MÉTODO DE KANI
Este método está basado en el desarrollado inicialmente por Gaspar Kani quien nació en octubre de 1910 en Frantztal, Serbia, que fue publicado en el idioma español por primera vez en 1968, en inglés en 1957 y en la propuesta mejorada por el Ingeniero Japonés Fukuhei TaKabeya, publicada por primera vez en el idioma español en 1969, siendo su primera edición en Inglés en 1965. También se incluyen algunos conceptos desarrollados por Hardy Cross En todas las publicaciones mencionadas se incluía el análisis para pórticos con nodos desplazables. Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano, por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación como son: A) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es decir, todo el material es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades físicas en todas las direcciones y las deformaciones, e , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, s , que resiste y el factor de proporcionalidad se llama modulo de elasticidad, E, es decir, s = E e (Ley de Hooke) B) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la estructura las deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeños de tal manera que la forma de ella no cambia ni se altera apreciablemente C) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente D) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer órden como son: Las deformaciones internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial y torsión así como la existencia de segmentos rígidos se pueden tomar en c uenta o no.
El enfoque de kani está basado en el método de las aproximaciones sucesivas y en la distribución de momentos para expresar el efecto de las rotaciones y desplazamientos nodales. El método iterativo de análisis de estructuras desarrollado por G. Kani, viene a ser extremadamente satisfactorio para el análisis de cualquier estructura convencional para edificios de varios pisos bajo cualquier condición de cargas dadas. Kani propuso extender este método a las estructuras con columnas continuas a través de varios pisos con solo ligeras modificaciones. Los enfoques de Croos y Kani (1930) basados en los métodos de las aproximaciones sucesivas y la distribución de momentos descartan las complejas relaciones matemáticas y por el contrario se apoyan en simplicidades aritméticas. Es erróneo suponer que un método de aproximaciones sucesivas sea un método aproximado. Esencialmente un método aproximado, es aquel que proporciona como su nombre lo indica, valores aproximados, mientras que los métodos de aproximaciones sucesivas arrojan resultados con la precisión deseada por el calc ulista El enfoque del análisis estructural con la aplicación de matrices tuvo las mas grandes contribuciones de 4 protagonistas: Collar, Duncan, Argyris y Turner. Entre 1934 y 1938 los dos primeros publicaron artículos con la representación y terminología para los sistemas materiales que son utilizados hoy en día. En el año 1930 Collar y Duncan formularon la aeroelasticidad discreta en forma matricial. Los primeros dos artículos y el primer libro sobre el tópico apareció en el mundo estructural entre 1934 y 1938. El segundo avance que se realizó en el análisis estructural matricial apareció en los años 1954 y 1955 cuando el profesor Argyris sistematizó una unificación formal de los Métodos de las Fuerzas y de los Desplazamientos utilizando los teoremas de energía dual. Este trabajo sistematizó el concepto de ensamblaje del sistema de ecuaciones estructurales a partir de sus componentes elementales M. Turner propuso en el año 1959 el Método Directo de las Rigideces para el Análisis Estructural, y logró los cambios más dramáticos: un método bastante general y muy eficiente de la implementación computacional del entonces incipiente, Método de los Elementos Finitos. La teoría de la elasticidad es una teoría que ha estado disponible para todos los diferentes enfoques requeridos del análisis estructural, pero requiere de un conocimiento relativamente avanzado en el área de las matemát icas. El enfoque neuronal del método de kani es tolerante a fallas, por ser correctivo, esto permite calificar como un método con eliminación automática de errores a medida que la red
aprende. La comprobación de los resultados que se obtienen después de realizar los productos y sumas de unos pocos valores puede hacerse con finalidad extrema en cualquier elemento de procesamiento o nodo y en cualquier capa de neuronas, sin que para ello se requiera de servicios de expertos en ingeniería estructural. El método de Kani es un método iterativo para dar solución a un sistema hecho por trabes y columnas (en dos dimensiones). Los parámetros de entrada son las propiedades geométricas de los elementos (área, momento de inercia, longitud) propiedad mecánicas y las convexiones con los elementos y apoyos. Los resultados del método son los elementos internos (momentos, fuerzas cortantes y axiales) con ellos podemos diseñar las estructuras a base de marcos rígidos. La determinación del desplazamiento lateral de un piso por el método de Kani requiere efectuar iteraciones para cada columna. Este método también se puede aplicar al análisis con estructuración irregular, acoplado a muros, ya sean vigas o columnas.
CASO ESTRUCTURA SIN DESPLAZAMIENTO La deducción de las normas básicas para el tratamiento de las estructuras sin desplazamiento relativo de sus extremos es completamente análoga a la vista anteriormente en los métodos de ángulos de giro y de flexion y cross; solamente existen ligeros cambios en nomenclatura. De nuevo se considera que el estado final del elemento se alcanza mediante la superposición de 3 efectos: el de las cargas considerando empotramiento en los nudos, el efecto del giro en el nudo (i) y e l efecto del giro en el punto (j).
VENTAJAS
El método de kani maneja aproximaciones sucesivas y, en consecuencia las respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee mientras las hipótesis fundamentales y los datos básicos lo permitan.
La inclusión de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple.
La formulación del procedimiento conduce a una eliminación prácticamente automática de los errores ocasionales.
Es muy fácil verificar en cualquier nudo la verdad de los resultados.
Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se pueden tener en cuenta con muy poco esfuerzo adicional.
No es difícil de aplicar a estructuras con miembros acartelados.
Es fundamentalmente un método de distribución de momentos.
Tiene facilidad de programación y baja exigencia de memor ia de computador.
DESVENTAJAS
Su aplicación está limitada a pórticos octogonales y que no incluye los efectos de los acortamientos axiales, que se hacen cada vez mas importantes al incrementar el número de pisos a los niveles corrientes e n las torres de nuestros días.
Este tipo de método es algo extenso para edificios de muchos pisos por ser método manual.
PROCEDIMIENTO ESTRUCTURA CON DESPLAZAMIENTO:
Se calcula la rigidez
Se calcula el coeficiente de giro
Se calcula el coeficiente de desplazamiento
Momento de empotramiento
Momentos de pisos y momentos finales
ESTRUCTURA SIN DESPLAZAMIENTO:
Calcular la rigidez
Calcular coeficiente de giro
Momento de empotramiento
Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura o sistema estructural del
tipo
fundamentalmente
llamado Pórtico
Plano,
por
medio
de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación En esta metodología se señala un procedimiento para tomar en cuenta si se desea alguna de las tres o todas las consideraciones siguientes: las deformaciones debidas al corte, los segmentos rígidos en los extremos de los miembros, así como también que los miembros puedan ser de sección variable a lo largo de su eje recto. Esto se logra introduciendo sus efectos en la determinación de las constantes elásticas Ci, Cj y C. Otros efectos como el de torsión puede incluirse en estas constantes dejando al lector tal estudio. La convención de signos propuesta por Kani y bajo la cual se deducen todas las expresiones a objeto de mantener su propuesta original es la siguiente:
Esto no quiere decir que no podemos usar la convención de sentido contrario como es el de la convención tradicional de positivos para momentos, giros de juntas y rotaciones de miembros el sentido antihorario. Esto no altera las expresiones deducidas ya que esto equivaldría hacer el mismo procedimiento con sentidos contrarios a los
indicados en las deducciones, es decir: Por lo tanto podemos utilizar cualquiera de los dos sentidos para la convención de signos y será conveniente indicar la que se utilice cada vez que apliquemos este procedimiento de cálculo.
Llama profundamente la atención la poca difusión de este método, que a pesar del tiempo transcurrido desde su publicación, no haya sido divulgado ampliamente por autores modernos especialistas en la temática del Análisis Estructural. El autor no ha conseguido hasta la fecha un método de Análisis Estructural que supere las ventajas que ofrece, inclusive en comparación con uno de los mas conocidos el de Hardy Cross, quien nació en 1885 Virginia, U.S.A., publicado por primera vez en inglés en 1932, desde el punto de vista de lo expedito del procedimiento,
rápida
ejecución manual o
convergencia,
automática.
Además
buena
precisión,
hemos incluido
los
práctico,
autocorrectivo,
denominados
factores
de
transporte definidos en el método de Cross para relacionarlos con este método. Probablemente la deficiente demostración que presentó Kani en su folleto, no dio garantías a estudiosos de la materia de lo poderoso y de la rigurosidad matemática con que se puede demostrar la validez de este método, vacío que creo hemos llenado en estas páginas. Este método puede emplearse para análisis dinámico de estructuras. El autor también ha desarrollado una versión para obtener la frecuencia y período natural de vibración de una estructura, que incluiremos en próximas revisiones.
DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS O ECUACIONES DE ROTACIÓN PARA UN MIEMBRO DE UNA ESTRUCTURA. Estas se definen al aplicar el método llamado de los desplazamientos o de las rotaciones para
un
miembro
cualquiera
en
una estructura
plana,
tomando
en
cuenta
las
cinco hipótesis señaladas en la introducción. Este método es un método de flexibilidad por que determina factores de flexibilidad que son desplazamientos producidos por fuerzas unitarias como veremos más adelante. Para esto se selecciona un miembro cualquiera, que antes de aplicar a la estructura un sistema de cargas estará en una posición inicial y después de aplicar este sistema decargas pasa a una posición deformada como se indica a continuación en la figura 2.1, donde se señalan las deformaciones finales denominadas por θi, rotación en el extremo i, θj, rotación en el
extremo j y
i j, rotación del miembro como si fuera cuerpo rígido. Por principio de superposición
esta deformada puede ser igual a la suma de los dos casos siguientes:
Cálculos Iniciales. 1. Momentos de empotramiento en cada extremo de los miembros, 2. Factores de Nudo que se anotarán en los nudos del marco. 3. Factores de Piso que se registrarán a cada lado de cada piso. 4. Rotaciones Iniciales de Nudo 5. Rotaciones Iniciales de Piso
Cálculos de Procedimiento. 1. Como primera aproximación para la rotación de un piso piso
.
2. Como primera aproximación para la rotación de un nudo nudo
, tómese la rotación inicial del
, tómese la rotación inicial del
. Los métodos que utilizan Las ecuaciones de rotación como son el método de las
rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran métodos de rigidez ya que en ellos las incógnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque indirectamente se utiliza el método de las fuerzas para obtener sus expresiones y las ecuaciones de momentos de empotramiento. El método de flexibilidad aplicado a una estructura cualquiera no es práctico ya que cualquier estructura común indeterminada tiene muchos sistemas primarios isostáticos, mientras que la rigidez de cualquier miembro y toda una estructura es única.
EXPRESIONES PARA DETERMINAR EN LOS EXTREMOS DE UN MIEMBRO LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO. S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)
Aplicando el método de las fuerzas, seleccionando un sistema primario isostático eliminando las fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos de empotramientos MEi j y MEj i se puede establecer que este caso será igual utilizando el principio de superposición a la suma de los tres casos indicados en la siguiente figura:
Casos equivalentes por el método de las fuerzas. Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones de compatibilidad de deformaciones o deformaciones consistentes, es decir, las deformaciones en el sistema original en los extremos del miembro deben ser iguales por el principio de superposición a las sumas correspondientes a los tres sistemas, como es: 0 = fi, 0 + MEi j (fi,i) + MEj I (fi,j ) .... 0 = fj,0 + MEi j (fj,i) + MEj I ( fj,j ).. donde los valores f i j son los que hemos llamado anteriormente factores de flexibilidad y estos son siempre deformaciones o desplazamientos, de tal manera que uno de ellos es la deformación en la dirección de i producido por una fuerza unitaria en la dirección j. En el caso de fi,0 y fj,0 son las deformaciones en las direcciones i,j respectivamente producidas en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas ecuaciones de compatibilidad se resuelven obteniéndose: Los factores de flexibilidad f por medio del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera que el sistema virtual con fuerza unitaria será el que indica el primer subíndice y el otro sistema es el que corresponde al segundo subíndice.
INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, M´´i j DEBIDO A LA ROTACION O GIRO DE
En el caso de pórticos solo los elementos verticales o columnas son los que sufrirán giro de miembro que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las columnas son los únicos elementos de los sistemas estructurales aporticados que tendrán influencias M´´i j en los momentos extremos. Esto partiendo de la hipótesis de las ecuaciones de rotación que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas axiales. Este efecto de traslación por desplazamientos horizontales que sufren las juntas de un pórtico se denomina usualmente desplazabilidad lateral o simplemente DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este método resuelve el sistema de ecuaciones rotación para toda la estructura, por lo tanto se cumplen las bases del método de los desplazamientos, que descompone los efectos del sistema real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a continuación: Este sistema real, con sus solicitaciones
externas cualesquiera (S.E.), Hipergeométrico,
es decir, un sistema con
grados de libertad, que son desplazamientos independientes, G.D.L. mayores que cero. En éste
desplazamientos
lineales,
que
provocan
en
algunos
miembros,
como
Los momentos en los extremos de cada miembro se llaman usualmente momentos finales o reales, Mi j. Los efectos o resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio de Superposición como la suma de los efectos de los dos sistemas.
estructura llamada Ir, o una rigidez de referencia llamada Kr, entonces los valores que se iteran son M´/Ir y M´´/Ir o M´/Kr y M´´/Kr respectivamente. De tal manera que los factores de giro y de corrimiento estarán en función de 1/Ir o 1/Kr .
Los primeros valores o los valores iniciales como no se conocen de M´se toman iguales a cero. El orden de los cálculos es arbitrario porque el método es autocorrectivo y si cometemos
automáticos mediante el uso de programas de computación, es importante hacer notar que cuando se trata del análisis de un pórtico por cargas verticales los efectos más importantes se deben a las influencias M´ y se pueden despreciar los efectos por M´´, lo contrario para cargas
de Pórticos espaciales, podemos suponer que no hay torsión en planta y todas las columnas de un piso tienen la misma desplazabilidad, es decir habrá un solo M´´ por piso y todas las columnas del piso colaboran en el único factor de corrimiento para el mismo y habrá un solo Momento de piso. Un procedimiento más exacto sería considerar un momento de piso producido por la fuerza horizontal equivalente y un factor de corrimiento para cada pórtico, es decir, cada pórtico tendrá una desplazabilidad distinta.
COLUMNAS QUE PERTENECEN A MÁS DE UN PISO a) Si existe una placa rígida por ejemplo a nivel 2 : Esta rigidez produce que todos los desplazamientos horizontales del piso sean iguales y por lo tanto podemos suponer una viga ficticia de dimensiones nulas: b) Si no existe placa o elemento suficientemente rígido o un vacío :La columna colabora en las influencias M´´p de los pisos a que pertenece. Se reparte su influencia proporcionalmente a las M´´ de cada piso, y en M´ colaboran todas las M´´p de los pisos a que pertenece la columna.
