DESCRIPCION DESCRIPCIO N DE LOS METODO DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD
I.
Méto Mé todo do
de
lass la
Incógnitas
Ecuaciones usadas en su solución
Coeficientes de las incógnitas
Fuerzas
De
Coeficientes de flexibilidad
fuerzas Méto Mé todo do
compatibilidad
y
de
desplazamientos de fuerzas de
loss lo
Desplazamientos Desplazamientos
desplazamientos
De equilibrio y de desplazamiento
Coeficientes de rigidez
de fuerzas
1.1 MÉTODOS DE LA RIGIDEZ RIGIDEZ: Fuerza o giro necesario para provocar una deformación unitaria. Método de las fuerzas también llamado Método de la rigidez consiste en escribir ecuaciones que satisfagan la compatibilidad y los requisitos de fuerza desplazamiento en la estructura, contienen como incógnita a las fuerzas redundantes.
Los coeficientes de estas incógnitas se llaman coeficientes de flexibilidad. Como la compatibilidad es la base de este método se llama a veces método de la compatibilidad compatibilidad o método de los desplazamientos consistentes.
Una vez determina determinadas das las fuerzas fuerzas redundant redundantes, es, las reaccione reaccioness restantes restantes se determinan determinan satisfaciendo satisfaciendo los requisitos de equilibrio en la estructura.
PROCEDIMIENTO GENERAL: -Considera la viga mostrada en la figura 1.Por simple inspección se determina que la viga es indeterminada de 1° grado
P
B
A
viga real
Fig. 1
En consecuencia es necesaria una ecuación adicional para la solución, para obtener esta solución utilizaremos los principios de superposición y consideraremos la compatibilidad de los desplazamientos en uno de los soportes, esto se hace escogiendo una de las reacciones en los soportes como “redundante” y cancelando temporalmente su efecto sobre la viga de manera que esta resulte estáticamente determinada y estable.Esta viga se conoce como estructura primaria . Aquí cancelamos la acción restrictiva del apoyo de balancín en B, esto tiene como resultado que la carga P desplace a B hacia abajo en una cantidad ∆ B como se muestra en la figura 2
P
B
A
B Estructura primaria Fig.2
+
A
BB´ B= B Redundante B aplicada
y
f BB
By
Fig. 3 Sin embargo por superposición la reacción desconocida en B ,esto es By ,
desplaza el punto B en una
cantidad ∆BB´ hacia arriba , figura 3. La primera letra en esta notación de doble subíndice se refiere al punto B en que la reacción desconocida actúa. Suponiendo que los movimientos hacia abajo son positivos, de las graficas podemos escribir la ecuación de compatibilidad para el apoyo de balancín como: ∆B - ∆BB´ = 0
Denotemos ahora el desplazamiento en B causada por una carga unitaria que actua en la dirección de B y que actue en B en lugar de la carga unitaria, ocasionara un aumento proporcional en f BB Podemos escribir entonces ∆BB´ = Byf BB Escrito en este formato puede verse que el coeficiente de flexibilidad lineal f BB es una media de la deflexión por la fuerza unitaria y sus unidades son N/m , ft/lb , ect . La ecuación anterior de compatibilidad puede escrbirse en términos de la incognita B y como: ∆B - Byf BB = 0 Aquí algunos métodos basados en a rigidez:
–
Principio de trabajo virtual y principio del total estacionario.
–
Primer teorema de castigliano.
–
Método de la rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo.
–
Método de la distribución de momentos de o de cros para pórticos planos.
1.2 METODO DE LA FLEXIBILIDAD FLEXIBILIDAD: Deformación provocada por una carga unitaria. Método de los desplazamientos también llamado método de la flexibilidad consiste en escribir primero las relaciones de fuerza-desplazamiento para los miembros y luego satisfacer los requisitos de equilibrio en la estructura.
En este caso las incógnitas en las ecuaciones son desplazamientos y sus coeficientes se llaman coeficientes de rigidez.
Una vez obtenidos los desplazamientos se determinan las fuerzas con las ecuaciones de compatibilidad y de fuerza –desplazamiento.
CASO GENERAL: Para obtener la forma general de las ecuaciones de pendiente-desviacion, consideraremos el claro típico AB de una viga como el mostrado en la figura 4
P w
A
ѲA MAB
?
B
Ψ
? cuerda
Ψ
curva eslatica
MBA
ѲB
?
?
L
Fig. 4 Desarrollaremos las ecuaciones de pendiente –desviación usando el principio de superposición y consideraremos por separado los efectos causados por cada uno de los desplazamientos ѲA , ѲB
y
∆y
luego por las cargas
DESPLAZAMIENTO ANGULAR ѲA EN A Considera que el nudo A del miembro mostrado en la figura 4 gira el ángulo ѲA mientras el nodo del extremo alejado B se mantiene empotrado. Podemos determinar el momento M AB necesario para causar este desplazamiento usando el método de la viga conjugada. Para este caso se muestra la viga conjugada de la fig5b . La fuerza cortante en A´ actúa hacia abajo sobre la viga, ya que ѲA gira en sentido de las manecillas del reloj. La deflexión de la viga real en la figura 5ª es cero en A y en B y por ello la correspondiente suma de los momentos en A´ y en B´ de la vigaconjugada debe ser también cero . Esto conduce a :
+MA = 0 ;
12MABEILL3 - 12MABEIL2L3 = 0
+MB = 0 ;
12MABEILL3 - 12MABEIL2L3 + ѲA L= 0
De donde :
MAB = 4EILѲA MBA = 2EILѲA
MBA
ѲA MAB
?
L
MABEI
Viga real (a)
A´ B´
VA´= ѲA
MBAEI
Viga conjugada
(b)
Fig. 5
MAB
ѲA ?
L
Fig. 6
MBA
DESPLAZAMIENTO ANGULAR ѲB EN B Finalmente si el extremo B de la viga gira a su posición final ѲB mientras el extremo A se mantiene empotrado , Figura 6 . Podemos relacionar el momento aplicado M BA con el desplazamiento angular ѲB y el momento reactivo en MAB en el empotramiento . El analisi es igual al visto anteriormente . los resultados son:
MAB = 2EILѲA MBA = 4EILѲA
Aquí algunos métodos basados en a rigidez:
–
Principio del trabajo virtual complementario y principio del potencial complementario.
–
Segundo teorema de castigliano y teorema de Crotti-Engesser.
–
Método general de flexibilidad basado en el segundo teorema de Engesser.
–
Método de la compatibilidad de deformaciones en las vigas
–
Formulas de los tres momentos para vigas
–
Principio de Muller-Breslao para cargas móviles
I.
RELACION ENTRE MATRIZ DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD
Del método de las fuerzas: [δ] = [C][F]
…………………………………………(1)
Del método de los desplazamientos: [F] = [K][δ]
. ……………………………………………..(2)
De (1) : [F] = [C] -1[δ]
……………………………………………..(3)
Comparando (2) con (3) : [C]-1 = [K] y por consiguiente: [K]-1 = [C] O sea que la matriz de rigidez es el inverso de la matriz de flexibilidad y viceversa Otra propiedad importante surge al considerar el teorema reciproco , ya que al igualar el trabajo producido en una esturtura elástica linal por una fuerza F i al recorrer el desplazamiento producido por otra fuerza F j con el producido con esta ultima al recorrer el desplazamiento causado por la primera , se obtiene : Fi (cij F j) = F j (c ji Fi) Y al simplificar queda : cij = c ji De donde sse concluye que la matriz de flexibilidad [C] es simetrica y como la matriz de rigidez [K] es su inverso se deduce que esta también es simetrica.
II. II.1.
MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS
MATRIZ DE TRANSFORMACION DE FUERZAS (en el plano)
Considere el miembro mostrado en la figura siguiente , en la que primero se muestra las componentes en las coordenadas globales y luego en coordenadas locales X´
Y
Y´
Ѳy
dNy´ = DNx cos Ѳy
Ѳx X
dNx´ = DNy cos Ѳx
X´
Y
Ѳy Y´
dNy´ = DNx cos Ѳx Ѳx
dNx´ = DNy cos Ѳy
X
Finalmente , como los ejes z´ y z coinciden esto es están dirigidos hacia afuera de la pagina una rotación de D Nz , alrededor de dNz
,
alrededor de z´ entonces, dNz = dNz
De manera similar si los desplazamientos globales DFX en la dirección x D Fy en la dirección y y una rotación DFZ se impone sobre el extremo alejado del miembro, las ecuaciones resultantes de transformación , son respectivamente. dFX´ = DFX cos ѲX dFy´ = DFy cos Ѳy
dFy´ = DFX cos Ѳy dFy´ = DFX cos ѲX
dFz´ = DFz Si
representan las ecuaciones directores del miembro, podemos
escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial como
II.2. MATRIZ DE TRANSFOMRACION DE DESPLAZAMIENTOS Se obtiene la misma matris de transformación de fuerzas
III.
TRABAJO VIRTUAL Y ENERGIA
Es un método muy versátil para calcular desplazamientos en las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser debidos a cargas de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en al material estructural o errores de fabricación. La expresión básica para el trabajo virtual es: Trabajo virtual = trabajo virtual interno We = Wi En la ecuación anterior se puede expresar el primer término como el producto de una carga desconocida por el desplazamiento buscado. El segundo termino se puede expresar en función de los elementos mecánicos de la estructura lo cual se hará en seguida: Considérese una armadura, la cual está sujeta a un sistema de cargas P, y en la cual se desea calcular el desplazamiento vertical δVA en un punto A. Considérese ahora la misma armadura sujeta a una carga F en el punto A en la dirección de δVA.Si se denomina como N de las fuerzas axiales en los elementos debidas al sistema de carga P, y como n a las fuerzas axiales en los elementos debidas a la carga F, se tiene, según BETTIQUE:
Donde el término con paréntesis es el alargamiento o acortamiento de cada elemento de la estructura debido a la aplicación de la carga F. por lo tanto:
Si se da a F el valor unitario (puede ser cualquier valor) se tendrá:
En forma semejante se puede establecer las expresiones del trabajo virtual interno para los demás elementos mecánicos y se obtiene:
III.1.ENERGIA DE DOFORMACION PARA CARGAS AXIALES
La barra simple de la estructura de la figura tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema se conserva elástico, el trabajo externo es Q D/2. Se tiene una barra sujeta a la aplicación gradual de una carga P. la barra experimentará un alargamiento total ∆. La deformación interna de un segmento de la barra, de longitud dx es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud de dx. La energía total de deformación para toda la barra es la suma de las energías de deformación para cada segmento:
III.2.ENERGIA DE DEFORMACION PARA CARGAS CORTANTES
Se tiene una viga de sección transversal rectangular. Las cargas extremas producen una fuerza cortante interna V. El esfuerzo cortante no está distribuido uniformemente. Sobre la sección transversal, si no que varía según la ecuación como J=VQ/Ib. Consideremos una fibra tal como lo indica la figura. El trabajo que se realiza mientras que la fibra de longitud dx está siendo distorsionada es trabajo VS/2=(Tdx) α dx . El movimiento δ es igual A α α
αdx ya que los ángulos son pequeños y sen α tan
El área dA es igual a bdy, segunda Fig.13.11(c). el ángulo α representa la deformación unitaria por cortante.
III.3.ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE FLEXION
Se tiene indica una viga con una carga concentrada actuando en B. el trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza Q a través de la deflexión ∆.de la viga. El trabajo externo es igual a QA∆/2, y recomendamos otra vez la relación lineal carga-deflexión. La energía interna de deformación para un segmento de longitud dx se determina sumando la energía de deformación dU para cada fibra que existe en dx. Primero considerando la deformación en una sola fibra localizada a una distancia y a partir del eje neutro (fig. 13.8b).
III.4.ENERGIA DE DEFORMACIONES PARA CARGAS DE TORSION
Se tiene una flecha circular sujeta a un par de torsión T. el trabajo externo involucra el movimiento del par T a través de la rotación Ѳ. El trabajo externo es ѲT/2.La energía interna de deformación dU para un segmento dx en la figura 13.12b es
la energía de deformación en toda la longitud de la flecha se obtiene sumando la energía de deformación para cada segmento. Este se convierte en
