METODE MATEMATIKA UNTUK FISIKA
Oleh : Davit Sipayung
Pokok Bahasan : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Sistem Bilangan Real dan Operasi Hitungan Hit ungan Bentuk Eksponen , Akar, Notasi Ilmiah, Simbol Matematika dan Logaritma Persamaan Linear, Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan Deret Aritmatika, Deret Geometri dan Notasi Sigma Geometri, Trigonometri dan Bilangan Kompleks Irisan Kerucut Limit dan Turunan Deret Binomial Newton , Deret Taylo r dan dan Deret Maclaurin Integral Matriks
Newton adalah seorang seorang ilmuwan fisika yang berhasil menjelaskan menjelaskan gerak benda ke dalam bentuk formulasi matematika, yang kita kenal dengan hukum Newton. Matematika menjadi bahasa sains yang banyak digunakan digunakan untuk menjelaskan menjelaskan gerak benda-benda. benda-benda. Kita dapat melakukan melakukan interpretasi interpretasi fisika dari dari persamaan persamaan gerak suatu benda. Misalnya, kita dapat menentukan bentuk lintasan gerak benda dari persamaan persamaan posisi benda itu. Walaupun gerak benda tidak bisa dilihat secara langsung oleh mata , kita tetap bisa mengetahui keadaan keadaan benda dari persamaan geraknya. geraknya. Karena itu, penting untuk kita terlebih dahulu belajar metode matematika untuk memudahkan memudahkan dalam belajar sistem gerak benda. Kita akan belajar materi matematika matematika seperti aljabar, geometri, geometri, trigonometri dan kalkulus. Ada baiknya anda terlebih dahulu menyelesaian pokok bahasan bab ini sebelum melangkah melangkah ke bab selanjutnya. 1. Sistem Bilangan Real dan Operasi Hitungan Bilangan real
Bilangan real (nyata) adalah gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irrasional. 1. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk x bentuk x// y di y di mana x, x, y bilangan y bilangan bulat dan y 0 . Contoh 1.1 : ,999.... .... ; 12/ 9 0,12 Contoh bilangan rasional adalah 8 ; -2; 2/3; 1/ 9 0,999.. ,1212... ... 0,12 ,12
2. Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk x/ x/ y y di mana x, x y , y bilangan bulat dan dan y 0 . Contoh 1.2 : 3,14159... Contoh bilangan irrasional adalah adalah 2,34511... ; e = 2,71828...;
Barisan bilangan 1. Bilangan bulat 2. Bilangan cacah 3. Bilangan asli 4. Bilangan genap 5. Bilangan ganjil
: ...,-3, -2,-1,0,1,2,3,... : 0,1,2,3,4,... : 1,2,3,4,... : ..., -6, -4, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... : ..., -5, -3, -1, 1,3, 5, ... ...
Operasi hitungan
Empat operasi penting penting dalam aljabar : 1. penjumlahan penjumlahan x + y 2. pengurangan pengurangan x - y 3. perkalian x × y, y, x· x· y atau y atau xy xy x 4. pembagian pembagian x : y , y , , atau x/y atau x/y y Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian : perkalian : 1. Hukum komutatif x + y = y + x dan xy dan xy = yx 2+3 = 3 + 2 dan 4 5 5 4 2. Hukum asosiatif x + ( y + z ) = ( x + y ) + z 2 + (4+6) = (2 + 4) + 6 3. Hukum distributif x ( y + z ) = xy + xz 4(7+9) = 4 7 4 9 Sifat operasi pembagian :
a c a b a d ad : b d c d b c bc Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
2
Contoh 1.3 : 5 12 5 3 15 5 6 3 6 12 72 24
x y x 3 3x x 6 3 6 y 6 y 2 y Perkalian khusus khusus : :
a b c ab ac
a b c d ac ad bc bd 2 a b a b a b a 2 b 2 2ab 2 a b a b a b a 2 b 2 2ab a ba b a 2 b 2 1.2 Bentuk Eksponen Eksponen , Akar, Notasi Ilmiah, Simbol Simbol Matematika dan Logaritma Bentuk Eksponen n
Bentuk a a menunjukkan perkalian bilangan a dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali. Contoh 2.1 :
24 2 2 2 2
a3 a a a
x 5 x x x x x
Sifat-sifat operasi pangkat : 1. a0
1 , jika a 0
2. a n
1 , an
50 1
jika a 0
3 2
1 1 , 3 2 2 2 3 3
3. a m a n a m n
102 105 1025 107
am a m n , jika a 0 4. n a
104 1042 102 2 10
n
5.
am
6.
m ab a m b m
a mn
a2
3
a2 3 a6
2 2a 22 a 2
m
am a 7. m , jika b 0 b b m
n 8. a n a m
3
4 43 3 3 a a3 4 a 3
5
3
2
a5 a 3 a 3 a 3 a
3
a2
Contoh 2.2 : 5
4 4 64 22
2
x y 2 x 2 2 y 3
3
45 43 43 3 2 44
1 4 x 2 y2 2 3 x y 2
4
4 4 1 3 5 1 x 2 2 y 2 2 x 2 y 2 x10 y 2
Contoh 2.3 : Salah satu aplikasi operasi pangkat dalam mekanika adalah menentukan dimensi suatu besaran. M besaran. M , L, L, dan T berturut-turut adalah dimensi massa, panjang, dan waktu dalam mengukur viskositas. Sederhanakan Sederhanakan dimensi viskositas viskositas di bawah ini!
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
3
MLT 2 LT 1 L2 : L Penyelesaian :
MLT 2 LT 1 1 1 2 ML T dan L2 L T MLT 2 LT 1 1 2 1 1 1 L2 : L ML T : T ML T Persamaan pangkat pangkat :
a f ( x) a g ( x) f ( x) g ( x) Contoh 2.4 : Hitung nilai x nilai x pada pada persamaan berikut ini!
a. 2 x2 4 b. L3 L x L2 x c.
9 x1 1 x 243 3
Penyelesaian :
a. 2 x2 22 x 2 2
Nilai x Nilai x adalah adalah x = 4. x = b. L3 L x 2 x L3x 3 x
3
Nilai x Nilai x adalah adalah x x = = 1.
32( x 1)
c.
3 x
5
3
3 x1 3 x 5 3 3 x 6 3 x Jadi , x 6 x x 3
Bentuk akar n Jika x Jika x = y, y, maka x n y .
Contoh 2.5 : 2
4
4
16
4
1 42
1 (16) 4
1 4 4 (2 )
1 3
1 2 2 2
2
2 1
3
27 27 3 3
3
3
Akar pangkat dua dari suatu bilangan a umumnya dituliskan dengan
a.
Sifat-sifat operasi akar :
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
4
x b
n
1. a 2.
3.
n xy
n
x
n
x
n x
x 4. n y
n
x
n
y
x m
5.
n
6.
n m
x a b n x
n
n
y
n
x
m
m
xn
x mn x
Contoh 2.6 : Penggunaan sifat-sifat operasi akar :
1. 5 3 2 3 5 2 3 7 3 , 2.
2
4
3
5
4,
3
5
3.
12
4 3 2 3,
4.
9 2
9
5.
3
6.
3
84
3
3
2 4
3
3 6 3,
3
4 3
23
4
x3 y 5
9 64
3
2
8
6 5 3 5 6 3 5 3 5
3 3
9
3
x3
64
3
y 5 xy 3 y 2
3
9 4
2 4 16
13 12 13
Contoh 2.7 :
12 27 48 2 3 3 3 4 3 3 125 20 45 5 5 2 5 3 5 0 Contoh 2.8 : Rasionalkan penyebut dari bentuk akar di bawah ini !
2 a.
3 3
b.
2 1
Penyelesaian:
2 a.
3 3
b.
2 1
2
3
3
2 3 3
3( 3( 2 1) 3( 2 1) 2 1
3 2 1 2 1
Notasi Ilmiah
Bilangan yang sangat kecil dan sangat besar dapat ditulis menggunakan notasi ilmiah untuk memudahkan dalam penulisannya. Misalnya, kecepatan cahaya adalah 3×10 8 m/s, massa elektron adalah 9,109 × 10−31 kilogram, dan massa Bumi adalah 5,9742 × 1024 kilogram. Bentuk umum notasi ilmiah :
a 10n di mana 1 a 10 dan 10n disebut orde.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
5
Contoh 2.9 : Jari-jari Bumi adalah R = 6.400.000 m = 6,4 × 106 m Konstanta gravitasi universal adalah G = 0,0000000000667 Nm2/kg2 =6,67×10-11 Nm2/kg2 10 4 m 2, 31 104 5 107 m 1,155 10 Simbol Matematika a b artinya a sama dengan b a b artinya a lebih besar dari b a b artinya a jauh lebih besar dari b a b artinya a lebih kecil dari b dari b a b artinya a jauh lebih kecil dari artinya a mendekati mendekati dengan b a b artinya a a b artinya a mendekati sama dengan b a b artinya a sebanding dengan b a b artinya a identik dengan b
a artinya positif atau negatif a
Logaritma
Bentuk umum logaritma :
log b x a x b a log di mana a > 0, a 1 dan b > 0 . Bilangan a disebut sebagai bilangan basis/pokok. Contoh 2.10 :
2 x 3
x 2 log 3 b 3 log 2 3b 2 2 log 4 x 4 2 x x 2 a log100 2 10 100 a2 a 10 Sifat-sifat logaritma : 1.
a
log a 1
2.
a
log1 0
3.
a
log log an n
4.
a
log bc a log b a log c
5.
a
log
6.
a
log b m m a log b
an
7. 8.
a
9.
a
b a log b a log c c
log bm
log b
c c
m a log b n
log b log a
log n b a log b
n
Contoh 2.11 : Penggunaan sifat-sifat logaritma :
1.
5
log 5 1
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
6
log 1 0
2.
100
3.
3
log 34 4
4.
2
log 2 x 2 log 2 2 log x 1 2 log x
5.
2
log
6.
6
log32 2 6 log 3
7.
33
8.
5
9.
3
4 2 log 4 2 log 9 2 2 log 9 9
log 42
log7
7 7
2 3 log 4 3
log 7 log 5
log 2 9 3 log 32
7
2
1 log 5
4
Contoh 2.12 : Hitung nilai x nilai x untuk untuk persamaan berikut ini ! 2 x 2 5 x 1 5 3 Penyelesaian :
log 5 2 x 2 log 35 x 1
2 x 2 log 5 5 x 1 log 3 x 2 lo log 5 5 lo log 3 log 3 2 lo log 5 x
log3 2lo 2log5 5lo 5log3 2lo 2log5
Logaritma dibedakan menjadi dua bagian berdasarkan nilai basisnya : Logaritma biasa memiliki bilangan basis adalah 10. 10
log10 g100 log10 g100 ,
10
log 2 log10 g100
Jika bilangan basis adalah 10 , maka tidak perlu dituliskan. Logaritma natural memiliki bilangan basis adalah bilangan natural (e ( e = 2,71828182....) e
log b ln b
exp x . Sifat Cara membaca ln b adalah Lon b. Bentuk eksponen x ln b adalah b e x exp logaritma natural sama dengan sifat logaritma biasa hanya mengganti notasi log menjadi ln. y
y
1
y = y = exp x exp x
y = y = exp - x - x
1 1
x
x
y = y = ln x ln x
Gbr. 1.1 : Kurva eksponensial eksponensial Contoh 2.13 :
ln x 3
x e3
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
7
ln
v kt v0
v ekt atau v v0 e kt v0 exp(kt ) v0
3. Persamaan Linear, Persamaan Kuadrat, Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan Pertidaksamaan Persamaan Linear
Persamaan linear memiliki variabel – variabel – variabel variabel hanya pangkat satu. Persamaan linear dengan variabel x variabel x dan y dan y dapat dapat dituliskan dalam bentuk umum : ax by c 0 atau y
mx c
di mana m dan c adalah konstanta konstanta yang dapat dapat bernilai positif dan negatif. negatif. Konstanta c sebagai titik potong sumbu y sumbu y di x = 0. Konstanta m dinamakan dinamakan kemiringan garis atau disebut gradien. gradien. Gradien Gradien adalah rasio perubahan y y terhadap perubahan x perubahan x.. Gradien garis yang menghubungkan titik ( x x1 y , y1) dan titik ( x x1 y ,y1) adalah
m
y y2 y1 x x2 x1
y y = mx+c y2
m
y1
∆ y
∆ x x1
x2
x
Gbr. 1.2 : Kurva persamaan persamaan linear y linear y = m x + c Gradien dari persamaan garis ax by c 0 adalah m a / b . Perhatikan Gbr. 1.3 bahwa garis mendatar mempunya mempunyaii gradien nol, garis yang yang naik mempunyai mempunyai gradien positif, positif, dan garis yang yang turun mempunyai mempunyai gradien negatif. Gradien untuk garis tegak tidak t idak terdefenisi. y
Gradien positif Garien negatif
x Garien nol
Garien tak terdefenisi
Gbr. 1.3 : Nilai gradien garis Dua buah garis dengan gradien m1 dan m2 sejajar jika m1 = m2.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
8
Dua buah garis dengan gradien m1 dan m2 tegak lurus jika m1 m2 1 Persamaan garis dengan gradien m melaui titik ( x1 y , y1) :
y y1 m x x1 Persamaan garis yang melaui titik ( x1 y ,y1) dan titik ( x x2 y ,y2) :
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
Titik tengah garis yang menghubungkan titik A( x x1 y ,y1) dan titik B( x x2 y , y2) : x1 x2 y1 y2 2 , 2 Jarak antara titik A( x1 y , y1) dan titik B( x x2 y , y2) :
d
2 2 x2 x1 y2 y1
Jarak titik ( x x1 y , y1) ke garis ax by c 0 : d
ax1 by1 c a 2 b2
Contoh 3.1 : a. Tentukan gradien gradien garis yang melalui titik A (2,2) dan titik B (4,8)! b. Tentukan persamaan garis f garis f yang memiliki memiliki gradien -3 dan melalui melalui titik (2,3)! c. Tentukan persamaan garis g garis g yang yang melalui titik A (2,-1) dan titik B (0,3)! d. Gambarkan persamaan garis y garis y = 2 x - 4 dalam koordinat kartesian! Penyelesaian : a. Misalkan titik A ( x x1 y ,y1) = A(2,2) dan titik B ( x x2 y , y2) = B(4,8). Gradien garis yang melalui titik A dan titik B adalah
y2 y1 8 2 3 x2 x1 4 2 b. Misalkan titik A ( x x1 y ,y1) = A (2,3) dengan gradien m = -3. Persamaan garis f garis f adalah y y1 m x x1 m
y 3 3 x 2 y 3 x 9
c. Misalkan titik A ( x x1 y ,y1) = A(2,-1) dan titik B ( x2 y , y2) = B (0,3). Persamaan garis g garis g adalah adalah y (1) x 2 3 ( 1) 0 2
y 1 2 x 2 y 2 x 3
d. Untuk mendapatkan mendapatkan grafik dari persamaan persamaan linear, kita terlebih dahulu dahulu menentukan menentukan titik potong garis pada sumbu x sumbu x dan dan sumbu y sumbu y.. Titik potong garis pada sumbu x sumbu x ketika ketika y y = = 0 adalah di titik ( 2,0). Titik potong garis pada sumbu y sumbu y ketika ketika x=0 x=0 adalah di titik (0,-4). Letakkan kedua titik ini dalam koordinat kartesian, kemudian tarik garis yang menghubungkan kedua titik ini.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
9
y y = 2x-4
2
x
-4
Gbr. 1.4 : Kurva persamaan persamaan garis y = 2x -4 Contoh 3.2 : Tentukan titik potong antara garis x garis x + + 2 y = y = 5 dan 2 x x - 4 y = y = -6 ! Penyelesaian : Titik potong ( x, x y) , y) akan melalui kedua persamaan garis ini. Titik ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan-persam persamaan-persamaan aan ini secara simultan. x = x = 5-2 y Sehingga, 2(5-2 y ) - 4 y = y = -6 Kita akan memperoleh bahwa titik potong kedua garis ini adalah (1,2). Persamaan Kuadrat
Sebuah persamaan yang mengandung suatu variabel berpangkat dua dinamakan persamaan kuadrat. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
a x 2 bx c 0 dengan a,b, dan c adalah konstanta dengan a 0 . Solusi atau akar-akar persamaan kuadrat adalah
x1,2
b b 2 4 a c 2a
dengan
x1
b b 2 4ac
b b 2 4ac
dan x2 2a 2a Rumus diskriminan suatu persamaan persamaan kuadrat adalah 2 D b 4ac Dari nilai diskriminan dapat diketahui jenis-jenis akar-akar persamaan persamaan kuadrat: Jika D>0 Jika D>0,, kedua akarnya real dan berbeda Jika D=0 Jika D=0,, kedua akarnya real dan sama Jika D<0 Jika D<0,, kedua akarnya imajiner Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x akar-akarnya x1 dan x dan x2 adalah x x1 x x2 0
x 2 x1 x2 x x1 x2 0 Contoh 3.3 : Tentukan akar-akar dari persamaan di bawah ini! a. 2 x 2 5 x 3 0
b.
1 2
kx 2 mg ( L x) 0
c. 2 cos 2 12 cos 1 0
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
10
d. t
4
13t 2 36 0
e. t t 6 0 Penyelesaian : a. Konstanta a = 2, b = -5, dan c = -3. Akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 5 x 3 0 adalah
x1,2
b b 2 4ac
2a
(5) ( 5) 2 4(2)( 3) 2 (2)
Kita mendapatkan bahwa x1 1 2
b. Persamaan kuadrat 1 2
57 4
57 57 1 3 dan x2 4 4 2
kx 2 mg ( L x) 0 dapat dituliskan menjadi
kx 2 mg x mgL 0
kx2 2mg x 2mg L 0 Konstanta a = k , b = -2mg -2mg , dan c = -2mgL -2mgL.. Karena itu, x1,2
b b 2 4ac 2a
2mg (2mg )2 4(k )( 2mgL ) 2 k
mg m 2 g 2 2mgkL k c. Persamaan Persamaan kuadrat ini memiliki variabel cos β . Konstanta a = 2, b =1/2 , dan c = -1. Karena itu, x1,2
cos 1,2
b b2 4ac 2a
12
1 4
8
1) 12 ( 12 )2 4(2)( 1) 2 ( 2)
1 1 33 4 8 8 d. Persamaan ini dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan x = t 2. Sehingga, cos 1,2
x2 13x 36 0
x 4 x 9 0 Jadi x = 4 dan x=9. Karena x= t 2, sehingga t2 = 4 dan t2 = 9, menghasilkan menghasilkan t 2 dan t 3 e. Persamaan ini dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan x = Sehingga,
t .
x2 x 6 0
x 2 x 3 0 Jadi x = 2 dan x= -3. Karena x = t , dan menghasilkan menghasilkan t = 4.
t tidak pernah negatif, sehingga solusi yang memenuhi adalah x = 2,
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah
y f ( x) a x2 bx c dengan a, b, dan c adalah konstanta dan a 0 .
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
11
y Sumbu simetri x=x p
y ax2 bx c c x1
x p x2
x
y p
Titik balik ( x p ,y p ) Gbr.1.5 : Kurva fungsi kuadrat y f ( x ) ax 2 bx c
Rumus persamaan sumbu simetri adalah b x p 2a Nilai maksimum maksimum dan minimum minimum (nilai ekstrim) suatu suatu fungsi kuadrat kuadrat adalah
D b 2 4ac y p y xp 4a 4a
Bentuk kurva fungsi kuadrat dinamakan dinamakan parabola. Jika a >0 , >0 , parabola akan terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum . Jika a <0 , <0 , parabola akan terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum. Diskriminan dari fungsi kuadrat adalah D b 2 4ac Dari nilai diskriminan dapat diketahui kedudukan kurva fungsi kuadrat : Jika D>0 Jika D>0,, kurva memotong sumbu x sumbu x di di dua buah titik ( x x1,0) dan ( x2,0). Jika D=0 Jika D=0,, kurva menyinggung menyinggung di sebuah titik titik pada sumbu sumbu x di titik ( x x1,0) . Jika D<0 Jika D<0,, kurva tidak memotong memotong sumbu x sumbu x.. y
a>0 D> 0 a>0 D=0
a<0 D> 0
a>0 D<0
x a<0 D=0
a<0 D<0
Gbr.1.6 : Kurva fungsi kuadrat ditinjau nil ai a dan D dan D Menggambar kurva kurva fungsi kuadrat kuadrat Gambarkan Gambarkan kurva fungsi kuadrat y x2 4x 3 ke dalam koordinat kartesian. Titik potong fungsi kuadrat pada sumbu x sumbu x ketika ketika y y = = 0. x 2 4 x 3 0 x 1 x 3 0
Kita akan mendapatkan bahwa x bahwa x1 =3 dan x dan x2 =1. Titik potong fungsi pada sumbu x sumbu x di di titik ( x x1,0) dan ( x x2,0) adalah (3,0) dan (1,0). Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y sumbu y ketika ketika x x = = 0.
y 02 4(0) 3 3
Jadi, titik potong pada sumbu y sumbu y adalah adalah (0,3) Titik balik fungsi kuadrat (titik maksimum atau titik minimum )
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
12
Axis titik balik disebut juga sumbu simetri, (4) b x p 2 2a 2(1) Ordinat titik balik disebut juga nilai ni lai maksimum atau minimum, minimum, 2 2 D b 4ac (4) 4(1)(3) y p 1 4a 4a 4(1) atau
y p ( x p ) 2 2 4(2) 3 1 Titika balik kurva ( x p , p , y p) adalah (2,-1)
Masukkan titik-titik ( x x1,0), ( x x2,0) dan ( x p , p , y p) ke dalam koordinat kartesian . y Sumbu simetri x=2
y x2 4 x 3 c 1 -1
2
3
x Titik balik ( 2,1 )
Gbr.1.7 : Kurva fungsi kuadrat y x 2 4 x 3
Membentuk fungsi fungsi kuadrat Jika kita mengetahui grafik fungsi kuadrat, maka kita dapat membentuk persamaan fungsi kuadrat tersebut. Berikut metode untuk membentuk persamaan persamaan kuadrat. 1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x sumbu x di titik ( x x1,0) dan ( x x2,0) serta melalui melalui suatu titik ( x x3 y ,y3). Persamaan Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk :
y a x x1 x x2 Nilai a diperoleh dengan mensubstitusi nilai titik ( x3 y ,y3) ke persamaan fungsi kuadrat ini. 2. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik ( x x p y x1 y ,y1). , p ) dan melalui suatu titik ( x Persamaan Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk : 2
y a x x p y p Nilai a diperoleh dengan mensubstitusi nilai titik ( x1 y ,y1) ke persamaan fungsi kuadrat ini. 3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik ( x x1 y , y1), ( x x2 y ,y2) dan ( x x3 y , y3). Persamaan Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk :
y ax2 bx c Nilai a,b dan c diperoleh dengan mensubstitusi nilai titik ( x x1 y , y1), ( x x2 y , y2) dan ( x3 y , y3) ke persamaan fungsi kuadrat ini. Hubungan garis y mx n dan parabola y a x2 b x c adalah mx n ax 2 bx c
ax 2 b m x c n 0 Nilai D Nilai D dari dari persamaan ini adalah 2
D b m 4a c m
Jika: D > D > 0, garis memotong parabola di dua titik D = D = 0, garis memotong parabola di satu titik (hanya menyinggung parabola) D < D < 0, garis dan parabola tidak berpotongan
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
13
Contoh 3.4 : Tentukan persamaan persamaan fungsi kuadrat dari kurva di bawah ini!
y
y(m) y(m) 5
4 1
4
0
x
Gbr.1.8a : Soal 1.3.4a
1
t(s)
Gbr.1.8b : Soal 1.3.4b
Penyelesaian : a. Grafik fungsi kuadrat y(x) kuadrat y(x) memotong memotong sumbu x di titik ( x x1,0) = (1,0) dan ( x2,0) = (4,0) dan melalui titik ( x x3 y , y3) = (4,0). Persamaan fungsi kuadratnya adalah
y a x x1 x x2 y a x 1 x 4 Substitusikan nilai (0,4) ke persamaan ini, maka kita akan memperoleh
4 a 0 1 0 4 a 1
Jadi, persamaan fungsi kuadrat Gbr.1.8a adalah
y x 1 x 4 y x x 2 5 x 4 b. Grafik fungsi kuadrat y(t) memiliki titik balik (y p,t p ) =(1,5) dan (y1,t1) = (0,0). Persamaan fungsi kuadratnya adalah 2
y a t t p y p 2
y a t 1 5
Substitusikan titik (0,0) ke persamaan ini, maka kita akan memperoleh 2
0 a 0 1 5
a 5
Jadi, persamaan fungsi kuadrat Gbr.1.8b adalah 2
y 5 t 1 5
y t 5t 2 10t Pertidaksamaan
Sifat-sifat pertidaksamaan : 1. Jika a < b , maka a maka a + + c > b + c 2. Jika a Jika a < < b b dan dan c c < < d d , maka a maka a + + c c < < b b + d 3. Jika a < b dan c > 0, maka ac < ac < bc 4. Jika a < b dan c < 0, maka ac > ac > bc n n 5. Jika a < b, maka a < b tetapi a n b n 1 1 6. Jika 0 < a < b maka a b Contoh 3.5 : Selesaikan solusi pertidaksamaan pertidaksamaan berikut ini !
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
14
a. 2t -5 -5 > 4t 4t -2 -2 2 b. t - t >2 >2 t 1 c. 0 t 2 Penyelesaian : a. 2t -5 -5 > 4t -2 -2 (tambahkan 5 ) 2t > 4t 4t + 3 (tambahkan -4t) -2t > 3 (kalikan dengan -1/2) t < -3/2 b. Nolkan ruas kanan kanan 2 t - t -2 -2 > 0 Temukan faktor dari persamaan kuadrat dan masukkan akar-akarnya ke dalam garis bilangan. ( t+1)( t+1)(t t -2 > 0
---
+++ -1
+++ -2
Ambil titik-titik uji -2, 0, 3 ( sembarang titik pada ketiga selang tersebut yang memenuhi). memenuhi). Titik uji -2 0 3
Nilai (t +1)(t +1)(t -2) -2) 4 -2 4
Tanda + +
Kita simpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan t 2 - t >2 adalah selang yang bernilai positif, yaitu yaitu t < < -1 dan t > > 2. t 1 c. Masukkan faktor dari pertidaksamaan 0 ke dalam garis bilangan dan tentukan tanda titik t 2 uji. ---
+++ -1
+++ -2
Untuk t=2 , t=2 , pertidaksamaan ini tidak terdefenisi sehingga bukan menjadi himpunan penyelesaian. t 1 Kita simpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0 adalah selang yang t 2 bernilai negatif negatif , yaitu 1 t 2 . Contoh 3.6 : Tentukan solusi yang memenuhi dari kedua pertidaksamaan t 2 2 dan 2t 2 1 . Penyelesaian : t 22
2t 2 1
t4
t 1 / 2
Solusi dari kedua pertidaksamaan pertidaksamaan ini adalah irisan dari kedua solusi pertidaksamaan pertidaksamaan ini, yaitu 4 t Nilai mutlak Nilai mutlak suatu suatu bilangan real real x, sebagai x, dinyatakan oleh |x|, didefenisikan sebagai | x | x jika x 0 | x | x
jika x < 0
Contoh 3.7 :
| 8 | 8 ,
| 0 | 0 ,
| 7 | 7 7
| x 2 | 8 x 2 8 atau x - 2 8
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
15
y y = |x-1|
1
y = |x| x
Gbr. 1.9 : Kurva fungsi mutlak Sifat-sifat nilai mutlak : 1. ab a b 2.
a a b b
3. a b a b 4. a b a b 5. x x 2 6. x a x a 7. x a a x a 8. x a x a dan x a 2
9. x x 2 10. x y x2 y2 4. Deret Aritmatika, Deret Geometri dan Notasi Sigma Deret Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan yang selisih dua suku berdekatan selalu sama. Penjumlahan dari barisan aritmatika aritmatika disebut sebagai sebagai deret aritmatika. aritmatika. Bentuk umum barisan aritmatika : U1 , U 2 , U 3 , U 4 , .... a , a b , a 2b , a 3b , .... dengan b U 2 U1 U 4 U 3 U n U n 1 . Contoh 4.1 : Barisan aritmatika 2, 4, 6, 8,..... 20, 15, 10, 5, .... Deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + ..... 20 + 15 + 10 + 5+ ....
b = 4-2 = 6-4 = 2 b = 15-20 = 10-15= -5
Rumus barisan aritmatika: 1. Rumus suku ke-n ke-n adalah U n a n 1 b 2. Rumus jumlah n suku pertama adalah Sn
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
n n a U n 2a n 1 b 2 2
16
dimana : a adalah suku pertama, n adalah jumlah suku, b adalah beda, U n adalah suku ke-n, ke-n, dan S n adalah jumlah suku n pertama. Contoh 4.2 : a. Tentukan suku ke-8 dan suku ke-17 dari barisan berikut ini ! 20, 15, 10, 5, .... b. Tentukan jumlah dari dua puluh suku pertama dari deret berikut ini! 3 + 6 + 9 + 12 + ...
Penyelesaian Penyelesaian : a. Suku pertama a =20. =20. Beda dari barisan ini adalah b = 15 - 20 = - 5. 20 20 8 1 5 20 35 15 Suku ke-8 adalah U 8
20 20 17 1 5 20 80 60 Suku ke-17 adalah U 17 b. Suku pertama a =3. =3. Beda dari barisan ini adalah b = 6 - 3 = 3 Jumlah dua puluh suku pertama adalah 20 S 20 2 3 20 1 3 630 2 Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan yang perbandingan suatu suku dengan suku sebelumnya selalu tetap. Penjumlahan dari barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Bentuk umum : U1 , U 2 , U 3 , U 4 , .... a , ar ar , ar 2 , ar 3 , ....
dengan r
U U 2 U 4 n . U1 U3 U n1
Contoh 4.3 : Barisan geometri 1, 2, 4, 8,..... 27, 9, 9, 3, 1,.... 1,.... Deret geometri 1+ 2 + 4 + 8+ ..... 27 + 9 + 3 + 1 + ....
Rumus barisan geometri : 1. Rumus suku ke-n adalah Un
a r n1
2. Rumus jumlah n suku pertama adalah S n
a r n 1 r 1
di mana : a adalah suku pertama, n adalah jumlah suku, r adalah adalah rasio (nilai perbandingan) perbandingan) U n adalah suku ke-n, ke-n, S n adalah jumlah suku n pertama. Contoh 4.4 : a. Tentukan suku ke-8 dan suku ke-11 dari barisan berikut ini : 3, 9, 27, 81, ... b. Tentukan jumlah jumlah dari delapan suku pertama pertama dari deret berikut berikut ini : 4 8 16 32 64
Penyelesaian : a. Suku pertama a =3. =3. Rasio dari barisan ini adalah r 9 / 3 3
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
17
ar 81 3 37 6581 Suku ke-12 adalah U11 ar 111 3 310 177147 Suku ke-8 adalah U8
b. Suku pertama a =2. =2. Rasio dari barisan ini adalah r 2 Jumlah dari delapan suku pertama adalah S 9
a r 8 1 r 1
4 28 1 2 1
1.020
Jumlah Deret tak berhingga Jumlah deret tak berhingga dari setiap deret dengan 1 r 1 dinyatakan oleh a S r 1 Contoh 4.5 : 1 1 1 a. 1 2 4 8 1 a 1 dan dan r 2 a 1 S 2 1 r 1 12
b. 1 e e2 e3 , dengan (0 < e <1). a 1dan r e S
a 1 r
1 1 e
Notasi Sigma
Suatu deret dapat dinyatakan dalam notasi sigma. Notasi sigma disimbolkan dengan . Bentuk umum notasi sigma : n
ai
im
dimana k ,m dan n adalah bilangan bulat. Contoh 4.6 : n
ai a1 a2 a3 a4 an
i 1 4
2i 1 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 3 5 7
i 0 6
2i 2 2 12 2 22 2 32 2 42 2 52 2 62 i 1 n
i
n
1 i 2 12 22 32 42 1 n2
i 1
1 1 1 1 11 1 2 2 1 3 3 1 k 1 k k 1
Sifat-sifat notasi sigma : Untuk bilangan bulat a, b dan n berlaku bahwa : n
1.
1 n k 1
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
18
b
b
k a
k a
2. (c ak ) c ak b
b
3. ( ak bk ) 4. 5.
ak
b
bk
k a
k a
k a
b
b
b
(ak bk )
ak
k a n
n p
k m
k m p
k a
bk
k a
ak ak p
Contoh 4.7 : 5
1.
1 5 k 1 6
6
k 1
k 1
2. 2 k 2 2 k 2 8
3. 4. 5.
k 3
k 2 k
8
8
k2
k 3
k k 3
4
10
10
k 1
5
1
(k 3 1) (k 3 1) (k 3 1) 6
10 2
n 2
n 2 2
12
n 2 1
n 22 1 n2 4n 5 n 0
5. Geometri, Trigonometri Trigonometri dan Bilangan Bilangan Kompleks Geometri
Penyiku suatu sudut Sudut α dan β dan β dikatakan dikatakan berpenyiku jika α + β = β = 90 0. Sudut yang dibentuk dibentu k oleh α + β adalah sikusiku.
α Pelurus suatu sudut sudut Sudut α dan β dikatakan dikatakan berpelurus jika α + β = 1800. Sudut yang dibentuk oleh suatu garis adalah 1800.
β α Sifat-sifat garis sejajar Dua garis l dan g dan g berpotongan berpotongan di titik A dan B.
2 3
1 4 A
2 3
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
1 4 B
19
1. Sudut sehadap A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B 4 2. Sudut bertolak belakang A1 A3 , A2 A4 , B1 B3 , B 2 B 4 3. Sudut dalam berseberangan A1 B3 , A4 B2 4. Sudut luar berseberangan berseberangan A2 B4 , A3 B1 5. Sudut dalam sepihak A1 dan B2 disebut sudut dalam sepihak , A1 + B2 = 1800
A4 dan B3 disebut sudut dalam sepihak , A4 + B3 = 1800 6. Sudut luar sepihak A1 dan B2 disebut sudut luar sepihak , A2 + B1 = 1800 A4 dan B3 disebut sudut luar sepihak , A3 + B4 = 1800 Jumlah sudut segi-n segi-n Jumlah sudut segitiga = 1800 a + b + c =1800 a
c b
a
b
Jumlah sudut segiempat = 2×180 0 = 3600 Jumlah sudut sudut segilima segilima = 4×1800 = 5400 Jumlah sudut segienam = 5×180 0 = 7200 Hubungan sudut dan garis-garis garis-garis yang saling saling tegak lurus :
θ
θ
Kesebangunan segitiga segitiga
a1 b1 c1 a2 b2 c2 b2
b1
a1
a2
c2
c1
Garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
20
Garis yang menyinggung lingkaran membentuk sudut 900 terhadap terhadap garis yang yang menghubungkan menghubungkan titik singgung dengan pusat lingkaran itu.
A
α
β
O
Sudut keliling dan sudut pusat Sudut pusat (θ (θ ) sama dengan dua kali sudut keliling (α (α).
2
B α
A
θ
C
Rumus-rumus geometri geometri : Segitiga b
c t
θ
Luas =
1 1 at ab sin 2 2
a Jajaran genjang
t
Luas = at
a Trapesium b t
Luas =
ab t 2
a Lingkaran
r
Keliling = 2π 2πr 2 Luas = π r r
Silinder tegak
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
21
r
Luas dinding = 2π 2πrh 2 Volume = π r r h
Bola 2
Luas permukaan = 4π r r 4 Volume = πr 3 3
r
Kerucut tegak
Luas selimut = πrs 1 Volume = πr 3 3
s
t r
Trigonometri
Sudut Sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat dan radian. Satu derajat (0) didefenisikan sebagai ukuran sudut pusat yang dibentuk oleh panjang busur lingkaran yang sama dengan 1/360 dari keliling lingkaran. Sudut yang dibentuk satu lingkaran penuh adalah 3600. Satu menit (′ ) adalah 1/60 derajat ; Satu detik (′′ (′′ ) adalah 1/60 menit, atau 1/3600 derajat. Contoh 5.1 :
a.
30, 50 300 0, 560 30 030
b.
30,110 300 0,11 60 3006, 6 3006 0, 6 60 3006 6
10 0 c. 10 3045 10 0
300 450 10, 5125 0 100 0, 50 0, 01250 10 60 3600
Satu radian (rad) didefenisikan sebagai sudut pusat yang dibentuk oleh panjang busur yang sama dengan radius lingkaran.
1 radian
r
r
Keliling lingkaran adalah 2π r r dan dan membentuk sudut 3600. Karena itu,.
2 radian radian = 3600 radian
= 1800
1 radian radian =
1800
57,2960
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
22
radi radian an = 0,01 0,0174 7453r 53rad ad 180 dimana =3,14
1 dera deraja jatt =
Contoh 5.2 :
a.
300 300
c.
1800 rad = = 450 4 4
d.
7 7 1800 rad = = 2100 6 6
rad 6 180 5 r a d = rad b. 1500 1500 6 1800 0
rad =
Panjang busur Besar panjang busur ( s) ( r ) dengan sudut pusat (θ ( θ ) dalam radian. s) sama dengan perkalian radius (r s
r
s
θ
r
Contoh 5.3 :
a. Sebuah lingkaran memiliki radius 30 cm, panjang busur yang dibentuk oleh sudut pusat
3
rad
adalah s r
0cm =10 =10 cm 30cm 3 b. Sebuah lingkaran memiliki radius r radius r cm, cm, panjang busur yang dibentuk oleh sudut pusat 45 0 adalah s r r cm 4
Luas sektor lingkaran lingkaran Luas A sektor lingkaran dengan radius r dan r dan sudut pusat θ dalam radian adalah 1 A r 2 2
θ
A r
Contoh 5.4 :
Sebuah lingkaran memiliki memiliki radius 30 cm, panjang busur yang dibentuk oleh sudut pusat A
3
rad adalah
1 2 1 2 r 30 cm cm =150 cm 2 2 2 3
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
23
Teorema Phytagoras Dalam segitiga siku-siku : c2 a2 b2
c
a
b Fungsi trigonometri trigonometri dalam segitiga siku-siku siku-siku
c
a
θ b
sin =
sisidepan a sisimiring c
cosec
cos =
sisisamping b sisi miring c
sec =
tan =
sisidepan a sisisampin g b
sisi miring c sisidepan a
sisi miring c sisisamping b
cot =
sisidepan b sisisamping a
Kita akan memperoleh hubungan bahwa 1 cose cosecc = sin 1 sec = cos 1 cot = tan Contoh 5.5 :
sin =
5
4
θ 3
4 5
3 5 4 tan = 3
cos =
cosec
5 4
5 3 3 5
sec = cot
Contoh 5.6 : Jika sinθ sinθ = = 1/3 , maka tentukanlah nilai cosθ dan tanθ . Penyelesaian: Kita akan menggunakan bantuan segitiga siku-siku untuk mendapatkan mendapatkan nilai cosθ dan tanθ.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
24
3
1
θ b Gunakan teorema phytagoras untuk mendapatkan mendapatkan nilai b, 2 2 2 3 1 b
b 82 2 Sehingga, 2 2 cos = 3 1 1 tan = 2 2 2 4 Fungsi trigonometri trigonometri dari sudut istimewa θ 0 300
sinθ sinθ 0 1/2
cosθ cosθ 1
37 45
3/5
4/5
530 600
1 2
2
4/5 1 2
90
3 1
1 2
Tanθ Tanθ 0
3
1 2
1 3
2
3 ¾ 1
3/5 1/2
4/3
0
-
3
Fungsi trigonometri trigonometri dalam kuadran y
sin θ = + II cosec θ = +
I
Semua positif
0 < θ < 900
90 < θ < 180
x tan θ = + sec θ = +
III
IV cos θ = + sec θ = +
180 < θ < 270
270 < θ < 360
Fungsi sudut negatif negatif sin sin cosec cosec
cos cos
sec sec
tan tan
cot cot
Perbandingan sudut-sudut sudut-sudut berelasi berelasi
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
25
sin 90 0 cos
sin 90 0 cos
cos 900 sin
cos 90 0 sin
tan 900 cot
tan 90 0 cot
sin 1800 sin
sin 1800 sin
cos 1800 cos
cos 1800 cos
tan 1800 tan
tan 1800 tan
sin 2700 cos
sin 270 0 cos
cos 270 0 sin
cos 270 0 sin
tan 270 0 cot
tan 270 0 cot
sin 3600 sin
sin 360 0 sin
cos 360 0 cos
cos 360 0 cos
tan 360 0 tan
tan 360 0 tan
Contoh 5.7 :
sin 1500 sin 180 0 30 0 sin 30 30 0 1/ 2 cos 21 2100 cos 270 0 60 0 sin 60 60 0 3 2 tan 3300 tan 360 0 30 0 tan 30 0 3 3
cos 1 1 cos 2 cos co 2
cos sin
Indentitas trigonometri trigonometri sin tan cos cos cot sin sin 2 cos 2 1 1 cot 2 cosec 2 1 tan 2 sec 2 Contoh 5.7 : Buktikan relasi trigonometri berikut ini! sec a. cot tan cosec se
b. c.
cos 2 1 sin 1 sin cos sec2 cos sec sin 2
Penyelesaian :
a. b.
cos sin cos 2 sin 2 1 cot tan cosec sec sin cos sin cos sin cos sin 1 si sin cos 2 1 sin 2 1 si 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
26
c.
sec2 1 cos cos sec2 cos cos se cos sin 2 2 2 tan 2 sec 2 2 2 sin sin sin sin cos
Segitiga γ
b
a β
α c Aturan sinus : a b c sin sin sin
Luas segitiga : 1 1 1 Luas bc sin ac sin ab sin 2 2 2 Contoh 5.7 : Tentukan panjang sisi b dari segitiga di bawah ini!
b 30
2m 45
0
Penyelesaian : Gunakan aturan sinus bahwa b 2 sin 4 50 sin 30 300 2 b sin 45 4 50 2 2 m sin300
Aturan cosinus : a 2 b 2 c 2 2bc cos b2
a
2
c
2
2ac cos
c2
a
2
b
2
2ab cos
Contoh 5.8 :
Tentukan panjang sisi c dari segitiga di bawah ini! 2 m 60
c
0
3m
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
27
Penyelesaian : Gunakan aturan kosinus bahwa c2
2
2
cos 60 2 3 2 2 3 co
c 2 4 9 12
0
1 6 2
Jadi, c
6m
Rumus jumlah dan selisih sudut sin A B sin A cos B cos A sin B
sin A B sin A cos B cos A sin B cos A B cos A cos B sin Asin B cos A B cos A cos B sin A sin B tan A tan B 1 tan A tan B tan A tan B tan A B 1 tan A tan B tan A B
Contoh 5.9 : Tentukan nilai sinus, cosinus dan tangen dari sudut 150 ! Penyelesaian :
sin 15 sin 45 0 30 0 sin 4 5 0 cos 30 30 0 cos 45 45 0 sin 30 30 0 1 1 1 1 6 2 2 3 2 2 2 2 2 4 cos15 cos 45 0 30 0 cos 45 45 0 cos 30 30 0 sin 4 5 0 sin 30 30 0
1 1 1 1 6 2 2 3 2 2 2 2 2 4 tan 45 0 tan 30 0 1 3 3 3 3 tan 15 tan 45 0 30 0 2 3 1 tan 45 0 tan30 0 1 1 ( 3 3) 3 3
Rumus sudut rangkap rangkap dua sin 2 A 2 si sin A cos A cos 2 A cos 2 A sin 2 A 1 2 sin 2 A 2 cos 2 A 1
tan2 A
2tan A 1 tan 2 A
Contoh 5.10 : Tentukan nilai cos 22,50 ! Penyelesaian : cos 2 A 2 cos2 A 1
cos2 22,50 2co 2cos2 22 22,5 1 cos45 s450 2co 2cos2 22,5 1 1 2 2 co cos2 22 22, 5 1 2 cos 22, 5
1 1 2 2 4
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
2 2 1 2 2 4 2 28
Rumus setengah setengah sudut A 1 cos A sin 2 2 2
cos 2
A 1 cos A 2 2
tan 2
A 1 cos A 2 1 co cos A
Contoh 5.11 : Jika cos x = k , dimana k suatu bilangan positif yang kurang dari satu. Besar sudut x < 900. Tentukan
nilai dari sin 12 x ! Penyelesaian : x 1 cos x sin 2 2 2
sin
x 1 k 2 2
Ambil nilai sin 12 x yang bernilai positif karena sudut x berada di kuadran pertama. Jadi,
sin
x 1 k 2 2
Rumus perkalian perkalian trigonometri
2 sin A cos B sin A B sin A B 2 cos A sin B sin A B sin A B
2 cos A cos B cos A B cos A B
2 sin A sin B cos A B cos A B Contoh 5.12 : Tunjukkan bahwa
a.
2 sin 75 75 0 cos15 0 1 12 3
b.
cos 2 x cos x
1 cos 3x cos x 2
Penyelesaian :
a.
2 si sin 75 75 0 cos15 0 sin(75 0 15 0 ) sin(75 0 15 0 ) sin 90 90 0 sin 60 60 0 1
b.
cos 2 x cos x
1 2
3
1 1 cos (2 x x ) cos(2x x ) cos 3x cos x 2 2
Rumus jumlah dan selisih trigonometri trigonometri sin A sin B 2 sin A 2 B cos A2 B sin A sin B 2 cos A2 B sin A2 B cos A cos B 2 cos A2 B cos A2 B cos A cos B 2 sin A2 B sin A2 B
Contoh 5.13 : Tunjukkan bahwa a. sin 4 00 sin 2 0 0 cos10 0 1 b. sin 75 75 0 si sin 15 0 2 2 Penyelesaian:
a.
40 0 20 0 40 0 20 0 0 0 0 sin 40 sin 20 2 sin cos 2 sin 30 cos10 cos10 2 2 0
0
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
29
b.
75 0 15 0 75 0 15 0 1 2 cos 45 0 sin 30 0 sin 2 2 2 2
sin 75 0 sin 15 0 2 cos
Invers Trigonometri Trigonometri sin y x , maka y arc sin x at Jika sin y atau y sin -1x
Jika cos y x , maka y arc cos x at atau y cos -1 x
tan y x , maka y arc tan x at Jika tan y atau y tan -1x Contoh 5.14 :
arcsin(12 ) 6 arc arc cos( cos( 1)
tan tan 1 (1)
4
Persamaan trigonometri trigonometri 1. sin k Misalkan bahwa sin 1 k sin , maka n 3600
180 n 3600 2.
k cos Misalkan bahwa cos 1 k cos , maka n 3600 n 360 0
3.
tan k
Misalkan bahwa tan 1 k tan , maka k 180 0 di mana k adalah adalah bilangan bulat. Contoh 5.15 : Carilah semua solusi persamaan trigonometri di bawah ini untuk interval 0 360 0 !
sin a. sin
1 2
b. cos
1 2
2
c. tan 3 Penyelesaian : 12 a. sin
sin sin 1 12 30 0 Gunakan n 3600 dan substitusi n=0, maka 300 Gunakan (180 ) n 3600 dan substitusi n=0, maka
1800
300 1500
Jadi, solusinya solusinya adalah 300 dan 1500. b.
cos
1 2
2
cos cos 1 12 2 450 Gunakan n 3600 dan substitusi n=0, maka
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
30
45 0 Gunakan n 360 0 dan substitusi n=1, maka 450
3600 3150
Jadi, solusinya adalah 450 dan 3150. c.
tan 3 tan cos 1 3 60 0 Gunakan n 180 0 dan substitusi n=0 dan n=1, maka 45 0 dan 180 0 60 0 1800 240 0 Gunakan n 360 0 dan substitusi n=0, maka 450
3600 3150
Jadi, solusinya solusinya adalah 600 , 2400 dan 3150. Contoh 5.16 : Carilah solusi persamaan trigonometri trigonometri di bawah ini untuk interval 0 ! 2 sin 2 3 sin 2 0 Penyelesaian : Kita dapat menuliskan 2 sin 2 3 sin 2 0 dalam bentuk
2 sin 1 sin 2 0 2 . Jadi, solusi hanya berasal dari Tidak ada solusi θ untuk sin 2 sin 1 0 1 sin 2 Untuk interval sudut 0 , solusinya adalah 300 dan 1500. Grafik fungsi trigonometri 1. Grafik y Grafik y = sinθ sinθ y 1
y = sinθ sinθ
π
2π
3π
θ
-1 2. Grafik y Grafik y = cosθ cosθ
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
31
y 1
y = cosθ cosθ
π
2π
3π
θ
2π
3π
θ
-1 3. Grafik y Grafik y = tanθ tanθ y y = tanθ tanθ
π
Sifat-sifat grafik sinus dan kosinus : 1. Sinθ Sinθ dan dan cosθ cosθ keduanya keduanya berkisar antara -1 sampai 1 2. Kedua grafik berulang( periodik) pada selang yang berdampingan berdampingan sepanjang 2π 3. Grafik y Grafik y = = sinθ sinθ sama sama seperti y seperti y = = cosθ cosθ , tetapi digeser π/2 satuan ke kanan. Operasi Bilangan Kompleks
Bilangan imajiner Bilangan imajiner adalah bilangan tidak real atau tidak nyata. Satuan bilangan kompleks adalah dan disimbolkan dengan i. Bilangan imajiner sangat penting dalam sains. 1 i
1
Contoh 5.17 : 4 4 1 2i
81 81 1 9i i 2
1 1 1 i3 i i 2 i 4 2i 24 i 4 16
Bilangan kompleks kompleks Bilangan kompleks adalah gabungan bilangan real dan bilangan imajiner. Simbol z disebut sebagai bilangan kompleks kompleks atau variabel variabel kompleks. Bentuk umum bilangan kompleks : z a b i di mana a bagian real dari z atau disimbolkan oleh Re{z} dan bi bi bagian imajiner atau biasa disimbolkan oleh Im{z}. a dan b adalah bilangan real. Contoh 5.18 :
z 2 3 i , z 5 4 i dan z 2 4 i
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
32
Konjugat bilangan kompleks kompleks Konjugat bilangan kompleks z a b i adalah z a b i . Contoh 5.19 : Konjugat bilangan kompleks z 2 3 i adalah z 2 3 i .
Konjugat bilangan kompleks z 7 8 i adalah z 8 7 i . Operasi bilangan kompleks 1. Penjumlahan dua bilangan kompleks
a b i c d i a c b d i 2. Pengurangan Pengurangan dua bilangan kompleks
a b i c d i a c b d i 3. Perkalian dua bilangan kompleks
b d ad bc i a b i c d i ac adi bci bdi2 ac bd 4. Pembagian dua bilangan kompleks a bi a bi c di ac bd ad bc i
c di
c di c di
c 2 d 2
Contoh 5.20 :
1. 2. 3. 4.
2 3i 5 6 i 2 5 3 6 i 2 4 i 3 7 i 2 3 4 7 i 1 3i 3 4 i 2 5 i 6 20 15 8 i 14 23i 2 4i 2 4i 5 3i 22 14i 11 7 i 5 3i 5 3i 5 3i 34 17 17
Modulus bilangan kompleks kompleks Modulus atau besar dari sebuah bilangan kompleks z a b i didefenisikan sebagai r z
a2 b 2
zz
Modulus biasanya disimbolkan dengan r . Contoh 5.21 : z 3 2i
32 22 13
Diagram Argand atau atau bidang kompleks kompleks Bilangan kompleks z = x + yi yi dapat digambarkan dalam bidang xy xy yang disebut sebagai bidang kompleks atau diagram argand. Sumbu x Sumbu x dan dan y y berturut-turut berturut-turut adalah sumbu real dan imaginer. Y
y r
P ( x,y) x,y) x
θ O
X
Kita dapat menuliskan letak titik P( x,y) x,y) dalam bidang polar : x r sin , y r cos di mana r
adalah sudut yang dibentuk oleh garis OP terhadap terhadap sumbu x sumbu x.. x 2 y 2 dan θ adalah
Kita dapat menuliskan bahwa z x y i r cos i r sin r cos i sin Sekarang kita gunakan formula euler bahwa ei cos i sin . Karena itu,
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
33
z re i
Contoh 5.22 :
i sin 6ei 3 3 3 1 1 5 cos i sin 4 2 i 2 2 2 1 i 4 4 2 2
1. z 6 cos 60 i sin 60 60 6 cos z 4ei 4
6. Irisan Kerucut
Bidang yang memotong kerucut dengan berbagai sudut akan menghasilkan kurva lingkaran, elips, parabola dan hiperbola. hiperbola.
Hiperbola
Lingkaran Elips Parabola
Gbr. 1.10 : Irisan kerucut
Irisan kerucut menunjukkan kedudukan titik-titik terhadap garis l tetap tetap (garis arah) dan sebuah titik tetap (fokus) F (fokus) F . Hiperbola , e > e > 1 Parabola , e = e = 1
L
P
Elips , 0 < e < 1 Lingkaran, e = 0
F
garis l
Gbr. 1.11 : Kurva irisan kerucut berdasarkan berdasarkan nilai eksentrisitas (e (e)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
34
Himpunan titik-titik P yang perbandingan antara jarak PF dari fokus dan jarak PL PL dari garis arah adalah suatu konstanta positif e (dinamakan (dinamakan keeksentrikan atau eksentrisitas). eksentrisitas). | PF | e | PL | Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola. Persamaan lingkaran ( e = 0)
Lingkaran merupakan merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik fokus. Persamaan Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0 (0,0) dan jari-jarinya r adalah adalah x
2
y 2 r 2
Persamaan Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik titi k O (a (a,b) dan jari-jarinya r adalah adalah 2 2 x a y b r 2
atau
x2 y 2 Ax By C 0 2
2
A A A B dengan pusat lingkaran di titik O(a O(a,b)= O , dan jari-jari lingkaran r C 2 2 2 2 y
2 2 x a y b r 2
O(a,b) x
r
Gbr.1.12 : Lingkaran dengan pusat di titik O ( a,b)
Contoh 6.1 : Sebuah lingkaran memiliki persamaan 2 2 x 2 y 3 25
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran li ngkaran tersebut. Penyelesaian : Lingkaran berpusat di titik (2,3) dan memiliki radius 5 satuan. Persamaan Parabola (e =1)
Parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah l dan dan fokus F. y L (- p, p y) , y)
P ( x, x y) , y) F( p,0) p,0)
x
x= -p Gbr.1.13 Dari syarat |PF|=|PL|, kita peroleh
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
35
( x p ) 2 ( y 0) 2 ( x p) 2 ( y y) 2
Kita akan memperoleh bentuk persamaan umum parabola mendatar dan terbukan ke kanan adalah
y 2 4 px dimana p dimana p sebagai sebagai jarak dari fokus ke puncaknya. Contoh 6.2 : Tentukan fokus dan garis arah parabol y2 = 8 x. Penyelesaian : 2 Oleh karena y karena y = 4(2) x 4(2) x,, maka p=2. Sehingga fokus ada di titik (3,0); dan garis arah adalah x adalah x=-3. =-3. Persamaan Elips ( 0 < e < 1)
Persamaan umum elips adalah x 2 x 2 1 a 2 b2 dimana b a 1 e 2 . Bilangan 2a 2a dinamakan garis tengah panjang (sumbu mayor) dan 2 b garis tengah pendek (sumbu minor ). y
B(b B(b,0)
A′(-a (-a,0)
F′(-c (-c,0)
x 2
c
b
a2
a
F(c F(c,0)
x A(a A(a,0)
x2 b2
1
a 2 b2 c2 e
c a
B′(-b (-b,0)
Gbr. 1.14 : Elips Contoh 6.3 : Sebuah elips memiliki persamaan persamaan
x 2 y 2 1 25 16 Tentukan fokus, eksentrisitas, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dari elips tersebut. Penyelesaian : Nilai a = 5 dan b= 4, sehingga sehingga
16 3 c a 2 b2 25 16 Titik fokus elips adalah di (0,3) dan (0,-3). Eksentrisitas elips adalah e = c/a = 3/5 =0,6. Panjang sumbu mayor elips adalah 2a = 8 satuan. Panjang sumbu minor elips adalah 2b= 4 satuan. Persamaan Hiperbol (e >1)
Persamaan umum Hiperbol adalah x 2 y 2 1 a 2 b2 dimana b a e 2 1 . Oleh karena c = ae, ae, kita peroleh c2 a 2 b2 . Sekarang kita nyatakan y dalam x,
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
36
b x2 a 2 a Untuk x Untuk x → , kita akan mendapatkan persamaan asimtot : b y x a y
y
y
b x a
x 2
c
F′(-c (-c,0) A′(-a (-a,0)
b a
a2
F(c F(c,0) A(a A(a,0)
x
b2
1
a 2 b2 c 2 e
y
x2
c a
b x a
Gbr. 1.15 : Hiperbol 1.7 Limit dan Turunan Limit
Bentuk umum limit :
lim f ( x ) b
x a
dibaca limit dari f(x) dari f(x) untuk untuk x mendekati x mendekati a adalah b. Perhatikan sebuah sebuah fungsi fungsi yang dibentuk dibentuk oleh 3 x 1 f ( x) x 1 Fungsi ini tidak terdefenisikan pada x pada x=1, =1, karena di titik ini f(x) =0/0, f(x) =0/0, yang tidak memiliki arti. Akan tetapi, kita masih menentukan nilai f(x) nilai f(x) untuk untuk x x mendekati mendekati satu. Pengertian sederhana dari limit adalah pendekatan. x
f ( x)
1,1 1,01 1,001 ↓ 1 ↑ 0,999 0,99 0,9
x3 1 x 1
3,310 3,030 3,003 ↓ ? ↑ 2,997 2,970 2,710
Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa
x3 1 3 x1 x 1 lim
Kita juga dapat menentukan nilai dari limit sutu fungsi menggunakan aljabar.
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
37
x 1 x 2 x 1 x3 1 lim lim lim x 2 x 1 12 1 1 3 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 Contoh 7.1 :
lim(2 x 1) 2 3 1 5
x 3
x 5 x 1 x 2 4 x 5 lim lim x 1 6 x 5 x5 x 5 x 5 x5 lim
sin x 1 x 0 x lim
Turunan
Masalah yang mendasari mendasari ide turunan adalah adalah garis singgung suatu fungsi dan kecepatan sesaat sesaat suatu benda. Kemiringan garis suatu suatu fungsi Perhatikan grafik persamaan y=f( x). x). P kedudukannya di titik y y f ( x)
Q
f ( x+ x+ ∆ x) x)
Garis singgung dengan gradien m tan tan
∆ y P
f ( x) x)
∆ x
x
x+ ∆ x
x
Gbr.1.5 : Garis singgung f singgung f ( x) x)
Kemiringan fungsi f(x) di titik P dapat dituliskan dalam bentuk f x x f ( x ) y mtan lim lim x 0
x
x 0
x
Contoh 7.2 : Cari kemiringan garis singgung pada kurva kurva y = f(x) = 2x2 sebagai fungsi x fungsi x . . Penyelesaian :
mtan lim
f x x f ( x)
lim x0 x 2 x 2 4( x) x 2x2 2 x2 mtan lim x 0 x mtan lim 2 x 4x 2 x x 0
2
2 x x 2 x2
x
x 0
Kemiringan f( x) untuk x = = 0 adalah mtan = 0 . x) untuk x Kemiringan f( x) x) untuk x untuk x = = 1 adalah mtan = 2 .
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
38
y y = x2
2
(1,2)
1
-2 -1
1
2
x
Kecepatan sesaat sesaat suatu benda Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 10 m/s selama 5s dan memiliki kecepatan 20 m/s selama 5s. Kecepatan rata-rata mobil adalah v t v t 10 5 20 5 m s 15 m s v 11 2 2 t1 t 2 55 Jika mobil bergerak dengan persamaan posisi mobil sebagai fungsi waktu s 10t 2 Kecepatan sesaat sesaat benda pada setiap waktu dapat ditemukan menggunakan konsep kecepatan rata-rata untuk limit t 0 . Kecepatan benda setiap waktu adalah
s t t s(t ) s lim x 0 t x 0 t 2 10t 20( t )t 10 10t 2 10t 2 v lim t 0 t v lim 20t 10t 20t
v lim
t 0
Kecepatan sesaat benda pada t = 0 s adalah v = 0 m/s. Kecepatan sesaat benda pada t = 1 s adalah v =20 m/s. Kecepatan sesaat benda pada t = 1s memiliki arti bahwa gradien fungsi s = 10t 2 pada waktu t=1s. Jadi, kecepatan sesaat sesaat menunjukkan gradien dari fungsi posisi terhadap waktu. Defenisi Turunan df d f ( x ) dy Turunan dari fungsi y = f(x) adalah fungsi lain f ( x) yang dituliskan dalam bentuk dx dx
y x x y( x) dy lim x dx x 0 Contoh 7.3 : Carilah turunan dari masing-masing masing-masing fungsi dibawah ini terhadap variabel x variabel x : : a. y = y = 3 b. y = y = 2 x 2 x 2 c. y = y = 3 x 3 x
Penyelesaian Penyelesaian : 33 dy y ( x x) y( x) a. y lim lim 0 x 0 x dx x 0 x dy 2( x x) 2 x 2 x b. y lim lim 2 dx x 0 x 0 x x c.
y
dy 3( x x)2 3 x2 lim 6x x dx x 0
Aturan Turunan 1. Jika y Jika y k , maka y 0 .
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
39
2. Jika y k xn , maka y k n xn1 3. Jika y u v , maka y u v 4. Jika y u n , maka y nu n1 u 5. Jika y Jika y u v , maka y u v u v 6. Jika y
u v u v u , maka y v v2
Contoh 7.4 : Carilah turunan dari masing-masing fungsi berikut ini: a. y = y = 3 b. y = y = 2 x 2 x3 c. y = y = 2 x 2 x2 + 6 x d. y = y = ( x x2+2)10 e. y = y = ( x x3+2) ( x+1) x+1)5
x 2 2 f. y = y = x 1 Penyelesaian : a. y 0
b. y 2 3x31 6x2 c. y 2 2x21 6x11 4 x 6 d. Misalkan u x2 2 dan u 2 x . 10 1
y n u n 1u 10 x 2 2
9
2 x 20 x x 2 2
e. Misalkan u x2 2 dan v ( x 1)5 . 5
y u v u v 2 x x 1 5( x 2 1) x 1
4
f. Misalkan u x2 2 dan v x 1
uv u v (2x )(x 1) (x 2 2) x 2 2x 2 y ( x 1)2 ( x 1)2 v2 Turunan Trigonometri 1. Jika y sin x , maka y cos x 2. Jika y cos x , maka y sin x
sec2 x 3. Jika y tan x , maka y sec 4. Jika y cosec x , maka y cose cosecc x cot cot x 5. Jika y sec x , maka y sec sec x tan tan x cot x , maka y cosec2 x 6. Jika y cot 7. Jika y sin u , maka y u cos u 8. Jika y cos u , maka y u sin x Contoh 7.5 : Carilah turunan dari masing-masing fungsi berikut ini: a. y sin2 x
( 3 x 2) b. y sin (3 c. y cos2 x
d. y cos(3 x 5)
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
40
e. y cos3 2x sin2x Penyelesaian : a. y 2cos2 x
b. y 3 co cos (3 (3x 2) c. y 2sin2 x d. y 3 si sin(3 x 5) .
u 6 cos 2 2 x dan v sin 2 x v 2 cos 2x . 6cos2 2x sin2 x 2co 2cos3 2x y uv u v 6co
e. Misalkan u cos3 2 x
Turunan fungsi ln fungsi ln dan dan eksponensial 1 1. Jika y Jika y = = ln x ln x,, maka y x 1 2. Jika y Jika y = = ln u, maka y u u 3. Jika y Jika y = = ex, maka y e x 4. Jika y Jika y = = eu, maka y maka y = u eu Contoh 7.6 : Carilah turunan dari masing-masing fungsi berikut ini:
a. y e2 x b. y ln 2 x Penyelesaian :
a. y 2 e2x b. y
2 1 2 x x
Aturan Rantai Andaikata bahwa y bahwa y = f (u) dan u = g = g ( x). x). Aturan rantai memiliki bentuk dy dy du d x d u dx Contoh 7.7 : dy Cari dari y = ( x2+1)10. dx Penyelesaian Penyelesaian : Misalkan u = x2+1, maka y maka y = = u10. dy dy du 10u 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 dx du dx
Turunan tingkat tinggi
disebut turunan kedua dari fungsi f Bentuk f disebut turunan pertama dari f dari f . f fungsi f . Turunan ke-n ke-n dari fungsi y fungsi y = = f f ( x) x) dilambangkan dengan
dny . dx n
Contoh 7.8 :
Jika y 2x3 2x 2 , maka
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
41
y
dy 3x2 2 dx
d2y 6x dx d3y y 3 6 dx
y
Turunan Implisit Misalkan suatu persamaan memiliki bentuk
y 2 yx3 x2 dy , kita gunakan aturan rantai pada setiap suku. Kita peroleh dx dy dy dx dx 2 y x3 3x 2 y 2 x dx dx dx dx dy dy 2 y x3 3x 2 y 2 x dx dx dy 2 y x3 dx 2 x 3x 2 y
Untuk mendapatkan
dy 2 x 3x 2 y dx 2 y x3 Diferensial Turunan y terhadap x dituliskan dalam bentuk dy/ dy/dx. dx. Lambang d y dan d x x sebenarnya memilii arti tersendiri. Bentuk dy menunjukkan pertambahan kecil ∆ y dan y dan bentuk dx menunjukkan pertambahan kecil ∆x. Andaikan y= f(x), maka maka dy f ( x) dx Contoh 7.9 : Cari dy jika dy jika (a) y (a) y = = x x3 + 2 x . (b) y (b) y = 2π x2 . Penyelesaian
a. dy (3x2 2) dx b. dy 2 x dx Aturan diferensial diferensial 1. dk 0 2. d ( ku ) k du 3. d (u v ) du dv 4. d (u v ) du dv
u dv u vdu ud v2
5. d v
6. d u n nu n 1du Konsep turunan sangat penting dalam menyelesaikan kasus-kasus dalam fisika seperti untuk menentukan gradien, kecepatan, percepatan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Beberapa kegunaan turunan dalam fisika : a. Menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Misalkan suatu fungsi y fungsi y = f (x), (x), maka y akan maksimum ketika dy 0 atau f ( x0 ) 0 . dx
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
42
Nilai x0 disebut titik stasioner yang menyebabkan fungsi y y maksimum atau dapat kita sebut sebagai titik setimbang. setimbang. b. Fungsi f Fungsi f naik naik pada interval I interval I , , ketika f ( x) 0 c.
Fungsi f Fungsi f turun pada pada interval I interval I , , ketika f ( x) 0 Fungsi f Fungsi f cekung cekung ke atas pada interval I interval I , , ketika f ( x) 0 Fungsi f Fungsi f cekung ke bawa pada interval I interval I , , ketika f ( x) 0
8. Deret Binomial Newton , Deret Taylo Taylor dan dan Deret Maclaurin Deret Binomial Newton
Untuk setiap bilangan riil n dan |x|<1 berlaku 1) n 2 3 n(n 1) 2 n(n 1) (1 x) n 1 nx x x 2! 3! Contoh 8.1 :
(2)(3) 2 (2) 3 4 3 x x 1 2 x 3x 2 4 x3 2! 3! 1 1 1 1 1 ( 2 )( 2 ) 2 ( 2 )( 2 )( 23 ) 3 1 1 1 1 2 (1 x) 1 x x x 1 x x2 x3 2 2! 3! 2 8 16
a. (1 x) 2 1 (2) x b.
Kita dapat melakukan pendekatan ketika x<<1 :
(1 x)n 1 nx (1
1 x) 2
1
1 x 2
(1 x)1 1 x Deret Taylor Bentuk umum deret Taylor adalah
f ( x) f ( a) f ( a) ( x a)
f ( a) f ( a) ( x a) 2 ( x a) 3 2! 3!
Contoh 8.2 : Potensial interaksi dua buah atom dalam molekul diatomik memenuhi persamaan A B V r 12 6 r r Cari bentuk deret Taylor dari potensial ini di sekitar titik setimbangnya.
Penyelesaian: Penyelesaian: Misalkan titik setimbang potensial ini adalah r 0, sehingga f ( r 0 ) f ( r ) f ( r0 ) f ( r0 ) ( x r0 ) ( r r 0 ) 2 2! Kita akan mendapatkan mendapatkan titik setimbang d 12 A 6 B f r 13 7 0 r0 6 2 A B dr r r Gunakan ekspansi Taylor, kita dapatkan
f (r )
A B 1 156 A 42 B 14 8 ( r r 0 ) 2 12 6 r0 r0 2 r0 r0
Deret Maclaurin
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
43
Apabila a = 0, kita peroleh deret Maclaurin f (0) 2 f (0) 3 f ( x) f (0) f (0) x x x 2! 3! Contoh 8.3 : Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = sin x sin x.. Penyelesaian: Penyelesaian: f ( x) cos x f (0) 1
f ( x) sin x
f (0)
f ( x) cos x
0 f (0) 1
f ( 4) ( x) sin x
f ( 4) (0) 0
Sehingga,
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7! Deret Maclaurin yang penting
x3 x5 x7 1. sin x x 3! 5! 7! 2. cos x 1
x 2 x 4 x6 2! 4! 6!
x 3 2 x5 3. tan x x 3 15 4.
| x |
2
1 1 x x2 x3 x 4 1 x
x 2 x3 x4 2! 3! 4! x 2 x3 x 4 x 6. e 1 x 2! 3! 4! 5. ln(1 x) x
Jika x<<1, sin x 1 (1 x)1 1 x
1 2 x 2 ln(1 x ) x
cos x 1
tan x 1 e x 1 x
1.9 Integral
Konsep integral adalah kebalikan dari operasi pendifrensialan (turunan). Integral dibagai menjadi dua, yaitu intergral tentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu
Misalkan f(x) adalah turunan dari fungsi F fungsi F (x), (x), maka F maka F (x) (x) disebut sebagai anti turunan dari f dari f (x). (x). Anti turunan dari f dari f (x) (x) dinamakan integral dari f dari f (x) (x) yang dilambangka di lambangkan n
f ( x) dx F (x) c Sifat-sifat integral tak tentu . 1. 0 dx c 2.
dx k x c k dx
3.
1 x n dx n 1 xn 1 c ,
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
n 1
44
Contoh 9.1 :
dx x c 1
1
x 2 dx 2 1 x2 1 c 3 x3 c 1
1
1 1
x dx x 2 dx
4.
k f (x) dx k f (x) dx
1 2
1
x2 c
2 32 x c 3
Contoh 9.2 : 2
1
2 x3 dx 2 x3 dx 3 1 x 31 c 2 x 4 c 4
4 x dx 4 x dx 1 1 x11 c 2 x2 c
5.
1 x
dx x
1
2
dx
1
12 1
x
1 1 2
1
c 2 x2 c
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
Contoh 9.3 :
4 x3 3x 8 dx 4 x3 dx 3 x dx 8 dx x4 x2 8 x c 3
3 x 4 2 x 5 dx 3 x4 dx 2 x dx 5 dx 5 x5 x2 5 x c Integral fungsi eksponensial eksponensial a.
e x dx ex c
b.
eax dx a eax c
c.
x dx ln x c
1
1
Contoh 9.4 : 1 e2t dt 2 e 2 t c 1 e5t dt 5 e 5t c
Integral fungsi trigonometri trigonometri a. b. c. d. e. f.
x dx cos x c sin xdx cos x dx sin x c x dx tan x c sec2 xdx cosec2 x dx cot x c sec x tan x dx sec x c cosec x cot x dx cosec x c 1
g.
sin ax b dx a cos ax b c
h.
cos a x b dx a sin ax b c
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
1
45
Contoh 9.5 :
1
sin 2 x dx 2 cos 2x c 1
cos 5 x dx 5 sin 5x c 1 s i n 3 x dx cos 3x c 3 1
cos t 2 dt sin t 2 c Integral substitusi
f g ( x) g ( x ) dx f u du Contoh 9.6 : 5 x dx a. 2 x 2 1
Misalkan u x 2 1 du 2 xd x dx Sehingga b.
5 x
x 2 1
2
dx
5 2 5 5 u du c c 2 2u 2 x 2 1
1
ax b dx
ax b d u a d x Misalkan u ax Sehingga
c.
1
1 du
1
1
ax b dx a u a ln u c a ln ax b c
cos3 x sin x dx Misalkan u cos x du sin dx 1 1 Sehingga cos3 x sin x dx u 3 du u 4 c cos 4 x c 4 4
Integral Parsial
dv uv uv v du du u dv Contoh 9.7 :
a.
cos x dx x cos Misalkan u x du dx dv cos x v sin x Sehingga x cos x dx x sin x sin x dx x sin x cos x c
b.
x2 sin x dx Misalkan u x 2 du 2 x dx dv sin x x v cos x Sehingga x2 sin x dx x 2 cos x x cos x dx x 2 cos x x sin x cos x c
c.
ln x dx
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
46
Misalkan u ln x du dv dx v x
dx x
x dx x ln x dx x ln x x c Sehingga ln xdx Integral tentu
Bentuk Umum integral tentu : b
b
f ( x) dx F ( x)a F (b) F (a)
a
Contoh 9.8 : 1
1
2 x dx x 2 0 1 0 1
a.
0
2
1 1 1 13 b. x 2 dx x 3 2 x 23 2 2 13 2 1 3 1 3 3 3 1 6 1 1 2 c. sin x dx cos x0 cos 3 cos 0 2 1 2 0 2
2
Sifat-sifat Integral tentu 1.
b
b
a
a
k f ( x) dx k f (x ) dx
b
2.
b
a
a
f ( x) g (x)dx f (x) dx f (x ) dx
a
3.
b
b
a
a
b
f ( x) dx f ( x) dx
a
4.
f ( x) dx 0
a a
5.
a
a
f ( x) dx 2 f ( x ) dx , untuk f (x ) fungsi genap f (x ) f (x ) 0
a
f ( x) dx 0 , untuk f (x ) fungsi ganjil f (x ) f (x )
a
6.
c
b
c
a
a
b
f ( x) dx f (x ) dx f (x ) dx
Beberapa integral yang sering digunakan : 1 dx 1 x tan 2 2
x a
dx a x dx 2
2
a
a
sin 1
x a
, a2 x2 0
ln x x 2 a 2
x 2 a 2
x dx 32
x2 a2 dx
32
x 2 a 2
1 x 2 a 2
x a 2 x2 a2
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
47
10. Matriks
Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom. Bentuk umum umum matriks matriks : a1n a11 a12 Amn
a a22 21 am1 am 2
a2n
amn
dimana m menunjukkan jumlah kolom dan n menunjukkan jumlah baris. Contoh 10.1 :
2 0 1 4
1. Matriks bujursangkar : A22
2. Matriks baris : A13 1 7 5 3.
4.
5.
6.
1 Matriks kolom : A31 10 6 0 0 Metriks nol : O 22 0 0 2 Matriks Diagonal : A33 0 0 1 Matriks Indentitas : I 22 0
0
0
5
0
0 7
0
1 T
7. Matriks transpose A (notasi , A ) Matriks transpose diperoleh dengan mengubah baris matriks A menjadi kolom matriks pada matriks AT . 2 0 2 1 T A , maka A 1 4 0 4 Operasi Matriks 1. Penjumlahan matriks a b d e a d
be c d f g c f d g 2 4 1 2 2 1 4 2 3 6 3 6 3 2 3 3 6 2 0 8
2. Pengurangan matriks a b d e a d
be c d f g c f d g 10 8 3 2 7 6 7 2 1 1 6 1
3. Perkalian suatu matriks dengan skalar a b ka kb k c d kc kd
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
48
2 3 8 12 0 1 0 4
4
4. Perkalian suatu matriks dengan matriks lain
Cmq Amn B pq A B bisa dilakukan jika n=p dan n=p dan hasilnya berukuran m×q.
a c 2 1 3 5
f ae bg h ce dg
b e d g
af bh bh
cf dh dh
37 2 6 3 8 2 5 3 9 36 37 4 8 9 1 6 4 8 1 5 4 9 38 41 41 1 7 3 7 1 8 29 2 8 5 7 2 8 51 3 6 5
Determinan Matriks Matriks 1. Determinan matriks berordo 2×2 a a b Jika matriks A= , maka determinan matriks A = |A|= c c d
2 4 5
6
b d
= ad-bc
2 6 4 5 8
2. Determinan matriks berordo 3×3 Metode Sarrus Sarrus a
b
c
A d
e
f aei bfg cdh gec hfa idb
g
h
i
Cara mudah untuk mengingat : -
-
-
a b c a b d e f d e f d e aei bfg cdh gec hfa idb g h i g h g h i a
b
c
+
+
+
Contoh 10.2 : 2 5 1 2 5
1
4
7
3
2 5
1 2 5 1) 1 3 7 4 (1) 1) 3 10 2 8 1 5 10 10 1 4 10 10 1 4 2 4 8 5 10 7 ( 1) 8 7 3 8 7 3 1 10 1 0 64 350 3 28 60 40 339
1
4
7
3 8
Metode Kofaktor
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
49
a
b
c
d
e
f a
g
h
i
e
f
h
i
Contoh 10.3 : 2 5 1
1
4 10 10 2
7
3 8
4 10 3
8
b
d
f
g
i
5
c
1 10 7
8
d
g
g
h
( 1)
1
4
7
3
2(32 30) 5(8 70) (3 28) 339
Matriks dan Persamaan Persamaan linear Solusi persamaa linear dua dan tiga variabel dapat diperoleh menggunakan determinan matriks yang dikenal dengan metode Cramer. 1. Dua buah persamaan linear dua variabel x variabel x dan dan y y,, a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 semiliki solusi D x x D D y y D dimana a1 b1 c1 b1 a1 c1 D x D D a2 b2 c2 b2 a2 c2 Contoh 10.3 4 Carilah solusi persamaan linear dari x + x + 2 y = y = 5 2 x x - 4 y = y = -6 menggunakan metode Cramer! Penyeles Penyelesaian aian :
D
1
2
2
4
8
D x
5
2
6 4
8
D y
1
5
2
6
16
Jadi, D 8 x x 1 D 8 D y 16 y 2 D 8 2. Tiga buah persamaan linear tiga variabel x, y dan z, a1 x b1 y c1z d1 a2 x b2 y c2 z d 2 a3 x b3 y c 3z d 3 memiliki solusi D y D D dan z z x x , y D D D dimana
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
50
a1
b1
c1
d1
b1
c1
a1
d1
c1
a1
b1
d 1
D a2
b2
c2 , D x d 2
b2
c2 , D y a2
d2
c2 , D z a2
b2
d 2
a3
b3
c3
b3
c3
a3
d3
c3
b3
d 3
d3
a3
Persaman linear linear homogen Bentuk umum : a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2
a2 n xn 0
am1 x1 am 2 x2
amn xn 0
Dalam bentuk matriks : a1n x1 a11 a12
a 21 a22 am1 am 2
a2n x2 0
amn xn
Solusi persamaan di atas yang memiliki bentuk x1 x2 xn 0 disebut solusi trivial. Solusi selain itu disebut solusi non trivial. Syarat agar dihasilkan solusi nontrivial adalah nilai determinan sama matriks sama dengan nol. a11 a12 a1n a21
a22
a2 n
am1
am 2
amn
0
Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com
51
