Técnica de Montecarlo SIMULACION DE SISTEMAS
Joel Carrizo – Aldeir Herrera – Rubén Díaz UTP | VERAUAS
Contenido Introducción .................................................................................................................................. ....................................................................................................................... ........... 2 Método de Montecarlo ..................................................................... ................................................................................................................. ............................................ 3 Descripción general ...................................................................................... ....................................................................................................................... ................................. 3 Definición ................................................................... ...................................................................................................................................... ................................................................... 4 Monte Carlo y números aleatorios ........................................................................................... 5 Ventajas......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... 5 Ejemplo.................................................................................................................... Ejemplo................................................. ......................................................................................... ...................... 6 Conclusión ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 7 Bibliografía .................................................................. .................................................................................................................................... .................................................................. 8
Introducción El análisis de riesgo forma parte de todas las decisiones que tomamos. Nos enfrentamos continuamente a la incertidumbre, la ambigüedad y la variabilidad. Y aunque tenemos un acceso a la información sin precedentes, no podemos predecir con precisión el futuro. La simulación Monte Carlo permite ver todos los resultados posibles de las decisiones que tomamos y evaluar el impacto del riesgo, lo cual nos permite tomar mejores decisiones en condiciones de incertidumbre.
Método de Montecarlo El método de Montecarlo es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un gener ador simple de números aleatorios. El
nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de raytracing para la generación de imágenes 3D. En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. 1948 . Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como
1 √
en virtud virtud del teorema.
Descripción general Los métodos de Monte Carlo varían, pero tienden a seguir un patrón particular:
Definir un dominio de posibles entradas Generar entradas al azar de una distribución de probabilidad sobre el dominio Realice un cálculo determinista en las entradas Agregue los resultados
Por ejemplo, considere un círculo inscrito en un cuadrado unitario. Dado que el círculo y el cuadrado tienen una relación de áreas que es π / 4, el valor de π se puede aproximar
usando un método de Monte Carlo:
Dibuja un cuadrado, luego inscribe un círculo dentro de él Dispersar uniformemente objetos de tamaño uniforme sobre el cuadrado
Cuenta el número de objetos dentro del círculo y la cantidad total de objetos La relación del recuento interno y el recuento total de la muestra es una estimación de la relación de las dos áreas, que es π / 4. Multiplica el resultado por 4 para estimar π.
En este procedimiento, el dominio de las entradas es el cuadrado que circunscribe el círculo. Generamos entradas aleatorias esparciendo granos sobre el cuadrado y luego realizamos un cálculo en cada entrada (prueba si cae dentro del círculo). Finalmente, agregamos los resultados para obtener nuestro resultado final, la aproximación de π.
Hay dos puntos importantes: Primero, si los granos no están distribuidos uniformemente, entonces la aproximación será pobre. En segundo lugar, debe haber una gran cantidad de entradas. La aproximación es generalmente pobre si solo se arrojan aleatoriamente unos pocos granos al cuadrado completo. En promedio, la aproximación mejora a medida que se eliminan más granos. Los usos de los métodos Monte Carlo requieren grandes cantidades de números aleatorios, y fue su uso el que estimuló el desarrollo de generadores de números pseudoaleatorios, que fueron mucho más rápidos de usar que las tablas de números aleatorios que se habían utilizado previamente para el muestreo estadístico.
Definición No hay consenso sobre cómo se debe definir Monte Carlo. Por ejemplo, Ripley define la mayoría de los modelos probabilísticos como simulación estocástica, con Monte Carlo reservado para la integración de Monte Carlo y las pruebas estadísticas de Monte Carlo. Sawilowsky distingue entre una simulación, un método de Monte Carlo y una simulación de Monte Carlo: una simulación es una representación ficticia de la realidad, un método de Monte Carlo es una técnica que puede pu ede usarse para resolver un problema matemático o estadístico, y una simulación de Monte Carlo usa muestreo repetido para determinar las propiedades de algún fenómeno (o comportamiento). Ejemplos:
Simulación: Dibujar una variable uniforme pseudoaleatoria del intervalo [0,1] se puede usar para simular el lanzamiento de una moneda: si el valor es menor o igual a 0,50, designe el resultado como cabezas, pero si el valor es mayor que 0.50 designan el resultado como colas. Esta es una simulación, pero no una simulación de Monte Carlo. Método de Monte Carlo: Verter una caja de monedas sobre una mesa y luego calcular la proporción de monedas que arrojan cabezas contra colas es un método de Monte Carlo para determinar el comportamiento de los lanzamientos repetidos de monedas, pero no es una simulación. Simulación de Monte Carlo: Dibujar un gran número de variables uniformes pseudoaleatorias del intervalo [0,1], y asignar valores inferiores o iguales a 0,50 como cabezas y mayores de 0,50 como colas, es una simulación Monte Carlo del comportamiento de repetidamente lanzando una moneda.
Monte Carlo y números aleatorios La idea principal detrás de este método es que los resultados se computan en base a un muestreo aleatorio y análisis estadístico repetido. La simulación de Monte Carlo es de hecho experimentaciones aleatorias, en el caso de que los resultados de estos experimentos no sean bien conocidos. Las simulaciones de Monte Carlo se caracterizan típicamente por una gran cantidad de parámetros desconocidos, muchos de los cuales son difíciles de obtener experimentalmente. experimentalmente. Los métodos de simulación de Monte Carlo no siempre requieren números verdaderamente aleatorios para ser útiles (aunque para algunas aplicaciones, como la prueba de primalidad, la imprevisibilidad es vital). Muchas de las técnicas más útiles usan secuencias deterministas, pseudoaleatorias, lo que facilita probar y volver a ejecutar simulaciones. La única cualidad generalmente necesaria para realizar buenas simulaciones es que la secuencia pseudoaleatoria parezca "suficientemente aleatoria" en cierto sentido. Lo que esto significa depende de la aplicación, pero normalmente deberían pasar una serie de pruebas estadísticas. Probar que los números estén distribuidos de manera uniforme o que sigan otra distribución deseada cuando se considera una cantidad lo suficientemente grande de elementos de la secuencia es uno de los más simples y más comunes. Las correlaciones débiles entre muestras sucesivas también suelen ser deseables / necesarias. n ecesarias.
Ventajas La simulación Monte Carlo proporciona una serie de ventajas sobre el análisis determinista o “estimación de un solo punto”:
Resultados probabilísticos. Los resultados muestran no sólo lo que puede suceder, sino lo probable que es un u n resultado. Resultados gráficos. Gracias a los datos que genera una simulación Monte Carlo, es fácil crear gráficos de diferentes resultados y las posibilidades de que sucedan. Esto es importante para comunicar los resultados a otras personas interesadas. Análisis de sensibilidad. Con sólo unos pocos resultados, en los análisis deterministas es más difícil difícil ver las variables que más afectan el resultado. resultado. En la simulación Monte Carlo, resulta más fácil ver qué variables introducidas tienen mayor influencia sobre los resultados finales. Análisis de escenario. En los modelos deterministas resulta muy difícil modelar diferentes combinaciones combinaciones de valores de diferentes valores de entrada, con el fin de ver los los efectos efectos de situaciones situaciones verdaderamente verdaderamente diferentes. Usando la simulación Monte Carlo, los analistas pueden ver exactamente los valores que tienen cada variable cuando se producen ciertos ciertos resultados. resultados. Esto resulta muy valioso para profundizar en los análisis. Correlación de variables de entrada. En la simulación Monte Carlo es posible modelar relaciones interdependientes entre diferentes variables de entrada.
Esto es importante para averiguar con precisión la razón real por la que, cuando algunos factores suben, otros suben o bajan paralelamente. Una ventaja de la simulación Monte Carlo es el uso del muestreo Latino Hipercúbico, que muestrea con mayor precisión a partir de un rango completo de funciones de distribución.
Ejemplo Los programas de diseño asistido por ordenador (CAD) pueden determinar rápidamente el volumen de modelos muy complejos. Estos modelos, en general, no tienen una expresión analítica para determinar su volumen (por ejemplo, para un prisma, área de la base multiplicada por la altura), y la única solución es dividir el modelo en un conjunto de pequeños submodelos (teselación) cuyo volumen pueda determinarse (por ejemplo, dividir el modelo en miles de tetraedros). Sin embargo, esto consume muchos recursos, tanto para la teselación como para el cálculo del volumen de cada uno de los elementos. Por ello utilizan métodos de Montecarlo, más robustos y eficientes. Como el software sí que conoce la expresión analítica de la geometría del modelo (posición de los nodos, aristas y superficies) puede determinar si un punto está dentro del modelo o está fuera con un coste mucho menor que el de determinar un volumen.
En primer lugar el software coloca el modelo dentro de un volumen conocido (por ejemplo, dentro de un cubo de 1 m3 de volumen). A continuación, genera un punto aleatorio del interior del volumen conocido, y registra si el punto "ha caído" dentro o fuera del modelo. Esto se repite un gran número de veces (miles o millones), consiguiendo un registro muy grande de cuántos puntos han quedado dentro y cuántos fuera. Como la probabilidad de que caiga dentro es proporcional al volumen del modelo, la proporción de puntos que han caído dentro con respecto al total de puntos generados es la misma proporción de volumen que ocupa el modelo dentro del cubo de 1 m3.
Si el 50% de los puntos han caído dentro, el modelo ocupa el 50% el volumen total, es decir, 0.5 m3. Evidentemente, cuantos más puntos genere el software, menor será el error de la estimación del volumen.
Conclusión Los métodos de Monte Carlo son una amplia clase de d e algoritmos computacionales que se basan en el muestreo aleatorio repetido para obtener resultados numéricos. Su idea esencial es usar la aleatoriedad para resolver problemas que podrían ser deterministas en principio. A menudo se utilizan en problemas físicos y matemáticos y son más útiles cuando es difícil o imposible utilizar otros enfoques. En principio, los métodos de Monte Carlo se pueden usar para resolver cualquier problema que tenga una interpretación probabilística. probabilística.
Bibliografía
M. Sóbol. Métodos de Montecarlo. Lecciones populares de Matemáticas. Editorial Mir (1976). B. P. Demidowitsch. I. A. Maron, E. S. Schuwalowa. Métodos numéricos de análisis. Editorial Paraninfo (1980). Binder, Kurt (1995). The Monte Carlo Method in Condensed Matter Physics. New York: Springer. ISBN 0-387-54369-4. Caflisch, R. E. (1998). Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods. Acta Numerica. 7. Cambridge University Press. pp. 1 –49. Peña Sánchez de Rivera, Daniel (2001). «Deducción de distribuciones: el método de Monte Carlo», en Fundamentos de Estadística. Madrid: Alianza Editorial. ISBN 84-206-8696-4.
