Metodo matricial de la rigidez

Metodo matricial de la rigidez
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MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ


AUTOR

Melanie Gómez -Tostón. Gutiérrez
Ingeniería de Edificación
(El presente trabajo estará relacionado con el Método matricial de la flexibilidad[1], de Lucas Pérez Monge)



RESUMEN

A continuación se presenta el m todo de cálculo en forma matricial de la rigidez (cuya matriz llamaremos, 'K'). Este método de cálculo es aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que trabajan de forma elástica y líneal, incluyendo también estructuras estáticamente indeterminadas.
Esta aplicación de cálculo requiere de una transformación de coordenadas para localizar las matrices K. Haciendo falta introducir un algoritmo para encontrar esas matrices en otro sistema de coordenadas.
El método de rigidez directa se ejecuta mediante el método de los elementos finitos. En una única ecuación podemos saber el comportamiento interno de la estructura a calcular, siendo así los datos desconocidos para su posterior calculo las fuerzas y desplazamientos aplicados en la estructura, que podremos determinarlos resolviendo la ecuación por medio de este método directo de la rigidez, mediante un programa del ordenador (como puede ser el MATLAB u Octave, éste último utilizado por su licencia libre en prácticas de Algebra Lineal para la Edificación).

SUMMARY

Below is the method of calculation of the stiffness matrix form (the parent call, 'K'). This calculation method is applicable to indeterminate bar structures that work in a linear elastic, also including statically indeterminate structures.
This application requires computing a coordinate transformation matrix to locate K. Making necessary to introduce an algorithm to find these matrices in another coordinate system. The direct stiffness method is performed by finite element method.
In a single equation we know the internal behavior of the structure to calculate, making it the unknown data for subsequent calculation of forces and displacements applied to the structure, we can determine them by solving the equation by this method of stiffness by a computer program (such as MATLAB or Octave, the latter used by your free license practices for Building Linear Algebra).


INDICE
Tabla de contenidos
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1 INTRODUCCIÓN
2 ORIGEN
3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
4 MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS
4.1 MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL
4.1.1 Barra recta bidimensional de nudos rígidos
4.1.2 Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
4.1.3 Barra recta bidimensional con dos nudos articulados
4.1.4 Barra recta tridimensional de nudos rígidos
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
5 SOLUCIÓN DEL SISTEMA GLOBAL DE ECUACIONES
6 MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
7 LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZ
8 DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD Y EN RIGIDEZ
9 CONCLUSIONES APLICADAS AL CAMPO DE ALGEBRA PARA LA EDIFICACIÓN
10 VÉASE TAMBIÉN
11 REFERENCIAS BIBLIOGÁFRICAS
12 LICENCIA
INTRODUCCIÓN
En los métodos matriciales para el cálculo de estructuras tantos hiperestáticos como elementales siempre hay 2 variables, dependiendo del:
Método de la flexibilidad[2], siendo las incógnitas las fuerzas, que se basa a su vez en el método de los desplazamientos (abordado este tema por mi compañero Lucas Pérez Monge
Método de la rigidez, siendo las incógnitas los desplazamientos. En el que hay tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos.
Como muestra en un ejemplo la Imagen 1.1


Las barras de una estructura se las relaciona con los desplazamientos que presentan en los nodos de las estructuras, con las fuerzas exteriores necesarias para que se produzcan estos desplazamientos. Relacionando esta matriz de rigidez las fuerzas nodales y desplazamientos sobre los nodos de la estructura a estudiar, obtenemos la ecuación Imagen 1.2.:
= [3]
Donde:
Fi son las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; Ri son los desplazamientos de la estructura; y di el número de grados de libertad de la estructura.
La rigidez de una estructura consiste en que no sobrepasen un límite que están íntimamente ligados con la funcionalidad o estabilidad en la elasticidad lineal de la pieza a estudiar.

La deformación elástica se expresa también mediante esta matriz de rigidez mediante la Imagen 1.3:
= · = [4]

Del teorema de Maxwell-Betti [5] se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica en el que deduce que:
Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que se produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B. (J. C. Maxwell)
Con lo que interpreta que sólo existe la acción de una fuerza y no un conjunto de éstas.
Este teorema es aplicable a la matriz de rigidez de una estructura lineal en el que establece que ésta debe ser simétrica, como muestra en la Imagen 1.4:
[6]
ORIGEN
M. Levy en 1947 demostró la utilidad del método de la flexibilidad o de las fuerzas para el análisis de estructuras. Esta teoría se completó en 1950 por L.B. Wehle y W. Lansing. Levy fue el primero también en proponer el método de la rigidez o desplazamientos para su análisis estructural, en un artículo publicado en 1953, y ya estableció las ecuaciones en forma matricial, resolviéndolas mediante el ordenador. [7]
Al principio estos métodos se utilizaron para resolver problemas de estática lineal en estructuras de barras, pero posteriormente, se destinaron al análisis de estructuras más complejas incluyendo en este análisis el método de los elementos finitos.
Entre 1945-1955 aparecieron los primeros artículos con los citados autores para los métodos de matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, este método resurgió en aeronáutica, cuyos investigadores consiguieron estudiar el comportamiento estructural del avión mediante ecuaciones simples. Mientras que en Ingeniería Estructural necesitaban otros métodos que contrastasen diseños más complejos, por lo que se ha seguido estudiando este método. El mayor inconveniente era su gran tiempo en la ejecución de sus cálculos. Pero con la coincidencia en la misma época de la entrada de los ordenadores (en especial con la utilización del programa informático MATLAB u Octave, éste último con licencia libre) facilitaron la resolución de estas ecuaciones de forma rápida y directa.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
El procedimiento de cálculo, según la demostración obtenida de Roberto Aguiar Falconí. CEINCI-ESPE, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS[8] para hallar la matriz de rigidez de una estructura K se consigue mediante los siguientes pasos:
1) Establecemos la deformada elemental cuya columna se va a calcular.
2) Debemos localizar las deformaciones p en cada uno de los elementos afiliado a la deformada elemental.
3) Hacemos una transformación de las deformaciones p de cada elemento en cargas internas P a través de la matriz de rigidez del elemento k. Siendo la ecuación matricial: P= k p
4) Realizamos el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la estructura.
5) Debemos localizar el equilibrio de cada uno de los nodos de la estructura.
6) En este paso se obtienen las cargas que ejerce sobre la estructura y el vector de las cargas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.
Ahora veremos (Imagen 3.1) un ejemplo[9] donde va siguiendo estos pasos:

Primero debemos darnos cuenta que las deformaciones p se obtienen de las siguientes ecuaciones:
-
-


La matriz de rigidez de un elemento para un sistema de coordenadas indicado es:

=
Las cargas del elemento 1 se obtienen del producto matricial



Donde es de la siguiente forma:

=

De donde:





Lo normal es que se realice con los elementos 2 y 3, es decir, se multiplica la matriz de rigidez de cada elemento por su vector de deformaciones, obteniéndose:













Resumiendo, el vector de cargas generalizadas Q que establecida como:
=
Por definición los elementos de Q son los términos de la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura. Dando una matriz más simplificada cuyo resultado final es el siguiente:
=

MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS
En el estudio de una estructura por el método de la rigidez[10] se establecen tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplir.
Ecuaciones de compatibilidad
Ecuaciones constitutivas
Ecuaciones de equilibrio
Nuestro método a describir será para la rigidez de estructuras hiperestáticas mediante matrices, aunque su flexibilidad, en el concluiremos con unas conclusiones diferenciándola con la rigidez ya que, se calcula mediante un campo vectorial y matricial de desplazamientos.
Las estructuras de barras hiperestáticas largas tienen un número finito de grados de libertad pudiéndose calcular mediante un numero definido con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas en forma algebraica.
La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; por lo que decimos que la matriz de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando entre ellas los desplazamientos con las cargas que actúan (Imagen 4.1).

= [11]

Un ejemplo de la matriz rigidez de una estructura hiperestática de una barra será de orden 4 como muestra la Imagen 4.2.


=

y los vectores de carga y de movimientos (Imagen 4.3):
[12]
Simplificando la matriz rigidez obtenemos una matriz más esquematizada como muestra en la Imagen 4.4.

= [13]
Sabiendo Eliminando las filas y columnas que se encuentran coaccionados debido a los g.d.l. resultndoa la siguiente matriz simplificada (Imagen 4.5)

= [14]

Este método dependerá de una serie de condiciones que se designará a cada barra elástica de la estructura a estudiar, estos factores dependen [15] de:

las condiciones de enlace en su extremo (articulación, nudo rígido, etc.)
la forma de la barra: si es recta, curvada, etc.
Las constantes elásticas del material de la barra, ya sea longitudinal o transversal.
También podremos decir que a partir de las fuerzas aplicadas sobre la barra se forma el vector de fuerza que equivale a las acciones exteriores sobre la estructura. Las únicas incógnitas que nos encontraremos serán las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos. En el que con todos estos datos construimos un sistema lineal de ecuaciones para los desplazamientos que se produzcan y las incógnitas de sus apoyos. Este número de desplazamientos y reacciones incógnitas dependerán del número de nodos; siendo:
Si es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema se divide en dos subsistemas de ecuaciones que cumplen:
Subsistema 1: Agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo tiene desplazamientos como incógnita.
Subsistema 2: Agrupa al resto de ecuaciones, en el que resuelto el subsistema 1 y sustituido en el subsistema 2 obtendremos el resultado de las reacciones incógnita.
En el que finalmente una vez obtenidas las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos; podemos conocer los esfuerzos que pasa en cualquier punto de la estructura, sus tensiones máximas y dimensionar las secciones de la estructura.


MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL
Las matrices de rigidez elemental depende únicamente de:
1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).
2. Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de inercia de la sección y las características geométricas (longitud de la barra, curvatura, etc.)
3. El número de grados de libertad por nodo, dependerán si son problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. Esto relaciona a su vez la deformada de la barra al relacionar las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas aplicadas con los desplazamientos y giros en sus extremos.

Estos esfuerzos en los extremos y desplazamientos de las barras dependen directamente del tipo de estructura que se va a resolver:
a) Reticulado Plano: dos desplazamientos por nudo
b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.
En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.
c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo (una rotación en el plano del pórtico y dos traslaciones), y como acciones en el extremo de una barra existen tres acciones (una fuerza axial, un esfuerzo de corte y un momento flector).
d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones, y como acciones en el extremo de una barra existen cuatro acciones (una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos flectores y un momento torsor).
e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la grilla y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector).
En relación a la magnitud del vector de fuerzas nodales depende de la dimensionalidad de la barra como muestra en la Imagen 4.1.1[16]:

:

En la MATRIZ DE ROTACIÓN (r = f(α)) se puede representar con una orientación arbitraria α, que conviertes los vectores y matrices entre los sistemas de referencia absoluto y local, en los distintos tipos de estructuras como en:
Reticulado plano en una barra: Imagen 4.1.2:

= [17]

Vigas: al ser horizontales no hace falta su transformación mediante la matriz de rotación.

Pórtico plano en una barra: Imagen 4.1.3

= [18]

Entramado o parrilla Imagen 4.1.4:

= [19]

Barra recta bidimensional de nudos rígidos
Se llama nudo que une dos barras de manera rígida o empotrada si el ángulo formado por las dos barras después de la deformación no varía con el ángulo que formaba antes de su deformación. Este conjunto permite un giro respecto a un nodo, pero con la salvedad de que mantienen el ángulo que forman en su extremo. Para este tipo de barras unidas rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental viene dado como muestra en la Imagen 4.1.1.1http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/skins/common/images/button_math.png:

= [20]

Donde:
L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia).
E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).
Para obtener la matriz de rigidez en este tipo de barra biempotrada más abreviada, introducimos la esbeltez mecánica característica, para reducir su matriz:
= =
Donde: es la esbeltez mecánica característica.
= [21]
Así mediante esta matriz, queda relacionada las fuerzas en el extremo de la barra (f) con los desplazamientos nodales (d).

Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
En este caso se incorporan giros en el nudo articulado pero sin transmitir esfuerzos al nudo rígido. En este caso la matriz de rigidez, viene dada por (Imagen 4.1.2.1 y 3.1.2.2):
= [22]

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si hubiera sido al revés, tendríamos que permutar la matriz anterior para estar en este nuevo caso planteado (Imagen 3.1.2.2):
= [23]

Barra recta bidimensional con dos nudos articulados
Una barra bidimensional con dos nudos articulados sólo transmiten esfuerzos en su eje, en que su matriz de rigidez tendrá componentes diferentes para los grados de libertad longitudinal, dada por:

= [24]

Barra recta tridimensional de nudos rígidos
Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad en cada nudo (3 de traslación y 3 de orientación), como en este caso la barra está compuesta por dos nudos la matriz de rigidez será de 12x12. Este tipo de barras puede transmitir torsiones, esfuerzos a flexión y cortante en dos direcciones diferentes, que permite que la barra tenga más grados de libertad y su matriz de rigidez más compleja para definir correctamente su comportamiento, por lo que se descompone en 3 submatrices (Imagen 3.1.4.1):
= [25]
Estas 3 submatrices son (Imagen 3.1.4.2):

[26]

[27]

Y las magnitudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:
L, A, Iy, Iz,J son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su área transversal, momentos de área en las direcciones Y y Z; y su módulo de torsión.
E, G se refieren al módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de elasticidad transversal.
E1=+1, E2= -1 son signos relativos.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
La matriz de rigidez global de la estructura (S) se obtiene mediante la suma de las rigideces de cada una de las barras, necesitando de la ayuda de sus submatrices que componen la matriz de la rigidez de la barra(Imagen 4.2.1).
[28]

[29]

El vector de cargas de la estructura(L) a calcular, se forma mediante la suma de las cargas aplicadas, incluyendo aquellas cargas que han sido producidas por cada barra(Imagen 3.2.2).

[30]

[31]
SOLUCIÓN DEL SISTEMA GLOBAL DE ECUACIONES
Una vez obtenido el sistema de ecuaciones procederemos a su cálculo mediante uno de los métodos más conocidos para su resolución matricial, como[32]:

a) Método directo: son algoritmos que dan una solución exacta mediante números finitos de operaciones. Estos métodos son:
Gauss
Cholesky
Gauss-Jordan
Método frontal

b) Método iterativo: son algoritmos que dan una solución inicial inexacta que mediante aproximaciones sucesivas nos da una solución exacta. Estos métodos son:
Método Jacobi
Método de Gauss-Seidel
Método de gradientes conjugados

MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
Si fuese necesario modificar algunas características de un elemento estructural o de algún material en concreto según MÉTODOS GENERALES: Análisis matricial[33], podremos omitir este proceso de resolución del sistema de ecuaciones tan largo, mediante un sistema de ecuaciones "modificado" el cuál sería:
{f} = ([K] + [K']){d} [34]
Donde [K´] es la matriz modificada a la matriz [K]
Quedando la expresión definida como:
{f} = [K](I + [K]-1[K']){d} [35]
y, por tanto,
{d} = (I + [K]-1[K'])-1 [K]-1 {f} [36]
El factor [K]-1 {f} coincide con el vector {d}0 de movimientos en la estructura antes de la modificación por lo cual podemos sustituirlo en la ecuación:
{d} = (I + [K]-1[K'])-1 {d}0 [37]
Con lo que se deduce que el vector de movimiento del sistema "modificado" se obtiene del vector {d}0 y de las matrices [K] y [K´]. Esta matriz es permitida si las "modificaciones" no alteran mucho a los nodos de la estructura; así se procederá a ordenar razonadamente agrupando los g.d.l. afectados.[38]

LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZ
Para enlazar la matriz de rigidez con las estructuras hiperestáticas, se tienen que tener en cuenta unas limitaciones muy importantes como son [39]:
Material perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke (relación lineal esfuerzo-deformación)
Deformaciones pequeñas: implica que no se tienen en cuenta efectos de segundo orden.
Se desprecian las fuerzas axiales en la flexión
Para aplicar el Principio de Superposición es necesario que se cumplan las anteriores suposiciones.
Todas las cargas se aplican en forma progresiva y simultánea.
Se omiten las deformaciones por cortante
No se considera la rigidez de los nodos
No hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsión
Los planos XY y YZ son los principales de la flexión y en ellos actúan las cargas
El centro de cortante y el centro de torsión se asume que coinciden, siendo así independientes
El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos
En el caso de pórticos uno de los planos de simetría debe coincidir con el plano de carga
La matriz de rigidez es simétrica (sea una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es simétrica si cumple que AT=A ó que A es anti-simétrica si AT=-A)
La suma de los elementos de cada columna es cero
Todos los términos de la diagonal principal son positivos y tienden a ser los mayores valores de cada una de las filas.
Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una matriz de rigidez con determinante cero se dice que es una estructura inestable.

DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD Y EN RIGIDEZ
Las diferencias aportadas por el catedrático Diego Miramontes De León. Análisis Estructural 1. [40] hace una comparativa entre el cálculo matricial de la flexibilidad y la rigidez. Primeramente hace una comparativa en los procedimientos ya que uno es el inverso del otro (Flexibilidad y Rigidez). Como en un principio desprecia la deformación axial de las barras y considera una incógnita por nudo para asó obtener sistemas de ecuaciones en el que se puedan comparar.
ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD
ACCIÓN EN RIGIDEZ
Se eliminan todas las incógnitas quedando una estructura isostática. En la estructura liberada, aparecen unos desplazamientos incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los desplazamientos son debidos a la carga real.
Para eliminar los desplazamientos incongruentes, se aplican fuerzas (incógnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en donde se presentan. Utilizándose así, unos valores unitarios.
La suma de todas las configuraciones, deben satisfacer las condiciones geométricas de la estructura real, los desplazamientos en cada apoyo deben ser nulos.
Se sujetan todos los nudos para impedir cualquier movimiento, resultando en una estructura empotrada en todos sus nudos. En la estructura empotrada, aparecen fuerzas de empotramiento incongruentes con las condiciones de apoyo reales. Los momentos son debidos a la carga real.
Para eliminar estas fuerzas ficticias, se aplican desplazamientos (incógnitas) en cada uno de los puntos y en las direcciones en las que aparecen las fuerzas. Utilizándose así, unos valores unitarios.
La suma de todas las configuraciones debe satisfacer las condiciones de equilibrio de la estructura real, es decir, la suma de los momentos en cada apoyo, debe ser nula (equilibrio).

CONCLUSIONES APLICADAS AL CAMPO DE ALGEBRA PARA LA EDIFICACIÓN
Centrándonos en el cálculo de la rigidez de estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal mediante matrices, podemos decir, que es un proceso muy complejo en el que actualmente se ha reducido mediante el uso de programas informáticos (MATLAB u Octave, éste último con licencia libre); resolviendo este tipo de matrices de forma rápida y sencilla, analizando cualquier problema que pueda ocurrir en la estructura.
El método matricial está formado por los tres conjuntos de ecuaciones (constitutivas, de compatibilidad y equilibrio) relacionando los desplazamientos de cada tipo de estructura con variables que dependen de las fuerzas exteriores.
Si en algún caso los resultados obtenidos de la matriz de rigidez tiene que ser modificado no es necesario volver al proceso de cálculo anterior, pudiéndose hacer con una modificación mencionada anteriormente su proceso.
Su relación al campo de algebra para la edificación podemos asociar a la matriz de rigidez que es una matriz simétrica y dispersa, siendo la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando los desplazamientos con las fuerzas que actúan. También observamos que la suma de los elementos de cada columna es cero y es invertible, siendo su determinante distinto de cero, diciéndonos que la estructura es estable. En caso contrario, si el determinante es cero, la estructura es inestable.