =
Por otra parte, también podemos usar simulación de Monte Carlo para estimar el número esperado de consultas diarias (en este caso se ha podido obtener el valor exacto usando teoría de probabilidad, pero ello no siempre será factible). Veamos cómo
SIMULACIÓN MONTECARLO El gráfico siguiente nos muestra cada una de las probabilidades sobre el número de consultas. En él, se aprecia claramente la relación existente entre probabilidad de cada suceso y el área que éste ocupa.
Ver Excel
SIMULACIÓN MONTECARLO Ejemplo 2:
Aplicación De La Simulación Monte Carlo En El Calculo Del Ri esgo en Excel
SIMULACIÓN MONTECARLO Ejemplo 3:
Al puerto de carga y descarga de la ciudad, llegan durante la noche barcos, que serán descargados durante el día siguiente. El número de barcos que atracan cualquier noche varía entre 0 y 5 barcos. La probabilidad de 0, 1, 2, 3, 4 y 5 llegadas se muestra en la tabla 1. Un estudio realizado por la Dirección del puerto, revela que el número de barcos que se descargan en un día también es variable, dependiendo del tamaño del barco y del tipo de carga que se trate. Los resultados de este estudio, en cuanto a la probabilidad del número de barcos descargados por día, se muestran en la tabla 2.
SIMULACIÓN MONTECARLO Número de llegadas
Probabilidad
0 1 2 3 4 5
0,13 0,17 0,15 0,25 0,2 0,1
Tabla 1
Núm de barcos descargados en Probabilidad un día
1 2 3 4 5
0,05 0,15 0,50 0,20 0,10
Tabla 2
SIMULACIÓN MONTECARLO Los barcos se descargan según el orden de llegada, por lo que cualquier barco que no se haya podido descargar durante el día posterior a la noche de su llegada, deberá pasar otra noche en el puerto para ser descargado en el día siguiente. Debido al importante coste que supone mantener un barco en el puerto por no haber podido descargarlo a tiempo, se estudia la posibilidad de aumentar la plantilla del puerto. Pero antes, la Dirección del puerto quiere saber cuantos barcos se descargan con retraso, para lo cual se simularán 15 días de funcionamiento del puerto.
SIMULACIÓN MONTECARLO CON VARIABLES CONTINUAS
SIMULACIÓN MONTE CARLO Ejemplo 4:
Una empresa está pensando en adquirir una nueva máquina para su producción. Sin embargo, dado el alto costo de la maquina se quiere evaluar el tiempo de vida útil de la máquina. La nueva máquina tiene 5 motores que lo hacen funcionar, pero puede funcionar con solo 2 motores. Según los datos históricos del proveedor, el tiempo de funcionamiento de cada motor se comporta como una variable aleatoria independiente uniforme entre [1000 días, 5000 días]. Para estimar el tiempo de funcionamiento de la máquina, la empresa quiere realizar una simulación Montecarlo, donde se hará 100 experimentos, cada uno de los cuales consistirá en sortear el tiempo de funcionamiento de los motores y observar en que tiempo ya han fallado los x motores. Esta es la variable aleatoria cuyo valor esperado es el tiempo esperado de funcionamiento de la máquina.
SIMULACIÓN MONTE CARLO Recuerde que para calcular un número aleatorio uniforme continuo entre dos rangos, se puede hacer de la siguiente forma: x = a + (b – a) * u Donde a es el intervalo inferior y b el intervalo superior.
Ver Excel
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Las últimas versiones de Excel incorporan un Add-In llamado Análisis de datos. Este complemento proporciona nuevas funcionalidades estadísticas a la hoja de cálculo. Entre ellas, nos interesa destacar la de Generación de variables aleatorias:
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Cantidad de números a generar
Tipo de distribución
Parámetros
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Independientemente del complemento Análisis de datos, es posible usar un resultado muy conocido de la teoría estadística, llamado método de la transformada inversa , para derivar las fórmulas que permiten obtener valores pseudo-aleatorios provenientes de distribuciones como la Weibull o la Lognormal, por ejemplo. En la tabla siguiente se muestran algunas fórmulas que, implementadas en celdas de Excel, nos permiten obtener valores pseudo-aleatorios de algunas de las distribuciones continuas más usadas:
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Añadir, finalmente, que es relativamente sencillo implementar funciones VBA que, haciendo uso del método de la transformada inversa o de otros métodos similares, permitan la generación de valores provenientes de casi cualquier distribución teórica.
SIMULACIÓN MONTE CARLO Ejercicios:
Ver
