Rigidez a la Flexión[editar ] La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada omo el produto del módulo de elastiidad (E) elastiidad (E) ! el "egundo momento de #rea$$ tambi%n onoido omo &omento de Ineria (I) di'idido por la longitud (L) del #rea miembro$ que es neesaria en el m%todo de distribuión de momentos$ no es el 'alor exato pero es la azón aritm%tia de aritm%tia de rigidez de flexión de todos los miembros.
Coeficientes de distribución[editar ]
Rigidez En ingeniería ingeniería$$ la rigidez es una medida ualitati'a de la resistenia a las deformaiones el#stias produidas por un material$ que ontempla la apaidad de un elemento estrutural para estrutural para soportar esfuerzos soportar esfuerzos sin sin adquirir grandes deformaiones deformaiones.. Los coeficientes de rigidez son magnitudes físias que uantifian la rigidez de un elemento resistente bao di'ersas onfiguraiones de arga. *ormalmente las rigidees se alulan omo la razón entre una fuerza apliada ! el desplazamiento obtenido por la apliaión de esa fuerza. +ara barras o 'igas 'igas se se ,abla así de rigidez axial$ rigidez flexional$ rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos ortantes$ et.
Índice [oultar]
-igidees de prismas me#nios
•
o
-.-igidez axial
o
-.igidez flexional
o
-.igidez frente a ortante
o
-.0igidez mixta flexión1o flexión1ortante rtante
o
-.2igidez torsional igidees en plaas ! l#minas
•
•
o
.-igidez de membrana
o
.igidez flexional 3%ase tambi%n
Rigideces de prismas mecánicos [editar ] El omportamiento el#stio de una barra o prisma me#nio sometido me#nio sometido a peque4as deformaiones est# determinado por 5 oefiientes el#stios. Estos oefiientes el#stios o flexibles depende de6 -. La seión seión trans'ersal$ trans'ersal$ uanto uanto m#s gruesa gruesa sea la seión seión m#s fuerza fuerza ser# neesaria para deformarla. Eso se reflea en la neesidad de usar ables m#s
gruesos para arriostrar debidamente los m#stiles de los baros que son m#s largos$ o que para ,aer 'igas m#s rígidas se neesiten 'igas on ma!or seión ! m#s grandes. . El material del que est% fabriada la barra$ si se fabrian dos barras de id%ntias dimensiones geom%trias$ pero siendo una de aero ! la otra de pl#stio la primera es m#s rígida porque el material tiene ma!or módulo de 7oung (E ). . La longitud de la barra el#stia (L)$ fiadas las fuerzas sobre una barra estas produen deformaiones proporionales a las fuerzas ! a las dimensiones geom%trias. 8omo los desplazamientos$ aortamientos o alargamientos s on proporionales al produto de deformaiones por la longitud de la barra$ entre dos barras de la misma seión trans'ersal ! fabriadas del mismo material$ la barra m#s larga sufrir# ma!ores desplazamientos ! alargamientos$ ! p or tanto mostrar# menor resistenia absoluta a los ambios en las dimensiones. 9unional mente las rigidees tienen la forma gen%ria6 :onde6 S i es una magnitud puramente geom%tria dependiente del tama4o ! forma de la seión trans'ersal$ E es el módulo de 7oung$ L es la longitud de la barra ! ;i !
Rigidez axial[editar ] La rigidez axial de un prisma o barra reta$ omo por eemplo una 'iga o un pilar es una medida de su apaidad para resistir intentos de alargamiento o aortamiento por la apliaión de argas seg>n su ee. En este aso la rigidez depende sólo del #rea de la seión trans'ersal ( A)$ el módulo de 7oung del material de la barra (E ) ! la longitud de la siguiente manera6
Rigidez flexional[editar ] La rigidez flexional de una barra reta es la relaión entre el momento fletor apliado en uno de sus extremos ! el #ngulo girado por ese extremo al deformarse uando la barra est# empotrada en el otro extremo. +ara barras retas de seión uniforme existen dos oefiientes de rigidez seg>n el momento fletor est% dirigido seg>n una u otra direión prinipal de ineria. Esta rigidez 'iene dada6 :onde son los segundos momentos de #rea de la seión trans'ersal de la barra.
Rigidez frente a cortante[editar ] La rigidez frente a ortante es la relaión entre los desplazamientos 'ertiales de un extremo de una 'iga ! el esfuerzo ortante apliado en los extremos para pro'oar di,o desplazamiento. En barras retas de seión uniforme existen dos oefiientes de rigidez seg>n ada una de las direiones prinipales6
Rigidez mixta flexión-cortante [editar ] En general debido a las araterístias peuliares de la flexión uando el momento fletor no es onstante sobre una taza prism#tia apareen tambi%n esfuerzos ortantes$ eso ,ae al apliar esfuerzos de flexión aparezan desplazamientos 'ertiales ! 'ie'ersa$ uando se fuerzan desplazamientos 'ertiales apareen esfuerzos de flexión. +ara representar adeuadamente los desplazamientos lineales induidos por la flexión$ ! los giros angulares induidos por el ortante$ se define la rigidez mixta ortante1flexión que para una barra reta resulta ser igual a6
Rigidez torsional[editar ]
La rigidez torsional en una barra reta de seión uniforme es la relaión entre el momento torsor apliado en uno de sus extremos ! el #ngulo girado por este extremo$ al mantener fio el extremo opuesto de la barra6 :onde G el módulo el#stio trans'ersal$ J es el momento de ineria torsional ! L la longitud de la barra.
Rigideces en placas y láminas [editar ] :e manera similar a lo que suede on elementos lineales las rigidees dependen del material ! de la geometría$ en este aso el espesor de la plaa o l#mina. Las rigidees en este aso tienen la forma gen%ria6 :onde6 son respeti'amente el módulo de 7oung ! el oefiiente de +oisson. es el espesor del elemento bidimensional. es un entero ! .
Rigidez de membrana[editar ] La rigidez de membrana es el equi'alente bidimensional de la rigidez axial en el aso de elementos lineales 'iene dada por6 :onde E es el módulo de 7oung$ G es el módulo el#stio trans'ersal ! ? el oefiiente de +oisson.
Rigidez flexional[editar ] +ara una plaa delgada (modelo de Lo'e1@ir,off) de espesor onstante la >nia rigidez rele'ante es la que da uenta de las deformaiones pro'oadas por la flexión bao arga perpendiular a la plaa. Esta rigidez se onoe omo rigidez flexional de plaas ! 'iene dada por6 :onde6 h espesor de la plaa$ E módulo de 7oung del material de la plaa ! ? oefiiente de +oisson del material de la plaa.
Matriz de flexibilidad de una barra Autores: Enrique Nieto García
4.1.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos articulados | 4.2.- Matriz de rigidez de una barra en el plano, con nudos rígidos | 4.3.- Matriz de rigidez de una barra en el plano: otros casos | 4.4.- Sistema de numeración. Submatrices | 4..- !cuaciones matriciales de estado | 4."-Matriz de #le$ibilidad de una barra| 4.%.&cti'idades | 4.(.- !)ercicios de autoe'aluación |
4 .6.- Matriz de flexibilidad de una barra
1.
*+/0*+
2.
M&* /! 5!6*7*5*/&/ /! 0+& 7&&
!structura del !stadio límpico en #ase de monta)e. - Se'illa -
1. INTRODUCCIÓN 8emos re#erido en otros apartados anteriores cómo obtener di#erentes matrices de rigidez, 9a ue estamos siguiendo el m;todo de la rigidez, de camos a e$poner en este apartado un procedimiento para obtener la matriz de #le$ibilidad de una barra, como
un primer aspecto re#erente al m;todo de la #le$ibilidad. >amos a re#erirnos en este apartado a la matriz de #le$ibilidad 9 aplicado al caso de una barra empotrada-libre 9 ello supone una serie de aspectos especí#icos : 1.
0na barra empotrada-libre, presenta e$clusi'amente tres incógnitas, desde el punto de 'ista del c
2.
&l tener un e$tremo empotrado, por e)emplo el e$tremo 1, supone ue el 'ector mo'imiento ó desplazamiento en el e$tremo 1 es nulo.
3.
!l =ec=o de ue el 'ector desplazamiento 1 sea nulo, implica ue el 'ector desplazamiento ó mo'imiento del e$tremo 2 coincide con la de#ormación de la barra 9 , p or tanto, e$iste una relación directa entre el 'ector mo'imiento del e$tremo 2 9 las solicitaciones ue se producen en los e$tremos 1 9 2 de la barra.
?or ello la e$presión ue 'amos a obtener de la matriz de #le$ibilidad de esta barra constitu9e el caso m
{P}={K}·{d}
{d}={K} -1·{P}
donde: B C Matriz de rigidez de la barra . ? C >ector de cargas en los e$tremos . d C >ector de desplazamientos de los e$tremos . !sta ecuación matricial, al igual ue la siguiente de#inen la relación entre el sistema de cargas 9 el sistema de desplazamientos o mo'imientos, en la metodología matricial, de #orma ue representa lo ue podríamos denominar como Dle9 constituti'aD de la barra, en nuestro caso, o de una estructura en un caso m
{d}={F}·{P} donde:
C Matriz de #le$ibilidad de la barra . ? C Matriz de cargas en los e$tremos . d C Matriz de desplazamientos de los e$tremos . !n la ecuación anterior =emos e$presado cómo mediante el M;todo de la le$ibilidad una 'ez de#inida la matriz de cargas, a tra';s de la matriz de #le$ibilidad, se pueden calcular los desplazamientos o mo'imientos de los e$tremos /e lo anterior se deduce la relación entre las matrices de rigidez 9 de #le$ibilidad ue es la siguiente:
{F}={K} -1 !s decir: la matriz de #le$ibilidad es la in'ersa de la matriz de rigidez.
2. MATRI D! "#!$I%I#IDAD D! UNA %ARRA Seguidamente 'amos a e$presar m
{d}={F}·{P} 1. !l 'ector carga ser< del tipo &x' &(' Mz' en el e$tremo 2, por cuanto la modelización ue 'amos a desarrollar ser< aplicable a estructuras planas de nudos rígidos. 2. !l 'ector desplazamiento ser< del tipo dx' dx'
z , en co=erencia con la tipología en estudio.
!n la ecuación matricial siguiente, aunue posteriormente nos ceEiremos al caso de barra plana de e$tremos empotrado-libre, e$presamos la relación entre cargas 9 mo'imientos en los e$tremos de una barra, de #orma general. /enominamos al e$tremo izuierdo como 1 9 al e$tremo derec=o como 2, en la e$posición ue estamos =aciendo, con lo ue el caso ue 'amos a estudiar se corresponde con la submatriz "22. 0tilizamos en los dos e$tremos el mismo co n'enio de signos en cargas 9 desplazamientos, correspondientes a los sentidos positi'os del primer cuadrante. !n este caso por la tipología estructural a ue se re#iere la modelización de nuestro caso particular en estudio,
las barras se encuentran sometidas no solamente a a$iles, sino tambi;n a cortantes 9 #lectores 9 por ello el 'ector de cargas, ser< : /onde los 'alores de &1x' &1( ( M1z se corresponden con el sistema de reacciones en el e$tremo 1 9 el resto de 'alores en el e$tremo 2 ser
f f f d( ) f 21 .&x * f 22 .&( * f 2+ . Mz z ) f +1 .&x * f +2 .&( * f ++ . Mz dx ) 11 .&x * 12 .&( * 1+ . Mz
!l sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la e$presión de las de#ormaciones ue aparecen en el e$tremo libre de la barra, 2 , en #unción de las cargas ue actFan en dic=o e$tremo. !n lo ue sigue 'amos a calcular el 'alor de los par
f
f
f
dx ) 11 .&x * 12 .&( * 1+ . Mz
Si se cumple ue :
&( ) Mz ) , &x ) 1 ello implica ue :
f
dx ) 11 Si se cumple ue :
&x ) Mz ) , &( ) 1 ello implica ue :
f
dx ) 12 Si se cumple ue :
&x ) &( ) , Mz ) 1 ello implica ue :
f
dx ) 1+ !n la ecuación ue e$presamos seguidamente :
f
f
f
d( ) 21 .&x * 22 .&( * 2+ . Mz Si se cumple ue :
&( ) Mz ) , &x ) 1 ello implica ue :
f
d( ) 21 Si se cumple ue :
&x ) Mz ) , &( ) 1 ello implica ue :
f
d( ) 22 Si se cumple ue :
&x ) &( ) , Mz ) 1 ello implica ue :
f
d( ) 2+ !n la ecuación ue e$presamos seguidamente :
f
f
f
z ) +1 .&x * +2 .&( * ++ . Mz Si se cumple ue :
&( ) Mz ) , &x ) 1 ello implica ue :
f
z ) +1 Si se cumple ue :
&x ) Mz ) , &( ) 1 ello implica ue :
f
z ) +2 Si se cumple ue :
&x ) &( ) , Mz ) 1 ello implica ue :
f
z ) ++ !stas relaciones anteriores nos 'an a ser'ir para determinar el 'alor de los di#erentes componentes de la matriz de #le$ibilidad, del caso ue nos ocupa.
>emos ue los 'alores se pueden obtener por su relación con las cargas unitarias en el e$tremo libre , 2 , 9 por ello pasamos a estudiar tal relación en la barra empotrada-libre.
f
8emos re#erido anteriormente ue el 'alor de 11 es el del desplazamiento d$ , cuando =a9, e$clusi'amente, una carga &x ) 1. !ste caso se corresponde, tal 9 como podemos 'er en la #igura siguiente, con una solicitación a$ial de tracción-compresión, por tanto, 9 ue 'iene regida por la e$presión conocida como 5e9 de Goung:
) ! . de #orma ue tendremos ue:
luego:
f 11 ) #!A f 12 ) ,' 9a ue no =a9 relación directa &x - d( !llo se produce porue con una carga unitaria en el e)e $, no se produce desplazamiento alguno en el e)e 9.
f 1+ ) ,, 9a ue no =a9 relación directa: &x -
z
!llo se produce porue con una carga unitaria en el e)e $, no se produce un giro en z.
f 21 ) ,, 9a ue no =a9 relación directa: &( - dx !llo se produce porue una carga unitaria en el e)e 9 no produce un desplazamiento en $.
f +1 ) ,, 9a ue no =a9 relación directa: Mz - dx !llo se produce porue una carga unitaria de momento en z no produce desplazamiento en $.
!n la #igura anterior podemos 'er:
!l desplazamiento 9 el giro producido por una carga unitaria &( ) 1.
!l desplazamiento 9 el giro producido por una carga unitaria Mz ) 1. para una barra empotrada-libre.
!l diagrama de #lectores.
5a el
f 22 es el d9 cuando =a9, e$clusi'amente, un &( ) 1 5uego:
f 22 ) # +!I +
f 2+ es el d9 cuando =a9, e$clusi'amente, un Mz ) 1 5uego:
f 2+ ) # 2!I f +2 es el z cuando =a9, e$clusi'amente, un &( ) 1 2
5uego:
f +2 ) # 2!I f ++ es el z cuando =a9, e$clusi'amente, un Mz ) 1 2
5uego:
f ++ ) # !I 8emos utilizado como criterio de signos el siguiente :
?ara las #uerzas, ser
?ara los momentos, el positi'o en el e)e z, correspondiente con los e)es anteriores.
!l criterio de signos a utilizar lo ser< con generalidad, para todo el desarrollo ue 'amos a e$poner en Metodología matricial, tanto para cargas como para desplazamientos 9 para cualuiera de los dos e$tremos de una barra.
!n base a lo anterior, la matriz de rigidez del caso ue estamos analizando, como relación entre el 'ector carga en el e$tremo 2 9 el 'ector desplazamiento en el e$tremo 2 ser<
+S*/!&*+ *+&5 : !s importante comprender bien las relaciones ue se producen entre la de#ormación 9 las cargas en los casos ue se estudian en la teoría del apítulo ( @!structuras &ruitectónicas e *ndustriales: Su c
