Método de la rigidez y Método de la flexibilidad

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ”

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INDICE 1. Introducción ______________________________________ 2 2. Objetivos

___________________________________ __________________ ___________________ __

2

3. Método de la Flexibilidad ____________________________ ________________ ____________ 3 3.1. Análisis de armaduras __________________ __________________________ ________ 5 3.2. Análisis de pórticos

__________________________ _________________ _________

7

4. Método de la rigidez _______________________________ ______________ _________________ 11 4.1. Análisis Análi sis de armaduras _________________________ ________________ _________ 4.2. Análisis de pórticos

11

_________________________ ________________ _________ 16

5. Comparación Flexibilidad vs Rigidez __________________ _______________ ___ 22 5.1.

Relación entre matriz de flexibilidad y rigidez ______ 22

5.2. Diferencias __________________ _________________________________ ________________ _ 24 6. Ventajas y desventajas desventaja s _____________________________ _________________________ ____ 25 7. Conclusiones ____________________________________ 26 8. Bibliografía

0

___________________________________ __________________ ____________________ ___ 26

ANALISIS ESTRUCTURAL I

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1.

Introducción: En este capítulo se introducirán los conceptos básicos de los métodos de flexibilidad y de rigidez. Estos métodos son aplicables, generalmente, a todo tipo de estructuras, incluyendo aquellos formados por vigas, columnas, placas, cáscaras y otros elementos estructurales. estructurales. La formulación de los dos métodos, se hace mediante el álgebra matricial ya que, de esta forma, se hace posible abordar dichos métodos en términos generales desde el principio, aunque los problemas que inicialmente se abordarán son muy sencillos y están seleccionados solamente para ilustrar los conceptos básicos. La expresión de los métodos antes mencionados en términos matriciales, permite una generalización inmediata a estructuras complejas, siendo ésta una de las ventajas principales de la notación matricial. También , el uso de matrices, plantea el problema en una forma ideal para la programación de los referidos métodos.

2.

Objetivos: 





1

Presentar en forma detallada la aplicación del método de la flexibilidad y el método de la rigidez en el análisis estructural de pórticos y armaduras. Comparación Comparació n del método de la flexibilidad y el método de la rigidez, analizando sus diferencias y la relación entre sus matrices. Analizar las ventajas ventajas y desventajas que presenta presenta cada método en el análisis análisis estructural.


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3. Método de la Flexibilidad: 3.1.

Análisis de armaduras: En el caso de armaduras planas, el desplazamiento en un nudo dado se calcula considerando la contribución de todas las barras de la armadura mediante la expresión: D=S(Ni)(ni)(Li)/EiAi Donde: N=Fuerza axial en las barras debida al sistema real de cargas y n=fuerza axial en las barras debida a las cargas ficticias La manera en como aplica este método a armaduras depende del tipo de indeterminación de la armadura, recordemos que en las armaduras hay indeterminación interna y externa. El proceso de solución es igual que en las vigas y en los marcos, primero se convierte la armadura en isostática ya sea quitando el apoyo o barra que sobra en la armadura y se resuelve, el segundo paso es resolver otra armadura isostática igual a la del primer paso pero ahora tendrá una carga con valor de uno y se colocará en el lugar donde se quitó el apoyo o donde se anuló la barra, el sentido de esta fuerza se propone positivo, por lo cual cuando se trate de una barra se debe de suponer que existe esta barra y que trabaja a tensión con una carga de uno, o si se trata de un apoyo se supone la carga unitaria hacia arriba ya sea en forma vertical o hacia la derecha en forma horizontal a continuación se muestran ejemplos del proceso de cálculo de ambos tipos de armaduras indeterminadas.

Ejemplo Obtener las reacciones y las fuerzas internas en las barras de la siguiente armadura

La armadura es externamente indeterminada con grado de hiperestaticidad de uno. El primer paso es convertirla en isostática, en este caso quitaremos el apoyo simple del nudo D.

Siendo isostática esta armadura se pueden encontrar las fuerzas que actúan en ella por medio de las ecuaciones de la estática.

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+ΣMA = 2(3) + 3(8) - 12Fy Fy=2.5 +ΣFy = -3 + 2.5 + Cy = 0 Cy = 0.5 +ΣFx = Cx + 2 = 0 Cx = -2 Ahora para el cálculo de las proyecciones de fuerzas, en el caso de barras inclinadas nos apoyaremos de la trigonometría tomando en cuenta las dimensiones de la armadura. Por inspección obtenemos los resultados siguientes resultados en la armadura en la que sería la etapa cero.

Etapa 1 En esta etapa se calculó la misma armadura isostática pero ahora en el nudo D va el lugar del apoyo simple, tenemos una carga unitaria con sentido contrario a la gravedad, como si fuera la reacción ejercida por el apoyo. Por inspección obtuvimos de manera rápida los resultados de las fuerzas a las que se sometió la armadura.

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Debido a que la armadura principal a resolver es indeterminada de grado uno obtendremos solo una ecuación de condición con una incógnita. F10+F11R1=0 Sustituyendo -43.47+20.48

R1=0 despejando R1=2.12 ton

Por comodidad de cálculo las fuerzas en la barra en cada caso se ordenan en la siguiente tabla:

Miembro

AB CD DE EF AD BE AC AE BF

Long 4

N(0) -1,33

n(1) 0,44

(F10) LNn

(F11) Lnn

N+n(R1)

-2,3408

0,7744

-0,40

4 4 4 3 3 5 5 5

2,67 2,67 3,33 0 2,5 -0,83 0,83 -4,17

-0,88 -0,88 -0,44 -1 -0,33 1,12 0,56 0,56

-9,3984

3,0976

0,80

-9,3984

3,0976

0,80

-5,8608

0,7744

2,40

0

3

-2,12

-2,475 -4,648

0,3267

1,80

6,272

1,55

2,324

1,568

2,02

-11,676

1,568

-2,98

Σ

-43,4734

20,4787

Nomenclatura: N(0) = Fuerzas en los miembros de la armadura en la etapa cero. n(1) = Fuerzas en los miembros de la armadura en la etapa uno. LNn= Producto de N(0) n(1) y L la longitud 4


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Lnn = Producto del cuadrado de los resultados de la etapa 1 nn y L la longitud. N+n(R1) =Resultado de ésta es el valor final de las fuerzas de cada miembro de la armadura. Atendiendo a la ecuación de condición R1=2.12 ton En los resultados definitivos de la armadura mostrados en la tabla anterior, los valores negativos representan fuerza a compresión, mientras que los positivos representan fuerza de tensión.

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3.2.

Análisis de pórticos: El método de flexibilidad es muy útil para resolver problemas relacionados con pórticos estáticamente indeterminados que tienen un solo nivel y una geometría inusual, como los bastidores de dos aguas. Los problemas que involucran marcos con varios niveles, o aquellos que presentan un alto grado de indeterminación, se resuelven de mejor manera mediante los métodos de pendiente - deflexión.

Ventajas y desventajas 1.- El procedimiento es mecánico para un pórtico por decir fácil o común, sea para ambos casos isostático o hiperestática, siendo más rápido re resolver las isostática, mientras que los pórticos hiperestáticos se resuelven mediante un procedimiento mecánico mediante la elección de redundantes. 2.- Si bien es mecánico el procedimiento es posible obtener errores al momento de elegir las redundantes que pueden originar en la matriz de equilibrio de nudo quiere el elemento obtener errores en el cálculo de la inversa durante el procedimiento. 3.- Otra consideración es obtener la matriz de equilibrio de nudos que para acomodarse estos a partir de un sistema computarizado de ingreso de nudos, elementos, reacciones, y recién mediante estos datos obtener la matriz de equilibrio de nudos. 4.- Además que las reaccione pueden o no generar ecuaciones de equilibrio, teniéndose que considerar los rodillos con una ecuación de equilibrio en dirección al eje libre del rodillo (eje no restringido), mientras que los apoyos restringidos en ambos ejes no contribuyen ecuaciones de equilibrios, por último los apoyos empotrados no se consideran para pórticos.

Procedimientos para pórticos Isostáticas El procedimiento es: 1.- Enumerar nudos 2.- Calcular el grado de hiperestaticidad del pórtico de ser cero proseguimos 3.- Plantear las ecuaciones de equilibrio en cada nudo p=AxF, donde p son las cargas externas, A es la la matriz formada por el equilibrio, F son las fuerzas de cada elemento 4.- Obtener fuerzas F=A -1 Xp 5.- Obtener la matriz de flexibilidad fm 6.- Calcular las deformaciones D=fm x F 7.- Calcular los desplazamientos de los nudos: Dn=inv(A)'*D

Procedimientos para pórticos Hiperestáticas 6


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El procedimiento es: 1.- Enumerar nudos 2.- Calcular las cargas equivalentes 3.- Equilibrio de nudos y reducción por condiciones de entorno 4.- Selección de redundantes: C I, CII 5.- Calcular EI, EII, BI, BII 6.- Calcular matriz de flexibilidad fm de cada elemento 7.- Obtener la matriz de flexibilidad Dii global. 8.- Calcular D II,I ,DII,II 9.- Calcular redundantes Qii 10.- Calcular las fuerzas o acciones 11.- Calcular los desplazamientos Los siguientes ejemplos ilustran las aplicaciones del método de la fuerza usando el procedimiento de análisis descrito en la sección.

EJEMPLO: El marco, o caballete, que se muestra en la fotografía se usa para soportar la cubierta del puente. Si se supone que El es constante, se puede presentar un dibujo del marco junto con sus dimensiones y la carga aplicada, figura (a). De termine las reacciones en los soportes.

SOLUCIÓN: Principio de superposición. Por inspección, el marco es estáticamente indeterminado de primer grado. Se elegirá la reacción horizontal en A como redundante. En consecuencia, el pasador A se remplaza por un oscilador, puesto que un soporte de este tipo no restringirá A en la dirección horizontal. El principio de superposición aplicado al modelo idealizado de la estructura se muestra en la figura (b). Observe cómo se deforma el marco en cada caso.

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Ecuación de compatibilidad. La referencia al punto A de la figura (b) requiere que:

(±) 0 = ∆ +   (1) Los términos ∆ y  se determinarán usando el método del trabajo virtual.

Debido a la simetría de la geometría y la carga sólo se necesitan tres coordenadas x. Estas y los momentos internos se muestran en las figuras (c) y (d). Es importante que cada coordenada x sea la misma tanto para las cargas reales como para las virtuales. Además, las direcciones positivas de M y m deben ser las mismas.

∆

Para se requiere la aplicación de las cargas reales, figura (c), y una carga unitaria virtual en A, figura (d). Así:

  ∆= ∫    (0)(1)  (5)(200)  (5)(1000+200 20) ∆= 2∫  + 2∫ + 2∫  

66666.7 =  91666.7 ∆=0 25000    

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

Para se requiere la aplicación de una carga unitaria real y una carga unitaria virtual que actúe en A, figura (d). Por lo tanto:

   (1 )      = ∫  =2∫  +2∫(5)  +2∫(5)   

 = 583.33 Sustituyendo los resultados en la ecuación (1) y resolviendo se obtiene:

7 + (583.33) 0 = 91666.    = Ecuaciones de equilibrio. Con este resultado, en la figura (e) se muestran las reacciones sobre el modelo idealizado de la estructura.

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4. Método de la rigidez 4.1.

Análisis de armaduras:

El método de la Rigidez es un método de análisis del desplazamiento. Este puede utilizarse para analizar estructuras estáticamente determinadas con indeterminadas y también se obtiene rápidamente los desplazamientos y las fuerzas de forma directa y es muy fácil formular las matrices para realizar las operaciones en computadora y una vez hecho esto los cálculos en computadora pueden realizarse de forma eficiente. Antes de desarrollar un procedimiento formal para aplicar el método de la rigidez, es necesario establecer primero algunas definiciones y conceptos preliminares. _ Identificación del elemento y el nodo. Uno de los primeros pasos para aplicar el método de la rigidez consiste en identificar los elementos o miembros de la estructura y sus nodos. _ Coordenadas global y del elemento. Aquí se usaran dos tipos diferentes de sistemas coordenados.se usara un sistema de coordenadas de la estructura o global x’,y’, el cual es único, y sirve para especificar el sentido de los component es de la fuerza externa y los desplazamiento en los nodos. _ indeterminación cinemática. Primeramente, hay que codificar lo grados de libertad que en si son dos por cada nodo, y se referirá a su dirección coordenada global positiva con una flecha asociada como se muestra en la figura. Luego hay que encontrar la matriz de rigidez del elemento (k) y con esto hallar la matriz de rigidez global (K).

Matriz de rigidez del elemento.

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Un elemento de una armadura solo puede desplazarse a lo largo de su eje (eje x) puesto que las cargas se aplican a lo largo de ese eje. por lo tanto, pueden ocurrir dos desplazamientos independientes. Cuando se impone un desplazamiento positivo dN sobre el extremo cercano del elemento, mientras el extremo lejano se mantiene articulado, (figura b),las fuerzas desarrolladas en los extremos de los elementos son:

Observe que q’f es negativa porque para logra el equilibrio actúa en la dirección negativa x’.Del mismo modo, un desplazamiento positivo df en el extremo lejano, que mantiene al extremo cercano articulado, resulta en las siguientes fuerzas de elemento.

Por superposición, las fuerzas resultantes causadas por ambos desplazamientos son

Estas ecuaciones de carga-desplazamiento pueden escribirse en forma matricial como

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Impone un desplazamiento unitario en la unta j.por ejemplo, si i=j=1.entonces k11 es la fuerza en la junta cercana cuando la junta lejana se mantiene fija, y la junta cercana experimenta un desplazamiento de dN = 1 es decir.

Del mismo modo, la fuerza en la junta lejana se determina a partir de i = 2, j =1, por lo que

Estos dos términos representan la primera columna de la matriz de rigidez del elemento. De la misma manera, la segunda columna de esta matriz representa las fuerzas en el elemento solo cuando el extremo lejano del elemento experimenta un desplazamiento unitario.

Matriz de rigidez global del elemento. Ahora se combinarán los resultados de la sección anterior y se determinara la matriz de rigidez de un elemento que relaciona los componentes de la fuerza global Q del elemento con sus desplazamientos globales D. si se sustituye las ecuaciones (d=DT) en la ecuación (q = k’d). es posible determinar las fuerzas q de los elementos en función de los desplazamientos globales D en sus puntos extremos, a saber:

Al sustituir esta ecuación en la ecuación, se obtiene el resultado final,

O bien Donde La matriz k es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales. Dado que ya se conocen, entonces

Si se realizan las operaciones matriciales se obtiene

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Una vez que se forman todas las matrices de rigidez de los elementos en coordenadas globales, es necesario ensamblarlas en el orden correcto para que se pueda determinar la matriz de rigidez K de toda la armadura. Este proceso de combinación de matrices de los elementos depende de una cuidadosa identificación de los miembros de cada matriz del elemento. Este método de ensamble de las matrices de los elementos para formar la matriz de rigidez de la estructura se mostrará ahora ahora mediante dos ejemplos numéricos. Aunque este proceso es algo tedioso si se hace manualmente, resulta más fácil si se programa en una computadora.

EJEMPLO: Determine la matriz de rigidez de la estructura para la armadura de dos elementos que se muestra en la figura AE, es constante.

Solucion: Elemento 1. Como 2 es el extremo cercano y 3 es el extremo lejano, entonces a partir de las ecuaciones 5 y 6, se obtiene

Con base en la ecuación, si se divide cada termino entre L=3pies, se tiene

Elemento 2. Como 2 es el extremo cercano y 1 es el extremo lejano, se tiene

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Así, la ecuación con L = 5 pies se convierten en

Aquí las filas y columnas se identifican como 1,2,5,6, puesto que estos números representan, respectivamente, los grados de libertad x, y en los extremos cercano y lejano del elemento 2. Matriz de rigidez de la estructura. Completamos las matrices de cada elemento, esta nos da matrices de 6x6 entonces estas lo sumamos para obtener la matriz de rigidez de la estructura.

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4.2.

Análisis de pórticos: Una vez que se han establecido las matrices de rigidez de los elementos, éstas pueden ensamblarse en la matriz de rigidez de la estructura en la forma habitual. Si se escribe la ecuación matricial de la estructura, es posible determinar los desplazamientos en los nodos restringidos, seguidos de las reacciones y las cargas internas en los nodos. Las cargas laterales que actúan sobre un elemento, los errores de fabricación, los cambios de temperatura, los soportes inclinados y los soportes internos se manejan de la misma manera que se indicó para las vigas.

Procedimiento de análisis El siguiente método proporciona un medio para encontrar los desplazamientos, las reacciones en los soportes y las cargas internas de los elementos que forman marcos estáticamente determinados e indeterminados. 

Divida la estructura en elementos finitos e identifique arbitrariamente cada elemento y sus nodos. Por lo general, los elementos se extienden entre puntos de apoyo, puntos donde se aplican cargas concentradas, esquinas o juntas o entre los puntos donde deben determinarse las cargas internas o los desplazamientos.



Establezca el sistema global de coordenadas x, y, z, por lo general situado convenientemente con el origen en un punto nodal sobre uno de los elementos y los ejes ubicados de modo que todos los nodos tengan coordenadas positivas.



En cada punto nodal del marco, especifique numéricamente los tres componentes de codificación x, y, z. En todos los casos use los números de código más bajos para identificar todos los grados de libertad no restringidos, seguidos por el resto de los números de código más altos para identificar los grados de libertad restringidos.



Con la base en el problema, establezca los desplazamientos conocidos Dk y las cargas externas conocidas Qk. Al definir Qk, asegúrese de incluir cualquier carga de extremo fijo invertida si un elemento soporta una carga intermedia. Matriz de rigidez de la estructura

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

Aplique la ecuación (D) para determinar la matriz de rigidez para cada elemento expresada en coordenadas globales. En particular, los cosenos directores λx y λy se determinan a partir de las coordenadas x,y de los extremos del elemento.



Después de escribir cada matriz de rigidez de los elementos, y luego de identificar las seis filas y columnas con los números de código cercanos y


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lejanos, las matrices se unen para formar la matriz de rigidez de la estructura K. Como una comprobación parcial, todas las matrices de rigidez de los elementos y de la estructura deben ser simétricas. Desplazamientos y cargas: 

Haga una partición de la matriz de rigidez. Una expansión posterior conduce a:

Qk = K11Du + K12Dk Qu = K21Du + K22Dk Los desplazamientos desconocidos Du se determinan a partir de la primera de estas ecuaciones. Con base en estos valores, las reacciones en los soportes Qu se calculan a partir de la segunda ecuación. Por último, las cargas internas q en los extremos de los elementos pueden calcularse a partir de la ecuación, es decir: q = k’TD. Si los resultados, de cualesquier incógnitas se calculan como cantidades negativas, eso indica que actúan en las direcciones coordenadas negativas.

EJEMPLO DE APLICACIÓN: Determine las cargas en las juntas de la estructura de dos elementos que se muestra en la figura. Considere que I=500pulg 4, A=10pulg2, y E=29(103)ksi para ambos elementos.

Solución: Por inspección, el marco tiene dos elementos y tres nodos, que se identifican como se muestra en la siguiente figura. El origen del sistema global de coordenadas se encuentra en (1). Los números de código de los nodos se especifican numerando en primer lugar los grados de libertad no restringidos. A partir de las restricciones (1) y (3), y de la carga aplicada, se tiene.

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Matriz de rigidez de la estructura. Los siguientes términos son comunes a ambas matrices de rigidez de los elementos:

Elemento 1:

Al sustituir los datos en la ecuación, se tiene 17


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Las filas y columnas de esta matriz de 6x6 se identifican por los tres números de código x, y, z, primero en el extremo cercano y después en el extremo lejano, es decir, 4, 6, 5, 1, 2, 3, respectivamente. Esto se hace para el ensamble posterior de los elementos.

Elemento 2:

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta:

Como es usual, la identificación de columnas y filas se hace con referencia a los tres números de código en la secuencia x, y, z para los extremos cercano y lejano, respectivamente, es decir, 1, 2, 3 y después 7, 8, 9. La matriz de rigidez de la estructura se determina al ensamblar k1 y k2. El resultado que se muestra partido como Q=KD, es:

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Desplazamientos y cargas. Si se expande para determinar los desplazamientos resulta.

Al resolver, se obtiene

Con base en estos resultados, las reacciones en los soportes se determinan a partir de la ecuación (1) de la siguiente manera:

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Las cargas internas en el nodo (2) pueden determinarse al aplicar la ecuación q=k’TD.

Teniendo en cuenta la disposición adecuada de los elementos en las matrices como lo indican los números de código a lo largo de las columnas y las filas. Al resolver se obtiene

Los resultados anteriores se muestran en la siguiente figura. Las direcciones de estos vectores están en concordancia con las direcciones positivas definidas en la primer figura. Además el origen de los ejes locales x’, y’, z’ se encuentra e n el extremo cercano del elemento. De manera similar el diagrama de cuerpo libre del elemento 2 como se muestra en la figura de la derecha.

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5. Comparación Método de Flexibilidad vs Método de la Rigidez 5.1.

Relación entre matriz de flexibilidad y rigidez:

Aunque se conoce que el método de la rigidez y el de flexibilidad son dos métodos indistintamente aplicables en la solución de problemas de estructuras, hay un parámetro que relaciona íntimamente a estos dos métodos; las matrices. Si bien es cierto, los coeficientes de flexibilidad representan desplazamientos en lugares específicos debido a cargas unitarias en otros lugares. A continuación la figura (d):

Figura (d)

En el nodo de la viga se aplica un momento unitario, como se muestra más adelante en la figura (e). Las rotaciones resultantes en los nodos 1 y 2 son los coeficientes de y flexibilidad, respectivamente. Sus valores se muestran en la figura (e). Igualmente se aplica un momento unitario en el nodo 2 de la viga, como se muestra

en la figura (f), para determinar los coeficientes de flexibilidad de esos coeficientes se muestran en la figura (f).

y

. Los valores

A continuación, usando el principio de superposición, se escriben los desplazamientos totales en los nodos 1 y 2 debidos a la aplicación de los momentos arbitrarios M 1 y M 2.

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O, en forma matricial:

Simbólicamente, la ecuación anterior se escribe:

Figura (e)

Figura (f)

Si ahora se considera la siguiente ecuación que se obtiene del análisis por el método de la rigidez.

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Que también se puede escribir como:

Y analizando las ecuaciones (1.15) y (1.17) se observa que la matriz de rigidez la inversa de la matriz de flexibilidad .

es

[] = []− 5.2. Diferencias:

6. Ventajas y desventajas del método de flexibilidad y de rigidez: Mientras la elección de redundantes en aparenta ser arbitraria y dificultosa para cálculos automáticos, esta objeción se

ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD

ACCIÓN EN RIGIDEZ 







Se eliminan todas las incógnitas quedando una estructura isostática. En la estructura liberada, aparecen unos desplazamientos incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los desplazamientos son debidos a la carga real. Para eliminar los desplazamientos incongruentes, se aplican fuerzas (incógnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en donde se presentan. Utilizándose así, unos valores unitarios. La suma de todas las configuraciones, deben satisfacer las condiciones geométricas de la estructura real, los desplazamientos en cada apoyo deben ser nulos.

puede superar procediendo desde





Se sujetan todos los nudos para impedir cualquier movimiento, resultando en una estructura empotrada en todos sus nudos. En la estructura empotrada, aparecen fuerzas de empotramiento incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los momentos son debidos a la carga real. Para eliminar estas fuerzas ficticias, se aplican desplazamientos (incógnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en las que aparecen las fuerzas. Utilizándose así, unos valores unitarios. La suma de todas las configuraciones debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la estructura real, es decir, la suma de los momentos en cada apoyo, debe ser nula (equilibrio). directamente a

usando un proceso modificado de Eliminación de Gauss-Jordan. Este es un robusto procedimiento que automáticamente

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selecciona un buen conjunto de fuerzas redundantes para asegurar la estabilidad numérica. -

Es aparente del proceso arriba que el método de la matriz de rigidez es fácil de comprender y para implementar para cálculos automáticos. Es también fácil de extender para aplicaciones avanzadas tales como análisis no lineal, estabilidad, vibraciones, etc. Por estas razones, el método de la matriz de rigidez es el método de elección para uso en paquetes de software de análisis estructural de propósito general.

-

Por otro lado, para sistemas lineales con bajo grado de indeterminación estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es un punto discutible como las computadoras personales son ampliamente disponibles y más poderosas. El principal factor redentor en aprender este método hoy en día es su valor educacional en impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad en adición a su valor histórico.

-

Los argumentos anteriores fueron válidos hasta 1990. Sin embargo, avances recientes han mostrado una vuelta atrás del método de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales.

-

Las principales ventajas del método de flexibilidad son que el error resultante es independiente de la desratización del modelo y que este es en realidad un método muy rápido. Por el momento, la solución elástica-plástica de una viga continua usando el método de fuerza requiere solo 4 elementos de viga mientras que un comercial "basado en rigidez" FEM requiere 500 elementos en disposición de dar resultados con la misma precisión.

-

Para concluir, uno puede decir que en el caso donde la solución del problema requiere evaluaciones recursivas del campo de fuerza como en el caso de optimización estructural o identificación de sistemas, la eficiencia del método de flexibilidad es indiscutible.

7. Conclusiones 



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El método de la rigidez y el de flexibilidad son dos métodos indistintamente aplicables en la solución de problemas de estructuras. El método de la flexibilidad es muy útil para resolver problemas relacionados con estructuras estáticamente indeterminados que tienen un solo nivel y una geometría inusual.


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

El método de la Rigidez es un método de análisis del desplazamiento. Este puede utilizarse para analizar estructuras estáticamente determinadas como indeterminadas donde se obtiene los desplazamientos y las fuerzas de forma directa.

8. Bibliografía: https://www.academia.edu/19671012/Capitulo_II_M%C3%A9todo_de_flexi bilidades

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https://es.scribd.com/doc/185189936/Vigas-y-Porticos-Por-Flexibilidad R.C. Hibbeler. 2015. Análisis Estructural. Octava edición. Editorial Perason. México. 272 p.

https://es.scribd.com/doc/211530270/Calculo-de-La-Matriz-de-Rigidez

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Método de la rigidez y Método de la flexibilidad

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