Método matricial de la rigidez El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica elástica y y lineal lineal.. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, (DSM, método directo de la rigidez ), aunque también se le denomina el método de los desplaamientos. Este método está dise!ado para realiar análisis computariado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigide para resol"er las fueras o los desplaamientos mediante un ordenador. El método de rigide directa es la implementaci#n más com$n del método de los elementos finitos. finitos . %as propiedades de rigide del material son compilados en una $nica ecuaci#n matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealiada. %os datos que se desconocen de la estructura son las fueras y los desplaamientos que p ueden ser determinados resol"iendo esta ecuaci#n. El método directo de la rigide es el más com$n en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). El método directo de la rigide se origin# en el campo de la aeronáutica aeronáutica.. %os in"estigadores consiguieron apro&imar el comportamiento estructura de las partes de un a"i#n mediante ecuaciones simples pero que requer'an grandes tiempos de cálculo. on la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empearon a resol"er de forma rápida y sencilla.
Índice ocultar *
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+ ntr ntrodu oducci# cci#n n
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- und undamen amento to te# te#rico rico
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/ Descripci#n del método /.+ Matrices de rigide elementales
o
/.+.+ 0arra recta bidimensional bidimensiona l de nudos r'gidos
/.+.- 0arra recta bidimensional bidimens ional con un nudo articulado y otro r'gido
/.+./ 0arra recta bidimensional bidimensiona l con dos nudos articulados
/.+.1 2rco circular bidimensional bidimension al de nudos r'gidos
/.+.3 0arra recta tridimensional tridimensiona l de nudos r'gidos /.- uer ueras as nod nodales ales
o
/.-.+ /.-. + E4em E4emplo plo
o
/./ álculo de desplaamientos
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/.1 álculo de reacciones
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/.3 álculo de esfueros
o
/.5 2nálisis dinámico 1 6eferencia
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1.+ 0ibliograf'a
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1.- Enlaces e&ternos
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1./ 7rogramas
Introduccióneditar * El método consiste en asignar a la estructura de barras un ob4eto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplaamientos de un con4unto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fueras e&teriores que es necesario aplicar para lograr esos desplaamientos (las componentes de esta matri son fueras generaliadas asociadas a desplaamientos generaliados). %a matri de rigide relaciona las fueras nodales equi"alentes y desplaamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuaci#n8
(+) Donde8
son las fueras nodales equi"alentes asociadas a las fueras e&teriores aplicadas
sobre la estructura9
son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la
estructura9 los desplaamientos nodales inc#gnita de la estructura y de libertad de la estructura.
el n$mero de grados
%a energ'a de deformaci#n elástica también puede e&presarse en términos de la matri de rigide mediante la relaci#n8
Del teorema de Ma&:ell;0etti se deduce que la matri de rigide debe ser simétrica y por tanto8
Fundamento teórico editar * En general, un s#lido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema f'sico con un n$mero infinito de grados de libertad. 2s' sucede que en general para describir la deformaci#n de un s#lido necesitándose e&plicitar un campo "ectorial de desplaamientos sobre cada uno de sus puntos. Este campo de desplaamientos en general no es reductible a un n$mero finito de parámetros, y por tanto un s#lido deformable de forma totalmente general no tiene un n$mero finito de grados de libertad. Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con el área de su secci#n trans"ersal, el campo de desplaamientos "iene dado por la llamada cur"a elástica cuya deformaci#n siempre es reductible a un con4unto finito de parámetros. En concreto, fi4ados los desplaamientos y giros de l as secciones e&tremas de una barra elástica, queda completamente determinada su forma. 2s', para una estructura formada por barras largas elásticas, fi4ados los desplaamientos de los nudos, queda completamente determinada la forma deformada de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy apro&imadamente mediante un n$mero finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resol"iendo un n$mero finito de ecuaciones algebráicas. El método matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplaamientos de los e&tremos de la barras con "ariables dependientes de las fueras e&teriores. Esto contrasta con la situaci#n general de los s#lidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones internas y deformaciones in"olucra la resoluci#n de comple4os sistemas deecuaciones diferenciales en deri"adas parciales.
Descripción del métodoeditar * El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matri de rigide, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace e&tremo (articulaci#n, nudo r'gido,...), la forma de la barra (recta, cur"ada, ...) y las constantes elásticas del material de la barra (m#dulo de elasticidad longitudinal y m#dulo de elasticidad trans"ersal). 2 partir del con4unto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conecti"idad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global , que relaciona los desplaamientos de los nudos con las fueras equi"alentes sobre los mismos. gualmente a partir de las fueras aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones e&teriores sobre la estructura.
Subsistema +. =ue agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que s#lo contienen desplaamientos inc#gnita.
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Subsistema -. =ue agrupa al resto de ecuaciones, y que una "e resuelto el subsistema + y substituido sus "alores en el subsistema - permite encontrar los "alores de las reacciones inc#gnita.
>na "e resuelto el subsistema + que da los desplaamientos, se substituye el "alor de estos en el subsistema - que es tri"ial de resol"er. inalmente a partir de las reacciones, fueras nodales equi"alentes y desplaamientos se encuentran los esfueros en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfueros en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones má&imas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.
Matrices de rigidez elementaleseditar * 7ara construir la matri de rigide d e la estructura es necesario asignar pre"iamente a cada barra indi"idual (elemento) una matri de rigide elemental. Esta matri depende e&clusi"amente de8 +. %as condiciones de enlace en sus dos e&tremos (barra bi;empotrada, barra empotrada;articulada, barra biarticulada). -. %as caracter'sticas de la secci#n trans"ersal de la barra8 área, momentos de área (momentos de inercia de la secci#n) y las caracter'sticas geométricas generales como la longitud de la barra, cur"atura, etc. /. El n$mero de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. %a matri elemental relaciona las fueras nodales equi"alentes a las fueras aplicadas sobre la barra con los desplaamientos y giros sufridos por los e&tremos de la barra (lo cual a su "e determina la deformada de la b arra).
Barra recta bidimensional de nudos rígidoseditar * >n nudo donde se unen dos barras se llama r'gido o empotrado si el ángulo formado por las dos barras después de la deformaci#n no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformaci#n. 2$n estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en con4unto, pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en su e&tremo. En la realidad las uniones r'gidas soldadas o atornilladas r'gidamente se pueden tratar como nudos r'gidos. 7ara barra unida r'gidamente en sus dos e&tremos la matri de rigide elemental que representa adecuadamente su comportamiento "iene d ada por8
Donde8 son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de inercia). la constante de elasticidad longitudinal (m#dulo de ?oung). 2lternati"amente la matri de rigide de una barra biempotrada recta puede escribirse más abre"iadamente, introduciendo la esbelte mecánica caracter'stica8
Donde8
es la esbelte mecánica caracter'stica.
Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígidoeditar * En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfueros hacia el nudo no articulado. En ese caso la matri de rigide, usando la misma notaci#n que en la secci#n anterior, "iene dada por8
Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si fuera el primero, habr'a que permutar los elmentos de la matri anterior para obtener8
Barra recta bidimensional con dos nudos articulados editar * 7uesto que una barra recta de nudos articulados s#lo puede transmitir esfueros a lo largo de su e4e, la correpondiente matri de rigide de esa barra s#lo tiene componentes diferentes para los grados de libertad longitudinales. En ese caso la matri de rigide, usando la misma notaci#n que en la secci#n anterior, "iene dada por8
Arco circular bidimensional de nudos rígidoseditar * Barra recta tridimensional de nudos rígidos editar * >na barra recta tridimensional tiene 5 grados de libertad por nudo (/ de traslaci#n y / de orientaci#n), como la barra tiene dos nudos la matri de rigide es una matri de +& +-. 2demás una barra tridimensional puede transmitir torsiones, y también fle&i#n y esfuero cortante en dos direcciones diferentes, esa mayor comple4ida de comportamiento estructural es lo que hace que u na barra tridimensional requiera más grados de libertad y un matri de rigide más comple4a para describir su comportamiento, esta matri está compuesta de / submatrices8
Donde las submatrices son8
