Metodo Directo de La Rigidez

El método directo directo de la rigidez. Método Método matricial

MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ. MÉTODO MATRICIAL 1. SISTEMAS DE REFERENCIA La sistematización del método cuyos fundamentos se han presentado anteriormente requiere del paso de unas características elementales a unas características globales. El paso de unas a otras se basa en la distinta orientación que tienen las características elementales de las que tiene ese mismo elemento dentro de la estructura global. Esto nos obliga a la definición de un sistema de coordenadas global y un sistema de coordenadas local o del elemento. El paso de uno a otro se relizará mediante la correspondiente rotación de ejes. Llamaremos sistema de referencia a un sistema de coordenadas cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura. Sobre el eleemnto definimos dos tipos de sistemas:

Sistema global. Dado que la estructura está formada por un conjunto de elementos unidos, se hace necesario un sistema que permita definir de forma única las fuerzos y movimientos en los nudos de la estructura. En el caso más general incluye 6 vectores (3 desplazamiento y 3 giros) y suele ser paralelo al sistema de referencia.

Sistema Local. El comportamiento global de la estructura se genera a partir de los elementos. Es útil definir un sistema de coordenadas que

A. Carnicero Carnicero

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permita definir las relaciones fuerza-desplazamiento de forma única, independiente de la orientación del elemento en la estructura.

2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. Y y

x

α X

x = X cos α + Ysenα y = − Xsenα + Y cos α

Esta ecuación puede escribirse de la forma v = JV donde J es la matriz jacobiana de la transformación:

 ∂ x  ∂ X J =   ∂ y  ∂ X t Se puede demostrar que JJ

∂x  ∂Y  =  cos α ∂y  − senα ∂Y 

senα 

cos α 

= I ⇒ J t = J −1 .

2.1 Rotación de matrices. Matriz de rigidez en coordenadas globales De acuerdo a lo razonado hasta el momento se tiene que la relación entre los vectores de fuerzas y desplazamiento en coordenadas globales y locales son 1 : u

= JU

(1.1)






la relación entre esfuerzos y deformaciones en coordenadas elementales es

= ku

f

(1.2)

sustituyendo (1.1) en (1.2) se tiene que F

kJU = J t kJ

de donde se deduce K

= J t kJ

(1.3)

que permite obtener la matriz de rigidez en coordenas globales a partir de la matriz de rigidez en coordenadas locales.

3. ENSAMBLAJE DEL SISTEMA DE ECUACIONES Para cada elemento ‘e’ de la estructura se tiene el siguiente conjunto de variables: Elemento e

Sistema Local Local

Sistema Siste ma Global Global

Vector de carga

f e

Fe

Vector de desplazamiento

ue

Ue

Matriz de rigidez

k e

Ke

este elemento queda definido por nudos i (nudo inicial) y j (nudo final). Así se tiene que Fi

= J t fi

Fj

= J t f j

donde

cos α t  J = senα   0

senα

0

cos α

0

0

  1 






e

F

 F i   J t =  =  F j   0

0

e t e = f R f  J t 

De la misma forma se tiene que Ue

= Rt u e

e

= R t ke R

y K

j ’ la matriz de rigidez es Para el elemento ‘e’, definido por los nudos ‘ i’, ‘ j

k

e

 kiei = e k ji

k ije 

e  k jj 

e

donde kij

t

= k jei

que se montará en la matriz de rigidez de la estructura de N nudos como sigue

1

j

i

N

j

K jje

K eji

i

Kij

e

K ii

1

e

N de forma que independientemente de la numeración de los nodos y de la orientación del sistema global se llega al sistema F

= KU

al que es necesario imponer las condiciones de contorno.

4. IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO

(1.4)






 Fa   K a, a   = K  Fb   b,a

K a,b  U a 

 

K b,b  U b 

donde ‘a’ son los grados de libertad con movimiento restringido, y por lo tanto fuerzas desconocidas, y ‘b’ los grados de libertad con movimientos desconocidos, y por lo tanto cargas como dato. Es sistema se puede reescribir como Fb Ub

= K baU a + K bbU b = K b−b1 (F j − K jiUi )

(1.5)

que nos permite calcular los desplazamientos desconocidos.

5. CALCULO DE ESFUERZOS Y REACCIONES Conocidos los desplazamientos en los nudos no restringidos, es posible calcular los esfuerzos desconocidos -ecuaciones (1.5)-. El cálculo de los esfuerzos en los estremos de las barras es preferible hacerlo en las coordenadas locales de elemento, ya que de esta forma es más sencillo aplicar los principios de la resistencia de materiales para el dimensionamiento de las barras. f

e

= R F = RK eU e

e

e

= k e u = k e RU e

o bien f

e

Luego el problema está resulto si no existen cargas sobre el elemento. En caso contrario, el vector de cargas incluye los esfuerzos de empotramiento perfecto cambiados de signo y para el cálculo de los esfuerzos a lo largo de la barra cargada hay pues que añadir los de empotramiento perfecto. Así: f

e total

=

f

e

e

+ f emp

6. LIBERACIÓN DE COACCIONES EN BARRAS






resulta más apropiado establecer un procedimiento sistemático general. El procedimieto consiste en tratar todas las barras de la misma forma para despues liberar liberar las coacciones no reales, entendiendo por liberar, suprimir la rigidez del eleemnto en la dirección que corresponda. Consideremos que en el elemento ‘e ’ deseamos eliminar la coacción ‘w’. Las relaciones matriciales en ese elemento se podrán escribir de la forma

 F i   Kii  =  Fw   Kw i

K i w   U i 





K ww   U w 

(1.6)

Dado que no existe coacción en el grado de libertad ‘ w’ el esfuerzo Fw, es bien nulo, bien conocido (v.g. si existe una carga exterior aplicada). por lo tanto 0 = Kit w U i + K wwU w

de donde se obtiene

U w

=−

Kiwt U i K ww

conocido el desplazamiento del grado de libertad liberado, es posible calcular los esfuerzos. Partiendo de (1.6)

Fi

= Kii U i

 K it w  + KiwU w = K ii U i − Kiw U i =  Kii − Ki w  Ui K ww K ww   Kitw

Si además hay cargas sobre el elemento, es necesario realizar la reducción del vector de cargas. Para ello aplicaremos la superposición de dos estados de carga: 1.- El de la barra original. (Obtenemos unos esfuerzos F I) 2.- El resultante de aplicar un valor igual y de sentido contrario en la coacción liberada e imponer la condición de que todos los desplazamientos son nulos excepto en la coacción liberada. (Obtenemos unos esfuerzos F II )








 F II   K ii  II  =   −F   K wi

  0   U  K ww    w  K iw

i

w

de donde se tiene

U w

=−

F w II K ww

que permite obtener el nuevo vector de cargas II

Fi

= KiwU w = −

K iw F w II K ww

Superponiendo los dos estados de carga obtenemos el vector de cargas, se tiene II

Fi

=

I i

F

− K iw

F i

K iw

Un resumen de este procedimiento se encuentra en la figura siguiente. F

I

2

F

F

I

I I 1

I

4

F

1

=

II 2

14

K 44

=

F 4

24

K 44

I

F 4

-F I

Figura 1 - 1. Obtención del vector de esfuerzos reducido

Por lo tanto la matriz de rigidez y el vector de cargas, quedan de la forma:

I I 3

=

34

K 4 4

I

4

F 4

I

I 3






donde k e es la matriz de rigidez y ue es el vector de desplazamientos producidos por la dilatación térmica en el caso de que no existieran restricciones. El vector de cargas nodales equivalente es f

= − f emp

La idea para obtener los esfuerzos de empotramiento es que éstas deben ser tales que restitutan los desplazamientos producidos por la variación de temperatura, considerando que no hay restricciones.

Metodo Directo de La Rigidez

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